Electromagnétisme 1 - Université Paris-Sud

Electromagnétisme 1
L3 PAPP - Année 2015-2016
Université Paris Sud
Catherine Even
Carole Vouille
Matthieu Santin
L3 PAPP - 1
er
Semestre - Electromagnétisme I
2015/2016
TD 1 : Rappels
I. Un peu de maths
1. Soit x, y, t,
α,
k et
ω
des réels. Soit z le nombre complexe
z = e−αx+i(ky−ωt) .
Quel est le
module, l'argument, la partie réelle et la partie imaginaire de z ?
´ sont des réels) :
2. Écrire sous forme réelle le vecteur suivant (A et k
→
− →
→y .
E (−
r , t) = A(k + ik0)e−αx+i(kz=ωt) −
u
3. Écrire sous forme complexe le vecteur suivant :
→
− →
→y +A sin(kx−ωt)−
→z .
E (−
r , t) = A cos(kx−ωt)−
u
u
4. Calculez le produit vectoriel et scalaire des vecteurs :



A0 cos(kx=ωt)
B0 sin(kx=ωt)
→
−
→
−
A =  A0 sin(kx=ωt)  et B =  −B0 cos(kx=ωt) .
0
B0 sin(kx=ωt)

5. Calculer la moyenne temporelle des fonctions suivantes :
-f (t)
= A cos(t)
-f (t, x)
= A cos(kx − ωt)
-f (t, x)
= A cos2 (x)sin(ωt)
-f (t, x)
= Ae−αx cos2 (kx − ωt).
6. Résoudre
f 0 + αf = 0,
7. Résoudre
f 00 + αf = 0,
avec
α 6= 0.
avec
α 6= 0.
8. Calculez gradient et laplacien de
9. Soit
Discutez le résultat selon le signe de
α.
−
V (→
r , t) = Ae−αx cos(ky − ωt).
→
− →
→y .
E (−
r , t) = A(k + ik0)e−αx+i(kz=ωt) −
u
Calculez sa divergence, son rotationnel et son
laplacien.
10. Soit le vecteur
→
−
−
→
E (x, y, z) = E0 sin( πx
α )uz .
→
−
E à travers la surface
0 < x < a et 0 < y < b.
Calculez le ux de
est un rectangle situé dans le plan d'équation
z = z0 ,
avec
S, où S
II. Un peu d'électrostatique la goute d'huile chargée
On considère une goutte d'huile, de rayon a, ayant une densité volumique de charges
ρ.
On
veut étudier le champ électrique généré par cette goutte dans le vide. On se place en coordonnées
sphériques, la goutte étant placée à l'origine. Vous admettrez que le potentiel s'écrit sous la forme :
(
V =
ρ
2
6ε0 (a
Q
4πε0 r
− r2 ) +
Q
4πε0 a
pour r ≤ a
pour r ≥ a
1. Exprimer le champ électrique
2. Calculer
→
−
div E
et
3. Discuter les cas
‚ →
− −→
E .dS ,
S
R>a
et
→
−
E
en tout point.
où S représente une sphère centrée de rayon R.
R < a.
Que représente Q ?
III. Un peu de magnétostatique le l rectiligne parcouru par un
courant
On se place en coordonnées cylindriques de vecteurs unitaires
inni parallèle à
−
→z ,
u
−
→r , −
→θ
u
u
et
−
→z .
u
Un l rectiligne
de section circulaire de rayon a, est parcouru par un courant constant I ; la
densité volumique de courant
→
−
j
y est supposée uniforme sur une section.
1. Après avoir examiné les propriétés de symétrie, donnez l'expression du champ
la courbe
2. Calculer
B(r).
B
à
Le champ est-il continu en
r = 1cm
pour
I = 1A
et
r=a
→
− →
B (−
r ).
Tracer
?
a = 1mm
; comparer cette valeur à celle de la
composante horizontale du champ magnétique terrestre.
