AP_files/Séance 5 Lois de Newton

Accompagnement personnalisé TS2 – 2013
Séance 5 – Les lois de Newton
Résumés des notions importantes
Référentiel Le mouvement d’un corps est défini par
rapport à un référentiel, constitué d’un solide de
référence auquel est lié un repère, et d’une horloge.
On repère ainsi la position d’un corps, à une date
donnée.
Trajectoire La trajectoire dépend du référentiel choisi :
le mouvement est relatif au référentiel.
Vitesse moyenne La vitesse moyenne est le quotient
de la distance d parcourue pendant la durée t du
déplacement :
d
t
Vitesse instantanée La vitesse instantanée d’un point
M en Mi peut être approchée par la vitesse
moyenne entre deux positions Mi−1 et Mi+1 encadrant Mi :
v=
vi =
Mi−1 Mi+1
ti+1 − ti−1
Vecteur vitesse Le vecteur vitesse ~v est la dérivée par
rapport au temps du vecteur position :
−→
−→
dOM
∆OM
−
→
=
v = lim
∆t→0 ∆t
dt
→
Ce vecteur a une valeur notée v = || −
v ||, appelée
−1
vitesse, en mètres par seconde (m · s ). Ses autres
caractéristiques sont sa direction, tangent à la trajectoire, et son sens, toujours celui du mouvement.
Vecteur accélération Le vecteur accélération ~a est la
dérivée par rapport au temps du vecteur accélération :
→
−
d−
v
∆→
v
→
−
=
a = lim
∆t→0 ∆t
dt
→
Ce vecteur a une valeur notée a = || −
a ||, appelée
accélération, en mètres par seconde carré (m · s−2 ).
Ses autres caractéristiques sont sa direction et son
sens.
4 caractéristiques Une force est représentée par un
segment fléché, appelé vecteur force, de quatre caractéristiques :
• sa direction ;
• son sens ;
• son point d’application ;
• sa valeur, exprimée en newtons, de symbole N.
L’accélération relie mouvement et force Le mouvement d’un corps peut être modifié si le corps subit une action mécanique, modélisée par une force.
Tout le détail de cette formulation est contenu dans
le mot « modifié », c’est-à-dire qu’appliquer une
force va faire varier la vitesse, c’est-à-dire créer une
accélération ou une décélération.
L’inertie relie masse et force L’effet d’une force appliquée sur un corps dépend de sa masse. L’effet
d’inertie est même rigoureusement proportionnel :
il faut appliquer une force d’intensité double pour
le même mouvement quand on double la masse.
Isolé ou pseudo-isolé Il est équivalent d’énoncer :
« un corps est soumis à des forces qui se compensent » (= système pseudo-isolé) et « un corps
n’est soumis à aucune force » (= système isolé).
Énoncé du Principe d’inertie
« Un système persévère dans son état de repos ou
de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui
s’exercent sur lui se compensent ou sont nulles. »
X→
−
→
−
F ext = 0
⇒
−
→
−
→
v = cte
Cette formule est appelée « première loi de Newton
». Elle permet de trouver le mouvement d’un objet
connaissant toutes les forces qui s’appliquent, dans
le cas ou leur somme est nulle.
Réciproque du Principe d’inertie
« Si un système persévère dans son état de repos
ou de mouvement rectiligne uniforme, cela signifie que les forces qui s’exercent sur ce système se
compensent ou sont nulles. »
−
→
−
→
v = cte
⇒
X→
−
→
−
F ext = 0
Lien entre force, masse et mouvement La résultante (= la somme nette de tous les vecteurs) des
forces extérieures appliquées est égale au produit
de la masse par la variation du vecteur vitesse de
mouvement du centre d’inertie G :
→
−
X→
−
d−
v
d→
a
F ext = m
=m
dt
dt
En d’autres termes, les effets d’une force peuvent
être une variation dans le mouvement d’un objet. À contrario, il n’y a pas forcément de lien
entre mouvement et force appliquée — penser à
l’exemple du mouvement perpétuel qui perdure
pour un corps isolé.
Cette formule est appelée « deuxième loi de Newton ». Elle permet de trouver le mouvement d’un
objet connaissant toutes les forces qui s’appliquent,
dans le cas général.
dans l’espace (repère (Oxyz)) que dans le temps
(date t sur l’horloge).
