Chapitre I hydrostatique de fluide

U.F.R. Espaces et Cultures
CENTRE NATIONAL DE LA
RECHERCHE SCIENTIFIQUE
U.M.R. 6012 "Espace" du C.N.R.S.
Equipe "Gestion et Valorisation de l'Environnement"
ELEMENTS D'HYDRAULIQUE GENERALE
Par J.P. LABORDE
Professeur à l'Université de Nice - Sophia Antipolis
Ingénieur hydraulicien de l'ENSEEIH Toulouse
Ingénieur hydrogéologue de l'ENSG Nancy
Docteur es Sciences en Hydrologie
Edition 2003
Eléments d’hydraulique générale
SOMMAIRE
I. RAPPELS DE STATIQUE DES FLUIDES ............................................................................................................... 1
I.1 PROPRIETES GENERALES DES LIQUIDES ............................................................................................................ 1
I.1.1 Notion de contrainte ......................................................................................................................................... 1
I.1.2 Homogénéité et isotropie .................................................................................................................................. 1
I.1.3 Compressibilité et viscosité .............................................................................................................................. 1
I.2 NOTIONS DE PRESSION ............................................................................................................................................... 1
I.2.1 Définition .......................................................................................................................................................... 1
I.2.2 Equations générales de la statique ................................................................................................................... 2
I.2.3 Fluides soumis à la seule action de la pesanteur ............................................................................................. 2
I.2.4 Différentes échelles de pression ....................................................................................................................... 3
II. RAPPELS D'HYDRODYNAMIQUE...................................................................................................................... 4
II.1 DYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS ....................................................................................................................... 4
II.1.1 Equations générales du mouvement : équations d'Euler ................................................................................. 4
II.1.2 Equation de continuité .................................................................................................................................... 5
II.1.3 Equation caractéristique du fluide .................................................................................................................. 6
II.1.4 Equations intrinsèques .................................................................................................................................... 6
II.2 RELATIONS DE BERNOULLI ....................................................................................................................................... 7
II.2.1 Première formulation ...................................................................................................................................... 7
II.2.2 Deuxième formulation ..................................................................................................................................... 7
II.2.3 Représentation géométrique et interprétation énergétique du théorème de Bernoulli .................................... 9
II.3 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES REELS .................................................................................................. 9
II.3.1 Rappels sur la viscosité : formule de Newton.................................................................................................. 9
II.3.2 Equations de Lamé ........................................................................................................................................ 10
II.3.3 Equations de Navier-Stokes........................................................................................................................... 10
II.3.4 Extension du théorème de Bernoulli au cas des fluides réels ........................................................................ 11
II.4 THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT ......................................................................................... 12
II.5 APPLICATIONS DU THEOREME DE BERNOULLI ........................................................................................ 12
II.5.1 Pression dans une conduite : tubes piézométriques ...................................................................................... 12
II.5.2 Pression en un point d'arrêt : tube de Pitot ................................................................................................... 13
II.5.3 Ajutage de Venturi ......................................................................................................................................... 13
II.6 APPLICATION DU THEOREME D'EULER ...................................................................................................... 14
II.6.1 Action d'un fluide sur un coude de conduite .................................................................................................. 14
II.6.2 Ecoulement dans un élargissement brusque .................................................................................................. 15
III. REGIMES D'ECOULEMENT .............................................................................................................................. 16
III.1 NOMBRE DE REYNOLDS ................................................................................................................................ 16
III.1.1 Définition ..................................................................................................................................................... 16
III.1.2 Signification physique du nombre de Reynolds ............................................................................................ 16
III.2 REGIME LAMINAIRE ....................................................................................................................................... 17
III.2.1 Conditions d'existence.................................................................................................................................. 17
III.2.2 Ecoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique ..................................................................................... 17
III.2.3 Ecoulement entre deux plans parallèles. Analogie Hele-Shaw .................................................................... 18
III.3 REGIME TURBULENT ............................................................................................................................................. 21
III.3.1 Fluctuations du vecteur vitesse .................................................................................................................... 21
III.3.2 Echange latéral de quantité de mouvement ................................................................................................. 21
III.3.3 Influence de la turbulence sur la répartition des vitesses ............................................................................ 21
IV. ECOULEMENTS PAR LES ORIFICES, AJUTAGES ET DEVERSOIRS ................................................... 23
IV.1 ECOULEMENT PAR LES ORIFICES ............................................................................................................... 23
IV.1.1 Orifices non noyés ........................................................................................................................................ 23
IV.1.2 Orifices noyés ............................................................................................................................................... 24
IV.2 ECOULEMENT PAR LES AJUTAGES ............................................................................................................. 24
IV.2.1 Ajutage cylindrique sortant .......................................................................................................................... 24
IV.2.2 Ajutage cylindrique rentrant ou ajutage de Borda ....................................................................................... 25
IV.2.2.1 : Ajutage court ......................................................................................................................................................... 25
IV.2.2.2 : Ajutage long .......................................................................................................................................................... 25
IV.3 ECOULEMENT PAR LES DEVERSOIRS......................................................................................................... 25
IV.3.1 Définition et principaux types de nappes ..................................................................................................... 25
IV.3.2 Ecoulement par nappe libre ......................................................................................................................... 26
IV.3.2.1 : Déversoir à mince paroi ........................................................................................................................................ 26
Eléments d’hydraulique générale
IV.3.2.2 : Déversoir à seuil épais .......................................................................................................................................... 26
IV.3.2.3 : Déversoir à seuil déversant ................................................................................................................................... 27
IV.3.3 Ecoulement par nappe noyée en dessous ..................................................................................................... 27
V. ECOULEMENT DANS LES CANALISATIONS EN CHARGE ........................................................................ 28
V.1 ECOULEMENT EN CHARGE ............................................................................................................................ 28
V.1.1 Définition ....................................................................................................................................................... 28
V.1.2 Charge dans une section................................................................................................................................ 28
V.2 EXPRESSION GENERALE DE LA PERTE DE CHARGE LINEAIRE ............................................................. 28
V.2.1 Facteurs explicatifs ....................................................................................................................................... 28
V.2.2 Etude expérimentale ...................................................................................................................................... 29
V.2.3 Cas des conduites réelles ............................................................................................................................... 30
V.2.4 Généralisation aux conduites non circulaires ............................................................................................... 31
V.2.5 Formules empiriques ..................................................................................................................................... 31
V.2.5.1 Formule de Chezy .................................................................................................................................................... 31
V.2.5.2 Formule de Lechapt et Calmont ............................................................................................................................. 31
V.2.5.3 Formule de Manning-Strickler ............................................................................................................................... 32
V.2.5.4 Formule de Hazen-Williams ................................................................................................................................... 32
V.3 PERTES DE CHARGES SINGULIÈRES LE LONG D'UNE CONDUITE ......................................................... 32
V.3.1 Changement de section .................................................................................................................................. 32
V.3.1.1 Elargissement brusque .............................................................................................................................................. 32
V.3.1.2 Rétrécissement brusque ............................................................................................................................................ 32
V.3.2 Coudes ........................................................................................................................................................... 33
V.3.2.1 Coudes arrondis ........................................................................................................................................................ 33
V.3.2.2 Coudes à angles vifs ................................................................................................................................................. 33
V.4 ETUDES DE QUELQUES CAS PARTICULIERS ............................................................................................ 33
V.4.1 Canalisation assurant un service mixte ......................................................................................................... 33
V.4.2 Calcul économique d'une conduite de refoulement ....................................................................................... 34
V.4.3 Choix du diamètre d'une conduite gravitaire ................................................................................................ 35
V.4.4 Remarque....................................................................................................................................................... 37
V.5 TABLES DE COLEBROOK ........................................................................................................................................ 38
VI. LES POMPES CENTRIFUGES ............................................................................................................................. 41
VI.1 CONSTITUTION ET PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT ............................................................................ 41
VI.1.1 Principe de fonctionnement .......................................................................................................................... 41
VI.1.2 Rôle des différents organes .......................................................................................................................... 41
VI.2 DIFFÉRENTS TYPES DE POMPES .................................................................................................................. 43
VI.2.1 Directions d'écoulement ............................................................................................................................... 43
VI.2.2 Pompes mono- et multi-cellulaires ............................................................................................................... 43
VI.2.3 Pompes de surface........................................................................................................................................ 44
VI.2.4 Pompes gyrostatiques................................................................................................................................... 44
VI.2.5 Groupes immergés ....................................................................................................................................... 44
VI.3 COURBES CARACTÉRISTIQUES DES POMPES CENTRIFUGES ............................................................... 45
VI.3.1 Définitions .................................................................................................................................................... 45
VI.3.2 Courbe débit-hauteur ................................................................................................................................... 45
VI.3.3 Courbe de rendement (Q, )......................................................................................................................... 45
VI.3.4 Courbe des puissances absorbées (Q, P) ..................................................................................................... 46
VI.3.5 N.P.S.H. ........................................................................................................................................................ 46
VI.4 CHOIX D'UNE POMPE CENTRIFUGE ............................................................................................................ 46
VI.4.1 Conditions techniques .................................................................................................................................. 46
VI.4.2 Point de fonctionnement ............................................................................................................................... 47
VI.4.3 Modification d'une pompe ............................................................................................................................ 48
VI.4.4 Couplages de pompes ................................................................................................................................... 48
VI.4.4.1 Montage en parallèle ............................................................................................................................................... 49
VI.4.4.2 Montage en série ..................................................................................................................................................... 49
VI.4.5 Remarques sur l'installation ......................................................................................................................... 49
VI.5 SIMILITUDE DES POMPES .............................................................................................................................. 49
VI.5.1 Expression générale des caractéristiques de fonctionnement optimum ....................................................... 49
VI.5.2 Notion de vitesse spécifique Ns .................................................................................................................... 50
VI.5.3 Choix d'une pompe à partir de son Ns ......................................................................................................... 50
VII. GENERALITES SUR LES CANAUX.................................................................................................................. 51
VII.1 NOTION DE CANAL ........................................................................................................................................ 51
VII.2 SECTION TRANSVERSALE ............................................................................................................................ 51
Eléments d’hydraulique générale
VII.3 REPARTITION DES VITESSES ....................................................................................................................... 51
VII.4 PENTES LONGITUDINALES ................................................................................................................................... 52
VII.5 VARIATION DU MOUVEMENT DANS LE TEMPS ...................................................................................................... 52
VII.6 VARIATION DU MOUVEMENT DANS L’ESPACE ...................................................................................................... 52
VIII. PERTES DE CHARGE DANS LES ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE ............................................... 53
VIII.1 CHARGE DANS UNE SECTION ............................................................................................................................. 53
VIII.2 NOTION PHYSIQUE DE LA PERTE DE CHARGE ............................................................................................. 53
VIII.2.1 Pertes de charge en régime uniforme ....................................................................................................... 53
VIII.2.2 Pertes de charge en régime graduellement varié ..................................................................................... 53
VIII.2.3 Pertes de charge en régime brusquement varié ........................................................................................ 53
VIII.3 FORMULATIONS DES PERTES DE CHARGE ................................................................................................... 53
VIII.3.1 Formule de Chezy ...................................................................................................................................... 53
VIII.3.2 Formule de Bazin ...................................................................................................................................... 54
VIII.3.3 Formule de Manning-Strickler .................................................................................................................. 54
VIII.3.3.1 Etalonnage du coefficient k de Strickler ............................................................................................................... 54
VIII.3.3.2 Quelques valeurs de k usuelles pour les fleuves torrents et rivières ..................................................................... 54
VIII.3.3.3 Evaluation de k à partir de la granulométrie du fond ............................................................................................ 54
VIII.3.3.4 Evaluation de k par la méthode de Cowan ............................................................................................................ 54
VIII.3.3.5 Evaluation de k dans les sections hétérogènes ...................................................................................................... 55
VIII.3.3.6 Utilisation de la formule de Strickler pour les sections complexes ....................................................................... 55
VIII.4 ECOULEMENT UNIFORME .......................................................................................................................... 56
VIII.4.1 Importance de la hauteur d'eau normale ................................................................................................... 56
VIII.4.2 Calcul de la hauteur d'eau normale .......................................................................................................... 56
VIII.5 VARIATION D'ENERGIE LE LOND D'UN COURANT ................................................................................................ 56
VIII.5.1 Comparaison des pertes de charge singulières en conduite et en canal ................................................... 56
VIII.5.2 Transformation d'énergie le long du courant ............................................................................................ 57
IX. ÉTUDE DES SECTIONS TRANSVERSALES..................................................................................................... 58
IX.1 INFLUENCE DE LA PROFONDEUR SUR LES ÉLÉMENTS TRANSVERSAUX ......................................... 58
IX.1.1 Rayon hydraulique ....................................................................................................................................... 58
IX.1.2 Profondeur moyenne .................................................................................................................................... 58
IX.1.3 Cas du rectangle infiniment large ................................................................................................................ 59
IX.2 INFLUENCE DES DIVERS PARAMETRES SUR LE DEBIT............................................................................................. 59
IX.3 PROFILS DE DEBIT MAXIMUM DANS LE CAS DES SECTIONS EVASEES ..................................................................... 59
IX.3.1 Forme demi-circulaire ................................................................................................................................. 59
IX.3.2 Forme trapézoïdale ...................................................................................................................................... 60
IX.3.3 Forme rectangulaire .................................................................................................................................... 60
IX.4 SECTIONS VOÛTÉES ....................................................................................................................................... 61
IX.4.1 Profondeur de débit maximum ..................................................................................................................... 61
IX.4.2 Profondeur de vitesse maximum................................................................................................................... 61
IX.4.3 Cas de la section circulaire .......................................................................................................................... 61
IX.5 IMPLANTATION DES CANAUX DECOUVERTS .......................................................................................................... 62
IX.5.1 Choix de la forme de la section .................................................................................................................... 62
IX.5.2 Pente des berges ........................................................................................................................................... 62
IX.5.3 Vitesse moyenne ........................................................................................................................................... 63
IX.5.4 Revêtements .................................................................................................................................................. 63
X. NOTION D'ÉNERGIE SPÉCIFIQUE .................................................................................................................... 64
X.1 DÉFINITION DE L'ÉNERGIE SPÉCIFIQUE ...................................................................................................... 64
X.2 REPRÉSENTATION DE L'ÉNERGIE SPÉCIFIQUE ......................................................................................... 64
X.2.1 Courbe des débits .......................................................................................................................................... 64
X.2.2 Courbe des énergies spécifiques .................................................................................................................... 65
X.2.3 Représentation globale .................................................................................................................................. 65
X.3 DÉFINITION DU RÉGIME CRITIQUE .............................................................................................................. 65
X.3.1 Profondeur critique ....................................................................................................................................... 65
X.3.2 Éléments critiques ......................................................................................................................................... 65
X.3.3 Régime critique .............................................................................................................................................. 65
X.4 FORMULES DU RÉGIME CRITIQUE ............................................................................................................... 66
X.4.1 Section de forme quelconque ......................................................................................................................... 66
X.4.2 Canal rectangulaire ....................................................................................................................................... 67
X.5 CALCUL DES PROFONDEURS CRITIQUES ET DES PROFONDEURS CORRESPONDANTES ................ 67
X.5.1 Canal rectangulaire ....................................................................................................................................... 67
Eléments d’hydraulique générale
X.5.2 Canal quelconque .......................................................................................................................................... 67
XI. ÉNERGIE SPÉCIFIQUE LE LONG D'UN COURANT ..................................................................................... 68
XI.1 ÉTUDE DES COURANTS À L'AIDE DE LA COURBE E ................................................................................ 68
XI.1.1 Canal de section uniforme ............................................................................................................................ 68
XI.1.2 Canal de section non uniforme ..................................................................................................................... 69
XI.2 PENTE CRITIQUE D'UN CANAL ..................................................................................................................... 69
XI.3 CLASSIFICATION DES MOUVEMENTS ..................................................................................................................... 70
Eléments d’hydraulique générale
I. RAPPELS DE STATIQUE DES FLUIDES
La matière peut se présenter sous différents états en fonction de la façon dont ils peuvent se déformer. On
distingue principalement les solides des fluides, eux-mêmes subdivisés en liquides et gaz.
En première approximation, les solides sont des corps non-déformables, ils ont une forme propre et résistent à la
traction et à la compression. Les liquides n'ont pas de forme propre, ils prennent la forme du contenant et sont donc
éminemment déformables. La distinction entre liquides et gaz tient en leur compressibilité. Les liquides ont un volume
donné, alors que les gaz occupent tout le volume qui leur est offert.
I.1 PROPRIETES GENERALES DES LIQUIDES
I.1.1 Notion de contrainte
Prenons un élément cubique de matière,
infiniment petit ; à un instant donné il s'exerce des
forces sur les différents éléments de surface.
Sur l'élément de surface dx dy s'exerce une force
:
dF . On appellera contrainte


dF
dF

ds dx dy
dF = dF
ds dx dy
Une contrainte est donc une force (en grandeur
et direction) par unité de surface. Cette contrainte
comprend une composante  normale à la surface et
une composante tangentielle.
A la différence des solides, les liquides ne supportent pas de composantes tangentielles des contraintes au
repos.
I.1.2 Homogénéité et isotropie
En première approximation, on pourra admettre que les fluides sont homogènes, c'est à dire qu'ils présentent
pour nous les mêmes caractéristiques mécaniques en tout point. De même ils sont isotropes et leurs propriétés
mécaniques sont les mêmes dans toutes les directions.
I.1.3 Compressibilité et viscosité
La masse volumique  d'un liquide est sensiblement une constante (pour l'eau, elle ne varie quasiment pas
avec la pression et très peu avec la température). Comme on le verra plus loin, la viscosité traduit le fait qu'il existe des
forces résistantes aux déplacements dans un fluide. Lorsque l'on s'intéresse à la statique, l'absence de mouvement fait
que tous les fluides peuvent être considérés comme parfaits, c'est à dire sans viscosité.
I.2 NOTIONS DE PRESSION
I.2.1 Définition
Nous avons vu qu'un fluide ne supportait pas de contraintes tangentielles  au repos.
n ext
La seule contrainte  est donc normale à l'élément
de surface ds = dx dy, et on peut la caractériser par une
valeur algébrique P que l'on appellera pression sur
l'élément de surface ds.
dF
z
ds
dz
Soit next le vecteur unitaire perpendiculaire à ds
et orienté vers l'extérieur de l'élément de fluide, on
appellera par convention force de pression exercée sur
l'élément de surface ds, le vecteur dF tel que :
dF = - P ds next
0
dy
dx
y
x
Eléments d’hydraulique générale -1-
I.2.2 Equations générales de la statique
Reprenons un élément cubique de fluide infiniment petit ; cet élément étant au repos la résultante des forces qui
s'exercent sur lui est donc nulle. Ces forces sont de deux natures : des forces extérieures (de volume) et des forces de
pression. Soit F la force extérieure par unité de masse du fluide, les forces extérieures se ramènent à :
 F dx dy dz =
 X dx dy dz
 Y dx dy dz
 Z dx dy dz
Les forces de pression sont normales aux six faces de ce cube, ainsi en projection sur oy les forces de pression
sont P dx dy sur la face ADHE et

P 
 P 
dy dx dz sur la face BCGF.
y 

La somme algébrique des forces de pression sur oy est donc :
P dx dz -

P 
P
 P 
dy dx dz = dy dx dz
y 
y

Il en serait de même sur les deux autres axes. La résultante des forces s'exerçant sur cet élément de fluide est
nulle et on a donc :

0=

P
dx dy dz = 0
x
P
 Y dx dy dz dx dy dz = 0
y
P
dx dy dz = 0
 Z dx dy dz z
 X dx dy dz -
Soit encore :
I.2.3 Fluides soumis à la seule action de la pesanteur
Les forces extérieures sont donc exclusivement le poids et on a alors :
P
dx dy dz = 0
x
P
d'où l'on tire :0 =  ===>
dx dy dz = 0
y
P
dx dy dz = 0
-  g dx dy dz z
-
0
 F dx dy dz = 
-  g dx dy dz
 1
F  grad P

P
=0
x
P
=0
y
P
+ g = 0
z
La pression P ne dépend donc que de z et l'on a la relation :
P +  g z = Cte
Il en résulte que les courbes à pression constante sont des horizontales. Une autre façon de le dire revient à

admettre que les pressions sont les mêmes en deux points au même niveau dans un même fluide. Le terme P + gz = P

est appelé pression piézométrique, ou encore pression étoilée. Le terme P /g = P/g + z , homogène à une longueur,
est appelé hauteur piézométrique.
L’argent ne fait pas le bonheur de celui qui m’en a prêté….
Eléments d’hydraulique générale -2-
I.2.4 Différentes échelles de pression
La pression P est donc une grandeur essentiellement positive (nulle à la limite ce qui correspondrait au vide
absolu) qui représente une force par unité de surface. Dans le système S.I. les pressions s'exprimeront donc en newton
par mètre carré, unité appelée pascal et notée Pa.
Cette unité est très petite puisque la pression atmosphérique normale Pat est de 1,013 10 5 Pa. On utilise
fréquemment aussi le bar et surtout son sous-multiple le millibar (1 bar = 105 pascal, 1 millibar = 1 hecto pascal = 100
pascal). Dans la pratique courante de l'hydraulique il est fréquent encore d'exprimer les pressions en hauteur de fluide
P/g et donc généralement en mètre d'eau ( 1 m. d'eau à 4° = 1,02 104 pascal). En première approximation on pourra
donc admettre que la pression atmosphérique est de 10 m. d'eau.
Nous avons vu que l'équation fondamentale de la statique était P + gz = Cte. Cette constante dépend du niveau
de référence pris pour les mesures de z. Dans la mesure où l'on travaille le plus souvent sur des liquides
incompressibles, il est possible également de changer le zéro des pressions. Comme la surface des fluides est très
souvent au niveau de la pression atmosphérique, on travaillera le plus souvent en pression relative :
pression relative = pression absolue - pression atmosphérique
Ceci est si fréquent que sous le vocable pression on sous-entend en hydraulique pression relative et que l'on
précise alors pression absolue lorsque l'on veut parler de la "vraie" pression. Les pressions relatives évolueront donc de
- 1,013 105 Pa à l'infini. Une pression négative signifie alors que l'on est en dépression par rapport à Patm.
pascal
Pression
atmosphérique
Pression absolue
Pression relative
millibar m. d'eau pascal
millibar m. d'eau
5
1,013 10 pa 1013 mb 10 m
0
0
-1,013 10 pa -1013 mb -10 m
0
0
0
0
5
Quand on dit « fermez la porte, il fait froid dehors », il n’en fait pas moins froid dehors quand la porte est fermée….
Eléments d’hydraulique générale -3-
II. RAPPELS D'HYDRODYNAMIQUE
L'hydrodynamique a pour but d'étudier les mouvements des liquides en fonction des forces qui leur donnent
naissance. Parmi ces forces, celles de viscosité n'interviennent que pour les fluides réels. Cette remarque conduit à faire
donc la distinction entre les liquides réels et les liquides parfaits.
Dans tout ce qui suit, nous travaillerons en variable d'Euler, c'est-à-dire que nous étudierons en chaque point de
l'écoulement la vitesse et la pression du fluide en fonction du temps.
II.1 DYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS
II.1.1 Equations générales du mouvement : équations d'Euler
Les différentes forces qui agissent sur un élément de fluide en mouvement se ramènent à :
- des forces extérieures (forces de volume) ;
- des forces de pression (forces de surface) ;
- des forces d'inertie.
Cet ensemble de forces satisfait à l'équation générale de la mécanique :
F =m
c'est-à-dire, si X, Y, Z sont les composantes, suivant les trois axes, de la force de volume

1 P
x = X  x
1 P
y = Y  y
1 P
z = Z  z

F par unité de masse :
 = F - 1 grad P

L'équilibre suivant l'axe des y d'un élément de volume parallélépipédique s'établit ainsi :
- force extérieure :
y
z
Y  dx dy dz
- force de pression :

dx dz - [P +
P
dy] dx dz
y
P
P +  P/ y dy
Y
dz
- force d'inertie :
y  dx dy dz
dy
dx
y
x

f = m   y  dx dy dz = Y  dx dy dz -
y  Y 
Soit
particule.
P
dx dy dz
y
1 P
 y
V la vitesse d'une particule fluide ; ses composantes u, v, w dépendent du temps et de la position de la
On a donc :
u = f1 (x,y,z,t)
V = v = f2 (x,y,z,t)
w = f3 (x,y,z,t)
Aussi haut que monte un chemin, ce n’est qu’un chemin qui descend en sens inverse et réciproquement….
Eléments d’hydraulique générale -4-




2
x
x = d 2 =
du et u = dx
dt
dt
dt
u dx u dy u dz u
x =
+
+
+
x dt y dt z dt t
On aurait des formulations analogues suivant les autres axes, ce qui donne la relation :

u
u
u
u
 g x  t  u x  v y  w z

v
v
v
v w
 g y   u  v  w
w

t
x
y
z z

w
w
w
g z 
u
v

t
x
y

... soit sous forme vectorielle :
V
 = dV = Ž + 1 grad V2 + rot V V
t 2
dt
En effet :
u
v
+v
+w
x
x
u
v
u
+v
+w
y
y
u
v
u
+v
+w
z
z
u
1 grad V2
2
rot V
w
y
u
z
v
x
v
z
w
x
u
y
w
x
w
et
y
w
z
u
V
v
w
u
u
w
v
-w
-v
+v
z
x
x
y
u
w
v
v
u
-u
-w
+w
x
z
y
y
w
u
w
v
v
-v
-u
+u
z
x
z
y
w
rot V V
II.1.2 Equation de continuité
Cette équation traduit la conservation de la masse. Durant un instant dt, l'augmentation de la masse du
parallélépipède élémentaire est :
 ( rdxdydz)

dt =
dx dy dz dt
t
t
Le volume entrant par les six faces associées deux par deux est :
 u
dx] dy dz dt =
x
v
v dz dx dt - [v +
dy] dz dx dt =
y
 w
w dx dy dt - [w +
dz] dx dy dt =
z
u dy dz dt - [u +

 u
dx dy dz dt
x
v
dx dy dz dt
y
 w
dx dy dz dt
z
-
Soit qv le débit par unité de volume des puits ou sources situés dans l'élément de volume (q v> 0 pour une source
et qv < 0 pour un puits), l'équation de continuité se met alors sous la forme :
 u v w
+
+
+
=   qv
t
z
x
y
Eléments d’hydraulique générale -5-
Soit encore :
Dans le cas où
div


+ div  V =   qv
t
 qv = 0, on dira que l'écoulement est conservatif et si de plus le liquide est incompressible :
V = 0.
II.1.3 Equation caractéristique du fluide
Cette équation traduit les caractéristiques physiques du fluide : f (P, , T) = 0
Pour les fluides supposés incompressibles, l'équation s'écrit :  = Cte
II.1.4 Equations intrinsèques
Ce sont les équations du mouvement le long de la trajectoire. Pour les obtenir, on projette l'équation d'Euler
=
F-
1


grad P sur la direction du vecteur vitesse et sur sa normale :
Trajectoire
V + V
C
O
s

M
M'
I
V + V
Vn
Vs
Vs Vs ds Vs
Vs


 Vs
dV
t
s dt
t
s
=

Vn

Vn

s

Vn

Vn
dt gn 


 Vs
t
s t
t
s
Or :

V = Vs
V
gs 
V
Soit R le rayon de courbure de la trajectoire en M et s
l'abscisse curviligne de M, le vecteur F le long d'une
trajectoire est fonction de s et du temps t ; on a donc
suivant les deux directions définies plus haut :
Vn Vs
=
(voir hodographe)
R
s
Vs
Vs
 Vs
s
 t
Vn Vs 2

t
R
Les projections de l'équation d'Euler s'écrivent donc si
N
F|T :
Vs
Vs
r

s
t
  =  F - grad P
V 2 s rVn
P

 N 
R
t
n
Vs
(dans cette expression V est égal à Vs)
Eléments d’hydraulique générale -6-
II.2 RELATIONS DE BERNOULLI
II.2.1 Première formulation
Nous reprenons les équations intrinsèques en faisant l'hypothèse que nous avons un fluide parfait en
écoulement permanent, rotationnel ou non. L'écoulement étant permanent, les dérivées partielles, par rapport au
temps, sont nulles.