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er
Semestre - Electromagnétisme I
2015/2016
TD 2 : ondes planes harmoniques
I. Champs électrique et magnétique dans le vide
Soit le champ électrique
~
E
d'une onde harmonique plane électromagnétique progressive rec-
~u = (α, β, γ),
tiligne, orienté selon un vecteur unitaire
d'amplitude
de vecteur d'onde
~k = (a, b, c)
associé, et
E0 .
1. Dénissez la longueur d'onde
λ,
ν,
la fréquence
la pulsation
ω,
la période T. Dénissez la
polarisation et le sens de propagation de l'onde.
2. Écrivez l'expression de l'onde plane en utilisant la notation complexe.
3. Explicitez les expressions de
~ ∧E
~ , 4E
~
~ E
~, ∇
∇.
On montrera qu'on a l'équivalence
~ ≡ i~k
∇
et
et
∂
∂t
~
∂E
∂t .
≡ −iω
(ou bien
~ ≡ −i~k
∇
et
∂
∂t
≡ iω
).
4. Écrivez les équations de Maxwell dans le vide.
5. Déduisez que pour un champ
~
E
~k, E,
~ B
~
d'une onde plane progressive,
forment un trièdre
direct.
6. Représentez ces vecteurs en diérents points de l'espace à un instant donné, puis décrivez
comment ils varient en un point donné au cours du temps.
7. Retrouvez l'équation de propagation pour
le rapport
E0 /B0
~
E
et
~,
B
et en déduire la valeur de
k/ω .
En déduire
des normes des champs électrique et magnétique.
8. Ces résultats restent-ils valables pour toute onde se propageant dans le vide ?
II. Onde plane émise par un laser
On considère un faisceau laser qui émet une onde plane monochromatique de longueur d'onde
λ = 488 nm.
Cette onde est polarisée rectilignement selon Oz et se propage selon Ox.
1. Écrivez les composantes de
porelle
D E
~ .
R
Attention:
~k, E,
~ B
~
et du vecteur de Poynting
~.
R
Calculez la moyenne tem-
l'utilisation de la notation complexe aboutit à un résultat faux.
Pourquoi? Pour vous en convaincre, faites le calcul.
2. Donnez l'expression de la densité volumique d'énergie électromagnétique, notée
moyenne temporelle
hei.
En déduire la relation entre
D E
~
R
et
hei.
e,
puis de sa
Interpréter.
3. Quelle est la puissance totale que transporte une onde plane? D'où vient le problème?
4. La puissance moyenne du laser est de 1 W. Le faisceau formé a une section de
l'amplitude
~ B
~
de ~
k, E,
1 mm2 .
Calculer
.
III. Polarisation d'une onde
Soit une onde caractérisée par un champ électrique
~
E
de la forme (Ex et
Ey
sont des constantes
réelles) :

Ex ei(kz−ωt)
~ =  Ey ei(kz−ωt+ϕ) 
E
0

1. S'agit-il d'une onde plane? Progressive? Monochromatique?
2. A quelle(s) condition(s) cette onde a-t-elle une polarisation rectiligne?
Quelle est alors la
direction de polarisation? Faire un schéma.
3. A quelle condition cette onde a-t-elle une polarisation circulaire droite ou gauche? Faire un
schéma.
4. Dans le cas le plus général, on parle de polarisation elliptique. Pourquoi? Précisez à quelle
condition la polarisation est droite ou gauche.
5. Dans le cas général (elliptique), exprimer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting, et
la comparer avec celle d'une onde à polarisation rectiligne.
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TD 3 :
Semestre - Electromagnétisme I
2015/2016
Réexion d'une onde électromagnétique sur un métal
I. Réexion en incidence normale sur une plaque métallique - pression
de radiation
Une OPPHS incidente de pulsation
incident
−
→
Ei
ω
se propage dans le vide selon Ox. Le champ électrique
est polarisé rectilignement selon Oy.
inniment conductrice située en
x=0
L'onde est rééchie par une plaque métallique
. Dans le vide, le champ électromagnétique total est donc la
somme de l'onde incidente et de l'onde rééchie.
1. Ecrire les composantes des champs incidents
−
→
Ei
−
→
Bi .
et
2. Quelle est la signication physique de l'hypothèse inniment conductrice ? Que valent les
champs
→
−
E
et
→
−
B
à l'intérieur de la plaque ?
