Circulation d`un liquide visqueux dans une conduite. Oscillations

ANNEE 2003
CONCOURS D’ADMISSION
A
L’ECOLE DE L’AIR
CONCOURS PC/PSI
COMPOSITION
DE
SCIENCES PHYSIQUES
Durée : 4 heures
Coefficient : 13
L’attention des candidats est attirée sur le fait
que la notation tiendra compte du soin et de la
rigueur apportés dans le travail.
Nota : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler
une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a été amené à prendre.
T.S.V.P.
Des problèmes d’eau.
L’épreuve qui suit est constituée de trois parties indépendantes. Elles ont toutes les trois en commun
de traiter de questions en rapport avec l’eau : circulation dans un tuyau, oscillation dans un tube en U et
propagation d’ondes de surface. Dans toute l’épreuve, on attend du candidat qu’il soit attentif à l’aspect
physique des choses, qu’il prenne soin de rédiger correctement ses réponses, de les argumenter de manière
concise en soignant la présentation et l’expression. Un nombre important de points sont attribués sur la
qualité de rédaction et de présentation de la copie. On attend des applications numériques dès qu’elles sont
possibles et des commentaires lorsque c’est approprié.
Partie I - Circulation de l’eau dans une conduite.
On considère un tuyau cylindrique, de rayon R, de longueur L, horizontal et parcouru par un fluide
de viscosité η. La pression sur l’ axe du cylindre est P1 à l’ entrée et P2 à la sortie. On rappelle que η
intervient dans la force surfacique qu’ exerce une partie d’ un fluide sur une autre de vitesse différente. Si
l’ écoulement se fait suivant un axe x et la vitesse dépend de y (voir figure 1), cette force surfacique exercée
par la partie de y le plus grand sur celle de y le plus petit est :
∂v
f s = η ex
∂y
y
Les flèches symbolisent les vitesses à x
donné pour différentes valeurs de y.
x
x
Figure 1
1) Nombre de Reynolds.
Pour savoir si l’ écoulement est turbulent ou laminaire, on considère un nombre sans dimension
d’ autant plus grand que l’ écoulement est plus turbulent : ce nombre est le nombre de Reynolds que l’ on
notera Re. Il utilise les grandeurs physiques η, µ, la masse volumique du fluide, v, la vitesse caractéristique
de l’ écoulement et , une longueur, elle aussi caractéristique de l’ écoulement.
a) Dans le problème qui nous occupe, prend-on pour
pourquoi.
le rayon R ou la longueur L? Expliquer
b) En faisant une analyse dimensionnelle de αvβηγµ δ, avec δ = ±1, déterminer les valeurs possibles
des coefficients α, β et γ pour former un nombre sans dimension. Choisir alors leur signe par un argument
physique pour former le nombre de Reynolds.
2) Débit dans un tuyau.
On va considérer les coordonnées cylindriques axées sur le tuyau (voir figure 2). Un point M est
repéré soit par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z), soit par ses cordonnées cylindriques (r,θ,x). Le point
m est le projeté de M sur le plan Oyz, H est le projeté de M sur Ox, r et θ sont les coordonnées polaires de
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m dans ce plan où Oy est l’ axe polaire. L’ axe Ox est l’ axe du tuyau et le point O est à son entrée (la
pression y est donc P1).
z
m
r
θ
y
M
0
H
x
Figure 2.
On va considérer un écoulement laminaire permanent suivant l’ axe du tuyau. La pesanteur sera
négligée. On supposera que la vitesse est de la forme : v ( M ) = v(r )e x .
a) Indiquer qualitativement comment la pesanteur intervient dans ce problème et pourquoi on la
néglige.
b) Faire un bilan de force sur un volume élémentaire cylindrique de fluide autour de M de
coordonnées (r,θ,x). Montrer que, dans ces conditions, la pression ne dépend pas de θ.
c) Déduire du bilan précédent les variations de P suivant r et suivant x.
d) Montrer que la pression ne dépend pas de r.
e) Montrer que dP/dx est indépendant de x. En déduire sa valeur en fonction de P1, P2 et L. puis la
valeur de dv/dr.
f) Déterminer v(r) et en déduire la vitesse moyenne vm et le débit volumique DV dans le cylindre.
g) Rappeler la signification physique d’ une impédance (ou d’ une résistance). Définir alors K, la
résistance hydraulique du tuyau, en dégageant la signification physique des deux paramètres physiques que
l’ on utilise (on illustrera la définition générale). En déduire son expression en fonction des caractéristiques
du tuyau et du liquide.
h) On considère l’ eau se trouvant à l’ instant t dans le tuyau élémentaire horizontal de longueur L et
d’ épaisseur dr. Déterminer le travail élémentaire des forces de pression qui s’ exercent sur ce système entre
t et t + dt. En déduire PP, la puissance des forces pressantes qui s’ exercent sur le liquide contenu dans
l’ ensemble du tuyau et PV, la puissance dissipée par viscosité.