= 0 
t
V
P
 T 
s
s
V 2
P
 N 
R
s
V
Supposons de plus que les forces dérivent d'un potentiel, nous avons alors :
F = - grad U  T = -
U
u
, N=s
n
Le plus souvent, les forces de volume se réduisent aux forces de pesanteur ; on a : U = gh, d'où :

 V
 (P  gh ) V 2  (P  gh )

,

V
s

R
s

Le long d'une ligne de courant (confondue avec la trajectoire en régime permanent), on peut intégrer
l'expression...
V
... sous la forme :

V  ( P  gh)
s
s
V2
P  gh 

ds  Cte
2
s
Ce qui donne le long d'une ligne de courant :
2
V + h + P = Cte
g
2g
... et entre deux points d'une même ligne de courant :
2
V 1 + h + P1 = V22 + h + P2
1
2
g
g
2g
2g
II.2.2 Deuxième formulation
Les équations d'Euler peuvent se mettre sous la forme vectorielle :
V 1
dV
=
+ grad V2 + rotV  V
dt
t 2
En supposant le fluide incompressible et l'écoulement permanent et irrotationnel, on a :
rotV = 0

et

=0
t
dV 1
= grad V2
dt 2
Par ailleurs, les forces dérivant d'un potentiel U = gh, on a :
dV
=  F - grad P
dt
dV

= - grad ( P  gh)
dt

Ce qui donne, en combinant avec l'expression précédente...

2
grad V2 = - grad ( P  gh)
Eléments d’hydraulique générale -7-
... et en intégrant dans tout le domaine de l'écoulement :
2
V + h + P = Cte
g
2g
La pensée est à l’homme ce que la bière est à la pression….
Eléments d’hydraulique générale -8-
II.2.3 Représentation géométrique et interprétation énergétique du théorème de Bernoulli
En chaque point A du filet liquide MN, on a la relation :
2
P + z + V = Cte
g
2g
Si, à partir d'un plan horizontal de référence
HH', on porte la cote z du point A considérer, le lieu des
points A est la trajectoire (ou ligne de courant en
régime permanent). Au-dessus de A, on porte le
segment AB représentant la hauteur de fluide
correspondant à la pression : AB = P/g ; le lieu des
points B correspond à la ligne des niveaux
piézométriques. Enfin, le segment BC représentera la
hauteur correspondant à la vitesse : BC = V2/2g. Le
lieu des points C est situé dans un plan horizontal et est
appelé "ligne d'énergie".
Ligne d'énergie
nivea u
piéz om
étrique
tra je
ctoir
e
C
V2 / 2g
B
P/g
A
P*/g
2
z + V / 2g+ P/g
= Cte
z
H
H'
plan horizontal de référence
En écrivant le théorème de Bernoulli sous la forme suivante :
2
V + P + gz = Cte
2

On remarque, que le terme V2/2 représente l'énergie cinétique par unité de masse du fluide, les termes P/ et gz
représentent l'énergie due à la pression et à la position. La constante représente donc bien l'énergie mécanique totale par
unité de masse de fluide :
2
V + P + gz = E
2

Le théorème de Bernoulli traduit donc la conservation de l'énergie mécanique le long d'une ligne de
courant ou dans tout le fluide si le mouvement est irrotationnel.
Dans le cas particulier où, entre un point 1 et un point 2, le fluide traverse une machine hydraulique, on a la
relation :
2
V 1 + P1 + gz = V 22 + P2 + gz + E
1
2
2


2
... E représentant l'énergie absorbée par la machine et par unité de masse du fluide.
V1
P1
z1
machine
hydraulique
V2
P2
z2
E > 0  turbine
E < 0  pompe
E
II.3 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES REELS
II.3.1 Rappels sur la viscosité : formule de Newton
On montre que la force de frottement dF qui s'exerce sur l'élément de surface d, séparant deux couches de
liquide animées des vitesses V et V + dV, est donnée par la relation :
dF = - µ dV
d
dn
Le coefficient µ de dimensions [M L-1 T-1] est caractéristique de la viscosité dynamique du fluide (Unité SI :
décapoïse). Eau à 20º C : µ = 10-3 décapoïse.
On peut définir également un coefficient de viscosité cinématique  tel que :
 = eau à 20º C :  = 10-6 myriastokes - eau à 10º C :  = 1,3 10-6 myriastokes

1,8 10-6
1 + 0,0368  + 0,000221 
2
( température de l'eau en °C)
Eléments d’hydraulique générale -9-
II.3.2 Equations de Lamé
Les équations de Lamé donnent les éléments de la matrice des composantes du tenseur des contraintes :
x xy
yx y
zx zyy
xz
yz
z
Les composantes tangentielles sont proportionnelles aux vitesses de déformation angulaire
w v
+
)
y z
u w
xz = -  (  +  )
z
x
v u
xy = -  (  +  )
x
y
yz = -  (
Les composantes normales sont des fonctions des vitesses de déformation linéaire :
u
 hq
x
v
y  2µ  hq
y
w
z  2µ
 hq
z
x  2µ
représentant la dilatation cubique si le fluide est incompressible :
=
u v w
+
+
= div ( V ) = 0
x y z
u
x
v
 y  2µ
y
w
 z  2µ
z
 x  2µ
II.3.3 Equations de Navier-Stokes
Ces équations sont obtenues, comme pour les équations d'Euler, en écrivant l'équilibre des forces agissant sur
un élément de fluide. Aux forces extérieures, aux forces de pression et aux forces d'inertie s'ajoutent, donc des forces de
viscosité qui ont pour expression en projection sur l'axe ox :
z
xz
yz
dz
y
yx
face
perpendiculaire 0
à oy
dy
dx
xy
face
x
perpendiculaire
à ox
y
z
face
x
Fµox = [x-x -
zx
zy perpendiculaire
à oz
yx
zx
 x
dx] dy dz + [yx - yx dy] dx dz + [zx-zx dz] dx dy
z
x
y
Eléments d’hydraulique générale -10-
Etre dur de la feuille n’empêche pas d’être mou de la branche et réciproquement….
Fµox = - [
x yx zx
+
+
] dx dy dz
z
x
y
Ce qui donne en remplaçant par les valeurs de  et de  :
 2U
  v u
 u w
Fox
=2µ
+µ
[
+
]+µ
[
+
]
2
dx dy dz
x z x
 y  x y
x
 2u  2u  2u
 u  v  v
Fox
=µ[
+
]+µ
[
+
+
]
2
2
2
dx dy dz
 x y z
y z
x
-
Or :
 2u  2u  2u
u v w
+
+
= u ;
+
+
= div ( V ) = 0
2
2
2
x y z
y
x
z
Fµox = - µ  u dx dy dz
On trouverait de même sur les autres axes :
Fµox = - µ
Fµox = - µ
Enfin, en posant  =
 v dx dy dz
 w dx dy dz

, les équations de Navier-Stokes s'écrivent :


 1 r
 X   x  nu



x

 1 r  Y    nv
y
  y
 1 r

 Z   z  nw
  z
Soit sous forme vectorielle :

  1
  F  grad P  V

II.3.4 Extension du théorème de Bernoulli au cas des fluides réels
En appliquant les équations de Navier-Stokes en
plan de charge
projection sur la trajectoire d'une particule fluide, on
Ligne d'é
démontre qu'en régime permanent, les équations du
J
ne rgie
mouvement du fluide incompressible, mais visqueux et
soumis aux seules forces de la pesanteur sont telles
nivea u
2
piéz om
étrique V / 2g
que :
tra je
ctoir
P V2 
e
z+
+
 (  u dx +  v dy +  w dz) =
P/g
g 2 g g
Cte = H
H
P*/g
Le dernier terme :
z
H
J=H'

 (  u dx +  v dy + 
g
dz) homogène à une
longueur, sera appelé perte de charge.
plan horizontal de référence
Eléments d’hydraulique générale -11-
L’homme descend du singe, mais quand on voit ma gueule on se doute que certains ont pu rater des branches
II.4 THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT
Ce théorème, également appelé théorème d'Euler, s'applique aussi bien aux fluides réels qu'aux fluides parfaits.
Il présente l'avantage de s'appliquer à des volumes fluides de dimensions finies sans qu'il soit nécessaire de connaître les
champs de vitesse et de contrainte à l'intérieur du domaine.
On appelle impulsion ou quantité de mouvement d'une masse ponctuelle m, le produit m V de sa masse
par sa vitesse :
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
F
mu
mV= mv
mw
=m
 =d[
mV
]
dt
La résultante des forces extérieures est donc égale à la dérivée par rapport au temps de l'impulsion.
On applique alors ce principe à un tube de
B
B'
P1
courant dans un écoulement permanent d'un fluide
incompressible :
A

V1
A'
C
C'
P2
D
F dt = d (  m V )
Le tube de courant est supposé suffisamment fin pour
que les quantités P et F puissent être considérées
comme constantes dans une section.
Durant l'instant dt, le fluide est venu en A'B'C'D'
mais le régime étant permanent, la quantité de
mouvement de l'élément A'B'CD n'a pas changé.
V2
D'
Soit q le débit en masse du tube de courant considéré, les masses des éléments ABB'A' et CDD'C' sont égales à
qdt. La variation de quantité de mouvement durant l'intervalle de temps dt est donc :
d

 mV   q dt V
2

 V 1   m F dt
F représente la résultante des forces extérieures qui sont :
- les forces de pression sur les parois et sur les bases du tube ;
- les forces de volume telles que la pesanteur ;
- les forces de parois exercées sur le fluide par les surfaces
solides.
On peut généraliser ce théorème à une surface quelconque :
Le débit masse sortant par dS par unité de temps est :
dq =  ds Vn
Le débit de mouvement est :
dq V =  dS Vn
Le théorème d'Euler s'écrit alors :
Domaine S
dS
Vn
V
 F    ds VnV
V
s
II.5 APPLICATIONS DU THEOREME DE BERNOULLI
II.5.1 Pression dans une conduite : tubes piézométriques
La répartition des pressions est hydrostatique le long d'une ligne normale aux lignes de l'écoulement. Aussi, dans
une section droite S d'une canalisation, nous avons :
P+gh = Cte = P*
La quantité P*/g peut être mesurée à l'aide d'un tube piézométrique. Le tube communique avec la canalisation
par une ouverture parallèle à l'écoulement, appelée prise de pression statique.
Eléments d’hydraulique générale -12-
Dieu a dit « aux innocents les mains pleines » mais il n’a pas précisé de quoi….
La quantité P +  gh demeure constante dans la
section S ; il en est de même à l'intérieur du tube
piézométrique quelle que soit sa forme. Au voisinage
de la prise de pression, il se produit une discontinuité
des vitesses mais on peut faire l'hypothèse que P ne
subit pas de discontinuité, la cote z étant la même de
S
part et d'autre de la prise de pression ; la quantité P + 
gh est la même dans toute la section S et dans tout tube
piézométrique débouchant dans cette section.
P*
g
II.5.2 Pression en un point d'arrêt : tube de Pitot
Si un obstacle est interposé dans l'écoulement du
fluide, il existe une ligne de courant qui s'arrête le long
de cet obstacle. Le point où s'arrête la ligne de courant
est appelé point d'arrêt. La vitesse y est nulle.
En appliquant le théorème de Bernoulli le long
de la ligne de courant AB, on a :
2
V
2g
P *B
g
2
PB
P
+ hB + V = A + hA
2g
g
g
2
P*A P*B V
=
+
2g
g
g
*
PA
g
Cette remarque a été appliquée dans la
réalisation du tube de Pitot qui permet de mesurer les
vitesses. L'appareil comporte une portion allongée que
l'on oriente parallèlement à l'écoulement. A l'extrémité
de celle-ci se trouve une prise de pression totale (A est
un point d'arrêt). Le long de cette partie se trouve
également une prise de pression statique (S). Les deux
prises sont reliées à deux tubes piézométriques ou à un
manomètre différentiel.
A
V
B
de c
ligne
t
oura n
Plan de référence
La différence de lecture H représente le terme
2
V d'où : V =
2g
2gH
II.5.3 Ajutage de Venturi
Un Venturi est composé d'un élément conique convergent, suivi d'un court élément cylindrique (le col) puis d'un
divergent. Deux tubes piézométriques correspondent avec des prises de pression statique situées à l'amont du
convergent et au col.
A tout chose égale par ailleurs, il vaut mieux s’enfoncer dans la nuit qu’un clou dans la fesse
Eléments d’hydraulique générale -13-
gauche ou droite selon les circonstances,…. poils aux circonstances !
Soit S la section en amont et s la section au col ;
le théorème de Bernoulli appliqué entre ces deux
H
P*
sections s'écrit :
1
2
2
g
P1 + h + V1 = P2 + h + V2
1
2
1
g
rge
er g
ent
s
g
2g
2
P1* + V1 = P2 * + V2
g
g
2g
2g
L'égalité des débits entre les deux sections se
traduit par la relation :
div
con
ve
S
2g
2
P*
2
g
col
nt
2
q = V 1 S = V2 s
2
2
Q (S2  S2)
  H = P1*  P2* = V2  V1 =
g
2g
2g S2 s2
2
Q=
En posant
Ss
2 gH
S  s2
2
s = [ d ]2 = m, on obtient :
S
D
Q=
s
2 gH
1  m2
II.6 APPLICATION DU THEOREME D'EULER
II.6.1 Action d'un fluide sur un coude de conduite
Soit un coude de conduite horizontale compris entre deux sections S 1 et S2 identiques ; nous appliquons à cet
élément le théorème d'Euler.
Par raison de symétrie R est orientée sur la bissectrice
de l'angle du coude.
La projection des forces sur l'axe oy est :
0:
0:
- P2 S2 sin 
+ PQV2 sin 
pression sur S1,
flux à travers S1,
pression sur S2,
quantité de mouvement
à travers S2,
R cos:action des parois sur le fluide.
S1
P1
QV 1

/2
y
R
S2
P2
QV 2

V Rcos  - P2S2 sin  =  QV2 sin R cos  = ( QV2 + P2S2) sin 
F = Q
2
2
R = 2 ( QV + PS) sin 
2
La poussée exercée par le fluide sur le coude est - R .
Eléments d’hydraulique générale -14-
Il ne faut pas donner avec ostentation, mais ne rien donner avec discrétion n’est pas mieux….
II.6.2 Ecoulement dans un élargissement brusque
Soit une conduite cylindrique de section s
débouchant dans une autre conduite de section S. A
B
C
la sortie de la section s, il se forme un jet qui ne
recolle pas immédiatement aux parois de la section
A
P
2
D
élargie. Il se forme alors une zone morte où on
d P1
observe un mouvement tourbillonnaire intense.
s V1
A'
S
V2 Entre la section s et la section S, distance d'environ
20 D, on observe une perte de charge H que l'on va
B'
C'
essayer de calculer.
2
2
2
2
 H = [ P1* + V1 ] - [ P2 * + V2 ] = V1  V2 + P1*  P2*
g
g
g
2g
2g
2g
L'action de la paroi sur le fluide est obtenue par application du théorème d'Euler au volume ABC C'B'A'.
V2 2  S - V 1 2  s = P 1 * s - P 2 * S + R
Débit de mouvement
Forces extérieures
R est l'action de la paroi sur le fluide, mais si on admet que P* est constant suivant BAA'B', on sait alors que :
R = (S - s) P1* d'où :
V2 2 S - V 1 2 s =
S(P1*  P2*)
; V1 s = V 2 S

P1*  P2* = V2 - V1 V2
g
g
g
2
2
2
2
2
2
 H = V1  V2 + P1*  P2* = V1  V2  2V2  2V1
g
2g
2g
2
2
[V1 - V2]
H=
2g
Un très vieux proverbe chinois dit « rien ne sert de pisser si on n’en a pas envie », un très très vieux proverbe
Eléments d’hydraulique générale -15-
chinois, bien plus ancien que le précédent dit … je ne sais plus quoi, tellement il est ancien !
III. REGIMES D'ECOULEMENT
L'écoulement d'un fluide, peut se produire de deux façons différentes, selon les conditions locales de vitesse. En
effet, depuis très longtemps, on a observé qu'à faible vitesse, l'écoulement se faisait de telle façon qu’en régime
permanent, les lignes de courant sont stables et ne se mélangent pas. Dans cet écoulement, appelé laminaire, les
couches fluides glissent les unes sur les autres et il n'y a pas de transfert de particules d'un filet fluide à un autre.
Par ailleurs, lorsque la vitesse croît, les filets fluides paraissent osciller et vibrer, puis ils perdent leur identité
propre. Dans ce régime, appelé turbulent, les particules oscillent rapidement autour de leur trajectoire.
III.1 NOMBRE DE REYNOLDS
III.1.1 Définition
Le passage d'un régime à l'autre dépend de la valeur d'un paramètre adimensionnel, le nombre de Reynolds.
Re =
VD

où
V est une vitesse caractéristique de l'écoulement,
D est une des dimensions géométriques,
et
 est le coefficient de viscosité cinématique du fluide.
Par exemple, dans le cas de l'écoulement dans une conduite circulaire, si on prend pour valeur de V la vitesse moyenne
du fluide [ V =
Q
] et pour D la valeur du diamètre de la conduite, le nombre critique de Reynolds est de 2000.
S
Si Re
<
2000
Régime laminaire
Si Re >>
2000
Régime turbulent
Une autre façon de présenter la condition pour que le régime soit laminaire est de poser :
V < 2000
 = Vc
D
,
Vc étant appelé vitesse critique.
Pour le cas d'une conduite de 10 cm de diamètre transportant de l'eau à 20º C, on a :
6
Vc = 2000 10 = 2.10-2 m/s
0,1
On voit alors que dans la plupart des problèmes pratiques d'hydraulique, on aura affaire au régime turbulent
(exception importante pour l'hydraulique souterraine).
 = 10-6 maSk 
D = 0,1m
III.1.2 Signification physique du nombre de Reynolds
Les principales forces qui interviennent en hydraulique sont les forces d'inertie, de turbulence, de pesanteur, de
viscosité et de capillarité.
Lors de l'établissement des formules de Navier-Stokes, les forces d'inertie avaient pour composantes :
du =  u u + .....
dt
x
2
Ces forces étaient donc proportionnelles à  V .
D
 2U
Les forces de viscosité avaient pour composantes...
µ
+ ...
x 2
... elles étaient donc proportionnelles à µ V2 .
D
=
On montre alors que...