3. Ecrire les relations de passage pour les champs
les champs
−
→
Er
et
−
→
Br
→
−
E
et
→
−
B
à la surface de la plaque. En déduire
de l'onde rééchie.
→
−
→
−
E et B de l'onde résultante dans le vide. De quel type d'onde s'agit-il
→
−
→
−
? Faire une représentation graphique de E ou B .
→
−
→
−
A partir de la relation de passage pour B , trouver le courant surfacique js engendré par
4. En déduire les champs
5.
l'onde à la surface de la plaque. Faire un schéma.
6. Quel type de force s'exerce sur la surface ? Pourquoi parle-t-on de pression électromagnétique
? Calculer cette pression en fonction de
ε0
et
E0
après être repassé en notation réelle.
7. Déterminer sans calcul quelle va être la moyenne temporelle du vecteur de Poynting. Faire le
calcul pour vérier.
8. Prévoir qualitativement ce qui change si le métal n'est plus considéré comme parfaitement
conducteur. Quelles seront les conséquences sur
→
−
E
et
→
−
B
dans le vide, dans le métal, et sur la
moyenne du vecteur de Poynting ?
II. Réexion d'une onde polarisée circulairement
Une onde plane électromagnétique, de polarisation circulaire gauche, se propageant dans le vide
dans le demi-espace
x<0
x croissants, tombe en incidence normale,
yOz . Le métal est supposé parfait.
vers les
métallique contenu dans le plan
~i
E
x = 0.
1. Donner l'expression du champ électrique incident
l'instant
t=0
il est dirigé suivant l'axe
Oy
en
d'amplitude notée
2. Rappeler les conditions de passage relatives aux champs
électrique
E~r
de l'onde rééchie.
en
~
E
et
~
B
x = 0,
E0 ,
sur un plan
sachant qu'à
et en déduire le champ
3. Pour un observateur situé en avant du miroir (x
< 0) qui verrait arriver l'onde rééchie, quelle
polarisation a cette onde rééchie ? Déterminer la structure de l'onde résultante.
III. Réexion d'une onde sur des plans métalliques en incidence oblique
Une OPPHS incidente se propage selon
Le champ
−
→
Ei
→
−
−
→
k = k cos θ−
u→
x + k sin θ uy .
On note ses champs
−
→ −
→
Ei et Bi .
est polarisé rectilignement selon Oz. L'onde est rééchie par une plaque métallique
inniment conductrice située en x = 0.
1. Rappeler l'équation de propagation et la relation de dispersion de l'onde incidente. Ecrire les
composantes des champs
−
→
Ei
et
−
→
Bi .
2. Écrire la relation de passage pour le champs
→
−
E
→
−
B
et
à la surface de la plaque.
En supposant une forme générale de l'onde rééchie
champs
− →
−
→ →
−
−
→
Er = E00 ei(kr . r −ωr t) ,
en déduire les
−
→ −
→
Er et Br de l'onde rééchie (démontrer au passage la loi de la réexion de Descartes).
3. En déduire les champs
→
−
→
−
E et B de l'onde résultante dans le vide.
De quel type d'onde s'agit-il
?
4. On rajoute une deuxième plaque métallique inniment conductrice en
nouvelle condition au limite pour le champ
→
−
E.
5. Faire une représentation graphique de la condition trouvée (tracer
diérentes valeurs de
n).
ω
x = −L.
en fonction de
Ecrire la
θ
pour les
En déduire que cette ligne de transmission se comporte comme un
ltre en fréquence. Pour une onde de pulsation
ω
xée, quels sont les angles d'incidence
θn
admis dans la cavité ?
6. A partir de ce qui précède, retrouver l'équation de dispersion des modes d'une onde TE.
7. En utilisant la relation de passage pour le champ
courant surfacique
→
−
js .
→
−
B
à la surface d'une plaque, en déduire le
8. Etablir l'expression de la pression électromagnétique exercée sur une plaque en fonction de
ε0 , E0
et
θ.
