Séries chronologiques 1 Définitions 2 Exemples

Pr´eparation `a l’agr´egation
Epreuve de mod´elisation
S´eries chronologiques
——–
On va ´etudier les m´ethodes de Box et Jenkins qui sont des m´ethodes tr`es puissantes qui
exploitent au maximum le fait que l’´evolution de la s´erie temporelle ´etudi´ee est consid´er´ee
comme une des r´ealisations d’un processus stochastique dou´e d’une structure assez forte. En
effet, la structure une fois mise en ´evidence permet de pr´edire avec plus d’assurance la suite
de la s´erie. La contrepartie est la n´ecessit´e d’une assez longue dur´ee d’observations pour que
la pr´evision soit fiable. Les auteurs pr´econisent de 5 `a 6 p´eriodes dans le cas de ph´enom`enes
p´eriodiques, et sinon un minimum de 30 observations.
Ces m´ethodes donnent d’excellents r´esultats pour les pr´evisions `a court terme des s´eries
macro-´economiques, en particulier pour les indices de production industrielle.
Elles sont fond´ees sur l’hypoth`ese que chaque observation d´epend assez fortement des obser-
vations pr´ec´edentes. En gros, cette d´ependance du pass´e remplace la multiplicit´e d’observations
en statistique qui permet d’estimer les param`etres en appliquant la loi des grands nombres.
1 D´efinitions
On consid`ere des suites de variables al´eatoires index´ees dans Zet `a valeurs dans C, `a savoir:
∀n∈Z, Xnest une variable al´eatoire : (Ω,F,P)→(C,B).
On cherche `a mod´eliser l’application n7→ Xnavec une partie tendancielle, une composante
saisonni`ere et l’erreur de mesure.
D´efinition 1 : On appelle s´erie chronologique stationnaire (en abr´eg´e SCS) une suite de
variables al´eatoires (Xn, n ∈Z)`a valeurs complexes, centr´ees, de carr´e int´egrable, telles que
cov(Xn, Xn−k) = E[XnXn−k]
ne d´epende que de k. On note γ(k)cette valeur.
La fonction γs’appelle la fonction d’autocovariance.
On d´efinit aussi la fonction d’autocorr´elation ρ(k) = γ(k)
γ(0) .
2 Exemples
D´efinition 2 On appelle bruit blanc une suite (εn)de variables al´eatoires centr´ees de vari-
ance un et orthogonales.
On a donc pour un bruit blanc:
γ(0) = 1
γ(k) = 0 pour k6= 0 .
1

et il est facile de v´erifier que dans ce cas
γ(k) = 1
2πZπ
−π
eikλdλ.
Ce processus ”bruit blanc” sert `a mod´eliser l’erreur de mesure.
Si on se donne une suite (Zj, j = 1, . . . , p) de variables al´eatoires centr´ees orthogonales et
une suite (λj, j = 1, . . . , p) de nombres r´eels dans l’intervalle [−π, +π[, alors la suite
Xn=
p
X
j=1
Zjeinλj, n ∈Z
est une SCS appel´ee somme d’harmoniques.
D´efinition 3 Soit εun bruit blanc et une suite (ak, k ∈Z)∈l2. La suite
Xn=X
j∈Z
ajεn−j
est appel´ee une moyenne mobile. En abr´eg´e on dira MA.
Proposition 1 La fonction de covariance d’une moyenne mobile Xn=Pk∈Zakεn−ks’´ecrit:
γ(k) = X
j∈Z
aj¯aj−k=1
2πZπ
−π
|X
j∈Z
aje−ijλ|2eikλdλ .
D´efinition 4 Si les coefficients ajsont nuls pour tous les j < 0, on dit que la moyenne mobile
est unilat`ere. S’il existe seulement un nombre fini de coefficients ajnon nuls, soit (a0, . . . , aq),
on dit que Xest une moyenne mobile d’ordre q, soit en abr´eg´e MA(q).
Un exemple particuli`erement important est donn´e par la moyenne mobile unilat`ere suivante.
Proposition 2 Soit α∈Cv´erifiant |α|<1et soit εun bruit blanc. La moyenne mobile
unilat`ere
Xn=
∞
X
j=0
αjεn−j
v´erifie la relation de r´ecurrence
Xn=αXn−1+εn
et sa fonction de covariance vaut
γ(k) = 1
2πZπ
−π
eikλ
|1−αe−iλ|2dλ .
