Informatique théorique 2 Plan du module Systèmes relationnels

Plan du module
Informatique théorique 2
1ère partie - Systèmes relationnels
Relations sur un ensemble
Théorie des treillis
20h cours/30h TD
Licence 2 Informatique
2ème partie - Algèbre
Théorie des groupes
Anneaux, corps
2005/2006
3ème partie - Séries
Frédéric Fürst - bureau 205 - [email protected]
www.u-picardie.fr/~ff-laria/
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2005/2006
Séries, polynomes formels
Fonctions génératrices
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Systèmes relationnels
• Les systèmes relationnels sous-tendent de nombreux systèmes
informatiques :
– Base de données et langages relationnels
– Structures ordonnées : arborescence des systèmes de
fichiers, piles, files, arbres, hiérarchies objet, …
• Bibliographie :
– Mathématiques discrètes et informatique, N.H. Xuong,
Masson
– Mathématiques pour l’informatique, A. Arnold &
I. Guessarian, Masson
– Mathématiques discrètes, S. Lipschutz, Serie Schaum
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2005/2006
Relation sur des ensembles
• Ensemble : un ensemble (notion première) est défini quand il
est possible pour tout élément (notion première) de dire s’il
appartient ou pas à cet ensemble
• Relation (binaire) : soit E et F deux ensembles. On appelle
relation binaire entre E et F tout sous-ensemble de E× F (E× F
est le produit cartésien de E et F).
•
Notes : - une relation peut lier un ensemble à lui-même
- une relation n’est pas forcément binaire
•
Exemples : - relation de notation entre l’ensemble des étudiants en L2 et
l’ensemble des notes en IT2 [0..20]
- la relation de divisibilité dans N
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•
Exemples : - une relation unaire sur un ensemble E est une partie de E (par
ex. l’ensemble des entiers pairs peut être vu comme une
relation unaire sur N).
- 3 ensembles d’identifiants client, d’identifiants produit et de
numéros de facture sont liés par une relation ternaire « achat »
Tartempion Chaise
Dupont
Table
Dupond
fourchette
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Facture 22
Facture 23
Facture 32
2005/2006
Opérations sur les
relations (1/3)
Relations n-aires
• Relation : soit E1, .. , En n ensembles. On appelle relation
entre les Ei tout sous-ensemble de E1× .. En.
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• Les relations sont des sous-ensembles d’un produit cartésien
d’ensembles => on peut leur appliquer des opérations
ensemblistes, c’est l’algèbre relationnelle des SGBD (BD2)
• Inclusion de relation : l’inclusion des relations binaires R et S,
notée R ⊆ S, est définie par (x,y) ∈ R => (x,y) ∈ S. On peut
généraliser à des relations n-aires.
•
Exemple : {(Tartempion,chaise,facture22)} est incluse dans
{(Tartempion,chaise,facture22),(Dupont,table,facture23),(Dupont,fourchette,
facture32)}
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1
Opérations sur les
relations (2/3)
Opérations sur les
relations (3/3)
• Union et intersection de relations : soit R et S deux relations
binaires entre E et F.
– R ∪ S union de R et S est définie par x (R ∪ S) y ssi xRy ou
xSy.
– R ∩ S intersection de R et S est définie par x (R ∩ S) y ssi
xRy et xSy.
– On généralise à des relations n-aires
• Inverse d’une relation binaire : soit R relation entre E et F. R-1
inverse de R est définie par x R-1 y ssi yRx.
•
• Relation identité : la relation identité entre E et F, notée Id E×F,
est définie par (e,f) ∈ IdE×F ssi e = f
Exemples : - l'union de {(Tartempion,chaise,facture22)} et
{(Tartempion,chaise,facture22), (Dupont,table,facture23),
(Dupont,fourchette, facture32)} est {(Tartempion,chaise,facture22),
(Dupont,table,facture23), (Dupont,fourchette, facture32)}
- l'intersection de {(Tartempion,chaise,facture22)} et
{(Tartempion,chaise,facture22), (Dupont,table,facture23),
(Dupont,fourchette, facture32)} est {(Tartempion,chaise,facture22)}
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• Complémentaire d’une relation : la relation R’ complémentaire
