EXERCICES CAPTEURS Exercice : Précision d`un multimètre

EXERCICES CAPTEURS
Exercice : Précision d’un multimètre numérique
REF : Low Level Measurements Handbook - 7th Edition (KEITHLEY)
http://www.tek.com/sites/tek.com/files/media/document/resources/LowLevelHandbook_7Ed.pdf
Deux termes d'erreurs interviennent en général dans l'utilisation d'un multimètre.
-
Untermeproportionnelàlavaleurluequicorrespondàuneincertitude
relativeconstante.Elleestdonnéeen%delavaleurlue.
Untermeexpriméennombrededigits.Ils’agitdudigitdepoidsleplusfaible,
celuiquidonnelarésolutiondel’appareilsurchaquecalibre.
Répondre aux questions suivantes pour le multimètre MX21 (2000 points) et le KEITHLEY Model 2000 (6,5
digits i.e. 6 000 000 points, la valeur max du digit le plus à gauche est 6). Pour le KEITHLEY, prendre les specs
au delà de 2 ans.
1/ Donner la valeur de l’incertitude sur les mesures suivantes :
- Vcc = 10mV (METRIX et KEITHLEY avec le meilleur calibre)
- Vcc = 1V (METRIX et KEITHLEY avec le meilleur calibre)
- R=1Ω (METRIX et KEITHLEY avec le meilleur calibre)
2/ Quelles sont les plus petites tensions DC mesurables ?
3/ Quelles sont les plus petites résistances mesurables ?
METRIX MX21
KEITHLEY Model 2000
Exercice 1 : Photodiode
1/ On considère un laser de longueur d’onde λ qui éclaire une photodiode. Soit N le
nombre de photons incidents par seconde (d’énergie individuelle h υ) sur la surface sensible
de la photodiode. Calculer le courant i débité par la diode sachant que la probabilité pour
qu’un photon génère un électron de conduction est η (rendement quantique). En déduire la
sensibilité S (A/W) de la photodiode en fonction de λ, η, q, h, c.
2/ Déterminer l’efficacité quantique à 600 nm de la photodiode S2386 dont la sensibilité
spectrale est représentée ci-dessous.
3/ Expliquer l’allure de la courbe ci-dessus.4/ La bande passante de cette diode est de 100
kHz, le bruit dominant est le bruit de grenaille. Le courant de bruit est donné
par igrenaille = 2 q i Δf .
4/ Calculer le rapport signal sur bruit (S/B) si la puissance incidente du laser est de 1mW.
h = 6.625 10 −34 Js, q = 1.6 10 −19 C, c = 3 188 m / s, λ = 600nm.
Exercice 2 : Photodiode
1/ Calculer le courant de bruit (A/Hz1/2) associé à la valeur du NEP pour la diode S2386-44k
et pour une longueur d’onde de 1µm.
2/ Calculer le courant de bruit de grenaille ishot dans le noir et le courant de bruit thermique
ith à 300°K en A/√Hz. En déduire le courant de bruit total. Comparer cette valeur à la valeur
précédente. Conclure.
3/ En ne considérant que le bruit de grenaille calculer le rapport signal sur bruit S/N en
fonction de la puissance incidente P (W) et de la bande passante du système ∆f (Hz).
4/ Calculer le temps de réponse tr théorique pour un résistance de charge R=1kΩ. Comparer à
la valeur expérimentale déduire la bande passante pour une résistance de charge R=1kΩ
5/ Calculer la puissance optique nécessaire pour obtenir un rapport S/N =1 avec une
résistance de charge de R=1kΩ. Comparer cette valeur à celle reçue par une bougie d’intensité
lumineuse 1 candela (1cd=1/683 W/sr) située à 1m de la diode.
6/ Calculer S/N pour R=1kΩ.
7/ Calculer D*.
Exercice 3 : Photodiode
On considère à température ambiante (T=300K) une photodiode au silicium (S23868K) qui est montée dans le régime photoconducteur, alimentée par une tension inverse U
=10V et chargée par une résistance de charge R=10 kΩ.