Un référentiel est galiléen quand on peut négliger
les mouvements des masses qui entourent le référentiel. Plus prosaïquement, on peut dire qu’un référentiel est galiléen quand on peut appliquer les
lois de Newton.
Quantité de mouvement Par définition, le vecteur
→
quantité de mouvement −
p est donné par le produit de la masse m du système par le vecteur vi→
tesse −
v :
Appliquer du PFD
1. Choisir le système sur lequel l’étude va porter ;
−
→
→
p = m−
v
1ère loi de Newton Si la résultante des forces extérieures appliquées à un corps est nulle, ce dernier
a une quantité de mouvement qui se conserve :
X→
−
→
−
F ext = 0
⇔
2. Choisir le référentiel, que l’on prendra galiléen ;
3. Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées au système ;
−
→
−
→
p = cte
4. Écrire le PFD ;
Il s’agit d’une généralisation du Principe d’inertie
qui a l’avantage d’être valable pour les systèmes
dont la masse varie (particules dans un accélérateur, fusée...).
5. Projeter l’expression vectorielle sur des axes
convenablement choisit.
Exploitation Vous devez savoir exploiter une série de
photos (chronophotographie), un film (pointés sur
une vidéo) ou un enregistrement (table à coussin
d’air) :
– Reconnaître si le mouvement du centre d’inertie
est rectiligne uniforme ou pas ;
– Déterminer les vecteurs vitesse et accélération ;
– Mettre en relation accélération et somme des
forces.
2eme loi de Newton La résultante des forces extérieures appliquées à un corps est égale à la dérivée
de la quantité de mouvement :
→
X→
−
d−
p
F ext =
dt
Il s’agit d’une généralisation de la loi déjà donnée
ci-dessus, qui a l’avantage d’être valable pour les
systèmes dont la masse varie (particules dans un
accélérateur, fusée...). Si la masse est constante, on
peut « sortir » la constante m de la dérivée, avec
→
−
→
p = m−
v :
Force de pesanteur La discussion sur le champ de pe→
santeur terrestre −
g sera menée au chapitre 8. Pour
→
−
→
l’instant, on se contente de P = m −
g . Il ne faut
pas confondre cette formule donnant le vecteur
poids avec elle donnant la quantité de mouvement
→
−
→
p = m−
v , qui n’a absolument aucun rapport (les
deux s’ignorent superbement et ne se parlent pas).
→
→
X→
−
d(m −
v)
d−
v
→
F ext =
=m
= m−
a
dt
dt
3eme
On peut aussi appeler cette loi « Principe Fondamental de la Dynamique » (PFD en abrégé).
→
−
loi de Newton La force F A/B exercée par un
corps A sur un corps B, est égale et opposée à la
→
−
force F B/A exercée par le corps B sur le corps A :
−
→
→
−
F A/B = − F B/A
⇔
Importance des C. I. Vous devez comprendre que
toute la physique d’un problème est contenue d’une
part dans l’écriture de la deuxième loi de Newton
(équation différentielle du second ordre), d’autre
part dans les conditions initiales (position & vitesse). À partir de ces données, vous pouvez prévoir le mouvement du système à toutes les dates
ultérieures (donc vous pouvez prévoir le futur !).
−
→
→
−
→
−
F A/B + F B/A = 0
Équations paramétriques Vous devez être capable
de retrouver les équations horaires paramétriques
x(t), y(t) et z(t) à partir de l’application de la seconde loi de Newton.
En conséquence, ces deux forces ont même direction (la droite reliant les centres d’inertie A et B
des corps), sens opposés et même valeur.
Cette loi est aussi appelée loi des actions réciproques.
Poussée d’Archimède Pour un corps de masse volumique ρ, déplaçant un volume Vfluide de fluide de
masse volumique ρfluide , la poussée d’Archimède
est :
Référentiels Pour appliquer les lois de Newton, il faut
se placer dans un référentiel galiléen.
Un référentiel est un repère, associé à une horloge.
