Informatique théorique 2 Plan du module Systèmes relationnels

Licence 2 Informatique
2005/2006
Frédéric Fürst - bureau 205 - [e-mail]
www.u-picardie.fr/~ff-laria/
1ère partie - Systèmes relationnels
Relations sur un ensemble
Théorie des treillis
2ème partie - Algèbre
Théorie des groupes
Anneaux, corps
3ème partie - Séries
Séries, polynomes formels
Fonctions génératrices
• Les systèmes relationnels sous-tendent de nombreux systèmes
informatiques :
–Base de données et langages relationnels
–Structures ordonnées : arborescence des systèmes de
fichiers, piles, files, arbres, hiérarchies objet, …
•Bibliographie :
– Mathématiques discrètes et informatique, N.H. Xuong,
Masson
– Mathématiques pour l’informatique, A. Arnold &
I. Guessarian, Masson
– Mathématiques discrètes, S. Lipschutz, Serie Schaum
•Ensemble : un ensemble (notion première) est défini quand il
est possible pour tout élément (notion première) de dire s’il
appartient ou pas à cet ensemble
•Relation (binaire) : soit E et F deux ensembles. On appelle
relation binaire entre E et F tout sous-ensemble de E F (E F
est le produit cartésien de E et F).
•Notes : - une relation peut lier un ensemble à lui-même
- une relation n’est pas forcément binaire
•Exemples : - relation de notation entre l’ensemble des étudiants en L2 et
l’ensemble des notes en IT2 [0..20]
- la relation de divisibilité dans N
•Relation : soit E1, .. , En n ensembles. On appelle relation
entre les Ei tout sous-ensemble de E1 .. En.
•Exemples : - une relation unaire sur un ensemble E est une partie de E (par
ex. l’ensemble des entiers pairs peut être vu comme une
relation unaire sur N).
- 3 ensembles d’identifiants client, d’identifiants produit et de
numéros de facture sont liés par une relation ternaire « achat »
Facture 32fourchetteDupond Facture 23TableDupont Facture 22ChaiseTartempion
• Les relations sont des sous-ensembles d’un produit cartésien
d’ensembles => on peut leur appliquer des opérations
ensemblistes, c’est l’algèbre relationnelle des SGBD (BD2)
•Inclusion de relation : l’inclusion des relations binaires R et S,
notée R ⊆S, est définie par (x,y) ∈R => (x,y) ∈S. On peut
généraliser à des relations n-aires.
•Exemple : {(Tartempion,chaise,facture22)} est incluse dans
{(Tartempion,chaise,facture22),(Dupont,table,facture23),(Dupont,fourchette,
facture32)}

•Union et intersection de relations : soit R et S deux relations
binaires entre E et F.
– R ∪S union de R et S est définie par x (R ∪S) y ssi xRy ou
xSy.
– R ∩S intersection de R et S est définie par x (R ∩S) y ssi
xRy et xSy.
– On généralise à des relations n-aires
•Exemples : - l'union de {(Tartempion,chaise,facture22)} et
{(Tartempion,chaise,facture22), (Dupont,table,facture23),
(Dupont,fourchette, facture32)} est {(Tartempion,chaise,facture22),
(Dupont,table,facture23), (Dupont,fourchette, facture32)}
- l'intersection de {(Tartempion,chaise,facture22)} et
{(Tartempion,chaise,facture22), (Dupont,table,facture23),
(Dupont,fourchette, facture32)} est {(Tartempion,chaise,facture22)}
•Inverse d’une relation binaire : soit R relation entre E et F. R-1
inverse de R est définie par x R-1 y ssi yRx.
•Complémentaire d’une relation : la relation R’ complémentaire
d’une relation R entre E et F est définie par (e,f) ∈R’ ssi (e,f) ∉
R. On généralise à des relations n-aires.
•Relation identité : la relation identité entre E et F, notée IdE×F,
est définie par (e,f) ∈IdE×Fssi e = f
•Relation pleine : la relation pleine entre E et F, notée ∏E×F, est
définie par ∀(e,f) ∈E×F, (e,f) ∈ ∏E×F
•Composition des relations binaires : soit R une relation entre E
et F et S une relation entre F et G. La relation T binaire
composée de R et S, et notée RoS, est définie par ∀(x,z) ∈
E×G, xTz ⇔ ∃y ∈F tel que xRy et ySz
•Symétrie : une relation R est symétrique si pour tout x et y tels
que xRy, alors yRx. Si R est symétrique, R=R-1
•Exemple : la relation "à coté de" définie sur Ob Ob où Ob est l'ensemble
des objets matériels est symétrique
•Antisymétrie : une relation R est anti-symétrique si pour tout x
et y tels que xRy et yRx, alors x = y
•Exemple : la relation "posée sur" définie sur Ob Ob est antisymétrique
•Transitivité : une relation R est transitive si pour tout x, y et z
tels que xRy et yRz, alors xRz
•Exemple : la relation "à coté de" est transitive
•Réflexivité : une relation R est réflexive si pour tout x, alors
xRx
•Exemple : la relation "est située au même endroit" définie sur Ob Ob est
réflexive
•Antiréflexivité : une relation R est anti-réflexive si pour tout x,
alors xRx est faux
•Exemple : la relation "est posée sur" est antiréflexive
•Fermeture d’une relation binaire : Soit R une relation binaire
définie sur un ensemble E. On appelle fermeture réflexive, de
R la plus petite (au sens de l’inclusion) relation réflexive définie
sur E contenant R. On note r(R) la fermeture réflexive de R,
t(R) sa fermeture transitive, s(R) sa fermeture symétrique.
• Théorème 1 : Soit R une relation binaire sur un ensemble E.
– r(R) = R ∪Id (Id = relation d’identité)
– t(R) = ∪Rii=1..∞(Ri = RoRo .. oR i fois)
– s(R) = R ∪R-1