d’une relation R entre E et F est définie par (e,f) ∈ R’ ssi (e,f) ∉
R. On généralise à des relations n-aires.
• Relation pleine : la relation pleine entre E et F, notée ∏ E×F, est
définie par ∀(e,f) ∈ E×F, (e,f) ∈ ∏ E×F
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Propriétés des
relations binaires (1/2)
Composition des relations
• Composition des relations binaires : soit R une relation entre E
et F et S une relation entre F et G. La relation T binaire
composée de R et S, et notée RoS, est définie par ∀(x,z) ∈
E×G, xTz ⇔ ∃y ∈ F tel que xRy et ySz
A
B
C
D
1
2
3
4
• Symétrie : une relation R est symétrique si pour tout x et y tels
que xRy, alors yRx. Si R est symétrique, R=R-1
•
× Ob où Ob est l'ensemble
• Antisymétrie : une relation R est anti-symétrique si pour tout x
et y tels que xRy et yRx, alors x = y
roger
•
rodolphe
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Propriétés des
relations binaires (2/2)
• Réflexivité : une relation R est réflexive si pour tout x, alors
xRx
•
Exemple : la relation "à coté de" définie sur Ob
des objets matériels est symétrique
robert
Exemple : la relation "est située au même endroit" définie sur Ob × Ob est
réflexive
Exemple : la relation "posée sur" définie sur Ob × Ob est antisymétrique
• Transitivité : une relation R est transitive si pour tout x, y et z
tels que xRy et yRz, alors xRz
•
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Exemple : la relation "à coté de" est transitive
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Fermetures des relations
• Fermeture d’une relation binaire : Soit R une relation binaire
définie sur un ensemble E. On appelle fermeture réflexive, de
R la plus petite (au sens de l’inclusion) relation réflexive définie
sur E contenant R. On note r(R) la fermeture réflexive de R,
t(R) sa fermeture transitive, s(R) sa fermeture symétrique.
• Théorème 1 : Soit R une relation binaire sur un ensemble E.
• Antiréflexivité : une relation R est anti-réflexive si pour tout x,
alors xRx est faux
•
Exemple : la relation "est posée sur" est antiréflexive
– r(R) = R ∪ Id
(Id = relation d’identité)
– t(R) = ∪ Ri i=1..∞ (Ri = RoRo .. oR i fois)
– s(R) = R ∪ R -1
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2
Fonctions, applications (1/2)
• Fonction : une fonction d'un ensemble E vers un ensemble F
est une relation de E vers F pour laquelle tout élément x de E
est en relation avec au plus un élément y de F
– on note y = f(x) et on dit que y est l’image de x par f et que x
est l’antécédent de y par f.
– l'ensemble des éléments x de E pour lesquels il existe un
élément de F en relation avec x est appelé ensemble de
définition de la fonction f.
Fonctions, applications (2/2)
• Injection : une application de E vers F est dite injective lorsque
deux éléments distincts de E ont toujours des images
distinctes dans F.
• Surjection : une application de E vers F est dite surjective
lorsque tout élément de F admet au moins un antécédent
dans E.
• Application : une application d'un ensemble E vers un
ensemble F est une relation de E vers F pour laquelle tout
élément de E est en relation avec exactement un élément de
F. C'est une fonction de E vers F dont le domaine de définition
est E.
• Bijection : une application de E vers F est dite bijective
lorsqu'elle est à la fois injective et surjective.
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Relations d’équivalence
• Relation d’équivalence : une relation d’équivalence (notée ≡)
est une relation réflexive, transitive et symétrique.
•
Exemples : - la relation de proximité spatiale "à coté de"
- dans Z, la relation définie par aRb ssi a-b est pair
• Classe d’équivalence : la classe d’équivalence d’un élément x
d’un ensemble E relative à une relation d’équivalence ≡ est
l’ensemble des éléments y de E tels que x ≡ y (ou y ≡ x)
•
Ensembles quotient
• Ensemble quotient : le quotient d’un ensemble E par une
relation d’équivalence ≡ est l’ensemble dont les éléments sont
les classes d’équivalences des éléments de E relativement à ≡.
