Séries enti`eres, fonctions holomorphes

Université de Bourgogne
Licence de Mathématiques
Département de Mathématiques
Compléments d’analyse
Chapitre 5: Séries entières, fonctions holomorphes
Dans ce chapitre, on travaille dans C: les fonctions f considérées sont des fonctions complexes
de la variable complexe z: z ∈ C, f (z) ∈ C.
On note D(a, r) le disque ouvert de centre a et de rayon r > 0 dans C et D0 (a, r) le disque
ouvert privé de son centre:
D0 (a, r) = {z ∈ C, 0 < |z − a| < r} .
D(a, r) = {z ∈ C, |z − a| < r} ,
1. Définition et exemples de séries entières
Définition (Série entière)
P
Soit (an )n∈N une suite de nombres complexes. Si z est un
complexe, la série
an z n
P nombre
an z n , z s’appelle la variable de la
s’appelle une série entière et les an sont les coefficients de
série.
Exemples
P n
1/ an = 1 pour tout n, la série
z est la série géométrique, elle converge si et seulement si
|z| < 1. Sa somme est la fonction f définie sur D(0, 1) par:
f (z) =
∞
X
zn =
n=0
1
.
1−z
P
1
2/ an = n!
, la série
an z n converge absolument pour toute valeur de z. Sa somme est une
fonction définie sur tout C que l’on appelle l’exponentielle complexe:
ez =
∞
X
zn
.
n!
n=0
P n2
3/ ap = 0 sauf si p est un carré et an2 = 1 pour tout n. On note
z la somme de cette série
qui converge absolument si |z| < 1 et diverge grossièrement si |z| ≥ 1.
P zn
4/ an = n1 . La série
n diverge grossièrement si |z| > 1, converge absolument si |z| < 1, converge
si z = −1, diverge si z = 1.
2. Rayon de convergence
1
P
C’est une notion fondamentale. On s’intéresse à la convergence absolue de la série
an z n .
n
Soit I l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls r tels que la suite (|an |r )n∈N est majorée. 0
appartient à I, si r appartient à I et si 0 ≤ r0 < r, alors r0 appartient aussi à I. Donc I est l’union
des intervalles [O, r] pour :
[
I=
[0, r].
r∈I
Comme O appartient à tous ces intervalles et que chaque intervalle est connexe, I est connexe c’est
un intervalle.
(On peut aussi poser R = +∞ si I n’est pas majorée et R = sup(I) sinon alors [0, R[⊂ I.)
LemmePd’Abel (Convergence absolue et normale de la série)
Soit
an z n une série entière et z0 un nombre
complexe tel que (an z0n ) est bornée, alors:
P
a. Pour tout z tel que |z| < |z0 |, la sérieP an z n est absolument convergente,
b. Pour tout r tel que r < |z0 |, la série
an z n est normalement convergente sur D(0, r).
Preuve
Si on a b, on a aussi a. Prenons donc r < |z0 |. Pour tout z tel que |z| ≤ r et tout n, on a:
n
|an z | =
|an z0n |
|z|
|z0 |
n
≤
|an z0n |
r
|z0 |
n
.
Parhypothèse,
il existe M tel que pour tout n, |an z0n | ≤ M , et la série numérique de terme géneral
n
M |zr0 |
est convergente. Ceci prouve b.
Définition (Rayon de convergence)
P
Si I n’est pas majoré, on dit que le rayon de convergence de anP
z n est infini, on le note R = ∞.
Si I est majoré, on dit que le rayon de convergencePde la série
an z n est R = sup I.
Si I n’est pas majoré, on a I = [0, +∞[ et la série
an z n converge absolument pour tout z de
C.
Si I est majoré, on aP
soit I = [0, R], soit I = [0, R[ et la série converge absolument pour tout z
de C tel que |z| < R et
|an z n | diverge pour tout z de C tel que |z| > R.
Si le terme général d’une série ne tend pas vers 0, la série diverge. Dans ce cas, on dit que cette
série diverge grossièrement.
Proposition (La divergence
grossière)
P est
Si R est fini, la série
an z n diverge grossièrement pour tout z tel que |z| > R.
Preuve
C’est en fait évident, si |z| > R, la suite (an z n ) n’est pas bornée, elle ne tend donc pas vers 0.
