Résumé du cours d’Optique de Fourier Arnaud Dubois Octobre 2016 Les résultats rappelés ici peuvent être utilisés directement pour résoudre les exercices (en particulier à l’examen), sans être redémontrés (sauf si demandé explicitement). ONDES MONOCHROMATIQUES Fonction d’onde complexe : U(r, t) = U(r) exp(j2πνt), où U(r) = a(r)exp[jϕ(r)] est appelée amplitude complexe. 2 - U (r) = I ( r) = intensité de l’onde - Arg{U(r)} = ϕ(r) = phase de l’onde Fronts d’onde : ϕ(r) = 2πq (q entier). Onde plane Amplitude complexe : U(r) =Aexp(-jk.r) = A exp[-j(kxx + kyy + kzz)] A = envelope complexe (constante) k = (kx, ky, kz) = vecteur d’onde. Helmholtz ð Le module de k est égal au nombre d’onde k = 2πν c = ω c Les front d’onde sont des plans distants de λ = 2π/k = c/ν (λ = longueur d’onde) Onde sphérique Amplitude complexe : U(r) = (A/r) exp(±jkr) (signe - si divergente; signe + si convergente) où r est la distance à l’origine et k = 2πν/c = ω/c. Fronts d’onde = sphères concentriques séparées d’une distance radiale λ = 2π/k = c/ν. ⎛ A x2 + y2 ⎞ exp − jkz exp ⎜ − jk ⎟ (Approximation parabolique de l’onde sphérique, valable dans z 2z ⎠ ⎝ le cadre de l’approximation de Fresnel (toujours utiliser cette approximation dans le cadre du cours !)) U (r) ≈ ( ) Approximation de Fresnel valable si : N Fθ m2 a2 (nombre de Fresnel) << 1 avec N F = 4 λz 1 TRANSMITTANCE D’UNE LENTILLE MINCE ⎛ x2 + y2 ⎞ ⎛ x2 + y2 ⎞ t(x, y) = h0 exp ⎜ jk ⎟ = h0 exp ⎜ jπ ⎟ 2f ⎠ λf ⎠ ⎝ ⎝ f = focale de la lentille. h0 = exp ⎡⎣− jnk0 d0 ⎤⎦ est un terme de phase constant (on considère généralement h0 = 1) On ne tient pas compte ici de la pupille. PROPAGATION DANS L’ESPACE LIBRE Fréquences spatiales d’une onde plane Fréquences spatiales : νx = kx/2π et νy = ky/2π. ⎪⎧sin θ x = λν x Relation angles du vecteur d’onde / fréquences spatiales : ⎨ ⎩⎪sin θ y = λν y Si kx << k et ky << k (régime paraxial) : ⎧⎪θ x = λν x ⎨ ⎪⎩θ y = λν y Méthodes de calcul de la propagation dans l’espace libre Valables dans le cadre de l’approximation de Fresnel - Méthode dans l’espace direct : l’onde est considérée comme superposition d’ondes paraboloiques élementaires (ondes sphériques). Conforme au principe d’Huygens-Fresnel - Méthode dans l’espace de Fourier : l’onde est décomposée en une somme d’ondes planes. 2 ∗hd (x, y) U ( x, y,0) U ( x ', y ', z ) TF-1 TF ×H d (ν x ,ν y ) U! (ν x ,ν y ,0) hd (x, y) = ( j exp − jkd λd ) exp⎡⎢− jπ ( x ⎢⎣ U! (ν x ,ν y , z) + y2 ⎤ ⎥ λ d ⎥⎦ 2 ) H d (ν x ,ν y ) = exp (− jkd ) exp ⎡⎣ jπλ d (ν x2 + ν 2y )⎤⎦ La méthode par convolution consiste à calculer « l’intégrale de Fresnel » (ou « transformée de Fresnel ») : ⎡ (x − x ') 2 + ( y − y ') 2 ⎤ U (x, y,d ) = h0 ∫∫ U (x ', y ',0)exp ⎢− jπ ⎥dx 'dy ' λd ⎣ ⎦ ⎛ j ⎞ où h0 = ⎜ ⎟ exp ⎡⎣− jkd ⎤⎦ ⎝ λd ⎠ H d (ν x ,ν y ) est appelée fonction de transfert de l’espace libre. Approximation de Fraunhofer Dans l’approximation de Fraunhofer, l’amplitude complexe U ( x, y, d ) d’une onde monochromatique de longueur d’onde λ, en z = d, est proportionelle à la TF de l’amplitude complexe U ( x, y,0) en z = 0, ν x = x / λd and ν y = y / λd . L’approximation est valide si U ( x, y,0) est confinée à un cercle de rayon b tel que N F = b2 / λ d << 1 et si U ( x, y, d ) est confinée à un cercle de rayon a tel que N F ' = a 2 / λ d << 1 (conditions plus restrictives que Fresnel) TF calculée aux fréquences spatiales U (x, y,d ) ∝U! ( x y , ,0) λd λd Remarque : Si d = infini , alors « Fresnel = Fraunhofer » Amplitude dans le plan focal d’une lentille L’amplitude complexe d’une onde monochromatique au point (x, y) dans le plan focal arrière d’une lentille convergente de focale f est proportionelle à la TF de l’amplitude complexe de l’onde dans le 3 plan focal avant, calculée aux fréquences spatiales ν x = x / λ f et ν y = y / λ f . Cette relation est valide dans l’approximation de Fresnel. Le plan focal arrière de la lentille est appelé plan de Fourier. Sans lentille, la relation de TF entre les amplitudes complexes n’est valable que dans l’approximation de Fraunhofer, qui est plus restrictive. DIFFRACTION Figure de diffraction = distribution transverse d’intensité d’une onde ayant traversé une ouverture (fonction pupillaire p) après propagation sur une distance d. Selon que la propagation peut être décrite avec l’approximation de Fresnel ou l’approximation de Fraunhofer, on parle de diffraction de Fresnel ou de diffraction de Fraunhofer. * La figure de diffraction de Fraunhofer est proportionnelle au module carré de la TF de la fonction pupillaire p(x, y), TF évaluée aux frequences spatiales ν x = x / λd et ν y = y / λd : ⎛ x y ⎞ I (x, y) ∝ p! ⎜ , ⎟ ⎝ λd λd ⎠ 2 * Au foyer d’une lentille de focale f, dans l’approximation de Fresnel, on a ⎛ x y ⎞ I (x, y) ∝ p! ⎜ , ⎟ ⎝λ f λ f ⎠ 2 FILTRAGE Le montage 4f : dans le plan de Fourier, on a accès aux fréquences spatiales de l’objet. On peut ainsi réaliser du filtrage des fréquences spatiales et ainsi modifier l’image. 4 FORMATION DES IMAGES 5