Machine à courant continu

Machine à courant continu
Introduction - Régimes transitoires d’une machine à courant continu
• Ceux relatifs à la mise en œuvre
• amorçage
• stabilité
• Fonctionnement perturbé
• variation brusque de la tension d’alimentation
• variation de couple
• variation de l’excitation pour les machines à excitation séparée
• Problèmes de réglage
• Pour faire varier la vitesse, on fait faire varier la tension d’alimentation
• Sur une petite plage, on peut faire varier la tension d’excitation
• Problèmes liés à l’alimentation par des sources non constantes
• Actuellement on part d’une tension fixe que l’on hache ce qui permet de
faire varier la tension moyenne mais cela entraîne des créneaux.
Mise en équation
q
s
v
qr
i
qr
s
1
r
2
d
i
i
ds
ds
1
v
ds
1
2
v
ds
2
L’axe direct est l’axe des pôles et l’axe interpolaire est l’axe q. Un enroulement
rotorique rejoint les balais sur l’axe q. Deux enroulements sont repérés sur l’axe d.
Pour plus de généralité, on placera, dans le cas d’une machine compound, un
enroulement série et un enroulement parallèle.
1
Les équations de la machine sont alors :
i 
vds   Rds + Lds s
M
s
0
ds
ds
1
1
1
2
 ds1 
 1 
Rds2 + Lds2 s
0
ids2 
vds2  =  Mds2 ds1 s
 i 
v   ω M
ω
+
M
R
L
s
m
qrds2
qr
qr   qr 
 qr   m qrds1
Le couple est donné par
( (
Te p = p iqr M qrds1i ds1 + M qrds2 ids2
))
Dém : Voir dans le chapitre précédent l’exemple sur la machine avec collecteur.
Ces équations représentent le fonctionnement de la machine en régime permanent
et en régime transitoire.
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Machine à courant continu en régime permanent
Les enroulements peuvent être disposés de plusieurs façon différentes :
• en série avec le rotor, on a la machine série,
• en parallèle avec le rotor, on a la machine shunt,
• s’ils sont alimentés par une source auxiliaire on a la machine à excitation séparée
• Avec un enroulement série et un enroulement en parallèle (ou à excitation
séparé),on a la machine compound.
•
Etude de la machine compound
S1 désigne l’enroulement induit série et S2 l’enroulement d’excitation (Rf, Lf)
q
f
s
r
i
s
s1
v
i
d
i
f
s
s2
v
f
q
q
r
s
r
d
i
i
vs
a
Flux additif
s
d
qr
i
a
v
s
Flux soustractif
On peut appliquer l’équation précédente :
3
vds 
 2
 vds1  =
v 
 qr 
 Rr + L f s