IV. Métal normal : étude de la profondeur de peau
Une onde électromagnétique plane incidente polarisée rectilignement suivant Ox se propage
suivant l'axe Oz dans le vide. Un métal non parfait, de conductivité électrique
dans la partie de l'espace
z > 0.
σ
nie, est placé
On cherche à déterminer la nature de l'onde électromagnétique
quand elle pénètre dans le métal non parfait.
1. Écrire le champ
−
→
Ei
incident dans le vide (on notera
k
le module de son vecteur d'onde, et
sa pulsation).
2. Rappeler le cas du métal parfait (champ
−→
Em
dans le métal et relations de passage).
ω
Dans le cas du métal non parfait, on fait les trois hypothèses suivantes :
(a) L'équation de Maxwell-Gauss peut s'écrire dans le métal
(b) La loi d'Ohm est valable dans le métal.
(c)
−→
Em
s'écrit sous une forme similaire à
parallèle à Ox, mais où
peut montrer que
Em0
km
−
→
Ei
:
−→
div(Em ) = 0.
−→
−−→
Em = Em0 ei(km z−ωt) ,
où
−−→
Em0
est un vecteur réel,
peut être un nombre complexe. À l'aide des relations de passage, on
dépend de
ω
mais ce calcul n'est pas demandé dans cet exercice.
−→
div(Em ) = 0. Pour cela, supposer qu'on crée un supplément
de charge de densité volumique ρ0 à un instant t = 0 et trouver la loi d'évolution de ρ au
cours du temps. Exprimer le temps τ au bout duquel la charge initiale ρ0 devient négligeable.
1. On veut justier l'hypothèse (a)
A.N. : Calculer
τ
pour le cuivre
(σ = 6.107 Ω−1 m−1 ).
L'hypothèse (a) est-elle justiée dans
le domaine des radiofréquences ? des hyperfréquences ?
2. Écrire les trois autres équations de Maxwell que satisfont dans le métal
−→
Em
−→
Bm
et
et mon-
trer que dans l'équation de Maxwell-Ampère, on peut négliger un des termes à fréquence
susamment basse.
3. À partir de ces équations, trouvez l'équation de propagation pour
de dispersion liant
4. Exprimer
δ
km
km
et
−→
Em et en déduire la relation
ω.
et montrer que
−→
Em
est atténuée suivant Oz. Dénir la distance caractéristique
pour cette atténuation et justier l'appellation épaisseur de peau.
5. Calculer
δ
pour le cuivre, pour les fréquences
υ = 50Hz
et
υ = 1M Hz
.
Décrire quali-
tativement l'onde dans le métal dans ces deux cas (basse fréquence et radio fréquence) en
supposant que le métal a une profondeur de 1 mm selon z. En admettant que
que se passe-t-il si
υ→0
Em0 ∝
√
ω,
?
6. Quelle est l'expression de la vitesse de phase
vφ
dans le métal ? La comparer à
vφ
dans le
vide.
7. Calculer le champ magnétique
−→
Bm
En déduire le vecteur de Poynting
associé à
→
−
P
−→
Em
dans le métal.
dans le métal. Calculer sa moyenne temporelle en z =
0 puis en z = a.
En déduire la puissance moyenne dissipée dans un métal de longueur
a δ
unité dans le plan xOy. Sous quelle forme cette énergie se dissipe-t-elle ?
et de section
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Semestre - Electromagnétisme I
2015/2016
TD 4 : Ligne de transmission et adaptation d'impédance
I. Calcul électrocinétique de la propagation du courant et de la tension
- Adpation d'impédance
Nous étudierons ici le cas d'une ligne de transmission, constituée de deux conducteurs parallèles
de longueur pratiquement innie. La position le long de la ligne est repérée par la cote
sur un axe
Oz
parallèle aux conducteurs.
z
mesurée
Cette ligne peut être aussi bien constituée de 2 ls
cylindriques parallèles que d'un cable coaxial, ou de 2 rubans plats parallèles, etc...
1. Rappeler les diérents modes de propagation possibles dans la ligne. Dans chaque cas, indiquer
la direction des champs électrique et magnétique, ainsi que les éventuels courants surfaciques
et densités surfaciques de charge sur les conducteurs.