• Exemples : - le quotient de l’ensemble {Pierre, Paul, Jacques, Marie,
Jeanne} par la relation « a même sexe » est
{{Pierre,Paul,Jacques}, {Marie,Jeanne}}
- le quotient de N par la relation R définie par xRy ssi x-y est
multiple de 2 est l’ensemble réduit à deux éléments,
l’ensemble des entiers pairs et l’ensemble des entiers impairs
Théorè me 2 : l’ ensemble des classes d’équivalence qu’une
relation d’équivalence induit sur un ensemble E est une
partition de E. Inversement, toute partition de E induit une
relation d’équivalence.
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2005/2006
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Relations d’ordre
Ensembles ordonnés
• Relation d’ordre : une relation d’ordre partiel (notée ≤) est une
relation réflexive, transitive et antisymétrique. Une relation
antiréflexive, transitive et antisymétrique est une relation
d’ordre strict (une relation réflexive et transitive est appelée préordre).
• Ensemble ordonné (ou partiellement ordonné) : un ensemble E
ordonné est un ensemble muni d’une relation d’ordre ≤. On
note cet ensemble (E, ≤ ).
•
Exemples : - la relation « plus grand que »
- dans N, la relation définie par aRb ssi a divise b
• Elément dominant : dans E muni de ≤, un élément x domine
un élément y si y ≤ x et qu’il n’ existe pas d’élément z tel que
y ≤ z ≤ x. On dit aussi que x est le successeur de y.
•
Exemples : - dans N muni de la relation de division, 4 domine 2
- dans N muni de la relation « plus grand que », 3 domine 2
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• Ensemble totalement ordonné (ou chaine) : un ensemble E est
totalement ordonné si pour tout couple (x,y) d’éléments de E,
x ≤ y ou y ≤ x
•
Notes : - un ensemble peut être doté de plusieurs relations d’ordre
- toute relation d’ordre ≤ admet une relation duale ≥
- tout ensemble ordonné (E, ≤) admet un dual (E, ≥)
•
Exemples : - l’arborescence d’un système de fichiers est partiellement
ordonnée
- l’ordre lexicographique est un ordre total permettant de trier des
chaînes de caractères
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3
Représentation des
ensembles ordonnés (1/2)
• Diagramme de Hasse : sur un ensemble E ordonné
par ≤, pour tout couple d’éléments (x,y) tels que x ≤ y
et ¬∃ z dans E tel que x ≤ z ≤ y (y domine x), on crée
un arc fléché de x à y
Représentation des
ensembles ordonnés (2/2)
• Dans le cas d’un ensemble totalement ordonné, par
transitivité de la relation d’ordre, le diagramme devient
une « chaine »
{1,2,3}
•
Exemple : l’ensemble des parties
de {1,2,3} ordonné par la relation
d’inclusion.
{1,2}
{1}
{1,3}
u
{2,3}
y
{2} {3}
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t
v
x
∅
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z
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Profondeur et hauteur
2005/2006
Extension linéaire
• Soit E un ensemble ordonné. Considérons les sous-ensembles
totalement ordonnés de E.
• Extension : si un ensemble E est ordonné par <, tout ordre «
sur E tel que x < y ==> x « y est appelé une extension de <.
• Hauteur : la hauteur d’un élément x de E est le maximum, s’il
existe, de la longueur des chaînes admettant x comme élément
maximum
• Extension linéaire : en particulier si « est un ordre total il est
appelé une extension linéaire de <.
• Profondeur : la profondeur d’un élément x de E est le
maximum, s’il existe, des longueurs des chaînes admettant x
comme élément minimum
•
Exemple : - la relation d’ordre aRb ssi a divise b ordonne N. La relation
d’ordre usuelle sur N est une extension linéaire de la
précédente.
•
•
Note : - dans le cas des ensembles finis ou dénombrables, une extension
linéaire « d'un ordre < permet d'énumérer les éléments selon l'ordre
croissant (pour «), cette énumération étant compatible avec l'ordre
d'origine <.
