Cours - Doc`INSA

S O M M A I RE
1ÈRE PARTIE : ÉQUATIONS DE LAGRANGE
7.1.1
L'EQUATION DE DfALEMBERT EN DYNAMIQUE
462
7.1.2
DEFINITIONS : ELEMENTS VIRTUELS
462
A. Vitesse virtuelle
B. Transformation virtuelle ; intervalle de temps virtuel
C. Puissance virtuelle
462
462
463
VITESSES VIRTUELLES COMPATIBLES AVEC LES LIAISONS TELLES QU'ELLES
EXISTENT A L'INSTANT t
464
A. Configuration du système à l'instant t
464
B. Liaisons imposées au système
464
C. Déplacement virtuel élémentaire le plus général
465
D. Vitesse virtuelle la plus générale
466
E. Vitesse virtuelle compatible avec les liaisons telles qu'elles
existent à l'instant t
466
F. Exemples
467
7.1.3
G. Intérêt des transformations virtuelles compatibles avec les liaisons 470
telles qu'elles existent à l'instant t
7.1.4
PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE PAR LES ACTIONS MECANIQUES
471
A. Forme générale de la puissance
471
B. Calcul de la puissance virtuelle dans quelques cas remarquables
472
1. Puissance virtuelle développée par les actions mécaniques appliquées à un solide dans une transformation virtuelle compatible
avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant t
472
2. Puissance virtuelle développée par les forces de cohésion d'un
solide parfait dans une transformation virtuelle compatible
473
3. Puissance virtuelle développée par les forces de liaison intérieures entre solides dans une transformation virtuelle compatible
474
4. Puissance virtuelle développée par les actions de liaison extérieures appliquées à un solide dans une transformation virtuelle
compatible
474
5. Liaisons parfaites au sens de GAUSS
475
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C. Cas où la puissance virtuelle peut être calculée à partir de
certaines fonctions
7.1.5-
475
1. Il y a fonction de force généralisée
475
2. Fonction dissipation ou fonction de RAYLEIGH
476
3. Généralisation de la fonction de dissipation. Fonction puissance ty
481
PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE PAR LES QUANTITES D'ACCELERATION
A. Transformations préliminaires fondamentales
484
485
B. Exemple
485
C. Calcul des coefficients A£
D. Expression de la puissance virtuelle développée par les quantités
d'accélération
E. Exemple : calcul des coefficients Aj[ dans le cas de la balance de
KELVIN
487
487
489
7.1.6
FORME GENERALE DES EQUATIONS DE LAGRANGE
491
7.1.7
EQUATIONS DE LAGRANGE POUR UN SYSTEME A PARAMETRES INDEPENDANTS
492
A. Cas où l'on a affaire à un système de solides parfaits, liaisons
492
parfaites au sens de GAUSS
B. Cas particulier où la transformation est une transformation vir496
tuelle compatible avec les liaisons telles existent à l'instant t,
les liaisons étant parfaites au sens de GAUSS, et où il y a en
outre fonction de force généralisée pour les forces données :
Lagrangien du système
Exemple 1 : Pendule d'EULER
Exemple 2 : Problème de LAGRANGE-POISSON. Mouvement d'une toupie
symétrique autour d'un point fixe
497
499
Exemple 3 : Mouvement à force centrale, la loi étant attractive
newtonienne
503
Exemple 4 : Double pendule
504
C. Cas particulier où la transformation virtuelle est une transformation virtuelle compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant t, mais où les liaisons ne sont pas parfaites au
sens de GAUSS et donnent lieu à une fonction de dissipation
506
Exemple
D. Condition générale pour avoir une fonction génératrice L. Fonction
de force indépendante des vitesses
510
Exemple : Lagrangien d'une charge q en mouvement dans un champ
électromagnétique
511
E. Intégrales premières
513
1. Intégrales premières linéaires en q{
Exemple : oscillateur harmonique à 2 dimensions
513
2. Intégrales premières quadratiques : Intégrale de Painlevé
515
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7.1.8
7.1.9
LES PARAMETRES NE SONT PAS INDEPENDANTS MAIS LIES PAR DES RELATIONS
HOLONOMES OU NON HOLONOMES
524
A. Intérêt d'une transformation virtuelle compatible avec les
liaisons telles qu'elles existent à l'instant t
524
B. Equations de LAGRANGE avec multiplicateurs
525
C. Exemples de mise en équation et de résolution
528
Exemple 1 : Comportement d'un système formé d'un essieu et de
deux roues dont l'une roule sans glisser sur un plan
528
Exemple 2 : Mécanisme à coulisse
534
D. Signification générale des multiplicateurs
538
E. Précision sur l'origine de l'irréductibilité lorsqu'on a des
liaisons non holonomes
539
F. Intégrales premières
544
UTILISATION DES EQUATIONS DE LAGRANGE POUR DETERMINER LES INCONNUES
DYNAMIQUES (ACTIONS DE LIAISON)
A. Exemple de détermination de liaisons
545
B. Détermination des actions intérieures à un solide
548
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545
2ÈME PARTIE 1 ÉQUATIONS D'APPEL
7.2.1
ENERGIE D'ACCELERATION
551
A. Définition
551
B. Théorème de Koenig pour l'énergie d'accélération
551
C. Energie d'accélération d'un solide ayant un point fixe
552
D. Théorème de Koenig pour le solide
555
E. Exemple de calcul d'énergie d'accélération
556
7.2.2
CALCUL DES COEFFICIENTS A£ DE LA PUISSANCE VIRTUELLE A PARTIR DE
L'ENERGIE D'ACCELERATION
559
7.2.3
EQUATIONS D'APPEL LORSQUE LES PARAMETRES SONT INDEPENDANTS
560
7.2.4
EQUATIONS D'APPEL LAGRANGE POUR LES SYSTEMES A LIAISON SANS REDUCTION
AU NOMBRE MINIMUM DE PARAMETRES
565
A. Cas général
565
B. Cas particulier : les liaisons sont parfaites et les solides sont
parfaits
565
EQUATIONS D'APPEL AVEC UN NOMBRE MINIMUM DE PARAMETRES. FORME SPECIFIQUE
565
A. Rappel
565
B. Calcul des coefficients A£ par la méthode d'Appel
566
7.2.5
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1ÈRE
PARTIE
LES E Q U A T I O N S D E L A G R A N G E
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- 461 -
Les équations que nous allons obtenir ne sont pas de nouvelles
équations, elles sont déduites de la loi fondamentale. Le but poursuivi
par LAGRANGE est clairement formulé dans sa préface à la première édition :
"on a déjà plusieurs Traités de Mécanique,, mais le plan de celui-ci est entièrement neuf. Je me suis proposé de réduire la théorie de cette science
et l'art de résoudre les problèmes qui s'y rapportent* à des formules générales dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires
pour la solution de chaque problème. J'espère que la manière dont j'ai
tâché de remplir cet objectif ne laissera rien à désirer.
Cet ouvrage aura d'ailleurs une autre utilité : il réunira et
présentera sous un même point de vue les différents principes trouvés
jusqu'ici pour faciliter la solution des problèmes de mécanique et montrera
la liaison et la dépendance mutuelle^ et mettra à portée de juger de leur
justesse et de leur étendue". (1)
Jusqu f à LAGRANGE, les méthodes n'avaient guère d'unité. LAGRANGE
propose très clairement d'obtenir une formulation globale et unique pour
tous les problèmes de mécanique. La méthode est basée sur l'utilisation des
vitesses virtuelles dont l'emploi est bien antérieur à LAGRANGE, en particulier dans la théorie des machines simples.
Les équations de LAGRANGE donnent souvent une mise en équation
plus rapide que les théorèmes généraux. Par contre elles sont généralement
d'un emploi moins commode lorsqu'il s'agit de déterminer des actions de
liaison inconnues. En outre, elles sont parfois remarquablement adaptées
pour certains problèmes particuliers (petits mouvements, vibrations, intégrales premières ...). Leur connaissance parfaite est absolument nécessaire
à tout ingénieur et plus généralement à tout physicien.
(1) J.L. LAGRANGE "Mécanique Analytique 11 Tome 1. Réédité par A. BLANCHARD,
9 rue Médicis PARIS 6°.
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- 462 -
7.1.1
L'EQUATION DE D'ALEMBERT EN DYNAMIQUE
La loi fondamentale pour un point matériel P de masse dm appartenant à un système (Z) s'écrit
—>
—t
-Ke)
dFe + dFi = JJ^J dm
représentant l'action "extérieure11 au système auquel appartient P
représentant l'action "intérieure11, c'est à dire l'action sur (P)
des autres éléments de (I)
J (P) accélération du point P dans un repère galliléen
dFe
dFi
II est évident que l'on peut multiplier les deux membres de l'équation fondamentale par un vecteur V. . à priori arbitraire. On obtient ainsi
l'équation de d'ALEMBERT pour un point matériel
dFe.V*(P) + dFÎ.V*(P) =
Jg(P).V*(P) dm
Pour tout le système (£) on aura l'équation de d'ALEMBERT d'un
système matériel en faisant la somme pour les différents points appartenant
au système :
r
, _, ^
F
dFe.V*(P) +
pez
,
^
r
oTi.V*(P) =
pei
,
.
J8(P).V*(P) dm 1.3
pez
L'intérêt de la méthode -apparaît si l'on songe que l'on peut
obtenir deux résultats par un choix convenable de V* :
l/ donner une formulation systématique du calcul des 3 intégrales
(au point de vue mathématique les deux premières sont de même
nature)
2/ par un choix convenable de V*(P) éliminer certaines actions mécaniques de l'équation de d'ALEMBERT.
7.1.2
DEFINITIONS : ELEMENTS VIRTUELS
A. Vitesse virtuelle
Dans la région entourant P on définit le champ V*(P) géométrique
indépendant de tout caractère mécanique. Ce chmap que nous particulariserons
par la suite est appelé champ de vitesse virtuelle.
On dit que dans un certain domaine (D) de l'espace on a défini
un champ^vectoriel si à tout point P de (D) on sait faire correspondre un
vecteur A = A(x^y^z^t) bien déterminé.
B. Transformation virtuelle. Intervalle de temps virtuel
A l'instant t le système peut être représenté par une certaine
figure géométrique (F). Cette figure étant tracée, considérons le scalaire
ÔT infiniment petit et associons à tout point (P) de (F) un point (P*)- tel
que
PP* = V*(P).6i
Ce qui à la figure (F) fait correspondre la figure (F*)
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Système à l'instant t :
figure (F)
Système transformé :
figure (F*)
La transformation ainsi définie est dite transformation virtuelle
associée au champ V*(P). Le scalaire 6r est appelé intervalle de temps_^virtuel et PP* déplacement virtuel (ceci par analogie avec le cas où V* = V8(P)
et dt = 0).
On notera en général le déplacement virtuel par
ce qui donne
_^
r-&
PP
= 6P
*•<» • i
Remarque : C'est une transformation du genre que nous avons l'habitude de
faire en géométrie pour transformer une figure. Mais si la transformation
est purement géométrique oe sont des considérations de mécanique qui décideront du choix du champ qui pour l'instant est complètement arbitraire.
C. Puissance virtuelle
Soit une action mécanique représentée par le vecteur F. On appelle
puissance virtuelle développée par la force F associée au champ V*(P) le
produit scalaire /fîfi
y* = $ . fa(p)
^Là encore le vacable est choisi par analogie avec le cas où V*(P) = V^(P),
(f)/U* =
puissance réelle développée par F.
Comme conséquence de cette définition on peut donc logiquement
poser
dFe . V*(P) =ç_X*
P€Z
.
tâÔ*
dFi . V*(P) =LX:
pp.,
puissance virtuelle développée par
les actions mécaniques extérieures
appliquées au système (S)
r
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puissance virtuelle développée par
les actions mécaniques intérieures
au système (£)
- 464 -
Je . V"*"(P)dm t-Qe
-•3-,
puissance virtuelle développée par
les quantités d'accélération
irez*
L'équation de d'ALEMBERT s'écrit alors
*-S ex
"^^ in
t
~^
Théorème
La puissance virtuelle développée par toutes les actions mécaniques dans une transformation virtuelle quelconque est égale à la puissance
virtuelle développée par les quantités dfaccélération.
Nous allons nous préoccuper maintenant du calcul d&s*ex ±y.
in$*'*•
7.1.3
VITESSES VIRTUELLES COMPATIBLES AVEC LES LIAISONS TELLES QU'ELLES EXISTENT
A L'INSTANT t
Nous allons étudier dans ce chapitre une classe particulière de
transformations virtuelles : celles que l'on peut réaliser tout en respectant les liaisons imposées au systèmes. Nous verrons qu'elles ont des propriétés remarquables.
A. Configuration du système à l'instant t
Dans tout ce qui suit on admettra que l'on peut exprimer la configuration du système à l'aide de n(*) paramètres q^, q2 ••• q£ .... qn- Ce
qui signifie que la position de tout point P appartenant au système est définie par
__^
_^
OP
=
OP (qi ... qj ... q n> t)
* Remarquons que l'emploi de n paramètres n'est peut-être pas nécessaire.
Nous nous étendrons ultérieurement très longuement sur ce point.
B. Liaisons imposées au système
Nous avons classé les liaisons en deux catégories principales
suivant la nature des équations qui s'y rapportent : (chapitre 6 - cours,
p. 332)
a) Liaisons holonomes
Supposons leur nombre égal à h,elles sont de la forme
f1 (qi ••• qi ••• qn» t) = o
h relations
f4 (q^ ... q.[ ••• q n > t) - 0
f
h toi ••• qi ••• q^ ù)
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= Q
- 465 b) Liaisons non holonomes
Supposons leur nombre égal à 1. Elles sont de la forme
a n qi + ... anq[ ... + alnq^ =
1 relations
=
ajiql + ... a^q* ••• + ajn^n
b
j
aliqj + ... auq' ... + alnq^ =
Le degré de liberté formel est donc
k
=
bi
b
l
n - (h + 1)
Les liaisons peuvent dépendre ou non du temps. On emploie parfois en mécanique analytique le langage suivant :
- le système est dit skléronome lorsque le temps ne figure pas explicitement dans les équations de liaison
- le système est dit rhêonome lorsque le temps figure explicitement dans
les équations de liaison.
La distribution entre liaisons holonomes et liaisons non holonomes
tient une grande place dans la théorie des équations de LAGRANGE.
C. Déplacement virtuel élémentaire le plus gênerai
On obtient le déplacement virtuel élémentaire le plus général en
calculant l'accroissement À? de 0$ lorsqu'on fait varier les q^ des quantités
Aqi (le temps n'intervient pas car la transformation est une transformation
géométrique à l'instant t)
À? = f~- Aqi +. . . . * |~~ Aq £ + . . . + ~~ Aqn -H tx A qi + .. . + tn Aqn
| ^ | —>• 0
£ I ei I'A^i
quand
/qj + ... + Aq^
^ 0
étant un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport
à Ap = /Aq^ + ,.. + Aq^
Mais comme nous avons totale liberté de choix pour le déplacement virtuel,
nous simplifierons considérablement le problème du point de vue mathématique
en choisissant pour ^P le plus général la partie linéaire de l'accroissement
c'est à dire la différentielle de OP
i.
6?
jyp
. |_ 6qi
3p
+
pvp
... ^ « q i * ...+ ^ ^ n
Le sjrmbole ftôf! est substitué au S3nnbole "d" pour éviter toute ambiguité avec
les déplacements réels.
Le choix de déplacements infiniment petits est justifié par le
souci de pouvoir utiliser la théorie des différentielles.
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- 466 -
D. Vitesse virtuelle la plus générale
On définit le champ de vitesse virtuelle le plus général par
*<» - g
.«•«••. **<» • &«i'*-**r«!•*••• *!!;«;•
en posant
q[* « -jspî-
ôqi
>•
0
quand
ÔT
—^ 0
Les q|* sont appelés vitesses généralisées
Remarque 1.
La vitesse réelle du point P serait
w • Hr"*- +lr<;+ -*!;^!f
Le déplacement réel ne fait partie de l'ensemble des déplacements virtuels
que si && = Q, c'est à dire si les liaisons sont indépendantes du temps.
<3t
Remarque 2.
Par la suite nous utiliserons exclusivement la notion
de vitesse virtuelle. De nombreux ouvrages utilisent la notion de déplacement virtuel.
E. Vitesses virtuelles compatibles avec les liaisons telles qu'elles
existent à 1'instant t
Les liaisons holonomes peuvent se mettre sous la forme
|aq!*...+faq,,...+|a,.*ffi - o
i - , ...h
elles ont la même forme que les liaisons non holonomes
ajiq} •+...+ .a-jiqj + ... + ajnq^ - bj =
0
j « 1 ... 1
on appelle vitesses virtuelles compatibles les vitesses virtuelles vérifiant
les équations précédantes en faisant
1ÊJ. = 0
ot
b;
•*•
=
0
soit
Hi<n**---*lit<'i'+ --*lfi''°* • °
ajiql* + ... + ajiql* + • • • + *jn.'«A*
=
°
j". ••"
J = 1, • • 1
Remarque
Si les liaisons sont indépendantes du temps on parle
simplement de liaisons virtuelles compatibles avec les liaisons
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- 467 -
F. Exemples
1. Exemple 1
Un point matériel P peut_^se déplacer
sur une droite (D) (Oi, Xi) tel^e
que GI 6 (D) se déplace sur (0,Yo)
de manière que _^
_^
OOi = 1 Yt2 . Yo
On demande de déterminer la vitesse
virtuelle compatible avec la liaison
telle qufelle existe à l'instant t
Posons
O^P = x . X0 + y . Y0
L'équation de liaison s'écrit
y
2
y - tg 6 . x - j yt = 0
Les vitesses réelles vérifient
ou
- j yt2 + tg 6 . x
qui se met sous la forme habituelle
f(x,y,t) = 0
y' - tg 0 x' - yt
=
0
Les vitesses virtuelles x'* et y'* compatibles sont définies par
y'* - tg 0 x'* « 0
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X - Zp
(Î0, lp) - a(t)
ip, 0, 4 angles d'Euler de RS/R0
—>•
r y, aj
-i
OG = [x,
on posera
/ N = -^
da
u)(t)
-> ->
Une sphère de rayon "a" roule sans glisser sur un plan (0,Xp,Yp)
d'un repère Rp. Le plan (P) est mobile de manière qu?il J:ou£ne autour d'un
axe fixe en restant en coïncidence avec un plan fixe (0,X0,Y0).
Zp = Z0
(Xo> Xp) = a
En outre la vitesse de rotation a) = ~ est une fonction du temps.
Déterminer les vitesses virtuelles compatibles avec les liaisons
telles qu'elles existent à l'instant t
On repère le centre le la sphère par
OG = [x,y,a|
on repère l'orientation de la sphère par * , '6 , 4>, angles d'Euler de (Rs)/(Ro)
On utilisera les repères intermédiaires classiques : (RI) et (R2>
Ecrivons les conditions de roulement sans glissement
Vgd) - 0
Vg(I) - VjCI) - v;(I)
)fr nous avons déjà calculé V^(I)
o
(voir théorèmes généraux p. 334)
^(1) = V^(G) + ÎJ A GÎ
Fx'~
V°(G) =
y'
L°
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- 469 -
V°(G)
=
S
costy
-sin^
sin^
cosij;
0
0
xf
yf
0
0
1
L~ 0
t~
iï°s = Qs2 + &| + ftf = <j) f z2
fi° *
r erf
=
0
«_
L
KI
' -Xi + iK Zi
i
!p sin0
é f cosô + i^ f
S
+ e
x f co.sip + y f sini^
-x f sinip + yVcosip
_^
GI
f o^
-
0
-a
RI
Rl
D'où finalement
_^
V°(I)
8
=
x' cosi^ + y' sini|> + aif»' sinô
-x' sinif» + y' cosij> + a& '
Lo
j
-JR!
^°(D = ^°(o) + ïï* A ôî. = n° A ôî
p
p
p
p
Q°
"
=
r° i
0
=
L«'J R o
r°
0
L»(t>J Ro
X
01 =
OG + GÎ
-
y
L°JRo
->o
V
0 (D
0
x
0
A
y
L
L ^J
L°J
L.
J
=
^o
p('!)'. L
^D
V P (I)
S
cosip
-sinip
0
sini|;
cosif;
0
-ojy
<ox
L
L. ° JR
J R
0
0
1J
Q
-coy
œx
L 0 _|
=
-coy cosip + cax sini|;~
coy sini^ + cox cosif/
0
L
JRl
x 1 eosi/; + y f sini/; + ac(> f sinô + coy cosip - eux sin^
-x! sin^ + y f cosip + a0 f - o)y sin^ - cox cosip
u 0
=
ce vecteur doit être nul :
x f cosi^ + y 1 sini/; + a<j) f sinô
-x1 sinip + y 1 cosi^ + a6 f
=
=
- coy cosip H- œx sin^ )
wy sini^ + cax cosifr /
ce sont les équations de liaison
avec
GO
— o)(t)
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par exemple
co
=
k .t
-%•
- 470 -
Les vitesses virtuelles compatibles avec les liaisons telles qu'elles
existent à l'instant t sont définies par
x1* cosijj + y 1 * sinip + a<f>'* sin6
-sinifrx1* + cosij; y 1 * + a-01* =
= 0 )
0 )
G. Intérêt des transformations virtuelles compatibles avec les liaisons
telles qu'elles existent à 1'instant t
On montrera d'une manière générale la propriété très importante
(du point de vue de la puissance virtuelle) des transformations virtuelles
compatibles avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant t. En
attendant, étudions l'exemple suivant. Reprenons le dispositif de l'exemple
1 et supposons qu'il n'y ait pas de frottement au contact. On demande de
calculer la puissance virtuelle développée par l'action de la glissière sur
la masse mobile.
