Points essentiels du cours

Résumé du cours d’Optique de Fourier
Arnaud Dubois
Octobre 2016
Les résultats rappelés ici peuvent être utilisés directement pour résoudre les exercices (en particulier à
l’examen), sans être redémontrés (sauf si demandé explicitement).
ONDES MONOCHROMATIQUES
Fonction d’onde complexe : U(r, t) = U(r) exp(j2πνt),
où U(r) = a(r)exp[jϕ(r)] est appelée amplitude complexe.
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- U (r) = I ( r) = intensité de l’onde
- Arg{U(r)} = ϕ(r) = phase de l’onde
Fronts d’onde : ϕ(r) = 2πq (q entier).
Onde plane
Amplitude complexe : U(r) =Aexp(-jk.r) = A exp[-j(kxx + kyy + kzz)]
A = envelope complexe (constante)
k = (kx, ky, kz) = vecteur d’onde.
Helmholtz ð Le module de k est égal au nombre d’onde k = 2πν c = ω c
Les front d’onde sont des plans distants de λ = 2π/k = c/ν (λ = longueur d’onde)
Onde sphérique
Amplitude complexe : U(r) = (A/r) exp(±jkr)
(signe - si divergente; signe + si convergente)
où r est la distance à l’origine et k = 2πν/c = ω/c.
Fronts d’onde = sphères concentriques séparées d’une distance radiale λ = 2π/k = c/ν.
⎛
A
x2 + y2 ⎞
exp − jkz exp ⎜ − jk
⎟ (Approximation parabolique de l’onde sphérique, valable dans
z
2z ⎠
⎝
le cadre de l’approximation de Fresnel (toujours utiliser cette approximation dans le cadre du cours !))
U (r) ≈
(
)
Approximation de Fresnel valable si :
N Fθ m2
a2
(nombre de Fresnel)
<< 1 avec N F =
4
λz
1
TRANSMITTANCE D’UNE LENTILLE MINCE
⎛ x2 + y2 ⎞
⎛ x2 + y2 ⎞
t(x, y) = h0 exp ⎜ jk
⎟ = h0 exp ⎜ jπ
⎟
2f ⎠
λf ⎠
⎝
⎝
f = focale de la lentille.
h0 = exp ⎡⎣− jnk0 d0 ⎤⎦ est un terme de phase constant (on considère généralement h0 = 1)
On ne tient pas compte ici de la pupille.
PROPAGATION DANS L’ESPACE LIBRE
Fréquences spatiales d’une onde plane
Fréquences spatiales : νx = kx/2π et νy = ky/2π.
⎪⎧sin θ x = λν x
Relation angles du vecteur d’onde / fréquences spatiales : ⎨
⎩⎪sin θ y = λν y
Si kx << k et ky << k (régime paraxial) :
⎧⎪θ x = λν x
⎨
⎪⎩θ y = λν y
Méthodes de calcul de la propagation dans l’espace libre
Valables dans le cadre de l’approximation de Fresnel
- Méthode dans l’espace direct : l’onde est considérée comme superposition d’ondes paraboloiques
élementaires (ondes sphériques). Conforme au principe d’Huygens-Fresnel
- Méthode dans l’espace de Fourier : l’onde est décomposée en une somme d’ondes planes.
2
∗hd (x, y)
U ( x, y,0)
U ( x ', y ', z )
TF-1
TF
×H d (ν x ,ν y )
U! (ν x ,ν y ,0)
hd (x, y) =
(
j exp − jkd
λd
) exp⎡⎢− jπ ( x
⎢⎣
U! (ν x ,ν y , z)
+ y2 ⎤
⎥
λ d ⎥⎦
2
)
H d (ν x ,ν y ) = exp (− jkd ) exp ⎡⎣ jπλ d (ν x2 + ν 2y )⎤⎦
La méthode par convolution consiste à calculer « l’intégrale de Fresnel » (ou « transformée de
Fresnel ») :
⎡
(x − x ') 2 + ( y − y ') 2 ⎤
U (x, y,d ) = h0 ∫∫ U (x ', y ',0)exp ⎢− jπ
⎥dx 'dy '
λd
⎣
⎦
⎛ j ⎞
où h0 = ⎜ ⎟ exp ⎡⎣− jkd ⎤⎦
⎝ λd ⎠
H d (ν x ,ν y ) est appelée fonction de transfert de l’espace libre.
Approximation de Fraunhofer
Dans l’approximation de Fraunhofer, l’amplitude complexe U ( x, y, d ) d’une onde monochromatique
de longueur d’onde λ, en z = d, est proportionelle à la TF de l’amplitude complexe U ( x, y,0) en z = 0,
ν x = x / λd and ν y = y / λd . L’approximation est valide si
U ( x, y,0) est confinée à un cercle de rayon b tel que N F = b2 / λ d << 1 et si U ( x, y, d ) est confinée à
un cercle de rayon a tel que N F ' = a 2 / λ d << 1 (conditions plus restrictives que Fresnel)
TF calculée aux fréquences spatiales
U (x, y,d ) ∝U! (
x y
,
,0)
λd λd
Remarque : Si d = infini , alors « Fresnel = Fraunhofer »
Amplitude dans le plan focal d’une lentille
L’amplitude complexe d’une onde monochromatique au point (x, y) dans le plan focal arrière d’une
lentille convergente de focale f est proportionelle à la TF de l’amplitude complexe de l’onde dans le
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plan focal avant, calculée aux fréquences spatiales ν x = x / λ f et ν y = y / λ f . Cette relation est valide
dans l’approximation de Fresnel. Le plan focal arrière de la lentille est appelé plan de Fourier.