Exemples : - dans N muni de la relation aRb ssi a divise b, les nombres
premiers ont pour hauteur 1
- dans l’ensemble des parties de {1,2,3} muni de l’inclusion, la
profondeur de {3} est 2
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2005/2006
Linéarisation d’un ordre partiel
•
Tout ordre partiel peut être étendu à un ordre total. Il n'y a pas en général
unicité de l'extension et l'une de ces extensions peut être obtenue à l'aide du
tri topologique.
•
Algorithme du tri topologique : on l'applique au graphe sans boucle d'un
ordre partiel.
1- on initialise une liste vide
2- on associe à chaque sommet son degré entrant
3- on choisit un sommet de degré entrant 0
– on l'ajoute à la liste
– on le marque
– on diminue de 1 le degré entrant de tous ses successeurs
4- on recommence en 3 jusqu'à épuisement des sommets non marqués
•
La liste obtenue est la linéarisation de l'ordre initial. On en déduit un ordre
total compatible avec l'ordre partiel de départ. Un tri topologique d’un
ensemble E est une numérotation des éléments de E, c’est-à-dire une
injection de E dans N respectant l’ordre naturel sur N.
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2005/2006
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2005/2006
Exemple de tri topologique
[]
[∅ ]
{1,2,3}
[∅ ,{1}]
{1,3}
[∅ ,{1},{2}]
{2,3}
{1,2}
[∅ ,{1},{2},{3}]
[∅ ,{1},{2},{3},{1,2}]
{1}
{2} {3}
[∅ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3}]
[∅ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}]
∅
[∅ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}]
Mais [∅ ,{1},{3},{1,3},{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}] est aussi une
extension linéaire de cet ordre partiel
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4
Eléments particuliers dans
un ensemble ordonné (1/3)
Eléments particuliers dans
un ensemble ordonné (2/3)
• Dans un ensemble E muni d’une relation d’ordre ≤ :
– x est un minorant (resp. majorant) de y si x ≤ y (resp. y
– x ∈ E est maximal (resp. minimal) s’il n’a pas d’autre
majorant dans E (resp. minorant) que lui-même
≤ x)
– x est la borne supérieure de E (notée sup(E)) s’il est le plus
petit des majorants de E
– x ∈ E est le maximum (ou universel) de E si ∀y ∈ E, y
– x ∈ E est le minimum (ou élément nul) de E si ∀y ∈ E, x ≤ y
– x est la borne inférieure de E (notée inf(E)) s’il est le plus
grand des minorants de E
•
•
Exemple : b est la borne sup de [a,b] sur (R, ≤) et aussi celle de [a,b[
•
Note : un majorant ou minorant, et donc une borne supérieure ou
inférieure n’existe par toujours ([0,+∞[ n’a pas de majorant)
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Notes : - un maximum ou un minimum n’existe pas toujours (N muni de la
relation de divisibilité n’a pas de maximum)
- un maximal ou un minimal n’existe pas toujours (l’intervalle réel
[a,b[ n’a pas de maximal, mais il a un majorant)
- dans le cas où un maximum (resp. minimum) existe, il est le seul
élément maximal (resp. minimal) de E
- dans le cas d’un ordre total, les notions de minimum (resp.
maximum) et de minimal (resp. maximal) sont confondues
• Différence entre maximum et maximal :
– E, C et D sont maximaux mais pas maximums
• Dans l'ensemble ordonné de la figure :
– Le sous-ensemble {D,E,F} possède 4 majorants A,
B, C, D et une borne inf D. D est maximal et
maximum. E et F sont minimaux (mais pas
minimums).
– Le sous-ensemble {A,B,C,D} ne possède aucun
majorant, 3 minorants E, D et F et une borne inf D.
B et C sont maximaux mais non maximums et D
est minimal et minimum.
C D
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Ensemble ordonné fini
•
•
C
B
– Le sous-ensemble {D,E,F,G} ne possède ni
majorant ni minorant
E
B
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Exemples d'éléments
remarquables
A
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Exemples : - dans l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble E, E est
le maximum et ∅ le minimum
- dans N muni de la relation de divisibilité, 1 est minimum, il n’y a
pas de maximum
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Eléments particuliers dans
un ensemble ordonné (2/2)
•
Théorè me 3 : Soit A une partie finie non vide d’un ensemble
ordonné (E,≤). Pour tout x de A, il existe dans A un minimal m
et un maximal s tels que m ≤ x ≤ s.