•Fonction : une fonction d'un ensemble E vers un ensemble F
est une relation de E vers F pour laquelle tout élément x de E
est en relation avec au plus un élément y de F
– on note y = f(x) et on dit que y est l’image de x par f et que x
est l’antécédent de y par f.
– l'ensemble des éléments x de E pour lesquels il existe un
élément de F en relation avec x est appelé ensemble de
définition de la fonction f.
•Application : une application d'un ensemble E vers un
ensemble F est une relation de E vers F pour laquelle tout
élément de E est en relation avec exactement un élément de
F. C'est une fonction de E vers F dont le domaine de définition
est E.
•Injection : une application de E vers F est dite injective lorsque
deux éléments distincts de E ont toujours des images
distinctes dans F.
•Surjection : une application de E vers F est dite surjective
lorsque tout élément de F admet au moins un antécédent
dans E.
•Bijection : une application de E vers F est dite bijective
lorsqu'elle est à la fois injective et surjective.
•Relation d’équivalence : une relation d’équivalence (notée )
est une relation réflexive, transitive et symétrique.
•Exemples : - la relation de proximité spatiale "à coté de"
- dans Z, la relation définie par aRb ssi a-b est pair
•Classe d’équivalence : la classe d’équivalence d’un élément x
d’un ensemble E relative à une relation d’équivalence est
l ensemble des l ments y de E tels que x y (ou y x)
Th or me 2 : l ensemble des classes d quivalence qu une
relation d quivalence induit sur un ensemble E est une
partition de E. Inversement, toute partition de E induit une
relation d quivalence.
•Ensemble quotient : le quotient d’un ensemble E par une
relation d’équivalence est l ensemble dont les l ments sont
les classes d quivalences des l ments de E relativement .
Exemples : - le quotient de l ensemble {Pierre, Paul, Jacques, Marie,
Jeanne} par la relation a même sexe est
{{Pierre,Paul,Jacques}, {Marie,Jeanne}}
- le quotient de N par la relation R d finie par xRy ssi x-y est
multiple de 2 est l ensemble r duit deux l ments,
l ensemble des entiers pairs et l ensemble des entiers impairs
•Relation d’ordre : une relation d’ordre partiel (notée ) est une
relation réflexive, transitive et antisymétrique. Une relation
antiréflexive, transitive et antisymétrique est une relation
d’ordre strict (une relation réflexive et transitive est appelée pré-
ordre).
•Exemples : - la relation « plus grand que »
- dans N, la relation définie par aRb ssi a divise b
•Elément dominant : dans E muni de , un élément x domine
un l ment y si y x et qu il n existe pas d l ment z tel que
y z x. On dit aussi que x est le successeur de y.
•Exemples : - dans N muni de la relation de division, 4 domine 2
- dans N muni de la relation « plus grand que », 3 domine 2
•Ensemble ordonné (ou partiellement ordonné) : un ensemble E
ordonné est un ensemble muni d’une relation d’ordre . On
note cet ensemble (E, ).
•Ensemble totalement ordonné (ou chaine) : un ensemble E est
totalement ordonné si pour tout couple (x,y) d’éléments de E,
x y ou y x
•Notes : - un ensemble peut être doté de plusieurs relations d’ordre
- toute relation d’ordre admet une relation duale ≥
- tout ensemble ordonné (E, ) admet un dual (E, ≥ )
•Exemples : - l’arborescence d’un système de fichiers est partiellement
ordonnée
- l’ordre lexicographique est un ordre total permettant de trier des
chaînes de caractères

