PSI Exercices d`application du cours Indications ou éléments de

PSI Exercices d’application du cours
Indications ou éléments de réponses
Exercice 1
1. La fonction fest strictement décroissante sur ]0,1] et strictement croissante sur [1,+∞[, elle
a pour limite +∞en 0+et +∞.
On a f(x)−x > 0si et seulement si x < 1et f(x)−x= 0 si et seulement si x= 1.
2. Utiliser la croissance de fsur [1,+∞[et le fait que f(1) = 1.
3. a. Immédiat à partir de la stabilité de Ipar f.
b. Utiliser le fait que pour x>1,f(x)6x.
c. Appliquer le théorème de la limite monotone. La limite ℓappartient à I, et par continuité
de fsur I, elle vérifie ℓ=f(ℓ). En déduire que ℓ= 1.
d. Pour tout n∈N,un6= 0 ; de plus un+1
un
=1
21 + 1 u2
n→1.
e. Pour tout x∈I,|f′(x)|61/2.
f. N= 10 convient.
4. D’après l’étude de f, on a u1=f(u0)> f (1) = 1, donc u1∈I. On en déduit que, à un
décalage de un indice près, on se retrouve dans la situation de la question 3. Donc un→1.
Exercice 2
1. r2+3
4r−1 4= 0.
2. Les solutions sont −1et 1/4.On obtient, pour tout n∈N,
un=a−4b
5(−1)n+a+b 5
1
4n−1.
3. Immédiat car les deux solutions de l’équation caractéristique appartiennent à [−1,1].
4. La condition est : a= 4b; dans ce cas, la limite est 0.
Exercice 3
1. Comparer le terme général avec 1/n2.
2. Réduire au même dénominateur et identifier les numérateurs. On obtient α= 1/a et β=−1/a.
3. Utiliser 2, faire un changement d’indice et simplifier certains termes ; on obtient
p
X
n=1
1
n(n+a)=1 a
a
X
n=1
1
n−1 a
p+a
X
n=p+1
1
n
et en majorant la dernière somme par a/(p+ 1), on en déduit que
+∞
X
n=1
1
n(n+a)=1 a
a
X
n=1
1
n.
Exercice 4
1. Limite nulle par croissances comparées.
2. La fonction est strictement croissante sur ]0,e]et strictement décroissante sur [e, +∞[.
3. Appliquer le théorème spécial des séries alternées à la série indexée par n>3(en effet, e≈2,7
donc le terme général décroît à partir du rang 3).
4. À partir de m= 3. Dans ce cas, le signe est celui de (−1)met la valeur absolue est majorée
par ln(m)/m.
5. Appliquer le résultat précédent avec m= 3 puis ajouter les termes manquants.
1

Exercice 5
1. L’équivalent est 4n/√πn.
2. Non, par comparaison avec une série de Riemann d’exposant 1/2(ne pas oublier l’hypothèse
de signe).
3. La série converge si et seulement si α > 2(comparaison avec une série de Riemann).
Exercice 6
3.a. Remarquer que l’on a bien e∈E. On obtient λ= 3 φ(f)et donc g=f−3φ(f)e. L’unicité
de ces valeurs prouve l’aspect direct de la somme.
Si h∈Ker(φ)∩Re, il existe λ∈Rtel que h=λ e, avec 0 = φ(h) = λφ(e) = λ/3, donc λ= 0.
3.b. Pour f∈E, poser λet gcomme ci-dessus, et montrer que l’on obtient une décomposition
convenable de f.
Exercice 7
1. On obtient 1 1 1
0 1 4.
2. On obtient Ker(u) = Vect(X2−4X+ 3) et Im(u) = R2.
Exercice 8
1. La matrice Aest inversible (det(A) = −1).
2. Méthode 1 : montrer que la matrice de (u, v, w)dans la base Best inversible.
Méthode 2 : prouver la liberté de (u, v, w)à partir d’une combinaison linéaire nulle de u,vet
w, en se ramenant à une combinaison linéaire nulle de e1,e2et e3; conclure par un argument de
dimension.
On a f(u) = u,f(v) = vet f(w) = −w, donc B= diag(1,1,−1).
3. En notant P=
0 1 1
0−1 1
1 0 0
, on a A=P BP −1.
4. L’application fest la symétrie par rapport à Vect(u, v), parallèlement à Vect(w).
Exercice 9
1. On a A=
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
.
2. On fait les opérations C1↔C2puis C2↔C4, et on en déduit que det(A) = (−1)2= 1.
Exercice 10
1. On obtient P(X) = X(−X2/2−3X+1)−(6X−1)−(−X/2+3) = −X3/2−3X2−9X/2−2.
2. Avec l’opération indiquée, on obtient
P(X) = 
X+ 1 −X−1X+ 1 −X−1
1 2 X/2−1
0 1 −1 0
1X−1X
= (X+ 1) 
1−1 1 −1
1 2 X/2−1
0 1 −1 0
1X−1X
Les opérations C2←C2+C1,C3←C3−C1et C4←C4+C1montrent que
P(X) = (X+1) 
1 0 0 0
1 3 X/2−1 0
0 1 −1 0
1X+ 1 −2X+ 1
= (X+1)2
1 0 0
1 3 X/2−1
0 1 −1
=−(X+1)2(X/2+2).
3. On obtient bien sûr le même résultat mais la deuxième méthode permet de factoriser ce
résultat (cela dit, la première opération n’est pas évidente).
2

