Cours - Doc`INSA

SOMMA I RE
1ÈRE PARTIE : ÉQUATIONS DE LAGRANGE
7.1.1 L'EQUATION DE DfALEMBERT EN DYNAMIQUE 462
7.1.2 DEFINITIONS : ELEMENTS VIRTUELS 462
A. Vitesse virtuelle 462
B. Transformation virtuelle ; intervalle de temps virtuel 462
C. Puissance virtuelle 463
7.1.3 VITESSES VIRTUELLES COMPATIBLES AVEC LES LIAISONS TELLES QU'ELLES 464
EXISTENT A L'INSTANT t
A. Configuration du système à l'instant t 464
B. Liaisons imposées au système 464
C. Déplacement virtuel élémentaire le plus général 465
D. Vitesse virtuelle la plus générale 466
E. Vitesse virtuelle compatible avec les liaisons telles qu'elles 466
existent à l'instant t
F. Exemples 467
G. Intérêt des transformations virtuelles compatibles avec les liaisons 470
telles qu'elles existent à l'instant t
7.1.4 PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE PAR LES ACTIONS MECANIQUES 471
A. Forme générale de la puissance 471
B. Calcul de la puissance virtuelle dans quelques cas remarquables 472
1. Puissance virtuelle développée par les actions mécaniques appli- 472
quées à un solide dans une transformation virtuelle compatible
avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant t
2. Puissance virtuelle développée par les forces de cohésion d'un 473
solide parfait dans une transformation virtuelle compatible
3. Puissance virtuelle développée par les forces de liaison inté- 474
rieures entre solides dans une transformation virtuelle compa-
tible
4. Puissance virtuelle développée par les actions de liaison exté- 474
rieures appliquées à un solide dans une transformation virtuelle
compatible
5. Liaisons parfaites au sens de GAUSS 475
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C. Cas où la puissance virtuelle peut être calculée à partir de 475
certaines fonctions
1. Il y a fonction de force généralisée 475
2. Fonction dissipation ou fonction de RAYLEIGH 476
3. Généralisation de la fonction de dissipation. Fonction puis- 481
sance ty
7.1.5- PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE PAR LES QUANTITES D'ACCELERATION 484
A. Transformations préliminaires fondamentales 485
B. Exemple 485
C. Calcul des coefficients A£ 487
D. Expression de la puissance virtuelle développée par les quantités 487
d'accélération
E. Exemple : calcul des coefficients Aj[ dans le cas de la balance de 489
KELVIN
7.1.6 FORME GENERALE DES EQUATIONS DE LAGRANGE 491
7.1.7 EQUATIONS DE LAGRANGE POUR UN SYSTEME A PARAMETRES INDEPENDANTS 492
A. Cas où l'on a affaire à un système de solides parfaits, liaisons 492
parfaites au sens de GAUSS
B. Cas particulier où la transformation est une transformation vir- 496
tuelle compatible avec les liaisons telles existent à l'instant t,
les liaisons étant parfaites au sens de GAUSS, et où il y a en
outre fonction de force généralisée pour les forces données :
Lagrangien du système
Exemple 1 : Pendule d'EULER
497
Exemple 2 : Problème de LAGRANGE-POISSON. Mouvement d'une toupie 499
symétrique autour d'un point fixe
Exemple 3 : Mouvement à force centrale, la loi étant attractive 503
newtonienne
Exemple 4 : Double pendule 504
C. Cas particulier où la transformation virtuelle est une transforma- 506
tion virtuelle compatible avec les liaisons telles qu'elles exis-
tent à l'instant t, mais où les liaisons ne sont pas parfaites au
sens de GAUSS et donnent lieu à une fonction de dissipation
Exemple
D. Condition générale pour avoir une fonction génératrice L. Fonction 510
de force indépendante des vitesses
Exemple : Lagrangien d'une charge q en mouvement dans un champ 511
électromagnétique
E. Intégrales premières 513
1. Intégrales premières linéaires en q{ 513
Exemple : oscillateur harmonique à 2 dimensions
2. Intégrales premières quadratiques : Intégrale de Painlevé 515
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7.1.8 LES PARAMETRES NE SONT PAS INDEPENDANTS MAIS LIES PAR DES RELATIONS 524
HOLONOMES OU NON HOLONOMES
A. Intérêt d'une transformation virtuelle compatible avec les 524
liaisons telles qu'elles existent à l'instant t
B. Equations de LAGRANGE avec multiplicateurs 525
C. Exemples de mise en équation et de résolution 528
Exemple 1 : Comportement d'un système formé d'un essieu et de 528
deux roues dont l'une roule sans glisser sur un plan
Exemple 2 : Mécanisme à coulisse 534
D. Signification générale des multiplicateurs 538
E. Précision sur l'origine de l'irréductibilité lorsqu'on a des 539
liaisons non holonomes
F. Intégrales premières 544
7.1.9 UTILISATION DES EQUATIONS DE LAGRANGE POUR DETERMINER LES INCONNUES 545
DYNAMIQUES (ACTIONS DE LIAISON)
A. Exemple de détermination de liaisons 545
B. Détermination des actions intérieures à un solide 548
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2ÈME PARTIE 1 ÉQUATIONS D'APPEL
7.2.1 ENERGIE D'ACCELERATION 551
A. Définition 551
B. Théorème de Koenig pour l'énergie d'accélération 551
C. Energie d'accélération d'un solide ayant un point fixe 552
D. Théorème de Koenig pour le solide 555
E. Exemple de calcul d'énergie d'accélération 556
7.2.2 CALCUL DES COEFFICIENTS A£ DE LA PUISSANCE VIRTUELLE A PARTIR DE 559
L'ENERGIE D'ACCELERATION
7.2.3 EQUATIONS D'APPEL LORSQUE LES PARAMETRES SONT INDEPENDANTS 560
7.2.4 EQUATIONS D'APPEL LAGRANGE POUR LES SYSTEMES A LIAISON SANS REDUCTION 565
AU NOMBRE MINIMUM DE PARAMETRES
A. Cas général 565
B. Cas particulier : les liaisons sont parfaites et les solides sont 565
parfaits
7.2.5 EQUATIONS D'APPEL AVEC UN NOMBRE MINIMUM DE PARAMETRES. FORME SPECI- 565
FIQUE
A. Rappel 565
B. Calcul des coefficients A£ par la méthode d'Appel 566
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1ÈRE PARTIE
LES EQUATIONS DE LAGRANGE
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