 V

2
proportionnel aux forces d'inertie
D
V
µ 2 proportionnel aux forces de viscosité
D
2
... et on a :
V
D =  V D = V D = Re
D


Le nombre de Reynolds est donc une quantité proportionnelle au rapport des forces d'inertie aux forces de
viscosité.
Eléments d’hydraulique générale -16-
III.2 REGIME LAMINAIRE
III.2.1 Conditions d'existence
Comme on l'a vu précédemment, le régime laminaire existe pour de faibles valeurs du nombre de Reynolds,
c'est-à-dire :
- si le fluide est très visqueux ;
- si les vitesses sont lentes ;
- si les dimensions sont faibles.
Ces conditions sont peu fréquentes dans l'hydraulique classique et on ne les rencontre guère que dans les
domaines de la lubrification, et des écoulements en milieux poreux.
III.2.2 Ecoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique
Soit un tube rectiligne de section circulaire constante de rayon r ; le fluide s'y déplace en régime laminaire et
permanent. Dans ces conditions, le mouvement est uniforme, l'écoulement reste le même dans tous les plans passant
par l'axe du tube. Nous étudierons cet écoulement dans le plan vertical passant par l'axe du tube.
Soit  l'angle de la verticale avec l'axe du tube ;
l'équilibre du cylindre de rayon y entre les sections S1 et S2
s'écrit en projection sur l'axe du tube :
- le poids est :
-  g  y2 l cos  = -  g  y2 (z2 - z1)
- la résultante des pressions est : (P1 - P2)
 y2
- la réaction sur la surface latérale est :
-  2  y l = µ du 2
dy
 yl
L'équilibre de ces forces permet d'écrire :
g
 y2 (z2 - z1) + µ du
dy
- du =
dy
2
 y l + (P1 - P2)  y2 = 0
 gy
y
(z - z ) + (P1 - P2)
2l 2 1
2l
P*1 = P1 +  gz1 et P*2 = P2 +  gz2
y
(P*1 – P*2)
2l
P*1 - P*2
- du =
y dy
2l
P*1 - P*2 2 te
-u=
y +C
4l
Or, comme condition à la limite, on a : r = y  U = 0
P*1 - P*2 2 2
U=
(r + y )
4l
- du =
dy
La vitesse croît donc selon un rayon de façon parabolique ; le débit s'obtient en intégrant la vitesse sur toute la
surface :
r
Q=

2  y dy U
o
r
Q=

o
2 y
P*1 - P*2 2 2
(r + y ) dy
4l
Q=
Soit V la vitesse moyenne :
V=
 r 4 P*1  P*2
8
l
Q P*1  P*2 r 2
=
S
l
8
Eléments d’hydraulique générale -17-
P*1 - P*2 2
r =2V
4l
P*1 - P*2
Le régime étant permanent, les vitesses en S1 et S2 sont les mêmes et
représente la perte de charge entre
g
Soit Vm la vitesse maximale :
Vm =
ces deux sections :
En posant j = Error!
P*1 - P*2
=jl
g
P*1 - P*2
j=
g l
P*1 - P*2 8V
2gD P*1 - P*2
=
Or :
=
2
2
l
g l
V
r
8V
 = 2D2
r= D
2
2
V
r
64
l = 64
l=
= 64
VD
VD
Re

 = 64
Re
III.2.3 Ecoulement entre deux plans parallèles. Analogie Hele-Shaw
Soit un écoulement laminaire permanent d'un fluide incompressible entre deux plaques planes et parallèles.
L'équation de Navier-Stokes s'écrit :
y
1

grad P  F 
dV
 V
dt
o
Dans le système d'axe choisi : F  -g
o
e
x
1 P
= - du +   u
dt
 x
1 P
= - g - dv +   v
dt
 y
1 P
= - dw +   w
dt
 z
z
La vitesse demeurant parallèle aux plaques, w est nul et l'équation de continuité qui s'écrivait...
div 
... se ramène à :
V = 0 ;  = Cte  div V = 0 =
u v w
+
+
x y z
u  v
+
=0
x  y
En régime permanent :
u  v
=
=0
t  t
d'où :
u
u
 du

u

v
 dt
x
y
 dv
v
v
 u v
 dt
x
y
Eléments d’hydraulique générale -18-
A titre de renseignement pharmaceutique utile, il est signalé que c’est la pharmacie Lopez
qui sera de garde dimanche prochain à Santiago du Chili….
En faisant apparaître la pression étoilée = P* = P*1 +  gy1, les équations s'écrivent :
1

grad P*  
dV
 V
dt
Cet écoulement laminaire se faisant à faible vitesse et avec une faible courbure des filets liquides, on peut
négliger les forces d'inertie devant les forces de viscosité, d'où l'équation :
1

grad P*  V
 P *
 2u  2u  2u

µ
[
 2  2]

2

x

x
y
z

2
2
 v  v  2v
 P *

µ
[


]

x 2 y 2 z 2
 y
2w 2w 2w
 P *

µ
[


]
 z
x 2 y 2 z 2

Or, les filets fluides étant peu courbés, la vitesse varie beaucoup plus vite dans la direction Oz que dans les deux
 2u  2u
 2v  2v
autres. Il en résulte que...
+
et
+
z 2 y 2
x 2 y 2
 2u  2v
... sont négligeables devant :
et
 z 2 z 2
Comme par ailleurs w = 0, les équations de Navier-Stokes se ramènent à :
 P *
 2u

µ

z 2
 ?x
 2v
 P *
µ 2

z
 y

P
*

 z  0
Cet écoulement satisfait l'équation de Laplace. En effet, on a :
u  v
+
=0
x  y
 2u
 2v

[
]

[
]
2
2
2P *
2P *

z

z
=µ
; 
=µ
y
? y2
x 2
x
 P*  P*
+
= µ
x 2
y 2
2
2
2[
u v
 ]
x y
= 0 =  P*
z 2
Si on intègre deux fois par rapport à z :
 2 u 1 P *
=
[
]
z 2   x
u 1 P *
=
z + C (x,y)
z µ x
1 P * 2
u=
z + C (x,y) z + D (x,y)
2µ x
La distribution des vitesses étant symétrique : C (x,y) = 0
Eléments d’hydraulique générale -19-
Contrairement à ce qui a été signalé ce n’est pas la pharmacie Lopez
mais la pharmacie Gomez, qui sera de garde dimanche prochain à Santiago du Chili….
1 P * 2
z  D( x , y )
2µ x
1 P * 2
V v
z  G ( x , y)
2µ y
w0
u
Pour z = ±
e , u = v = 0 et pour z = 0, u = u max, v = v max
2
2

1  P *  e 
u
max



 

2µ  x  2 


2
v max   1  P *  e 

2µ  y  2 
e / 22  z 2
e / 22
2

e / 2  z 2
v  v max 
e / 22
u  u max 
V
w0
Les vitesses moyennes s'obtiennent alors en faisant :
Umoy 
e
2
1
U  xyzdz
e e

2
2  P * 
e
2
2
 U moy = U max = 3
3 8  x 

e 2 P *
Umoy



12 µ x
V moy 
2
Vmoy   e P *

12 µ y
L'écoulement dans un milieu poreux se met sous la forme :
v=-
k
 P*
µ
Il y a donc analogie avec la forme de l'écoulement entre deux plaques rapprochées où
V moy = et les éléments correspondants sont les suivants :
Milieu poreux
P* =  gy + P
q
q =-
k
 P*
µ
e2
 P*
12µ
<--o-->
Milieu Hele Shaw
P* =  gy + P
<--o-->
V moy
<--o-->
V moy = -
Eléments d’hydraulique générale -20-
e2
 P*
12µ
Suite au décès subit du pharmacien Gomez, il n’y aura pas de pharmacie de garde,
dimanche prochain à Santiago du Chili….
III.3 REGIME TURBULENT
A partir d'une certaine valeur du nombre de Reynolds, les trajectoires des différentes particules s'enchevêtrent.
Ceci provient du fait que les molécules, se heurtant aux aspérités des parois solides, sont renvoyées au sein de la masse
liquide.
III.3.1 Fluctuations du vecteur vitesse
Même en régime permanent, le vecteur vitesse n'est constant ni en grandeur ni en direction. Si les conditions aux
limites sont maintenues constantes, on obtient un écoulement permanent en moyenne et on définit en tout point un
vecteur vitesse moyenne :
t T

1
u

U dt

T t

t T
 
1
V v   V dt
T t

t T

1
w

W dt

T t

A tout instant et en tout point, on peut donc exprimer le vecteur vitesse
V sous la forme :
u  u'  u
V v  v'  vavec u '  v'  w'  0
w  w'  w
On peut donc appliquer à l'étude du régime turbulent les mêmes équations que celles du régime laminaire en
remplaçant U,V,W par u , v, w ainsi qu’en ajoutant les tensions supplémentaires dues aux fluctuations de vitesse. Ces
tensions supplémentaires sont généralement suffisamment élevées pour que les tensions d'origine visqueuse soient
négligeables devant elles.
III.3.2 Echange latéral de quantité de mouvement
Les tensions supplémentaires dues à la turbulence s'expliquent par l'échange latéral de quantité de mouvement.
En effet, les filets fluides ne "glissent" plus les uns contre les autres, mais des éléments liquides animés de vitesses
différentes s'interpénètrent profondément. Cet échange se produit également au régime laminaire, mais à l'échelle
moléculaire. Dans le régime turbulent, ce sont des éléments fluides de dimensions finies qui s'échangent latéralement.
III.3.3 Influence de la turbulence sur la répartition des vitesses
En régime laminaire, le profil des vitesses est parabolique mais en régime turbulent, les vitesses tendent à
s'égaliser plus rapidement ; le profil devient plus aplati. Dans une canalisation circulaire, le rapport de la vitesse
maximum à la vitesse moyenne est voisin de 1,2 (pour 2 en régime laminaire).
Dans un liquide en écoulement turbulent, on peut
distinguer deux zones.
régime pleinement
La première, non au contact des parois, présente un
turbulent
faible
gradient
de vitesse.
V
La seconde, au contact des parois, et de très faible
épaisseur, présente un fort gradient de vitesse.
0,99 V
Cette dernière zone constitue la couche limite d'épaisseur .
L'écoulement se faisant à fort nombre de Reynolds,
Couche limite
l'écoulement dans la couche limite devient également turbulent,
d'épaisseur  sauf au voisinage des parois où les fluctuations latérales des
vitesses sont gênées par la présence des parois et où la pente du
profil des vitesses est très grande, ce qui donne des contraintes
visqueuses très importantes.
Dans cette zone appelée "sous-couche laminaire", le
régime demeure laminaire puisque les forces de viscosité n'y
sont plus négligeables devant les forces d'inertie et de
Sous-couche laminaire
turbulence.
Eléments d’hydraulique générale -21-
Quand on part de rien pour arriver à pas grand chose on ne devrait avoir de merci à donner à personne….
Eléments d’hydraulique générale -22-
IV. ECOULEMENTS PAR LES ORIFICES, AJUTAGES ET DEVERSOIRS
IV.1 ECOULEMENT PAR LES ORIFICES
IV.1.1 Orifices non noyés
L'écoulement se fait à partir d'un bassin de grande dimension dont le niveau est supposé constant. A travers un
orifice ménagé dans la paroi, l'écoulement se fait à l'air libre.
A une certaine distance de la paroi, la veine
A
fluide s'est contractée. Dans cette section, dite
contractée, les vitesses sont parallèles entre elles et le
terme P* est constant. On peut alors appliquer le
H
théorème de Bernoulli entre un point A à la surface
libre et un point B de la section contractée.
m
Soit  la surface de l'orifice et m la surface de
B
la section contractée ; m est appelé coefficient de
contraction (m < 1).
H
En A :
VA = 0
PA = Patm
zA = H
En B :
V
PB = Patm
zB = h

2
h
Error!+ H = Error!+ V + H
2g
V=
2g (H - h) =
2 g (H )
Cette formule est appelée formule de Toricelli
où  H représente la charge sur l'orifice.
Plan de référence
Le débit est obtenu en intégrant la vitesse sur toute la section contractée, d'où :
Q=

2g (Hh) ds
mω
Cette intégrale est généralement difficile à calculer et on fait l'approximation suivante : la vitesse moyenne dans
la section contractée est celle de la molécule qui passe au centre de gravité de cette section.
Q = m
2 gH
Cette formule est d'autant moins approchée que l'orifice est petit par rapport à la charge.
La valeur du coefficient m dépend de la nature de l'orifice et on distingue :
- les orifices en mince paroi où l'épaisseur e de
la paroi est plus petite que la moitié de la plus petite
e
dimension transversale de l'orifice. Dans ce cas, le
coefficient de contraction dépend encore de la forme
e < d/2
d
de l'orifice, position par rapport à la verticale et par
l'acuité des arêtes.
En première approximation et pour un orifice
circulaire, on peut admettre m = 0,62.
- les orifices à veine moulée, où la paroi
intérieure de l'orifice épouse la forme de la veine de
manière à ce que la section contractée soit à l'intérieur
de la paroi.
Dans ce cas, on aurait théoriquement m=1 mais
en fait, il se produit toujours des pertes de charge et on
ne dépasse jamais m=0,98.
Eléments d’hydraulique générale -23-

- les orifices à contraction incomplète où le
coefficient de contraction varie entre 0,62 et 1. Le cas le
plus fréquent est celui de la vanne de fond où m = 0,70.
L
Q = 0,70 L e
H
e
2g H
me
IV.1.2 Orifices noyés
A
On applique le théorème de Bernoulli entre les
points A de la surface et B de la section contractée.
PA = Patm
V=0
zA
PB =  g H1 + Patm
V
zB
H
2
H
zA
Error!+ zA = Error!+ H1 + zB + V
2g
1
2
V =z -z -H
A B
1
2g
B
2
V =H
2g
zB
On obtient une formule analogue à celle du
régime dénoyé mais H représente ici la différence de
cote entre les plans d'eau amont et aval.
V = 2g H
Les valeurs des coefficients de contraction sont légèrement inférieures en régime noyé qu'en régime dénoyé.
Par exemple, pour une vanne de fond noyée : m = 0,61 (au lieu de 0,70).
IV.2 ECOULEMENT PAR LES AJUTAGES
Un ajutage est un petit conduit de forme variable, généralement circulaire, dont on munit un orifice.
IV.2.1 Ajutage cylindrique sortant
A
Soit un ajutage suffisamment long pour que la
veine fluide recolle aux parois après la section
contractée.
Section contractée
2
H
Error!+ z + H = Error!+ z + V + J
2g
(Charge en A = Charge en B + Pertes de charge entre A
et B)
B
La perte de charge entre A et B résulte
essentiellement de la variation des sections offertes à
l'écoulement et on peut l'estimer à :

z
2
J = 0,49
2
d'où :
H = 1,49
V
2g
=>
V = 0,82
2g H
=>
Q = 0,82 
V
2g
2g H
0,82 n'est pas un coefficient de contraction mais le coefficient de débit. On montre par ailleurs que le
coefficient de contraction de la veine fluide est légèrement augmenté par rapport à la valeur de 0,62. La pression qui
règne en C est inférieure à la pression atmosphérique (phénomène de Venturi) et on montre que la dépression y est de
0,75 H.
Eléments d’hydraulique générale -24-
IV.2.2 Ajutage cylindrique rentrant ou ajutage de Borda
IV.2.2.1 : Ajutage court
Si la longueur de l'ajutage est suffisamment
courte, le jet sort sans toucher les parois et le même
calcul que pour les orifices en mince paroi est possible.
On montre que le coefficient de contraction est ici de
m = 0,5.
Q = 0,5 
H
2g H

IV.2.2.2 : Ajutage long
Si la longueur est suffisamment grande pour que la veine recolle aux parois, le coefficient de débit passe à 0,7 et
le coefficient de contraction demeure de 0,5.
IV.3 ECOULEMENT PAR LES DEVERSOIRS
IV.3.1 Définition et principaux types de nappes
Un déversoir peut être assimilé à un orifice superficiel ouvert à sa partie supérieure et pratiqué généralement
dans une paroi verticale. Le plan d'eau, à une certaine distance en amont du déversoir, peut être considéré comme
horizontal ; la différence de cote H entre le plan d'eau et le seuil est la charge.
Les différents types de nappes dépendent de la charge et du niveau aval.
Pour de très faibles charges, la nappe est
adhérente à la paroi car la vitesse horizontale de l'eau
n'est pas suffisante pour éloigner la nappe. On parle
alors de nappe adhérente.
H
Lorsque la charge augmente, la vitesse croît et la
nappe se décolle de la paroi. On parlera alors de nappe
libre si l'aération de la zone a est possible.
H
a
Dans le cas où la zone a n'est pas facilement
aérée, il se produit une dépression et on a alors affaire à
une nappe déprimée.
a
Si le niveau aval augmente, il arrive un moment
où il n'y a plus d'air en a ; on parle alors d'une nappe
noyée en dessous à ressaut éloigné.
H
H
H
Le niveau aval augmentant encore, le ressaut se
rapproche de la nappe déversante jusqu'à recouvrir le
pied de la nappe. A ce moment, le débit du déversoir est
influencé par le niveau aval. Le niveau augmentant
encore jusqu'à être supérieur à celui du seuil, on parlera
alors de déversoir noyé à nappe ondulée.
A la suite du subit décès du pharmacien Gomez et afin de ne pas laisser la population de la capitale chilienne privée de
ravitaillement pharmaceutique dominical, c’est tout de même la pharmacie Lopez qui sera de gré ou de force de garde
dimanche prochain, à Santiago du Chili
Eléments d’hydraulique générale -25-
IV.3.2 Ecoulement par nappe libre
IV.3.2.1 : Déversoir à mince paroi
Un tel déversoir doit avoir une épaisseur à la crête inférieure à la moitié de la charge. Par la suite, nous ne
considérerons que des déversoirs verticaux. Par application du théorème de Bernoulli, la vitesse en un point du plan
vertical de la crête, situé à une profondeur h au-dessous du plan d'eau amont, est :
V = 2g H
d'où :
Q = µ S 2g H
(S = section mouillée ; µ = coefficient de débit)
* Dans le cas d'un déversoir rectangulaire sans contraction
latérale et à nappe libre, Bazin a donné pour µ la relation suivante :
2
0,003  

 H  
  0,405 
 
1  0.55
H  

 H  z  
H
L
(H : charge ; z : hauteur de pelle)
Le débit est donc :
z
Q = µ L H 2g H
Dans les limites où :
0,08 m < H < 0,70 m, L > 4 H et 0,2 m < z <2 m
Aération
En première approximation, on prendra µ = 0,43.
* Pour un déversoir rectangulaire à contraction latérale, on
peut retenir la formule de Hegly :
L1
 = (0,405+0,0027 - 0,03 L1 - L ) [1+0,55( L H )2 ]
H
L1
L1 (H+z)
L
Dans les limites où :
0,1 m < H < 0,6 m
0,4 m < L < 1,8 m
H
0,4 m < z < 0,8 m
0<
z
L1 - L < 0,9
L1

* Enfin pour un déversoir triangulaire, on peut retenir la formule de
Gourley et Crimp :
Q = 1,32 tg
H
 H2,47
2
(H charge sur la pointe,  angle d'ouverture)
IV.3.2.2 : Déversoir à seuil épais
Dans un tel déversoir, les filets liquides sont parallèles et horizontaux au droit du seuil. Si h est la hauteur d'eau
au-dessus du seuil et H la charge, on a par application du théorème de Bernoulli :
V=
2 g (H - h )
d'où le débit pour une largeur L :
Q = L h 2 g (H - h )
A priori H et h ne sont pas indépendants et lorsque l'on baisse le niveau aval (à partir de h = H), on constate que
le débit augmente jusqu'à atteindre une valeur maximale. Lorsque celle-ci est atteinte l'influence du niveau aval ne se
fait plus sentir. Le niveau h est alors à une valeur telle qu'elle maximise le débit :
A la suite du service de garde ordonné contre le gré de son propriétaire, la pharmacie Lopez est en vente
depuis dimanche dernier à Santiago du Chili
Eléments d’hydraulique générale -26-
Q
0
h
Q
Lh
2g
 L 2 ghH  h  
h
2 2 g H  h 
Q  max i 
H
V
Q
2
0h H
h
3
h
d'où :
Q = 0,385 L H 2 g H
IV.3.2.3 : Déversoir à seuil déversant
y
x
H
0
Parement aval
d'équation :
y = - 0,47 H ( x
H
Ce type de déversoir est principalement employé comme
évacuateur de crue de barrages. Le but recherché est un profil
donnant le meilleur coefficient de débit  (minimisation du
volume de béton), tout en respectant une marge de sécurité en
regard des effets destructeurs de la lame déversante.
Prenons pour profil de référence celui de la lame naturelle
pour une charge donnée. Si la charge (et le débit) augmente la
1,8 paroi se trouvera en dessous du profil théorique, ce qui améliore le
) coefficient de débit mais provoque par contre une dépression et
donc des risques d'altération du parement aval de l'ouvrage. En
général, on cherche un compromis et parmi ceux-ci, celui proposé
par Creager est des plus utilisés. Le coefficient de débit  est de
0,492. Ce profil calculé pour une charge H présente une sécurité
de 10% (pas de dépression si H'< 1,1H).
IV.3.3 Ecoulement par nappe noyée en dessous
Nappe à ressaut éloigné
H
z
H1
Dans le cas d'une nappe noyée en dessous, sans
ressaut ou avec un ressaut éloigné on pourra utiliser les
formules des déversoirs avec nappe libre mais en
multipliant le coefficient de débit  par un terme correctif k
tel que :
k = 0,878 + 0,128 z
H
sous réserve: H > 0,75 z -H1 et H>H1 ou H > 0,375 z
Ressaut recouvrant le pied
Si le ressaut recouvre le pied de la nappe on
prendra un terme correctif k tel que :
k = 1,05 + 0,15 H1
H
H
sous réserve d'avoir : H>H1
H1
Quand il est tombé de la pluie, de la neige, de la grêle, du grésil… que voulez-vous qu’il tombe encore ?
Oui je sais, mais c’est pas fréquent !
Eléments d’hydraulique générale -27-
V. ECOULEMENT DANS LES CANALISATIONS EN CHARGE
L'objet de ce chapitre, est d'étudier les conditions d'écoulement des fluides incompressibles, dans des
conduites en charge et en régime permanent en moyenne. Nous évoquerons en premier lieu, les pertes de charges
dans les conduites cylindriques longues, puis celles provoquées par les singularités du réseau.
V.1 ECOULEMENT EN CHARGE
V.1.1 Définition
Un écoulement en charge se définit par des conditions aux limites particulières. Elles font intervenir des
frontières géométriques solides, des conditions de vitesses et de pressions (constantes dans un plan horizontal). Il
n'intervient pas de surfaces libres à moins qu'elles ne soient horizontales. En général, le terme g n'intervient pas
explicitement dans les équations.
V.1.2 Charge dans une section
On définit la charge en un point M comme la quantité :
2
2
*
H = V + P +z = V + P
2g g
2g g
(H représente l'énergie mécanique du fluide en M par unité de poids, et est exprimée en hauteur de fluide)
Dans une section droite d'une conduite rectiligne la répartition des pressions est hydrostatique donc P* est
constant dans toute la section. Par contre la répartition des vitesses n'est pas uniforme et dépend de la géométrie de
conduite. La charge moyenne dans une section peut se mettre sous la forme suivante :
H=1
S
S
Hds = 1
S
S
P* + V2 ds = P* + 1
g 2g
g S
S
V2 ds
2g
Si U est la vitesse moyenne dans la section, et si on pose ,un coefficient tenant compte de la section de la
conduite et de la nature de la paroi on a :
*
H= P +1
g S
K=
S
V2 ds
2g
P*
2
+ U
g
2g
Soit H la charge moyenne dans une section :
2
H = P + z + U
g
2g
Pour les conduites circulaires en régime turbulent  est de l'ordre de 1,04 avec (0,2 < Ø < 1 m). Il diminue
avec la taille de la conduite pour atteindre 1,01 pour les aqueducs de section circulaire. En général, on ignore la valeur
exacte de  et on pose  = 1, ce qui n'introduit qu'une erreur mineure dans les calculs.
V.2 EXPRESSION GENERALE DE LA PERTE DE CHARGE LINEAIRE
Nous étudierons les pertes de charges provoquées par l'écoulement d'un fluide en régime permanent dans une
conduite cylindrique.
V.2.1 Facteurs explicatifs
La différence de charge,  H = H1 - H2 entre deux sections distantes de L, est fonction de :
- la nature du fluide caractérisée par et µ ;
- la vitesse moyenne du fluide V (ou le débit puisque V = Q/S) ;
- la taille du tuyau connue à travers son diamètre D ;
- la rugosité des parois que l'on peut supposer caractérisée par la dimension  des aspérités et leur écartement
moyen e.
 H = f (L,  , µ, V, D, , e)
ou encore :
f (  H, L,  , µ, V, D, , e) = 0
La pensée est à l’homme ce que la main de ma sœur est à la culotte du zouave…
Eléments d’hydraulique générale -28-
On démontrera plus loin que cette fonction de huit paramètres s'exprimant à partir de trois unités [L] [M] [T]
peut se ramener à une fonction de 8 - 3 = 5 paramètres adimensionnels composés à partir des 8 paramètres initiaux. On
peut construire ainsi une série complète de nombres sans dimension :
 VD
H
e  L
f 
, 2
, , ,   0
  V 2g D D D 
V 2  VD  e 
d'où : H 
f
, , 
2 g   D D 
Par ailleurs  H est manifestement directement proportionnel à L ; or L n'intervient que dans le paramètre
adimensionnel
L
. On peut donc écrire :
D
H 
Le terme
VD

V 2L
2g
 VD  e 
f 
, , 
  D D
représente le nombre de Reynolds Re de l'écoulement. En faisant apparaître le coefficient de perte de
charge linéaire j et le coefficient universel de perte de charge  on obtient :
2
8  Q2
j = H =  V =
L
2 g D g 2 D5
d'où :


  f  Re ,
 e
, 
D D
On retiendra donc que le coefficient universel de perte de charge  ne dépend que du nombre de Reynolds et
des caractéristiques relatives de la rugosité.
V.2.2 Etude expérimentale
La détermination expérimentale de a été effectuée par Nikuradse vers 1930. Pour cela, il réalisa une rugosité
artificielle des tuyaux, en y collant, une couche uniforme et continue de grains de sables calibrés. La rugosité était donc
définie à partir d'un seul paramètre  représentant la taille des grains de sable :
 = f Re, 
D

En jouant sur  et sur D, Nikuradse fit varier D de 0,1 à 0,0001 et Re de 200 à 108. L'ensemble des résultats

donnait dans un graphique log = f (log Re, D ) le schéma suivant :
Le schéma se caractérise par trois zones rectilignes 1, 3 et 5, de pentes respectives -1, -1/4 et 0. Les zones 2 et 4
assurent le raccordement entre les précédentes.
Pour les zones 1, 2 et 3, ne dépend que de Re, la conduite sera considérée comme hydrauliquement lisse.
Dans la zone 4, dépend à la fois de Re et de /D, on qualifiera alors l'écoulement de semi-rugueux.
Enfin, dans la zone 5, ne dépend plus que de Re, la conduite se comporte alors comme hydrauliquement
rugueuse.
Le passage de l'écoulement hydrauliquement lisse, à l'écoulement rugueux s'explique très bien en
considérant la couche limite laminaire. En effet pour des nombres de Reynolds légèrement supérieurs à 2000,
l'écoulement est bien turbulent mais il se développe une couche limite laminaire qui englobe les aspérités. La conduite
se comporte alors comme une conduite lisse. Lorsque Re croît l'épaisseur de la couche limite diminue et les aspérités
"dépassent". La conduite a alors un comportement hydrauliquement rugueux.
Un penseur avare de ses pensées est un penseur de Radin…
Eléments d’hydraulique générale -29-

e/D
0,1
0,1
0,05
0,04
0,03
Zone 1
0,02
Zone 5
Zones 4
0,01
Zone 2
0,001
Zones 3
0,0001
0,01
0,005
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
10 7
Pour les zones 1, 3 et 5, différentes formules ont été proposées pour la fonction = f (Re,
- Dans la zone 1 on a :  =
10 8 Re

).
D
64 , Loi de Hagen Poiseuille valable pour Re < 2000.
Re
- Dans la zone 3 deux formules ont été proposées :
* La formule de Blasius, simple mais valable uniquement pour Re < 10 5 :

0,316
1
 100 Re 

1
4
Re 4
* et la première formule de Von Karman, située légèrement au-dessus de la droite de Blasius pour Re
5
> 10 . Cette formule implicite est d'un emploi moins commode puisque l'on a :
1 = 2 log Re  - 0,8 = 2 log Re 
2,51


Pour la zone 5 où ne dépend que de
, Von Karman a proposé sa deuxième formule explicite :
D
1 = 2 log D + 1,14 = 2 log 3,71 D