L'action de contact est normale aux surfaces en contact. Donc
Q - QYi
Q » £-Q sin0, Q cose, o]]
soit
La vitesse virtuelle est
^*(P) =
F*'*, yf*»0~L
^RO
La puissance virtuelle développée par Q associé au champ V*(P) est
/^Z)
y* = -Q sin0 x'* + Q cose y'*
Dans une transformation virtuelle compatible avec les liaisons telles
qu'elles existent à l'instant t on a :
y'* - tge x'* = 0
La puissance virtuelle développée par Q dans une transformation virtuelle
compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant t est
donc
^2)
J * = - Q sine x'* + Q cose tge x'*
6(>* - o
t-X
La puissance virtuelle est nulle
Remarque :
Dans un déplacement réel la puissance réelle est :
y = 3 , ^g(P)
Vg(P)
=
[x', y ' , 0]
=
[x 1 , yt + tge x 1 , O^L
R
8
^5
J/ =
&J
*^/
[~ -Q sine "I
fx'
Q cose
.
yt + tge.x'
o
J L°
= Q cose . t
La puissance réelle n'est pas nulle
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7.1.4
- 471 PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE PAR LES ACTIONS MECANIQUES
A. Forme générale de la puissance
Soit un système de forces appliquées à un système quelconque,
dF désigne 1'une de ces forces appliquée en P
dF =
QdX, dY, dzj
ÔP
=
Qx,y,z]
Supposons la configuration du système exprimée à l f aide de n paramètres,
qi •• • qi ••• qn
x
=
x(qi . .. q£ ... qn
, t)
y > y(qi • •• qi ••• qn •••» *•)
z
=
z(qi . . . q£ . .. qn . ..,. t)
La puissance virtuelle développée par la force dF est
V*(P) =
dP*
=
dF . V*(P)
[x1*, y'*, z f *3
.*•* • lfr< + - + l ^ ^ - - - + l f c <
*" - %z-*r+-*%z*\* + ---+%£*z
z<*
=
3 z _ q ; * + ...
3qi
+ 3 z _ q ' f + ...
aq £
'
+ 3z q'»
9q7 "
dp* = r d x|fdY|5- dz|î-lq;*+ ... + r d x3£| ^ + d Y | y
*
3 _ + dz |£_]
3
L 3 qi + 9 qi + 9 qi J i
L ii
qi
qi JqIi
* ... * f . d x3 | i - + 4 Y3| ^ - + dz|2-l ql*
n
L
<in
qn
3q n J
La puissance virtuelle développée par toutes les forces du système est donc
<$>*
= q.« Jf L[dx^^Y^.^!^-]
*s
qi
3qi
3qi J
a
9
pes
fëdxt^dï*!fH
'!" P€S
I
.qi« J( LD|2L.
+ £-dzT
dx + |y-dY
9q
ln
ln
J
3{
n
Qi -
Jf
pes
^¥
3(
n
pes
- Ql q|* +
!f-dx
9q£
+
|2-dY
9qi
• . . + Qi qi* +
+
!^dz
9qi
. .. +
Qn qA^
Cette formule est très importante du point de vue de la théorie
car elle permet de donner une forme unique à l'expression de la puissance
virtuelle. Cependant pour les calculs pratiques on aura souvent à envisager
des cas remarquables. Nous allons maintenant apprendre à calculer systématiquement les Q^ dans les cas plus fréquents.
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- 472 -
B. Calcul de la puissance virtuelle dans quelques cas remarquables
!.. Puissance virtuelle développée par les actions mécaniques appliquées à un solide dans une transformation virtuelle compatible
avec les liaisons telles quelles existent à l'instant t.
En chaque point P une force dF. Le
torseur des actions appliquées au solide
est défini par ses éléments de réduction
en Os (Os € Rs)
[F] :
ji(os)
f
€P
J7 m* =
+„
-+
V*(P).dF
pes
Une transformation virtuelle compatible
avec les liaisons est une transformation
qui respecte les liaisons ; en l'occurence
qui respecte ici le caractère solide parfait, c'est à dire l'invariabilité des distances de deux points matériels
quelconques
V'p-2
F r
i j - Li2
>- <S P-pî"
P-P'«
i r j * S rT 3 = 0
P^pJ.p'CPj) - V*(Pi)] - 0
'
PiPj.V*(Pj) - PlPj.V*(Pi) - 0
Pour une transformation virtuelle compatible le champ de vitesse virtuelle
est un champ équiprojectif. C'est donc un champ de moment
V*(P) =
V*(0S) -H Q* A ô£
Par suite, comme pour la puissance réelle, on a
^ =
F . V*(0S) + M(08) . fim
La puissance virtuelle est le comoment des deux torseurs.
Exernp le
On applique à la manivelle (1) un système
d'actions mécaniques dont le torseur i
est défini par
^T Ui - o
L/1J
^
1 -V
->
( Mi(0) = C z0
on applique à la coulisse (2) un système
d'actions mécaniques dont le torseur 2
est défini par
\6T(
«^
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j F2 = F X0
ÎM2(A) = 0
• 473 -
Calculer la puissance virtuelle développée par les actions mécaniques dans une transformation virtuelle compatible avec les liaisons telles
qu'elles existent à 1Tinstant t.
* La puissance virtuelle développée dans une transformation quelconque
est :
$« @* + *n
iS
=o/ ! +<-/
2
Le torseur des vitesses virtuelles est pour le solide (1)
j«ï - e"M
| $*(0) = 0
fi
- ce-
)
Le torseur des vitesses virtuelles pour le solide (2) est :
i«f
J 2 - o
|V*(A) =
/ ffL = F„ x ltr,*•
\—y%
x'*X0f
* Vitesses virtuelles compatibles
L'équation de liaison s'écrit
les vitesses virtuelles compatibles sont
définies par :
x - r
f^
cos a
=
0
sin(6-a) 8»* - n
cos a
+ Puissance virtuelle dans une transformation virtuelle compatible
6P
J7»
- C 6'«
^ =
^
L[
+ F X'*
ç - F r sin < 9 - a) ]e'*
cos a J
2. Puissance virtuelle développée par les forces de cohésion d'un
solide parfait dans une transformation virtuelle compatible :
On sait que le torseur des forces de cohésion est un torseur
nul. Dans une transformation virtuelle compatible, c'est à dire respectant
l'état solide (distances invariables), le champ de vitesse virtuelle est
un champ de moment. La puissance virtuelle est égale au comoment des deux
torseurs. Comme l'un est nul, la puissance virtuelle est nulle.
Dans une transformation virtuelle compatible (c'est à dire
respectant l'état solide), la puissance virtuelle développée par le torseur
des forces de cohésion est nulle.
Remarque
Lorsque l'on a affaire à un système quelconque (fluide,
système déformable ...) on peut parfaitement prendre comme transformation
virtuelle une transformation qui respecte les positions relatives des différents points du système. On dit que l'on prend un champ solidifiant. Dans
ces conditions la puissance virtuelle développée par les forces de cohésion
est nulle. Par contre, si l'on veut faire apparaître ces actions mécaniques,
il ne faudra pas prendre un champ solidifiant.
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- 474 3. Puissance virtuelle développée par les forces de liaisons
intérieures entre solides, dans une transformation virtuelle
compatible
012
J^)M12(I)
|*21
J?21
|M21(I)
Le torseur des forces intérieures étant nul on a :
FI 2 + F2i
-
0
S12(D + S21(i) = o
ôfi
~/12
/ZA
s
^12 ^f* + M 1 2 (I).nf*
^
y\L
=
<$*
= Î12 . ^tl) + «12 V SJ"
(l'emploi de Rg n f e s t nullement
nécessaire)
*2lVf + M21(D%"
Dans de nombreux cas
M}2(ï)
=
0
jf* - î12 . ^* CD
Si on respecte la liaison telle qu'elle existe à l'instant t, la
vitesse de glissement est située dans le plan tangent et la puissance vir**
tuelle est nulle dans deux cas :
-
Fi2
normal aux surfaces en contact (ce qui correspond à l'absence
de frottement
-
V^*(I) = 0
la transformation est un roulement sans glissement
4, Puissance virtuelle développée par les actions de liaison
extérieures appliquées à un solide dans une transformation
virtuelle compatible.
R est un solide mobile n'appartenant pas
au système et dont le mouvement est connu
en fonction du temps
Le torseur des actions de RQ/RÔ
par
| ?RO/S
< ^o/s<1)
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est
défini
- 475 -
&* - Vs * %*(I)
+S
°/s (I) -^*
.&* - V s L v r r v r ] * *>/.<» •&"**«
Si l'on fait subir à (S) une transformation virtuelle compatible
avec les liaisons telles quelles existent à l'instant t, le solide <SO)
doit, rester fixe dans cette transformation.
$8*
= 0
$$*(.!>
- 0
$* - î0/. • *? + WD-as"
en général
Mo/ s (D
" 0
^* = Ir o /,s ' v^°*
^
s
Dans la transformation virtuelle compatible, la vitesse de glissement est
contenue dans le plan tangent. La puissance virtuelle sera nulle dans deux
cas
- FQ/C
normal aux surfaces en contact (absence de frottement)
—
V|*(I) = 0 roulement sans glissement
5. Liaisons parfaites au sens de Gauss
Une liaison est dite parfaite au sens de Gauss si la puissance
virtuelle développée par les actions de liaison est nulle dans toute transformation virtuelle compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à
l'instant t.
On généralise ainsi le résultat que l'on obtient avec les liaisons usuelles.
_.
/0
Nous venons d'apprendre à calculer/* donc les Qi dans toutes
les circonstances usuelles. Nous allons voir que dans certains cas ce calcul
peut se faire avec une formulation analytique systématique.
C. Cas où la puissance virtuelle peut être calculée à partir de
certai nés fonctions
1 * II y a fonction de force généralisée
La puissance virtuelle est
S'il
existe une fonction
.
0
4l
U
y*
=
=
Q qff + 000 + Q^* + 000 + Qnq^*
U (qj ... q^ ... qn, t) telle que
- au
3qi
on dit qu'il y a fonction de force généralisée. On a alors :
&• .
6f>*
^
|JL ql« + 000 + |
f ql- + 000
f qA*
9 +|
9qi
ou
=
3qi *-
qn
67
C'est le cas en particulier où il y a fonction de force au sens ordinaire.
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- 476 Soit une force
[x,y,z]
telle que
v = i£
YX - M
~
F »
3x
7 - M
3y
~
9z
q.
= |2L_ X + IZ-T + |£-z
Xl
9qi
9qi
3qi
^i
~
3U 3x
3x 3q£
+
3U 3y
3y 3q£
+
3U 3z
9z 3q£
Q.
. ^L
Ql
3q£
Cependant la réciproque n f est pas vraie. Il peut y avoir fonction
de force généralisée sans qu'il y ait fonction de force au sens ordinaire,
Exemple de fonction de force généralisée
Considérons le double pendule ci-contre
et supposons que les barres sont de masse
négligeable et qu'en G on a un solide de
masse m
On sait que la fonction de force est
U = - mg.z(G) + cte (la verticale est
supposée descendante)
ZQ =
U
Q
e
11 cosÔ + 12 coscf)
= m gli cos0 + m gl2 cos<f> + cte
9U =
=
m gl1 sin e
%
3?
=
3U
3?
"
=
~m gl2 Sln *
Nous ne nous étendrons pas davantage sur ces fonctions de force car elles
ont été longuement étudiées à l'occasion des théorèmes généraux,
2. Fonction de dissipation ou fonction de Rayleigh
S'il s'agit d'une force finie
î =
[x, Y, z]R
Qi - *%-%-%
Supposons que la force î soit telle que
on peut alors écrire
X
• -Mr
t
=
Y
- -fr
i [kj X'2 * k2 y'2 + k3 i-Z]
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[jkjx1, ~k2y', ~k3z'J
F =
2
- 'If-
- 477 Les coefficients Q£ peuvent s'écrire
3<j) 3x _ 3<fr 3y
3<j) 82
f
3x' 3q£ " 3y 3q£ " 3z' Sqi
Qi
3x
3qT
on a en outre
=
3x f
^T
3y
3y f
J^T = ^T
3z
JfT
3z f
-^
en effet fa(P> - |L qf + 000 + |L q . > 000 * |L qA
^toû
Qy
^p
^JL.
= -—
^1
"i
+
f
ce qui donne le résultat indiqué
en projection
Cette transformation sera ultérieurement utilisée pour faire les
transformations fondamentales de LAGRANGE
r- i
.
Donc finalement
9( ) 9x?
9
9
f
* 9y?
* 9z?
- ^ 3?" ^ ~ 3^ 3^ "" 3P" 3^
n
Qi
Q.i = •-Ji
3l|
y
avec
$
=
$ (q] ... q^ ... q^)
C'est une forme quadratique en q{, qj, dont nous pouvons préciser l'expression
* - £ [ki x'2 + k 2 y'2 + k 3 z'2]
X'
X
=
—
y'
=
-z%— q|
^qi
z
'
q I
3q£ q i
OZ
" 3qï
en utilisant la convention de l'indice
muet
i
qi
* - T i".|^%*j+ ** %%^J * k= Hr%^
§ est donc de la forme
.
«
=
îbijqiqj
Exemple 1 : liaison extérieure et mouvement de translation avec frottement
visqueux
Fo/s
=
- b Vg
(force visqueuse)
(II n'est pas utile de préciser la vitesse
de quel point il s'agit, car dans un mouvement de translation tous les points ont
même vitesse)
La puissance virtuelle est«j/
y*
Qx
=
=
- b x' x'*
- b x'
A+bx'
3x
$ = j b x'2 + C
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= - b V|.Vg*
- 478 Exemple 2 : liaison intérieure et mouvement de translation avec frottement
visqueux
Par hypothèse l1action de 1 sur 2 est F12 = " b ¥2
(mouvement de translation : tous les points ont même vitesse)
La puissance virtuelle développée par les actions mécaniques au
contact est dans une transformation virtuelle compatible
^ - î12 V2«
y* = - b *i.IP
%* =
-
^°*
jg* =
%*
(Xi* - Xi») XQ
J*
<^C
- - b (xi - xi)(xi* - x^)
0m
- + b (x£ - xf)xj* - b(x^ - xj)x£*
J
^* - QX1 *i*
Q
+
QX2 xà*
= + b(x^ - x{)
X
l
= - b(xi - xi)
QX2
S'il existe
$ =
$(x{ - x2) on doit avoir
HT = - b<** - x^>
IXT - b(x^ - *»
Intégrons la première relation
*(x{f xi) =
+ | (xi - xi)2
-h
C2(xi)
C2 ne dépend que de x2
Dérivons par rapport à x£
l'expression trouvée :
9<j>
.
f,
aJr - b. .(xi
- xi)
-H 3Co
-J.
Par identification on a immédiatement
$(xi, xi) -
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—7" =
9x2
| (xi - xi)2 + C
U —*
Co
^
= cte
- 479 -
Remarque 1
On rencontre ces actions mécaniques dans les dispositifs
appelés amortisseurs basés sur la propriété des écoulements dits "laminaires11
en mécanique des fluides : nous en donnerons deux illustrations : l'amortisseur à air de la balance de Curie et l'amortisseur hydraulique des automobiles.
* balance de Curie
L'écoulement entre la cloche et le cylindre
détermine une action mécanique sur la cloche
telle que
Fos
avec
b
- - b x' X-o
R3
= 6ïï y 1 -r-3"
y étant le coefficient de viscosité dynamique
La dimension de y est
y = L""1 M T"1
f
Pour l air J 20° y = 1,83 10"5 (MkSA)
+
amortisseur d'automobile
Un piston se déplace dans un cylindre rempli de liquide (huile).
Du fait de la compressibilité négligeable, le liquide doit s'écouler par des
orifices calibrés percés dans le piston.
Un type de réalisation possible est le suivant :
l'action sur le piston est opposée à la vitesse
relative du piston par rapport au cylindre
F0/s
- - b x f X0
En fait on n'obtient pas avec ce système, proportionnalité entre la force et la vitesse mais
une loi
F0/s = - b x'n X0
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$1/2(0) - - b (61 - 61) Z0
cf>
= j b (0£ - 6l) + cte
exemple de réalisation
Remarque 3
origine du mot fonction dissipation. Pour un système
quelconque on peut toujours écrire le théorème de l'énergie cinétique
dT
dt =^
«-/
étant la puissance développée par toutes les forces extérieures et intérieures. Supposons que les forces soient de deux sortes
- la première sorte donnant lieu à une fonction de force
U » U(q1 ... q£ ... qn) (fonction de force au sens strict)
- la deuxième sorte donnant lieu à une fonction de dissipation
Les liaisons étant indépendantes du temps T et <j> sont des formes
quadratiques et homogènes
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- 481 La puissance réelle développée par les forces dérivant d'une fonction
de force est
(^
du
A
dt
La puissance réelle développée par les forces dérivant de la fonction
de dissipation est
<£0-
3+
„} _
H
9
nl
%- ' Iqf^ " ••••âqT'i
nt
••' 3^qn
(le champ de vitesse réelle appartient à l'ensemble des vitesses virtuelles
compatibles car les liaisons sont indépendantes du temps)
étant une fonction homogène de degré 2, on a, d'après le théorème d'Euler
2$
- .^-,1*000 +1^,1 + 000 +|JrqA
on peut donc écrire
EL
dt = JE!dt z2*
Ij- (T - U) -- .- 2*
S'il n'y avait pas dissipation on aurait $ = 0 donc
De ce fait T - U est appelée énergie totale
T - U
= h
-2$ est donc la dérivée par rapport au temps de l'énergie totale. Autrement
dit, c'est le taux suivant lequel l'énergie se dissipe, (j> est positive ;
l'énergie totale est donc toujours décroissante : il y a dissipation de
l'énergie.
3. Généralisation de la fonction de dissipation. Fonction puissance ifr
_^
Le coefficient Q£ de la puissance virtuelle développée par la
force F = [k, Y, z] appliquée en P telle que OP = [x, y, z] est
Qi
1
,X|2L. + y |L. + z|23qi
^qi
3qi
soit encore, en tenant compte des transformations déjà utilisées
* •'
$ *'
$ .
Z$ .
Le calcul est intéressant si le coefficient Q£ peut s'obtenir par la seule
connaissance d'une fonction, c'est à dire si l'on peut écrire
3th
Q^ = - ~—j.
(ie signe moins sera justifié ultérieui
rement)
Pour qu'il en soit ainsi on doit avoir
y
X
-
' "
- ^
3F"
c'est à dire encore
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yY -
"
- 3*
ïf
7Z -
'3*
" " 3P"
- 482 -
3 Y _ 3Z
3z' " -3y1
3X m 3Y
3y' "" 3x'
3Z = 3X
3xf
3z'
a
) £2ISê«SÉ2^Iâle ÉllPê f°rce F répondant à_la Question
Soit F telle que
*. .
= -j^||-
F
avec
v -
F
|vp|
V
/ x'z + y'z + z'z
=
= - V(P)
.
£ (x, y, z, v, t)
X - x1 -
d'où
•
V
Y - y iV
z = *<Z
V
J
Ce type d'action mécanique se rencontre très souvent en particulier dans
les actions de liaison. Par exemple
- frottement sec ou de Coulomb
- frottement visqueux
- résistance aérodynamique
f =
f *
f =
cte = - a0
aj v
- a2 v2
Si les actions sont du type indiqué par la formule générale on a
3X
371" "
3v
=
9y
X
, 3 ,bx
3v
3^F V ' ly1"
y'
/xtz + ytz + z tz
y_l
=
v
b
3X
Byf
.m x'y' av
"
V
9V
, .
de même
d, fo u.
=x'y' *v
—r
3xf —v 3v
9Y
3X
3Y
"3F-=3F"
Par suite on obtiendra également par permutation circulaire
3Y = 3Z
3z'
3y'
3Z = 3X
3x' " 3zf
II existe donc ty telle que
|^r = - X
dX
|^r = - Y
dy
|^-r = - Z
dZ
soit finalement
|^-=-x'i
3x
v
dip
-
l^-y3y
v
f
1
l^r--»
3z
v
- - 1 (x1 dx' + y' dy' + z' dz')
= - j | (x! dx' + y' dy' + z' dz') 4- C
mals
j
dv
3v , ..
3v , .
3v , .
= _
dx
+ F r d y ' +-â-rdz'
dv = - (x 1 dx' + y' dy' + z ' d z ' )
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- 483 $ -
-
£ dv + C
b) Ë5ë5ElÊË-EÊSâE3UâklÊË
+
frottement sec
ty »
+ a0
ty =
agv + C
f = cte = - ag
SLQ > 0
dv + C
soit encore
* - a0 (xt2 •«» y f 2 + z'2)1/2 + C
on peut remplacera1, y 1 , z 1 par leur expression en fonction des q{
* frottement visqueux
f =
^
=
- ai v
* al
ai > 0
v
^v
* - y ar v2 + C2
' -*
- l ai (xl2 + y'2 + z12)
c'est une forme quadratique. En remplaçant x 1 , y f , z 1 par leur expression
en fonction des qj_
* - i ï 5 bu i!*j
c'est la fonction dissipation de Rayleigh
*
*
résistance quadratique
f
=
- a2 v2
i};
=
a2
*
- -2^+C
y
m |a- (x12 + y 12 + z'2)3/2 + C
a2 > 0
v2 dv + C
généralisation de ce type d'actions mécaniques
f
= - ^ vn
ijj
=
*
=
avec
^ > 0
vn dv
in+1
+ an
ï?T+ C
+ an
En fait f peut prendre la forme la plus générale d'un polynôme de
degré n en vitesse
f
»
- (a0 + ai v + a2 v2 + 000 + an vn)
on aura immédiatement
*
-
v2
v3
vn+J
a0 v + ai y- + a2 y- + 000 + an --—-
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- 484 -
c) dissipation d'énergie dans le cas d'une fonction généralisée
'
yS3T
* " ** —
t(P)
-
v
|Vp|
=
|Lql
+
000
+
|L qi + 000 + |f- ,i
1^1 - [OC)2]1/2 - [lir.lfrqiqj]1'2
*
= an
IllP
"9P
. .1 n+1
îSr bsi '?qjqiqtl "2"
* = *(q{)
Nous allons montrer que ^ est une fonction homogène de degré n+1 en vitesse
*<*» • ^irij^^]^
- 3t [%-&*$$• *"'
La puissance développée par les forces de dissipation est
&- - ^ »I + 00° *& *«»* tfc 'A
comme ip est homogène de degré n+1 en q{
^- » (n+1) «
Appliquons le théorème de l1énergie cinétique en supposant qu'il y ait
d'une part des actions de dissipation et des actions donnant lieu à fonction
de force
&-§-<•">*
~ (T - U) -- - (n+1) *
L'énergie totale est décroissante
7.1.5
PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE PAR LES QUANTITES D'ACCELERATION
est
La puissance virtuelle développée par les quantités d'accélération
r
A* = I Jg(P) . V*(P) dm
pes
^<« - Hr«•*•••* Mr^*-*H:»-
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- 485 A*
-
q'*
|
L dm f . . . + j q'*
jpL dm + . . .«+ Jq^f J8
(P>|~dm
1 Jf Jg(P) .
dq
J f Jg(P)dqi
oq
n
P€S
P6S
P6S
on a donc finalement à calculer les coefficients Ai :
A£
J8(P) -Tr-dm
d
J
^i
P6S
-'
L'idée fondamentale des équations de Lagrange est de donner un calcul systématique des coefficients à partir de l'énergie cinétique.