Cet ensemble permet de repérer un corps autant
−
→
→
g
Π = −ρfluide Vfluide −
2
Frottements fluides Les forces de frottement fluides
sont décrites par une loi phénoménologique, les
deux cas les plus simples étant une dépendance linéaire ou quadratique avec la vitesse v :
−
→
→
f = −k −
v ou
Dans tous les cas, la force de frottement est tangente et opposée au mouvement.
Document expérimental Sur un document expérimental reproduisant la trajectoire d’un projectile,
vous devez être capable de :
– tracer le vecteur vitesse initial v~0 et déterminer
sa norme v0 et l’angle α par rapport à l’axe horizontal ;
– tracer les vecteurs vitesses et accélération ;
– déterminer les caractéristiques du vecteur accélération.
−
→
→
f = −kv −
v
Traditionnellement, on réserve la première formule
aux vitesses faibles, la seconde aux vitesses plus
élevées, ce que l’on entend par faible ou élévé restant à préciser (car dépendant de très nombreux
facteurs).
Dernière version de ce résumé : le 31 décembre 2012.
3
Quelques questions, dont certaines assez indiscrètes
Q 1 On prend un glaçon bien
Q 7 Un camion contenant plusieurs
froid dans le congélateur. On attend qu’il fonde légèrement en
surface. On le lance sur une table
en verre, bien lisse et horizontale.
Peut-on le lancer de manière à ce
que son centre décrive une trajectoire courbe ? Expliquez.
oiseaux enfermés dans son compartiment de marchandises est un peu
trop lourd pour passer sur un pont.
Le chauffeur du camion fait du bruit
pour inciter les oiseaux à voler.
Parviendra-t-il à traverser le pont ?
Justifiez soigneusement.
Quelles sont les
forces exercées sur un
corps posé sur une table ?
Quelles sont les forces
exercées sur un système
en mouvement rectiligne
uniforme sur une table ?
Q8
Un de vos amis est
adepte de saut, il veut retarder au maximum le moment où il va ouvrir son parachute, pour profiter de sa
chute.
Quel conseil pouvez-vous lui donner pour maximiser son
temps de chute, pour une même hauteur de vol de l’avion
qui le largue ? Répondez par une discussion sur les forces
appliquées.
Q2
Lors du démarrage brutal d’un ascenseur vers le haut, le cartable que vous tenez à la
main vous paraît-il :
plus lourd ?
aussi lourd ?
moins lourd ?
Q9
Q 3 Vous assistez impuissant à la mésaventure d’un malheureux qui
s’enfonce dans le sable
mouvant.
Quels conseils pouvezvous lui donner ?
Q 10 Arrêt d’un objet lancé
Sur une table parfaitement horizontale, lancez une pièce de monnaie disposée sur une
de ses faces (soit la face euro, soit la face
française, selon si vous êtes eurosceptique ou
euro-enthousiaste — ne tirez pas cela à pile
ou face, car vous avez besoin de la pièce pour
l’exercice). Décrire le mouvement de la pièce.
Est-il utile que vous alliez vous même, dans un élan d’héroïsme, vous embourber dans le sable mouvant pour l’aider ?
Q 4 Lorsque le conducteur d’un autobus freine brutalement, les passagers sont projetés vers l’avant. Comment
expliquer ce phénomène ?
Q 11 Descente en luge
Au cœur de l’hiver, une élève de Terminale S2 a eu la
bonne idée d’apporter sa luge au lycée. Le voilà qui
s’élance au beau milieu de la pelouse enneigée, de pente
constante. Le mouvement rectiligne de la luge peut être
décrit en quatre étapes :
Q 5 Vous laissez tomber un boulet
de canon du sommet du mât d’un
voilier en mouvement rectiligne uniforme. Le boulet touchera-t-il le pont
(a) devant la base du mât, (b) vis-àvis de la base du mât ou (c) derrière
la base du mât ? Vous négligerez l’effet du vent ou les frottements de l’air.
– au début, la vitesse augmente ;
– la luge glisse ensuite à vitesse
constante sur de la neige bien
damée ;
– la luge arrive sur la neige fraîche
où elle ralentit ;
– la luge finit par s’immobiliser.
Q 6 Pourquoi dit-on que tout est relatif dans ce bas
monde ? Faites une réponse non pas philosophique, mais
basée sur vos connaissances de mécanique.
