Séries enti`eres, fonctions holomorphes

Universit´e de Bourgogne Licence de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques Compl´ements d’analyse
Chapitre 5: S´eries enti`eres, fonctions holomorphes
Dans ce chapitre, on travaille dans C: les fonctions fconsid´er´ees sont des fonctions complexes
de la variable complexe z:z∈C,f(z)∈C.
On note D(a, r) le disque ouvert de centre aet de rayon r > 0 dans Cet D0(a, r) le disque
ouvert priv´e de son centre:
D(a, r) = {z∈C,|z−a|< r}, D0(a, r) = {z∈C,0<|z−a|< r}.
1. D´efinition et exemples de s´eries enti`eres
D´efinition (S´erie enti`ere)
Soit (an)n∈Nune suite de nombres complexes. Si zest un nombre complexe, la s´erie Panzn
s’appelle une s´erie enti`ere et les ansont les coefficients de Panzn,zs’appelle la variable de la
s´erie.
Exemples
1/ an= 1 pour tout n, la s´erie Pznest la s´erie g´eom´etrique, elle converge si et seulement si
|z|<1. Sa somme est la fonction fd´efinie sur D(0,1) par:
f(z) =
∞
X
n=0
zn=1
1−z.
2/ an=1
n!, la s´erie Panznconverge absolument pour toute valeur de z. Sa somme est une
fonction d´efinie sur tout Cque l’on appelle l’exponentielle complexe:
ez=
∞
X
n=0
zn
n!.
3/ ap= 0 sauf si pest un carr´e et an2= 1 pour tout n. On note Pzn2la somme de cette s´erie
qui converge absolument si |z|<1 et diverge grossi`erement si |z| ≥ 1.
4/ an=1
n. La s´erie Pzn ndiverge grossi`erement si |z|>1, converge absolument si |z|<1, converge
si z=−1, diverge si z= 1.
2. Rayon de convergence
1

C’est une notion fondamentale. On s’int´eresse `a la convergence absolue de la s´erie Panzn.
Soit Il’ensemble des nombres r´eels positifs ou nuls rtels que la suite (|an|rn)n∈Nest major´ee. 0
appartient `a I, si rappartient `a Iet si 0 ≤r0< r, alors r0appartient aussi `a I. Donc Iest l’union
des intervalles [O, r] pour :
I=[
r∈I
[0, r].
Comme Oappartient `a tous ces intervalles et que chaque intervalle est connexe, Iest connexe c’est
un intervalle.
(On peut aussi poser R= +∞si In’est pas major´ee et R= sup(I) sinon alors [0, R[⊂I.)
Lemme d’Abel (Convergence absolue et normale de la s´erie)
Soit Panznune s´erie enti`ere et z0un nombre complexe tel que (anzn
0)est born´ee, alors:
a. Pour tout ztel que |z|<|z0|, la s´erie Panznest absolument convergente,
b. Pour tout rtel que r < |z0|, la s´erie Panznest normalement convergente sur D(0, r).
Preuve
Si on a b, on a aussi a. Prenons donc r < |z0|. Pour tout ztel que |z| ≤ ret tout n, on a:
|anzn|=|anzn
0||z|
|z0|n
≤ |anzn
0|r
|z0|n
.
Par hypoth`ese, il existe Mtel que pour tout n,|anzn
0| ≤ M, et la s´erie num´erique de terme g´eneral
Mr
|z0|n
est convergente. Ceci prouve b.
D´efinition (Rayon de convergence)
Si In’est pas major´e, on dit que le rayon de convergence de Panznest infini, on le note R=∞.
Si Iest major´e, on dit que le rayon de convergence de la s´erie Panznest R= sup I.
Si In’est pas major´e, on a I= [0,+∞[ et la s´erie Panznconverge absolument pour tout zde
C.
Si Iest major´e, on a soit I= [0, R], soit I= [0, R[ et la s´erie converge absolument pour tout z
de Ctel que |z|< R et P|anzn|diverge pour tout zde Ctel que |z|> R.
Si le terme g´en´eral d’une s´erie ne tend pas vers 0, la s´erie diverge. Dans ce cas, on dit que cette
s´erie diverge grossi`erement.
Proposition (La divergence est grossi`ere)
Si Rest fini, la s´erie Panzndiverge grossi`erement pour tout ztel que |z|> R.
Preuve
C’est en fait ´evident, si |z|> R, la suite (anzn) n’est pas born´ee, elle ne tend donc pas vers 0.
Le disque D(0, R) de centre 0 et de rayon Rs’appelle le disque de convergence de la s´erie
Pnanzn. Sur le cercle |z|=R, la s´erie peut converger partout, diverger partout, converger en
certains points, diverger en d’autres points.
Calcul pratique du rayon de convergence
Grˆace `a d’Alembert, si la limite suivante existe:
lim
n→∞ 
an+1
an
=`(fini ou infini),
alors R=1
`(R= 0 si `est infini, R=∞si `= 0).
2