D´efinition 5 On dit que le processus Xpr´ec´edent est un processus autor´egressif d’ordre
1, ou AR(1).
On note ekla fonction λ7→ eikλ d´efinie sur Π = [−π, π[.
Th´eor`eme 1 A toute SCS on peut associer une unique mesure born´ee sur Πtelle que µ(ek) =
γ(k),∀k∈Z.
D´efinition 6 Cette mesure µs’appelle la mesure spectrale de la SCS. Si elle est absolument
continue par rapport `a la mesure de Lebesgue, la densit´e dµ
dλ s’appelle la densit´e spectrale de
la SCS.
Si l’autocovariance γ∈l2, on obtient par inversion de Fourier
f(λ) = 1
2πX
k∈Z
e−ikλγ(k)
dans l’espace L2(Π, dλ).
2

3 Op´erateur retard, ´equations ARMA
Soit Xune SCS.
D´efinition 7 Le sous-espace vectoriel ferm´e engendr´e par l’ensemble {Xp, p ∈Z, p ≤n}dans
L2est not´e HX
net s’appelle le pass´e lin´eaire de X. Le sous-espace ferm´e HX +∞=HX
engendr´e par toutes les variables {Xp, p ∈Z}s’appelle l’enveloppe lin´eaire.
Pout tout n∈Z, on note PX
nla projection orthogonale de HXsur HX n.
Proposition 3 Il existe une unique isom´etrie, not´ee SX, de HXsur lui-mˆeme telle que pour
tout n∈Zon ait SX(Xn) = Xn−1. Cette isom´etrie s’appelle l’op´erateur retard .
Th´eor`eme 2 S’il existe une suite (dn, n ∈N)de l2(N)et un bruit blanc εtels que
Xn=X
p≥0
dpεn−p.
on peut choisir εen sorte que les pass´es lin´eaires de Xet εco¨ıncident et alors ce bruit blanc
et la suite (dn)associ´ee sont uniques `a un coefficient multiplicatif pr`es.
D´efinition 8 Ce bruit blanc s’appelle le bruit blanc d’innovation.
Dans ce cas la projection sur le pass´e est alors extrˆemement simple: pour tout couple m≤n
PX
m(Xn) = X
p≥n−m
dpεn−p.
D´efinition 9 Soit Xune SCS et εun bruit blanc, Pet Qdeux polynˆomes `a coefficients dans
C. On dit que Xest solution de l’´equation ARMA(P,Q) si ce processus v´erifie pour tout n
de Z
P(SX)(Xn) = Q(Sε)(εn).
C’est-`a-dire qu’il existe des coefficients complexes (a0, . . . , ap)et (b0, . . . , bq)tels que pour tout
nde Zp
X
i=0
aiXn−i=
q
X
j=0
bjεn−j.
Si p= 0, Xest une MA(q). Si q= 0, Xest un AR(p). Dans le cas g´en´eral, on dit que
Xest un ARMA(p,q).
4 Filtres lin´eaires
On peut filtrer une s´erie X(pas forc´ement stationnaire), en lui appliquant un op´erateur
polynˆome de l’op´erateur retard S. Il s’agit par exemple d’´eliminer un bruit, une tendance
ou une composante saisonni`ere pour se ramener `a une SCS.
4.1 Quelques exemples
•Pour ´eliminer une tendance polynomiale de la s´erie Yn=f(n)+Xno`u fest un polynˆome
de degr´e pet Xune SCS, on applique le filtre ∆ = I−S. Alors ∆fest un polynˆome de
degr´e p−1 et ∆Xreste une SCS. On dit que l’on a diff´erenci´e la s´erie. Si l’on applique
∆p+1 alors ∆p+1f= 0 et ∆p+1Y= ∆p+1Xest une SCS. Dans la pratique, on diff´erencie
la s´erie jusqu’`a obtenir une SCS.
3

•Pour ´eliminer une tendance p´eriodique (d´esaisonnaliser) d’une s´erie du type
Yn=f(e2iπn/T ) + Xn
o`u Xest une SCS et fs’appelle la composante saisonni`ere, on effectue une moyenne
mobile; on peut en effet remarquer que
∀n(AY )n≡1
T
T−1
X
i=0
Yn−i=a+ (AX)n
et donc ∆AY est une SCS. Ou bien on applique B=I−STqui d´esaisonnalise aussi la
s´erie.
•Les moyennes mobiles finies sont aussi des filtres:
Yn=
q
X
j=0
ajXn−j= (
q
X
j=0
ajSj)(Xn)
est une SCS si au d´epart Xen est une.