Sans lentille, la relation de TF entre les amplitudes complexes n’est valable que dans l’approximation
de Fraunhofer, qui est plus restrictive.
DIFFRACTION
Figure de diffraction = distribution transverse d’intensité d’une onde ayant traversé une ouverture
(fonction pupillaire p) après propagation sur une distance d. Selon que la propagation peut être décrite
avec l’approximation de Fresnel ou l’approximation de Fraunhofer, on parle de diffraction de Fresnel
ou de diffraction de Fraunhofer.
* La figure de diffraction de Fraunhofer est proportionnelle au module carré de la TF de la fonction
pupillaire p(x, y), TF évaluée aux frequences spatiales ν x = x / λd et ν y = y / λd :
⎛ x y ⎞
I (x, y) ∝ p! ⎜ , ⎟
⎝ λd λd ⎠
2
* Au foyer d’une lentille de focale f, dans l’approximation de Fresnel, on a
⎛ x y ⎞
I (x, y) ∝ p! ⎜
,
⎟
⎝λ f λ f ⎠
2
FILTRAGE
Le montage 4f : dans le plan de Fourier, on a accès aux fréquences spatiales de l’objet. On peut
ainsi réaliser du filtrage des fréquences spatiales et ainsi modifier l’image.
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FORMATION DES IMAGES
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COHERENCE
Lumière présentant des fluctuations : U (r, t ) est une fonction aléatoire caractérisée par des moyennes
statistiques.
Intensité
Intensité moyenne : I (r,t) = U (r,t)
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représente une moyenne d’ensemble sur un grand nombre de réalisations (espérance
mathématique de la fonction aléatoire).
Processus ergodique et stationnaire :
dans le cours) :
peut être évaluée par une moyenne dans le temps (c’est le cas
1
T →∞ 2T
I (r) = lim
∫
T
−T
2
U (r,t) dt
Cohérence temporelle et spectre
Fonction de cohérence temporelle
G(τ ) = U * (t)U (t + τ ) = lim
T →∞
1
2T
∫
T
−T
U * (t)U (t + τ )dt
G(0) = I (intensité)
Degré de cohérence temporelle
*
U * (t)U (t + τ )
G(τ ) U (t)U (t + τ )
g(τ ) =
=
=
G(0)
I
U * (t)U (t)
0 ≤ g(τ ) ≤ 1
En général, quand l’onde n’est pas monochromatique, g(τ ) décroit de 1 pour τ = 0 jusqu’à 0 lorsque
τ tends vers l’infini.
Temps de Cohérence / longueur de cohérence
Temps de coherence = largeur de la fonction g (τ ) : τ c =
∫
+∞
−∞
2
g(τ ) d τ
Longueur de cohérence : lc = cτ c
Densité spectrale de puissance
2
Densité spectrale de puissance : S(ν ) = U! (ν )
Théorème de Wiener-Khinchin : S(ν ) =
∫
+∞
−∞
(
)
G(τ ) exp j2πντ d τ : la densité spectrale de puissance
est la TF de la fonction d’autocorrelation du champ.
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Largeur spectrale Δν c ∝
1
τc
=
c
lc
Cohérence spatiale
Degré de cohérence spatiale
G(r1 ,r2 ,0) = U * (r1 ,t)U (r2 ,t)
g(r1 ,r2 ) =
notée G (r1 , r2 )
G(r1 ,r2 )
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⎡ I (r1 )I (r2 )⎤
⎣
⎦
0 ≤ g(r1 ,r2 ) ≤ 1
g(r1 ,r2 ) est le degré de cohérence spatiale (pour un délai nul)
Aire de cohérence
Pour un point r2 donné, la surface balayée par le point r1 tel que g(r1 ,r2 ) ≥ 1 2 (par exemple) est
appelée aire de cohérence au point r2 .
Gain en cohérence avec la propagation : théorème de Zernike et Van Cittert
Soit une source monochromatique spatialement incohérente de luminance L. Après propagation sur
une distance d, le module du degré de cohérence spatiale est égal au module à la TF normalisée de la
luminance de la source :
⎛r −r ⎞
L! ⎜ 1 2 ⎟
⎝ λd ⎠
g(r1 ,r2 ) =
L! 0
()
Interférence en lumière partiellement cohérente
La cohérence de la lumière se manifeste lors des phénomènes d’interférence
Interférence et cohérence temporelle
A la sortie d’un interféromètre de type Michelson :
I = 2I 0 ⎡⎣1+ Re g τ ⎤⎦
g étant le degré de cohérence temporelle
= 2I 0 ⎡⎣1+ g τ cos ϕ τ ⎤⎦
{ ( )}
() ()
La partie variable de I (τ ) est appelée interférogramme.
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A partir de la mesure de l’interférogramme, on peut en déduire le spectre par TF (spectroscopie par
TF).
∞
I = 2 ∫ S ν ⎡⎣1+ cos 2πντ ⎤⎦ dν (à partir de Wiener-Khinchin)
0
()
(
)
L’interférogramme est la superposition d’interférogrammes produits par chaque composante
monochromatique de l’onde.
Interférence et cohérence spatiale
Mise en evidence par exemple dans les interferences avec les trous d’Young, situés en r1 ,r2 .
(
)
Les franges ont une visibilité donnée par le degré de cohérence spatiale g r1 ,r2 .
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