D(0, R) de centre 0 et de rayon R s’appelle le disque de convergence de la série
P Le disque
n
n an z . Sur le cercle |z| = R, la série peut converger partout, diverger partout, converger en
certains points, diverger en d’autres points.
Calcul pratique du rayon de convergence
Grâce à d’Alembert, si la limite suivante existe:
an+1 = ` (fini ou infini),
lim n→∞ an alors R =
1
`
(R = 0 si ` est infini, R = ∞ si ` = 0).
2
Grâce à Cauchy, si la limite suivante existe:
lim
n→∞
p
n
|an | = ` (fini ou infini),
alors R = 1` (R = 0 si ` est infini, R = ∞ si ` = 0).
Ceci donne les convergences des exemples de
p 1.
p
Prouvons par exemple Cauchy: si limn→∞ n |an | = ` > 0, alors si r < 1` , la suite ( n |an |r tend
vers `r < 1, les termes de la suite sont donc inférieurs à 1 à partir d’un certain rang, donc à partir
d’un certain rang |an rn | < 1 et la suite (an rn ) est majorée, r ∈ I, donc 1` ≤ R.
p
Si r > 1` , la suite ( n |an |r tend vers `r > 1, les termes de la suite sont donc supérieurs à α > 1
à partir d’un certain rang, la suite (an rn ) tend vers l’infini, n’est pas majorée, r ∈
/ I, donc 1` ≥ R.
De façon générale, on a la formule d’Hadamard.
(Formule d’Hadamard)
Proposition
p
Si { n |an |} est borné, posons
q
p
` = lim sup{ n |an |} = inf sup{ p |ap |, p ≥ n} ,
n
n
sinon, posons ` = +∞. Alors on a:
R=
1
.
`
Preuve
Supposons que ` est fini et positif. Soit r < 1` , ou
1
r
> `, il existe N tel que
q
1
sup{ p |ap |, p ≥ N } < .
r
Donc
q
p
∀p ≥ N,
|ap |rp < 1,
la suite (|an |rn ) est bornée et r ∈ I. Donc 1` ≤ R.
Si r > 1` , soit r0 tel que r > r0 > 1` . Alors ` >
existe pn tel que
q
pn ≥ n
et
pn
1
r0 ,
|ap rp | < 1,
p
pour tout n, sup{ p |ap |, p ≥ n} >
1
r0 ,
il
|apn |r0pn > 1, |apn |r0pn > 1.
On construit par récurrence une suite (pk ) telle que pk+1 > pk pour tout k et |apk |r0pk > 1. On
a:
r pk
r pk
|apk |rpk > 0
|apk |r0pk > 0
→ +∞
r
r
et la suite (|an |rn ) n’est pas bornée, r ∈
/ I. Donc 1` ≥ R.
Les cas ` = 0 ou ` = ∞ se démontrent de même, mais il n’y a qu’une inégalité à prouver.
3. Opérations sur les séries entières
Prolongeons à R l’ordre sur R en posant a < ∞ pour tout a de R. On peut alors parler de
min{R, R0 }, max{R, R0 } si R et R0 sont réels ou ∞.
3
Proposition
(Somme
P
P denséries entières)
Soit
an z n et
bn z deux séries
entières de rayon de convergence respectifs R et R0 . Alors le
P
rayon de convergence R00 de la série (an + bn )z n vérifie toujours R00 ≥ min{R, R0 } et si R 6= R0 ,
R00 = min{R, R0 }.
P
Le rayon de convergence de la série
λan z n est R si λ 6= 0, ∞ si λ = 0.
Preuve
Il suffit de
Prappeler que la somme de deux séries convergentes est une série convergente. Le rayon
de la série (an + bn )z n peut être beaucoup plus grand que min{R, R0 } (prenez bn = −an = 1
pour tout n par exemple).
On sait que les termes de degré au plus n du produit de deux polynômes de degré n: P (z) =
a0 + a1 z + ... + an z n et Q(z) = b0 + b1 z + ... + bn z n sont de la forme cp z p avec
cp = a0 bp + a1 bp−1 + ... + ap b0 .
On pose donc
Définition (Produit de deux séries entières)
P
P
P
Le produit des deux séries entières
an z n et
bn z n est la série entière
cn z n où
cn = a0 bn + a1 bn−1 + ... + an b0
∀n.