Grˆace `a Cauchy, si la limite suivante existe:
lim
n→∞
n
p|an|=`(fini ou infini),
alors R=1
`(R= 0 si `est infini, R=∞si `= 0).
Ceci donne les convergences des exemples de 1.
Prouvons par exemple Cauchy: si limn→∞ n
p|an|=` > 0, alors si r < 1
`, la suite ( n
p|an|rtend
vers `r < 1, les termes de la suite sont donc inf´erieurs `a 1 `a partir d’un certain rang, donc `a partir
d’un certain rang |anrn|<1 et la suite (anrn) est major´ee, r∈I, donc 1
`≤R.
Si r > 1
`, la suite ( n
p|an|rtend vers `r > 1, les termes de la suite sont donc sup´erieurs `a α > 1
`a partir d’un certain rang, la suite (anrn) tend vers l’infini, n’est pas major´ee, r /∈I, donc 1
`≥R.
De fa¸con g´en´erale, on a la formule d’Hadamard.
Proposition (Formule d’Hadamard)
Si {n
p|an|} est born´e, posons
`= lim sup
n
{n
p|an|} = inf
nsup{p
q|ap|, p ≥n},
sinon, posons `= +∞. Alors on a:
R=1
`.
Preuve
Supposons que `est fini et positif. Soit r < 1
`, ou 1 r> `, il existe Ntel que
sup{p
q|ap|, p ≥N}<1
r.
Donc
∀p≥N, p
q|ap|rp<1,|aprp|<1,
la suite (|an|rn) est born´ee et r∈I. Donc 1
`≤R.
Si r > 1
`, soit r0tel que r > r0>1 `. Alors ` > 1 r0, pour tout n, sup{p
p|ap|, p ≥n}>1
r0, il
existe pntel que
pn≥net pn
q|apn|r0pn>1,|apn|r0pn>1.
On construit par r´ecurrence une suite (pk) telle que pk+1 > pkpour tout ket |apk|r0pk>1. On
a:
|apk|rpk>r
r0pk|apk|r0pk>r r0pk→+∞
et la suite (|an|rn) n’est pas born´ee, r /∈I. Donc 1
`≥R.
Les cas `= 0 ou `=∞se d´emontrent de mˆeme, mais il n’y a qu’une in´egalit´e `a prouver.
3. Op´erations sur les s´eries enti`eres
Prolongeons `a Rl’ordre sur Ren posant a < ∞pour tout ade R. On peut alors parler de
min{R, R0}, max{R, R0}si Ret R0sont r´eels ou ∞.
3

