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Des problèmes d’eau.
L’épreuve qui suit est constituée de trois parties indépendantes. Elles ont toutes les trois en commun
de traiter de questions en rapport avec l’eau : circulation dans un tuyau, oscillation dans un tube en U et
propagation d’ondes de surface. Dans toute l’épreuve, on attend du candidat qu’il soit attentif à l’aspect
physique des choses, qu’il prenne soin de rédiger correctement ses réponses, de les argumenter de manière
concise en soignant la présentation et l’expression. Un nombre important de points sont attribués sur la
qualité de rédaction et de présentation de la copie. On attend des applications numériques dès qu’elles sont
possibles et des commentaires lorsque c’est approprié.
Partie I - Circulation de l’eau dans une conduite.
On considère un tuyau cylindrique, de rayon R, de longueur L, horizontal et parcouru par un fluide
de viscosité η. La pression sur l’axe du cylindre est P1 à l’entrée et P2 à la sortie. On rappelle que η
intervient dans la force surfacique qu’exerce une partie d’un fluide sur une autre de vitesse différente. Si
l’écoulement se fait suivant un axe x et la vitesse dépend de y (voir figure 1), cette force surfacique exercée
par la partie de y le plus grand sur celle de y le plus petit est :
fv
ye
s x
=
η
∂
y
x
x
Figure 1
Les flèches symbolisent les vitesses à x
donné pour différentes valeurs de y.
1) Nombre de Reynolds.
Pour savoir si l’écoulement est turbulent ou laminaire, on considère un nombre sans dimension
d’autant plus grand que l’écoulement est plus turbulent : ce nombre est le nombre de Reynolds que l’on
notera Re. Il utilise les grandeurs physiques η, µ, la masse volumique du fluide, v, la vitesse caractéristique
de l’écoulement et , une longueur, elle aussi caractéristique de l’écoulement.
a) Dans le problème qui nous occupe, prend-on pour le rayon R ou la longueur L? Expliquer
pourquoi.
b) En faisant une analyse dimensionnelle de αvβηγµδ, avec δ = ±1, déterminer les valeurs possibles
des coefficients α, β et γ pour former un nombre sans dimension. Choisir alors leur signe par un argument
physique pour former le nombre de Reynolds.
2) Débit dans un tuyau.
On va considérer les coordonnées cylindriques axées sur le tuyau (voir figure 2). Un point M est
repéré soit par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z), soit par ses cordonnées cylindriques (r,θ,x). Le point
m est le projeté de M sur le plan Oyz, H est le projeté de M sur Ox, r et θ sont les coordonnées polaires de