(Produit de deux séries entières)
Proposition
P
P
Soit
an z n une série entière de rayonPde convergence R et
bn z n une série entière de rayon
de convergence R0 . Alors la série entière
cn z n produit de ces séries a un rayon de convergence
00
00
0
R tel que R ≥ min{R, R }.
De plus pour tout z tel que |z| < min{R, R0 }, on a:
! +∞
!
+∞
+∞
X
X
X
cn z n =
an z n
bn z n .
n=0
n=0
n=0
Preuve
P
On montre que laP
série
cnP
z n est absolument convergente si |z| < min{R, R0 }. En fait pour
n
ces z, les deux séries
an z et bn z n sont absolument convergentes, donc il existe M et M 0 tels
que pour tout N :
N
N
X
X
n
|an ||z| ≤ M,
|bn ||z|n ≤ M 0 .
n=0
n=0
Mais alors, pour tout N ,
N
X
n
|cn ||z| =
n=0
N
X
|an b0 + . . . + a0 bn ||z|n
n=0
≤
N
X
|an ||b0 ||z|n + . . . + |a0 ||bn ||z|n
n=0
≤
N
X
p
|ap ||z|
p=0
N
X
q=0
4
|bq ||z|q ≤ M M 0 .
La série
P
cn z n est donc bien absolument convergente.
4. Fonctions holomorphes
Définition
P etnProposition (Série dérivée)
P
Soit
an z une série entière. On appelle série
de cette série la série (n + 1)an+1 z n .
P dérivée
Si R est le rayon de convergence de la série
an z n , alors le rayon de convergence de sa série
dérivée est encore R.
Preuve
Soit r < R et r0 tel que r < r0 < R. La suite ((n + 1)|an+1 |rn ) est majorée par:
r n 1
n+1
n+1
|an+1 |r0
≤ M |an+1 |r0
0
0
r
r
n
si M est un majorant de la suite ((n + 1) rr0 r10 ) qui tend vers 0. Donc la suite ((n + 1)|an+1 |rn )
est bornée, le rayon de convergence R0 de la série dérivée est tel que R0 ≥ R.
Si maintenant r > R, on sait que la suite (|an |rn ) n’est pas bornée, donc la suite ((n +
1)|an+1 |rn = 1r ((n + 1)|an+1 |rn+1 ) n’est pas bornée non plus, R0 ≤ R, donc R0 = R.
(n + 1)|an+1 |rn = (n + 1)
Définition (Fonction holomorphe)
Soit f une fonction complexe de la variable complexe. On dit que cette fonction est C-dérivable
en un point z0 s’il existe un nombre complexe noté f 0 (z0 ) tel que:
lim
z→z0
ou:
f (z) − f (z0 )
= f 0 (z0 ),
z − z0
f (z) − f (z0 )
0
− f (z0 ) < ε.
∀ε > 0, ∃η > 0 tel que ∀z, 0 < |z − z0 | < η =⇒ z − z0
Une fonction C-dérivable en tout point d’un ouvert U de C est dite holomorphe sur U . La
fonction z 7→ f 0 (z) s’appelle la fonction dérivée de f
Si on note z = x + iy, on peut considérer la fonction f comme une fonction F de U ⊂ R2 dans
2
R en posant f (x + iy) = P (x, y) + iQ(x, y) ou :
F (x, y) =
P (x, y)
.
Q(x, y)
Dire que f 0 (z0 ) = a + ib est la dérivée de f en z0 = x0 + iy0 , c’est dire que F est différentiable
a −b
en (x0 , y0 ) et que sa matrice jacobienne en ce point est J =
. En effet, d’une part |z| =
b a
p
x h
0
2
2
, d’autre part f (z0 )(h + ik) = (a + ib)(h + ik) = ah − bk + i(ak + bh) = J
.
x +y =
k
y Donc
f (z0 + (h + ik)) − f (z0 )
0 = lim − (a + ib)
h + ik
|h+ik|→0
1
h .