 M sf s
ω M
 m af
M fs s
Rs + Ls s
ωm M as
 ids 
 2 
 ids1 
Ra + La s   iqr 
0
0
Il faut exprimer les tensions réelles. Notons ia le courant induit et va la tension
induite.
iqr = ia
ids2 = i f
ids1 = ±ia
vqr = v a
vds2 = v f
vds1 = v s
Selon que le flux est additif ou soustractif : v = vqr ± vds1
Posons R= Ra + Rs et L = La + Ls
± Msf s
 i f 
 v f   Rf + Lf s
=
On obtient :  v  ω M ± M s R ± Ls ± ω M  i 
sf
m
as   a 
   m af
Le couple est donné par
(
Te p = p M af iai f ± M asia 2
)
On a :
• un signe + pour un moteur à flux additif ou une génératrice à flux soustractif
• un signe - pour un moteur à flux soustractif ou une génératrice à flux additif.
Ces équations sont valables en régime transitoire ou en régime permanent. Dans ce
dernier cas on pose alors s = 0.
4
T
e
ia
Représentation du couple pour un moteur à flux additif
Machine série
L’étude se ramène au cas précédent en supprimant l’enroulement à excitation
séparé.
On obtient alors en régime permanent :
(
)
v = R + ω m M as I a et Te p = pM as i a 2
T
ω
e
r
ia
Représentation du couple et de la vitesse pour un moteur série
Machine à excitation séparé ou shunt en régime permanent
v = Ra I a + ω m M af I f et Te p = pM af ia i f avec v constant
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Modélisation en régime dynamique d’une machine à excitation séparée
Calcul de la fonction de transfert avec un flux inducteur constant
 2p n 
p
 ΦI = KI
Nous avons vu : Te = 
2a 2π 
di
V
=
Ri
+
L
+ KΩ rd / s
En convention récepteur, nous avons montré :
dt
De plus Φ = F (i f )
Caractéristique magnétique d’une machine à courant continu
dΩ
J
= − fΩ + Te p − Tl
L’équation mécanique s’écrit :
dt
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On peut en déduire les différentes représentations de la machine :
Représentation de la machine
Ä Attention : sur ce schéma, C0 désigne T1, C désigne le couple
p
électromagnétique Te et p représente la variable de Laplace s
Pour un fonctionnement à flux constant, a fonction de transfert complète de la
machine a pour expression :
Ω( s)
Km
=
V ( s) 1 + (τ em + µτ e ) s + τ eτ ems2
avec :
Km =
RJ
L
Rf
K
τ
=
µ
=
τ
=
,
,
,
e
K 2 + Rf
K 2 + Rf
R em K 2 + Rf
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Identification des paramètres
Les valeurs numériques des paramètres peuvent être déterminées par une analyse
et des mesures physiques. Ces valeurs dépendent des conditions dans lesquelles
se sont effectuées les mesures. Mais on préfère souvent des méthodes empruntées
à l’automatique. Pasek a proposé une méthode simple qui n’exige qu’un seul essai
dans le cas où f = 0. On a alors :
Ω( s)
1
1
1
RJ
avec µ = 0, Km = , τ' = τe , ,τ" = τem = 2 .
=
V ( s ) K (1 + τ ' s)(1 + τ" s)
K
K
On suppose une condition initiale :
V0 = RI0 + KΩ 0
(Eq1)
KI 0 = C0
On suppose une variation en échelon ∆V de la tension et on applique :
V1 = V0 + ∆V
On considère les variations ∆i et ∆Ω du courant et de la vitesse.
Le régime final est :
∆ V = K∆Ω
(Eq2)
I0 = I1
On mesure Ω0, Ω1 et on enregistre ∆i(t).
Les valeurs de K et C0 se déduisent des relations Eq1 et Eq2.
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On étudie ensuite le comportement dynamique du courant en fonction des deux
inconnues τ e et λ avec λτe = τem
On écrit les deux constantes de temps du système en fonction de ces deux
paramètres :
2τ e
2τ e
4
τ '=
et τ " =
avec α = 1 −
1+α
1− α
λ
On détermine l’instant t1 où le courant passe par son maximum.
On obtient :
t1
1 1+ α
= ln
τe α 1 − α
∆V
(τ '+τ ") e1
 t1 
∆
I
=
En posant e1 = exp − τ  ,
m
et δ =
, on peut montrer :
 e
R
τ'
∆i ( 2t1 )
∆i ( t1 )
=
∆i ( t1 )
∆I m
=δ
On peut alors construire les abaques ci-dessous qui donnent δ et
t1
en fonction
τe
de λ.
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Les mesures de t1, ∆i(t1) et ∆i(2t1) définissent les paramètres du moteur en suivant
la méthode suivante :
• on calcule δ =
∆i ( 2t 1 )
∆i (t 1 )
• une abaque donne δ
t1
• la seconde abaque donne τ
e
• On en déduit τe et λτe
∆i ( 2t1 ) ∆i ( t1 )
=
= δ on tire ∆ιm et donc R
• De
∆I m
∆i ( t1 )
• De τe et λτe on en déduit respectivement L et J.
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Quelques exemples d’étude de la machine en régime transitoire
Court-circuit aux bornes d’une génératrice shunt
q
i
i
q
f
v
d
v
f
Conditions initiales : vq 0 , iq 0 , i f 0 ,ω m = cste
On fait l’hypothèse que durant le régime transitoire la vitesse reste constante. On
considérera que le court-circuit n’agit que sur les grandeurs électriques.
Dans des conventions récepteurs :
v f = vq = R f i f + L f
di f
dt
(en excitation shunt vf = vq , on note aussi Maf = Mfq )
v q = M af ω mi f + Ri q + L
di q
dt
(fonctionnement en générateur avec une convention récepteur)
Les conditions initiales s’écrivent :
vq = R f i f
0
0
v q = M af ω mi f + Ri q
0
0
0
(il n’y a pas de variation de courant en régime permanent)
Lors du court-circuit on vf=vq =0
En transformée de Laplace les équations deviennent (utiliser l’expression de la
dérivation avec conditions initiales):
0 = R f i f + L f si f − L f i f
0
0 = M af ω m i f + Ri q + Lsi q − Li q 0
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On a donc
if =
L f i f0
R f + L f s soit
i f = i f 0e
−
Rf
Lf
t
Le courant inducteur décroît avec sa constante de temps propre.
La seconde équation donne :
M af ωm L f i f 0 
1 