A. Transformations préliminaires fondamentales
,o,
1
'EL
.«q{É.
9qi
*»<» - gr'!*-*'Hr«i *•••!!;*
on a donc immédiatement
3^
3q{
2°/
=
d 3?
dt 3qi
3P
Bqi
. "3^
" 3qi
If HT- ife^-o-^M-oo.^^^
mais d'après les propriétés des fonctions de plusieurs variables
ilr = 4(ir«<*°°°*!!r^°°*|[<>
d_ 1)P
dt 3qi
s
3V
3qi
Vérifions ces formules sur un exemple :
B. Exemple
Le point P est repéré en coordonnées polaires
OP
=
r Xi" + z zt
(Xg, Xi ) =^
On a
OP
=
Ô?
=
ÔP (qlf q2, q3)
qi = *•
q2
q.s
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of (ip, r, z) ou encore
= r
= z
- 486 -
1°/ Calcul de Vg(P)
Calculons d'abord en utilisant les coordonnées généralisées
gp
1 + rt + 2
v < > - If* I
3?
——
-s
3?
3T
=
1'
Y- Ml
""*i
941
341
2
î,
3r = Xl
^8(P) = r' Xx
SB r *
Yi
*
t
.l
Z
+ r *' ?j
+ zf ^
Faisons un calcul direct
V«(P) = r' Xi
+
r —^ +
zi.^
4^= ^ Z i A Î j - ^Y!
Vê(P) =
r' Xi
+ r *' YI
+ z' Zj
2°/ Montrons que ~- = fv
—2^ 3qi
3qi
3? _ v *T
^ - r YI
9P
9^'
9P- ' xi
_ r Y*
âp- ~
_ t
^ - Xi
3^
I
._.*'.
oo, „
d ^P
"3V
3 / Montrons que — ^ =
a)
q£
^ - t
^-
3t
_ * Zl
3?- ~
^
= *
i_H
. rr » YI?, _ rr **• Xl?.
dt 3^
3^ . r .i -i
^XL +
5-
r
1_ lE = il
3i()
dt 3^
b)
qi
= r
1-2 = V#• ?l !
dt 3r
x
?
3r - r*• Y!
JîL IE
dt Br
^
II
9r
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Ht „
„,•, i _L
*
r ' i- ?!
Zl
• , i X*X
- r *•
- 487 c) q£
= z
H = Un
3z
'±.'2 = U0
dt 3z
Nous ne nous étendrons pas au delà sur ces formules car elles nous servirons seulement d'intermédiaire pour l'établissement des formules de
LAGRANGE.
c
- Calcul des coefficients A-;
A
i - { Î8<"> - |xr <*•
pes
J8(P) = J
Posons
18/P> - dgVS(P) - <*V
J (P) - —££
- 4^
+g,
, 3P
J (Pp
'-3T~
oqi
"3P
dV
" dît
au • 9q~
d qi
.
maiS
-^-^
dV
3P
dt'3q£
=
d ^-^
9P
dt 3qT
^ d -^
3P
'dt 3q7
V
^gm 3IL .dt -dL*ll.-*IL-i
1.IE.1E
'^T
dtJÇT
3
J w
V
v
qi
8qi
2
-îi
=
d
3
1
"^T
dt "HTT
3q.[ T2
f v±2 dm
A
J
P6S
i
=
d_
3T
dt ' 3^
3T
3 qi
AA
qi
"
l
a
f tr2
z j
^TT
T
3q{ 2 J V dm
P6S
D- Expression de la puissance virtuelle développée par les quantités
d'accélération
La puissance développée par les quantités d'accélération prend
donc la forme générale
^m
vy
-/
=-
d 8T
3T
«_
•. - -x
dt 3 q i
3cn
ni*
+4- nnn
000 ++
HI
qj
d
3T
9T
* +d
-T-- X'-t - X • l l«i*
" MCli 4. nnn
+ 000
dt 3q{
3qi
^
9T
9T
«f*
-7— A" 1 v - -s
dt
aq^
aqn nqin;^
Les coefficients A£ jouent le même rôle cjue les coefficients Q^. Ils se calculent autornâtiquement à partir de l'énergie cinétique.
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- 489 E. Exemple : calcul
des uecoefficients
A^ dans le cas de la balance
rostat1
de K
gy
q
^ivin
!.. Enoncé
Un .système est constitué de six solides (89), (Si), (82), (83),
(Si+) , (85) disposés comme ^indique la figure I. (SQ) est un solide formant
le bâti de 1Tappareil* (Si), (82), (83), (85) sont des barres qui sont liées
de manière à demeurer toujours dans j^n même plan. (814) est un volant. A (So)
on lie le repère (R0) : [p, IÊQ» ^0» ZQ] • Le mouvement de (Si)/(So) est un
mouvemenj de^rotation autour de (0, ^Q). A (Si) on lie le repère (Ri) :
jo, Xi, Y!, zi] .
->
-+
Zi
=*
Z0
AI
arbitraire
ti = ti A ti
On repère la rotation de (Ri)/(Ro) par ^ »
^ ^
(Xo, Xi)
(82) est une barre OB de longueur 2a. Le mouvement (82)^81) est un mouvement
de rotation autour de (B, YI). A (82) on lie (R2) : [B, X2, ^2, 1£| .
-»•
Y2
->
14.
=
!2 " F ,
X2
= Y2 A Z2
^ ^
On repère la rotation de (R2)/(Ri) par 0 =
(Zi, Z2)
(83) est une barre homogène BA de longueur 2a. Le mouvement de (S3>/(S2) est
une rotation autour de l'axe (B, t2). D'autre part l'extrémité A de BA est
assujettie à se déplacer autour de (0, "Z"Q) étant reliée en ce point à la
barre (85) qui a un mouvement de translation par rapport à (Ri). A (85) on
peut donc lier le repère (R{) : [A, IL ti, 5J_; Le mouvement de (83) par
rapport à (85) est une rotation autour de (A, YI). A (S«) on lie le repère
[A, x3, Y3, z3"].
Y3
-
!
** - I
Z
= X3AY3
On repère la rotation de (R3)/(Ri!) par
81 =
(Zi, Z3)
On a immédiatement 61 =(-r - 0). On éliminera 61 en fonction de 0 chaque fois
qu'il se présentera dans les calculs.
Le solide (8^) est un volant en mouvement de rotation autour de la barre AB.
A (81+) on lie le repère (R^) : [pf 1^, 1^, ÎJ .
^
milieu de AB
= lT
4
^.
arbitraire
4
fZ
4
- XAt
^
On repère la rotation de (Rit)/(R3) par
<(>
=
La masse de (8^) est Mtt et son tenseur d'inertie YG est
=
Ir
A^
=
0
L 0
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0
B4
0
0~
0
Bj^
(Y3, Y4)
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- 491 -
AG
-
a X3
-ij/f cose
-4f
Q 3 A AG »
V°(G) =
* &£
A
L *' sineJ R3
[~4a sin6 cos0 6 1
a ij;1 sine
aef - 4a sin2e e f
a
0
0
a ^ f sine
=
LoJ R 3
L*e'
JR3
n
R3
= ^ + ^3
til = (f>f $3
Fcj)'f - i/;1 cose
Q^ -. -e
*T°
$' sine
K„
3
16 a2 sin2e cos2e e f 2 + a2 ff2.sin26 + a2 e f2 (l - 4 sin2e)2l
- IM^
«t
sr.
2
+ -i A^ (•<!>'- ^' cose) + B^ 6'
2
+ Bu t{i
l2
—-^
2
sin 6
tlyr' " + -M» 1 - *' sine)cos6 6' + A^ sin6(<f)" -if; "sin6 - i^'e'cose)
dt d
*
+ B^ ip" sin6 + 64 *' 9' cos 6
il - 0
•3*
A = A^' - *' sin6)cose 6' + Aif(4>" - T|»" sine - ^'6' cose)sin6
* + B^ t|)" sin6 + B^i^'e1 cose
v d 3T
3T
dt 9^)' ~ 9<(,
a;
~ ^
H
. o
3<j)
Î^T
Ijr
A^
7.1.6
=
A4 (<J> f - * f sine)
A± ((f) ff - ^ f l sine - i|>' e f cos 6)
FORME GENERALE DES EQUATIONS DE LAGRANGE
Le théorème de d'ALEMBERT s'écrit pour une transformation virtuelle
quelconque
Qiqi* + 000 + Qiq[* + 000 + Qnqn* * A,qi* + 000 + A£qJ* + 000 + ^q^*
[Q! - A]]qf* + 000 •+ [Qi - Ajql* + 000 + [Qn - Aj qn* = 0
Les -q|* étant arbitraires, nous avons alors
.c'est à dire la série d'équations
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A£ = Qi
V i = 1, ,.. n
- 492 d_ 3T
dt BqJ"
3T
3qi
=
^
d 3T
3T
dt 3qT ~ B?T
Qi
"
d_ 3T
3T
dt SqA " 8qn
^n
II faut faire très attention : les Qi sont les coefficients de la puissance
virtuelle de toutes les actions mécaniques » II y aura donc intérêt à choisir
convenablement la transformation virtuelle pour avoir une expression pour Qi
aussi simple que possible. En particulier nous savons que dans une transformation virtuelle compatible les liaisons développent une puissance virtuelle
nulle si elles sont parfaites. De même les forces de cohésion développent une
puissance nulle dans toute transformation solidifiante. Le problème des
liaisons étant fondamental, nous allons étudier séparément les systèmes à
paramètres indépendants et les systèmes dont les paramètres vérifient des
équations de liaison pour tenir compte des propriétés remarquables des transformations virtuelles compatibles.
7.1.7
EQUATIONS DE LAGRANGE POUR UN SYSTEME A PARAMETRES INDEPENDANTS
Cela signifie que lorsque l'on prend des q|* arbitraires les
liaisons telles qu'elles existent à lfinstant t sont respectées. Envisageons
maintenant les cas remarquables à partir de la constatation déjà évoquée pour
la mise en place des théorèmes généraux : le coefficient QÎ peut avoir quatre
origines
Qi '
Q^
QiC
QiLe
QiLi
force
force
f°rce
f°rce
QiD + QiC + QiLe + QiLi
généralisée
généralisée
généralisée
généralisée
provenant
provenant
provenant
provenant
des
des
des
des
actions mécaniques données
forces de cohésion
forces de liaisons extérieures
forces de liaisons intérieures
A. Cas où l'on a affaire à un système de solides parfaits : liaisons
parfaites au sens de 6AUSS
L'analyse précédente donne
Qîç = 0
solides parfaits : la puissance virtuelle est nulle dans une
transformation qui respecte l'état solide
Qite = 0
(liaisons extérieures parfaites et transformations compatible)
=
QiLi
0
(liaisons intérieures parfaites et transformation compatible)
En pratique l'hypothèse revient à dire que l'on a affaire à un
système de solides parfaits soumis à des liaisons sans frottement. On a
alors :
Qi
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=
Q
iD
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- 495 L'élément (85) est identique à (82).
Enfin un moteur, non représenté sur la figure, applique à l'élément (Si) une action mécanique dont le torseur en 0 est
( 0
M
: L
,
( M =
MZ0
1. Calcul de l1énergie cinétique
T° =
2 Tf
T| = I$| .. To . ^2
<f> ! Y2 + '*f Zi
iï% » --82 + Œ! -
F-^1 sin f
^ =
+••
_^ f cos 4> J R
T° - j 2[A ^ t2 sin2 <f> + A ^ l2 + C ^ î2 cos2 cf) ]
2. Calcul de la puissance virtuelle développée par les forces
données
Puissance virtuelle développée par les poids
^ =
2 .I2 .^G2)
V°*(G 2 )
=
r-i<o'*
i
1 sin<f> ^*
L
P
=
+ m g ZQ
^
P
=
+ m g
^
=
°
JR2
F- sin <|>
0
LCOS cD J R 2
- 2 m g 1 sin ((> V*
Puissance virtuelle développée par le couple appliqué
ffa
=
S(0) .«•"
= M^'*
^X *
=
- 2 m g 1 sin $ <f>'*
Q^
=
- 2 m g 1 sin <(>,
Q.
^
=
M
* Mipf*
Remarque : La puissance virtuelle développée par les actions de liaison
est nulle car les liaisons sont parfaites et nécessairement compatibles.
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- 496 3. Equations de LAGRANGE
a)«JZ?U)
d
3T
dt
3<î>' ~ 3<j>
_^ _
~
0
^<f>
If • 2 A * '
'*&• ***•
r\ m
—A
A ij;' 2 sincj) cos<() - 2 C if;' 2 sin(j> cos<j>
=
ocp
l!
- A i/;'2 sin<f> coscj) + C if;' 2 sin<(> coscf)
=
- m g 1 sin<f>
b) j^W
IYTolp
j
=
2 A ij;' sin2 <j> + 2 C i/j' eos2 <{.
rvrp
-rr T7T
du otp
=
2 (A sin2 (() + C cos2 <|))^ ff
+
4 (A - C) ty* $f sin(() coscf)
2(A sin2(j) + C cos 2 <f>) ij;ff + 4 (A - C) V <j> f sin(j) cos<()
« M
B. Cas particulier où la transformation est une transformation virtuelle compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à
l'instant t. les liaisons étant parfaites au sens de Gauss, et où
il y a en outre fonction de force généralisée pour les forces données :
Qic = °
QiLe - °
QiLi - 8U
0
o.
Q
iD
-
3qi
Les équations de LAGRANGE peuvent donc s'écrire sous la forme
remarquable suivante :
£L 8T - ^T
dt 8qf
3qi
=
^u
" .Bqj
d_ 3T _ 3T
dt 9q{ " 3qi
_ 3U
" Bq.^
d_ 3T
9T
dt 3q^ " Bqn
_ 3U
" 3qn
Posons alors L = T + U et remarquons que puisque U est une
fonction ne faisant intervenir que les paramètres et le temps j*u, = 0. D'où
'àq{
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- 497 -
d_ 3L _ 3L
dt Iq]" ' 3qj
_
0
•
1_ IL. -' ii_ - 0
dt 3q[ 3qi
d 9L
dt 9q;
3L
_
0
_
Q
9qn
d 3L _ 3L
dt aq'j
aqj
d_ j|L
dt 3q{
3L
3q£
d_ 3L
dt 3q^
3L
3qn
= 0
_
Q
Les équations peuvent être écrites à partir de la seule fonction
L appelée Lagrangien du système ou encore fonction génératrice. Nous montrerons par la suite la condition générale pour qu'il y ait fonction gêné ra tri ce.
Exemple 1 : Pendule d*Euler
ÔGq
=
X XQ
(x0, Xi) = e
Lorsque Gj est en 0 le ressort est
sans contrainte.
On suppose les liaisons sans frottement (prismatique et rotoïde).
Les équations de LAGRANGE s'écrivent
donc
<L 3T _
il. i£ -
dt aF" " 3x ~ 3x
d 3T
^T _ ^=
1
dt 3-6' '" 36 "30
1. Calcul de T°
T°
=
'
TI
+
T|
T?
=
iMx'2
T
2 • ' - • y » (^ > 2
ï°
= ^°(G!) +%° A ; G^
2
^°(G 2 )
= x1 x0
+
e f yx A 1 \
= x f x 0 + i e f K!
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0
- 498 ^
V°(G 2 )
f x f + 1 e 1 cos 6 ~
- l e ' sin 6
=
L
(V° 2 )
T°
2
2
=
x'
°
2
+ l
JKO
2
0'2
+ 21 x' 0' cos 0
(M + m) x î 2 + ml 2 0 f 2 + 2 ml x' 0 f cos 01
- U
- £§i£Hl-ËÊ«5
U
=
\Ji
+
U2
( Ui fonction de force de pesanteur
* ÏÏ2 fonction de force due au ressort
U
=
k x2
m g 1 cos 0 - —~—
+
C
3. Equation de LAGRANGE en x
3T
•rrr
ox
J
=
(M + m) x 1
+
m 1 0 1 cos e
r\rp
dt "âP" =
f
(M + m) x" + m i e " -
- -"-
(M + m) x f f
f
+ m 1 0ff
m l 6 ' 2 sin 6
- »
- . m l 0 î 2 sin 0 + k x
-
0
4. Eguation^de^LAGRANGE^en^iB
3T
^T =
o
m 1 0 1 -+
m 1 x! cos 0
J
rvrp
dit
3p
9T
—
=
- m 1 x f 0 f sin 0
=
, .
- m g 1 sin A0
au
•^
=
m l2 eff
m l2 0" +
+
m
! x" cos 9
- m 1 x f 0 f sin 0
m 1 x" cos 0
+
m g 1 sin 0 = 0
1 0 lf •+ x" cos 0
+
g sin 0
Remarque 1 : solution par
=
0
les théorèmes généraux
La question se pose de savoir quelles équations provenant des
théorèmes généraux nous donneront les équations ci-dessus directement. Il
est évident que ce sont des équations qui ne contiennent pas les actions
mécaniques :
- théorème de la somme géométrique appliquée à l'ensemble (1) U (2)
et engrenant la projection sur X0 (liaison (S^/CS'o) prismatique
parfaite)
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- 499 - théorème du moment^dynamique en (Gi) appliqué à (82) et en prenant
la projection sur YQ (liaison (S2)/(Si) rotoïde parfaite)
L'étude par les théorèmes généraux a été faite en détail (exercice
chapitre 6).
On constate alors que les équations de LAGRANGE fournissent immédiatement les équations débarassées des inconnues dynamiques.
Remarque 2 : Le Lagrangien du système est
L ' - 1
(m + M)x2 + ml2 0'2 + 2 ml x f 0' cos 0 + mgl cos0 - ^~~ + C
Exemple 2 : Problème de LAGMNGE-POISSON. Mouvement d'une toupie symétrique
autour dfun point fixe.
* le corps (S) est un solide de révolution dont la matrice d'inertie est
[I0]R
S
FA
0
0
A
0~
0
0
0
cL
K
s
•* le centre d'inertie est sur l'axe de
révolution
ÔG « 1 Zs
* la liaison (SQ)/(S) est une liaison
sphérique parfaite
Les paramètres de configuration sont
ip, 0, <J> angles d'Euler normaux
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- 500 II y a fonction de force et les liaisons sont parfaites. Les
équations de LAGRANGE sont donc :
'd_ J9T_ _ 3(T+U) _
dt 3^ f
3i|j
0
d 3T
dtW.
(T+U) _
Q
d 3T _
dt 3f f "
(T+U)=
3<J>
9e
0
T°
T
-
1
o°
^s
=
^î
+
^s
=
*'- f .^2
^°
=
<)> f
""
2"
8 '
Tn
I{3 0°
S
^ •* ^ï
+ e
' ^2
Toi
0
+e
f
L^R,
12° -
+
* f Zl
fil
+i^f
0
LQJR2
[o
sin6
LcoseJ R2
f 0i|;-1 sin6
S
f
ij;' cosB •*•())
..
K2
Mais comme le corps est de révolution autour de Zs = Z2
FA
0
=
I0
=
0
A
O""
0
L° o C J R2
[A o ol Te '
T°
=
1
T e » , y sine, i|;f cose + $\\
2
T°
=
^ | A ( e f 2 •*- ij;' 2 sin 2 e) -H CCif; 1 cose + < j > ' ) 2
U
=
0
f
i^
sine
f
A 0
[o o c] L^ cose + <j>^
- m g 1 cose + C
EaïïSÊioa-âê-ï^SSéïïêE^^Liîlji
^L.. =
olp
A \(;f sin 2 e
+
C(i(; f cose + <(>') cose
4-ITT = 4- (A *' sin26 + C(i|>' cos9 + <(>') cos6
dt oijr
dt
nH -- «o
9ij;
~
U
i-^r
dt 34)' = 0
3T
W
=
Cte
A \(;f sin 2 e
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+
C(i^ ! cose •»• < j ) f ) cose
=
cte
(1)
- 501 -
lanâ£i2s_âs_tè§5èS§E L_§1
HT- AA8
fefr '
"
U - A ij>'2 sin0 cosG - C 0|;f cose + <f> f ) ij;1 sin6
du
—
= m g 1 sin6
do
•
_________>_-______»____^^
2
f
f
A e" - A ip' sine cose - C 0|; cose + c)) ) i|>' sine - mgl sine
-
0
laHâ£î2S«îlê«Lè§5M§S-.ÊS..è
|Ir
-
COM cose + <|> f )
Itlr
=
^ C ( V cose + * f )
s -°
d<j)
9U
n
•sy • °
ip 1 cose + 4 > f Posons
=
^' cose + <j)f
cte
=
(3)
ro
r
. Les équations s'écrivent
2
A ^ sin e + C r0 cose
=
X C r0
A eff - A i|;f2 sine cose - C TQ ^ f sine - mgl sine
if>! cose + <()f
=
=
0
r0
Remarque 1
: On pourra remplacer la deuxième équation par l'intégrale des
forces vives
T = U + h
Remarque 2
: Si l'on écrit les équations du mouvement à l'aide des théoTernes générauxj les équations (1)> (2)j (3) sont respectivement :
- Théorème du moment dynamique en projection sur ZQ (la projection du moment
cinétique sur ZQ est constante)
- Théorème du moment dynamique en projection sur K£
- Théorème du moment dynamique en projection sur Z2
Le théorème du moment dynamique s'écrit
t°(0) =
ÔG A P
OG
=
1 Z2
P
=
- m g Z0
ZQ
=
r°.
sin e
LCOS
ej
>~
-1 R
2
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- 502 -
-> H. r°i r °
OG A P
S°(0)
y°(0)
=
0
1
=
mgl. sin
- mg sin 6
- mg cos 0 _
A
->
0 X2
avec
->
X2
=
->
Xi
- ^ ΰ(Q)
-
=
I0 a*
F A o ol .fê1
0 A 0
LU 0 C J
f sin 0
[jp1 cos 0 + (j)1 _
"A 0'f
A ^ sin 0
C(iJ; f cos 0 + < f > f ) -±K
L
i_
2
/^
t°(o) - §£ P°(O) + n§ A p°(o)
d2
^2 A y§
^° (Q)
r AA ty"
0" sin
0 + A if;1 0' cos 0
C(ifj" cos0 - i|;f 0 f sin 0 + <(>")
-
F01 n
—
K
2
TA 0i
^' s^-nô
A
1
i};
cos0
.,
1
J
*
~
A ijj f sin 0
C(i^ f cos0 + <j> ! ) _,
— K£
K-2
1
""CC^ cos0 + f ) $' sin0 - A i|;f2 sin 2 0"~
-C(^ f cos0 + < j > f ) 0 f + A 0 f i|> f cos 0
-°
IQ
=
1
TA 0 f l + C(ip f cos-0 + <() f ) ^ f siriG - A i ^ f 2 sin2 0~
A ip11 sin0 + 2A i|>! 0 f cos0 - C ( ^ f cos0 + ( f ) f ) 0 f
LC(\j; f f cos0 - i(;f 0 1 sin0 + c)>l!)