Preuve : par induction sur |A|. Vrai pour |A|=1. Supposons la
propriété vraie pour |A|=n-1. Soit x de A tel que |A|=n et B=A\{y}
où y≠x. B contient donc un maximal s et un minimal m tels que
m ≤ x ≤ s. 3 cas se pr ésentent :
s ≤ y : posons s’ = y et m ’ = m
y ≤ m : posons s’ = s et m ’ = y
– m ≤ y ≤ s : posons m ’ = m et s’ = s
≤x
A
H
D
G
E
F
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Ordre bien fondé
• Ordre bien fondé : un ordre sur un ensemble E est dit bien
fondé (ou noethérien) si toute partie non vide de E admet un
élément minimal.
•
Exemple : - une arborescence de fichiers muni de l’ordre « est sous-arbre
de » est bien fondée
–
–
•
Dans les 3 cas, s ’ et m’ sont les maximal et minimal cherchés.
• Théorème 4 : dans un ordre bien fondé, tout élément non
maximal admet un dominant.
Corollaire : Tout ensemble ordonn é fini admet un maximal et un
minimal. En particulier, toute chaîne finie admet un maximum et
un minimum.
• Preuve : soit x un élément non maximal de (E,≤) bien fondé et
F={y∈E, x ≤ y}. F n’ est pas vide puisque x n’ est pas maximal,
donc F admet un minimal qui est clairement un dominant de x.
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5
Définition ensembliste
des Treillis
Bon ordre
• Bon ordre : un bon ordre sur un ensemble E est un ordre tel
que toute partie non vide de E admet un minimum.
•
Exemples : - (N,≤) est un ensemble bien ordonné mais pas (Z,≤)
• Théorème 5 : un ordre est bon si et seulement s’il est bien
fondé et total.
• Preuve : la condition suffisante est évidente. Un bon ordre est
clairement bien fondé. De plus, toute partie à 2 éléments admet
un minimum, donc deux éléments quelconques sont
comparables.
• Treillis : Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel toute
paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne
inférieure, c’est-à-dire qu’étant donnés deux éléments x et y,
l’ensemble des majorants communs à x et y n’est pas vide et
admet un minimum noté x ∨ y et l’ensemble de leurs minorants
communs n’est pas vide et admet un maximum noté x ∧ y.
•
Note : - on parle aussi de demi-treillis. Un inf-demi-treillis (resp. sup-demitreillis) est un ensemble ordonné où toute paire d’éléments admet
une borne inférieure (resp. supérieure).
- un treillis T admet un dual T’ tel que ∧ ≡ ∨’ et ∨ ≡ ∧’
•
Exemples : - N muni de la relation divise (∧ = pgcd et ∨ = ppcm)
- tout ensemble totalement ordonné
- l’ensemble des parties d’un ensemble ordonné par l’inclusion
(x ∨ y = x ∪ y et x ∧ y = x ∩ y)
• Corollaire : dans un ensemble bien ordonné, tout élément non
maximum admet un dominant unique.
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Treillis et diagramme de Hasse
b
Deux exemples de treillis
e
e
d
c
c
a
a
f
d
b
Un contre-exemple de
treillis
f
d
e
b
c
a
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Partie finie d’un treillis
• Théorème 6 : toute partie finie d’un treillis admet une borne
inférieure et une borne supérieure.
• Preuve : toute partie de cardinal 1 ou 2 vérifie la propriété.
Supposons la propriété vraie pour toute partie de cardinal n-1
et soit P={x1, .. ,xn} une partie à n éléments. P\{xn} admet un inf
a et un sup b. La partie {a,xn}, ayant deux éléments, admet un
inf qui est celui de P et la partie {b,xn}, ayant deux éléments,
admet un sup qui est celui de P.