= lim
F
(x
+
h,
y
+
k)
−
F
(x
,
y
)
−
J
0
0
0
0
k h h k →0 k 5
Ce qui veyt dire que F est différentiable en (x0 , y0 ) et que sa matrice jacobienne est J, ou:
 ∂P
∂P

(x0 , y0 ) = a,
(x0 , y0 ) = −b

∂x
∂y
∂Q

 ∂Q (x0 , y0 ) = b,
(x0 , y0 ) = a
∂x
∂y
J est la matrice d’une similitude directe (composée d’une dilatation et d’une rotation). Les
fonctions P et Q ne sont pas quelconques, elles vérifient:
 ∂P
∂Q

(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )

∂x
∂y

 ∂P (x0 , y0 ) = − ∂Q (x0 , y0 )
∂y
∂x
Théorème
somme d’une série entière est holomorphe)
P (La
Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0. Alors la fonction f définie sur
U = D(0, R) par:
∞
X
f (z) =
an z n
n=0
est holomorphe sur U et sa fonction dérivée est:
f 0 (z) =
∞
X
nan−1 z n−1 .
n=1
En particulier f et f 0 sont continues sur D(0, R)
Preuve
Remarquons d’abord qu’on ne peut pas utiliser le théorème de convergence uniforme de la suite
des dérivées réelles vu au premier chapitre car on parle ici de dérivée complexe et en fait la notion
de C-dérivabilité est très différente et beaucoup plus contraignante que la notion de R-dérivabilité
ou même de différentiabilité sur R2 , comme on le verra plus loin.
Montrons donc directement le théorème. On se place en z0 tel que |z0 | < R, on choisit r et r0
avec |z0 | < r < r0 < R. On calcule:
∞
∞
X
(z n − z0n )
f (z) − f (z0 ) X
−
nan−1 z0n−1 =
an
− nan z0n−1 .
z − z0
z
−
z
0
n=1
n=1
Le terme d’ordre n = 1 s’annule, il reste:
∞
∞
X
f (z) − f (z0 ) X
−
nan−1 z0n−1 =
an z n−1 + z n−2 z0 + . . . + z0n−1 − nz0n−1
z − z0
n=1
n=2
= (z − z0 )
∞
X
n=2
an
n−1
X
(n − k)z k−1 z0n−k−1 .
k=1
Si on fait tendre z vers z0 , on peut se restreindre aux z tels que |z| < r. Alors la série
P
Pn−1
k−1 n−k−1
z0
est absolument convergente puisque son terme général est mak=1 (n − k)z
n an
joré par:
n−1
X
n(n − 1) n−2
n(n − 1) r n−2
n−2
|an |
(n − k)rn−2 = |an |
r
=
|an |r0
,
2
2
r0
k=1
6
n−2
r n−2
que n(n−1)
→ 0 et que |an |r0
est le terme général d’une série convergente. On a donc
2
r0
prouvé que:
∞
n−1
∞
f (z) − f (z ) X
X
X
0
−
nan−1 z0n−1 ≤ |z − z0 |
|an |
krn−2 = |z − z0 |M (r).
z − z0
n=1
n=2
k=1
En faisant tendre |z − z0 | vers 0, on obtient le théorème.
En fait la réciproque est vraie: toute fonction holomorphe sur un ouvert U est développable en
série entière au voisinage de chacun des points z de U .
Corollaire
Si f est la somme d’une série entière
indéfiniment C-dérivable et
P
an =
an z n , de rayon de convergence R > 0, alors f est
f (n) (0)
n!
∀n.
Preuve
C’est clair, puisqu’on vient de voir que f 0 (z) est la somme d’une série entière de même rayon
de convergence que f . On peut donc recommencer k fois et on obtient:
f (k) (z) =
X
n(n − 1) . . . (n − k + 1)an z n ,
n≥k
donc f (k) (0) = k!ak .
5. Formule de Cauchy
Théorème (Formule de Cauchy)
Soit f : D(0, R) −→ C une fonction holomorphe sur D(0, R) et P
telle que la fonction dérivée f 0
de f soit continue sur D(0, R). C’est en particulier le cas si f (z) = n≥0 an z n est la somme d’une
série entière de rayon de convergence R. Soit 0 < r < R alors pour tout z de D(0, r),
r
f (z) =
2π
Z
2π
0
f (reit ) it
e dt.
reit − z
Ce théorème est un point essentiel de la théorie des fonctions holomorphes. Il est en fait vrai
même si on ne suppose pas f 0 continue.