•Une suite (Yn) de variables al´eatoires de carr´e int´egrable est une s´erie chronologique
ARIMA(p,d,q) si la suite (I−S)dY(n) est un ARMA(p,q).
•Une suite (Yn) est un ARMA `a effets saisonniers s’il existe un entier stel que la suite
(Yn−Yn−s) soit un ARMA.
4.2 Fonctions r´eponse
Soit µXla mesure spectrale de la SCS X. On d´efinit sur vect(en) l’application lin´eaire
ZX(X
j∈I
ajej) = X
j∈I
ajXj
qui se prolonge en une isom´etrie de L2(µX) sur HX.
Th´eor`eme 3 Soit Xune SCS de mesure spectrale µX. Si h∈L2(µX), la suite Yn=ZX(hen)
est une SCS de mesure spectrale µY=|h|2µX.
On dit que Yest l’image de Xpar le filtre de fonction r´eponse ou de gain h, ou encore
que Yest le filtr´e de Xpar h.
Proposition 4 (Composition des filtres) Soit Xune SCS de mesure spectrale µXet h∈
L2(µX). On pose ν=|h|2µXet soit g∈L2(ν). Si Yest le filtr´e de Xpar h, alors le filtr´e de
Xpar hg et le filtr´e de Ypar gco¨ıncident.
Proposition 5 Soit Yle filtr´e de Xpar h. On a
•HY⊂HX
•HY=HX⇔ |h|>0µX−p.p.
•dans ce dernier cas, Xest filtr´e de Ypar 1/h.
Un filtre tel que pour tout n∈Zon ait HY
n⊂HX nest dit adapt´e ou r´ealisable.
Proposition 6 Soit g=Pk≥0cke−kavec c= (ck)∈l2(N)et c6= 0. Alors |g|>0p.p.
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5 Processus ARMA
D´efinition 10 On dit qu’une SCS est `a spectre rationnel si elle admet une densit´e spectrale
de la forme 1
2π|Q P|2(e−iλ),
o`u Pet Qsont deux polynˆomes r´eels et Pn’a pas de racine de module un.
Proposition 7 Soit Xune SCS `a sprectre rationnel. Il existe `a un coefficient multiplicatif
pr`es un unique couple irr´eductible (P, Q)tel que les z´eros de Psoient de module >1, les z´eros
de Qde module ≥1et la densit´e spectrale de Xsoit de la forme pr´ec´edente.
Cette derni`ere repr´esentation s’appelle la repr´esentation de F´ejer-Riesz canonique.
Th´eor`eme 4 Soit Xune SCS `a spectre rationnel et `a densit´e spectrale strictement positive.
Si (P, Q)est une repr´esentation de F´ejer-Riesz canonique associ´ee `a sa densit´e spectrale, il
existe un bruit blanc d’innovation εtel que l’on ait la relation ARMA canonique
P(SX)(Xn) = Q(Sε)(εn).
Si Xest un processus `a spectre rationnel ayant (P, Q) pour repr´esentation de F´ejer-Riesz
canonique avec degr´e(P)=p et degr´e(Q)=q, on dit que Xest un ARMA de type minimal
(p,q).
6 Pr´evision des processus ARMA
Soit Xune s´erie chronologique `a spectre rationnel, `a densit´e spectrale strictement positive,
de repr´esentation de F´ejer-Riesz canonique (P, Q). On s’int´eresse `a la pr´ediction `a un pas
ˆ
Xn+1 =PX
n(Xn+1) de Xn+1.
Th´eor`eme 5 La suite ˆ Xn+1 est une SCS filtr´ee de Xpar
g(λ) = eiλ[1 −Q
P(0)P Q(e−iλ)]
et l’erreur de pr´ediction `a un pas vaut |Q
P(0)|.
Le quotient P/Q est holomorphe dans un voisinage du disque unit´e et le calcul de son
d´eveloppement en s´erie enti`ere nous donne l’expression de ˆ Xn+1 en fonction des (Xn−k, k ≥0).
Le cas autor´egressif pur est tout `a fait simple.
Proposition 8 Soit Xune SCS `a spectre rationnel de repr´esentation canonique (P, 1) avec
P(z) = Pp
j=0 ajzj. Alors la pr´ediction de Xn+1 `a un pas vaut
ˆ
Xn+1 =−1
a0
p
X
j=1
ajXn+1−j
et l’erreur de pr´ediction vaut 1/|a0|.
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