_
en projection sur QI^Z
ty" cos0 - ty* 0 f sln0 + (j>ff
f
f
tj; cos0 + <(>
=
=
0
soit
r0
en projection sur OiY2
A ty" sine + 2A ij;1 0 ? cos0 -'C^1 cos0 + c()f)0f = 0
en multipliant les deux membres par sin0
A \j;f! sin20 + 2A ^ f 0 f cos0 sin0 - C r0 sin0 0 1
A ij;1 sin20 + C ro cos0
-
cte
=
X C . ro
en projection sur 0^X2
A 0" + C ro if^1 sin0 - A i(jl2 sin20
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=
mgl sin0
=
0
d!où
- 503 -
Exemple S : mouvement à force centrale, la loi étant attractive newtonienne.
ÔP
=
r K!
6
=
(X"0, Xi)
F
-
f ( r ) Xi
f (r)
-
+ -y
T°
a <0
= im[y0(P)]2
V°(P) = r 1 X x + r e' \
T° - ^.m £1.2 + r2 e.2]
u = -f+c
Les équations de LAGRANGE s'écrivent :
fL
8T
dt ae f
3(T-t-U)
d
9T
3 (T-fU)
3e
dt Br f "
_
3r
G?
É3ïïâ£i2S-^ë-tè§Mîî5fe?d§i
HT - - ' 2 ' '
m r 2 6" -f 2 m r r' 6'
4r||r
dt ou
H - o
36 ~ °
M
ae = °o
i-iï= o
dt 96'
H = été '
(,)
r 2 6'
= cte
c'est la loi des aires
O?
§SHâ£i2ïï_âÊ_iè§l^§Ii^ïïl
3T
,
âp- = m r'
î t & - . r |I=
r e
.
2
H
= «r7
3r
m r" - r 6 ' 2 - -^
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=
0
(2)
- 504 -
Remarque 1 : les équations (1) et (2) sont respectivement :
->•
- théorème de la somme géométrique en projection sur YI
- théorème de la somme géométrique en projection sur Xj
Remarque 2 : le Lagrangien est
L
= Im (r'2 + r2 0'2) -f + C
Remarque 3 : on peut remplacer l'équation (2) par l'intégrale des forces
vives et l'on a ainsi deux intégrales premières
Exemple 4 : double pendule
Les liaisons (80)7(8!) et (S2)/(S!)
sont dejs liaisons rotoïdes parfaites
d'axes YQ. La masse des barres est
négligeable. En Gj et G2 sont disposées deux masses ponctuelles mi et
m2
II y a fonction de force et les liaisons sont parfaites.
d 3T _ JKT _ _31J
dt 30'
30 " 30
d_ 3T ._ JTT
3U
dt 3J1"
3(f) " 3cj)
1. Calcul^de^T^
T°
-
T ° ( l ) + T°(2)
T° = 1
m (V!
)2
2
G
1
l
Tf = 1m if 0 ' 2
Tl
OG
2
-
=
~ m 2 [V°(G 2 )] 2
(11 s ^ ne * 1-2 sin<|>)Xo
f
+
(li cos0 + 12 cos4>)Z 0
cos0 -H 12 (()' cos(f))X 0 - 0 f ( l i sin0 + 12 sin(j))Z 0
V°(G 2 )
=
(li 6
T2
=
j m2 [li 0 ' 2 + 12 cj>' 2 + 2 li!2 0 ' cf>' cos(0-cf))]
T°
=
1
(mi + m 2 )li 0 ' 2 •+ m2l| cf)' 2 + 2 m 2 lil2 6 f .f1 cos(0 - (j>)
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- 505 -
2 • Z2S££Î2S-.ÉÊ-£2££ê
U
=
mi g li cos0 + m2 g . (Il cosB + 12 coscj>) + C
U
=
(mi + m 2 ) g li cos0 + m2 g 12 cos.<j> + C
3- 5aHê£Î2SS-.âÊ-tè§5M§?
*>_%)
||r J
(mi + m 2 ) if 6 f + m2 li 12 * f cos (0-<j>)
JNITI
TT^T
"
U L OC7
+
(mi
Q
m 2 ) l i e f l + milil 2 <f> f l cos(6-c()) - m 2 li! 2 c() f (0 '-cf) 1 )sin(0-<f);
3T
-^ = - m2 li 12 (6 V) sin (6-<j>)
3îî
• au- * - (mi + m 2 ) g li sine
3
H
(m 1 +m 2 )lie" + Iil 2 <f>" cos(9-<))) - m 2 l!l 2 (j)' 2 sin(6-(f.) + gll(mi+ m 2 )sin6
= 0
b)j2?*)
?
9T
TT-T « m2 12 <()f + m2 li 12 0 1 cos(0-<|>)
H
Î^T
^r
|fr =
U.L OC})
Arp
?
m2l2())fl > m2lil20fl cos(0-*) - m2l!l20f (0f-c|)T)sin(0-(())
|
i =
+ m2li!2 0' cf)1 -sin(8-*)
BU
•-gj =
. ..
- m2 g 12 smc>
m2 12 <()f! + m2 Iil2 0" cos(0-<|>) - m2li!2 0 î2 sin(0-<)>) + m2 g 12 sin^J) =
Remarque 1.
L
0
Le Lagrangien du système est
= j (mj + m2)li 0 î2 + m2 12 <))f2 + 2 m2 Ij 12 0 ' cj>f cos(0-cj))
+ (mi + m2) g li cos0 + m2 g 12 coscj) + C
Remorque 2.
Obtention des équations par les théorèmes généraux
Les liaisons (SQ)/(SI) et (Si)/(S2) sont rotoïdes parfaites. Par
suite
.Soi(o) .Î0 - o
et
M12(Gi). Y0
=
0
Les équations du mouvement s'obtiendront donc en appliquant :
- le théorème du moment dynamique en 0 à l'ensemble (Si) U (S2) et en
prenant la projection sur Y0
- le théorème du moment dynamique en GI à (S2) seul et en prenant la projection sur YQ
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- 506 Remarque 3.
Les liaisons sont parfaites, les solides parfaits, et
il
il y a fonction de force au sens strict. On peut donc écrire l'intégrale des forces vives T = U + h
j
(m! -i- m 2 ) li 6' 2 + m2 12 <f>' 2 + 2 m2 li 12 0 1 <f> f cos(0-<J>)
=
+ (mi + m 2 ) g l j cos0 + m2 g 12 cos<t> + C
C. Cas particulier où la transformation virtuelle est une transformation
virtuelle compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à t
mais où les liaisons ne sont pas parfaites au sens de GAUSS et donnent lieu à fonction de dissipation.
Qic
QiLe
- °
+
dd>
QiLi " -âfr
Les équations de LAGRANGE s'écrivent donc
d
3T
T
3'4>
dt^T"^
55
S'il y a fonction de force
la forme
d
«•'.
3T
r\
f
dt 3-q{
+'8*
r\
3q£
^^"^
8U
Q£D = —r
.
¥ 1
et les équations de LAGRANGE prennent
x
^(T+U)
r.
Bqi
.
"~
U
n
V
„
J.
•
Et là encore les équations s'obtiennent à partir de fonctions T, U, $
La fonction dissipation permet donc d'introduire très simplement les actions
de liaison dans les équations du mouvement
Exemple
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- 507 Les liaisons (So)./(-Si), (S0)/(S2) et (Si)/(S2) sont dissipatives et donnent
lieu à fonction de dissipation de RAYLEIGH. Lorsque le système est en équilibre, on a
_
x
l ~ xle
X2 = X2e
on repère par xj et x2 les déplacements par rapport à la position d'équilibre
Xi '- Xle + xi
X2 = X2e + x2
L'introduction de ces nouveaux paramètres permet de simplifier considérablement l'écriture des équations.
Les raideurs des ressorts sont kj, k2, k3 et les constantes des
amortisseurs bi, b2, b3
Les équations de LAGRANGE s'écrivent
fLil_ + li_ - IL- - IL. - o
dt Bxi
9xf " 8x1 "" 8x1
d_ 3T + 3jL-.-.3T_ _ BU
dt "3xJ
9x2 " 3x2
3x2
Q
1. Calcul_de_T
T = ^ mi x{2 + Y m2 x^2
2. Calcul^de^U
Désignons par li, 12, 13 les longueurs des ressorts (Ri>, (R2)> (R3)
et par IIQ> ^20» ^30» ces m^mes longueurs lorsque les ressorts sont sans
contrainte
U
*
=
- |kl! - 110)2- |
^ (12 - 120>2 - J^ <13 - l30>2
11 -
|ÔA|
lj
=
Xj
11
-
Xie •*• xi
car Xi est toujours > 0
* 12 - |BC|
BC
=
ÔC - ÔB . «
[X2 - (Xi + Ijj] X0
12
=
X2 - Xj - Ij
12
=
X2e •+ x2 - Xle - Xl - li
car BC a une valeur algébrique positive sur XQ
=
(x2 - xi) •+ (X2e - Xle) - 1
* 13 = IDE]
DE = ÔE - ÔD = '[I, - (X2 + 12)] X0
13
=
*
L - X2 - 12
L
"X2e " X2 - 12
La fonction de force est donc
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car DE a une mesure algébrique positive sur XQ
- 508 U
=
|^ (X! + Xi e - l i o ) 2 - f2- [x2 - X! + (X2e " Xle> - |i (L - X2e - X2 - e 2 - 130) 2
+
e
1 ~ I 2 o] 2
C
Le dernier terme peut tout aussi bien s'écrire
-jp. (x2 + X2e + e2 + IsO ~ L)2
II s'agit maintenant de montrer comment sont obtenues les positions d'équilibre. Pour cela appliquons le théorème de la somme géométrique respectivement à (S}) et (S2) en projection sur X0
FR
/g
1 1
+F
.
= 0
2/1
F
R2/S2 + FR3/S3
pour la position d'équilibre
°
(nous verrons ultérieurement des méthodes analytiques pour trouver les positions d'équilibre).
Vsi = - k i (l1 - l i o ) iHr
•
F
•*"
- kl (Xi e + x x - 1 10 ) X0
CB
R2/Sl = - k2 (l2 - l2°> TCBT
=
F
R2/S2 =
+ k2 (x2 ~ xi +. X2e - Xle - ei - I2o) X0
"k2
(X2
"Xl *X2e "Xle ~ GI "l2o) X°
(le ressort a une masse supposée négligeable)
\/S2
=
F R3/S2 =
- k 3 d3 - 130) -fHp
+ k 3 (-x2 + L - X2e - e 2 - 1 30 ) X0
Par définition du repérage nous avons à l'équilibre
appliquant les formules de projection on aura :
x^ = 0 x2 = 0. En
- ki (Xle - 110) + k2 (X2e -:Xle - 6l - 120) = 0
- k2 (X2e - Xle - «! - 120) + k3 (L - X2e - e2 - 130) = 0
Développons la fonction U
U
= -|l-x2 - kixi(Xle - 110) - fr1- (Xie - lio)2
- |2. (x2 - xi)2 - k2 (x2 - Xl)(X2e-Xie-ei-li0)
- |2- (X2e - Xle - ei - 120)2
- |3.X2 - k3x2(X2e + e2 + 130 - L) - |i(X2e + e2 + 130 - L)2 + C
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- 509 TT
U
kl
?
k2
~ -^ Xf - -zf-
-
/
\2
ka o
(X2 - Xj)Z - -^- X|
- «i
M*ie - 1lo) - (*2e * xle ~ el ~ ^o) ^2
- x2
k3 (X2e + e2 + 130 - L) + k2 (X2e - Xie - ei - IIQ)
- f1 (Xie * ilQ)2 - |?" <X2e - xle ~ el ~ ^o)2
- |3. (X2e + e2 + 130 - L)2
U
=
+ C
-|
Ixf - |2 (X2 _Xi)2 _ |
1 (X2>2 + Cl
En repérant les déplacements à partir de la position d'équilibre on a une
expression très simple de la fonction de force. Il y a intérêt à appliquer
ce repérage toutes les fois que l'on a des ressorts inclus dans une chaîne
de solides.
3• ÇâlSHl-^ë^i
On a immédiatement comme
X] = xj
X2 = x2
+1 bi xf2 + 1 b2 (xi - xi)2 + I b3 x|2 + C
=
4. Eguations_de LAGRANGE
^ C/?x )^
*=^ i
d 3T
dT^F
:
=
m
l
X
„
i
8U
^—- » - ki xi .-+ k2 (x2 - xi )
|^r -
b x xi - b 2 W2 - xi)
.mj x" + (b1 +. b 2 )xi - b 2 x^ + (k x •*- k 2 )x x - k 2 x 2 =
•^&*>
:
0
Stfj - ««»
3U
—
-
- k2 (x2 -
HT -
Xl)
- k 3 x2
b2 (x^ - x{) + b 3 xi
m2xf^ - b2 xj -f (b2 + b3)x£ - k2 KI + (k2 + k3)x2 = 0
On peut écrire ce système différentiel sous forme matricielle
* m! 0 1 fxyl
*
0
m2
f (ba + b2) - b2
x^J
1 Txfl
»
-H
•[_ - b2
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(b2 + b3)J |_xi
["(kx + k2) - k2
+
1 [xj
*
[_- k2
(k2 •*• k3)J [x2J
= 0
- 510 Posons
V =
j^M^-
1
vecteur déplacement
LX2 J
mi
matrice d'inertie
m
C*3
=
r K HL J~"
[M]
. ^"
L°
2J
F (bi + b 2 )
L-*2
fkl'+
_- k2
k2
[ 4 > ] • ^'
+
- b2
(b2 + b 3 ) J
matrice de
^sipation
~k2
1
k2 + k 3 _
+
DKH • ^
matrice de
raideur
=
°
D. Condition générale pour avoir une fonction génératrice L. Fonction
de force dépendant des vitesses
Nous avons vu que lorsque les liaisons sont parfaites au sens de
GAUSS et lorsqulil y a fonction de force U les équations de LAGRANGE s'obtiennent à partir de la fonction génératrice L - T + U. Mais la condition
générale pour avoir une fonction génératrice est beaucoup moins restrictive.
Les équations de LAGRANGE pour un système indépendant s'écrivent :
1_ 8T
dt âq{
9T^ =
aq£
xH
i
V i
et l'on veut mettre ces équations sous la forme
d
3L, _
3L
dt'^r" a^; " °
avec
L = T
.
+ U
Mais il est bien clair que U n'a pas ici la signification habituelle
En portant T + U à la place de L
d_ 3-T ^ 3T + d_ 3U _ 3U
dt 3q! " 3q.
dt 3q!
3q.
=
Q
on a immédiatement par identification
3U
d
3U
Qi - 3?7"dt^[
Ce cas abordé initialement comme recherche formelle a trouvé une application
remarquable en physique.
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- 511 -
Exemple : DêtermineT le Lagrangien d'une charge q en mouvement dans un champ
électromagnétique.
La force de Lorentz s'exerçant sur
la charge q s'exprime par
F
=
q [E + VS(P) A B]
-*•
E est le champ électrique
- » • - » "
3A
E = - V . #-.g£
(V opérateur Nabla)
i|/ étant le potentiel scalaire et
î le potentiel vecteur
Vë(P) = V
est la vitesse de la particule dans le référentiel
de laboratoire (référentiel galliléen)
V
=
[Vx, Vy, Vz]
K
g
.
,
,
est l'induction magnétique
-+
B
- > - * - >
B = V A A
On rappelle que l'opérateur Nabla V est l'opérateur différentiel et vectoriel
+
3
3
-*
- ^ 3
->
. v ' -5Î- x + 3? • y + 3F- z
exemple : * $.V
V.V
= |Ï$ + |ÏJ + |ÏÎ
3x
3y
3z
=
grad $
»o = |a
|a |2s.
3x + 3y + 3z
V,F
-
div F
r Ai
"i
âx
a
-, £
*
V -AA t
A =
r—
3y
iji
AA
. az-J
->•
->
V A A
=
——
rot
3A
r aAz
yi
3y
3z
r A. i
A
Ay
J
A
L J
9Ax
=
T
3z
3Ay
9A
z—
3x
3Ax
L-sâT " âjr.
=sr>-
A
La force de Lorentz peut donc s'écrire sous la forme
f
=
q [1 ^ - M + ^ A ^Fl]
FX
Posons
-»• r i
F
=
Fy
FzJR
R
g
et calculons les composantes de F
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- 512 ,*.»•*
*> Xg
(V
3if
l^
=
IJl" -»•
3F Xg
F v* 1
3 ,
f lé* - Ml"
3y
3z
T,
=F*
VAÏSnT-
A
Vy
3Ax
A
Vz
3Az
â^---^
1AZ..3AX
1_ 3x
3y
L VZ J
/£ A
A —r~=if\—
(V
T5^)xg
3Ax
- ~
= TT?y /3Ay
e^L - 3Ax
- _x. ) -T7Vz ,3Ax
(^- - 3Azx
5J-)
„
Vx
•
-
VX
37-+ yy ^r + Vz 3T3Ax
„
3Ay
|^L - Vy |£ dx
^ 3y
„
3Az
VZ
|^
3z
9Ax
en ajoutant et retranchant le terme Vx -—
„ .
M^Q 1 Q
dAx
• • . i.
*""
dt
^
Donc
3Ax ^ 8Ax dx
«1.
3t
„^^„,,m^
I
BAx dy
_
mmj!*m
3Ax dz
t
dt
•••••m
3z
dt
If
- M* * If* tr* 3Ax
*f*^ *3Ay* {£
*
/^ A —T^N-^
_,_ „ 3Az _,_ 3Ax
TT
(V A rot A)Xa8 = Vx -5—
~
J -5-*- + Vz •=-— + .
3x + Vy
3x
3x
3t
=
Mais
m*mmm
3x dt ^ By
3
/* t\ ^ -3Ax
d
d Ax
-rr
—
dt
A
^(V*A)+ —-dT^
.-. a
a
ÏÏFmA'V = âF ^ (AxVx . AyVy + AzVz)
d 3J.^
d .
dt "3Vx~ ~ dt
'
^ ^
/tr
.
Tt
-»•
3
^
t
3Ax
d
3A.V
(V A rotlj.Xg = -^ V.A V — - ^ -^
on peut donc écrire
_
M 3Ax
- q F|j9x
-at
soit
3^>1
Bx
3J.^ 1
- dt d_
3Vx j
3Ax
3t
Fx = q[-|-(/-^î).|..L.(î^)]
mais le potentiel scalaire ty ne dépend pas des vitesses, aussi on peut
écrire
Fx
= q[-|_(^-^i)+|_ _|_(^-^.i)]
de même
n
^
j
Fy
-
Fz
, , [- fj (* - ti.î) * |
j
^
n
q^âyCt-^D^-lyrt-^J)]
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^ (* - *.î)]
- 513 Les équations de LAGRANGE pour la particule s'écrivent
d__ai__il
dt 9x'
x, = Vx
=
^
9x
l_il_--§!_ = Qy
dt 9y'
9y
^
avec
y'
= Vy
fefr i-- *
"*"
r
La puissance virtuelle développée par F est
&g - * • <»
«_/
Fx.x1*
=
+ Fy.y'*
d'où immédiatement
Posons
U
Ox
Qx
Qy
^y
Fx
Fy
Fz
= - q ty +
=
=
Qz =
+ Fz.z'*
=
»
=
Qx
Qy
Qz
q . V .A
+
+M-^L9JL
ax
dt 9Vx
+H-1.9JL
ay
3U
dt 9Vy
d 9U
"âl-dFâW
Le Lagrangien L est donc
L
» 'T - q ^. ••*•
•^
-*
q V . A
Cette expression a été appelée fonction de force électrocinétique par
SCHWARZSCHILD.
E. Intégrales premières
Nous avons déjà vu le grand intérêt de rechercher à priori les
intégrales premières (à l'occasion des théorèmes généraux^ Les équations de
LAGRANGE permettent leur recherche quasi systématique.
!.. Intégrale première linéaire en q| ;
On obtient immédiatement des intégrales premières linéaires
lorsque l'équation de LAGRANGE relative à l'indice i se réduit à
5L -JL =
dt 3q£
o
ce qui donne
T-y
àq^
= cte
Nous avons rencontré ce cas dans un certain nombre d'exercices, par exemple
le mouvement à force centrale ou le mouvement de LAGRANGE et POISSON d'un
solide ayant un point fixe.
Il se pe-ut que certains paramétrages cachent ces intégrales premières
immédiates. Etudions par exemple l'oscillateur harmonique à deux dimensions
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- 514 Supposons le point P attiré par
le point 0 par la force
%/P
r
=
-k r Xi
=
|ÔÊ|
La fonction de force est
kr2
U - ; - *|- + c
* Utilisons d'abord un repérage cartésien
ÔP"
=
[x.y.O}
T
= jm (x12 + y'2)
U
=
- | (x2 + y2) + C
Les équations de LAGRANGE s'écrivent immédiatement
m x" + k x
= 0
m y" + k y
= 0
* Utilisons un repérage en coordonnées polaires
ÔP -
r K!
(Sg.îx) = <(.
Te = i m (r' 2 + r 2 <).>2)
u - -•*£+ c
jgf.)