Dans quelle(s) étape(s) les forces qui s’exercent sur la
luge se compensent-elles ?
4
Des exercices classiques (dans le sens, à faire avant la fin du monde !)
5.1 À bâtons rompus
Pendant la montée de la cabine, le câble tracteur exerce
~ , verticale et assur cette dernière une force constante F
cendante, d’une valeur F égale à 8 500 N.
a . Effectuez l’inventaire des forces extérieures exercées
sur la cabine, en négligeant les forces de frottement.
b. Faire un schéma du système, et représenter les forces.
c . Énoncer la deuxième loi de Newton. L’appliquer au
système précédent.
d. En déduire la valeur et les caractéristiques du vecteur
accélération du centre d’inertie de la cage d’ascenseur
au cours de cette phase ascendante.
a . Quelle est la différence entre un référentiel et un repère ?
b. Expliquer en quoi le Principe d’inertie n’est pas
simple à mettre en évidence expérimentalement. Citer un dispositif moderne permettant cette mise en
évidence.
c . Rappeler les différents effets que peut avoir une force
sur le mouvement d’un corps.
d. Qu’est-ce qu’un corps pseudo-isolé ? Citer un
exemple.
Un satellite artificiel décrit un mouvement circulaire
uniforme autour de la Terre. Peut-on dire qu’il est
pseudo-isolé ?
e . Aristote associait la vitesse à la présence d’une force,
Newton indiquait lui que l’effet d’une force est lié à
l’accélération. Lequel des deux est dans le vrai ? Expliquer cela en termes modernes.
f . Un objet est immobile sur le sol horizontal d’un manège tournant à vitesse constante. Peut-on dire que
le poids de l’objet est compensé par la réaction du
sol ? Justifier la réponse.
Reprendre la même question si un morceau de glace
glisse sans frottement sur le sol du manège.
g . Donner des exemples pratiques, compréhensibles par
l’homme de la rue, de référentiels galiléens et non galiléens.
h. Dans le principe des actions réciproques, est-il envi→
−
sageable de considérer que les deux forces F A/B et
→
−
F B/A n’aient pas même droite d’action ?
La cabine, initialement au repos, part maintenant vers le
bas, en transportant les mêmes personnes.
e . Quels sont la direction et le sens du vecteur accélération du centre d’inertie de la cabine au moment du
démarrage ?
f . Sans calcul, comparer la nouvelle valeur F ′ de la tension du câble tracteur pour la descente à la valeur F
pour la montée puis à la valeur P + P ′ du poids de
l’ensemble.
5.4 Mouvement de la Lune
Dans son cours de Mécanique destiné aux premières années de faculté (The Feynman Lectures on Physics, section 7.3), le génial Professeur Feynman écrit :
« The idea that the moon “falls” is somewhat confusing,
because, as you see, it does not come any closer. The
idea is sufficiently interesting to merit further explanation : the moon falls in the sense that it falls away from
the straight line that it would pursue if there where no
forces. »
5.2 Mobile autoporteur
Sur Terre, un objet est toujours soumis à au moins une
force : son poids. Si cet objet est au repos ou s’il est
animé d’un mouvement rectiligne uniforme, c’est forcément qu’il est soumis à au moins une autre force.
a . Citez les lignes du cours qui justifient cette dernière
phrase. Quel nom a-t-on donné à ce résultat fondamental ?
Sur une table parfaitement horizontale, on lance un mobile autoporteur à coussin d’air.
b. Comment peut-on qualifier le mouvement du centre
du mobile sur la table ?
c . Que peut-on dire de la force exercée par le coussin
d’air ?
a . À quelle force la Lune est-elle soumise ? Pourquoi
peut-on considérer la Lune comme un projectile en
chute libre ?
b. Pourquoi la Lune ne tombe-t-elle pas sur la Terre ?
5.3 Dans l’ascenseur
La cabine d’un ascenseur, de masse M égale à 400 kg,
transporte 5 personnes dont la masse m est de 300 kg.
5
Quelques éléments de réponse...
Q 1 Il faut soumettre le glaçon à une force supplémen-
−
→
−
→
→
−
P + R = 0
taire qui modifie son mouvement. En dehors de ce cas,
le glaçon peut être considéré comme pseudo-isolé, avec
une très bonne approximation, c.-à-d. les forces qui s’appliquent sur lui se compensent.