Nous nous placerons désormais dans le mode TEM où nous pouvons donner une description électrocinétique de la ligne.
L'intensité de courant dans chaque conducteur étant fonction du temps et de la cote, on désigne
par
i1
l'intensité dans le conducteur 1 et par
i2
l'intensité dans le conducteur 2, avec :
i1 (z, t) = −i2 (z, t) = i(z, t)
De même, on introduit la diérence de potentiel entre les 2 conducteurs :
v(z, t) = v1 (z, t) − v2 (z, t)
1. Justier qu'un tronçon de ligne de longueur
capacité
∆C = Γ∆z .
Expliciter la constante
Γ
∆z
se comporte comme un condensateur de
dans le cas particulier de la géométrie plane.
2. Justier que le tronçon de ligne se comporte également comme une boucle d'autoinductance
∆L = Λ∆z
et expliciter la constante
Λ
dans le cas de la géométrie plane.
Dans la suite, on admet que la résistance des conducteurs est négligeable (ligne de transmission
sans perte), et on modélise la ligne de transmission par le schéma électrocinétique suivant (valable
pour une géométrie quelconque) :
1. En utilisant la loi des mailles, écrire l'expression de la variation de la diérence de potentiel
d'une extrémité à l'autre du tronçon de ligne :
dv = v(z + ∆z, t) − v(z, t)
En déduire une relation entre les dérivés
∂v
∂i
∂z et ∂t .
2. De même, en utilisant la loi des noeuds, trouver une relation entre les dérivés
3. Déterminer l'équation aux dérivées partielles à laquelle obéit la fonction
la fonction
i(z, t)
v(z, t)
∂v
∂i
∂z et ∂t .
et vérier que
obéit à la même équation.
4. Vérier que les solutions correspondent à des ondes progressives, dont on exprimera la vitesse
de propagation
v.
5. Montrer que toutes les équations précédentes auraient pu être déduites directement des équations de Maxwell (se placer dans le cas de la géométrie plane pour simplier le raisonnement).
6. Justier qu'en régime forcé à pulsation
ω
la solution la plus générale peut s'écrire
z
z
v(z, t) = V0+ ej(ωt−ω c ) + V0− ej(ωt+ω c )
z
z
i(z, t) = I0+ ej(ωt−ω c ) + I0− ej(ωt+ω c )
Trouver une relation entre
Z0
de la ligne.
I0+
et
V0+ ,
et entre
I0−
et
V0−
et dénir l'impédance caractéristique
On considère maintenant que la ligne de transmission est fermée sur une impédance arbitraire
ZL
placée en
z=0
et on suppose qu'une onde incidente est générée par une source située en
1. En tenant compte de la condition en
exprimer le coecient de réexion
z = 0,
z < 0.
justier l'existence d'une onde rééchie, et
r.
2. Calculer la puissance moyenne se propageant le long de la ligne à la cote
z,
dénie comme
Pmoy (z) =< v(z, t)i(z, t) >t
3. Trouver la condition pour qu'il n'y ait pas d'onde rééchie. Montrer alors que l'impédance
eective de la ligne est constante le long de la ligne et que la puissance transmise à la charge
est maximale.
C'est ce qu'on appelle
"l'adaptation d'impédance".
II. Impédance ramenée et adaptation par une ligne quart d'onde
On considère deux guides d'onde d'impédances caractéristiques diérentes
Zc
et
Zc” .
On veut
les connecter en les "adaptant en impédance", grâce à l'insertion d'une ligne de longueur
On introduit la notion
0
Zc à déterminer.
d'impédance ramenée, dénie
d'impédance caractéristique
comme l'impédance à une distance
d
d
et
de la n
d'une ligne d'impédance caractéristique donnée, fermée sur une charge connue.
1. Exprimer l'impédance ramenée
par une charge
0
0
0
0
Z (−d) d'une ligne d'impédance caractéristique Zc et terminée
Z (z = 0) = ZL
2. Donner la valeur de l'impédance ramenée pour
d=
On insère maintenant une portion de ligne de longueur
λ
4.
d =
λ
4 entre les deux lignes décrites en
introduction.