. - g r . - -.'
f
- -'V2
au = - k
. r
^7
d'où l'équation
j£^>
<=i^
S9<p • »
I!09 - °
!F • cte
o <p
Ifr - - <2 »'
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m r f l - m r <j>!
+ k r
= 0
-515d'où
m r2 <)>'
=
intégrale première linéaire en $ f .
C
C'est la loi des aires, ce que l'on sait car la force est centrale. Le
repérage en coordonnées polaires la fait apparaître immédiatement.
On rencontrera le même problème dans le cas de l'oscillateur
harmonique spatial isotrope.
2. Intégrales premières quadratiques. Intégrales de PA1NLEVE
a
) 5âEEÊl»£22£ÊEBêS£-IllSëISÎÊ-£ÎBË£î3HË
Tg
= i I [vg(P>]2 dm
P6S
«*•
*8<p> " 1: " i + °°° * HT "i * 00° * S; <A * H
[?8<«]2 - j, j, H:!|7«i «j * "0 + 2 j |Lf| + (§*
1=1
J=l
^1
1=1
J
1
On fait la double sommation en faisant prendre à chacun des indices séparément toutes les valeurs ; un terme tel que
(|L.)2 q j2
(i=]
j=1)
SP
9P
y figure une seule fois ; un terme tel que (—- -—) q{ q2
y figure deux fois (le produit scalaire est
^1 ^2
commutâtif)
(i=l
j=2)
Par exemple, si on a deux paramètres qi et q2
ps(P)]2 . ( n- )2qi2 . 2 n-!!- qiq . +( |^ ql 2
+ 2
+
9P
3
J^ + 29P 3P.
3q! 9t
9q2 3t
<H>2
Par suite, l'énergie cinétique T^ peut s'écrire
l8
2
-^[j,j,^
ilrii-^I^lir-i-^M?'
' '
pes
' pes
pes
J^
L
Posons
a..
J
J
=
fl?
j
—
pes
l
3? dm
,
—
r
J
>i • pesII--I© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.
« - pesfcH»'-
- 516 -
T8
Posons
- J
L
Z ï «n *i<U
J
[_i-l j = l J
T2 - ••=•
n n
I I a., q! q!
i-1 j-1
J
J
. T!
T0
- |
* i=l
=
+
I 2bi q[ + C
i-1
I 2 bi q{
C
L'énergie cinétique est la somme de trois termes de degrés respectifs 2, 1, 0
par rapport aux qî
T
-
T2 + TI
+ T0
9P
Si le paramétrage ne fait pas intervenir le temps — = 0. Alors
T = T2
T est alors une forme homogène du second degré.
Exemple de calcul de T
- la liaison (S1)/(S2) est une ^
liaison prismatique, d'où Y0 = Yj
- la liaison (S2)/(^i^ est une
liaison rotoïde parfaite d'axe
Z2 = Zx
-• la liaison (S3)/(S2) est une
liaison prismatique d'axe X2
Le mouvement de 0, est imposé
—>.
1
0 -+
OOi - j Y t2 Y0
Calculer l'énergie cinétique T°
de (S3)
T° - Im [V0^)]2
Repérons la particule P pour r et 6 car le mouvement de C^ est connu à priori,
0 et r sont deux paramètres indépendants.
V°(P) - V^P) + VÎ(P)
VX(P) = r 1 X2 H- r 6 f Y2
V^P)
=
Fcose
sin0
L °
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-sinG
cos0
°
0] [r f 1
0
r0'
=
y L9 J
Fr f cos'e - r 0' sin0
r ' sin0 + r 0 ' cos0
L
°
J.RJ
- 517 -
^J(P)
=
$?«>!)
_^
V°(P)
=
YtY0
l~r' cos6 - r 6' sin6
~
L
JE,
r 1 sin6 + r 6' cos6 + jt
-
[y°(P)]2
°
r'2 + r2 0 f 2 + 2yt sin0 r f + 2yt cos0 0 f + y2t2
=
T° = ~ m :(rl2 + r20f2) + ~ m (2yt sin0 r f H- 2ytrcos0 0 f ) -H j m y2 t2
T2
=
II
= -i m (2yt sin0 r f + 2ytr cos0 0 f )
T0
=
^.m (r'2+ r2 e »2)
Im y2 t2
Remarque : T£ ne contient pas de termes rectangles car on a affaire à des
curvilignes r et 0 orthogonales
S
- H• - °
9?
"5F
=
^
en effet
9?
"Se" =
X2
r
Ôf
=
r $2
^
3X2
W *
r Y2
b
) ïS£âS£âlÊ£_âË_2èiSÏ;SYl
Les équations de LÂ6RÂNGE s'écrivent
d 3T__ 3T_ _
dt3q>
3qi - ^
-.
V
X
- multiplions les deux membres de l'équation par q{
q,
„
v
i - .'.••• n
d 3T
. 9T
i dtRr-ql^T
- Qi^i.
n
- faisons la somme membre à membre de ces n relations
?
q i. d
? q i. 31
3T
j, 3ïâîT- ^, ^I
i
n
-calculons
d
y
•
d
—
^ i=i
5 Q.
ql,
j, i
T
V
9
_^
q!. ^
r
, 3T
qi
=
^î
=
r
i=i
qi
„ 3T
r
âqT ii,
qi
t d
3T
^â5T
Donc le premier terme de la relation s'écrit
r
. d
9T
J/iltâqT
r
-
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-
„ 3T
A
d
r
, 3T
j^iâqT*^ J^IâqT
- 518 La relation s'écrit donc :
n
A
d
r
q
IF J,
111218
11
t
n
ST
oT
i 3qT
1=1
^1
*W
q. =
-
oT
P 3T
dT
n
,
=
1Ï IqT * J, 3qT *!
I
Hl
1=1
Hl
1=1
C*T
r
oTo _•
H
n
r
4 r1
v r\ t
J, ^i
1=1
q
J,
^t^^^
aïïi:^
-.
,
i4
1=1 i 1=1 i 1=1 i i
n
2-^r^i î
1=1
V
n
„ ST
oT
r
*T
dïi
n
*
U
'iT'
oTn
H
t
D'après le théorème d'EULER sur les fonctions homogènes :
j,Hr«i • 2T2tTl
D'autre part, T étant une fonction des q^, q{, t on a
3T
r
dT
i -L
9l
^ " j, W
V
3T
.. j. ST
il ^T «i * ÏF
donc les deux derniers membres de la relation s'écrivent
d
3T
- ? IT qii* - ? 9T
3< - - dt T + 3t
iii **L
iii ii "
Finalement on peut écrire
f\
î^T
f\
ft (2 T2 + T!) - §£ (T2 + Ti + To) + |i -
I Qiq{
i=l
n
,
^(Ta-To) =
S'il existe une fonction
dV
dt
=
ST
l Qiqi-f
1=1
V
=
V(q , .qj, qn, t) telle que
BT
Y- n t
.^ Qiql -7t
on aura l'intégrale première dite intégrale de PAINLEVE
T2
~ T0
=
V
+ Cte
c) Remarque sur 1'intégrale_de_PAINLEVE
L'intégrale de PAINLEVE ne contient jamais explicitement le temps.
La relation d'existence de la fonction
' • £ - j.^i-H
montre que le second membre ne peut contenir de termes quadratiques en q|
car
£ •Hr^ooo'lïr'i'l^g
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- 519 Par suite la partie de T qui donne des termes quadratiques en
q{, c'est à dire T£ doit être indépendante de t. En dérivant l'intégrale de
PAINLEVE par rapport au temps considéré comme variable indépendante
aTp
_
j>V
at
at
|^ (TO + v) = o
II s'ensuit que T + V
Donc finalement
est indépendant de t.
T£ - TQ - V est indépendant de t
d) Cas_garticuliers
En pratique nous rencontrerons l'intégrale de PAINLEVE sous les
formes suivantes
a) II y a fonction de force et les liaisons sont parfaites au sens
de GAUSS
Donc
d
dt
du
Q.1 =
,T
(T
2
_
BU
-5—
9
qi
s
.
v
9U
î - H
V .- .^ 3^flq ^
T
r au
at
. au
5t • j, âiT 'i * ât
IF^-*») - f -IrB + ro
Si on a V tel que
sous la forme
|~r -
9(T
^U)
on aura l'intégrale de PAINLEVE
Ta ~ T0 « U - V + Cte
- la liaison (Si)/(So) est une
liaisoij prismatique parfaite
d'axe Y0
- la liaison (82)/(Si) est une
liaison rotoïde d'axe TL\
- la liaison (83)/(Si) est une
liaison prismatique d'axe X2
Toutes les liaisons sont parfaites.
La raideur du ressort est k et sa
longueur à vide est rg. La masse
de (3) est m. ¥5 est orientée
positivement dans le sens de la
verticale ascendante. Le mouvement
de QI est connu et tel que
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- 520 -
OO'i
= •=• yt2 YQ. Il y a donc deux paramètres indépendants 9 et r. La fonction
de force est
U = - | (r - r0)2 - mg (
| yt2 + r sin6) + C
U - U(6, r, t)
L'énergie cinétique est T° déjà calculée
T° « 1 m (rt2 + r26'2) + y m (2yt sine r' + 2yt r cos9 6')
+ lm Y 2 t 2
. n
9U
Calculons
—
0
9U
_
3T
et _
=
.
-m g y t
£\m
•r- = Y(r! sin6 + r 6 f cos6) m + m y2 t
ot
« 7(r? sin0 •«• r6f cos0) m •+. m Y(Y-g)t
t2
V = m y r sin6 + m Y(Y~g) y"
|TT (T + U)
ot
Posons
On a immédiatement
Ta
4r* = TT (T+U)
dt
ot
d'où l'intégrale de PAINLEVE
- TQ = U .- V + Cte
1 m(r'2 -H r2 6'2) - 1 m Y2t2 - - | (r-r0)2 - mg(l Yt2 * r sine)
t2
•- m y ^ sine - m Y(Y""g) —
soit après réduction
1 m (r'2 + r2 e'2) - - m (Y-*-g)sine - | (r - r0)2 + C
on constate bien que cette intégrale ne contient pas le temps.
g) II y a fonction de force U = U(qj, t), les liaisons sont parfaites
et le lagrangien indépendant de t
iffiffi. - o
1^» - o
La relation ^ (T2 - T0) - ff - |
^ (T+U) peut s'écrire fL (T2 - T0) - ~
ce qui donne 1'intégrale de PAINLEVE sous la forme
T2
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- T0 - U + h
Les masses P et PI ont leur centre d'inertie assujetti à se mouvoir sur une
parabole située^dans^un plan OXiZi. Ce plan matérialisant(Si) tourne autour
d^'un axe fixe ZQ = Zi. L'équation de la parabole dans ce plan est x2-2pz = 0.
ZQ est la verticale ascendante. Toutes les liaisons sont parfaites, la masse
de P et PI est m. On posera 2m * M. On négligera la masse des tiges de liaison. On supposera en outre que la vitesse de rotation ^' = co = cte. Montrez
que le système est un système à intégrale de PAINLEVE.
L'énergie cinétique est
mais
T =
~m [y°(P)]2.2
V°(P) - V^P) + Vi(P)
^0/T|N
V (P) =
V^P) =
x f Xi + z 1 Zx
VÎ(P) »
Sî A ÔP
u)x
Lz'
J
Ri
V°(P) =
r**
eux
|.x'
LP
JRl
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-
.
mais
i|;f Zi A (xXj + zZi) »
,
2x x f
z f = —s
u> x Yx
- 522 r\
T°
- . I n R i + pOx' 2 + o>2 x2]
T°
=
T2 + T 0
T2 = 1 M (i + ||.) x' 2
TO
=
lM<o2x2
La fonction de force est
U =
- M g z + C
0
- ff K> * C
-
+ L ^équation de. LAGRANGE s 'écrit (il y a un paramètre indépendant)
d_ 9T
11 1£ dt 3x' ~ 9x " 3x ~
n
3T
^p. -
„ ,, _,_ x 2 ^ ,
M (1 +?? ) x'
l-gr
- M(1+^)x"+^x,2
|I 3x
^.x x 1 2 + M a)2 x
p^
M
3x "
Mgx
p
L f équation de LAGRANGE s'écrit :
M(l + 4)x" + T- x ' 2 - M co2 x + î& . x
P
P
P
(1 + 2^) x» + 2^. x-t-2 + (Jt - . W 2) x = o
=
0
+ Intégrale de PAINLEVE
Calculons T + U
T+
u
.
I M £(1't 2£)x.2 f ^2 X2J . |
| x2
+c
^
T + U ne dépend pas explicitement de T par suite on aura
— (T + U) = 0 et l'intégrale de PAIN-LEVE
ot
T2
~ T0
=
IM [(1 *^.) x'2 -co 2 x^
(1 + 4> x 12
P
-
U +h
- -^x2 + C
(^2 - Â> x2 + C'
P
Intégrale première quadratique. Remarquons qu'elle aurait pu s'obtenir à
partir de l'équation de LAGRANGE. L'intérêt de la méthode est de l'avoir
écrite à priori.
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- 523 + Intégration de l'équation du mouvement
Prenons les conditions initiales suivantes. Pour t = 0
2
on a immédiatement
G1 =
on peut immédiatement écrire
dt
_
SB
F
9
(1 + 2%) xj2- (co2 - •&) XQ
p
^
x = XQ
X 1 = XQ
/^3f^33:
' ..£
/
^
8 devant être convenablement choisi et l'équation du mouvement s'obtient par
quadrature
x
dx "
_
zr-gcfr-to)
/(a)2 -|)x2 + C'
/
/
x2~
•» +fr
x
Cette équation donne
o
t = t(x) et par inversion on a x = x(t)
Remarquons qu'une discussion qualitative du mouvement serait facile à partir
de l'intégrale de PAINLEVE. La réalisation pratique de ce système est connue
sous le nom de régulateur à bras croisés de Farcot qui réalise approximativement le guidage sur parabole (centre oscillateur)
7) II y. a fonction de force au sens stricts le repérage se fait
indépendamment du temps
T
=
T£
TI
=
0
TQ
=
0
T
L'intégrale de PAINLEVE s'écrit 4r
= Ir
dt
dt
C'est l'intégrale des forces vives
rencontré de très nombreux exemples
T =
U +h
dont nous avons
Remarque 1 : on appelle quelquefois l'intégrale de PAINLEVE intégrale des
forces vives généralisée
Remarque 2 : l'intégrale des forces vives avait été obtenue dans l'étude par
les théorèmes généraux à partir du théorème de l'énergie cinétique. On peut facilement obtenir ce dernier théorème à partir
des équations de LAGRANGE dans certaines conditions.
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- 524 -
7.1.8
LES PARAMETRES NE SONT PAS INDEPENDANTS MAIS LIES PAR DES RELATIONS DE LIAISON
HOLONOMES OU NON HOLONOMES
Les relations de liaison peuvent se mettre sous la forme générale
f ^ C q i •••<li ••• Çn't)
J
(I)
a j i q î + ...
) J = l ••• h
?
) j * 1 ... 1
" °
+ aj^ + ... + aj n q^
-
bj
Remarquons tout d'abord que si nous avions des liaisons de type holonome nous
pourrions nous ramener immédiatement à l'étude que nous venons de faire.
Supposons en effet que les seules liaisons existantes soient du
type :
£j(qi ... qi ... qn,t) - 0
.
j = 1 ... h
on peut toujours tirer h paramètres en fonction des n-h autres, et alors se
ramener à n-h paramètres indépendants. Donc du point de vue de la théorie il
n'y a pas de difficulté nouvelle. Si l'on garde ces liaisons dans certains
cas, c'est uniquement pour une raison de commodité.
Par contre, il en va tout autrement pour les liaisons du type non
holonome^
aj,qf + ... + ajiq{ + ... + ajnq^ - bj
car par hypothèse elles ne sont pas intégrables et par suite nous ne pouvons
pas exprimer certains paramètres en fonction des autres grâce à ces relations.
Si nous conservons les liaisons non holonomes, c'est pour une question
de principe et si nous concervons les liaisons holonomes c'est pour une question de commodité.
A. Intérêt d'une transformation virtuelle compatible avec les liaisons
telles qu'elles existent à l'instant t
Reprenons l'équation générale de d'ALEMBERT sous sa forme générale
[Ql - Ai]q{* + ... + [Qi - Ailqj* + . .. + . Qfe.- A^q^ - 0
Qi étant le coefficient de la puissance virtuelle développée dans une transformation virtuelle quelconque.
Les équations de LAGRANGE s'écrivent
d 3T
dt aq[
3T
3qi
A£
=
Q£
soit
_
" ^
Mais dans ce cas le coefficient Q^ correspond à la puissance virtuelle développée par toutes les actions mécaniques y compris les liaisons parfaites.
Il y aura donc intérêt à prendre une transformation virtuelle compatible avec
les liaisons telles qu'elles existent à l'instant t.
Désignons par (# les coefficients de la puissance virtuelle développée dans une transformation virtuelle compatible avec les liaisons telles
qu'elles existent à l'instant t.
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- 525 Ces transformations sont définies par
+
i-'-" |£«r -*!ïX
j = 1 ... 1
US* ' °
| ajiqi* + ••• + ajiqi* + ••• + ajn<ln* - 0
Si nous prenons de telles transformations, c'est à dire des vitesses virtuelles vérifiant les équations ci-dessus, 1'équation de d'ALEMBERT s'écrit
CQÎ - A{] q{» + ... + [Q* - Ai] qj*,+ ... + [Q* - A^ qn* = 0
Les coefficients Q* sont plus simples à calculer que les Qi mais il faudra
exprimer alors que les q{* sont astreints à vérifier le système (II). C'est
ce qu'a fait LAGRANGE avec la théorie des multiplicateurs.
Remarque : le système (II) peut se mettre sous la forme unique
i : i i'i ' {«ji'I* * ••• * "n'i* * •••+ «inC - ° }
du point de vue mathématique ce sont des équations linéaires en q!
B. Equations de LAGRANGE avec multiplicateurs :
Nous devons écrire que l'équation de d'ALEMBERT n'est vérifiée que
si les q|* vérifient le système (II), c'est à dire que nous devons avoir simultanément :
aiiq{* + ...+ aiiq{* + ...-.+ alnq^* - 0
a..q'* + ...+ a..q{* + ... + a. q^* = 0
m équations
f
a .q.'*
+ ...+ a .q!*
+ . .. + a n q * = 0
mlnl
mini
mn n
[AI - QÎlq-î*
+
• • • + [AI - Qflq{* + ... + [An - ojqi* = o
équation de d'ALEMBERT
Or un théorème d'algèbre nous indique : "pour que les qf vérifiant le système
(II) vérifient une équation supplémentaire il faut et il suffit que cette
équation soit une combinaison linéaire des équations du système11. Donc si
AI ... Xj ... Xm désignent des scalaires à priori arbitraires appelés multiplicateurs de LAGRANGE, on a
[Ai - QtM* + ... + [Ai - Q*]q{* + ... H- [^ - Q^ q^* =
M a ll<li* + ...
+ aiiql* + ...
+ ain^n*)
+
^j(«jiq[* + ... + ctjiqj* + . . . . + «jn^*)-
+
\n<«mi«li*
+
•••
+
«milî*
on obtient donc la forme linéaire en q^* :
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+
•«•
+
«anO
- 526 -
[A! - Q* - x l 0 l i - ... - X j d j j - ... - x m a m jqj* + ... +
^ - Q* - X101. - ... - X.cx.. - ... - Am%i]q!* + ... +
[À
L
n
- Q - Xicxi
- ... - A.a. - ... - X a Iq'*
x x
n
n
j jn
m mnjnn
=
0
Les m multiplicateurs étant à priori arbitraires nous pouvons les choisir
de manière qu'il annulent les m premiers crochets de la relation précédente.
D'çù TU équations
I
*
^
a
a
AiL - xQi - M
l Xl1l ~ • • • "" ^ - *
J Jl
- ...
- Xa _
=
m ml
0
A. - 0. - Xi1 a i1 . - . . . - X.a..-...- X a . = 0
i
i
- -!
j ji
m mi
A - Q * - X ixaxf -.-..- X. a. - ... - X a
= 0
m
Tn
m
j jm
m mm
Mais alors les n-m vitesses virtuelles qui figurent encore dans l'équation
de d'ALEMBERT sont arbitraires. Leurs coefficients doivent être nuls pour
que l'équation soit vérifiée quelles que soient ces vitesses, c'est à dire
que les derniers crochets doivent être nuls.
*
A , , "" Q , " " Xx i ax i / , 1 N — ... — X . ex. / , 1 N "* ... ~ X a , | 1 N
m+1
^+1
(m+1)
j j(m+l)
m m(m-H)
A
n
- 0
- XiL a,
TI
• " . . . — X. a .
1-n
- . . . - X a
j jn
m mn
=
^
0
=0
Autrement dit, tous les crochets doivent être nuls. On obtient donc les
n équations de LAGRANGE
d
3T
3T
dt^qT""^qT
1
n*
Ql
=
Q + x a
=
Q
IF HT" HT
A
1
Ci T
iai1
J^ 1
•"
i ii+ •••
i
Si T
dF "9^ " 9^
-
=
tnaml
"••
+x a
j j i + •-
+
Vmi
^>
n
+ X ai
l *
+
'''
+ X
JaJn
+
'''
+ X
m°^n
que nous pouvons écrire symboliquement
d
3T
3T
dT^T-^T
=
.*
«i
+
.
r
.
.1, XJ °Ji
Remarque 1 : comme précédemment nous avons
*
*
*
*
Q
= Q
+ Q
+ Q
i
iD
iLe
iLi + QiC
¥
Si le système est formé de solides parfaits à liaisons parfaites :
<c = o
^Le= °
^Li- °
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- 527 Les équations de LAGRANGE s'écrivent alors :
d
3T
3T
dt-^T-^T
= Q
*
r
iD+.^jaji
Remarque 2 : faisons le bilan des équations et des inconnues
( n inconnues paramètres : q.î
inconnues : { m multiplicateur de LAGRANGE
)
} "+n
équations : { n fiions de LAGRANGE
'
T,\ m + n
| m équations de liaison (système I)j
Q.