1/ Faire le montage de principe.
2/ Expliquez pourquoi on mesure en général la tension aux bornes de la résistance de charge
et non le courant photo-induit par la photodiode. Quelle est dans les conditions du montage la
tension maximum à ne pas dépasser aux bornes de la résistance de charge. En déduire le
courant maximum imax qui peut circuler dans le circuit.
3/ Cette photodiode est éclairée par un laser HeNe (633
nm) de puissance égale à 1mW. La sensibilité de la
photodiode est à cette longueur d'onde de 0.45 A/W.
a/ Calculer le courant i qui circule dans le montage.
b/ Calculer la bande passante Δf=0.35/tr (tr=2.2τ,
τ = RC). La capacité C de la photodiode est inversement
proportionnelle à la largeur W de la zone de charge
d’espace de la jonction qui est donnée par :
Temps de réponse tr obtenu à
U=0V
W (U ) = W (U = 0 ) 1+
U
φ
où φ = +0,5 V (barrière de potentiel).
c/ Calculer le courant de grenaille igrenaille = 2qiΔf et de bruit thermique ithermique =
En déduire le courant de bruit dominant.
Rappel (k=1.38 10-23 J/°K, q =1.6 10-19 C)
d/ Calculer le courant de bruit total.
4kTΔf
.
R
Exercice 4 : PMT
Les conditions d’utilisation du photomultiplicateur 9780 dont les caractéristiques sont
données ci après sont les suivantes: Longueur d’onde incidente = 555 nm, résistance de
charge 1MΩ, tension d’alimentation du PMT est V (valeur nominale). RAPPEL :
S(A / W ) = η × λ ( µ m) /1.24
1/Déterminer la puissance lumineuse utile en W à 550nm pour obtenir une tension de 1V aux
bornes de la résistance de charge.
2/ Dans les mêmes conditions d’utilisation, déterminer la puissance lumineuse minimale
détectable en Watts à partir de la valeur du courant d’obscurité anodique (prendre la valeur
nominale).
3/ Déterminer la puissance lumineuse maximale tolérée en Watts. Discuter en fonction des
valeurs de courant max à l’anode et à la cathode.
Remarque : 1Watt= 685 Lumens
Exercice 5 : Montage en pont
1/ Exprimer la différence de tension entre B et D et entre D et A en fonction du courant qui
circule dans la boucle BDA. En déduire l’expression de la tension VD en D en fonction de VA ,
VB , R1 , R2.
2/ Faire de même pour la boucle BCA et en déduire l’expression de la tension VC en C en
fonction de VA , VB , R3 , R4.
3/ En déduire l’expression de la tension de décalage de pont VD – VC = V en fonction de la
tension d’alimentation e = VB -VA et R1 , R2 , R3 , R4. Montrer que l’on a :
V =e
( R1 R3 − R2 R4 ) .
( R1 + R2 ) ( R3 + R4 )
4/ Soit R1 la résistance variable du capteur et R2 = R3 = R4 = R des résistances fixes ajustables.
Quelle est la condition d’équilibrage du pont ? A partir du pont équilibré, montrer que des
faibles variations ΔR1  R1 de résistance de R1 se traduit par des faibles variations ΔV de tension
de décalage de pont. Monter que l’on a :
ΔV
ΔR
=
.
e
4R
Exercice 6 : Montage en pont : Influence des fils de liaison.
On considère Rc=R1=R2 = R3 = R4 = R et on cherche à rendre compte de l’influence des fils de
liaison de résistance Rf lors d’une une faible variation de la résistance du capteur ΔRc<<Rc .
1/ Donner l’expression de la tension de décalage de pont correspondante V=VRc +ΔRc lors
d’une une faible variation de la résistance du capteur ΔRc et en tenant compte des fils de
liaison. Conclure.
2/ Même question on considérant le montage à "3 fils" suivant. Conclure.