V.2.3 Cas des conduites réelles
Contrairement aux conduites de Nikuradse dont les aspérités étaient homogènes, les aspérités des conduites
réelles sont hétérogènes dans leurs tailles et leur espacement. Les expériences menées à partir des conduites réelles ont
abouti à un schéma assez semblable à celui de Nikuradse.
- en particulier pour l'écoulement rugueux ne dépend pas de Re. Il est possible alors de définir pour une
conduite réelle, sa rugosité homogène équivalente, en utilisant la seconde formule de Von Karman.
- par contre, une conduite réelle de rugosité équivalente , comporte des aspérités de dimensions supérieures à
. Aussi, ces "grandes" aspérités "dépasseront" plus tôt de la couche limite et l'apparition du régime semi-rugueux sera
plus précoce. Ce régime apparaît pour une valeur supérieure au du régime rugueux, par conséquent la zone 4 devient
une zone où  diminue lorsque Re croît, contrairement à ce qu'avait observé Nikuradse.
L'ensemble des résultats peut être reporté sur un graphique appelé diagramme de Moody qui n'est que la
représentation de la formule empirique de Colebrook :

1 = -2 log D + 2,51
3,71 Re 

Cette formule rend compte de l'écoulement dans les zones 3, 4 et 5. Son emploi est difficile du fait de sa
formulation implicite mais il existe des abaques et des tableaux d'un emploi plus simple.
Eléments d’hydraulique générale -30-

e/D
hydrauliquement
rugueux
0,1
0,1
0,05
0,05
0,04
0,03
0,01
0,005
0,02
0,001
0,0005
hydrauliquement
lisse
0,0001
0,01
idéa
le me
nt lis
s
e
0,005
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
10 7
10 8 Re
Pour utiliser ces abaques, il faut disposer de la rugosité équivalente de ces conduites. Pour les différents
matériaux utilisés dans la fabrication des conduites, les valeurs de  suivantes, sont généralement admises :
Pour toutes les conduites de conception récente (acier endoplasté, béton centrifugé, fonte revêtue de ciment
centrifugé, P.V.C., polyéthylène, ...) on admet que leur rugosité équivalente est  = k = 3 10-5 m. En fait, ces conduites
connaissent toujours un encrassement au bout de quelques années, il est recommandé d'évaluer les pertes de charge en
prenant une rugosité équivalente en service de  = k = 10-4 m.
On rencontre encore sur le terrain des conduites très anciennes en fonte ou en acier non revêtu il est alors
recommandé de prendre une rugosité équivalente en service de  = k = 2 10-3 m.
On trouvera en fin de chapitre des tables donnant les valeurs de j en fonction du débit et du diamètre pour les
deux rugosités équivalentes  = k = 10-4 m et  = k = 2 10-3 m. Dans la pratique les vitesses de l'eau transitant dans les
conduites varient de l'ordre de 0,4 m/s à 2 m/s. Dans cette gamme de vitesse la formule de Colebrook pour des
conduites de 40 à 1000 mm est équivalente à :
j = 0,00111 Q1,89 D-5,01 pour  = k = 10-4 m (erreur inférieure à 3,5%)
j = 0,00191 Q1,99 D-5,32 pour  = k = 2 10-3 m (erreur inférieure à 4,5%)
(Q en m3/s, D en m, j en m/m,)
V.2.4 Généralisation aux conduites non circulaires
Les résultats obtenus précédemment peuvent être appliqués aux conduites de section non circulaire. A cet effet,
il convient de définir le nombre de Reynolds de l'écoulement à partir du diamètre hydraulique.
DH = 4 RH = 4 S
P
S section mouillée, P périmètre mouillé, RH rayon hydraulique
V.2.5 Formules empiriques
Il existe une foule de formules empiriques. Elles présentent toutes l'inconvénient de n'être valables que dans le
domaine où elles ont été établies. Parmi celles-ci les plus fréquemment utilisées sont :
V.2.5.1 Formule de Chezy
V = C RH j
C coefficient de Chezy dépend de la nature de la paroi (100 pour la fonte lisse, 40 pour les conduites
rugueuses).
V.2.5.2 Formule de Lechapt et Calmont
j = 0,0011 Q1,89 D-5,01 (j en mètre par mètre, Q en m3/s, D en mètre)
formule très commode, utilisable pour de l’eau et une rugosité équivalente de 10 -4m
L’amour platonique est à l’amour charnel ce que l’armée de réserve est à l’armée d’active…
Eléments d’hydraulique générale -31-
V.2.5.3 Formule de Manning-Strickler
V = K RH2/3 j 1/2
(K

1
, K coefficient de Strickler, n coefficient de Manning )
n
Cette formule est principalement utilisée pour les gros diamètres (assainissement). Le coefficient K
dépend de la nature des parois et l'on retiendra comme ordre de grandeur de K :
K = 20 à 40, tunnel rocheux en mauvais état
K = 80 à 100, béton lisse, fonte revêtue.
On peut remarquer qu'entre ces deux formules on a la relation C = K RH 1/6 donc C dépend de RH ce qui est
gênant lorsque l'on veut appliquer la formule de Chezy aux écoulements à surface libre ou RH dépend de Q.
V.2.5.4 Formule de Hazen-Williams
Cette formule en usage encore dans les pays anglo-saxons Coefficient de Hazen Williams
s'appuie sur des travaux anciens (1905 à 1933). Elle présente l'avantage 145
140
de permettre l'évaluation de j de façon directe :
135
rvi ce
te en s e
j = 6,84 ( V )1,85 D-1,17
CHW
(V est la vitesse en m/s, D le diamètre en m
et CHW le coefficient de Hazen Williams)
Comme le montre la figure ci-contre il est possible de retrouver
les pertes de charge de la formule de Colebrook en faisant varier CHW
en fonction du diamètre autour des valeurs 95 et 137.
te récen
Co nd ui = 0 ,0 00 1 m )
(k
130
125
120
115
110
105
100
95
90
85
80
75
n se
nn e e
e
i
c
n
)
rès a 2 m
ui te t( k =0, 00
Co nd
rv ice
50
100
200 300
1000
Diamètre de la conduite en mm
V.3 PERTES DE CHARGES SINGULIÈRES LE LONG D'UNE CONDUITE
Par opposition aux pertes de charges linéaires qui sont proportionnelles à la longueur de la conduite, les
pertes de charges singulières sont provoquées par des singularités de dimensions restreintes telles que chargement
de section, coude...
En écoulement turbulent, toutes ces pertes de charges se mettent sous la forme :
2
j=K V
2g
où K est un coefficient sans dimension, caractérisant la singularité. Ces pertes de charge singulière présentent également
la particularité d'être parfois non additives.
V.3.1 Changement de section
V.3.1.1 Elargissement brusque
Par application du théorème des quantités de mouvement, on a démontré précédemment que la perte de charges
dans un élargissement brusque était :
Section amont s
J=
Section avale S
V1
( V21 - V22 )2 V21
=
( 1 - s )2
2g
2g
S
K = ( 1 - s )2
S
V2
V.3.1.2 Rétrécissement brusque
Section amont S
Section avale s
V
La perte de charges, dans la partie où les filets
liquides convergent, est négligeable par contre après
avoir passé la section contractée, la veine s'élargit et on
observe une perte de charges comparable à celle
provoquée par un élargissement brusque. m est appelé
coefficient de contraction et il varie au voisinage de
0,62.
J=
Section contractée m s
( 1 - m )2 V2
2g
m2
Eléments d’hydraulique générale -32-
 K=
( 1 - m )2
m2
m et K
1
0,9
0,8
des arêtes vives les valeurs de m et k en fonction de s
S 0,7
0,6
sont données par le graphique ci-contre.
0,5
Dans le cas d'un réservoir alimentant une
0,4
conduite, la perte de charge est :
0,3
2
0,2
J=1V
2 2g
0,1
0
Le coefficient m ne dépend que du rapport s/S
et de la nature de l'arête au changement de section. Pour
m
K
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1 s/S
V.3.2 Coudes
V.3.2.1 Coudes arrondis

Le coefficient K est fonction de l'angle du coude , du diamètre
de la canalisation D, et du rayon de courbure Ro à l'axe de la canalisation.
Parmi les formules expérimentales proposées, la plus utilisée est
celle de Weisbach :
K = 0,13 + 1,85
Ro
D
2 Ro
7/2

90
V.3.2.2 Coudes à angles vifs
Ces coudes fréquents sont obtenus par soudure de deux
tuyaux, Weisbach a proposé la formule suivante :
K = sin 2  + 2 sin 4 
2
2

 20° 40° 60° 80° 90° 100° 120° 140°
K 0,046 0,039 0,364 0,740 1 1,26 1,861 2,41
V.4 ETUDES DE QUELQUES CAS PARTICULIERS
V.4.1 Canalisation assurant un service mixte
lig
ne
d
ec
har
Q 0+ q L
j(Q) dl
ge
Q0 + q ( L - l )
Q0
Il est fréquent qu'un tronçon de conduite serve à
la fois à faire transiter un débit d'extrémité Qo jusqu'à
son extrémité avale, et à distribuer uniformément tout au
long du tronçon un débit de route q (en m3/s/m).
Dans ces conditions, à une distance l de
l'amont, le débit Q(l) est Qo + q ( L - l ).
Sur une courte distance dl autour de l, la perte
de charge linéaire est :
j(l) =
dl
0
8  Q(l)2
g 2 D5
axe des distances L
l
La perte de charge totale dans le tronçon de longueur L sera donc l'intégrale :
L
J=
L
j(l) dl =
0
0
8  Q(l)2
dl
g 2 D5
On peut supposer que l varie lentement avec le débit Q et qu'en première approximation il peut être considéré
comme constant. On a alors :
Il vaut mieux se taire et avoir l’air d’un con, que de l’ouvrir et de lever tous les doutes…
Eléments d’hydraulique générale -33-
L
J=
8
g 2 D5
L
Q(l)2 dl =
0
J=
8
g 2 D5
(Q0 +qL - ql)2 dl
0
2 2
8  L (Q2 + Q qL + Q0 L )
0
0
3
g 2 D5
Supposons maintenant que ce tronçon soit traversé par un débit uniforme Q' avec la même perte de charge J on
devrait alors avoir :
8  L Q' 2
g 2 D5
J=
La relation liant Q' à Qo, L et q est donc :
Q' 2 = Q20 + Q0 qL +
Q20 L2
3
On peut remarquer alors que cette expression est bornée par :
Q20 + Q0 qL +
q2 L2
q2 L2
q2 L2
< Q20 + Q0 qL +
< Q20 + 2 Q0 qL +
4
3
3
3
qL 2
qL
( Q0 +
) < Q' 2 < ( Q0 +
)2
2
3
Q0 + 0,50 qL < Q' < Q0 + 0,58 qL
d'où
Q'  Q0 + 0,55 qL
On peut calculer la perte de charge dans une conduite assurant un service mixte, en considérant qu'elle assure
seulement un service d'extrémité en majorant le service d'extrémité de 55 % du service assuré en route.
V.4.2 Calcul économique d'une conduite de refoulement
Dans une conduite de refoulement, l'énergie est fournie à l'eau par une pompe. Cette énergie sert, d'une part à
élever le fluide, et d'autre part, à compenser les pertes de charge. Pour un débit Q imposé, on peut mettre en place
n'importe quel diamètre de conduite, si la pompe peut compenser les pertes de charge. Il faut alors calculer le "diamètre
économique" qui permettra d'obtenir le prix de revient minimal de l'ensemble de l'installation en exploitation.
Pour établir ce diamètre économique, il faut étudier chaque cas particulier et tenir compte par exemple :
- du prix des conduites,
- du loyer de l'argent,
- du prix des pompes,
- de la durée d'amortissement,
- du prix de l'énergie,
- ...
Chacun de ces éléments sera exprimé en fonction du diamètre D, on calcule le prix total en fonction de D et on
annule sa dérivée par rapport à D. Ce type de calcul est donc long et à refaire pour chaque cas particulier. Cependant,
Bresse a essayé, moyennant quelques simplifications, d'établir une formule standard moyennant quelques hypothèses
simples :
En premier lieu on suppose que le prix P' de la conduite posée est proportionnel au diamètre D et à la
longueur l :
P' = K x D x l
La puissance W à fournir lors du pompage sert à relever l'eau sur une hauteur H et à vaincre les pertes de
charge J. Celle-ci s'écrit :
W =  g Q (H + J)
2
8 Q2 l
J=V l=
2 gD g2 D5
Si  représente le rendement de l'ensemble moteur-pompe et si K' est le prix de revient de la station élévatoire
augmenté des dépenses d'exploitation capitalisées, ramené à un watt on a pour prix P" de l'élévement :
P" =
K' gQ H + J