Preuve
Pour tout x ∈ [0, 1], on pose:
r
ϕ(x) =
2π
Z
0
2π
f z + x(reit − z) it
e dt.
reit − z
Remarquons que la fonction f étant continuement C-dérivable, la fonction
ψ : (x, t) 7→ f z + x(reit − z)
7
de [0, 1] dans C est différentiable. Sa dérivée partielle en x est:
f z + (x + h)(reit − z) − f z + x(reit − z)
∂ψ
(x) = lim
h→0
∂x
h
it
f z + (x + h)(re − z) − f z + x(reit − z) h(reit − z)
= lim
h→0
h(reit − z)
h
0
it
it
= f z + x(re − z) (re − z).
ψ(x,t) it
Maintenant on intègre sur le compact [0, 2π] la fonction re
dont la dérivée est continue,
it −z e
on a donc:
Z 2π ∂
Z 2π
r
r
0
∂x ψ(x, t) it
ϕ (x) =
f 0 z + x(reit − z) eit dt.
e dt =
it
2π 0
re − z
2π 0
Mais d’autre part, la dérivée partielle de ψ par rapport à t est:
∂
ψ(x, t) = f 0 z + x(reit − z) xrieit .
∂t
Donc pour tout x ∈]0, 1[:
ϕ0 (x) =
1
2πix
Z
2π
0
∂
1
t=2π
ψ(x, t) dt =
[ψ(x, t)]t=0 = 0.
∂t
2πix
Finalement, on a donc ϕ(1) = ϕ(0) ou:
r
2π
Z
0
2π
r
f (reit ) it
e dt =
reit − z
2π
Z
0
2π
1
f (z) it
e dt = f (z)
reit − z
2π
Z
0
2π
reit
dt.
reit − z
Calculons cette dernière intégrale. On a |z| < r donc:
n
∞ X
reit
1
ze−it
=
=
,
−it
reit − z
r
1 − ( zer ) n=0
Cette série converge normalement sur [0, 2π], donc on peut inverser l’intégrale et la somme et:
1
2π
Z
2π
0
Z 2π
∞ n
X
reit
z
1
dt
=
e−int dt = 1.
reit − z
r
2π
0
n=0
Cela prouve notre théorème.
Définition (Intégrale le long d’un chemin)
Soit γ : [a, b] −→ C une chemin c’est à dire une application continue, de classe C 1 par morceaux.
Soit f une fonction complexe de la variable complexe z, définie et continue sur un ouvert
R U de C
contenant l’image γ ∗ = γ(|a, b]) de γ. On appelle intégrale de f le long de γ et on note γ f (ζ) dζ
le nombre complexe:
Z
Z b
f (ζ) dζ =
f (γ(t)) γ 0 (t) dt.
γ
a
8
Par exemple dans la formule de Cauchy, comme γ(t) = reit parcourt le cercle Γr de centre 0 et
de rayon r, lorsque t varie de 0 à 2π on écrit la formule de Cauchy sous la forme:
Z
Z
f (ζ)
1
f (ζ)
1
dζ =
dζ,
f (z) =
2iπ γ ζ − z
2iπ Γr ζ − z
en sous-entendant que le cercle est parcouru dans le sens positif.
Corollaire (Une fonction holomorphe est développable en série entière en tout point)
Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de C et telle que la dérivée f 0 de f soit continue.
Soit z0 un point de U et R > 0 tel que D(z0 , R) ⊂ U . Alors sur D(z0 , R), f s’écrit:
f (z) =
∞
X
an (z − z0 )n ,
n=0
le rayon de convergence de cette série est au moins R.
Preuve
On pose g(z) = f (z + z0 ) Alors g est définie et continuement C-dérivable sur D(0, R). On écrit
donc la formule de Cauchy:
Z 2π
reit
1
dt
f (reit ) it
g(z) =
2iπ 0
re − z
Z 2π
1
1
=
f (reit )
dt
−it
2iπ 0
1 − ( zer )
n
Z 2π
∞ X
ze−it
1
it
=
f (re )
dt
2iπ 0
r
n=0
X
Z 2π
∞
∞
−int
X
1
n
it e
an z n ,
=
z
f (re ) n dt =
2iπ
r
0
n=0
n=0
La série converge en effet normalement sur [0, 2π], donc on peut inverser l’intégrale et la somme.