Exercice 7 : Jauge de contrainte
On considère une barre en dural de section rectangulaire, d'épaisseur e, de largeur a et de
longueur L encastrée dans un mur à son extrémité en x=0.
Une jauge de déformation est collée au milieu de la barre sur sa face supérieure. On montre
que sous l’effet d’une force extérieure F exercée à son extrémité libre en x=L, la déformation
longitudinale ε = ΔL / L (allongement relatif) de la barre varie en fonction de la distance x au
point d’encastrement (x=0) et est donnée par :
ε=
ΔL 6F ( L − x )
=
L
Eae 2
où E=75 Gpa est le module d’Young de la barre. La force F est induite par une masse m = 75
kg posée en x=L.
1/ Calculer la déformation de la barre sachant que e=1 cm, a=6 cm, L=10 cm et g=10ms-2.
2/ En considérant que la déformation de la barre se communique à la jauge, calculer la
variation de résistance ΔR de la jauge associée à sa déformation à partir de la formule cidessous. On donne K=2 le facteur de jauge et R=100Ω au repos à contrainte nulle. Conclure.
ΔR
ΔL
=K
R
L
3/ La jauge est insérée dans un pont de Wheatstone formé avec des résistances fixes R2, R3 et
R4. Le pont est alimenté avec une tension continu e=5V. On veut mesurer la tension de
décalage de pont V associée à la variation de résistance de la jauge (R → R + ΔR) compte
tenu de sa déformation ε .
4/ Exprimer la différence de tension entre B et D et entre D et A en fonction du courant i. En
déduire l’expression de la tension VD en D en fonction de VA , VB , R , R2.
5/ Faire de même pour la boucle BCA et en déduire l’expression de la tension VC en C en
fonction de VA, VB, R3, R4.
6/ En déduire l’expression de la tension de décalage de pont VD – VC = V en fonction de la
tension d’alimentation e = VB -VA et R, R2, R3, R4. Montrer que l’on a
V =e
( RR3 − R2 R4 )
( R + R2 ) ( R3 + R4 )
7/ On équilibre le pont à contrainte nulle sans force appliquée en choisissant les résistances
fixes R2, R3, R4 identiques à celle de la jauge R non déformée au repos (R=100Ω). Calculer
l’expression de la tension de décalage de pont V en fonction de la variation de résistance ΔR
de la jauge. Faire l’application numérique pour la variation de résistance ΔR associée à la
déformation précédente.
Exercice 7 bis : Mesure d'une déformation avec un Pont de Wheastone
On dispose d'un pont de Wheastone représenté ci-dessous.
1/ En utilisant la formule d'un diviseur de tension, exprimer VB – VD et VB – VC en fonction
de la tension d'alimentation continue e et des résistances R1 , R2, R3 , R4.
2/ En déduire que la tension de décalage de pont V=VD – VC est donnée par:
V =e
( R1 R3 − R2 R4 )
( R1 + R2 ) ( R3 + R4 ) .
3/ A partir du pont équilibré V=0 correspondant à R1= R2 = R3 = R4 , calculer la variation de
tension de décalage de pont ΔV pour une faible variation ΔR1 et ΔR3 des résistances R1 et
R3 ( ΔR1 ≪ R1 , ΔR3 ≪ R3 ).
4/ Refaire le calcul en considérant maintenant une faible variation ΔR1 et ΔR4 des résistances
R1 et R4 ( ΔR1 ≪ R1 , ΔR4 ≪ R4 ).
On cherche à mesurer la déformation longitudinale ΔL / L au milieu d'une barre en dural de
longueur L d'épaisseur b et de largeur a qui est encastrée et soumise à une force verticale F en
son extrémité libre.