iq =
Li +
R + Ls  q 0
R f + L f s 
R
R 
M af ω m L f i f  − L t
− t
e
iq = iq e +
−e L 
.
Soit
RL f − R f L 

M af ωm L f i f
k=
Posons
RL f − R f L
f
R
− t
L
0
f
0
0
i
q
R
k exp (- f )
Lf
i
q
0
i exp
q
(-
0
k exp (-
R
i
)
q
L
R
)
t
L
Le courant inducteur varie très lentement donc le flux du à l’inducteur ne varie
pratiquement pas durant le régime transitoire. Dans l’induit le courant aurait décru
s’il n’y avait pas eu le couplage magnétique induit/inducteur. Mais ce n’est pas le
cas. Il va y avoir appel de courant pour compenser les ampères tours manquants
du au court-circuit (il ne peut y avoir variation brusque de flux) et ceci avec la
constante de temps de l’induit. Ensuite la compensation s’arrête. Le courant
décroît.
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Réglage de vitesse d’un moteur à courant continu
q
i
i
f
q
v
q
d
v
f
En convention récepteur
v f = Rf i f + L f
di f
Eq1
dt
v q = M af ω mi f + Ri q + L
J dωm
= pM af i f iq − T1
p dt
diq
Eq2
dt
Eq3
On suppose Lf >> L (ce qui est toujours le cas sur les grosses machines mais un
peu moins vrai sur les petites)
Si on maintient constant la tension sur l’inducteur, alors if sera constant. On peut
supprimer l’équation eq1.
Effectuons une petite variation autour du point de fonctionnement et écrivons la
transformée de Laplace.
∆ vq = ( R + Ls) ∆iq + M af i f 0 ∆ωm
∆ Tl = pM af i f ∆ iq −
0
J
s∆ ω m
p
D’où
∆ωm =


J
1
∆v q − ( R + Ls)  ∆Tl + s∆ωm 

p
 pM af i f
M af i f
0
0
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Donc
∆ω m =


J
pM af i f 0 ∆vq − ( R + Ls) ∆Tl + s∆ω m 

p

(
p M af i f0
)
2
Donc
(

 p M af i f 0

)
2
+

J
( R + Ls)s ∆ω m = pM af i f0 ∆v q − ( R + Ls)∆Tl
p

Donc
∆ω m =
pM af i f ∆vq − ( R + Ls) ∆Tl
2
J
p M af i f + ( R + Ls) s
p
0
(
0
)
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