La série converge pour tout z tel que |z| < r. Son rayon de convergence est donc au moins R.
On en déduit que
∞
X
f (z) = g(z − z0 ) =
an (z − z0 )n ,
n=0
On dit que la fonction f est analytique sur U .
6. Principe des zéros isolés, théorème de Liouville
Théorème (Principe des zéros isolés)
P
Soit
an z n une série entière de rayon de convergence positif et f sa somme:
f (z) =
∞
X
n=0
9
an z n .
S’il existe une suite (zp ) de nombres non nuls tels que zp → 0 et f (zp ) = 0 pour tout p, alors
an = 0 quel que soit n.
Preuve
Supposons que les an ne soient pas tous nuls et soit q le premier indice tel que aq 6= 0. Alors:
f (z) =
∞
X
n
an z = z
n=q
la série
P
q
∞
X
aq+n z n ,
n=0
aq+n z n a même rayon de convergence que la série définissant f . Sa somme
g(z) =
∞
X
aq+n z n ,
n=0
est donc continue en 0. Comme zp 6= 0 et f (zp ) = zpq g(zp ) = 0, on a g(zp ) = 0 pour tout p,
par continuité g(0) = aq = 0, ce qui est absurde donc tous les an sont nuls, f est la fonction
identiquement nulle.
P
P
Si f et g sont les sommes de deux séries entières
an z n et
bn z n qui coı̈ncident au voisinage
de 0 f (z) = g(z) si |z| est petit, alors les séries f et g coı̈ncident (an = bn ).
Corollaire (Cas des fonctions holomorphes sur U )
Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert connexe U . Si l’ensemble des points de U où f
s’annule a une valeur d’adhérence dans U alors f = 0 sur U .
Preuve
Un point z tl que f (z) = 0 est appelé un zéro de f . Dire que l’ensemble des zéros de f dans U
a un point d’accumulation danns U , c’est dire qu’il existe une suite (zn ) de points de U tels que
f (zn ) = 0 et sn → w avec w ∈ U . Mais alors, on peut développer g(z) = f (w + z) en série entière
au voisinage de 0 (sur D(0, R)) et d’après le principe des zéros isolés, tous les coefficients de cette
série sont nuls, f (z) = 0 si |z − w| < R.
Maintenant soit V l’ensemble des zéros non isolés de f , c’est à dire l’ensemble des w de U tels
qu’il existe R > 0 tel que f (z) = 0 pour tout z de D(w, R). Cet ensemble n’est pas vide. Si w ∈ V ,
tout point z de D(w, R) est dans V , V est ouvert. Soit zn une suite de points de V qui tend vers
w ∈ U . Si {zn } est fini, la suite est stationnaire et w = zN est dans V , sinon, on vient de voir que
w ∈ V . Donc V est fermé dans U . U étant connexe, V = U et f = 0.
Lemme (Formule de Cauchy revisitée)
Soit f holomorphe dans U , z0 un point de U , D(z0 , R) un disque de centre z0 , inclus dans U ,
0 < r < R et γr le cercle γr (t) = z0 + reit . Le développement de f dans D(z0 , R) s’écrit:
f (z) =
∞
X
an (z − z0 )n ,
n=0
alors, pour tout k,
ak =
1
2πrk
Z
2π
f (z0 + reit )e−ikt dt.
0
10
Preuve
C’est clair puisqu’on a pour tout t:
it
f (z0 + re ) =
∞
X
an rn eint
n=0
et que cette série converge normalement (en t), donc:
Z
2π
it
−ikt
f (z0 + re )e
Z
dt =
∞
2π X
0
0
n int −ikt
an r e
e
dt =
n=0
∞
X
an r
n
Z
2π
ei(n−k)t dt = 2πak rk .
0
n=0
Théorème de Liouville (Une fonction entière et bornée est constante)
Soit f une fonction holomoprhe sur tout C (on dit que f est entière) et bornée alors f est
constante.
Preuve
P∞
f se développe en 0 en f (z) = n=0 a, z n , le rayon de convergence de cette série est infini. Il
existe M tel que |f (z)| ≤ M pour tout z de C.