En mécanique, il est nécessaire de dresser un schéma pour
chaque exercice :
→
−
R
Q 2 Pour maximiser le temps de chute, il faut maximiser le frottement de l’air,
par exemple en écartant les
bras et les jambes, à la manière d’un écureuil volant.
−
→
P
Q 9 Le cartable paraît plus lourd. Il essaye de conserver
son immobilité (principe d’inertie), il faut lui appliquer
une force supplémentaire (en plus de celle compensant
son poids) pour le mettre en mouvement vers le haut.
Q 3 Pour se maintenir hors du sable mouvant, il faut
comme lors d’une chute dans l’air présenter une grande
surface, pour maximiser la réaction normale du support.
Il n’y a aucun moyen de minimiser la valeur du poids, et
rester immobile n’est pas une bonne solution ; en effet,
le sable mouvant s’apparente plus à un liquide qu’à un
solide, il faut donc, dans la mesure du possible, nager.
Q 10 Arrêt d’un objet lancé
La pièce glisse selon un mouvement rectiligne, tout
d’abord sensiblement uniforme, puis de toute évidence
décéléré puisque la pièce finit par s’arrêter.
Q 4 Il s’agit d’une application du principe d’inertie :
La pièce ne s’enfonce pas dans la table horizontale donc
~ du support compense parfaitela réaction normale N
ment le poids ;
La pièce finit par s’arrêter donc une réaction du support
tangentielle s’applique : les frottements f~, qui ne sont
pas compensés.
Q 11 Descente en luge
tant que les passagers ne sont pas soumis à une force qui
modifie leur mouvement (en s’accrochant aux barres par
exemple), ils continuent le mouvement façon rectiligne et
uniforme par rapport au sol extérieur, indépendamment
du sol intérieur du bus !
Q 5 Lorsqu’on laisse tomber un boulet de canon du som-
met d’un mât d’un voilier, le boulet, qui appartient au
référentiel du voilier, fait une chute verticale, sous l’effet
de la seule force en présence, son poids. Il tombe donc
vis-à-vis de la base du mât, réponse (b).
D’après la réciproque du principe d’inertie, les forces se
compensent automatiquement dans tous les mouvements
qui sont indiqués comme étant rectilignes et uniformes,
ou même immobile. C’est le cas pour la deuxième et quatrième étape.
Q 6 Tout est relatif, c’est-à-dire que tous les mouve-
ments sont relatifs à un référentiel.
5.1 À bâtons rompus
Q 7 Les volatiles s’appuyant grâce à leurs ailes sur l’air
a . Un repère (Oxyz) est un objet mathématique, regroupant un point d’origine O et trois axes.
En Physique on prend un repère lié à un solide de
référence, typiquement le sol terrestre ou plus prosaïquement un coin de la salle de classe, chaque angle
définissant les axes horizontaux (Ox), (Oy) et vertical (Oz).
Un référentiel ajoute en plus un repérage dans le
temps, donc une horloge.
b. Les frottements sont difficiles à annuler. Du coup,
beaucoup de mouvements cessent dès la fin de l’application des forces qui en sont la cause, donnant l’impression intuitive d’un lien entre vitesse et force :
et non plus sur le camion, celui-ci devrait s’en trouver
allégé. Cet allègement est néanmoins totalement négligeable devant la masse du camion, donc il ne passera pas
le pont !
Q8
Bilan des forces pour l’objet :
→
−
• Poids P :
– direction : verticale ;
– sens : vers le bas ;
– point d’application : centre d’inertie ;
– valeur : P en Newton (N).
→
−
• Réaction du support R :
– direction : verticale ;
– sens : vers le haut ;
– point d’application : centre surface de contact ;
– valeur : R, égale à P .
X→
−
→
F ext ∝ −
vG
et empêchant d’observer qu’un mouvement perdure
indéfiniment en l’absence de toute force appliquée
(cas d’un système isolé, mouvement perpétuel). Ce
dernier s’explique en considérant que :
D’après la réciproque du principe d’inertie, tout corps
immobile ou en mouvement rectiligne uniforme est soumis à des forces qui se compensent, donc, dans chacun
des deux cas :
X→
−
→
F ext ∝ −
aG
6
c.
d.
e.
f.
g.
h. Non, c’est tout à fait exclu.