Le prix total de l'installation est alors :
P = P' + P"
P=KDl+
K' gQ
8Q2 l
H+

g2 D5
Rien n’est jamais perdu tant qu’il reste quelque chose à trouver…
Eléments d’hydraulique générale -34-
3
dP = 0  Kl - 40 qQ K' l = 0
dD
g2 D6
6
40 6 K' 
D=
Q
K
2
Le coefficient de Q ne dépend ni de H ni de l, mais uniquement de K K'  et . Par ailleurs ces paramètres
n'interviennent qu'à la puissance 1/6, par conséquent, leur influence est relativement faible. De fait, pour les valeurs
usuelles de ces quatre paramètres, on trouve des valeurs du coefficient de Q comprises entre 1,3 et 1,5. Bresse a donc
formulé la relation suivante :
D = 1,3 à 1,5 Q
(Q en m3/s et D en m.)
Cette formule très simple a été établie il y a près d'un siècle, mais elle n'en demeure pas moins toujours valable
pour une évaluation rapide des diamètres.
D'après la formulation proposée, on peut voir qu'il existe une vitesse économique puisque :
D = 1,3 à 1,5 Q , V =
4Q
 Véco. = 0,56 à 0,75 m/s
 D2
V.4.3 Choix du diamètre d'une conduite gravitaire
Supposons, que l'on connaisse, le débit Q qui transite dans un tronçon de conduite de longueur L. Très
souvent, on connaît également la charge maximale H, que l'on peut consacrer à la compensation des pertes de
charge J.
Le problème consiste alors à choisir le ou les diamètres des conduites à installer sur ce tronçon en
respectant la relation : J <= H.
Classiquement on choisira la conduite de diamètre Dopti, plus petit diamètre ayant une perte de
charge linéaire j(D opti,Q) inférieure à H/L pour le débit Q envisagé.
Mais généralement, on constate que pour ce D opti on a J < H, ce qui signifie que l'on aurait pu encore
économiser si un diamètre plus petit était commercialisé. Une autre façon d'économiser consiste à ne plus utiliser
un seul diamètre de conduite, mais plusieurs.
Supposons que l'on envisage d'utiliser trois diamètres au plus. Parmi ces trois diamètres, le plus petit (D 1)
doit être tel que j(D1,Q) > H/L et le plus grand (D3) tel que j(D3,Q) < H/L. Soit l1, l2 et l3 les longueurs dans
chaque diamètre, les conditions techniques se résument en une succession d'inégalités linéaires en l.
l1<=L
l2<=L
l3<=L
l1>=0
l2>=0
l3>=0
J = j(D1,Q)*l1 + j(D2,Q)*l2 + j(D3Q)*l3 <= H
l1 + l2 + l3 = L
Soient C1 C2 et C3 les prix du mètre linéaire de conduite posée dans ces trois diamètres, le coût total du tronçon
CT est :
CT = C1 * l1 + C2* l2 + C3 * l3
Le problème est donc de minimiser CT par rapport à l 1, l2 et l3 tout en respectant les 8 équations et inéquations.
C'est un problème de programmation linéaire qui se résout graphiquement dans ce cas où il y a trois inconnues liées
par une équation.
l1<=L
l1>=0
l2<=L
l2>=0
J = j(D1,Q)*l1 + j(D2,Q)*l2 + j(D3,Q)*(L - l1 - l2) <= H
l1 + l2 <= L
Suivant les pertes de charge engendrées par la conduite de diamètre D 2, ces inéquations délimitent le domaine des
solutions techniquement possibles. Différents cas de figures sont possibles :
Eléments d’hydraulique générale -35-
La perte d’un objet à bon marché est préférable à celle d’un être cher, quoique l’une n’empêche pas l’autre…
Eléments d’hydraulique générale -36-
Charge
j(D1,Q)
H
j(D2,Q)
j(D3,Q)
D1
l1
D2
l2
D3
l3
L
Domaines possibles
pour les solutions
techniques
La fonction à minimiser CT = C1 * l1 + C2 * l2 + C3 * ( L - l1 - l2) est, elle aussi, linéaire et les courbes
isovaleurs de CT sont des droites de pentes négatives. Les CT décroissent lorsque l'on s'éloigne du point 0,0 dans le
premier quadrant. Il est évident que le point (l1,l2) correspondant au plus petit CT est donc un des angles du
polygone délimitant les solutions techniquement possibles. Suivant les cas de figure (dépendant des pertes de
charge et des coûts) six points optimum sont possibles :
- A : l1=x
l2 = L-x
l3 = 0
- D : l1=y
l2 = 0
l3 = L - y
- B : l1=y
l2 = O
l3 = L - y
- E : l1=0
l2 = x
l3 = L - x
- C : l1=0
l2 = x
l3 = L - x
- F : l1=y
l2 = 0
l3 = L - y
On constate que dans tous les cas de figure seuls deux diamètres sont utilisés. Il est évident que ceci est
vrai quel que soit le nombre de diamètres (supérieur à 3) envisageables. On retiendra donc que le choix de
l'équipement d'un tronçon débitant un débit unique pour une perte de charge donnée se ramène au choix de deux
seuls diamètres. Ce choix se fait en ajoutant un critère économique de moindre coût et la recherche de cet optimum
se fait par programmation linéaire.
En conclusion, on retiendra qu'un tronçon ayant un débit uniforme, ne peut être constitué que de deux
diamètres au plus.
V.4.4 Remarque
Il faut noter qu'il existe des vitesses maximales admissibles en fonction de la nature et de la taille des tuyaux.
Pour avoir une idée de ces vitesses limites à ne pas dépasser, on pourra utiliser la formule de Flamant qui a pour
expression :
V max. = 0,40 x 2 D
si
D < 0,20 m
V max. = 0,60 + D
si
D > 0,20 m
D en m, V max. en m/s.
Eléments d’hydraulique générale -37-
V.5 TABLES DE COLEBROOK
Pertes de charge linéaires j évaluées par la formule de Colebrook pour de l'eau à 10°C.
J est donné en mètre par mètre pour deux rugosités équivalentes :
k = 0,0001 mm valeur préconisée pour toutes les conduites de conception récente en service
k = 0,002 mm valeur possible pour des conduites très anciennes (fonte non revêtue...)
D=
40
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,0093
0,0124
0,0159
0,0197
0,0240
0,0287
0,0338
0,0393
0,0453
0,0516
0,0583
0,0654
0,0729
0,0809
0,0892
0,0979
0,1071
0,1166
0,1265
0,1369
0,1476
0,1588
0,1703
0,1823
0,1946
0,2074
0,2205
0,2341
0,2480
0,2624
0,2772
0,2923
0,3079
0,3239
0,3402
0,0212
0,0288
0,0375
0,0474
0,0584
0,0706
0,0839
0,0984
0,1141
0,1309
0,1488
0,1679
0,1882
0,2096
0,2322
0,2559
0,2808
0,3068
0,3340
0,3623
0,3918
0,4224
0,4542
0,4871
0,5212
0,5565
0,5929
0,6304
0,6692
0,7090
0,7500
0,7922
0,8355
0,8800
0,9256
D=
80
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
15,0
15,5
16,0
16,5
17,0
17,5
18,0
18,5
19,0
19,5
0,0042
0,0058
0,0078
0,0100
0,0125
0,0152
0,0182
0,0215
0,0250
0,0288
0,0328
0,0371
0,0417
0,0466
0,0517
0,0570
0,0627
0,0685
0,0747
0,0811
0,0878
0,0947
0,1019
0,1094
0,1171
0,1251
0,1333
0,1418
0,1506
0,1596
0,1689
0,1785
0,1883
0,1984
0,2087
0,0085
0,0122
0,0166
0,0217
0,0274
0,0338
0,0408
0,0486
0,0569
0,0660
0,0757
0,0861
0,0972
0,1089
0,1213
0,1344
0,1481
0,1625
0,1776
0,1934
0,2098
0,2269
0,2446
0,2630
0,2821
0,3019
0,3223
0,3434
0,3651
0,3876
0,4107
0,4344
0,4589
0,4840
0,5098
V m/s
0,48
0,56
0,64
0,72
0,80
0,88
0,95
1,03
1,11
1,19
1,27
1,35
1,43
1,51
1,59
1,67
1,75
1,83
1,91
1,99
2,07
2,15
2,23
2,31
2,39
2,47
2,55
2,63
2,71
2,79
2,86
2,94
3,02
3,10
3,18
V m/s
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0,99
1,09
1,19
1,29
1,39
1,49
1,59
1,69
1,79
1,89
1,99
2,09
2,19
2,29
2,39
2,49
2,59
2,69
2,79
2,88
2,98
3,08
3,18
3,28
3,38
3,48
3,58
3,68
3,78
3,88
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,12
0,13
0,14
0,16
0,17
0,19
0,20
0,22
0,24
0,25
0,27
0,29
0,31
0,33
0,35
0,37
0,40
0,42
0,44
0,47
0,49
0,52
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,09
0,10
0,11
0,13
0,15
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,27
0,29
0,32
0,34
0,37
0,40
0,42
0,45
0,48
0,52
0,55
0,58
0,62
0,65
0,69
0,73
0,77
D=
50
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
0,0052
0,0079
0,0111
0,0147
0,0189
0,0236
0,0288
0,0344
0,0406
0,0473
0,0544
0,0621
0,0703
0,0789
0,0881
0,0977
0,1079
0,1185
0,1297
0,1413
0,1534
0,1661
0,1792
0,1928
0,2069
0,2216
0,2367
0,2523
0,2684
0,2850
0,3020
0,3196
0,3377
0,3563
0,3753
0,0112
0,0174
0,0250
0,0340
0,0443
0,0560
0,0690
0,0834
0,0992
0,1164
0,1349
0,1548
0,1760
0,1986
0,2226
0,2480
0,2747
0,3027
0,3322
0,3630
0,3952
0,4287
0,4636
0,4999
0,5376
0,5766
0,6170
0,6587
0,7018
0,7463
0,7921
0,8393
0,8879
0,9379
0,9892
D= 100
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
15,0
15,5
16,0
16,5
17,0
17,5
18,0
18,5
19,0
19,5
20,0
20,5
0,0026
0,0033
0,0041
0,0050
0,0059
0,0070
0,0081
0,0093
0,0106
0,0120
0,0135
0,0150
0,0166
0,0184
0,0201
0,0220
0,0240
0,0260
0,0281
0,0303
0,0326
0,0349
0,0374
0,0399
0,0425
0,0452
0,0479
0,0508
0,0537
0,0567
0,0598
0,0630
0,0662
0,0696
0,0730
0,0050
0,0066
0,0083
0,0102
0,0123
0,0146
0,0172
0,0199
0,0228
0,0260
0,0293
0,0328
0,0365
0,0405
0,0446
0,0489
0,0535
0,0582
0,0631
0,0683
0,0736
0,0791
0,0849
0,0908
0,0970
0,1033
0,1098
0,1166
0,1235
0,1307
0,1380
0,1456
0,1533
0,1612
0,1694
V m/s
0,41
0,51
0,61
0,71
0,81
0,92
1,02
1,12
1,22
1,32
1,43
1,53
1,63
1,73
1,83
1,94
2,04
2,14
2,24
2,34
2,44
2,55
2,65
2,75
2,85
2,95
3,06
3,16
3,26
3,36
3,46
3,57
3,67
3,77
3,87
V m/s
0,45
0,51
0,57
0,64
0,70
0,76
0,83
0,89
0,95
1,02
1,08
1,15
1,21
1,27
1,34
1,40
1,46
1,53
1,59
1,66
1,72
1,78
1,85
1,91
1,97
2,04
2,10
2,16
2,23
2,29
2,36
2,42
2,48
2,55
2,61
V2/2g
0,01
0,01
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,06
0,08
0,09
0,10
0,12
0,14
0,15
0,17
0,19
0,21
0,23
0,26
0,28
0,30
0,33
0,36
0,39
0,41
0,44
0,48
0,51
0,54
0,58
0,61
0,65
0,69
0,72
0,76
V2/2g
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,05
0,06
0,07
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,19
0,20
0,21
0,22
0,24
0,25
0,27
0,28
0,30
0,31
0,33
0,35
D=
60
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0
8,2
V m/s
0,0127
0,0165
0,0209
0,0257
0,0311
0,0370
0,0434
0,0503
0,0576
0,0655
0,0740
0,0829
0,0923
0,1022
0,1127
0,1236
0,1351
0,1470
0,1595
0,1725
0,1860
0,2000
0,2145
0,2295
0,2450
0,2610
0,2775
0,2946
0,3121
0,3302
0,3487
0,3678
0,3874
0,4074
0,4280
0,50
0,57
0,64
0,71
0,78
0,85
0,92
0,99
1,06
1,13
1,20
1,27
1,34
1,41
1,49
1,56
1,63
1,70
1,77
1,84
1,91
1,98
2,05
2,12
2,19
2,26
2,33
2,41
2,48
2,55
2,62
2,69
2,76
2,83
2,90
D= 125
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
V m/s
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
18,0
19,0
20,0
21,0
22,0
23,0
24,0
25,0
26,0
27,0
28,0
29,0
30,0
31,0
32,0
33,0
34,0
35,0
36,0
37,0
38,0
39,0
40,0
Eléments d’hydraulique générale -38-
0,0059
0,0076
0,0095
0,0115
0,0138
0,0162
0,0188
0,0216
0,0246
0,0279
0,0312
0,0348
0,0386
0,0426
0,0467
0,0511
0,0556
0,0603
0,0653
0,0704
0,0757
0,0812
0,0868
0,0927
0,0988
0,1050
0,1114
0,1181
0,1249
0,1319
0,1391
0,1465
0,1541
0,1618
0,1698
0,0023
0,0031
0,0039
0,0049
0,0060
0,0072
0,0084
0,0098
0,0113
0,0129
0,0145
0,0163
0,0182
0,0202
0,0223
0,0245
0,0268
0,0292
0,0317
0,0342
0,0369
0,0397
0,0426
0,0456
0,0487
0,0519
0,0552
0,0586
0,0621
0,0657
0,0694
0,0732
0,0771
0,0811
0,0852
0,0044
0,0060
0,0079
0,0099
0,0123
0,0148
0,0176
0,0206
0,0239
0,0275
0,0312
0,0352
0,0395
0,0440
0,0487
0,0537
0,0589
0,0644
0,0701
0,0760
0,0822
0,0886
0,0953
0,1022
0,1094
0,1168
0,1244
0,1323
0,1404
0,1488
0,1574
0,1662
0,1753
0,1846
0,1942
0,49
0,57
0,65
0,73
0,81
0,90
0,98
1,06
1,14
1,22
1,30
1,39
1,47
1,55
1,63
1,71
1,79
1,87
1,96
2,04
2,12
2,20
2,28
2,36
2,44
2,53
2,61
2,69
2,77
2,85
2,93
3,02
3,10
3,18
3,26
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,04
0,05
0,06
0,07
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,15
0,16
0,17
0,19
0,20
0,21
0,23
0,25
0,26
0,28
0,29
0,31
0,33
0,35
0,37
0,39
0,41
0,43
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,14
0,15
0,16
0,18
0,19
0,21
0,23
0,25
0,27
0,28
0,30
0,33
0,35
0,37
0,39
0,41
0,44
0,46
0,49
0,51
0,54
Pertes de charge linéaires j évaluées par la formule de Colebrook pour de l'eau à 10°C.
J est donné en mètre par mètre pour deux rugosités équivalentes :
k = 0,0001 mm valeur préconisée pour toutes les conduites de conception récente en service
k = 0,002 mm valeur possible pour des conduites très anciennes (fonte non revêtue...)
D= 150
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
22,0
24,0
26,0
28,0
30,0
32,0
34,0
36,0
38,0
40,0
42,0
44,0
46,0
48,0
50,0
52,0
54,0
56,0
58,0
60,0
62,0
64,0
66,0
68,0
70,0
72,0
74,0
76,0
0,0016
0,0024
0,0034
0,0045
0,0058
0,0073
0,0089
0,0106
0,0126
0,0146
0,0169
0,0192
0,0218
0,0245
0,0273
0,0303
0,0335
0,0368
0,0403
0,0439
0,0477
0,0517
0,0558
0,0600
0,0644
0,0690
0,0737
0,0786
0,0836
0,0888
0,0941
0,0996
0,1053
0,1111
0,1170
0,0030
0,0046
0,0067
0,0090
0,0118
0,0149
0,0184
0,0222
0,0264
0,0310
0,0359
0,0412
0,0469
0,0529
0,0593
0,0661
0,0732
0,0807
0,0885
0,0967
0,1053
0,1142
0,1235
0,1332
0,1432
0,1536
0,1644
0,1755
0,1870
0,1989
0,2111
0,2237
0,2366
0,2499
0,2636
D= 300
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
35,0
40,0
45,0
50,0
55,0
60,0
65,0
70,0
75,0
80,0
85,0
90,0
95,0
100,0
105,0
110,0
115,0
120,0
125,0
130,0
135,0
140,0
145,0
150,0
155,0
160,0
165,0
170,0
175,0
180,0
185,0
190,0
195,0
200,0
205,0
0,00080
0,00103
0,00128
0,00156
0,00187
0,00220
0,00256
0,00294
0,00335
0,00379
0,00425
0,00474
0,00526
0,00580
0,00637
0,00696
0,00759
0,00823
0,00890
0,00960
0,01033
0,01108
0,01186
0,01266
0,01349
0,01434
0,01522
0,01613
0,01706
0,01802
0,01901
0,02002
0,02106
0,02212
0,02321
0,00141
0,00184
0,00232
0,00286
0,00346
0,00411
0,00482
0,00558
0,00641
0,00728
0,00822
0,00921
0,01026
0,01136
0,01252
0,01374
0,01501
0,01634
0,01773
0,01917
0,02067
0,02222
0,02383
0,02550
0,02722
0,02900
0,03084
0,03273
0,03468
0,03669
0,03875
0,04087
0,04305
0,04528
0,04757
V m/s
0,45
0,57
0,68
0,79
0,91
1,02
1,13
1,24
1,36
1,47
1,58
1,70
1,81
1,92
2,04
2,15
2,26
2,38
2,49
2,60
2,72
2,83
2,94
3,06
3,17
3,28
3,40
3,51
3,62
3,73
3,85
3,96
4,07
4,19
4,30
V m/s
0,50
0,57
0,64
0,71
0,78
0,85
0,92
0,99
1,06
1,13
1,20
1,27
1,34
1,41
1,49
1,56
1,63
1,70
1,77
1,84
1,91
1,98
2,05
2,12
2,19
2,26
2,33
2,41
2,48
2,55
2,62
2,69
2,76
2,83
2,90
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,07
0,08
0,09
0,11
0,13
0,15
0,17
0,19
0,21
0,24
0,26
0,29
0,32
0,35
0,38
0,41
0,44
0,48
0,51
0,55
0,59
0,63
0,67
0,71
0,75
0,80
0,85
0,89
0,94
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,04
0,05
0,06
0,07
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,15
0,16
0,17
0,19
0,20
0,21
0,23
0,25
0,26
0,28
0,29
0,31
0,33
0,35
0,37
0,39
0,41
0,43
D= 200
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
15,0
17,5
20,0
22,5
25,0
27,5
30,0
32,5
35,0
37,5
40,0
42,5
45,0
47,5
50,0
52,5
55,0
57,5
60,0
62,5
65,0
67,5
70,0
72,5
75,0
77,5
80,0
82,5
85,0
87,5
90,0
92,5
95,0
97,5
100,0
0,0012
0,0016
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0,0060
0,0069
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0,0087
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0,0108
0,0119
0,0131
0,0143
0,0156
0,0169
0,0183
0,0198
0,0213
0,0228
0,0244
0,0261
0,0278
0,0296
0,0314
0,0333
0,0352
0,0372
0,0392
0,0413
0,0434
0,0456
0,0022
0,0030
0,0040
0,0050
0,0062
0,0075
0,0089
0,0104
0,0121
0,0139
0,0158
0,0178
0,0199
0,0222
0,0246
0,0271
0,0298
0,0325
0,0354
0,0384
0,0415
0,0448
0,0481
0,0516
0,0552
0,0590
0,0628
0,0668
0,0709
0,0751
0,0795
0,0840
0,0886
0,0933
0,0981
D= 350
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
110,0
120,0
130,0
140,0
150,0
160,0
170,0
180,0
190,0
200,0
210,0
220,0
230,0
240,0
250,0
260,0
270,0
280,0
290,0
300,0
310,0
320,0
330,0
340,0
350,0
360,0
370,0
380,0
0,00048
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0,00102
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0,00175
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0,00267
0,00320
0,00378
0,00441
0,00508
0,00580
0,00656
0,00737
0,00823
0,00914
0,01009
0,01109
0,01213
0,01322
0,01436
0,01554
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0,01805
0,01938
0,02075
0,02217
0,02363
0,02514
0,02670
0,02830
0,02995
0,03165
0,03339
0,03518
0,00082
0,00127
0,00182
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0,00607
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0,00847
0,00982
0,01126
0,01281
0,01445
0,01620
0,01805
0,01999
0,02203
0,02418
0,02642
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0,03120
0,03374
0,03638
0,03912
0,04196
0,04490
0,04794
0,05108
0,05431
0,05765
0,06109
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0,06826
0,07199
V m/s
V2/2g
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0,56
0,64
0,72
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0,88
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1,03
1,11
1,19
1,27
1,35
1,43
1,51
1,59
1,67
1,75
1,83
1,91
1,99
2,07
2,15
2,23
2,31
2,39
2,47
2,55
2,63
2,71
2,79
2,86
2,94
3,02
3,10
3,18
0,01
0,02
0,02
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0,03
0,04
0,05
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,12
0,13
0,14
0,16
0,17
0,19
0,20
0,22
0,24
0,25
0,27
0,29
0,31
0,33
0,35
0,37
0,40
0,42
0,44
0,47
0,49
0,52
V m/s
0,42
0,52
0,62
0,73
0,83
0,94
1,04
1,14
1,25
1,35
1,46
1,56
1,66
1,77
1,87
1,97
2,08
2,18
2,29
2,39
2,49
2,60
2,70
2,81
2,91
3,01
3,12
3,22
3,33
3,43
3,53
3,64
3,74
3,85
3,95
V2/2g
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0,01
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0,04
0,04
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0,14
0,16
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0,22
0,24
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0,29
0,32
0,34
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0,43
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0,60
0,64
0,67
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0,75
0,80
D= 250
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
V m/s
V2/2g
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0,0024
0,0031
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1,30
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2,69
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3,10
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D= 400
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
V m/s
V2/2g
0,01
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24,0
28,0
32,0
36,0
40,0
44,0
48,0
52,0
56,0
60,0
64,0
68,0
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76,0
80,0
84,0
88,0
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96,0
100,0
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60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
110,0
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300,0
310,0
320,0
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340,0
350,0
360,0
370,0
380,0
390,0
400,0
Eléments d’hydraulique générale -39-
0,0010
0,0013
0,0017
0,0021
0,0025
0,0030
0,0036
0,0042
0,0048
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0,0062
0,0070
0,0078
0,0086
0,0095
0,0104
0,0114
0,0124
0,0135
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0,0170
0,0182
0,0195
0,0208
0,0222
0,0236
0,0250
0,0265
0,0280
0,0296
0,0313
0,0329
0,0346
0,0364
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0,00070
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0,01272
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0,03011
0,03185
0,03364
0,03548
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0,48
0,56
0,64
0,72
0,80
0,88
0,95
1,03
1,11
1,19
1,27
1,35
1,43
1,51
1,59
1,67
1,75
1,83
1,91
1,99
2,07
2,15
2,23
2,31
2,39
2,47
2,55
2,63
2,71
2,79
2,86
2,94
3,02
3,10
3,18
Pertes de charge linéaires j évaluées par la formule de Colebrook pour de l'eau à 10°C.
J est donné en mètre par mètre pour deux rugosités équivalentes :
k = 0,0001 mm valeur préconisée pour toutes les conduites de conception récente en service
k = 0,002 mm valeur possible pour des conduites très anciennes (fonte non revêtue...)
D= 500
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
80,0
100,0
120,0
140,0
160,0
180,0
200,0
220,0
240,0
260,0
280,0
300,0
320,0
340,0
360,0
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400,0
420,0
440,0
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480,0
500,0
520,0
540,0
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580,0
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620,0
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700,0
720,0
740,0
760,0
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0,00362
0,00410
0,00461
0,00514
0,00571
0,00630
0,00693
0,00758
0,00826
0,00897
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0,01048
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0,01211
0,01296
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0,01571
0,01668
0,01768
0,01871
0,01977
0,02086
0,02198
0,00049
0,00077
0,00110
0,00149
0,00195
0,00246
0,00303
0,00367
0,00436
0,00511
0,00593
0,00680
0,00774
0,00873
0,00978
0,01090
0,01207
0,01331
0,01460
0,01596
0,01737
0,01885
0,02038
0,02197
0,02363
0,02534
0,02712
0,02895
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0,03280
0,03482
0,03689
0,03903
0,04122
0,04348
D= 800
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1 000
1 050
1 100
1 150
1 200
1 250
1 300
1 350
1 400
1 450
1 500
1 550
1 600
1 650
1 700
1 750
1 800
1 850
1 900
1 950
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0,00172
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0,00250
0,00279
0,00310
0,00343
0,00376
0,00412
0,00449
0,00488
0,00528
0,00570
0,00613
0,00658
0,00704
0,00753
0,00802
0,00853
0,00906
0,00961
0,01017
0,01074
0,01133
0,01194
0,01256
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0,00057
0,00078
0,00102
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0,00228
0,00267
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0,00355
0,00404
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0,00511
0,00569
0,00630
0,00694
0,00762
0,00833
0,00906
0,00983
0,01064
0,01147
0,01233
0,01323
0,01415
0,01511
0,01610
0,01712
0,01817
0,01925
0,02037
0,02151
0,02269
0,02390
V m/s
0,41
0,51
0,61
0,71
0,81
0,92
1,02
1,12
1,22
1,32
1,43
1,53
1,63
1,73
1,83
1,94
2,04
2,14
2,24
2,34
2,44
2,55
2,65
2,75
2,85
2,95
3,06
3,16
3,26
3,36
3,46
3,57
3,67
3,77
3,87
V m/s
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0,99
1,09
1,19
1,29
1,39
1,49
1,59
1,69
1,79
1,89
1,99
2,09
2,19
2,29
2,39
2,49
2,59
2,69
2,79
2,88
2,98
3,08
3,18
3,28
3,38
3,48
3,58
3,68
3,78
3,88
V2/2g
0,01
0,01
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,06
0,08
0,09
0,10
0,12
0,14
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0,23
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0,28
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0,44
0,48
0,51
0,54
0,58
0,61
0,65
0,69
0,72
0,76
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,09
0,10
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0,45
0,48
0,52
0,55
0,58
0,62
0,65
0,69
0,73
0,77
D= 600
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
125,0
150,0
175,0
200,0
225,0
250,0
275,0
300,0
325,0
350,0
375,0
400,0
425,0
450,0
475,0
500,0
525,0
550,0
575,0
600,0
625,0
650,0
675,0
700,0
725,0
750,0
775,0
800,0
825,0
850,0
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900,0
925,0
950,0
975,0
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0,00251
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0,00791
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0,00900
0,00957
0,01017
0,01078
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0,00793
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0,00951
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0,01955
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0,02199
0,02326
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D= 900
mm
k= 0,0001
0,002
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j(m/m)
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1 000
1 050
1 100
1 150
1 200
1 250
1 300
1 350
1 400
1 450
1 500
1 550
1 600
1 650
1 700
1 750
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1 950
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V m/s
0,44
0,53
0,62
0,71
0,80
0,88
0,97
1,06
1,15
1,24
1,33
1,41
1,50
1,59
1,68
1,77
1,86
1,95
2,03
2,12
2,21
2,30
2,39
2,48
2,56
2,65
2,74
2,83
2,92
3,01
3,09
3,18
3,27
3,36
3,45
V m/s
0,47
0,55
0,63
0,71
0,79
0,86
0,94
1,02
1,10
1,18
1,26
1,34
1,41
1,49
1,57
1,65
1,73
1,81
1,89
1,96
2,04
2,12
2,20
2,28
2,36
2,44
2,52
2,59
2,67
2,75
2,83
2,91
2,99
3,07
3,14
V2/2g
0,01
0,01
0,02
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0,03
0,04
0,05
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0,07
0,08
0,09
0,10
0,12
0,13
0,14
0,16
0,18
0,19
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0,36
0,38
0,41
0,43
0,46
0,49
0,52
0,55
0,58
0,61
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,13
0,14
0,15
0,17
0,18
0,20
0,21
0,23
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0,26
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0,30
0,32
0,34
0,36
0,39
0,41
0,43
0,45
0,48
0,50
D= 700
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1 000
1 050
1 100
1 150
1 200
1 250
1 300
1 350
1 400
1 450
1 500
1 550
1 600
1 650
1 700
1 750
1 800
1 850
0,00018
0,00031
0,00048
0,00067
0,00090
0,00116
0,00145
0,00177
0,00213
0,00251
0,00293
0,00338
0,00386
0,00438
0,00492
0,00550
0,00610
0,00674
0,00742
0,00812
0,00885
0,00962
0,01042
0,01124
0,01211
0,01300
0,01392
0,01488
0,01586
0,01688
0,01793
0,01901
0,02013
0,02127
0,02245
0,00029
0,00052
0,00080
0,00116
0,00157
0,00205
0,00259
0,00320
0,00386
0,00459
0,00539
0,00625
0,00717
0,00816
0,00920
0,01032
0,01149
0,01273
0,01403
0,01540
0,01683
0,01832
0,01987
0,02149
0,02318
0,02492
0,02673
0,02860
0,03054
0,03254
0,03460
0,03673
0,03892
0,04117
0,04349
D= 1000
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1 000
1 050
1 100
1 150
1 200
1 250
1 300
1 350
1 400
1 450
1 500
1 550
1 600
1 650
1 700
1 750
1 800
1 850
1 900
1 950
2 000
2 050
0,00015
0,00020
0,00025
0,00030
0,00036
0,00042
0,00049
0,00056
0,00064
0,00073
0,00082
0,00091
0,00101
0,00111
0,00122
0,00134
0,00145
0,00158
0,00171
0,00184
0,00198
0,00212
0,00227
0,00243
0,00258
0,00275
0,00292
0,00309
0,00327
0,00345
0,00364
0,00383
0,00403
0,00423
0,00444
0,00024
0,00032
0,00040
0,00049
0,00059
0,00071
0,00083
0,00096
0,00110
0,00125
0,00141
0,00158
0,00176
0,00195
0,00215
0,00236
0,00258
0,00280
0,00304
0,00329
0,00355
0,00381
0,00409
0,00437
0,00467
0,00498
0,00529
0,00562
0,00595
0,00629
0,00665
0,00701
0,00738
0,00777
0,00816
Une fausse erreur n’est pas forcément une vérité vraie…
Eléments d’hydraulique générale -40-
V m/s
0,39
0,52
0,65
0,78
0,91
1,04
1,17
1,30
1,43
1,56
1,69
1,82
1,95
2,08
2,21
2,34
2,47
2,60
2,73
2,86
2,99
3,12
3,25
3,38
3,51
3,64
3,77
3,90
4,03
4,16
4,29
4,42
4,55
4,68
4,81
V m/s
0,45
0,51
0,57
0,64
0,70
0,76
0,83
0,89
0,95
1,02
1,08
1,15
1,21
1,27
1,34
1,40
1,46
1,53
1,59
1,66
1,72
1,78
1,85
1,91
1,97
2,04
2,10
2,16
2,23
2,29
2,36
2,42
2,48
2,55
2,61
V2/2g
0,01
0,01
0,02
0,03
0,04
0,06
0,07
0,09
0,10
0,12
0,15
0,17
0,19
0,22
0,25
0,28
0,31
0,34
0,38
0,42
0,46
0,50
0,54
0,58
0,63
0,67
0,72
0,77
0,83
0,88
0,94
0,99
1,05
1,11
1,18
V2/2g
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,05
0,06
0,07
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,19
0,20
0,21
0,22
0,24
0,25
0,27
0,28
0,30
0,31
0,33
0,35
VI. LES POMPES CENTRIFUGES
Dans ce chapitre, nous allons aborder uniquement les pompes centrifuges, qui sont de loin les plus utilisées en
hydraulique d'aménagement. Nous n'envisageons donc pas l'étude des autres appareils élévatoires, tels que bélier
hydraulique, pompes volumétriques ou pompes à piston.
VI.1 CONSTITUTION ET PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT
Nous n'aurons pas pour but ici de faire les démonstrations théoriques permettant de déterminer les conditions
de fonctionnement d'une pompe, mais uniquement de préciser les connaissances nécessaires pour guider le choix d'une
pompe.
VI.1.1 Principe de fonctionnement
Une pompe comporte d'une façon schématique :
- un organe mobile : la roue, ou turbine, ou impulseur,
- des organes fixes : diffuseur et canaux de retour.
La pompe étant pleine, la rotation de la turbine entraînée par le moteur, chasse l'eau de la région axiale vers la
périphérie. De ce fait, il se produit une dépression dans la région centrale, ce qui provoque l'appel des tranches d'eau
suivantes et un écoulement continu. L'eau à la sortie de la roue est recueillie par le diffuseur qui dirige l'eau vers la
conduite de refoulement.
VI.1.2 Rôle des différents organes
La roue est animée d'un mouvement de rotation entretenu par le moteur. Pour que la roue communique son
mouvement, des aubages sensiblement parallèles à l'axe de rotation, sont fixés à cette roue. La concavité des aubages
est à l'opposé du sens de rotation et les angles qu'ils forment à l'entrée et à la sortie dépendent des conditions H et Q de
travail de la pompe.
Aubage du
Diffuseur et
diffuseur
son aubage
U2
V2
Aubage de
la roue
Limite axiale de
2
l'aubage de la roue D
W1
V1
2
Ouïe de
1
U1
D2
W2
la roue