étant connu en fonction de l'état cinématique du système on a autant
d'équations que d'inconnues ; la solution complète est donc possible
C. Exemples de mise en équation et de résolution
1. Exemple 1
Un système est constitué de trois solides (Si), (82), (83)
formant un essieu et de deux roues de rayon a en mouvement sur un plan
(0,Xo,Yo) horizontal. Le plan de symétrie des roues perpendiculaires à
l'axe coupe l'essieu en 02 et 03 tels que 103021* 2a. La masse de l'essieu
qui est une barre homogène est m, , celle des masses n^, celles-ci pouvant
être assimilées à des disques homogènes. L'essieu porte en outre en son
milieu 0^ une masse supposée ponctuelle m. On oriente 0203 par AI tel que
0302 = 2a Xi. Xx arbitraire.
(Sj) par
A ''(Si) on lie (RI) tel que ?i « 10 et ^1 = ^1 A îi. On repère
^
00X = (x, y, a)Ro
(X0, Xi) - y
A (S2) on lie (R2) : (02, X2, Y2, Z2)
->•
-+
X2 = Xi
Y2
arbitraire (sens)
Z2 « X2 A Y2
On repère la rotation de (R2)/(Ri) par
<|>2
=
(Yi ,Y2)
A (S3) on lie le repère (R3) : (03, X3, Y3, Z3)
-*•+
X3 = X!
Y3
->
Z3
arbitraire
->
->
= X3 A Y3
On repère la rotation de (83)7(81) par
<f>3
=
(YI ,Y3)
On suppose en outre qu'il y a roulement sans glissement au contact en I et
qu'il y a glissement parfait au contact en J.
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- 530 b) Calcul de l'énergie cinétique
T° =
TI + T2 + T3 + Tm
T! = ymiLv°(Oi)] 2 + }aïî 0 l « ï , T!
=
fo o
- I m i C x ' 2 + y ' 2 ) +1 (0,0,iJ,')
0 ^-
_0
T! = Y m i ( x ' 2
T2
-»•"
+ y 2) +
'
o ~i.ro
o
o
0
0
5i|iJL + f .
ï ( m iy^' 2 >
. | m2 ^°(o 2 )j 2 + Y « 2 . T02 . 3s
$1
2- - F 0
U'J^
avec
A =
B
7
I0
--
F0
o
Lu
R
B
0
n
0
BjR2)Ri
(le corps est de
révolution)
m2-r—
= ji- (3a2 •*• h2)
h étant l'épaisseur du disque
m? a2
B » -fT
2
a
T (x'2
+
y ' 2 - •2ax''l''f
s ni
i P
+
2ay'i);' cosijj + a 2 ^' 2 ) m2
p
+ j (m2 l 2 -*' 2 + m2 J-l' 12 )
on a immédiatement TS en changeant a en -a,
T§
<|>2 en <j>3
= j m2 (x |2 + y ' 2 •+ 2ax'r sin* - 2a y ' ^ 1 cos'J' + a24>' 2 )
^ m 2 (f^<t>5 2 + ^ - * ' 2 )
T°
m
= 4-m
(x l 2 + y' 2 )
2.
T° = j Qm1+2m2+m)xl2+(m1+2m2+m)yf2+(m1|^a^m
+ m2y- ^J
c) Calcul de la puissance virtuelle développée dans une transformation
virtuelle compatible :
- puissance virtuelle développée par les poids
La cote des centres d'inertie de chacun des solides reste constante,
la fonction de force est U = cte. Par suite la puissance est nulle
&- °
- puissance virtuelle développée par les liaisons intérieures.
Elle est nulle car les liaisons sont parfaites
^P'u - -
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- 531 —• puissance virtuelle développée par les liaisons extérieures
Elles sont parfaites (roulement sans glissement en I, absence de
frottement en J). Donc finalement on aura
6JT*
=
0
donc
Q* - 0
;
Q*
Q* =
0
X
;
=
0
soit
Q^ =
0
; Q*3 = 0
Ceci pour des transformations virtuelles compatibles, c'est à dire pour
des vitesses virtuelles vérifiant
x1* - a(ip f * + 4>i*) sinij;
S
f
f
y * + a(ij> * + <(>£*) cos^
« 0
«
0
d) Equations de LAGRANGE
•^•feSr-i-».
(m! + 2m2 + m)x fl
«
Xj
•^'^^-H- ^
(mx +. 2m2 +-m)y 1 1
(^jfP
*<?C
J
(l|;)
î
^«p
«
Ji'Tn
r
dt'3? ~3? "
a2
~
5
(mi-^ + y maa )^"
*5f<*2>
X2
X l S 8in
*
+ X 2 S C S4<
°
= - Xi a sint + \2 a cosi|)
:
f E ||T-f^- - - Xj a sin* + X 2 a cos^
_2
m
2 ~ô" ^2 = ~ ^i a simj) + X 2 a cosij)
9^.\ . d 3T
3T _
*oC<*3) .V dt -§£5 ~ 8^7*§ «
°
0
e) Résolution
On a donc les équations
(mx + 2m2 + m)xfl
=
Xx
(D
lf
=
X2
(2)
l "T" + y m2 )^ n = ~ X j a sinijj + X 2 a cosip
a
mi y- cf>2 = - X.i a sin^ + X 2 a cosifj
(3)
(4)
(m! + 2m2 + m)y
m
a.
5
a o
*5 '-' 0
(5)
auxquelles il faut ajouter les équations de liaison
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- 532 x 1 - a \|>' sinif; - a <j>2' simj;
y
1
+ a ij/
f
cosij; + a <j>' cosip
=
0
(6)
=
0
(7)
soit 7 équations pour 7 inconnues x, y, fy, <f> 2 , $3, X l 5 X 2 .
a
) IIi3iSâ]i:î2S_$lê£.J&Hl£^^
paramètres
II faut éliminer les multiplicateurs qui sont des inconnues dynamiques afin de se ramener à un système différentiel.
Posons
M = rnj + 2m2 + m
x1
Xx
= M x"
X2
=
11
My
x ff
=
a(i(;fl + (j)^ f )sin^ - a i|; f OI> f -*-c|)^)cos^
y"
= -a(^ f! + (j)^!)cos^ + a ^ f ( ^ f -»-<()2)sin\j;
\l
=
\2
y
=
f
= -a
M a(ip f! + <()^ f )sin^ + M a i j ; f ( ^ f
*--M a(tj;
ff
a (f + <j>£) sin*
+
(t|/r + <|>2) cosif;
4^^°^
f
+ -<frîf.)cosi|; + M a ^ (^' + $2)situ);
3 ) E2££2S§_ce s ^valeur s_d§ns_l e s _e§uat i ons_ j[ 3l_e t_Xâl
:
o
(Hi5_ + |. m 2 a 2 )^"
-
- M a 2 (i|j lf + <()^ f )sin 2 ^ - M a 2 ij;'^ 1 + t()^)cos^ sini);
- M a 2 (^" +-c|)g)co8 2 i(; + M a 2 ^ f ( ^ ? + <f>2)sini|> cosip
-
- M a 2 (i); lf + <fr2)-
soit encore
(E
de même
2^ + I m 2 a 2 ) ^ n "*" M a 2 ^ n * *S>
2
'2ly- cj)^1 - - M a 2 (^ f l + (|)^f)
=
°
Ces deux équations s'écrivent :
a 2 (^ + |- m2 + m x + 2m2 + m)ij; ff + a2 (mx + 2m2 + m)c() 2
2
lf
2
! a (mx + 2m2 + m)i|> + a' (2l +
mi
+ 2m2 + m)<j>^
»
«
0
0
y) pour résoudre 22UË-âY22£-Ë2S£-l£S-.É3iîa£Î£2S-Ëi£êB£Î£llË£
(m + | mi + | m 2 ) ij;11 + (ma •+ 2m2 + m) ^
3
(ml + 2m2 + m)\j/ ! + (y m x + 2m2 + m).^
y
+ a ip
1
- 0
(3Ï
=
0
(4)
.-Va -
°
(5>
=
0
(6)
=
0
(7)
x ! - a \Jj f sini); - a (j)^ sinip
1
:
cosijj + a 4>2 cos^
Les équations (3) et (4) sont des équations linéaires en ty" et cj) 2 . Le
déterminant est
A
=
3
3
5
(y mj + 2m2 + m) (m •*- -r- m1 + 2m2 + ^ m 2^ " (ml
A
=
3
5
3
(y m^ •+ 2m2 + m) 2 + -r- m2("ô" ml
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+ 2m
2
+ m
+ 2m
2
+ m 2
) "" (mi + ^^ "*"
)
m
^2
- 533 donc
A
^ 0.
i
ib"
In
<j>2
Par suite le système admet seulement la solution banale
=
=
0
n
0
^
, "
\1) = il^n + ^ô t
A <()2 - - I 920
++A »920t-t
On a donc
L'équation (5) donne
(J>3 «
En portant les solutions dans (5) et (6)
x 1 .- y
1
x
y
4>3-pt * ^30
a (^ + <f>£0) sin(*ô t + <J,0)
= -a (i|;j + ^20) cos(^ô t + ipo)
= a ^ ^0 C08WÔ t + ^Q)+ ci
.. a *Ô^- *io. 8in(<,ô t + +Q) + €2
Le centre d'inertie commun Oj décrit donc un cercle de centre C tel que
GI
ÔÈ
C,
-
K 0 - a t^* «»
=
r"
C2
avec
L° J RQ
costo
C2
- y 0 - a tij fi»
sln»0
^) âê£ËESÎ2§£Î2S-âÊ-^l-ê£-^2
Xi
= M x ff
\l
»
X2
- - + M a-(*J + <|>2oHc) 2 cos(.*Jt H- * 0 )
- M a(^5 + <f>2o)^Ô 2 sin(^Jt; + t(;0)
f) Signification des multiplicateurs X^ et ^2
Appliquons le théorème de la somme géométrique à l'ensemble
F02 + F 0 3 + P
Posons
$02
^03
=
=
-
M jj
{X2, Y2, Z^]R
t^> ^> ^slp
(liaison parfaite)
en projection
X2
=
(mx + 2m2 + m)xff
Y2
=
(m! ••+ 2m2 + m)y"
2 + Z3 " (ml+ ^m2 + m)g
Z
* 0
en comparant avec (1) et (2) on constate que
AI
=
X2
X2
=
Y2
Les multiplicateurs AI et \2 sont donc les composantes de lfaction
de contact de (89) sur (82) sur les axes (O,XQ) et (O,YQ)
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- 534 g) Equation de LAGRANGE sans multiplicateurs
Prenons cette fois une transformation virtuelle quelconque (elle
sera toutefois astreinte à respecter la liaison de contact).
La puissance virtuelle n'est pas nulle.
La puissance virtuelle développée par les poids est toujours_^nulle
de même que la puissance virtuelle développée par l'action de contact FQS»
Par contre celle développée par pQ2 ne l'est pas. Elle vaut
/3y5* =_
y
•£
t7°*f-n
FQ2
V
2 (I)
" x f * - a(* f * + .<(>£*)sinij; ~
($P*
=
y'* + a(* f * + <|>|*)cos*
(X 2 , Y 2 , Z 2 )
L
($P*
»
^^* =
°
X 2 x f * + Y 2 y f * + (-X2a sinip + Y2a cos^)^ f > r + (-X2a s in* + Y 2 a co8i(;)<fi*
Qx x f *
+
Qy y'*
Q^ * lllf
+
+
Q^ 4l*
Les coefficients de la puissance virtuelle ne sont pas nuls bien que la liaison soit parfaite. Les équations de LAGRANGE s'écrivent alors
d 3 T
9T
— ynr - -g—7 -
Q£
(mi + 2m2 + m)xff
=
X2
lf
=
Y2
(mi + 2m2 + m)y
.
.
u
t
u
soit comme le premier membre n'a pas change
n
2
a
5
(mj — + -r- m2a2)*lf
=
- X2 a sin* + Y2 a cos*
=
- X2 a sin* + Y2 a cos*
2
a
m2 y- <f>2
+§ - o
•
L'interprétation des multiplicateurs est alors immédiate.
2. Exemple 2 (système holonome)
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- 535 (
- on applique à la manivelle (1) un torseur
HTl 1
:
i
F, = 0
->
(
Mi(0) = MiY*p
{ Î2
- on applique à la coulisse (2) un torseur
LT2 J
:
=
F2 XO
\ ->
( M2(02) = 0
on demande de trouver l'équation du mouvement sachant que les liaisons sont
parfaites.
a) Equation de liaison
Pour repérer le mouvement on emploie les paramètres x et 9 • Mais
ils ne sont pas indépendants. Nous avons vu qu'ils étaient liés par la relation :
/ A N
.
ces (9 - a) =
cos a
Elle est de type holonome.
b) Equation du mouvement en se ramenant à un paramètre
a
) §SêïSÎË-£iS§£i3HË
T° - TX + T2
T° = 1 I^'2 + ~M x 12
II désignant le moment d'inertie de (Sj) par rapport à O,ZQ et
M la masse de (82).
x' =-r sin(9 "a) 6'
cos a
D'après
(1)
r
T° = ifl! +.Mr2 (Sln(e "a)2) 1 9'2
2 L
cosa
J
$)• EHÎSËêS£ê«YÎl£Hêllë
Les liaisons étant parfaites et la transformation compatible, la
puissance virtuelle est la puissance virtuelle des seules actions données
6fi*
=
-MiCOi)^*
+
F2 . Vl*(02)
(comoment des torseurs forces et vitesses)
(}p* = M! e'* + F2 x'*
*S
xf
(ffî*
*^J
=
=
—- 6 f *
cos a
- r
L
L—
-
8in
F2
6p* - % e> *
1uS
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dans une transformation compatible
r
^ - a > 1 6-
cos ut
I
de la forme
- 536 -
Y) l§u§£î23i-£ê_M§Mîï£l
Il y a un paramètre indépendant : 6
d_ 3T
.21 - n*
dt 90' " 96 = ^0
HT - . [ l
+
t
M
d£lT s i n 2 ( e - a > ] 6'
I +M
o
r
~~i
9
sin2(9-a) 6" + 2 M ry sin(6-a) cos(6-a)ej
cos a
J
cos^a
z
2
o
II « M—£_ sin(e-a)
cos(6-a).ef2
v
30
cos^a
d'où l'équation
Sln(9 a)
fî, + M —4- sin2(e-a)]0f! + M —^r
sin(0-a)cos(e-a)6'2 - Mxx - F
~
z2
L
cos^a
J
cosza
cosa
c) Equation de LAGRANGE en conservant deux paramètres et en prenant une
transformation virtuelle compatible
Les vitesses compatibles sont définies par
*.».+ r s^(6-a) ,* = Q
cosa
La puissance virtuelle est
<7M* = Mx 6'* + F2 x'*
T
L'énergie cinétique est
°
=
T C1!6'2 + M X>21
On peut donc écrire les équations de LAGRANGE en employant la méthode des
multiplicateurs
d
dt
d
dt
31
39'
3T
3P" ~
9T
36
3T
"3l
_
~
_
~
sin(e-a)
cosa
l
,
F2
.
|Iie- . M^Xr^i
\ Mxff
= F2 + X
(1)
(2)
De l'équation de liaison, nous tirons
x1
- - r sin(e"a) 0'
cos a
x"
« - r siti(0~a)
cosa
d.o»de<2)
*
0fl
_ r cos(0-a) Qt2
cosa
- -,rli|^!L,..Hr£atoL,.2
En portant en (1)
!
4- 8in*<e-a)B» - M r^ sin(6-a) .cosa
e.. =i MI - M 1
cos/a
cos^a
sin Q a
- F,
(-)
zr
cosa
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2
- 537 -
soit
JËfU
sin2(0-a)~]e" + Jfi£sin(e-a)cos(0-a)6' 2 = Mxx - Fz2 r
cosza
_J
cosza
fi .+
L1
sin(9
" a)
cosa
C'est bien l'équation déjà trouvée»
d) Equation du mouvement en employant une transformation virtuelle incompatible
Nous allons cette fois employer une transformation incompatible ne
respectant pas la liaison entre (Si) et (82)
a
) £âl£ïïI«£lSLï
T°
- I [j 6'2. + M x'2]
6) -calcul^deÎL.
^r^ç <#
Uf
12
f
:
puissance virtuelle développées par les actions de contact (S1)/(S2)
l
: puissance virtuelle développée par le torseur [TJ]
2
: puissance virtuelle développée par le torseur Qr£]
e
gr - «' "
^ï - F2*"«
C^ 12 cette fois n'est pas nul
^Î2= F12.^»(M)
Posons
•4.
FI2
=
^2*(M)
["Xi
0
^
FI2
L o JBRO»
=
VI*
=
|~X cosa"
X sina
L o J R_o
t|*(M)' - ^Î*(M)
^°*(M) = flj* A 075 =
%*(M) =
=
r 6:'* Y!
=
6'* Î! A r Xj
f-r 6'* sin6 ~
r 6'* cos9
L
o
J Ro
x'*X0
V2*(M) =
fx?* + r9'* sin6~
-ref* cos6
L •
-0
Ôf 12 ~
X cosa(x'* + r 6'* sin6) - X sina.r6'* cosô
^^*
(Mi + X r sin6 cosa - X r sina cos6) 6'* + (X cosa + F2)x'*
=
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- 538 -
y) é^uations^du^mouyement
d__ 3T
9T
4
30 "
dt ïiF
d_ 3T • _ i
l -
dt 3x' " 3x
I 6fl
M xfl
~"
e
Q
^x
=
MI + X r sin(e-ot)
(1)
=
F2 + X cos a
(2)
1
on a en outre l équation de liaison
x
=
x"
=
r
-
cos(6-a)
i
ï.
cosa
r
si-n(e-a)
cosot
_ ^ cos(e-a)
cosa
Qll
ef2
en portant en (2)
X
=
J ..
-
F2
cosot
+
M
x»
cosa
-JËL. - M r
cosa
Sin(
r a) 6 " - M r
cos^a
C
° s( ^za) e*
cos a
en portant en (1)
sin(0 a)
I 0" - Mi1 - Fo
" ^ M r2 sin2(g^I
-M r2 sin(e~a)c°zs(e~a) 9 «2
z r
cosa
cosza
cos a
c'est l'équation déjà trouvée
Remorque : lorsqu'on employait les équations de LAGRANGE avec multiplicateurs
on avait l'équation
M x" = F£ + -X
on a immédiatement
X = X cos a
Le multiplicateur X est donc la projection de F^ sur ^0 •
D. Signification générale des multiplicateurs
Nous avons déjà vu que les multiplicateurs s'interprétaient pour
les exemples étudiés comme des actions mécaniques de liaison. Cette signification est gêné-raie.
Comparons les équations obtenues dans une transformation virtuelle
quelconque à celles obtenues dans une transformation virtuelle compatible
avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant t :
J
£N m
Ç\ rp
TT
^—r " "^—
dt 9q.[
Bq^
A
Si T1
^ T1
— -—j— T—-• =
^i
^i
=
M
Q.
x
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Qi*-
transformation quelconque
^^
+ ^ Xj Xji
j=j
transformation compatible
- 539 m
On constate immédiatement que l Aj a^ est homogène à une force généralisée.
Pour préciser, supposons
j-1
par exemple que l'on ait un système de solides parfaits à liaisons parfaites.
#
<*i
=
*
iD
Q
m
n.
= yflk +
Y . A i ou;
v
i
iD
> J J1
mais
Q£ = Q£D + Qic + Q^Le) + Qi(Li)
Q. m o
(on respecte l'état solide)
"^
^
Q. = ,Q.
(on peut toujours faire ce choix)
m
donc
Q.(Le) + Q.(Li) = l Xj aji
1
j-1
m
Autrement dit
l Aj ctj£ représente le coefficient de la puissance virtuelle
développée
j=l
par les actions de liaison -même parfaites- dans une transformation virtuelle
incompatible. On peut donc appeler ce terme action de liaison gênéTolisée.
E. Précision sur 1'origine de l'irréductibilité (lorsque l'on a affaire
à des liaisons non holonomes)
Nous avons déjà longuement insisté sur la nécessité qu'il y avait
de conserver tous les paramètres nécessaires à exprimer les coordonnées de
tous les points du système. Nous allons approfondir maintenant la cause profonde de cette obligation.
1. Exemple
Nous allons montrer d'abord sur un exemple que l'on peut être
amené, si l'on ne respecte pas les conditions, à commettre de graves erreurs.
Reprenons l'exemple de l'essieu muni de deux roues identiques
dont l'une roule sans glisser sur le sol
T°
=
T . [tel
+ 2m
2
+
+
m)V2 + (mj + 2m2 + m ) y l 2 + tejj- + j m 2 a 2 ) ^ ' 2
m
a
9
2 ~ $2
+ m
on a les relations de liaison
a
P I
2 ~ 4>3
I
x 1 - a<i|;f •*• (f>i)sin^
=
0
y' + a(i(;' +
=
0
^ =
Dans la transformation compatible on a Q^
Des équations de liaison on tire
x'2 + y'2
fà)co8ty
0
=
a2(ip' +-<(>^)2
T° peut donc s'exprimer sous la forme
T" = | £œi + 2m2 +m)a2(^' + ^2 ^ÎSlâi + | m2a2)*'2 +
T° s'exprime maintenant en fonction de ij; ', '4>2, 4*3*
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- 540 -
Mais ce serait une très grave erreur que de se servir de cette forme pour
écrire les équations de LAGRANGE^ c'est à dire pour calculer
A
d 3T
3T
" dt Bq{ " 3qi
i
Cela provient du fait que pour exprimer les coordonnées d'un point de système il faut au moins 5 paramètres x, y, \f/, <K , <|> . Il n f est pas possible
2
de les exprimer avec 3 seulement.
2. Théorie de lfinëductibilité
Soit un système à n paramètres liés par des relations du type
holonome (nous faisons cette restriction pour montrer la spécificité de
liaisons). S'il y avait des liaisons holonomes, on supposera qu'elles
déjà été utilisées pour se ramener à n paramètres. Les relations de liaisont donc de la forme
non
ces
ont
son
{ajl qi + ...
+ aji qi + ...
+ aj n q^ •-
bj }
j = 1 ...