Exercice 11
1. Non, Fest de dimension n2−n(Fest l’ensemble des matrices de Mn(R)dont la somme des
coefficients, sur chaque colonne, est nulle).
2. Oui : Fest le noyau de la forme linéaire non nulle P7→ P(−1) ; en notant P=Pn
k=0 akXk,
une équation de Fdans la base canonique est Pn
k=0(−1)kak= 0.
3. Non, Fest de dimension n−1avec dim(Cn[X]) = n+ 1 (pour le voir, adapter ce qui précède
mais en remarquant que X2+ 1 = (X−i)(X+i)).
Exercice 12
1. a. Appliquer l’inégalité triangulaire.
b. Écrire x−y= (x−z)−(y−z).
c. Appliquer l’inégalité triangulaire, majorer chaque kxikpar le maximum et utiliser le fait
que 1 + 2 + ···+n=n(n+ 1)/26n2.
2. Non, dans R, on obtient un contre-exemple avec la valeur absolue, x= 1 et y=−1.
3. a. On a d= 22 et D= 62 (appliquer 1.a).
b. On note A,Bet Ptrois points du plan représentant la ville A, la ville Bet le panneau.
Pour d, la condition est : A∈[P B]. Pour D, la condition est : P∈[AB]. Pour cela, étudier les
cas d’égalité dans 1.a.
c. Noter θ∈[0,π]l’angle orienté \ BP A, et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
à la distance entre Aet Bvue comme fonction de θ.
Exercice 13
1. a. Majorer la valeur absolue de l’intégrale, sans oublier que l’on peut avoir a < 0.Pour la
dernière conclusion, passer à la borne supérieure à gauche.
b. Pour tout x∈R, φ(f)(x) = F(x+a)−F(x).
c. Pour la continuité, utiliser la question précédente.
d. Non : considérer φ(−f).
2. a. On pourra distinguer les cas a>0et a < 0et utiliser le fait que pour tout t∈R,
|f(t)| − |g(t)|6|f(t)−g(t)|.
b. Passer à la borne supérieure dans l’inégalité de 2.a.
3. a. Appliquer le résultat précédent avec g= 0Epuis raisonner par récurrence.
b. Immédiat car |a|n→0.
4. a. φ(e) = e.
b. Immédiat à partir de 2.b et 4.a.
c. Traduire l’appartenance à B(e,r)par une inégalité et utiliser la question précédente.
Exercice 14
3.a. Par linéarité de u(avec Eet Fde dimension finie).
3.b. On a
N(u(P)) = max {|α+β+γ+δ|+|3α+ 2β+γ|,|6α+ 2β|+|6α|}.
3.c. On a |α+β+γ+δ|+|3α+ 2β+γ|610 kPket |6α+ 2β|+|6α|614 kPk, d’où le résultat
en prenant le maximum.
3.d. Par linéarité de u, on déduit de ce qui précède que 14 est une constante de Lipschitz de u.
Exercice 15
1. Sur tout intervalle inclus dans ]−1,1].
2. Sur tout intervalle de la forme [a,b]avec −1< a < b < 1.
3. Sur ]−1,1[.
3