2
1
D1
D
1
Soit U la vitesse tangentielle d'entraînement due à la rotation de la roue, W la vitesse relative par rapport à la
roue, la vitesse absolue V est donc :
V=W+U
A l'entrée de la roue on peut admettre que la vitesse est radiale donc U1 est perpendiculaire à V1 ( 1= 90°).
On obtiendra W1 par une construction des parallélogrammes. Pour que l'écoulement s'effectue sans choc il faut que
l'aubage soit tangent à W1, et par conséquent, qu'il fasse un angle B1 avec U1. Il en est de même à la sortie de la roue
où l'angle 2 de V2 avec U2 doit être égal à l'angle de l'aubage du diffuseur. Cet angle 2 dépend de Q et de H. Les
angles 1 et 2 sont des angles de construction dont la valeur est de l'ordre de 15° à 30°.
La roue a pour effet d'augmenter la pression de l'eau mais surtout d'augmenter son énergie cinétique.
A la sortie de la roue l'eau pénètre dans le diffuseur dont le rôle est de transformer l'énergie cinétique en
énergie de pression et ramener la vitesse de l'eau à sa valeur V1 qu'elle avait à l'entrée. Pour ce faire, la section offerte à
l'écoulement doit aller en augmentant, mais pour éviter de trop grandes pertes d'énergie, l'eau est dirigée par des
aubages aux tracés divergents.
A la sortie du diffuseur, il faut ramener l'eau avec cette faible vitesse jusqu'à l'entrée de la roue suivante. Ceci
est le rôle des canaux de retour dont la section est généralement constante. Parfois, la diffusion se poursuit dans les
canaux de retour dont la section n'est, alors, plus constante.
Le théorème d'Euler permet d'évaluer l'énergie fournie par la pompe au fluide. Soit V les vitesses absolues, u
les vitesses d'entraînement et W les vitesses relatives par rapport à la pompe. On peut construire les triangles des
vitesses à l'entrée (notée 1) et à la sortie (notée 2) de la pompe :
Eléments d’hydraulique générale -41-
W2
W1
V1
Vn1
1
Vu1
V2
1
Vn2
2
U1
2
Vu2
U2
Le théorème d'Euler exprime que la résultante des forces extérieures qui s'exercent sur un domaine de fluide,
est égale au débit de quantité de mouvement qui sort de ce domaine. On peut montrer aisément que ce théorème
s'applique également aux moments par rapport à un axe quelconque.
Soient R1 et R2 les rayons de la roue à l'entrée et à la sortie, C le couple exercé sur l'axe de rotation de la
pompe ; on aura :
C = Q (R2 Vu2 - R1 Vu1)
où Vu1 et Vu2 sont les composantes tangentielles des vitesses absolues.
La puissance fournie par la pompe est donc W = C ,  étant la vitesse de rotation (en radian par seconde) :
W = Q  (R2 Vu2 - R1 Vu1)
Soient Sn1 et Sn2 les sections offertes à l'écoulement à l'entrée et à la sortie de la source. On aura :
Q = Sn1 vn1 = Sn2 vn2
mais :
Vu1 
Vu 2  u 2  
Vn1
Q

tg1 S n1tg1
Vn 2
V
 Vu 2  u 2  n 2
tg2
tg2
Vu 2  R 2 
Q
S n 2 tg 2
La puissance fournie à l'eau est donc : W =  Q  R2 Vu2 -  Q  R1 Vu1
Q
Sn1 tg 1
Sn2 tg 2
R2
R1
W =  Q 2 R2 2 -  Q2
+
Sn1
tg 1
Sn2 tg 2
W =  Q  R2  R2 -
Q
-  Q  R1
Mais la puissance fournie à l'eau est aussi égale à : W =  g Q H, d'où la relation théorique entre H et Q :
R2
R1
H = 2 R2 2 -  Q/g
+
g
Sn1
tg 1
Sn2 tg 2
(Souvent, les vitesses V1 sont purement radiales, donc VV1 = 0 et l'on tire : H = (V2 u2 cos 2 / g) et Q =  D
L Vn2).
On appelle caractéristique d'une pompe, la courbe H (Q) et on voit donc que théoriquement, cette relation est
R2
R1
+
Sn1
tg 1
linéaire. Selon le signe de l'expression Sn2 tg 2
, la caractéristique sera montante ou descendante.
Dans la pratique, on réalise des pompes à caractéristique descendante de façon à limiter la puissance en cas d'incident et
à faciliter les couplages stables.
Cette relation n'est que théorique car une partie
H
de la puissance sert à vaincre les frottements (Hf  k Q2)
et à compenser les pertes par choc lorsque le débit Q
H théo
s'éloigne du débit Qo pour lequel la pompe a été dessinée
[Hc  K (Q - Qo) 2].
Hc
H réel
Hf
A partir d'une caractéristique théorique Ht (q)
linéaire, on obtient une caractéristique réelle H (Q) à
allure parabolique :
h (Q) = Ht (Q) - Hf (Q) - Hc (Q)
Q
Les souvenirs récents qui ont le respect des anciens s’effacent devant ceux-ci…
Eléments d’hydraulique générale -42-
VI.2 DIFFÉRENTS TYPES DE POMPES
VI.2.1 Directions d'écoulement
Selon les directions de l'écoulement dans la roue, on peut faire les distinctions suivantes :
-
-
roues à écoulement semi-axial. Pour relever de
forts débits sur de faibles hauteurs on montre
que les vitesses d'entrée doivent être faibles. La
hauteur de refoulement étant faible le diamètre de
sortie est relativement faible d'où la construction
d'une pompe hélico-centrifuge avec des dimensions
importantes. Les diamètres d'entrée et de sortie
sont comparables.
-
roues à écoulement radial. Ce sont les pompes
centrifuges au sens strict. Elles permettent de
relever des faibles débits sur de fortes hauteurs.
La hauteur de refoulement croît avec le diamètre
extérieur de la roue. Dans ce cas, l'écoulement est
radial et les aubages sont des surfaces planes.
D1
D2
roues à écoulement axial : ce sont les pompes
hélices où les pales sont constituées par des
surfaces gauches. Ces pompes conviennent pour
relever de forts débits sur de faibles hauteurs.
D1 = D 2
-
dans le cas d'un débit fort avec une hauteur de
relèvement moyenne, on peut faire appel aux
pompes à deux entrées (ou pompes à deux ouïes).
L'eau y pénètre symétriquement ce qui équilibre les
poussées et améliore le rendement.
VI.2.2 Pompes mono- et multi-cellulaires
Diffuseur
Roue
Canaux de
retour
Arbre
Etage 1
Une pompe centrifuge multicellulaire comporte
plusieurs roues clavetées sur un même arbre d'entraînement.
Chaque cellule, ou étage, comporte les éléments décrits
précédemment : c'est à dire une turbine, un diffuseur et des
canaux de retour qui ramènent l'eau à l'entrée de la turbine
suivante.
On fait appel aux pompes multicellulaires lorsque la
hauteur de refoulement est telle qu'elle conduirait pour une
pompe monocellulaire, à des dimensions trop importantes pour
la construction. On utilise également les pompes multicellulaires
lorsque des raisons d'encombrement limitent le diamètre
extérieur de la roue, et par conséquent, la hauteur de relèvement
de chaque étage.
Etage 2
Eléments d’hydraulique générale -43-
Une pompe monocellulaire ne comporte donc qu'une
seule roue, les canaux de retour deviennent inutiles. En
fait, le rôle des diffuseurs et des canaux de retour est joué
par un seul élément : la volute. Cette volute a une section
croissante depuis son origine jusqu'à la sortie. Mais le
débit transitant dans la volute va en augmentant si bien que
la vitesse y demeure sensiblement constante.
Roue
Axe d’entrainement
Volute
VI.2.3 Pompes de surface
Ce type de pompe conçue pour être installée à la surface est le plus fréquemment rencontré. Les types de pompes
sont nombreux et adaptés aux fluides qu'ils doivent transporter. La qualité du fluide joue sur la conception de la pompe
aussi bien que sur les matériaux utilisés pour sa construction. Généralement, le corps de la pompe est en fonte et la roue
en bronze. Pour l'eau de mer par exemple, on utilise des pompes uniquement en bronze. Pour des eaux chargées, on
prévoira des accès de visite, afin de nettoyer la pompe en cas d'engorgement ; les presses étoupes seront alimentées en
eau pure par un système indépendant afin de réduire les usures.
Pour les pompes de surface on rencontre aussi bien des pompes à axe de rotation vertical qu'horizontal.
VI.2.4 Pompes gyrostatiques
Moteur
Refoulement
Axe d’
entrainement
Pompe
VI.2.5 Groupes immergés
Les groupes immergés répondent aux mêmes
besoins que les groupes gyrostatiques, c'est à dire
l'exploitation de forages étroits plus ou moins profonds.
Ils se composent d'une pompe à axe vertical (mono ou
multicellulaire) surmontant un moteur électrique étanche.
L'aspiration se fait par une crépine située entre le moteur et
la pompe. Ce schéma présente l'avantage de réduire les
installations de surface, de maintenir la pompe et le moteur
hors gel, et de supprimer les risques de désamorçage. Par
rapport aux groupes gyrostatiques, il présente l'avantage de
limiter les pertes d'énergie dans la transmission du
mouvement.
Ces pompes ont été conçues pour le cas où la
hauteur d'aspiration devient trop forte pour une pompe
de surface. Dans ce cas, la pompe fixée à sa conduite de
refoulement, est descendue verticalement jusqu'à ce que la
hauteur d'aspiration soit admissible. La pompe peut même
être immergée. Le moteur d'entraînement est situé en
surface, à la verticale de la pompe à axe vertical. La
transmission du mouvement se fait par une ligne d'arbres
logée dans la conduite de refoulement.
Généralement, les pompes utilisées sont
multicellulaires puisque les dimensions sont restreintes et
la hauteur de refoulement grande. Cependant, on
rencontre également des pompes gyrostatiques où les
différentes cellules sont réparties en relais tout au long de
la conduite de refoulement.
Refoulement
Alimentation
électrique
Pompe
Moteur
Rien n’est plus semblable à l’identique que ce qui est pareil à la même chose…
Eléments d’hydraulique générale -44-
VI.3 COURBES CARACTÉRISTIQUES DES POMPES CENTRIFUGES
VI.3.1 Définitions
On appelle plan de référence d'une pompe le plan horizontal de rotation ou, dans le cas d'une pompe à axe
vertical, le plan horizontal passant par l'entrée de l'ouïe de la première roue (dans les cas différents, le constructeur
précise sa définition du plan de référence).
Hr
Hg
Hr
Hg
Ha
Hc
On appelle hauteur géométrique d'aspiration Ha, la distance verticale entre le plan de référence de la pompe
et le niveau le plus bas de la prise d'eau. On appelle hauteur géométrique de charge H c, la distance verticale entre le
niveau dans la prise d'eau et le plan de référence. On appelle hauteur géométrique Hg, totale de refoulement la
distance verticale entre le plan d'eau de la prise et le niveau dans le réservoir de refoulement :
Hg = H a + H r
Hg = H r - Hc
On appelle hauteur manométrique totale d'élévation, Ht, l'équivalent en hauteur d'eau de l'énergie fournie
par la pompe au liquide. Si J représente l'ensemble des pertes de charges dans le liquide on a :
Ht = Hr + Ha + J
Ht = Hr - Hc + J
u2
En général les termes de vitesse
sont négligeables.
2g
VI.3.2 Courbe débit-hauteur
Cette courbe donne la relation entre le débit Q et la hauteur
manométrique totale d'élévation de la pompe. Cette caractéristique dépend
évidemment de la vitesse de rotation de la pompe.
Cette courbe présente généralement l'allure d'une parabole (1 et 2). Pour les roues
à écoulement radial, la caractéristique peut être du type 1 ou du type 2. Dans le
type 1 le point à vanne fermée (Q = 0) est inférieur au point où H est maximum ;
ceci conduit à des difficultés d'emploi (instabilités) au niveau du débit
correspondant à H max., et surtout dans le cas ou l'on doit placer des pompes de ce
type en parallèle. Pour les roues à écoulement semi-axial, la caractéristique est
toujours plongeante (type 2). Enfin, pour les pompes hélices, la caractéristique
prend la forme particulière de la courbe 3.
H
1
2
3
Q
VI.3.3 Courbe de rendement (Q, )
La courbe de rendement (Q, ) présente un maximum pour le point HQ pour lequel ont été calculés les
angles d'entrée et de sortie des aubages. Suivant la vitesse de rotation de la pompe, la caractéristique QH se déplace
et on peut porter dans le plan (Q, H) les courbes isorendement. Pour le point à vanne fermée, le rendement est nul.
Pour ceux qui vont chercher midi à quatorze heures, la minute de vérité risque de se faire longtemps attendre…
Eléments d’hydraulique générale -45-
VI.3.4 Courbe des puissances absorbées (Q, P)
Cette courbe a généralement l'allure parabolique de la courbe de droite, mais dans le cas des pompes axiales, la
puissance absorbée vanne fermée peut être supérieure à celle absorbée en service.
H en m,  en %
100
W en kW
Pompe axiale
1000
H en m,  en %
90
90
80
80
70
70
W en kW
Pompe radiale
1000
60
60
50
50
40
40
H
30
H
20

20

10
W
10
W
30
0
0
0.25
0.5
0.75
1
100
1.25
0
100
0
0.2
Q en m3/s
0.4
0.6
Q en m3/s
Dans la pratique les caractéristiques d'une pompe sont tracées après un essai où l'on mesure Q H et P,  est
calculé ensuite à partir de ces éléments.
VI.3.5 N.P.S.H.
Le N.P.S.H. (Net Positive Suction Head) représente pour une vitesse de rotation donnée, la pression absolue
minimale que doit avoir l'eau à la bride d'entrée de la pompe pour éviter que ne se produise une cavitation.
Dans le cas où le fluide est de l'eau à 20° si la pression
10
absolue descend, l'eau va se mettre à bouillir vers une
9
pression de l'ordre de 0m d'eau, mais si l'eau est à une
Ha
8
température supérieure, il faudra tenir compte de la
7
pression de vapeur saturante à cette température.Dans la
Ja
pratique, on devra donc toujours avoir, si Jo représente les
6
pertes de charge dans la conduite d'aspiration :
5
10 - (Ha + Ja )  N.P.S.H.
Cavitation
Pas de cavitation
4
10 - (-Hc + Ja)  N.P.S.H.
N.P.S.H
3
Pour les pompes multicellulaires, on ne
s'intéressera qu'à la courbe de N.P.S.H. du premier étage.
2
10-Ha-Ja
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Q en m3/s
VI.4 CHOIX D'UNE POMPE CENTRIFUGE
VI.4.1 Conditions techniques
La nature du fluide à transporter, la place disponible et la hauteur et le débit de refoulement vont permettre
tout d'abord de définir le genre de pompe nécessaire et ses matériaux de fabrication. Ce premier choix fait, les
constructeurs proposent dans chaque genre de pompe un graphique log Q, log H sur lequel sont portés les domaines
d'utilisation de chaque type de pompe. La comparaison du débit, de la hauteur de refoulement nécessaire et du
graphique permet de déterminer le type de pompe.
Une femme mariée à un homme qui la trompe avec le mari de son amant, laquelle trompe son mari avec le sien et qui
en est réduite à tromper son amant avec celui de sa femme parce que son amant est son mari et parce que la femme de
son époux est la maîtresse d’un homme déshonoré par l’amant d’une femme dont le mari trompe sa maîtresse avec la
femme de son amant…ne sait plus où elle en est ni ce qu’elle doit faire pour ne pas compliquer encore une situation qui
l’est déjà suffisamment assez comme ça.
Eléments d’hydraulique générale -46-
VI.4.2 Point de fonctionnement
Hm
On connaît d'une part, les caractéristiques exactes
de l'installation, c'est à dire la hauteur géométrique totale
de refoulement Hg et les pertes de charge Ja et Jr dans
l'aspiration et le refoulement. La charge totale Ht
nécessaire pour transiter un débit Q est :
Ht = Hg + Ja + Jr
D'autre part, on connaît la caractéristique Q - H de la
Hi
pompe choisie. Le point de fonctionnement se trouve alors
à l'intersection I de la caractéristique du réseau et de la
caractéristique de la pompe.
Dans le cas où la pompe a une caractéristique
présentant un maximum, le point de fonctionnement doit
se situer dans la partie descendante de la courbe et loin du
maximum. En effet, dans la partie ascendante le point de
fonctionnement correspondrait à un équilibre instable.
Zone de fonctionnement
instable
Caractéristique H-Q
de la pompe
Point de
fonctionnement
I
Caractéristique H-Q
du réseau
Ja+Jr
Hg
Qi
Q m3/s
Par ailleurs, chaque fois qu'il sera utile, on vérifiera que la pompe, quelles que soient les conditions de marche,
ne risque pas de caviter. Pour cela, il suffit de tracer la caractéristique de la conduite d'aspiration sur la courbe de
NPSH en portant les valeurs de 10-(Ha + Ja).
Ceux qui sont myopes d’un œil, presbytes de l’autre et qui louchent par surcroît n’ont aucune excuse valable pour ne
pas se rendre compte de ce qui se passe autour d’eux…
Eléments d’hydraulique générale -47-
VI.4.3 Modification d'une pompe
Hm
Il est bien rare, que l'intersection de la caractéristique du
réseau et de la caractéristique de la pompe corresponde
exactement au couple H – Q, que l'on désire obtenir. Dans
ce cas, si la différence est faible, on peut utiliser une
pompe un peu plus puissante et changer la caractéristique
du réseau en ajoutant une vanne. Cette solution qui peut
paraître la plus simple, devient désastreuse lorsque l'on a
affaire à une pompe qui est destinée à une seule
installation et pour un temps assez long. En effet, dans ce
cas, la pompe va d'abord risquer de travailler avec un
mauvais rendement, mais aussi la charge étant augmentée
par l'adjonction de la vanne, la puissance absorbée sera
augmentée.
Jv
Ja+Jr
Hg
Q désiré
Q m3/s
Q sans vanne
Ht en m
50
Une deuxième solution lorsque le moteur
d'entraînement le permet, est de modifier la vitesse de
rotation de la pompe. Entre les vitesses V1 et V2 de
rotation on a les relations suivantes :
Q1 V1
=
Q2 V2
H1 = V1
H2 V2
2
NPSH1 = V1
NPSH2 V2
P1 = V1
P2 V2
3
45
1740 tr/mn
40
1600
35
30
80%
1450
65%
25
1305
2
50%
20
1160
15
Ces relations ne sont valables que pour de faibles
variations de vitesse. Cependant, les constructeurs donnent
généralement les caractéristiques extrêmes pour la plage
de vitesse utilisable.
1015
10
870
5
0
0
Ht en m
0.2
0.4
0.6
30
1
Q en m3/x
D360
25
0.8
D340
75%
20
D330
70%
D315
15
65%
10
Bien souvent, la nature du moteur d'entraînement,
ne permet pas économiquement de modifier la vitesse de
rotation de la pompe. Pour adapter la pompe aux besoins
on pourra alors jouer sur le diamètre de la roue. En effet,
en diminuant le diamètre de la roue, on diminue la hauteur
de refoulement. Soit D1 et D2 les diamètres de la roue, on
a:
Q1 H1 D1 2
=
=
Q2 H2 D2
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Q en m3/x
P1 = D1 4
P2
D2
Ces formules sont également valables pour des
rognages de l'ordre de quelques pour cent de diamètre de la
roue. Si on désire rogner au-delà, jusqu'à 10% à 20% du
diamètre, le rendement baisse considérablement.
VI.4.4 Couplages de pompes
Dans bien des cas, les besoins H - Q ne peuvent être satisfaits par une seule pompe, ou, pour des raisons de
souplesse, on préfère utiliser plusieurs pompes. Dans ces cas on sera amené à utiliser des couplages de pompes.
Mettre de l’argent de côté pour l’avoir devant soi est pour paradoxale qu’elle soit une façon comme une autre
d’assurer ses arrières à effet de ne pas l’avoir dans le dos…
Eléments d’hydraulique générale -48-
VI.4.4.1 Montage en parallèle
Ce montage se rencontre lorsque l'on désire, pour
une même hauteur de refoulement, augmenter le débit. La
caractéristique de l'ensemble des deux pompes s'obtient en
ajoutant pour une même hauteur les débits de chaque
pompe. Le point P appelé point d'accrochage correspond à
la hauteur à partir de laquelle le débit de la pompe 1
intervient dans le débit total. Dans le cas où les deux
pompes ont des caractéristiques différentes, il convient de
s'assurer que le point de fonctionnement n'est pas audessus du point d'accrochage, auquel cas l'énergie
absorbée par la pompe 1 serait totalement perdue. Dans un
tel cas, il est généralement difficile de faire travailler
chaque pompe avec un bon rendement. Il est souvent bien
avantageux d'utiliser deux pompes identiques ce qui évite
les risques de décrochage et améliore le rendement de
l'ensemble.
Il faudra de toute façon utiliser des pompes ayant
une caractéristique constamment plongeante afin d'éviter le
risque de faire barboter une des pompes.
H t en m
H a u t e u r d 'a c c r o c h a g e
1
2
Q1
Q2
1 +2
Q 1 +Q 2
Q e n m 3 /x
VI.4.4.2 Montage en série
Ht en m
Débit d'accrochage
Ce montage s'emploie lorsque l'on veut
augmenter la hauteur de refoulement. Ce cas se rencontre
par exemple sur des forages où une pompe immergée
relève l'eau jusqu'à la surface, où elle est reprise par une
pompe de surface.
Dans ce cas, la caractéristique de l'ensemble des
deux pompes s'obtient en ajoutant pour un débit donné les
hauteurs de refoulement des deux pompes.
1+2
H1+H2
H2
2
1
H1
Q en m3/x
VI.4.5 Remarques sur l'installation
Une pompe à sa mise en route n'aspire que si l'aspiration et la pompe contiennent de l'eau. Afin d'amorcer une
pompe plusieurs solutions sont possibles. La première est de remplir manuellement la pompe et l'aspiration (clapet de
pied nécessaire) en amenant de l'eau dans l'entonnoir prévu sur la pompe. Un deuxième procédé consiste à placer la
pompe en charge par rapport à l'alimentation, ou par rapport au refoulement si la conduite demeure en charge. On peut
aussi adjoindre à la pompe, une pompe à vide destinée à remplir la conduite d'aspiration. Enfin, il existe des pompes
auto-amorçante pour lesquelles il suffit de remplir le corps de pompe. Ces dernières se limitent à des modèles de faible
puissance.
Dans un autre ordre d'idées, il convient de soigner la constitution de la conduite d'aspiration qui doit, lorsque
les risques de cavitation sont possibles, donner une perte de charge aussi faible que possible. Cette conduite doit
également ne pas avoir de points hauts afin d'éviter lors de son remplissage, la formation de "bouchons d'air". Enfin,
l'arrivée de l'eau dans la pompe doit être aussi bien répartie que possible. Il faut donc éviter de faire faire à l'aspiration
un coude juste en aval de la pompe.
VI.5 SIMILITUDE DES POMPES
VI.5.1 Expression générale des caractéristiques de fonctionnement optimum
En reprenant les notations du paragraphe 1, le débit Q de la pompe et sa hauteur de refoulement H au point de
rendement maximum, s'expriment à partir des triangles des vitesses et des dimensions de la pompe par les relations :
Eléments d’hydraulique générale -49-
L’amour paternel et l’amour maternel sont les deux mamelles de l’amour filial…
V2
U2
H = V2 u2 gcos 2
Roue
2
et
Q =  D L Vr
Vr
W2
V2 est la vitesse absolue à la sortie
u2 est la vitesse d'entraînement à la sortie
2 est l'angle entre u2 et V2
D est le diamètre de sortie
L est la largeur de la roue
Vr est la vitesse radiale
N est la vitesse de rotation
L
Aubage
D
N
VI.5.2 Notion de vitesse spécifique Ns
Construisons une deuxième pompe de diamètre d et de largeur l semblable géométriquement à la précédente.
Elle fournira un débit q avec une hauteur h pour une vitesse n tels que :
H/h = D/d 2 N/n 2 et Q/q = D/d 2 L/l N/n
Appelons  l'échelle géométrique de similitude :  = D/d = L/l.
On en tire :
 = 3 Q/q n/N = n/N H/h
Q/q1/3 = n/n2/3 H/h1/2  Q/q1/2 = n/N H/h3/4
Le rapport que nous noterons ns est donc constant :
ns =
Q1/2 N
H3/4
=
q1/2 n
h3/4
Ce terme ns est appelé vitesse spécifique de ces deux pompes. C'est un élément caractéristique de la forme
de la pompe puisqu'il ne change pas lors d'une similitude et qu'il est indépendant de la vitesse de rotation (si n croît, Q
croît comme n et H comme n2 ; donc Ns = cte). Ns s'exprime en général en tr/mn avec Q en m3/s, N en tours/mn et H
en m.
VI.5.3 Choix d'une pompe à partir de son Ns
En général, on connaît les besoins Q et H ainsi que la vitesse de rotation N d'après l'entraînement envisagé ; on
peut donc calculer le Ns de la pompe désirée :
ns =
Q1/2 N
H3/4
Pour satisfaire cette demande, le constructeur va donc chercher dans ses fabrications la pompe qui a le N s le
plus voisin de celui désiré. Admettons que cette pompe fournisse un débit q et une hauteur h avec une vitesse n :
ns =
Le rapport de similitude est tel que :
3
q1/2 n
h3/4
Q n
q N
On peut calculer et construire une pompe semblable à la précédente en multipliant toutes ces dimensions par
.
Eléments d’hydraulique générale -50-
Si la fortune vient en dormant, ça n’empêche pas les emmerdements de venir au réveil…
VII. GENERALITES SUR LES CANAUX
VII.1 NOTION DE CANAL
Canal découvert
Un canal est une conduite dans laquelle l’eau
circule en présentant une surface libre. La position de cette
surface libre n’est pas fixée à priori, et la géométrie de
l’écoulement n’est donc pas connue. A la surface libre la
pression est égale à la pression atmosphérique.
Si les parois ne se referment pas au-dessus de la
surface libre on dira que le canal est découvert. Dans le cas
contraire, on parle de canaux couverts (drains, égouts,…).
Pour qu’un canal couvert se comporte comme canal à
surface libre il faut que la pression reste la pression
atmosphérique et donc qu’il reste une tranche d’air
suffisante pour qu’il ne se produise pas d’effet
pneumatique. Cela arrive par exemple lorsqu’un réseau
d’assainissement pluvial tend à se mettre en charge.
Canaux couverts
Un canal est dit uniforme lorsque son lit est
cylindrique (engendré par une génératrice s’appuyant sur
un contour) et conserve des parois de même nature d’une
section à l’autre. Dans ce cas la pente longitudinale, la
direction, la nature des parois et les sections transversales
sont constantes. Toute modification d’un de ces paramètres
constitue une singularité qui rompt l’uniformité du canal.
Ainsi les canaux naturels ne sont jamais strictement
Nature des parois
uniformes même si souvent nous serons amenés à admettre variable transversalement mais
qu’ils le sont en moyenne.
constante longitudinalement
Génératrice
Contour
VII.2 SECTION TRANSVERSALE
On appelle section transversale d’un canal , une section plane, normale à la direction générale de l’écoulement.
Pour un canal uniforme cette section est perpendiculaire à la génératrice. La section mouillée est la portion de la section
transversale occupée par le liquide. Les principaux éléments que l’on peut définir à partir de la section mouillée sont :
B : la largeur au miroir, ou largeur mouillée (largeur la surface
libre) ;
H : hauteur d’eau, ou profondeur (mesurée à partir du point le
plus bas de la section ;
S : Surface mouillée (aire occupée par l’eau dans la section
transversale) ;
p : Périmètre mouillée (longueur du contact transversal eau –
paroi).
B
S
H
p
A partir de ces éléments on définit les paramètres suivants :
S
S
4S
Rh  : le rayon hydraulique ; Dh  4Rh 
: le diamètre hydraulique ; Hm 
: la profondeur moyenne.
B
p
p
VII.3 REPARTITION DES VITESSES
Dans les canaux les écoulements sont quasi toujours turbulents. La vitesse en un point varie en grandeur et en
direction autour d’une vitesse moyenne appelée vitesse locale Vl. Ces vitesses locales ne sont jamais distribuées
uniformément dans la section. Cette répartition est représentée par des courbes isodromes (égales vitesses). On constate
Eléments d’hydraulique générale -51-
une décroissance rapide des vitesses au voisinage des parois. Le point à vitesse maximale est généralement situé vers le
milieu de la section et près de la surface libre. Sur une verticale, le profil des vitesses prend généralement une allure
parabolique.
x
Si l’on appelle Vl(x,z) la vitesse locale, le débit Q
R.G.
x
R.D.
est le flux de la vitesse locale à travers la section
Zo
mouillée :
0.8 m/s
P.U.
R .D. Zo
Q
  Vl(x, z)dzdx
z
R .G . Zf ( x )
L’intégrale des vitesses locales le long d’une
verticale est appelée profil unitaire et noté P.U. :
Zf(x)
0.6 m/s
0.4 m/s
0.2 m/s
Zo
(Si les vitesses s’écartent notablement d’une direction normale à
la section, il convient de ne prendre en compte pour le calcul du
Zf ( x )
débit que la composante des vitesses normale à la section)
Pour les canaux rectangulaires ou de grande largeur on raisonne souvent en débit unitaire q. Si B est la largeur du canal,
le débit unitaire est : q = Q / B . Si S est la section mouillée, la vitesse moyenne dans la section V est donnée par : V =
Q/S .
P.U.( x ) 
 Vl(x, z)dz
VII.4 PENTES LONGITUDINALES
L’étude des écoulements dans les canaux fait régulièrement intervenir la pente I du fond du canal (pente du
radier) et la pente de la surface libre i.
Surface lib re
Par définition on a : I = sin () et i = sin ()
Horizontale

