Chapitre 1— Séries numériques 1 Exemples fondamentaux 2

MVA101 Analyse et calcul matriciel Jacques V´ elu (CNAM)
Chapitre 1— S´eries num´eriques
1 Exemples fondamentaux
1. La s´erie harmonique : 1+1
2+1 3+1 4+··· +1 n+···
0
4
1
S2 S4 S8
S16
S32 S64 S128 S256 S512 S1024 S
S2p+1=1+··· +1
2p
| {z }
S2p
+1
2p+1+··· +1
2p+1⇒S2p+1−S2p=1
2p+1+··· +1
2p+1>1 2p+1+··· +1 2p+1
| {z }
2ptermes
⇒S2p+1−S2p>2p1
2p+1=1
2⇒1+1 2+1 3+1 4+··· +1 n+··· = +∞
2. La s´erie harmonique altern´ee : 1−1
2+1 3−1 4+··· +(−1)n1 n+···
0
1.5
1
S
2
S3 S
4
S5 S
6
S
S2p+1& S2p% S2p<S2q+1 S2p+1−S2p→0
Les sommes partielles ont une limite commune ⇒la s´ erie harmonique altern´ ee converge.
2 Classification des s´eries
Th´eor`eme : Si la s´ erie de terme g´ en´ eral unconverge, on a forc´ ement lim
n→∞ un=0.
u tend vers 0
n
Séries convergentes
harmonique alternée
harmonique
géométrique avec x <1
géométrique avec x ≥1
1

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Séries convergentes
Séries qui n'ont pas
besoin des signes
Séries qui ont
besoin des signes
harmonique alternée géométrique avec x <1
Séries à termes
positifs
3 S´eries `a termes positifs
1. Th´eor`eme Pour qu’une s´ erie ` a termes positifs converge, il faut et il suffit que les Sn
soient toutes major´ ees par un mˆ eme nombre M.
M
S01 S2 S3 S
On consid` ere deux s´ eries de termes g´ en´ eraux unet vnavec un6vnquel que soit n` a
partir d’un certain rang. La s´ erie de terme g´ en´ eral unest la s´ erie minorante, la s´ erie de terme
g´ en´ eral vnest la s´ erie majorante.
2. Th´eor`eme de comparaison
•Si la s´ erie majorante converge, les deux s´ eries convergent.
•Si la s´ erie minorante diverge, les deux s´ eries divergent.
3. R`egle de d’Alembert
On suppose un>0 quel que soit n(s’il y a des termes nuls, on les ´elimine).
•Convergence s’il existe C<1 tel que un+1
un
6Cquel que soit n.
•Divergence si un+1
un
>1 quel que soit n.
Cas particulier de la R`egle de d’Alembert
On suppose que lim
n→∞
un+1
un
=L.
•Si L<1, la s´ erie converge.
•Si L>1, la s´ erie diverge.
4. R`egle de Cauchy
On suppose un>0 quel que soit n.
•Convergence s’il existe C<1 tel que n
√un6Cquel que soit n.
•Divergence si n
√un>1 quel que soit n.
Cas particulier de la R`egle de Cauchy
On suppose que lim
n→∞
n
√un=L.
•Si L<1, la s´ erie converge.
•Si L>1, la s´ erie diverge.
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5. Comparaison avec une int´egrale
Soit fune fonction d´ efinie sur l’intervalle [1,+∞] , int´ egrable sur tout intervalle de la
forme [1,A] .
.On dit que Z∞
1
f(t)dt converge si Z∞
1
f(t)dt =lim
A→∞ ZA
1
f(t)dt!existe.
.Si la limite n’existe pas, on dit que Z∞
1
f(t)dt diverge.
Th´eor`eme On suppose f(x)>0 quel que soit x. Alors :
La s´ erie de terme g´ en´ eral un=f(n) et l’int´ egrale Z∞
1
f(t)dt ont le mˆ eme comportement.
La s´ erie de Riemann 1 +1
2s+1 3s+··· +1 ns+··· converge si et seulement si s>1.
4 S´eries absolument convergentes
1. Th´eor`eme Quand la s´ erie |u0|+|u1|+|u2|+··· converge, la s´ erie u0+u1+u2+···
converge elle-aussi et : 
∞
X
n=0
un 6∞
X
n=0|un|
On dit qu’une s´ erie convergente u0+u1+u2+··· est absolument convergente quand la
s´ erie |u0|+|u1|+|u2|+··· converge.
Exemple 1 : Une s´ erie g´ eom´ etrique convergente est absolument convergente.
Exemple 2 : La s´ erie harmonique altern´ ee n’est pas absolument convergente.
Une s´ erie convergente, qui n’est pas absolument convergente, s’appelle une s´ erie semi-
convergente.
Th´eor`eme des s´eries altern´ees Soit anune suite de nombres r´ eels positifs qui tend vers
0 en d´ ecroissant. Alors la s´ erie :
a0−a1+a2−a3+··· +(−1)nan+···
converge et les sommes partielles encadrent la somme de la s´ erie.
Commentaire : Les s´ eries absolument convergentes sont les «bonnes »s´ eries conver-
gentes.
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