Exercice 16 – Il y a convergence simple sur R+vers la fonction nulle (par croissances compa-
rées, pour R∗
+). Pour la convergence uniforme, faire une étude de fonction, en déduire que pour
n>1,kfnk∞=fn(2/n) = 4e−2/n et donc que la convergence est uniforme sur R+.
Exercice 17
1. Il y a convergence simple sur [0,1] vers la fonction nulle.
2. Faire une étude de fonction, en déduire que
kfnk∞=fn1
n+ 1=nα1 n+ 1 n n+ 1n
;
montrer que kfnk∞∼nα−1/e ; la convergence est uniforme sur [0,1] si et seulement si α < 1.
Exercice 18
1. Utiliser la règle de d’Alembert ou une comparaison avec 1/n2.
2. Pour tout n∈N∗, on a sup{|un(x)|;x∈[0,1[}=n2, terme général d’une série divergente.
3. a. Pour tout n∈N∗, on a sup{|un(x)|;x∈[0,a]}=n2an, terme général d’une série
convergente.
b. On peut en déduire que Pn>1unconverge normalement sur tout segment de [0,1[, mais
pas qu’elle converge normalement sur tout segment de [0,1] (ce qui est faux, sinon elle convergerait
normalement sur [0,1], or il n’y a même pas convergence simple sur [0,1]). Comme le montre la
question 2, on ne peut pas non plus en déduire qu’elle converge normalement sur [0,1[.
Exercice 19
1. Comparer avec 1/n2.
2. Dans le raisonnement précédent, on peut comparer avec une inégalité (plutôt qu’un équivalent),
ce qui prouve en fait la convergence normale.
3. Appliquer le théorème de la classe C1pour les séries de fonctions. Pour tout n∈N∗,
u′
n:x7→ − 2x
(n2+x2)2;
montrer que Pn>1u′
nconverge normalement sur tout segment de la forme [−a,a]avec a > 0.
4. Immédiat.
5. En 0, on obtient P+∞
n=1 1/n2par continuité. En +∞, appliquer le théorème d’interversion
limite/somme ; on obtient 0.
6. Appliquer le théorème d’intégration terme à terme.
7. a et b. Immédiat par décroissance de fpuis en ajoutant les inégalités.
c. Utiliser le fait que pour [a,b]⊂R+,Zb
a
dt
t2+x2=1 xarctan t xb
a
; faire alors p→+∞
puis utiliser le fait que pour x > 0,arctan(x) + arctan(1/x) = π/2.Conclure sur l’équivalent par
encadrement.
Exercice 20
1. Immédiat.
2. Utiliser le résultat de majoration des restes du théorème spécial et le fait que x+ln(m)>ln(m).
3. D’après 2, la suite des restes converge uniformément sur R+vers la fonction nulle.
4. Appliquer le théorème de continuité pour les séries de fonctions.
5. Appliquer le théorème d’interversion limite/somme ; on obtient 0.
6. a. Utiliser le fait que pour nassez grand, ln(n)6n.
b. Pour tout n>2et tout a > 0,sup {|un(x)|;x∈[0,a]}= 1/ln(n); ce qui précède montre
que la convergence n’est pas normale sur tout segment de R+(et a fortiori, pas normale sur R+).
De toute façon, en ce qui concerne la question 5, une convergence (normale ou uniforme) sur
tout segment n’aurait pas suffi à appliquer le théorème d’interversion limite/somme.
4

Exercice 21
1. La fonction fest strictement croissante sur Ret a pour limite −∞ en −∞, et +∞en +∞;
c’est une bijection de Rsur R.
2. L’existence et l’unicité proviennent de la question précédente ; on a de plus f(0) = 0 et
f(1) >1, donc la solution appartient à [0,1].
Exercice 22
1. x7→ |x|.
2. x7→ x2sin(1/x)prolongée par continuité en 0 avec la valeur 0.
3. x7→ x3.
Exercice 23
Pour ln ;x7→ xln(x)−x.
Pour arctan ;x7→ xarctan(x)−1
2ln(1 + x2).
Exercice 24
1. Il s’agit de φ:x7→ x2.
2. On obtient
I=Z√2
1
1
x+ 2x22x dx = ln(1 + 2√2) −ln(3).
Exercice 25
1. Pour tout x∈Ret n∈N,
cos(x) =
n
X
k=0
(−1)k
(2k)! x2k+Zx
0
(x−t)2n
(2n)! (−1)n+1 sin(t)dt.
2. Pour tout x∈Ret n∈N,
Zx
0
(x−t)2n
(2n)! (−1)n+1 sin(t)dt
6|x|2n+1
(2n+ 1)! avec |x|2n+1 (2n+ 1)! −→
n→+∞0.
Exercice 26
1. Tout réel λest valeur propre de D, et Eλ(D)est la droite engendrée par la fonction x7→ eλx.
2. a. •Si λ > 0, les solutions sont les fonctions
x7→ a e√λ x +b e−√λ x pour (a, b)∈R2.
•Si λ < 0, les solutions sont les fonctions
x7→ acos(√−λ x) + bsin(√−λ x)pour (a, b)∈R2.
•Si λ= 0, les solutions sont les fonctions affines.
b. Tout réel λest valeur propre de D2, et selon le signe de λ,Eλ(D2)est le plan vectoriel
formé par les solutions données à la question précédente.
Exercice 27
1. χA(X) = X2−5X+ 4 = (X−1)(X−4).
2. Les valeurs propres de Asont 1 et 4.
3. L’ensemble des solutions de AX =Xest E1(A) = Vect  2
−1.
L’ensemble des solutions de AX = 4Xest E4(A) = Vect 1
1.
5