Soit r > 0, on écrit la formule ci-dessus en 0:
1
2πrk
Z
1
|ak | ≤
2πrk
Z
ak =
2π
f (reit )e−ikt dt.
0
Donc:
2π
|f (reit )| dt ≤
0
M
.
rk
Ceci est vrai pour tout r > 0, donc si k > 0, si on fait tendre r vers l’infini, on voit que ak = 0
pour tout k > 0,
f (z) = a0
pour tout z, f est constante.
Corollaire 1 (Le théorème de d’Alembert-Gauss)
Tout polynôme non constant P à coefficient complexe a aumoins une racine.
Preuve
On suppose que le polynôme
P (z) = a0 + a1 z + . . . + an z n
(n > 0, an 6= 0)
ne s’annule pas. Alors la fonction
f (z) =
1
P (z)
est bien définie sur C et dérivable en tout point. Le calcul usuel donne:
f 0 (z0 ) = −
11
P 0 (z0 )
.
P 2 (z0 )
f est donc une fonction entière.
Montrons que f est bornée. D’abord si |z| tend vers l’infini, on peut écrire, comme en seconde
année:
1
f (z) =
a
a
1
an z n an z0 n + an zn−1
+ . . . + aan−1
+
1
nz
donc lim|z|→∞ |f (z)||z|n = |a1n | et lim|z|→∞ |f (z)| = 0. On peut donc trouver R > 0 tel que |z| > R
implique |f (z)| ≤ 1.
Maintenant, f est continue donc bornée sur le compact D(0, R). Il existe M > 0 tel que
sup|z|≤R |f (z)| ≤ M . Soit:
sup |f (z)| ≤ max 1, M .
z∈C
Le théorème de Liouville nous dit que f est constante. Donc P = f1 aussi, ce qui est absurde.
P a au moins une racine.
Ce théorème est fondamental en algèbre. Il n’existe pas de preuve complètement algèbrique de
ce résultat.
Corollaire 2 (Principe du maximum)
Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U , on suppose que la dérivée de f est continue
sur U . On appelle maximum de f un maximum de la fonction z 7→ |f (z)|. On appelle maximum
local un maximum de la fonction z 7→ |f (z)| sur un disque ouvert D(z0 , R) ⊂ U .
Alors, sur un ouvert U connexe, une fonction f non constante n’a pas de maximum local.
En particulier, si f est définie sur U et si D(z0 , R) ⊂ U , si f n’est pas constante sur D(z0 , R),
alors tous les points z tels que:
|f (z)| =
|f (w)| sont sur le bord du disque: |w − z0 | = R.
sup
|w−z0 |≤R
Preuve
Supposons que z0 soit un masimum local de f , c’est à dire qu’il existe R > 0 tel que D(z0 , R) ⊂ U
et |f (z)| ≤ |f (z0 )| pour tout z de D(z0 , R). Alors f est développable en série entière de rayon de
convergence au moins R au voisinage de z0 ou:
f (z0 + w) =
∞
X
an wn
(|w| < R).
n=0
Dire que f n’est pas constante sur U , c’est dire que f − a0 a des zéros isolés sur U , donc que f
n’est pas constante sur D(0, R): il existe n > 0 tel que an 6= 0. On peut écrire pour tout r < R,
f (z0 + reit ) =
∞
X
an rn eint .
n=0
Comme cette série converge normalement en t ∈ [0, 2π], le développement qui est écrit ici est la
série de Fourier de la fonction ϕ : t 7→ f (z0 + reit ):
Z π
Z π X
∞
1
1
it
−ikt
ck (ϕ) =
f (z0 + re ) e
dt =
an rn eint e−ikt dt
2π −π
2π −π n=0
Z π
∞
X
n 1
=
an r
ei(n−k)t dt = ak rk .
2π
−π
n=0
12
On peut donc appliquer Parseval:
2
2
|f (z0 )| = |a0 | ≤
∞
X
n=0
2 2n
|an | r
1
=
2π
Z
π
1
|f (z0 + re )| dt ≤
2π
−π
it
2
Z
π
|f (z0 )|2 dt = |f (z0 )|2 .
−π
Donc an = 0 pour tout n ≥ 1 et f est constante sur D(z0 , R), ce qui est absurde.
13