• Corollaire : tout treillis fini admet une borne inférieure et une
borne supérieure
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Sous-treillis
• Sous-treillis : une partie (P, ≤) d’un treillis (T, ≤) est un soustreillis de T si pour tout x et y de P, x ∧ y et x ∨ y sont dans P.
Treillis E défini par son
diagramme de Hasse
e
{a,b,c,d}, muni du même
ordre, est un sous-treillis de E
d
b
c
a
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{a,b,c,e}, muni du même
ordre, est un treillis mais pas un
sous-treillis de E
2005/2006
2005/2006
Treillis complets (1/2)
• Treillis complet : un treillis est dit complet lorsque toute partie
non vide admet une borne supérieure et une borne inférieure.
•
Note : - si dans un treillis complet, il n’existe pas de minimum ou maximum,
il est toujours possible de rajouter les inf et sup, qui sont notés ⊥
(bottom) et T (top)
•
Exemples : - tout treillis fini est complet
- l’ensemble des parties d’un ensemble muni de l’inclusion est
un treillis complet avec sup({Ei})=Ui Ei et inf({Ei})=∩i Ei
- (N,≤) est un inf-demi-treillis complet mais pas un treillis
complet
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2005/2006
6
Treillis complets (2/2)
• Théorème 7 : tout treillis sans chaîne infinie est complet.
• Preuve : soit A une partie non vide d’un treillis T sans chaine
infinie. Soit x0 un élément de A. Si x0 est un minorant de A, c’est
le minimum et x0=inf(A). Sinon, il existe un élément x1 de A tel
que ¬(x0≤ x1) et donc (x1 ∧ x0) ≤ x0. Si x1 ∧ x0 est un minorant de
A, alors x1 ∧ x0 = inf(A) car pour tout minorant m de A, m≤x0 et
m≤x1 donc m ≤ x1 ∧ x0. Sinon il existe un élément x2 de A tel que
(x2 ∧ x1 ∧ x0) ≤ (x1 ∧ x0) ≤ x0. Puisque le treillis ne contient pas
de chaine infinie, le processus s’arrête au bout d’un temps fini
et conduit à inf(A). De même pour sup(A).
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2005/2006
Morphismes d’ordre (1/2)
• Morphisme d’ordre : soient (E1,≤1) et (E2,≤2) deux treillis. Une
fonction f : E 1→E2 est un morphisme d’ordre si pour tout x et y
de E 1, x ≤1 y => f(x) ≤2 f(y). Un morphisme est donc une
fonction qui respecte l'ordre. Un morphisme d’ordre est aussi
appelé fonction croissante.
•
Note : - une fonction décroissante est définie par x ≤ 1 y => f(y) ≤2 f(x)
- on utilise parfois le terme d’homomorphisme à la place de
morphisme
•
Exemples :
– l'application note de {Albert, Bertrand, Caroline, Hervé}, ordonné par
l'ordre lexicographique dans {11,12,13}, ordonné par l'ordre naturel des
entiers et définie par note(Albert) = 11, note(Bertrand) = 13,
note(Caroline) = 12 et note(Hervé) = 13 n'est pas un morphisme d'ordre
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Morphismes d’ordre (2/2)
– l'application taille définie entre les ensembles {Albert, Bertrand, Caroline,
Hervé}, ordonné par l'ordre lexicographique dans {160,167,182,190},
ordonné par l'ordre naturel des entiers et définie par taille(Albert) = 160,
taille(Bertrand) = 167, taille(Caroline) = 182 et taille(Hervé) = 190 est un
morphisme d'ordre
• Isomorphisme : un isomorphisme est un morphisme bijectif.
Dans ce cas, on a ∀x,y de E 1, x ≤1 y <=> f(x) ≤2 f(y)
• Endomorphisme : un endomorphisme est un morphisme d’un
ensemble dans lui-même
2005/2006
Morphismes de treillis
• Morphisme de treillis : soient (E 1,≤1) et (E2,≤2) deux treillis. Une
fonction f : E 1→E2 est un morphisme de treillis si pour tout x et
y de E1, f(x) ∧ f(y)=f(x ∧ y) et f(x) ∨ f(y)=f(x ∨ y). Un morphisme
qui respecte ∨ est un ∨-morphisme, et un morphisme qui
respecte ∧ est un ∧-morphisme. Un morphisme est à la fois ∨morphisme et ∧-morphisme.
