Les racines nièmes Rappel La racine carrée

Les racines nièmes
Rappel
La racine carrée :
Définition :
La racine carrée d'un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré est x.
√𝑥 = 𝑦 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 2 = 𝑥
Quelques exemples :


la racine carrée du nombre réel 9 est 3, en effet 3 est positif et 3² = 9
la racine carrée du nombre réel 16 est 4, en effet 4 est positif et 4² = 16

la racine carrée du nombre réel
16
9
4
4
4 2
3
3
3
et , en effet est positif et ( ) =
16
9
.
ATTENTION !
La racine carrée n'est pas définie pour un nombre négatif, puisque le carré d'un nombre
quelconque est toujours positif.
Tout réel strictement positif admet deux racines de signes opposés
Propriétés :
2


carré d'une racine carrée : (√𝑎) = 𝑎
racine carrée d'un produit : √𝑎. 𝑏 = √𝑎 . √𝑏

racine carrée d'un quotient : √𝑏 =

racine carrée d'un carré : √𝑎² = |𝑎|
𝑎
√𝑎
√𝑏
Exercices :
1) Effectue :
a) √10000 =
36
b) √81 =
e) √5. √5 =
f) √7. √14 =
g) √10. √125. √8 =
c) √100 =
1
169
d) √144 =
h) √8. √2 =
1
La racine cubique :
Définition :
La racine cubique d'un nombre réel positif x est le nombre positif dont le cube est x.
3
√𝑥 = 𝑦 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦³ = 𝑥
Quelques exemples :


La racine cubique du nombre réel 8 est 2, en effet 2³ = 8
La racine cubique du nombre réel 27 est 3, en effet 3³ = 27
Tableau des dix premiers cubes :
Nombre
Nombre au cube
1
1
2
8
3
27
4
64
5
125
6
216
7
343
8
512
9
729
10
1000
Petite astuce pour retrouver la racine cubique d’un réel dont la réponse est un nombre
entier :
Supposez que l’on vous donne à extraire la racine cubique de 287 496. Le dernier chiffre de ce
nombre est 6, en allant voir dans le tableau ci-dessus, on remarque que le nombre se terminant par
6 est le cube de 6, donc le dernier chiffre dans ce cas est 6. Pour déterminer le premier chiffre de la
racine cubique : supprimez les trois derniers chiffres du cube (quel que soit le nombre de chiffre le
composant) pour ne retenir que les chiffres restants. Dans cet exemple on a 287. Dans la table cidessus 287 se situe entre les cubes de 6 et 7. Le plus petit de deux ces chiffres (6) correspond au
premier chiffre de la racine du nombre annoncé. La réponse est 66.
Exerce-toi !
3
√21952 =
3
√59319 =
Propriétés :

3
la racine cubique d’un nombre négatif est un nombre négatif : √−64 = −4
Attention !
Les propriétés citées pour la racine carrée sont les mêmes pour la racine cubique !
2
Introduction
1) Complète le tableau suivant. Quelle conclusion peux-tu en tirer ?
−3
2
X
3
2
5
7
0
−6
1
√2
−12
|x|
X²
√𝑥²
Conclusion :
2) Complète les tableaux suivants à l’aide de ta calculatrice et tire une conclusion :
0
X
−2
−3
4
7
−9
9
1
√𝑥
3
√𝑥
4
√𝑥
7
√𝑥
X
0
−2
1
−1
4
√𝑥³
6
√𝑥 4
5
√𝑥 3
3
√𝑥 2
𝑛
3) À quelles conditions l’expression √𝑎𝑝 représente-t-elle un réel ?
3
Les racines d’indice n
1. Généralisation :
Définitions :
Le nombre b est une racine nième du nombre réel a si et seulement si 𝒃𝒏 = 𝒂
𝑛
si n est pair : ∀𝑎, 𝑏 ∊ ℝ+ , √𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑛 = 𝑎
(𝑛 ∈ ℕ0 )
𝑛
si n est impair : ∀𝑎, 𝑏 ∊ ℝ, √𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑛 = 𝑎
Notations et vocabulaire :
𝒏
a) La racine nième de a se note √𝒂 et a est appelé le radicand
( ∀𝑎 ∈ ℝ+ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟 𝑒𝑡 ∀ 𝑎 ∈ ℝ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟 )
𝒏
b) √𝒂 se lit également racine d’indice n de a (ou radical d’indice n) où n est l’indice
( ∀𝑎 ∈ ℝ+ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟 𝑒𝑡 ∀ 𝑎 ∈ ℝ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟 )
Propriétés :
1) Les propriétés des racines carrées sont valables pour toutes racines d’indice pair
2) Les propriétés des racines cubiques sont valables pour toutes racines d’indice
impair
Donc :
Si n est pair :


La nième puissance d’un nombre réel est un nombre réel positif
Aucun réel strictement négatif n’admet de racine nième


𝑛
√0 = 0
Tout réel strictement positif admet deux racines nièmes opposées
Si n est impair :