En général ces angles sont suffisamment faibles pour avoir :
I = sin ()  tg()  et i = sin () tg() 
cos ()  1 et cos ()  1

Les pentes seront comptées positivement si le radier et la surface libre
Radier
descendent dans le sens du courant.
VII.5 VARIATION DU MOUVEMENT DANS LE TEMPS
Le mouvement est permanent si les vitesses locales et si les différents paramètres sont indépendants du temps. Les
débits se conservent d’une section à l’autre sauf s’il y a des apports latéraux.
Dans le cas contraire, le mouvement est dit transitoire. Les paramètres dépendent du lieu et du temps.
Les cours d’eau naturels sont rarement en permanent, par contre les variations de débits sont souvent suffisamment
lentes pour que sur un pas de temps suffisamment petit on puisse considérer le mouvement comme permanent.
VII.6 VARIATION DU MOUVEMENT DANS L’ESPACE
Le régime est dit uniforme lorsque les profils des vitesses se translatent d’une section à l’autre. Le régime
uniforme ne peut donc se rencontrer que dans un canal uniforme et en régime permanent. La pente du fond est alors
égale à la pente de la surface libre.
Dans les autres cas on parle de régime varié. Si les vitesses augmentent on dira que le régime est accéléré si elles
diminuent le régime est qualifié de retardé.
Enfin on distinguera les régimes graduellement variés, où les pertes de charge sont analogues à celles du régime
uniforme, des régimes brusquement variés.
Régime uniforme
Régime varié
graduellement retardé
Régime varié
graduellement accéléré
Eléments d’hydraulique générale -52-
Régime varié
brusquement retardé
VIII. PERTES DE CHARGE DANS LES ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE
VIII.1 CHARGE DANS UNE SECTION
Les écoulements à surface libre correspondent très généralement à un écoulement pleinement turbulent. Même
en régime uniforme, les vitesses locales ont donc des composantes moyennes auxquelles s’ajoutent des composantes
aléatoires de moyennes nulles. La charge moyenne dans une section transversale est donc particulièrement délicate à
calculer.
Par la suite on admettra que la répartition des pressions est sensiblement hydrostatique et que l’écoulement est
assimilable à un écoulement piston de vitesse V (partout la même vitesse V=Q/S).
La charge moyenne E dans une section (où le fond est à la cote Zf, où le tirant d’eau est H et où la vitesse moyenne est
V=Q/S) est donc :
E = Zf + H + V2/2g
VIII.2 NOTION PHYSIQUE DE LA PERTE DE CHARGE
VIII.2.1 Pertes de charge en régime uniforme
La perte de charge H entre deux sections distantes d’une
longueur L est évidemment :
P1
V12 P2
V22
H  E1  E 2 
 Zf 1 

 Zf 2 
g
2g g
2g
Les vitesses et tirant d’eau étant constants d’une section à
l’autre on a :
H  Zf 1  Zf 2
Et le coefficient de perte de charge linéaire J n’est autre
que :
J
H Zf 1  Zf 2

I
L
L
En régime uniforme, l’écoulement se fait avec un tirant d’eau tel que la perte de charge linéaire est égale à la
pente du radier et à la pente de la surface libre. La baisse de l’énergie de position compense exactement les pertes
d’énergie dans l’écoulement.
Lorsque le régime uniforme est atteint le tirant d’eau H prend une valeur constante Hn dite hauteur d’eau
normale.
Le premier à étudier ce phénomène fut Chezy. Il constata que la vitesse moyenne dans la section V était liée à
la pente I, au rayon hydraulique Rh par un coefficient C selon l’expression :
V  C Rh I (C coefficient de Chezy)
Nous verrons un peu plus loin que ce coefficient C, n’est pas exactement une constante pour un canal donné.
VIII.2.2 Pertes de charge en régime graduellement varié
Soit un canal transitant un débit Q pour une hauteur H différente de la hauteur d’eau normale Hn, la pente de la surface
libre n’est plus tout à fait parallèle au fond mais elle s’en écarte peu. On peut donc imaginer que la perte de charge qui
dépend de la section mouillée et de la répartition des vitesses, ne change guère que l’écoulement soit uniforme ou
graduellement varié. On admettra donc que les formules de pertes de charge établies pour le régime uniforme restent
valables en régime graduellement varié.
VIII.2.3 Pertes de charge en régime brusquement varié
Si le régime est brusquement accéléré, on peut généralement considérer que la perte de charge singulière due à
cette accélération est sensiblement nulle.
Par contre en régime brusquement retardé, il se produit une augmentation de la turbulence. Il en résulte des
pertes de charge singulières du type perte de charge de Borda dans les écoulements en conduite.
VIII.3 FORMULATIONS DES PERTES DE CHARGE
VIII.3.1 Formule de Chezy
Nous avions vu dans l’analyse dimensionnelle des pertes de charge en écoulement en charge que l’on devait avoir :
j
V 2
2gD
Eléments d’hydraulique générale -53-
8g
V2
et D 4 Rh, on obtient : j  2
ce qui justifie la formule de Chezy : V  C Rh j

C Rh
En fait le coefficient de Chezy C varie avec le nombre de Reynolds et surtout avec la rugosité relative du canal.
VIII.3.2 Formule de Bazin
Bazin propose d’évaluer le coefficient C de Chézy
 Nature de la paroi
par la relation :
0,06 Parois très unies (ciment lissé)
0,16 Parois unies (planches, briques, pierres de taille)
87 Rh j
87
, ce qui donne encore : V 
C
0,46 Parois en maçonnerie


0,85 Parois en terre bien régulières
1
1
Rh
Rh
1,30 Parois en terre ordinaires
Le coefficient  dépend de la nature des parois et le tableau 1,75 Parois en terre et fond de galets ou herbes
ci-contre fixe les ordres de grandeur de .
en posant C 2 
VIII.3.3 Formule de Manning-Strickler
C’est la formule la plus largement usitée de nos jours. Elle préjuge que le coefficient C de Chézy varie comme :
1
1
C  Rh 6 où le coefficient de Manning n varie avec la nature des parois ;
n
ou encore :
C  k Rh
1
6
où le coefficient de Strickler k varie avec la nature des parois (évidemment k=1/n).
En France on utilise généralement le coefficient de Strickler et la formule générale est :
2
1
2
1
V  k Rh 3 j 2 ou encore Q  k S Rh 3 j 2
VIII.3.3.1 Etalonnage du coefficient k de Strickler
Pour les cours d’eau naturels, il est assez difficile de fixer a priori la valeur de k. Il est de loin préférable
d’étalonner ce coefficient k de Strickler sur le canal lui-même ou sur un canal de nature identique. Cet étalonnage
consiste à inverser la formule de Strickler lorsque l’on connaît la pente, le profil en travers et le débit.
VIII.3.3.2 Quelques valeurs de k usuelles pour les fleuves torrents et rivières
En première approximation et pour les cours d’eau naturels, on pourra retenir les ordres de grandeur suivants :
Nature du cours d’eau
Petits torrents de montagne à fond très irrégulier
Cours d’eau de montagne de 30 à 50m de large, pente supérieure à 0.002, fond de graviers
atteignant 10 à 20 cm.
Cours d’eau de montagne de 50m et plus de large, pente comprise entre 0.0008 et 0.002,
fond de graviers ne dépassant que rarement 10 cm.
Rivières à fond de graviers de 4 à 8 cm et de pente 0.0006 à 0.0008
Rivières à fond de graviers inférieurs à 4 cm et de pente 0.0006 à 0.0008
Rivières à fond de sable ou petits graviers et de pente 0.0006 à 0.00025
Cours d’eau peu turbulents, pente faible de 0.00012 à 0.00025, fond de sable et de vase
Très grands fleuves à très faible pente inférieure à 0.00012 et à fond très lisse
Coefficient k de Strickler
23 à 26
27 à 29
30 à 33
34 à 37
38 à 40
41 à 42
43 à 45
46 à 50
VIII.3.3.3 Evaluation de k à partir de la granulométrie du fond
Lorsque le fond et les berges sont constitués de matériaux meubles, Strickler propose d’évaluer k par la relation
Rh 16
k  26 (
)
suivante :
d 35
où Rh est le rayon hydraulique et d35 le diamètre tel que 35% en poids des matériaux lui aient un diamètre supérieur.
VIII.3.3.4 Evaluation de k par la méthode de Cowan
Cette méthode permet d’évaluer k en tenant compte non seulement de la nature des parois, mais aussi de tous les autres
paramètres qui influent sur la perte de charge et sont également intégrés dans la valeur de k. Cette méthode se base sur
l’identification de 6 paramètres liés à k par la relation :
1
 n 0 (n 1  n 2  n 3  n 4  n 5 )
k
Les valeurs à adopter pour ces six paramètres sont explicitées dans les tableaux suivants :
Selon la nature du fond et des parois prendre :
Terre
Rocher
Eléments d’hydraulique générale -54-
n1 =
0.020
0.025
Gravier fin
Gravier grossier
0.024
0.028
Selon les irrégularités de surface du fond et des parois, prendre :
Surfaces aussi lisses que le permettent les caractéristiques des matériaux
Surfaces avec de légères irrégularités
Irrégularités modérées (canaux peu ou pas dragués, berges érodées ou affaissées)
Irrégularités importantes (berges marécageuses, érodées ou affaissées)
n2 =
0.000
0.005
0.010
0.020
Selon les variations de forme et de dimension de la section mouillée, prendre :
Variations lentes et progressives
Alternances occasionnelles de grandes et petites sections autour d’une moyenne
Variations fréquentes et rapides autour d’une forme moyenne
n3 =
0.000
0.005
0.010 à 0.015
Selon les obstructions locales (racines, souches, blocs, troncs d’arbres), prendre :
Obstructions négligeables
Obstructions faibles
Obstructions appréciables
Obstructions importantes
n4 =
0.000
0.010 à 0.015
0.020 à 0.030
0.040 à 0.060
Selon l’état de la végétation, prendre :
Végétation de faible importance, herbes flexibles ne dépassant pas la moitié de la
hauteur d’eau, jeunes arbustes souples ne dépassant pas le tiers de la profondeur
Végétation modérée, herbes résistantes (<1/2 profondeur), buissons peu denses le long
de berges d’un cours d’eau de rayon hydraulique supérieur à 0.7m
Végétation importante, herbes résistantes sur toute la profondeur, arbres et buissons le
long de berges d’un cours d’eau de rayon hydraulique supérieur à 0.7m
Végétation très importante, herbes résistantes du plus du double de la profondeur, arbres
et buissons le long de berges d’un cours d’eau de rayon hydraulique inférieur à 3m
n5 =
0.005 à 0.010
Selon l’importance des méandres (mesurée par le rapport r entre la longueur du bief et
la distance de ses extrémités mesurée en ligne droite), prendre :
Importance faible (1 < r < 1.2 )
Importance appréciable (1.2 < r < 1.5 )
Importance forte (1.5 <r )
n0 =
0.010 à 0.025
0.025 à 0.050
0.050 à 0.100
1.00
1.15
1.30
VIII.3.3.5 Evaluation de k dans les sections hétérogènes
Il arrive souvent que la nature des parois change le long du
périmètre mouillé. On peut alors considérer une succession de
portions pi du périmètre mouillé avec pour chacune un coefficient
de Strickler propre ki. On peut alors évaluer un coefficient de
Strickler moyen k (valable pour la section supposée alors
homogène) par la relation dite d'Einstein :
P1
2/3




P2
Pi
pi 

k 
pi 


3/ 2 

k
i


VIII.3.3.6 Utilisation de la formule de Strickler pour les sections complexes
Les cours d'eau naturels présentent parfois des sections complexes dans lesquelles les vitesses sont très contrastées.
C'est en particulier le cas lorsqu'un cours d'eau déborde de son lit mineur. Il convient alors de séparer au mieux la
section en différentes zones approximativement homogènes (de surface S i de périmètre pi et de Strickler ki). Ces zones
seront établies en extrapolant les ruptures de pentes telles que le suggère la figure ci-contre. Ce découpage établi, on
appliquera la formule de Strickler successivement à ces différentes zones et on sommera les débits.


Eléments d’hydraulique générale -55-
Q
k S
5 / 3 2 / 3
i i pi
I
VIII.4 ECOULEMENT UNIFORME
VIII.4.1 Importance de la hauteur d'eau normale
En régime uniforme la hauteur d'eau Hn est dite normale et la perte de charge J est exactement compensée par la perte
d'énergie potentielle I. Malheureusement le régime uniforme ne se rencontre que dans un canal uniforme et loin de ses
extrémités. Dans la nature on rencontre rarement la hauteur d'eau normale exacte et on se contente d'en approcher aux
extrémités amont ou aval de certains tronçons. Cependant la hauteur d'eau normale Hn est une caractéristique
déterminante pour le calcul des courbes de remous. Quel que soit le tronçon de cours d'eau que l'on étudie on aura
toujours à évaluer cette hauteur Hn.
VIII.4.2 Calcul de la hauteur d'eau normale
A partir de la formule de Strickler on sait que la hauteur d'eau Hn est telle que J=I :
Q  k S(H n ) 5/3 p(H n ) -2/3 I
Pour un canal si l'on se donne Hn, k et I, il est généralement aisé de trouver le débit Q. Malheureusement le problème
ne se pose pas en ces termes puisque c'est Q qui est connu et c'est Hn que l'on cherche à déterminer. Même pour des
formes aussi simples qu'un rectangle, il n'est pas possible d'expliciter la valeur de Hn en fonction des autres paramètres.
On débouche donc quasiment toujours sur des calculs itératifs difficiles à résoudre à la main.
VIII.5 VARIATION D'ENERGIE LE LOND D'UN COURANT
VIII.5.1 Comparaison des pertes de charge singulières en conduite et en canal
Il existe une différence fondamentale entre les pertes de charge singulières dans une conduite longue et dans un canal
uniforme.
Comme le montre la figure suivante, si l'on provoque une perte de charge singulière dans une conduite longue il est
évident que le débit va décroître.
½ V'²/2g
½ V²/2g
Perte de charge linéaire j(Q')
Perte de charge
linéaire j(Q)
Q
Q'
Perte de charge
singulière Js(Q')
V²/2g
Perte de charge
linéaire j(Q')
V'²/2g
Singularité
(diaphragme)
Dans un canal uniforme en régime uniforme (pas de singularité), la perte de charge linéaire est partout la même :
J(Hn)=I
Eléments d’hydraulique générale -56-
Ligne d'énergie
V'²/2g
Hn
Ligne d'eau
Par contre si l'on introduit dans un canal uniforme une singularité (ici un déversoir), il n'y aura pas de diminution du
débit. En effet à l'amont du déversoir, le niveau d'eau va augmenter et devenir supérieur à Hn. La perte de charge
linéaire sera alors inférieure à I et on réalisera une "économie" de perte de charge. Dans le ressaut situé à l'aval du
déversoir, il y aura bien une perte de charge singulière, mais elle est exactement compensée par l'économie précédente.
L'introduction d'une singularité ne changera donc rien dans le débit du canal.
Economie de perte de charge
V²/2g
Hn
H>Hn => j(H)<I
perte de charge singulière
Ligne d'énergie
V²/2g
Hn
Ligne d'eau
Singularité
(déversoir)
VIII.5.2 Transformation d'énergie le long du courant
Soient deux sections transversales, notées 1 et 2, on
peut appliquer le théorème de Bernoulli entre ces deux
sections :
z1 
V12
V2
 z 2  2  J 12
2g
2g
V1²/2g
z1  z 2
V2²/2g
H1
Ligne d'eau
z1
ou encore :
V 2  V12
 2
 J12
2g
J1-2
Ligne d'énergie
H2
z2
zf1
Zf2
J1-2 représente ici la perte de charge entre les sections 1 et
2 et celle-ci ne peut être que positive.
Si le régime est accéléré on a V2>V1 et la différence z1-z2 est forcément positive : la ligne d'eau est toujours descendante
en régime accéléré.
Si le régime est retardé on a V2<V1 et la différence z1-z2 peut être positive ou négative : la ligne d'eau peut être
montante ou descendante en régime retardé.
En régime accéléré l'énergie de position se transforme en énergie cinétique sans pertes notables. Par contre la
transformation d'énergie cinétique en énergie potentielle (régime retardé) se fait avec un mauvais "rendement" car il y a
une augmentation de la turbulence et des pertes de charge supplémentaires du type de celles que l'on a mis en évidence
pour les élargissements brusques.
Eléments d’hydraulique générale -57-
IX. ÉTUDE DES SECTIONS TRANSVERSALES
IX.1 INFLUENCE DE LA PROFONDEUR SUR LES ÉLÉMENTS TRANSVERSAUX
Pour une forme de section donnée, l'influence de la hauteur H se fait sentir sur les valeurs du rayon hydraulique
et de profondeur moyenne. Cette influence dépend également de la forme de la section selon qu'elle est évasée vers le
haut ou qu'elle va au contraire en se rétrécissant.
IX.1.1 Rayon hydraulique
Rh(H)
Rh(H)
H
H
Généralement, le rayon hydraulique croît avec H
pour les lits ouverts ; cependant il peut se produire des
exceptions dans certains cas de canaux à forme complexe.
Rh(H)
Ceci est le cas pour les canaux s'évasant très rapidement en
particulier le cas de deux rectangles emboîtés, il se produit
alors une baisse momentanée du rayon hydraulique au
passage entre les deux rectangles.
H
Pour les sections fermées, Rh est d'abord croissant, puis il
décroît ensuite à l'approche de la voûte.
Dans tous les cas Rh est toujours inférieur à H.
IX.1.2 Profondeur moyenne
B
Hm
H
B
La profondeur moyenne Hm=S/B, croît avec H, sauf
pour les lits de forme complexe cités ci-dessus où elle peut
subir une légère décroissance au passage de la singularité
de ce lit.
Pour les lits ouverts, Hm est toujours inférieur à H.
Dans le cas des lits fermés Hm peut devenir supérieur à H.
H
Hm
Eléments d’hydraulique générale -58-
IX.1.3 Cas du rectangle infiniment large
B
Dans tous les cas Rh est inférieur à Hm
puisque la largeur au miroir B est toujours
H
inférieure au périmètre mouillé p. Cependant,
considérons le cas particulier d'un rectangle très
large :
S = B H , p = B + 2 H et Hm=S/B = H
Rh = S / p = BH / ( B + 2 H )
dans ce cas on peut considérer que 2 H est négligeable devant B :
H = Hm = Rh
Cette remarque est importante car ce cas particulier n'est pas rare ; en effet, il en est ainsi pour tous les cours
d'eau très larges et peu profonds.
IX.2 INFLUENCE DES DIVERS PARAMETRES SUR LE DEBIT
Si on emploie la formule de Manning - Strickler pour exprimer le débit en régime uniforme, l'expression de ce
débit est :
Q  k S Rh 2 / 3 I1 / 2



L'influence des divers paramètres est donc :
k, coef de Strickler dépendant de la nature de la paroi. Le débit augmente lorsque la rugosité de la paroi diminue.
I, pente du radier du canal. Le débit augmente en même temps que la pente.
S et Rh dépendent de H ; il n'est pas possible, a priori, de connaître le sens de variation du produit S x Rh. Il faut
alors étudier chaque cas particulier.
Dans la pratique, il se pose deux types de problèmes principaux. Le premier est de déterminer la forme de la
section à donner à un canal pour que le débit soit maximum. On se donne la section mouillée, la pente et la nature des
parois. Le deuxième type de problème est de déterminer le débit pour un canal donné (forme, nature des parois et pente
connues) en fonction de la hauteur d'eau.
IX.3 PROFILS DE DEBIT MAXIMUM DANS LE CAS DES SECTIONS EVASEES
Supposons que l'on cherche le débit maximum pour un canal où k, S et I sont donnés. Le débit maximum est
obtenu pour une forme telle que pour une aire S donnée, le périmètre mouillé soit minimum. Le problème est donc
uniquement un problème de géométrie plane.
IX.3.1 Forme demi-circulaire
On sait que la forme circulaire est celle pour
laquelle le périmètre est minimum pour une surface
donnée.
Cette solution n'est pas la notre puisque cette
forme est fermée et que dans la définition du périmètre
mouillé on ne comptabilise pas la surface libre.
Par contre, on peut démontrer que le demicercle satisfait à notre relation.
Dans la pratique cette forme de section se prête
mal à des canaux de grandes dimensions et on ne la
rencontre guère que dans les anciens canaux
d'irrigation ou dans les gouttières de maisons.
Eléments d’hydraulique générale -59-
IX.3.2 Forme trapézoïdale
Supposons que l'on désire construire un
canal de forme trapézoïdale isocèle. Ce trapèze sera
défini par sa base Bo, sa profondeur H et la pente m
de ses côtés (ou fruit) par rapport à la verticale.
m = Cotg ()
S = H (Bo + mH)
p  B0  2 H 1 m 2
Rh 
O
B
E

d/2
F
H (1 + m2)1/2
H

H (B o  mH
D
B0  2 H 1 m 2
B0
C
mH
m est une donnée mais la section S dépend de H et de Bo. Cependant S étant une donnée du problème, les variations de
S en fonction de H, et de S en fonction de Bo doivent se compenser :
dS = H d Bo + (Bo + 2mH) dH = 0
Pour que le débit soit maximum on doit avoir un périmètre minimum donc : dp  dB 0  2
1  m 2 dH  0
HdB 0  B 0  2mH  dH  0
 B 0  2mH  2H 1  m 2

B0
 H 1  m 2  mH
2
H dB 0  2H 1  m 2 dH  0
Sur la figure on remarque que :
B0
 DC  OE
2
H
H 1 m 2 
 CB  OE  CB  EB
sin( )
mH  H cot g ()  EB
 OE  EB  OB  CB
Le triangle OBC est donc isocèle et ses hauteurs correspondantes EC et OF sont donc égales d'où : OD = OF
Le profil de débit maximal pour un trapèze isocèle est donc celui qui est circonscrit à un demi-cercle dont le
diamètre coïncide avec la surface libre.
Il est bien évident que pour une section S donnée il existe une infinité de trapèzes circonscriptibles à ce cercle, mais le
plus souvent, le fruit m des berges sera imposé par la nature des parois du canal.
m étant considéré comme une donnée, il ne reste que H comme variable et les différents éléments de la section
s'écrivent :


 m
 m
B0  2 H 1 m 2  m

p  2H  2
S  H 2 2 1 m 2
1 m 2
H
Rh 
2
IX.3.3 Forme rectangulaire
La forme rectangulaire peut être considérée comme un cas particulier du
trapèze dans lequel m = 0. La condition de débit maximum pour une section donnée
s'écrit alors :
H
p  4H
2H = B0
B0  2 H Rh 
S 2 H 2
Eléments d’hydraulique générale -60-
p  4H
H
2
IX.4 SECTIONS VOÛTÉES
IX.4.1 Profondeur de débit maximum
Comme on l'a vu plus haut, le débit dans une section voûtée croît avec la hauteur, puis décroît au voisinage de la
voûte. En effet, au voisinage de la voûte, le périmètre mouillé croît plus vite que la section mouillée, et bien que la
surface offerte à l'écoulement augmente, il se produit une baisse de débit due à la diminution de la vitesse.
Q  k S Rh 2 / 3 I1 / 2
S
Rh   Rh 2 / 3  S 2 / 3 p 2 / 3
p
Q  k S5 / 3 p 2 / 3 I1 / 2

Débit maximum : dQ  0  d S p
D'où la condition de débit maximum :
5/3
2 / 3
 0
dp 5 dS

p 2 S
IX.4.2 Profondeur de vitesse maximum
La formule de Manning - Strickler montre que le maximum de vitesse correspond au maximum de Rh.
V  k Rh 2 / 3 I1 / 2
dV  d Rh  0
S
d Rh  d( )  0
p
D'où la condition de vitesse maximum :
dp dS

p
S
IX.4.3 Cas de la section circulaire
Parmi les sections voûtées, la section circulaire est certainement celle que l'on rencontre le plus fréquemment.
Soit r le rayon de la conduite et l'angle mouillé, on a :
A
S
B
r=D/2
r2
  sin( ) et p  r 
2
en différenciant on obtient :
C
r2
1 cos()d et dp  r d
2
dp 5 dS
la condition de débit maximum s'écrivant :

p 2 S
dS 

on a le débit maximum pour :
5 1  cos()
d
d 
 3  5 cos()  2 sin( )  0
2   sin( )