Ecrire PV en fonction de K et du débit volumique DV.
3) Application : distribution d’eau.
On va appliquer les relations précédentes à plusieurs cas physiques. On donne g = 10 m.s-2,
l’ accélération de pesanteur, ηeau = 10-3 Pl et µ eau = 1000 kg/m3. Dans cette application, on considère un
réseau de distribution d’ eau domestique. Ce type de circuit est alimenté par des châteaux d’ eau qui
assurent la mise en pression du réseau.
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a) Quel est l’ ordre de grandeur de la pression qui peut être attendue dans une canalisation au pied
d’ un château d’ eau de 25 m de haut. On supposera que le débit d’ eau dans la canalisation est suffisamment
faible pour ne pas perturber le champ de pression dans le château d’ eau.
b) Soit une conduite d’ eau de 100 m de longueur et de section 1 cm2 partant du pied de ce château
d’ eau. L’ autre extrémité de la canalisation est à l’ air libre. Quel débit peut-on attendre en sortie en
supposant que la relation précédemment établie s’ applique bien? Quelle est la vitesse maximale atteinte
dans la canalisation?
c) Quelle est la puissance dissipée par viscosité ? Sachant que pour l’ eau, la capacité thermique vaut
ceau = 4,18 J.K-1.g-1, estimer l’ élévation de température produite si l’ eau récupère toute l’ énergie dissipée.
Conclure.
d) Que vaut le nombre de Reynolds pour cette écoulement? Conclure.
e) Dans une maison, on souhaite obtenir des débits assez important, par exemple pour remplir une
baignoire. Cependant, dans certaines installations anciennes, on n’ obtient pas forcément satisfaction. On dit
parfois qu’ on « manque de pression » Qu’ est-il préférable de faire d’ un point de vue technique pour
assurer une alimentation plus rapide? Sur quel paramètre physique vaut-il mieux jouer. Qu’ est-ce qui peut
altérer à la longue la qualité des canalisations en terme de débit?
4) Circulation sanguine.
Le corps des animaux est pourvu de quantités de « tuyaux ». On va se pencher ici sur le cas des
artères. Elles seront supposées posséder les qualités des tuyaux précédents et les résultats généraux établis
plus hauts seront appliqués.
a) Quelle qualité importante des artères est omise ici?
b) Le réseau de distribution du sang se compose d’ artères de tailles très différentes, de l’ aorte à de
minuscules vaisseaux. On va donner ici des données moyennes. Le cœur qui alimente ce circuit impose un
débit D0 = 5 L/min. On utilise ici un modèle simpliste : Les différents types d’ artères se suivent et on passe
par division d’ un diamètre au suivant (voir figure 3).
Artère de type i
Artères de type i+1
Figure 3.
Données non exhaustives : ηsang = 4 10-3 Pl ; µ sang ≈ µ eau.
Type de vaisseau
Aorte
Branches secondaires
Branches terminales
Capillaires
Diamètre di (mm)
10
0,6
0,03
0,008
Nombre ni
1
1800
13.106
1,2.109
Déterminer la résistance linéique de ces quatre types d’ artère (pour l’ ensemble de ces vaisseaux en
parallèle), la puissance linéique qui y est dissipée par viscosité, la vitesse moyenne et le nombre de
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Reynolds associés à l’ écoulement dans ce type d’ artère. Les résultats numériques seront regroupés sous
forme de tableau.
c) La ration alimentaire moyenne est d’ environ 10 MJ par jour. Que peut-on en conclure au vu des
chiffres précédents ?
Partie II – Oscillations dans un tube en U.