1
Ces relations n'étant pas intêgrables. Ce sont des relations linéaires entre
les vitesses q|. On peut facilement exprimer certaines vitesses (en nombre 1)
en fonction des autres. Mais nous allons montrer que si l'on fait cette réduction on ne peut plus calculer les A^ par la formule
A
i
d_3T_
3T
dt 3qi " 8qi
=
a) ex£ression_djB_l_vitesses_2i._e^^
Décidons par exemple d'exprimer les 1 dernières q£ en fonction des
n-1 premières (ordre conventionnel). Posons pour abréger n-1 = k. On peut donc
classer les vitesses de la façon suivante :
11
q
• Cl+1
q
q
q
' qk+l
<
°u
n-l
i
k
n
les équations de liaison peuvent s'écrire
o.iiql • * • • • • + aiiqi * •••
+ot
apqi + ...
+aj k q^ + <*j ) k + 1 q£ + I •+ ...
aiiql
+
...
+ajiq{ + ...
+
aiiqi + ....
ikqk
+
aikqk
q
+
+ a
+ a
i,k+iik+i
l,k+l1k+l-
+
+
•••
•••
+ a
isq s + - • • +amqA • b i
+ aj s q^ + ...
+
"Is^s
+
k
a
a
q
l,k+l k+l
q
j,k+i k+ i
+
+a
•"
+
• • • + ajSq;+
ls s
•'•
+a
q
ln ;
+
=
b
l - J,
q = b
•••• v ;
a
li q i
k "
j • j, ajiqî
k
°l,k+lqk+l + '•• + alSqs + ••' + alnqn
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=
b
l ~ J,aliql
••••
+a jn q n = bj
+a
lnqA
= b
i
- 541 -
ce qui peut s'écrire sous forme matricielle
',--
a . . . . . . a,
l,k+l
j-
___
... a,
1s
a,'
M
In
'-
.
_
,
k+l
b
'.
a
j,k+l -°i. - " « j n
q
*
-
*
=
s
b
j
*
v
,
2.
a .q!
i«l
k
.
£
L
«j'i^i
•
*
*
a
_«l,k + l '" *ls • ' • "înJL^
k
b
J
" J, a li q i_
L 'l
la matrice qui figure au premier membre est une matrice à 1 lignes et 1
colonnes. Désignons par 3 .les éléments de son inverse
"<k+il
Pu
q sf
*ij
; B i r p b i - j, a ii q î"
gs l- ...• BS . ...- -pslr .
J
»
k
-b. - 7 a .1. q !
J
^j J i
k
6
< J
sous forme
q
i
=
L 11 • • ' •
B
lj "•
6
b
liJL m " J, amiqi
indicielle nous avons donc
j.Vj - j, j, Vjii
.-1*1 ...»
formule que l'on peut écrire avec la convention de l'indice muet
q
s
=
g
sjbj •
q
s
=
ô
s
B
ljaji qî
+
ou encore
s=k+1
ô
si qî
•••
n
en posant
6s
Note : le
= fpsj
l . b j.
6si. «
- psj
B • a-•
ji
6s .i n'a rien à voir ici avec le symbole de Kronecker
Remarque : les vitesses compatibles vérifient
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qf* =
6- . q.f*
- 542 Exemple : sphère qui roule sans glisser sur un plan.
Les relations de liaison sont :
x 1 costp + y f sinij/ + a c|> f sin6
-x
x
i
f
sinij> + y
f
-a <() f sin0
-a 0 f
_
"
cosijj + a 0
sin
cos i|>
ty
xf
=
yt
= -a 0 f cosip - a t)) 1 sin0 sini);
=
1
0
= 0
y
,
cosijr
-sin^
"
—a <f> f sin0
-a 0 f
a 0' sinijj - a <j> ! sin0 cosij;
^ ) Ê5EïêËËÎ2S-âÊ«lâ-YiJËÊËËÊ-Yl?l-SS-l2S££Î2S-ÉË-3l-jL^^-Sv
tw
fc+
+
\V;";^s*;r
â^\+l -- â^^ ••• S
^^.^
^t
+
+
+
+
«: = 6s + 6si qi
v<p) .- Ç ^ — ît^*-*^*!!
+
3ÊT ( a k+i + ô k + i,i q P + •- + ïr ( 6 s + 6s^î > + K. " 1
S
â$
+ 1^(6 + 6ni
.q!)
n
3q v n
i
n
î(p)
• iràî^,, *-*i : «. I *- + ^ : « M )s
i
^Hr^^M---!;^*--!!;^^
^^^v,.^-^'.**-^^'^
.
.
+.
+.
3P
ô
Tv
âr â^7 k + i * . • • • ^;^ •- ^v ô n
3P
s
.
J . 3 P , , ;+,
+
+j .
8
^ .
soit encore
V(P) = a! .q{ + ... + !£q[ + ... '+ a^ + 1
La vitesse virtuelle la plus générale compatible serait
•*•*
V (P) - •*•
aiqi*
+
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i* +
... + -*•
a£q1*
i*
... + -*•
a^*
- 543 c
) £êl£Hl«ïî!LlâJ2HΧËâS£êJZΣ£HêI^
ration
J$>*
=
Jg(P) t*(P) dm
|
P6S
Q^r* .
{ 5g(P).a1 dm + ... + ql*
qj*
*^J
P6S
I 3g(P) a£ dm + q^*
pes
J& * - Aiqi* + ... -H Aiqj* + ... -f Akq^
[ 58(P) .aR dm ''•
pes
avec
A£
-
J J^p^dm
pes
d) ——*-——"-——————.————————~~—-.———-.«.——._-.
impossibilité d'utiliser les formules
de_MM
LAGRANGE
pour calculer les A.
«.MMMM
«. _. —.—«.—*.——.-.«.-»».^»^»—^^•—«.^
- avec la réduction les A. s'écrivent jusqu'ici
A£
--
J8^),^ dm
j
(0
P6S
- en conservant tous les paramètres on avait
A
i
=
I Î8<p)-!f:dm
™
^
pes
C'est cette dernière expression que nous avions transformée pour
aboutir aux formules de LAGRANGE. Mais nous allons voir que nous ne pouvons
pas transformer en général (1)
Posons
->J •>
a
'i
=
dV
J8(P) « J
-> =
dt •ai
d
Vg(P) = V
;
,-± -+ ^
-± daf
dt ^v-fti> ~v' ar1
. Transformation du premier terme
D'après la formule donnant V
a. =
i
—r
3q.^
Sr<*-V -**•$
l«^)-|tiHî
la transformation est donc possible comme précédemment
. Par contre on ne peut transformer le second terme en remplaçant
8
tr
da:
tr
V
1 K
V. -7T
"
par
V
.
dt
a5—
qi
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- 544 r, -, -,
Calculons
3*V
T
3q i
ÏV
da,-rr1"
dt
et
3"ai
+.
a~aj_
q, +
+
3~ak
q
3!
FÎT - 4«>' ••• + ;rit j ••• 3^ ^â^T
mais
t
A
ê- IH
f
IÎH *-*&«*£•
(seuls k paramètres interviennent)
r
s deux expressions sont différentes, sauf s'il existe une
= F(qi ... qj_ ... qfc,t) telle que
*i
=
a
UL
3qi
;
a
^ =3t H.
s'il en est ainsi, on a
3 aj _
3 3F
_
32F
3qi " 3q£ 3qj " 3qi 3qj
3ai
3qj
_3_âL =
" 3qj 3q£ ""
m
92F
3qj 3q£
->
->•
'
' 3~i' = 3qj
1^
qi
D'après le théorème de SCHWARZ
de même
3^
_
St
3a
j_ ^
9t
=_
3
9c
li
3$
^
|Si
8t
d'où
35; ^si
+
|£aqi
Donc s'il existait F la transformation pourrait se faire. Voyons quelle
est la conséquence
V(P) =
aiqj +...•*• a£q[ •<-... akq^ H- a
'8(p)- gr'i*-*gr«i*-*i^t*w
g
—->.
on aurait donc
Vg(P) = ~
dt
en intégrant
OP =
mais
V8(P) = -^r
dt ÔP
F(qi ... q£ ... q^, t) + cte
Autrement dit, les coordonnées de tout point P s'exprimeraient en fonction
de k paramètres seulement. Or ceci est contraire à l'hypothèse : il y a des
liaisons non holonomes entre n paramètres.
Par suite, la transformation ne peut réussir s'il y a des liaisons
non holonomes, et l'on ne peut pas calculer A^ à partir de Tg réduit à k
vitesses,
F. Intégrales premières
On recherchera les intégrales premières linéaires et quadratiques
dans les mêmes conditions qu'au paragraphe correspondant des systèmes à paramètre s indépendant s.
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-5457.1.9
UTILISATION DES EQUATIONS DE LAGRANGE POUR DETERMINER LES INCONNUES DYNAMIQUES
(ACTIONS DE LIAISON)
Jusqu'ici nous avons essentiellement montré que les équations de
LAGRANGE pouvaient conduire très rapidement aux équations différentielles
du mouvement.
L'interprétation des multiplicateurs et l'utilisation de transformations virtuelles incompatibles nous ont montré que l'on pouvait aussi
faire apparaître les actions de liaison. Nous allons maintenant voir comment on peut facilement faire apparaître une action que l'on veut calculer.
Du point de vue de la théorie les équations de LAGRANGE offrent les mêmes
possibilités que les théorèmes généraux.
Pour faire apparaître une action de liaison ou une action intérieure il suffit de prendre une transformation virtuelle incompatible ou
d'utiliser des transformations compatibles avec multiplicateur.
A/Exemple de détermination de liaisons
Détermination des actions de liaison dans le cas d'un
pendule simple.
figure 1
Nous pouvons repérer le pendule (Si) de la façon suivante
Pour repérer le pendule on peut
prendre un paramètre 6 ou 3 paramètres x, z, 0 tels que
OÔt =
(x, 0, z)R
e = (z0, Zj)
ces trois paramètres étant liés par
les relations
x = 0
y = 0
(1)
(2)
,1
holonomes
Avec ces trois paramètres nous pouvons facilement prendre des transformations virtuelles incompatibles
(elles sont simplement assujetties à
respecter en mouvement plan)
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- 546 1. Analyse des actions mécaniques. Puissance virtuelle dans une
transformation virtuelle incompatible
Puissance virtuelle développée par le poids
P
= M g Z0
x + 1 sin0
oS «
o
*-
z + 1 cos0 J „
- K0
f
x
^°*(G) =
(jp^
* + i e 1 * cose
0
z f * - 1 e l ¥ sine
K_
o
= m g (z'* - 1 6'* sine)
Puissance virtuelle développée par le torseur des actions
de (S0)/(Si)
[TOI] : FOI
.
v°*
01 /*fj*H
*£) 1
-
^P*
=
=
[x, o, Z] RQ
fxf*1
o
L 2 "J K o
-+
->ft*
FOI • V°(0i)
X x'*
+
+
•>
MOI(OI)
= .[L, o, N J R
_^ :
nî* '-
f of
e *
LoJ
-*-*itc
MOI (Oi) . "î*
Z z'*
d'où finalement la puissance virtuelle totale
(ffî*
=
X x1* +
(m g + Z)zf1|r - m g 1 sine 6'*
2. Calcul de l'énergie cinétique
T
°
=
îm(^>2
Tx'.ie'cosen
^ = of
z
l2
T° = Y m (x
+ z
f2
2
+ l e
f2
+ 21 x
f
- 1 e' sine K_
o
1
e cose - 21 z
3« Equation du mouvement
d_ 3T _ _9T
dt 3xr
Bx
^x
d_ 3T _ il ,, Qz
dt 3zf
Bz
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d_ 9T _ 3^
dt "3?1" 3e ""
4
e
1
e f sine)
- 547 *<à?x) :
fi1"
j
=
m x' + m 1 6' cps6
Si*P
4r~~-r
= m x" + m 1 8ff cosQ - m l 8 l 2 sin0
dt Bx
H= o
Bx
m x" + m 1 0" cos0 - m 1 0'2 sin6
f £}
= X
3T
*o£(z) :
T-T = m z' - m 1 0' sin6
£. IL- = m z" - m 1 0" sin0 - m 1 0 f 2 cos0
dt 9z
m z" - m 19" sin0 - m 1 0 f 2 cos0 = m g + Z
+ v&L(Q)
:
^s»
TTT
do
J
=
m 1 x f cos0 - m l z f sin0 + m l2 0 f
r\ m
TT
dt TST
du
=
m
l x" cos0 - ml 0 f x f sin0 - ml z" sin0
- ml z f 0 f cos0 -f ml2 0"
3T
^i.
=
- ml x f 0' sin0 - ml z f 9 f cos0
m l2 0lf + m 1 xff cos0 - . m l z" sin0
=
- m g 1 sin0
4, Détermination des actions de contact
Nous avons les équations de LAGRANGE
m x
lf
11
m z
+ m 1 0" cos0- - m 1 0 l 2 sin0
- m 1 0" sin0 - m 1 0
l2
cos0
« X
(1)
= Z +m g
(2)
m l2 9" + m 1 x" cos0 - m 1 z" sin0
« - m g 1 sin0
auxquelles s'ajoutent les équations de liaison
x = 0
z = 0
x" = 0
zff = 0
(3)
(4)
(5)
Les équations deviennent
m 1 0" cos0 - m'1 0 f 2 sin0
- m 1 9" sin0 - m 1 0 f 2 cos0
= X
(l)f
= z+ m g
(2)f
m l2 0ff « - m g 1 sin0
La troisième équation est l'équation classique du pendule
0" + £ sin0
« 0
(3) T
(3) f
L'équation du mouvement étant résolue on aura X et Z en portant 0 calculé
d'après (3)' dans (1)' et (2)'.
Mais en fait il n'est pas nécessaire ici de connaître 0 = 0(t)
pour connaître de façon convenable X et Z. A partir de (3)' on a une intégrale première en multipliant par 0' et intégrant
0" 01 -H -6 Sin0 0' = 0
6'2
g ''"
—
y cos0 = cte
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- 548 -
Cette constante se détermine par les conditions initiales
t « 0
e
= 00
e f = eô
0'2
D'autre part nous avons
6"
- e i2 + 2 -§• (cos0 - cos60)
=
=
- •& sin0
d!où
X
=
- m g sin6 cos0 - m l sinejjBj2 + 2 & (cos0 - cos0Q>]
Z
=
- m g - m g sin20 - m l cos0[eo'2 + 2-1- (cosè - cos0o)]
X et Z sont connus en fonction de 0 et c'est en général suffisant.
5* Remarque :
On aurait pu également utiliser la théorie des multiplicateurs.
Prenons toujours 3 paramètres x, z, 0.
T
- Y m [x'2 + y'2 + l2 0'2 + 21 x' 0' cos0 - 21 z' 0' sine].
Les équations de liaison sont
x = 0
z - 0
La puissance virtuelle développée par le poids est comme précédemment
^
)
* = m g (z'*
- 1 sine 6'*)
Mais la puissance virtuelle développée par les actions de liaison est nulle
dans une transformation virtuelle compatible, c'est à dire pour des vitesses
virtuelles vérifiant
.*
^
.
xf* = 0
AI
z'* = 0
X2
Les équations de LAGRANGE s'écrivent avec multiplicateur
d ST
3T
dt "5F" " H "
d
9T
3T
' dt "a^ '" 3l
d 3T
3T
\ dt Wr" W
AI
= mg
=
.
* *2
. .n
"m 8 1 *«*
on constate, comme les premiers membres sont les mêmes que précédemment que
X = \i
Z = \2
B. Détermination des actions intérieures à un solide
On prend alors une transformation virtuelle incompatible avec
l'état solide.
Déterminons par exemple la tension dans un pendule simple.
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Par une coupure à la distance
R nous pouvons diviser le solide
S en deux solides (S^) et (S2)•
Pour repérer le système on peut
prendre
0 = (Z0, îj)
p tel que
OG
= P Zi
Pour exprimer que (82) et (Si)
forment un solide S on a la liaison
p = 1
1. Analyse des actions mécaniques. Puissance virtuelle.
- La transformation virtuelle nfétant pas compatible avec
l'état solide, la puissance virtuelle développée par le torseur des forces
de cohésion au contact de (S]_) et (S2) n'est pas nulle.
T
12
en outre
{ ^12 " F12 ^1
F2i + FI2 = 0
^12(pl)
=
C11 s'agit d'un fil)
°
é?T2 = I12^(p2)*+ i21^(pl)*
V°*(P2) = p'* Î! + pë* Xx
^°*(P!) - R e'* Xi
^Ï2 - P'*F12
-
Puissance virtuelle développée par le poids
P
=
ôS »
m g Z0
FP sine"
o
^P cose J R o
Fp f * sine + p e'* cose "
V°*(G) =
Gp*ç
/j/U
=
' -
0
p1* cose - p e f * sine
n
KO
m - g ( p f * cose r P e'* sine)
~ m g p sine e'*
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+
(m g cose + F 1 2 ) p ' *
- 550 2. Energie cinétique
T"
=
1 m (V°) 2
v° (G) = P ' "zi + P e ' li
T«
=
^ m (p'2
+ p2
g.2)
3. Equation du mouvement
d 9T _ 3T ,
dt 30f
.36
^0
d_ 3T
21
dt 30f " 3p ~ %
m p2 e ff = - m g p sin6
m p" - m p e'2
= m g cosô + F12
4. Détermination de la tension F]?
Outre les deux équations précédentes, nous avons l'équation de liaison p = 1
La première équation est l'équation du mouvement du pendule :
0" + & sin0
= 0
FI2 = - m 1 e f 2 - m g cose
La seconde donne
et e'2 peut être connu soit en fonction du temps, soit en fonction de 6
5. Remarque
La théorie des multiplicateurs nous conduit au même résultat. Conservons
deux paramètres e et p avec la liaison p = 1
-
L'énergie cinétique est la même
T - im (p'2 + p2 e'2)
-
La puissance virtuelle développée par le poids est toujours :
(y/3*v = m g (pf* cose - p e f * sine)
c-/
- Par contre la puissance virtuelle développée par les actions
de cohésion est nulle dans une transformation virtuelle compatible, c'est à
dire pour des vitesses virtuelles vérifiant
pf* « 0
A
-
Les équations de LAGRANGE s'écrivent donc avec un multipli-
d
3T
cateur X
3T =
IF^-ïê
d 3T
3T
dT^""^
X
est la tension F 2
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~ m g p sine
ft
=
m
A
gcos6 + X
.
2ÈME
PARTIE
EQUATIONS
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D 'APPEL
- 551 Lors de lfétablissement des équations de LAGRANGE, nous avons
utilisé l'énergie cinétique T& pour calculer les coefficients A^ de la
puissance virtuelle développée par les quantités d'accélération
Ai
=
d_-»T _ 3T
dtÏÏqJ~ 3q£
Ceci avait pour conséquence la nécessité d'écrire T avec tous
les paramètres nécessaires à l'expression de la configuration du système.
Alors les systèmes à liaisons non holonomes avaient du recevoir un traitement particulier. Nous allons montrer que l'on peut calculer les A£ non
seulement à partir de
, ;
= 1 j [fe(P)]2 dm
Tg
mais aussi à partir de l'expression
P6S
S8
= 1 J pg(P)]2 dm
P6S
Nous obtiendrons alors les équations d'Appel qui donnent les
mêmes relations que les équations de LAGRANGE, mais qui permettent en
outre de traiter tous les problèmes de façon uniforme.
7.2.1
ENERGIE D'ACCELERATION
A. Définition
Soit Jg(P) l'accélération du point P
dans le repère Rg
On appelle énergie d'accélération du
point matériel P affecté de l'élément de
masse dm le scalaire
dS
- j p8(P>P dm
On appelle énergie d'accélération du
système
Se
- I J p8(P)]2 dm
pes
B. Théorème de Koenig pour l'énergie d'accélération
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- 552 Soit le repère (R|) : [G, x|, Y*, ÎJ] tel que
S
=
Y"*
Y
g
-*-w-
= ?
Y
g
->•
=
7*
^g
i
7
^g
G étant le centre dfinertie-dû système (S). Le Rg est en translation par
rapport à Rg. Donc ^
oj. - o
Appliquons le théorème de composition d'accélération
J8(P) =
Jg*(P) + J8+(P) + 2 fls+ A ^g*(P)
O
mais
g
JJL(P) " î (G)
O
donc finalement
3g(P) = ?g*(P) + J8(G)
P8(P)]2
P8*(P)12 -H (1g)2 + 2 ^g¥(P).îg(G)
=
L'énergie d'accélération s'écrit donc
SS
= ^ JpS*(P)]âm+ (3«)2
• P6S
|
pes
J8*(P) dm - m JgW(G) =
mais
dm+.2Ϋ(G)..| îgV)dm
pes
0
P6S
Donc finalement en désignant par M la masse du système
sg
=
g
s *
+ IM (î«)2
Théorème de KOENIG :
L'énergie d'accélération est égale à l'énergie d'accélération
dans le mouvement autour du centre d'inertie augmentée de l'énergie d'accélération du centre d'inertie affecté de la masse totale.
Ce théorème est tout à fait comparable au théorème correspondant
sur l'énergie cinétique.
C. Energie d'accélération d'un solide ayant un point fixe
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- 553 -
j vg(os) = o
°s fixe dans (Rg> —+
j Jg(0s) = 0
La formule fondamentale reliant l'accélération de deux points
d'un même solide s'écrit :
J g (P)
= J g (0 s ) + |
| Û g A ÔTp + ftg A (3g A Ô^P)
d'où
P8(P)]2 - (|| 3f A Ô^)2 + p| A (ft| A Ô^)P +. 2 <|Î2| A Ô^).^A(^AÔ^)]
Sg - ^ j Pî A (]Ç A Ô^O^dm + i | (g iÇ A ô?)2 dm
pes
pes
dm
| pj A (SJ A ô?)>(|| nf A V>
pes
Posons
E!
=
4-
^
8
8
2
j [ps A (Qs A CUP)] dm
P€S
s A 2dm
^ - ? |<f f ^>
pes
E3
I
r-^-rf
-+-0
y *->
HK ->a
>
J [flf A (fi8 A 08p-)>(~ fi8 A 0SP) dm
-
P€S
1. Calcul de EI
On sait que : (a A b) . (c A d)
g8 A (S« A
s
s
g
car « .(fi
ÏÏ^)12
g
=
(a c) (b d) - (a d) (b c)
(fi 8 ) 2 , (fi 8 A Ô^)2
=
s
A ÔS~P)
E!