Une table à coussin d’air est un dispositif facilitant
la mise en évidence expérimentale de cette dernière
relation.
Une force peut modifier :
– la valeur du vecteur vitesse (mouvement rectiligne
accéléré ou décéléré) ;
– la direction du vecteur vitesse (vecteur accélération
perpendiculaire au vecteur vitesse, la direction du
mouvement change, mais pas la valeur du vecteur
vitesse, mouvement circulaire).
Il est intéressant de noter que tout mouvement peut
être décomposé en une succession de ces deux modifications : translation et rotation.
Un corps est pseudo-isolé lorsque la résultante des
P−
→
→
−
F ext = 0 .
forces extérieures est nulle :
Toutes les forces se compensent alors entre elles, et,
du point de vue de la deuxième loi de Newton, le
corps va se comporter comme s’ il était isolé.
Un satellite est quant à lui en chute libre, dans le
vide. Il n’est soumis qu’à l’attraction de la Terre (en
négligeant les effets de la Lune et du Soleil). Il n’est
donc pas pseudo-isolé, rien dans le vide ne venant
contrecarrer l’attraction de la Terre !
C’est Newton, suivant la voie tracée par Galilée,
qui a définitivement rendu caduques les explications
d’Aristote.
En termes modernes, il faut exprimer le principe fondamental de la dynamique.
Non, la réaction du support compense à la fois le
poids et la force centrifuge, qui apparaît en raison de
la rotation imposée par le manège.
Oui, dans le cas du bloc de glace, la réaction du support est orthogonale au support, elle compense exactement le poids, lui-même orthogonal au manège, horizontal.
Quelques référentiels galiléens :
– référentiel terrestre pour tous les mouvements de
courte durée et de faible vitesse (= à notre échelle) ;
– référentiel lié à la voiture tant que l’on se limite à
un mouvement rectiligne uniforme ;
– référentiel de Copernic (dont l’origine est le centre
d’inertie du Système Solaire, et dont les axes
pointent vers trois étoiles supposées lointaines)
pour l’étude du mouvement des planètes.
Quelques référentiels non galiléens :
– référentiel terrestre pour l’étude des marées ;
– référentiel lié à la voiture dans un virage ;
– référentiel lié à un manège.
5.2 Mobile autoporteur
a . Le fait que le solide soit soumis à une autre force,
compensant exactement le poids, afin qu’il soit
pseudo-isolé, est une application de la réciproque du
principe d’inertie.
Typiquement, cette seconde force est une réaction
normale du support.
b. Le mouvement d’un tel mobile pseudo-isolé est rectiligne uniforme.
c . La force exercée par le coussin d’air doit compenser
exactement le poids du mobile ; si ce n’est pas le cas,
le mobile ne va pas s’élever, ou, au contraire, s’envoler !
5.3 Dans l’ascenseur
→
−
a . Inventaire des forces : Poids de la cabine P , poids
→
−
→
des passagers −
p ′ , traction du câble F . Pour chaque
force, il faut donner les quatre caractéristiques.
c . Deuxième loi de Newton :
⇒
⇒
P−
→
→
F ext = (M + m) −
a
→ −
−
→′ −
→
→
−
P + P + F = (M + m) a
→
−
→
−
→
→
M g + m−
g + F = (M + m) −
a
d. Projection sur un axe (Oz) vertical ascendant :
−M g − mg + F = (M + m)a
⇒
a=
F − (M + m)g
M +m
Application numérique :
a=
8 500 − (400 + 300) × 9, 81
= 2, 34 m · s−2
400 + 300
Caractéristiques : direction verticale, sens vers le
haut.
e . Direction verticale, sens vers le bas.
f . La traction F ′ du câble sera plus faible que lors de la
montée, et aussi inférieure au poids total P + P ′ de
l’ensemble.
5.4 Mouvement de la Lune
a . La Lune est uniquement soumise à l’attraction de la
Terre, à ce titre elle est en chute libre.
b. La Lune a une vitesse suffisante pour être satellisée
autour de la Terre.
Noyeux Joël, banne onnée !
7