On considère de l’ eau placée dans un tube en U de section s constante. La pression atmosphérique au
dessus du liquide est de 1 bar. Lorsqu’ on crée une surpression temporaire dans l’ un des tubes puis qu’ on la
relâche, le liquide se met à osciller de manière amortie. Dans cette partie, on va envisager plusieurs
modèles pour retrouver le comportement du système constitué de l’ eau du tube, d’ abord sans considérer
de termes dissipatifs, puis en les faisant intervenir. Le tube est occupé par une longueur
= 80 cm de
3
-2
liquide, de masse volumique µ = 1000 kg/m . L’ accélération de pesanteur est g = 9,8 m.s .
1) Oscillation non amortie.
On va utiliser un modèle de fluide idéal, sans dissipation visqueuse. On paramètre le problème avec la
cote z de l’ eau dans la partie gauche du tube.
a) Donner l’ énergie cinétique du fluide lors de son mouvement.
b) On considère que l’ énergie potentielle de pesanteur du système liquide est nulle à l’ équilibre. Que
vaut-elle alors que le liquide est à la hauteur z algébrique au dessus de la hauteur d’ équilibre ?
c) Donner alors l’ énergie mécanique totale du fluide et en déduire l’ équation différentielle
d’ évolution de z en fonction du temps.
d) Déterminer la période d’ oscillation T0 du fluide dans le tube.
e) Le théorème du centre de masse permet-il d’ obtenir le même résultat ? Une réponse argumentée
est attendue.
f) Retrouver l’ équation différentielle du c) en utilisant les théorèmes de la mécanique des fluides.
2) Prise en compte de l’amortissement.
Comme on s’ en rend compte en faisant l’ expérience, les oscillations sont amorties. On va modéliser
la dissipation par un effet global du premier ordre et exploiter les résultats d’ un montage expérimental pour
estimer l’ importance de la dissipation.
2
 dz 
a) On considère que la puissance dissipée lors du mouvement est αµs   où α est un coefficient
 dt 
positif. Utiliser les résultats du 1) pour établir un bilan de puissance durant le mouvement.
Trouver la nouvelle équation différentielle régissant l’ évolution de z.
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b) Il existe une valeur de α critique, αC, à partir de laquelle les oscillations ne se font plus.
Déterminer l’ inégalité que doit vérifier α et αC pour que les oscillations se développent et la
valeur de αC. Pour quels types de liquide peut-on être dans le cas où les oscillations ne se
développent pas ?
c) On va considérer que la surpression est relâchée instantanément à t = 0 alors que le système est
immobile avec z(0) = a. Déterminer l’ évolution de z(t) dans le cas des oscillations amorties.
3) Dispositif expérimental.
Pour pouvoir repérer le niveau de liquide dans le tube, on place deux fils de cuivre de diamètre d = 1
mm éloignés de e = 2 mm parallèlement dans le tube de gauche. On remplit le tube d’ une solution de NaCl
de concentration C = 0,1 mol.L-1 est on relie les deux fils en cuivre à un générateur basse fréquence (GBF)
utilisé en continu. La tension U aux bornes des fils est relevée grâce à une carte d’ acquisition. Le relevé de
tension U est fourni ci-dessous sous la dénomination EA0. On mesure à vide une différence de potentiels
E = 10 V aux bornes du GBF. On suppose que la résistance mesurée est telle que R = R0 + az. A
l’ équilibre, la hauteur de fil immergée est h = 14 cm.
On donne les conductivités molaires : λ0(Na+) = 5,0 mS.m2.mol-1 et λ0(Cl-) = 7,6 mS.m2mol-1.
a) Pour estimer l’ ordre de grandeur de R0, On assimile cette résistance à celle d’ une portion de
liquide de hauteur h et de largeur d et de longueur e (on néglige la résistance des fils de cuivre,
leur aspect cylindrique et les effets de bord). Donner les valeurs littérale et numérique de R0 que
l’ on peut alors estimer.
b) Estimer grâce à la courbe la tension U0 qu’ on pourrait relever à l’ équilibre (la construction n’ est
pas à rendre avec la copie). A quelle caractéristique du GBF (notée Rg) est lié le fait que cette
tension ne soit pas de 10V ? Faire un schéma électrique du montage incluant E, R et Rg.
Déterminer U en fonction de E, R et Rg. Déterminer Rg sachant que la résistance qu’ on mesure à
l’ équilibre sous ce mode de fonctionnement est R0 = 14 Ω.