=
-
0
1 (fi g ) 2
£-
s
S
f (fi g A Ô^P)2 dm
J
S
pes
Cette dernière intégrale a été calculée lors du calcul de l'énergie cinétique d'un solide ayant un point fixe
T
=I
| JTg(P)p dm - 1
pes
f(^A5-?)^dm
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j (fif A ô^)2 dm
pes
= ÏÇ^Sî-
- 554 -
El
= I (5J)2 p| Ï0 3p
S
2. Calcul de E9
E
* • i pes[(jf3!"^2"»'
L'intégrale est en tou£ point comparable à celle qui a été calculée, ^ Œs
remplaçant simplement iï&
s
«* - H^i-V ^
3. Calcul de E3
E
3 -
f <It^AÔ^) . [S* A (^AÔ^)] dm
?es
Dans un premier temps montrons qu'on ne change pas la valeur de cette ex•
d *^o
""^2
'*^
pression en permuttant -jr iï& et Q A 0SP. Pour cela calculons les deux
.
dt s
s
expressions
x
i • &"! A ô?> • PÏ A < S ; A v>:
X2
=
Qnf A Ô?) A 0^1 . (fij A |^ flf )
xi = (^ of .af ). [Ô^P . (nf A ô^)] - [^ nf. (aJ A ^p)] (ô^ .nf )
Le premier terme est nul
AS
*i - -Ht«î^ ?>]-.<^^>
X2
=
D^Aô3).^[p?.||?Çl -Q^A^).^^ (Ô3.îf)
Le premier terme de cette expression est nul
x
* - - [iF^f • <? A ô?>] • (5? '^
X2 = K!
d'où
on peut donc écrire une nouvelle expression pour E3
f
E3
=
pes
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£
[(^g A CLP) A <Tp] «[^g A 1- ^ê] dm
J
s
^
s
dt s
- 555 E3
= (fif A.'|| n|)
| (^ A C£P) A Ô^P dm
pes
E3
- • fàf A |j- flf) | Ôj A (Sf A Ôp) dm
pes
mais
P 8 (0 S )
=
j C£P A vê(P) dm
pes
p g (0 s )
=
J ô g t A ' ( n J A Ô ? ) dm = "o s -"î
pes
*3
-
-«SÏA^-V
3
?
4. Finalement l'énergie d'accélération d'un solide ayant un point
fixe est :
°* • {tff>2<^ "Os «? 4 £ v. \ £ %* 4 «î « «•) ï0. sf
L'énergie d'accélération est beaucoup plus longue à calculer que
l'énergie cinétique.
D. Théorème de Koenig pour le solide
Se
«
S8* + i-M [J8(G)]2
Dans R* le point G est fixe
+
*•
JJ
s As f
.«• -1 «a»-)^ "o T' 4 £ v ~e % «£ r r> <=c
La formule de composition des vecteurs rotation entraine
«î - «r * «î.
îf - îf
lia formule fondamentale de la dérivation vectorielle donne
£ ^ » 4^2»
dt
s
dt
s
d g £g
dt "s
=
d g -^g
dt~ s
+'«8A-tJ8»
s
s
Finalement
8
ë
8
g
g
8
; X î
C CJ ^
S
(Që;)2(Q
O g<;> ++21dt^ï"sOigGï dt^ï
A ^
+1-Ui
b = 21 W
W g IIG S
"s O +
Mt(—
"s OA "
G "s O T
V
s
g
S
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- 556 -
E. Exemple de calcul d'énergie d'accélération
exemple 1 : Energie d'accélération d'un solide ayant un axe fixe (pour un
observateur de RJ
ÔG
«
a Xs + c Zs
masse
(X0, Xs)
». 0
: m
r *
tenseur d'inertie
IQ
tel que
flolnv v •?
OXSYSZS
=
F
"
^_ E
„
B
_D
„~
D
~"
j^
0 f Zs
fi* =
ll£°
= 0" zss
dt s
Le solide S a un point fixe (au moins ...) 0, donc
0
s°
ro°v2ro
T Q°Ï + 1 — "0° ? . f L f t 0 - * r— ^° A Qg} T Î70
b = I2 cn
g ; (n s .i 0 -n s ; + - 2 dt n g -1 0 -^ 88 *. l dt "B A W S M O -.W S
S°
= 1 0 ' 2 . I 0 ' 2 - f | l 0"2
s° . I i e f l f + -j i 0 f f 2
exemple 2 : roulement d'un cylindre à l'intérieur d'un autre cylindre
Un cylindre de rayon r roule à l'intérieur d'un cylindre creux de
rayon R. Calculer l'énergie d'accélération dans le cas général et lorsqu'il
y a roulement sans glissement.
1. Relation de roulement sans glissement
V2(D
=
V£(G) + ^2
%(G) =
^2 A GI =
V^(I) 0 -
A
GI
(R - r) <f>' Xi
0 ' YI A r Zi
=
r 0 ' Xi
jj 0' + (R - r) j*] Xx
r 0' + (R - r) 4>f
on peut par exemple éliminer 0'
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0'
=
R — r T
j— <j>
A
2. Energie dAccélération dans le cas général
S
°
n|
=
J ÏÏF'"2 *G ^ff + 7<"S>2 °2 ~G -flj +(~ fi| A n|) TG ft| + { ,m(J^) 2
= e f Y0
— ^2
s
^e dernier terme est nul
'9" ^2
^-(3 r2 + h 2 )
s° -1 [p,e",ol o
0
02
0
0
m~
o
e"
jj(3 r 2 + h 2 )
0
2^(3 r 2 + h 2 )
2
+ 10' [0,0',qj
S°
2
0
o
2^i
o
0
0
y_ (3 r 2
l[~o]
e«
+ h 2)
+lm(j°)
0
. iHlie» 2 +12210"» + l i a . ( J j ) 2
s°
ΰ(G)
0
0
=
(R - r) <fr" Xi - (R - r) *' 2 Zi
.
1 JS|1 e» 2 + 2|î e"*
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+
m(R - r) 2 *»2 * m(R - r) 2 *"H
2
- 558 3. Energie d'accélération lorsqu'il y a roulement sans glissement
e'
= -JLlJLcj,'
e« = - ILUL
<j)»
r
g0
=,
I j^il^i f,2
S°
= l|| m (R- r) 2 +..2
mri^r)! ^
+
+ m(R_r)2
[lfpiî
+ m(R_r)2
+
^,,2
+ m(R_r)2
^
ij <T4}
Exemple 3 : énergie d'accélération d'une sphère homogène roulant et glissant
sur un plan fixe R^OJ^O!
=
Ir
-
r A o o~
0 A A
0
L° ° ,
masse M
ÔG = x XQ + y YO + - a Z
Le repérage de l'orientation se fait à l'aide des angles d'Euler usuels : ty,
e, <f>
Te'
on a immédiatement
Û°
=
S
d'autre part
s
I0
Ti
o
on
0
1
0
LO
o
iJ R z
= A
i(;' sin0
f
i~ i|; COS0 + 4 ' __i_K 2
° -1 M ^>2 + 1 $y [% TO 53 4 ^ 3; î0 ^ ^ - <£ ^ A «;>ïo ^
S° = 1 M (x"2 -H y" 2 ) + 1 A (fip 4 + 1 A (|1 fip2
(n°) 2 = e' 2 + i|»'2 sin2e + (ij;1 cose + <t>') 2
.|l.î; - ^î;
H»-^
~
dt n°
s =
e
r t""
+
^IA^
si
ne + 41' e 1 cose
i)»" cose - V e' sine + 4"
R2
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- 559 -
]~e'
Œ 0 A Î7°
2
0
S
_^
^-n°
.dt
s°
=
~|
rV <f>' sine"
ty1 sine
A \|»' sin9
LTJJ' cosôj
|_tp' cos6 + < f > ' J
Fe" + i|)' 4>' sine1
-
S
pe f
~j
t|>" sine + \|i' e cose - e' <t>'
L^" cos6 ~ *' e >
sine +
+"
-
- 6' <(>'
1_0
JR
~
JR
= I M (x"2 + y"2) + j A [ë|2 + ^'2 sin28 + .'(*' cos6 + «t»1)2!2
+ i A |(e" + jj;1 <t>' sin6)2 + (*" sin6 + 4.' 6' cos6 - 6' <))')2
•w^ij)" cose - y e f sine + <f>")2
2
7.2.2
CALCUL DES COEFFICIENTS A-j DE LA PUISSANCE VIRTUELLE A PARTIR DE L'ENERGIE
D'ACCELERATION
- ( 3»(P> . |L d»
Ai
pes
"^ • Hr'»*-*^'**-*!;^
3»(P, .a.,,*...^,!»...^,.*!!,^-,^
. ? a7? , ^Fl
* .1, âqïât '1 * âzt
,
. .,. ^ ^
donc immédiatement
1=1
on a
nl
'A.1 u
f^l^d,
J
pes
i
A
i
=
31Ï
f ^j* .
pes
j 3^dm
2
A
i.-.4Mpes
A-1 -
3S
\
3qY
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(3g)2dm
"aj
• • ap
T-TT = -r-—
9q£
Bq£
- 560 Les coefficients A^ peuvent donc se calculer à partir de l'énergie
d'accélération. Le calcul semble apparemment plus simple, mais il faut remarquer que le calcul de Sg est plus compliqué que celui de T&
Remarque : simplification du calcul de S destiné au calcul des A^, S réduit.
JS(P) . |Lqï t...,|Lqï
|Lq;;. x
x étant un ensemble de termes ne contenant pas de qj
P8"*2 - jj.lrlr^ * -j,ii'" ** 2
Sg
= S2 + BI
+ S0
S2, S l f SQ étant des termes de degré 2, 1, 0 en qV. Par suite pour calculer
A£ on pourra utiliser la fonction
Sg
•
S8
- S0
Exemple 1 : solide ayant un point fixe
58
- i£^o^ * £*.**!>*.*.
Exemple 2 : solide ayant un axe fixe (03 ~%Q)
s° = I i (e'4 + e"2)
s° - i i e"2
7.2.3
EQUATIONS D'APPEL LORSQUE LES PARAMETRES SONT INDEPENDANTS
L'équation de d'ALEMBERT s'écrit toujours
(Ai - Qi)qi* + ... + (A£ - Qi)q{* + . .. + (^ - Qn)q^* = 0
.
Ai
=
3Sg
âq?
Les équations d'appel s'écrivent
riS
y-?T
=
QÎ
¥i = 1 . .. n
Exemple 1 : mouvement d'un point matériel soumis à une force centrale attractive Newtonienne
On sait que la trajectoire est plane.
La force est
ÎQ/P - fz-*l
ÔP
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=
r K!
a >0
- 561 -
= r 1 $! + r 6' ^
$°(P)
J°(P)
PT" - r S' 2 ~
2r 8 1 + r 0"
=
L°
J%
- . 1-m [>" - r 0 ' 2 ) 2 + (2r f 0' + r 011)2]
S°
La fonction de force est
as
30"
=
as
_ £u
U =
+ C.
Les équations d'appel s'écrivent
au
36
Jr* ~ 3r
J\C
(9)
||- =
dO
m
1S
39
= o
2 r' 6'
fe(r2
(2r f 6' + r 6") r
+ r 6"
e') = o
r2 6' =
(r)
||n- =
à*-
« 0
cte
C'est la loi des aires
(r" - r e'2) m
3U
a
-r—
o r = —7
r
r"
..._
d'où l'équation
Jf
. r 6'2 = ^
Exempte 2 : Equation d'un pendule composé
II s'agit d'un corps tournant autour d'un
axe fixe.
- On désigne par I le moment d'inertie par
rapport à l'axe. La masse est m et G le
centre d'inertie tel que OÊ - 1 "^. On
repère par 6 = (Z0, Zx)
S° = j I (0"+ + 0"2)
U
= m g 1 cos0
On peut employer la forme réduite pour S°
S° - 1 I S112
3?
30"
I 0ff
=
^U
30
= - m g 1 sin0
e» + 2|L sine = o
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Soit l'équation
bien connue
- 562 Exemple S : Mouvement de LAGRANGE et POISSON
[ij
=
|~~A
0
0
A
0~|
0
LO
o
cJRs
OG = 1 Z s
s° - i tô; ?0 3p<3:>2
+
7^'VZt^
+ <fL
^° A 5°)
i a°
dt s
s o s
ft°
S
=
rv
Le repérage est fait à l'aide des
angles djEuler classiques. On sait
que dans ces conditions on a
i
V sin0
l i 1 cos0 + <j> f
_
K
U =
- m g 1 cose + C
2
Pour faire les calculs, nous allons utiliser le repère (Rs) car il nous
permettra un calcul formel plus rapide. Le repère (R£) peut commodément être
utilisé aussi car la matrice d'inertie de Io est la même dans (Rs) ou dans
(R2).
On sait que
Q°
s
=
0 f cos<f> + ^ f sin0 sin(()
- 6 f sin<|> + ^ f sin9 cos<()
i^1 cos0 + (j>!
D
s
Posons
->o
tS7
(X)1
=
wz
0)3
Pour le calcul de S° on peut utiliser la
forme réduite
DK
s
Pour le calcul de S° on peut utiliser la forme réduite
g» - 2» idtl f rs ï o ilfr>+ (dti l ^s A ^s ) ïo ^s
dt s
d° *o
TT
dt ^ s
=
ds ^ 0
d° ^ 0
TT
dt "s
1T
dt ^ s
=
r^j
^if
avec
L^UR
R
s
o){ = 0" coscj) - 0 ! c() f sincf) + ij/f sin0 sin<() + ^ ! 0 f cos0 sincj) + ij; 1 ^ 1 sin0 cos<t>
o)^ = - 0 f f sincf) - 6 ! < t > f cos(j) + ip11 sin0 cos<j> -H ij; 1 ©' cos0 cos<}) - ip 1 ^ 1 sin0 sincf)
o)^ = i|/! cos0 - ^ ! 0 f sin0 + (j) ff
_^ o
d o _^ o
-TT- ^° A £1°
=
donc
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o)i
o)2
A
L^a J RK
s
0)1
0)2
=
L^B L
R
s
0)2 0)3 - 0)3 o)2
o)J o)i - o)j 0)3
L^l ^2 "" wl wl RK
s
.- 563 -
S° « ~ (Ao)]2 + Bo)£2 + Co)32) + A(o>£ 0)3 - u)§ 0)2)0)1
+ B (0)3 0)1 - o)J 0)3)0)2
+ C(o)f 0)2 - co£ 0)1)0)3
S° - j (Ao)f 2 4- Bo>22 + Co3$2) + A(o)£ 0)3 0)1 - toj 0)2 N I )
+ B(o)^ 0)1 0)2 ~ wf (1)2 ^3)
+ 'C(o)f 0)2 003 - 0)^ 0)1 0)3)
S° = 1 (Ao)f 2 + Bo)^2 + Co)J 2 ) - (C - A)(o> 3 0)1 o)^)
- (A - B) (0)1 0)2 o)J)
- (B - C)(oj 2 œ 3 o)J)
S° « 1 [^)f2 -f Bo)^2 + Co)$2 - 2(A-B)o)i o)2 a)§ - 2(B-C)o) 2 o)3 0)| - 2(OA)o) 3 caj o)£J
Cette formule est toujours applicable. Dans notre cas particulier A = B et la
formule se simplifie
§°
« y {Âo){2 + Bo)^2 + Co>£2 - 2(A-C) 0)3 (o)2 o)i - 0)1 o)^)]
Les équations d'appel s'écrivent simplement
!L_
a^ ft „ 32
8ip . o
3S
i JHJ
86" " ae
i^r
âj^ = 12
3<f> . n
Eguation d'ag£el A(^)
3U
-r-r
»
d<|)
as
ac()ff
A
0
=
3S°
-r-rrr
=
d(|)
donc
^as^^ao^ff
aoj{ a(()
as
n
0
ii_^£itf + as a^jff
3^ a<j)
swj a<j>
3a)j'
ao)j a<()ff
mais
o)^
=
HT -
c
i 9 ^é
^5 âF
ip ff cos6 - ^ f 0 1 sinG -f (|)ff
C
Ï Ï F ( ^ ' ^e
d'où l'intégrale première
lSHâ£Î22-S[Iâ£EÊl-éii[!l
u-«
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+
*')
-i|;f cos0 •*• <f> f
$• - »
=
cte
=
rg
- 564 -
9S°
. , 9o)j _,_ . , 3ui
,, _ N
3coi ' ,. „.
9to£
^P = M ^ + ^2 â# - <A-C)u> 3 <*2 ^ + <A-0<a 3 . «! -^7
o.
f
•g-j-Jr
=
sine sin<(>
M = sin6 cos$
M
- cos e
If • f-jjt f «1 - (A-0 «03 ^
9s
+
|ji [I col - (A-0 .3 eu]
r~*
T—n" = sinG sin(|> A(6 f t cos(() - e'c)) 1 sincj) + i(;ff sinGsincj) + ^ ! 0 T cos0sinc)) +
°y
I—
—I
•»• ^ T ( ) ) f sin6 cos<j>) ~ (A-C) r 0 (-e 1 sincj) + ip 1 sine cos<j>)J
•H sinecostj) |A(^e l f sin<() - e ' c j ) 1 coscf) + i^11 sine cos<(> H- ^ f O f cose cos(f>
- i(; f (j> f sine sirnfr) + (A-C) r 0 ( e f coscj) + ^ f sine sin<(>)J
||TT
-
sine jj A e 1 <(> f + A ^ f l sine + A ^ ! 6 f cose + (A-C) ro 6^]
- sine [j A e ! 4> ! + Aip fl sine + 2A^ ! e f cose + A ^ T e f - oj/'cose e f - c^'e^j
|
| =
=
sine £A ip ff sine + 2 A i|;f 8'1 cose - C r 0 6-fj
=
A if;11 sin 2 e + 2 A ip f e f cose sine - C rg sine e 1
^ (A ^ f sin^e + C r 0 cose)
=
0
d'où une nouvelle intégrale première
A ij;1 sin2e
+
C TQ cose
=
X C TQ
lSiiâ£Î2S«^l§EEÊl«âl§}.
p\ c
££_. =
ou
3TI
—o9
=
A e f f + A $' <f> ! sine - (A-C) r 0 * f sine
=
A e f l + A $' <|> f sine - A if;' sine^ 1 cose + c ^ f ) + C r 0 *'f sine
=
A e f f - A ty'2 sine cose + C r 0 * f sine
=
A e f f - ^ f sine (A \l)' cose - C r 0 )
m g 1 sine
d'où l'équation d'appel en e
A e f l - (A ij;1 cose - C ro) ^ f sine
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=
m g 1 sine
- 565 7.2.4
EQUATION D'APPEL LAGRANGE POUR LES SYSTEMES A LIAISON SANS REDUCTION AU NOMBRE
MINIMUM DE PARAMETRES
On adopte les notations utilisées pour les équations de LAGRANGE.
Les équations de liaison sont
fj(qi ••• qi ••• qn»t) * o
a
aj jqj + ... + ajiqi + ... + jnqA =
j = i ... h
°
j =
1 ... 1
A. Cas général
L'équation de dVALEMBERT s'écrit pour une transformation virtuelle
quelconque
(Al - Ql)ql* + ... + (Ai - Qi)q{* + ... + (An - Qn)q^ 9S
A
Ai
0
=
M
Les équations d'f.appel s'écrivent
3S
-T-TT
=
Qi
Qi représentant le coefficient de la puissance virtuelle développée par
toutes les actions mécaniques.
Si on envisage des transformations virtuelles compatibles, les
équations s'écrivent avec multiplicateurs
*
Q• +
^
3S
T~îT •*
K
m
Y X. a..
j^i J J 1
m
=
h + 1
B. Cas particuliers : les liaisons sont parfaites et on a affaire à
des solides parfaits
Q*
i -- Q*
^iD
v
SS
3^ï
=
*
5 ,
iD * .\l XJ aJi
Q
Nous voyons donc que sous cette forme les équations ne présentent
rien de spécifique. Nous allons voir que ce qui caractérise vraiment la
méthode d'appel c'est la possibilité de réduire à un nombre minimum de paramètres, que les liaisons soient holonomes ou non, du fait que Ai se calcule
à partir de S et non de T.
7.2.5
EQUATION D'APPEL AVEC UN NOMBRE MINIMUM DE PARAMETRES. FORME SPECIFIQUE
A. Rappel
Rappelons les éléments de la théorie de l'irréductibilité que
nous avions faite pour les équations de LAGRANGE.
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- 566 1°/
Nous avions un système à n paramètres liés par les relations de liaison non holonomes
{ a ^ q j + ... + ajiqi + ... + a jn<ln
2°/
3°/
=
b
j
}
J
=
l
'" 1
Nous pouvions exprimer 1 vitesses q{ en fonction des n-1 autres grâce
aux relations ci-dessous
<ls
"
1s
=
Psj " frsj a ji<ï{
ô
+
s
ou
^si^l
s - k+1 ... n
avec
k = n - 1
Pour les vitesses virtuelles nous pouvions écrire
<u* - *.i.ii*
4°/
La vitesse réelle de tout point P pouvait s'écrire
=
V(P)
5°/
aj qi + ... a^ q| + ... + a^ q^ + a
La vitesse réelle la plus générale de P était
V*(P) »
a^i* +
+ Hq{^ •«• ... *.akq^*
B. Calcul des coefficients A-j par la méthode d'appel
Nous allons voir que la méthode d'appel permet effectivement
d'utiliser cette réduction alors que la méthode de LAGRANGE ne le permettaient pas
A*
3g(P).^* dm
=
(définition générale)
P6S
A*
=
f Jg(P).li dm + ,.. + q{*
q'*
pes
+
f Jg(P) ⣠dm
pes
f J8(P) ak dm
q^*
P€S
A*
=
A^i* + ..... + Aiq£* •+ ... + Akq^.*
avec
A£
îg(P) a^ dm
=
P6S
Nous pouvons facilement exprimer les a£
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- 567 V(P)
=
aiq{ + ... + a£q{ + ... + a^q^ + a
JS(P) = tiqy + ... + liqï + .... + lkq^+^| + ^- qj + ... + *JL q£
,
on a donc
Ai
-
A^
=
1
AA
-»•
a,-1 =
9J8(P)
. .,
sq"
{ îg(P) |
^ dm
1
-s2
f -—•rr
3^2 ^
dm
9q
pis i
9S
I • âqy
On a le même résultat que précédemment. La réduction ne change Tien au calcul
de A^.
© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.