Proposition (Somme de s´eries enti`eres)
Soit Panznet Pbnzndeux s´eries enti`eres de rayon de convergence respectifs Ret R0. Alors le
rayon de convergence R00 de la s´erie P(an+bn)znv´erifie toujours R00 ≥min{R, R0}et si R6=R0,
R00 = min{R, R0}.
Le rayon de convergence de la s´erie Pλanznest Rsi λ6= 0,∞si λ= 0.
Preuve
Il suffit de rappeler que la somme de deux s´eries convergentes est une s´erie convergente. Le rayon
de la s´erie P(an+bn)znpeut ˆetre beaucoup plus grand que min{R, R0}(prenez bn=−an= 1
pour tout npar exemple).
On sait que les termes de degr´e au plus ndu produit de deux polynˆomes de degr´e n:P(z) =
a0+a1z+... +anznet Q(z) = b0+b1z+... +bnznsont de la forme cpzpavec
cp=a0bp+a1bp−1+... +apb0.
On pose donc
D´efinition (Produit de deux s´eries enti`eres)
Le produit des deux s´eries enti`eres Panznet Pbnznest la s´erie enti`ere Pcnzno`u
cn=a0bn+a1bn−1+... +anb0∀n.
Proposition (Produit de deux s´eries enti`eres)
Soit Panznune s´erie enti`ere de rayon de convergence Ret Pbnznune s´erie enti`ere de rayon
de convergence R0. Alors la s´erie enti`ere Pcnznproduit de ces s´eries a un rayon de convergence
R00 tel que R00 ≥min{R, R0}.
De plus pour tout ztel que |z|<min{R, R0}, on a:
+∞
X
n=0
cnzn= +∞
X
n=0
anzn! +∞
X
n=0
bnzn!.
Preuve
On montre que la s´erie Pcnznest absolument convergente si |z|<min{R, R0}. En fait pour
ces z, les deux s´eries PanznetPbnznsont absolument convergentes, donc il existe Met M0tels
que pour tout N:
N
X
n=0
|an||z|n≤M,
N
X
n=0
|bn||z|n≤M0.
Mais alors, pour tout N,
N
X
n=0
|cn||z|n=
N
X
n=0
|anb0+. . . +a0bn||z|n
≤
N
X
n=0
|an||b0||z|n+. . . +|a0||bn||z|n
≤
N
X
p=0
|ap||z|p
N
X
q=0
|bq||z|q≤MM0.
4

La s´erie Pcnznest donc bien absolument convergente.
4. Fonctions holomorphes
D´efinition et Proposition (S´erie d´eriv´ee)
Soit Panznune s´erie enti`ere. On appelle s´erie d´eriv´ee de cette s´erie la s´erie P(n+ 1)an+1zn.
Si Rest le rayon de convergence de la s´erie Panzn, alors le rayon de convergence de sa s´erie
d´eriv´ee est encore R.
Preuve
Soit r < R et r0tel que r < r0< R. La suite ((n+ 1)|an+1|rn) est major´ee par:
(n+ 1)|an+1|rn= (n+ 1) r
r0n1 r0|an+1|r0n+1 ≤M|an+1|r0n+1
si Mest un majorant de la suite ((n+ 1) r
r0n1 r0) qui tend vers 0. Donc la suite ((n+ 1)|an+1|rn)
est born´ee, le rayon de convergence R0de la s´erie d´eriv´ee est tel que R0≥R.
Si maintenant r > R, on sait que la suite (|an|rn) n’est pas born´ee, donc la suite ((n+
1)|an+1|rn=1
r((n+ 1)|an+1|rn+1) n’est pas born´ee non plus, R0≤R, donc R0=R.
D´efinition (Fonction holomorphe)
Soit fune fonction complexe de la variable complexe. On dit que cette fonction est C-d´erivable
en un point z0s’il existe un nombre complexe not´e f0(z0)tel que:
lim
z→z0
f(z)−f(z0)
z−z0
=f0(z0),
ou:
∀ε > 0,∃η > 0tel que ∀z, 0<|z−z0|< η =⇒
f(z)−f(z0)
z−z0
−f0(z0) < ε.
Une fonction C-d´erivable en tout point d’un ouvert Ude Cest dite holomorphe sur U. La
fonction z7→ f0(z)s’appelle la fonction d´eriv´ee de f
Si on note z=x+iy, on peut consid´erer la fonction fcomme une fonction Fde U⊂R2dans
R2en posant f(x+iy) = P(x, y) + iQ(x, y) ou :
F(x, y) = P(x, y)
Q(x, y).
Dire que f0(z0) = a+ib est la d´eriv´ee de fen z0=x0+iy0, c’est dire que Fest diff´erentiable
en (x0, y0) et que sa matrice jacobienne en ce point est J=a−b
b a . En effet, d’une part |z|=
px2+y2=
x
y
, d’autre part f0(z0)(h+ik) = (a+ib)(h+ik) = ah −bk +i(ak +bh) = Jh
k.
Donc
0 = lim
|h+ik|→0
f(z0+ (h+ik)) −f(z0)
h+ik −(a+ib)
= lim
h
k
→0
1
h
k
F(x0+h, y0+k)−F(x0, y0)−Jh
k
.
5