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c) Expliquer pourquoi la tension relevée varie avec z. Ces variations sont-elles linéaires ?Déterminer
une relation linéaire liant les données à z. Une courbe y(t) qui convient est fournie en annexe et
pourra être rendue avec la copie si on y effectue des tracés et des mesures. Donner une expression
possiblede y(t) en fonction des données.
d) Tracer sur y(t) les courbes enveloppes traduisant l’ amortissement et les utiliser pour tracer la
valeur vers laquelle tend y à t infini. Déterminer alors la pseudo période T de l’ oscillation du
liquide.
e) Définir et déterminer la valeur du décrément logarithmique. En déduire α et To, période propre de
l’ oscillateur. Comparer au résultat théorique précédent sur T0.
f) Quel peut être l’ intérêt du modèle développé en 1) ?
partie III - Ondes de surface.
On va s’ intéresser aux ondes de surface qui se propagent sur l’ eau. Après avoir établi les équations
de propagation de ces ondes, on s’ intéressera à l’ énergie qu’ elles transportent puis a leur réflexion sur une
paroi fixe. Le fluide sera considéré comme idéal dans toute cette partie.
1) Etablissement des équations d’onde.
On va considérer que l’ eau, incompressible, ne subit aucun courant permanent et que le déplacement
des ondes se fait dans un bassin de profondeur constante H (le fond est plat). La pression atmosphérique
est P0 = 1 bar. Le but de cette partie est d’ obtenir les équations linéarisées liées au passage de l’ onde. On
repère l’ altitude de la surface libre par h(y,t) en un point repéré par y (dans la suite, on notera h en
omettant dans la notation la dépendance en y et en t). Le problème sera traité en ne considérant aucune
propagation en x. Les termes d’ ordre un seront h et v, norme de la vitesse.
z
Niveau moyen (d’ équilibre)
h
atmosphère
y
g
Fond (-H)
a) Donner l’ équation du mouvement d’ une particule fluide lors du déplacement de l’ eau au passage
de l’ onde. La simplifier en ne conservant que les termes d’ ordre un.
b) On va approcher la pression dans le fluide en l’ assimilant à la pression hydrostatique. Déterminer
P en fonction de z et h.
c) Dans le cadre de la linéarisation, on ne s’ intéresse qu’ au terme de vitesse suivant l’ axe Oy : vy.
Déduire de ce qui précède une relation différentielle entre vy et h. La vitesse vz peut-elle être
nulle ? Quelle est la dépendance de vy en z ?
d) Considérons une colonne fixe comprise entre y et y + dy sur une largeur en x. Déterminer le
volume d’ eau dV qu’ elle contient. Faire un bilan de matière sur la colonne et en déduire une
nouvelle relation différentielle entre vy et h. Linéariser cette relation.
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e) Déduire de ce qui précède les équations d’ évolution de vy et h en fonction de y et t. Déterminer C
la célérité des ondes qui se propagent dans le cadre de ce modèle. Donner la forme générale des
solutions de l’ équation en h (on ne demande pas la démonstration). Interpréter les termes de cette
solution.
f) En supposant que l’ expression de C reste valable, expliquer qualitativement pourquoi les vagues
se brisent en arrivant près de la plage.
2) Onde sinusoïdale.
On va considérer une onde incidente qui se propage dans le sens des y croissants, sinusoïdale de
période T et d’ amplitude ai en h. Numériquement, on prend H = 5 m, ai = 0,50 m et T = 6 s.
a) Donner hi(y,t) et viy(y,t). Quelle est la valeur de l’ amplitude de la vitesse dans l’ onde incidente ?
Que vaut la longueur d’ onde λ ?
b) Estimer la vitesse verticale obtenue ici et la comparer à vy. Conclure.
c) L’ onde arrive sur une jetée orientée suivant Ox, située en y = 0 et s’ y réfléchit. Quelles sont les
conditions aux limites du système qui se développent sur la jetée ? En déduire l’ expression de
l’ onde réfléchie pour hr(y,t) et vry(y,t).
d) Donner alors l’ expression générale de h(y,t) et vy(y,t) autour de la jetée. Comment nomme-t-on
ce type d’ onde et pourquoi ?
e)
Quel phénomène important n’ a pas été pris en compte pour la propagation des ondes
océaniques ? Donner un exemple de type d’ onde océanique de période beaucoup plus grande que
T = 6 s.
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9/9