= 302°30' et H = 1.88 D/2
Cette équation est vérifiée pour :
La condition de vitesse maximum s'écrit :
on a la vitesse maximum pour :
La solution est :
dp dS

p
S
1  cos()
d
d 
  cos()  sin( )  0
  sin( )

b = 258° et H = 1.63 D/2
Eléments d’hydraulique générale -61-
Dans la pratique les résultats de ces deux calculs ne sont pas exploitables. En effet, la tranche d'air ménagée
entre la surface et la voûte est trop faible pour que l'on soit sûr que la conduite ne se mette en charge ce qui provoque
des effets pneumatiques néfastes pour la conduite et le débit transité.
Dans la pratique, on choisit une hauteur plus prudente de , ce qui correspond à un angle mouillé de 240°. La
perte de débit correspond à 15 % environ par rapport au débit maximum théorique.
H
Niveau théo. de débit max.
2r = D
1.88 r
Niveau théo. de vitesse max.
Rh(H)
1.63 r
1.5 r
Niveau pratique optimale
15 %
Q(H)
r = D/2
V(H)
 = 302°
0.5 r
 = 258°
 = 240°
0
IX.5 IMPLANTATION DES CANAUX DECOUVERTS
IX.5.1 Choix de la forme de la section
Comme on l'a vu, pour chaque forme de section, il existe des proportions telles que l'efficacité soit maximum.
Parmi toutes les formes, la section semi-circulaire paraît, du point de vue hydraulique, la plus avantageuse, mais elle
entraîne une profondeur d'eau plus grande que les autres sections. D'autre part, le haut du profil est vertical et il faut que
la paroi résiste à la pression des terrains, enfin sa construction présente des difficultés. Toutes ces raisons font que le
profil semi-circulaire est surtout employé dans le cas des aqueducs en demi-buse non enterrée, pour l'irrigation.
Le profil rectangulaire, lorsqu'il est enterré nécessite des parois capables de résister à la poussée des terrains ce
qui limite son utilisation surtout aux parties non enterrées.
Cavalier en déblais
Le profil trapézoïdal est de loin le plus employé. Il est
Revanche
généralement disposé comme ci-contre.
Les déblais provenant de la fouille servent à ménager de
part et d'autre des cavaliers, ce qui permet de surélever le
plan d'eau par rapport au niveau du terrain naturel.
Terrain naturel
Banquette
Profil mixte
On ménage une revanche qui, selon les cas, varie de 0,20
m à 1 m.
L'épaisseur des cavaliers doit être telle qu'il ne se produise
pas de renard au pied.
Dans le cas de canaux très profonds, on ménage des
banquettes qui facilitent le creusement puis l'exploitation.
IX.5.2 Pente des berges
Lorsque les parois du canal sont constituées par le terrain naturel, la pente de celles-ci ne peut être supérieure à
l'angle du talus naturel. Le problème est alors purement un problème de géotechnique.
Les fruits rencontrés les plus fréquemment sont en fonction du terrain :
Eléments d’hydraulique générale -62-
Nature du terrain
Roche ferme, maçonnerie ordinaire
Rocher fissuré, pierre sèche
Argile
Alluvions compactes
Terre ordinaire, sable grossier
Terre remuée, sable fin
Pente : m =Cotg 
0 à 0,25
0,50
0,74
1
2
2,50 à 3
IX.5.3 Vitesse moyenne
Dans le cas où les parois sont constituées par le terrain naturel, la vitesse de l'eau ne doit pas provoquer de
détérioration des parois et selon la nature des terrains, les vitesses maximum admissibles sont :
Nature des parois
Terres détrempées
Argiles
Sables
Graviers
Roches stratifiées
Roches compactes
Vitesse limite m/s
Moyenne
en surface au fond
0,10
0,15
0,08
0,25
0,30
0,15
0,50
0,60
0,30
0,95
1,25
0,70
2,25
2,75
1,80
3,70
4,25
3,15
Par ailleurs, la vitesse ne doit pas descendre en dessous d'une certaine vitesse sous laquelle les matières en
suspension dans l'eau risqueraient de se déposer. On admet des vitesses de l'ordre de 0,25 m/s pour des limons fins et
0,50 m/s pour des sables.
IX.5.4 Revêtements
La présence d'un revêtement n'est pas toujours nécessaire, il intervient dans le coût de construction mais présente
des avantages à l'exploitation :
- il permet des vitesses plus grandes sans érosion,
- il a une rugosité faible donc un coefficient de Strickler plus grand, et, pour un canal donné, permet de
transporter un plus grand débit,
- il empêche les infiltrations et permet d'économiser de l'eau. Cet avantage se fait sentir surtout au début de
l'exploitation.
La nature du revêtement (béton, bitume, asphalte...) et son épaisseur, dépendent de la pente des parois parmi
d'autres impératifs techniques.
Eléments d’hydraulique générale -63-
X. NOTION D'ÉNERGIE SPÉCIFIQUE
Les notions d'énergie spécifique et celle de régime critique, qui en découle, sont essentielles dans l'étude des
écoulements à surface libre. En effet, elles permettent de classer les différents types d'écoulement, et de prédéterminer
l'allure de la ligne d'eau. Dans un premier temps, on étudiera l'énergie spécifique dans une section puis, au chapitre
suivant nous verrons comment elle évolue le long d'un courant.
Dans tout ce qui suit, nous supposerons que le courant peut être assimilé à un courant rectiligne et parallèle avec
un écoulement en bloc.
X.1 DÉFINITION DE L'ÉNERGIE SPÉCIFIQUE
L'énergie spécifique (ou énergie interne) E d'une section mouillée représente l'énergie moyenne des particules de
la section, par unité de poids. Cette énergie, exprimée en hauteur d'eau, est rapportée au plan horizontal passant par le
point le plus bas de la section. Cette définition diffère de celle de la charge totale, puisque celle-ci est rapportée à un
plan de référence fixe, alors que pour l'énergie spécifique le plan de référence diffère d'une section à l'autre.
E  H cos() 
V2
2g
(H est la profondeur maximum de la section mouillée,  l'angle du radier avec l'horizontale)
En général  est suffisamment faible pour que l'on ait :
cos()  1
V²/2g
V2
EH
2g
V
E
Q
Q2
 EH
S
2gS ²
H
Hcos()

Si zf représente la cote du fond, il existe entre la charge totale
Ht et l'énergie spécifique E la relation :
Ht = E + zf
E mesure donc la distance verticale entre la ligne d'énergie et le fond
du canal.
Plan de référence
de la section
zf
Plan de référence des cotes
X.2 REPRÉSENTATION DE L'ÉNERGIE SPÉCIFIQUE
Pour une section donnée, la surface mouillée S est une fonction de H. E est également fonction de Q ; on a donc
une relation de la forme :
E = f(H, Q) ou encore f(H, Q, E) = 0
Nous allons étudier successivement cette fonction en traçant les courbes : H = f(Q) avec E = Cte, puis H = f(E)
avec Q = Cte.
X.2.1 Courbe des débits
E2
te
E1
E = E1 = Cte
E = E2 = C
Hb
C2
Hc
C1
Ha
Q
Q QM1



On appelle également cette courbe H = f(Q), courbe d'égale
énergie spécifique. Généralement la courbe H(Q) présente l'aspect
de la courbe ci-contre. On remarque que H croît avec Q jusqu'à
une valeur maximale de Q, puis décroît avec Q (dans le cas de
forme de section particulière, on verra que ces courbes peuvent
présenter plusieurs sommets).
Lorsque la valeur de E augmente, les courbes H(Q)
s'emboîtent les unes dans les autres, le point C s'éloignant de
l'origine.
De la représentation de cette courbe on tire les remarques
suivantes :
pour les faibles valeurs de Q, il y a généralement deux hauteurs Ha et Hb telles que l'écoulement puisse s'effectuer
avec l'énergie spécifique E1 considérée.
lorsque la valeur de Q augmente jusqu'à la valeur Qm, les deux hauteurs Ha et Hb tendent vers une valeur unique
Hc.
lorsque Q est supérieur à Qc il est impossible de faire transiter ce débit avec l'énergie spécifique E1 considérée.
Eléments d’hydraulique générale -64-
X.2.2 Courbe des énergies spécifiques
La courbe H(E) est appelée aussi courbe d'égal débit.
L'allure générale de cette courbe est celle représentée cicontre. Cette courbe est asymptote à l'axe des E, puisque
lorsque H diminue S tend vers zéro et E vers l'infini. Elle est
également asymptote à la première bissectrice puisque
lorsque H croît S croît et V²/2g tend vers zéro, on a alors E
≈ H.
Lorsque le débit Q varie, les courbes H(E)
s'emboîtent les unes dans les autres, le sommet C s'éloignant
de l'origine lorsque Q augmente.
E=H
H
H²/2g
Hc
Q = Q1 = Cte
EC
E
Sur la figure on pourra remarquer comme nous
l'avons fait pour la courbe H(Q) :
 pour une même énergie E supérieure à Ec, il existe deux hauteurs Ha et Hb pour lesquelles peut transiter le débit Q.
 lorsque E décroît vers Ec les hauteurs Ha et Hc tendent vers une même limite Hc.
 lorsque E est inférieur à Ec il est impossible de faire transiter le débit Q dans cette section avec cette énergie
spécifique.
X.2.3 Représentation globale
Sur le schéma on a reporté à la même échelle et pour une même section les courbes d'énergie et de débit.
E1
E = E1 = Cte
Vb²/2
Vc²/2g
g
Va²/2g
Hb
Hb
Hc
Hb
Ha
Ca
Ha
Q
Q1
CE
Hc
Hc
Ha
Cb
QC
Q=QC
Q=Q1
E1
Lorsque à énergie constante, on fait passer le débit de Q1 à Qc, sur la courbe de débit, les hauteurs Ha et Hb
tendent vers Hc ; dans un même temps les points Ca et Cb sur la courbe des énergies, vont se déplacer sur une verticale
E1 = Cte en passant d'une courbe d'énergie à l'autre puisque le débit varie. Lorsque l'on aura Ha = Hb = Hc les points
Ca et Cb seront confondus avec le point CE sur la courbe d'énergie correspondant à Q= Qc.
X.3 DÉFINITION DU RÉGIME CRITIQUE
X.3.1 Profondeur critique
On appelle profondeur critique la profondeur Hc commune aux sommets des courbes H(E) et H(Q). Cette
profondeur est donc celle pour laquelle le débit est maximum pour une énergie donnée et l'énergie minimum pour un
débit donné.
X.3.2 Éléments critiques
Pour cette profondeur on dit que le régime est critique, la surface libre occupe le niveau critique Nc. Tous les
éléments géométriques liés à H = Hc seront qualifiés de critiques. Parmi les éléments critiques, on parlera également
d'énergie critique, abscisse du point CE, et de vitesse critique Vc. Cette vitesse on le verra plus loin correspond à la
vitesse de propagation d'une petite onde dans une eau au repos de profondeur Hc.
X.3.3 Régime critique
Lorsque H est inférieur à la hauteur critique on dira que le régime est supercritique ou supracritique.
H < Hc
V > Vc
F>1
Lorsque H est supérieur à la hauteur critique on dira que le régime est infracritique ou subcritique.
H > Hc V < Vc F < 1
En régime critique l'énergie spécifique est minimum donc sa différentielle est nulle.
Au voisinage du niveau critique les variations d'énergie cinétique compensent les variations de profondeur. Cet
état est instable. En effet, on peut remarquer, sur la courbe des énergies, qu'une faible variation de l'énergie spécifique
Eléments d’hydraulique générale -65-
provoque une forte variation de profondeur. Il s'ensuit qu'au voisinage du régime critique on observe une ondulation
importante du niveau du fluide.
X.4 FORMULES DU RÉGIME CRITIQUE
X.4.1 Section de forme quelconque
En régime critique l'énergie spécifique est minimum pour un débit Q. La section S étant une fonction de H on a :
EH
Q2
2gS ²
B
dS
en régime critique E est minimum et donc on a : dE/dH = 0
dS = B dH
dE
Q S
1 
0 
dH
g S3 H
2
dH
H
2
Q B
1
g S3
Cette expression est la relation fondamentale du régime critique pour un canal de section quelconque. On pose
généralement l'expression suivante pour le nombre de Froude F :
F
Q2 B
g S3
donc en régime critique F = 1
En général le nombre de Froude F ne prend la valeur 1 que pour une seule hauteur critique Hc. Cependant pour
des formes de sections particulières présentant des élargissements brusques, il peut y avoir plusieurs hauteurs critiques.
H0
H0
Les sections des types précédents peuvent donner des courbes de débit aux allures suivantes :
H
H
Hc
H0
Hc
Hc
H0
Q
Q
En général, la profondeur critique est donc entièrement définie à partir du débit. En introduisant les valeurs de la
profondeur moyenne et de la vitesse moyenne on a :
Vc2
Hm c 
g
S
Q
et V 
B
S
2
2
2
V
Q B
Q
S
1 
  Hm c  C ou encore : VC  g Hm c
en régime critique :
3
2
g
gS
gS B
Hm 
Au régime critique l'énergie cinétique égale la moitié de la profondeur moyenne. On a donc :
Ec  Hc 
VC2
2g
Ec  Hc 
Hm C
2
Pour déterminer la hauteur moyenne critique on peut remarquer :
Q2 B
S3 Q 2

1


g S3
B3 g B 2
 Hm 3C 
Eléments d’hydraulique générale -66-
1 Q2
g B C2
q C2
et en appelant qc le débit critique unitaire on a : Hm C 
g
3
X.4.2 Canal rectangulaire
En canal rectangulaire on a les relations suivantes :
S = BH et H = Hm
d'où l'on tire en reportant dans les formules précédentes :
H
Hc  3
2
C
2
C
q
V

g
g
Vc  gH C
E=H
E = 3/2H
3
Ec  H C
2
Cette dernière expression montre que dans le cas de
section rectangulaire, le lieu des points critiques sur les
courbes d'énergie est la droite de pente 2/3 passant par
l'origine.
E
X.5 CALCUL DES PROFONDEURS CRITIQUES ET DES PROFONDEURS CORRESPONDANTES
X.5.1 Canal rectangulaire
La profondeur critique se calcule directement à partir de la formule :
Hc  3
q C2

g
3
Q C2
gB 2
Les profondeurs correspondantes doivent être telles que pour un débit donné les énergies spécifiques soient égales :
Ha 
Le débit unitaire q s'écrit : q 
Va2
V2
 Hb  b
2g
2g
Q
 Va H a  Vb H b d'où :
B
q2
q2
Ha 

H

b
2g H a2
2g H 2b
H 2b  H a2
 2 2  Hb  Ha
g
HbHa
q2
q2
g
 H 3C 
2 H a2 H 2b
H a  H a2
X.5.2 Canal quelconque
La hauteur critique et les profondeurs correspondantes ne peuvent être évaluées que par voie graphique ou par un
calcul itératif.
Eléments d’hydraulique générale -67-
XI. ÉNERGIE SPÉCIFIQUE LE LONG D'UN COURANT
XI.1 ÉTUDE DES COURANTS À L'AIDE DE LA COURBE E
La notion de courbe d'énergie spécifique a été développée dans le cas d'une section transversale. Nous allons
voir ici, comment en étendant cette notion à l'ensemble d'un courant, nous pourrons dégager certaines propriétés de
celui-ci, et obtenir des indications sur l'évolution de la ligne d'énergie et sur celle de la surface libre.
Auparavant, il convient de changer la présentation de la E
E=H
courbe E. En effet, dans la pratique, il est commode de porter
verticalement l'axe des E puisque, à partir de la première bissectrice
Ei
on pourra également lire la hauteur.
Hi
Soit un canal en régime permanent varié. La courbe E est
connue en toute section, et la ligne d'eau peut être donnée par une
expression H = f(L), L étant l'abscisse de la section, comptée
positivement dans le sens du courant à partir d'une origine
quelconque.
Hi
H
Cette ligne d'eau pourra passer une ou plusieurs fois par la hauteur critique Hc. On dira alors que le courant
traverse une section critique.
Pour chaque section du canal, on connaît la courbe E, aussi peut-on dans le plan de chaque section, tracer la
courbe E correspondante, il en résulte une surface f(E, H, L) = 0 en forme de vallée. Les valeurs correspondant à un
point de la ligne d'eau sont situées sur cette surface. Si la courbe E(H) suffit à elle seule pour étudier les propriétés
hydrauliques d'une section, il faudra faire appel à la notion de perte de charge pour déterminer comment varie E d'une
section à l'autre.
XI.1.1 Canal de section uniforme
Quel que soit la section, la courbe E est la même. Si le régime est uniforme : H = Cte, V = Cte  E = Cte, le
point figuratif de l'écoulement sur la courbe E est le même pour toutes les sections.
Si le régime est varié, le point figuratif sur la courbe E se déplace et passe par la valeur minimale Ec lorsque le
courant traverse une section critique. L'énergie totale ne peut que décroître le long d'un courant, mais l'énergie
spécifique peut augmenter ou diminuer. E représente la distance entre le radier du canal et la ligne d'énergie. On pourra
donc réduire la ligne d'énergie du fond du canal en portant la hauteur E.
Canal uniforme en régime varié
Régime uniforme
A la traversée d'une section critique, l'énergie spécifique est minimum, or E représente la distance de la ligne
d'énergie au fond du canal, donc à la traversée d'une section critique la pente de la ligne d'énergie est égale à la pente du
canal.
Si au voisinage de la section critique les pertes de charge sont négligeables, la ligne d'énergie est une
horizontale. Comme on vient de le voir, le fond doit donc être également horizontal. Dans le cas où les pertes de charge
dans un courant peuvent être négligées, la section critique, si elle existe, correspond au point le plus élevé du fond.
Régime uniforme
Canal uniforme en régime varié
Eléments d’hydraulique générale -68-
Dans le cas d'un déversoir à seuil épais, la section critique Sc est située au-dessus de la crête. La section étant
rectangulaire on a la relation : Ec = 3/2 Hc
Si on peut négliger à l'amont le terme V²/2g on a alors, si H est la charge sur le déversoir : Ec ≈ H
d'où on retrouve le résultat classique : Hc = 2/3 H
XI.1.2 Canal de section non uniforme
Dans le cas précédent, le point figuratif de l'écoulement se déplaçait sur une même courbe E. Dans le cas présent
les courbes E changent d'une section à l'autre, et le point figuratif suit une courbe A1 A2 A3... sur le réseau de courbes
E.
XI.2 PENTE CRITIQUE D'UN CANAL
Soit un canal de section uniforme donné et dont la pente I est variable. Le niveau critique Hc ne change pas avec
la pente puisqu'il est uniquement fonction de la forme de la section. Par contre, le niveau normal Hn, lui, est fonction de
la pente I. On définit alors la pente critique Ic d'un canal comme la pente pour laquelle on a : Hc = Hn. Dans ce cas le
régime peut être à la fois uniforme et critique.
La comparaison de I avec Ic permet donc de situer Hn par rapport à Hc :
I > Ic Hn < Hc , I < Ic Hn > Hc
Le calcul de Ic se fait bien évidemment en associant les formules du régime uniforme et du régime critique :
Q2 B
1
Q S C Rh I et
g S3
On obtient en éliminant Q :
Ic 
g SC
g Hm C

C² Rh C BC C² Rh C
Hmc, Rhc, Bc et Sc sont les valeurs des éléments critiques de la section.
Pour un canal rectangulaire l'expression se simplifie :
Ic 
g HC
C² Rh C
Enfin pour un canal de très grande largeur on a H = Hm = Rh
Ic 
g
C²
Si on remplace C par son expression de la formule de Strickler on a :
Ic  12.65
C  K Rh 1 / 6 ce qui donne tout calcul fait :
1
K² q 2 / 9
La pente critique dépend donc à la fois de la rugosité du lit et du débit. Ic pourra donc être supérieur à la pente
naturelle du cours d'eau pour les faibles débits et pourra lui être inférieur en période de hautes eaux.
Eléments d’hydraulique générale -69-
XI.3 CLASSIFICATION DES MOUVEMENTS
a) Pentes faibles et fortes
Si I < Ic, Hn>Hc la pente est dite faible, le cours d'eau sera qualifié de fleuve.
Si I > Ic, Hn < Hc la pente est dite forte, le cours d'eau est un torrent.
(Ic variant avec Q, le cours d'eau pourra se comporter en fleuve, en étiage, et en torrent, en crue).
Afin de bien clarifier les choses entre les notions de pente critique et de régime critique on peut résumer la
terminologie :
Faible pente : I < Ic, Hn > Hc
(fleuve)
(fluvial)
Forte pente : I > Ic, Hn < Hc
(torrent)
(torrentiel)
Pente critique : I = Ic, Hn = Hc
Régime infracritique : H > Hc, F < 1
Régime supracritique : H < Hc, F > 1
Régime critique : H = Hc F = 1
b) Classes et régions d'écoulement
Pour un canal descendant (I > 0) et un débit donné, toutes les formes de lignes d'eau possibles se ramènent à un
nombre fini de types dont l'allure dépend essentiellement
- de la valeur de I par rapport à Ic,
- de la position de la ligne d'eau par rapport à Hn et Hc.
Pour définir ces différents types, il suffit d'une double classification à 2 entrées. On caractérise la classe du
phénomène par les lettres M, S ou C en fonction de la pente :
classe M pour I < Ic
classe S pour I > Ic
classe C pour I = Ic
classe H pour I = 0
classe A pour I < 0
On caractérise par les nombres 1, 2 et 3 les positions occupées par la ligne d'eau. Les droites Nn et Nc découpent
généralement l'espace en 3 régions numérotées de 1 à 3 en allant de la surface vers le fond. La région 2 disparaît dans la
classe C.
Il y a donc au total huit combinaisons possibles :
M1
M2
M3
S1
S2
S3
C1
C3
ce qui correspond au 8 types de courbes de ligne d'eau.
c) Signe de le long d'un canal uniforme
La variation de E le long d'un courant dépend des valeurs relatives de la pente et de la perte de charge.
Entre deux sections S1 et S2 d'un canal uniforme en régime permanent varié, on peut admettre que J est constant.
Par conséquent, la conservation des énergies s'écrit :
E1 + Zf1 = E2 + Zf2 + J L
E distance entre S1 et S2.
E 1 - E2 = -∆E
E = - = (I - J)
Zf1 - Zf2 =
et à la limite :
est la hauteur représentative de la perte d'énergie sous l'effet de la viscosité et de la turbulence. est la hauteur
représentative du travail fourni par la pesanteur. La variation d'énergie spécifique est donc la différence entre le travail
fourni par la pesanteur, et la dissipation d'énergie dans le liquide.
Eléments d’hydraulique générale -70-
La perte de charge est toujours positive mais le travail de pesanteur peut être négatif ou positif (pente positive ou
négative).
L'ensemble des cas possibles est donné dans le tableau suivant :
Nature du mouvement
Canal descendant
Canal horizontal
Canal ascendant
I>0
I=0
I<O
Uniforme
H = Hn
I=J
Pertes de charge exactement compensées par la pesanteur
J nécessairement positif donc mouvement impossible
Hn
J<0
J nécessairement positif donc mouvement impossible
Graduellement varié
H > Hn, I > J
J<0
impossible
H > Hn, I > J
J<0
impossible
H < Hn, J > I
H < Hn, J > I
H < Hn, J > I
I=J=0
H > Hn, J < I
Dans ce tableau on peut remarquer qu'en régime uniforme, l'énergie spécifique reste constante le long du canal ;
les pertes de charge sont compensées par l'abaissement du courant. Par conséquent, le régime uniforme ne peut se
produire qu'en canal descendant.
En canal descendant peut être négatif ou positif. Dans le cas d'un canal à forte pente, les pertes de charge
peuvent être négligeables devant la pente et dans ces conditions la ligne d'énergie est horizontale ; une remontée du
fond réduit l'énergie spécifique tandis qu'une descente l'accroît.
d) Variation de la profondeur le long d'un courant
L'étude de la courbe E permet de déterminer facilement le signe de puisque comme on l'a vu :
H > Hc
H < Hc
H = Hc
mouvement infracritique > 0
mouvement supracritique < 0
mouvement critique
=0
Par ailleurs nous venons, au paragraphe précédent, d'étudier le signe de :
H < Hn
<0
H = Hn
=0
H > Hn
De ces deux études on peut déduire le signe de :
Région 1
H > (Hc, Hn) mouvement toujours infracritique
H toujours croissant ; courant retardé
Région 2
H est compris entre Hn et Hc
Eléments d’hydraulique générale -71-
>0
ou
H toujours décroissant ; courant accéléré
Région 3
H < (Hn, Hc)
H toujours croissant ; courant retardé
Eléments d’hydraulique générale -72-