•Diagramme de Hasse : sur un ensemble E ordonné
par , pour tout couple d l ments (x,y) tels que x y
et ¬∃ z dans E tel que x z y (y domine x), on cr e
un arc fl ch de x y
•Exemple : l’ensemble des parties
de {1,2,3} ordonné par la relation
d’inclusion.
∅
• Dans le cas d’un ensemble totalement ordonné, par
transitivité de la relation d’ordre, le diagramme devient
une « chaine »
• Soit E un ensemble ordonné. Considérons les sous-ensembles
totalement ordonnés de E.
•Hauteur : la hauteur d’un élément xde E est le maximum, s’il
existe, de la longueur des chaînes admettant xcomme élément
maximum
•Profondeur : la profondeur d’un élément xde E est le
maximum, s’il existe, des longueurs des chaînes admettant x
comme élément minimum
•Exemples : - dans N muni de la relation aRb ssi a divise b, les nombres
premiers ont pour hauteur 1
- dans l’ensemble des parties de {1,2,3} muni de l’inclusion, la
profondeur de {3} est 2
•Extension : si un ensemble E est ordonné par <, tout ordre «
sur E tel que x < y ==> x « y est appelé une extension de <.
•Extension linéaire : en particulier si « est un ordre total il est
appelé une extension linéaire de <.
•Exemple : - la relation d’ordre aRb ssi a divise b ordonne N. La relation
d’ordre usuelle sur N est une extension linéaire de la
précédente.
•Note : - dans le cas des ensembles finis ou dénombrables, une extension
linéaire « d'un ordre < permet d'énumérer les éléments selon l'ordre
croissant (pour «), cette énumération étant compatible avec l'ordre
d'origine <.
• Tout ordre partiel peut être étendu à un ordre total. Il n'y a pas en général
unicité de l'extension et l'une de ces extensions peut être obtenue à l'aide du
tri topologique.
•Algorithme du tri topologique : on l'applique au graphe sans boucle d'un
ordre partiel.
• La liste obtenue est la linéarisation de l'ordre initial. On en déduit un ordre
total compatible avec l'ordre partiel de départ. Un tri topologique d’un
ensemble E est une numérotation des éléments de E, c’est-à-dire une
injection de E dans N respectant l’ordre naturel sur N.
∅
∅
∅
∅
∅
∅
∅
∅
∅
∅é

• Dans un ensemble E muni d’une relation d’ordre :
– x est un minorant (resp. majorant) de y si x y (resp. y x)
– x est la borne supérieure de E (notée sup(E)) s’il est le plus
petit des majorants de E
– x est la borne inférieure de E (notée inf(E)) s’il est le plus
grand des minorants de E
•Exemple : b est la borne sup de [a,b] sur (R, ) et aussi celle de [a,b[
Note : un majorant ou minorant, et donc une borne supérieure ou
inférieure n’existe par toujours ([0,+ ∞ [ n’a pas de majorant)
– x ∈E est maximal (resp. minimal) s’il n’a pas d’autre
majorant dans E (resp. minorant) que lui-même
– x ∈E est le maximum (ou universel) de E si ∀y ∈E, y x
– x ∈E est le minimum (ou élément nul) de E si ∀y ∈E, x y
•Exemples : - dans l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble E, E est
le maximum et ∅ le minimum
- dans N muni de la relation de divisibilité, 1 est minimum, il n’y a
pas de maximum
•Notes : - un maximum ou un minimum n’existe pas toujours (N muni de la
relation de divisibilité n’a pas de maximum)
- un maximal ou un minimal n’existe pas toujours (l’intervalle réel
[a,b[ n’a pas de maximal, mais il a un majorant)
- dans le cas où un maximum (resp. minimum) existe, il est le seul
élément maximal (resp. minimal) de E
- dans le cas d’un ordre total, les notions de minimum (resp.
maximum) et de minimal (resp. maximal) sont confondues
• Différence entre maximum et maximal :
– E, C et D sont maximaux mais pas maximums
• Dans l'ensemble ordonné de la figure :
– Le sous-ensemble {D,E,F} possède 4 majorants A,
B, C, D et une borne inf D. D est maximal et
maximum. E et F sont minimaux (mais pas
minimums).
– Le sous-ensemble {D,E,F,G} ne possède ni
majorant ni minorant
– Le sous-ensemble {A,B,C,D} ne possède aucun
majorant, 3 minorants E, D et F et une borne inf D.
B et C sont maximaux mais non maximums et D
est minimal et minimum.
Th or me 3 : Soit Aune partie finie non vide d un ensemble
ordonn (E,≤). Pour tout xde A, il existe dans Aun minimal m
et un maximal stels que m≤x≤s.
Preuve : par induction sur |A|. Vrai pour |A|=1. Supposons la
propriété vraie pour |A|=n-1. Soit xde Atel que |A|=net B=A\{y}
où y≠x. Bcontient donc un maximal set un minimal mtels que
m≤x≤s. 3 cas se pr sentent :
s≤y: posons s= y et m = m
y≤m: posons s= set m = y
–m≤y ≤s: posons m= m et s= s
Dans les 3 cas, s et m sont les maximal et minimal cherch s.
Corollaire : Tout ensemble ordonn fini admet un maximal et un
minimal. En particulier, toute cha ne finie admet un maximum et
un minimum.
•Ordre bien fondé : un ordre sur un ensemble E est dit bien
fondé (ou noethérien) si toute partie non vide de E admet un
élément minimal.
•Exemple : - une arborescence de fichiers muni de l’ordre « est sous-arbre
de » est bien fondée
• Théorème 4 : dans un ordre bien fondé, tout élément non
maximal admet un dominant.
•Preuve : soit x un élément non maximal de (E,≤) bien fond et
F={y∈E, x ≤y}. F n est pas vide puisque x n est pas maximal,
donc F admet un minimal qui est clairement un dominant de x.