On dispose pour cela de deux jauges de contrainte de résistance identique R=100Ω au repos
collées sur les faces supérieure et inférieure au milieu de la barre. Sous l'effet de la force F, la
barre subit une déformation longitudinale ΔL / L correspondant respectivement sur les faces
supérieure et inférieure à un allongement et à un rétrécissement de module identique. En
supposant que la déformation qui s'exerce au milieu de la barre est communiquée aux jauges
de contraintes, il s'en suit une variation de résistance de jauge ΔR qui reste faible devant la
valeur initiale ΔR ≪ R . On rappelle que la variation relative de résistance d'une jauge de
ΔR
ΔL
contrainte est reliée à sa déformation longitudinale par la relation
avec K le
=K
R
L
facteur de jauge. On souhaite mesurer la déformation ΔL / L avec le pont de Wheastone
précédent dans lequel deux de ses résistances sont remplacées par les deux jauges de
contrainte. On considère que sans force appliquée le pont est équilibré en choisissant toutes
les résistances de pont égales à celles des deux jauges au repos R1= R2 = R3 = R4 =R=100Ω.
5/ Si la jauge supérieure est placée dans le pont entre A et D à la place de R1, où doit être
placée la jauge inférieure dans le pont pour obtenir une tension de décalage de pont ΔV
e ΔR
mesurable. Montrer que dans ce cas ΔV =
.
2 R
6/ Calculer la plus petite déformation mesurable ΔL / L pour e=1V, K=2 si la tension de
décalage de pont ΔV est mesurée avec un Metrix MX21 ou avec un Keithley 2000.
7/ En déduire dans chaque cas la force minimum détectable Fmin sachant que
ΔL 3FL
=
avec L=1 m, a=4 cm, b=4 mm et le module d'Young E=73 GPa.
L
Eab 2
KEITHLEY 2000
Exercice 8 : Détecteur pyroélectrique
On considère un détecteur pyroélectrique en LiTaO3. Ce capteur est éclairé par un flux
lumineux infrarouge périodique que l'on écrira de la forme suivante en notation complexe
φ = φ o eiωt . L'équation qui traduit l'équilibre thermique entre le capteur et le milieu ambiant
est donnée par :
C
dΔT
= e φ − K ΔT
dt
(Eq.1)
où ΔT = T − Ta . Dans cette équation T est la température du capteur, Ta la température
ambiante, K (W/K) la conductance thermique entre le capteur et le milieu extérieur , φ (W) le
flux du rayonnement incident , e le pourcentage d'énergie absorbée et C(J/K) la capacité
calorique .
1/ Résoudre l'équation ci dessus sans second membre. Mettre la solution sous la forme
∆T=a f(t) où a est une constante.
2/ Injecter cette solution dans l'équation complète (Eq.1) en considérant que a peut varier en
fonction du temps t (méthode de la variation de la constante). Montrer que a peut se mettre
sous la forme a=c1 f(t)+c2 où c1 et c2 sont des vraies constantes. Donner l'expression de c1.
3/ La solution finale de l'équation qui traduit l'équilibre thermique (Eq.1) est obtenue en
injectant la valeur de a obtenue en (2) dans la solution sans second membre obtenue en (1).
Donner la solution complète en considérant que ∆T=0 à t=0.
4/ Calculer l'amplitude |∆T| de l'échauffement du capteur au delà du régime transitoire
t >> C / K .
5/ Donner l'expression du courant induit iph en fonction de l'amplitude de l'échauffement |∆T|,
de la pulsation ω de la section A du capteur et du coefficient pyroélectrique P (cf.cours). En
ip h
déduire la sensibilité en courant SA = (A / W) pour des pulsations grandes devant la
φo
K
pulsation de coupure thermique ω >> ω t =
en fonction de P, C'(chaleur volumique), e, l
C
(épaisseur du capteur).
6/ Calculer la fréquence de coupure thermique ft en fonction de k (conductivité thermique), l,
C'.
7/ A.N: e=1, P=10-8 C cm-2K-1, C'=43.2 J K-1 cm-3, l=60µm , k=4.2Wm-1K-1.
Calculer la sensibilité SA et la fréquence de coupure thermique ft .