La nième puissance d’un nombre réel possède le même signe que ce nombre réel


𝑛
√0 = 0
Tout nombre réel admet une seule racine nième
4
Opérations sur les racines nièmes :
Si n est pair :
𝑛
𝑛

∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ : √𝑎. 𝑏 = √𝑎 . √𝑏

∀ 𝑎 ∈ ℝ+ , ∀ 𝑏 ∈ ℝ0+ : √𝑏 =

∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∀ 𝑛 ∈ ℕ0 : √𝑎𝑛 = |𝑎|
𝑛
𝑛
𝑎
𝑛
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
Si n est impair :
𝑛
𝑛

∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∶ √𝑎. 𝑏 = √𝑎 . √𝑏

∀ 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ0 : √𝑏 =

∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∀𝑛 ∈ ℕ0 : √𝑎𝑛 = 𝑎
𝑛
𝑛
𝑎
𝑛
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
Autres opérations :



𝑛
𝑛
𝑚 𝑛
𝑚.𝑛
√𝑎 𝑝 = ( √𝑎 ) 𝑝
𝑛𝑝
𝑛
√𝑎 𝑝 = √𝑎
√ √𝑎 =
√𝑎
2. Exercice :
Simplifier les radicaux suivants si on suppose que a, b, c sont (strictement) positifs
1)
3
√𝑎7 𝑏³ =
2) √𝑎7 𝑏 8 𝑐 =
3)
4)
5)
6)
7)
4
√𝑎8 𝑏 5 =
3
√𝑎14 𝑏 7 𝑐12 =
3
√8𝑎5 =
4
√32𝑎4 𝑏7 =
3
√216𝑎6 𝑏4 =
3
8)
√
𝑎4
𝑏2
=
5
Les exposants fractionnaires
1. Généralisation :
Définition :
Si n est un entier non nul et si p est un entier positif supérieur ou égal à 2,
Alors pour tout nombre réel strictement positif a, on a :
𝑝
𝑛
√𝑎𝑛 = 𝑎 𝑝
Exemples :
1

42 = √4 = 2

83 = √82 = √64 = 4
2
3
3
Règles de calcul :
Les règles de calcul vues pour les exposants entiers sont aussi valables pour les
exposants fractionnaires
1

𝑎−𝑟 = 𝑎𝑟

𝑎𝑟 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑟+𝑠

𝑎𝑟

(𝑎𝑟 )𝑠 = 𝑎𝑟𝑠

(𝑏)𝑟 = 𝑏𝑟
= 𝑎𝑟−𝑠
𝑎𝑠
r et s sont des nombres rationnels
a et b sont des réels strictement positifs
𝑎𝑟
𝑎
2. Exercices :
Réécris sous forme de radicaux puis calcule à l’aide de ta calculatrice :
1
a) 83 =
1
b) 162 =
1
c) 22 =
2
d)
25 4
(16)
=
5
e) 42 =
7
f) 22 =
6
Exercices
1. Écris sous forme d’une puissance à exposant rationnel (a ≥ 0) :
a) √2 =
d)
3
b) √5 =
c)
1
√2
=
√3
4
e) √𝑎 =
=
3
1
f)
1
5
√23
=
2. Transforme en n’écrivant que des radicaux et des puissances à exposants
naturels :
On a 𝒂 > 0
1
5
a) 𝑎2 =
d) 𝑎4 =
2
b) 𝑎−3 =
c)
2
3
−
𝑎 4
e)
=
1
=
2
−
𝑎 5
f) 𝑎0 =
3. Calculer sans machine en transformant l’écriture de manière adéquate :
1
1
a) 162 =
e) 273 =
1
b) 0,01−2 =
3
1
f) 16−4 =
1
g) 100−2 =
c) 42 =
1
1
h) (− )−3 =
d) 8−3 =
2
4. Simplifie en utilisant les propriétés :
1
2
5
a) 𝑎2 . 𝑎2 =
2
−5
=
d) (𝑎 )
6
3
b) (𝑎3 ) =
e) (4𝑎2 )2 =
1
c) 8𝑎−2 . 𝑎−2 =
7
5. Calcule :
3
a) √122 + 162 =
h) √43 − 92 =
b) √132 − 122 =
i) √(−21)−6 =
3
c) 3√0,000729 =
3
4
3
3
j) √61 + √25 + √8 =
3
k) √5√2 − 1. √5√2 + 1 =
3
l) √3 + 2√2 . √3 − 2√2 =
d) √256−1 =
e) √33 + 43 =
f) √−125.109 =
g) √32 + √49 =
4
6. Quel nombre est le plus grand : ( √16)100 ou (√16)25 ? Justifie !
7. Résous les équations suivantes dans ℝ :
a) 𝑥 3 = −64
b) 𝑥 4 = 81
c) 64𝑥 3 = 1
d) 𝑥 4 − 125𝑥 = 0
e) 𝑥 3 + 27 = 0
f) 𝑥 2 + 49 = 0
g) 𝑥 4 − 0,0625 = 0
h) 𝑥 6 = 16−3
i) 𝑥 6 − 64 = 0
8