• Théorème 8 : tout morphisme de treillis est un morphisme
d’ordre
• Preuve : si x ≤1 y, x ∧ y = x et f(x) = f(x) ∧ f(y) donc f(x) ≤2 f(y)
•
Note : - un morphisme d’ordre n’est pas forcément un morphisme de treillis
• Automorphisme : un automorphisme est un endomorphisme
bijectif
•
Exemple : - Id : (N,div) → (N,≤ ). 4 ∨ 6 = 12 dans (N,div) et 4 ∨ 6 = 6 dans
(N, ≤) donc Id(4 ∨ 6) = 12 ≠ Id(4) ∨ Id(6) = 6.
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Isomorphismes
Point fixe (1/2)
• Théorème 9 : soient deux ensembles ordonnés (E1,≤) et (E2,≤2)
isomorphes (d’ordre). Si l’un est un treillis, l’autre aussi, et ils
sont isomorphes (de treillis).
• Point fixe : une fonction f : E→E admet un point fixe x si f(x) = x.
• Preuve : soit f la bijection d’ordre de E1 dans E2. Supposons
que E 1 soit un treillis, donc x ∧ y existe. f(x ∧ y) est un minorant
de {f(x),f(y)} car x ∧ y ≤1 x => f(x ∧ y) ≤2 f(x) et x ∧ y ≤1 y => f(x ∧
y) ≤2 f(y). Montrons que c’est le plus grand minorant. Soit m un
minorant de {f(x),f(y)}. Puisque f est un isomorphisme (d’ordre),
il existe z dans E1 tel que m = f(z) avec z ≤1 x et z ≤1 y. Donc z
≤1 (x ∧ y) et donc m = f(z) ≤2 f(x ∧ y). Par dualité, on montre
aussi que f est un ∨-morphisme. Et par bijection, on montre la
propriété si E2 est un treillis.
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• Rôle des points fixes en programmation :
public int fact(int n){
if(n == 0) return 1;
else return n*fact(n-1);
}
•
Soit le programme suivant :
•
Posons f la fonction qui à un programme P
associe le programme suivant travaillant
sur un entier n donné en entrée
•
if(n == 0) return 1;
else return n*P(n-1);
La fonction fact définie précédemment est le point fixe de la fonction f.
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Point fixe (2/2)
• La notion de point fixe apparait également dans les boucles qui
peuvent être décrites comme des récursions.
•
Exemple : la boucle while(cond) inst;
de la fonction récursive suivante
peut être écrite sous forme
public void boucle(){
if(cond){
inst;
boucle();
}
}
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Théorème de point fixe
• Théorème (Knaster-Tarski, 1942) : toute fonction croissante
d’un treillis complet dans lui-même admet un plus petit et un
plus grand point fixe (c’est-à-dire que l’ensemble des points
fixes admet un inf et un sup)
• Preuve : soit f une fonction croissante d’un treillis complet (T,≤)
dans lui-même. Posons F={x∈T, f(x) ≤ x}. F est non vide car
sup(T) existe et sup(T) ∈ F (au besoin on le rajoute). Donc F
admet une borne inférieure a = inf(F). f étant croissante, ∀ x ∈
F, a ≤ x => f(a) ≤ f(x) ≤ x. Donc f(a) est un minorant de F et f(a)
≤ a. Donc a ∈ F et est le minimum de F. Ainsi, si a est un point
fixe de f, ce sera le plus petit, car tout point fixe de f est dans F.
Or f(a) ≤ a => f(f(a)) ≤ f(a), donc f(a) ∈ F, d’où a ≤ f(a).
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Point fixe et informatique
• La notion de point fixe et le théorème de point fixe sont utilisés
largement en informatique
– base de données : mise à jour des données
– analyse de programme et compilation : transformation des
boucles et récursions en points fixes, contrôle de
terminaison
– contrôle de systèmes : stabilité, vérification de système
– ...
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