1. Quelle impédance voit la ligne quart d'onde en sortie ? Que doit valoir son impédance ramenée
(en entrée de la ligne quart d'onde) pour réaliser l'adaptation ?
2. Calculer la valeur
0
Zc
pour
Zc = 50 Ω
et
Zc” = 75 Ω.
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2015/2016
TD 5 : Guide d'onde métallique
On considère un guide d'ondes rectangulaire comme celui représenté sur la gure.
Le guide
d'onde étant en quelque sorte constitué de deux lignes de transmission perpendiculaires, on s'attend
à ce que seuls certains modes de propagation soient autorisés.
Notre but est de determiner les
caractéristiques de ces modes.
Notons qu'il n'y a pas de raison pour que ces modes soient des OPPHS ; les relations telles que
ω = kc
ne sont donc a priori pas valables.
1. On pose
→
−
E = f (x, y)ei(km z−ωt) −
u→
x.
Cette onde est-elle progressive ? Stationnaire ? Trans-
verse?
2. A l'aide d'une des equations de Maxwell, montrer que f ne depend que de y. Ecrire l'équation
de propagation de
signe de
2
ω
c2
→
−
E
dans le vide à l'intérieur du guide, et en déduire la forme de f selon le
− k2 .
3. En écrivant les conditions aux limites sur les bords du guide, éliminer l'une des deux formes
trouvées à la question précédente. Trouver une inégalité sur la longueur d'onde
Ecrire la relation de dispersion, et nalement exprimer
→
−
E.
λ
de l'onde.
4. Pourquoi dit-on qu'une telle relation de dispersion autorise plusieurs modes?
5. Représenter
→
−
E
(les deux premiers modes) dans le guide d'onde à un instant donné.
6. Utiliser l'équation de Maxwell-Faraday pour trouver
→
−
B,
puis vérifer que les deux dernières
equations de Maxwell sont bien vérifées.
7. Représenter la relation de dispersion
en fonction de
ω
k(ω).
Que peut-on dire du nombre de modes autorisés
?
A.N. : combien de modes sont autorisés pour b = 3 cm et
ν
= 12 GHz?
8. Calculer le vecteur de Poynting et en déduire dans quelle direction l'énergie se propage.
Calculer la puissance moyenne à travers la section du guide d'onde.
9. Exprimer
vϕ
et
vg
. Commenter.
10. Les directions x et y sont a priori équivalentes dans notre problème.
Quelle inégalité la
pulsation doit-elle verier pour être sûr qu'on ne va pas avoir une onde similaire à celle étudiée
ci-dessus, mais polarisée selon
−
→y
u
? Cela explique que dans les specications techniques d'un
guide d'onde, on precise une plage de fréquence d'utilisation. D'après ce qu'on vient de voir,
le guide d'onde sur la photo est-il prévu pour une polarisation selon
−
u→
x
ou
−
→y
u
?
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TD 6 : Réexion à l'interface de milieux diélectriques
I. Réexion totale sur un milieu diélectrique.
→
−
Une onde plane progressive de vecteur d'onde
k1
se propageant dans un diélectrique d'indice
(partie z < 0) arrive sur la surface z = 0 la séparant d'un diélectrique d'indice
d'onde
→
−
k1
θ1
fait un angle d'incidence
n2 < n1 .
n1
Le vecteur
avec l'axe Oz, et est entièrement contenu dans le plan yOz,
comme représenté ci-dessous.
Une partie de l'onde est transmise dans la partie 2 de l'espace (z > 0) sous forme d'onde plane
progressive de vecteur d'onde
→
−
k2
également entièrement contenu dans le plan yOz. Par contre, ce
vecteur peut avoir une composante complexe. On le note donc :
→
−
→
−
−→
k2 = k20 + i k”2
où
→
−0
k2
et
−→
k”2
sont deux vecteurs à composantes réelles contenus dans le plan yOz.
1. Exprimez l'angle critique
θc
de la loi de Descartes en fonction de
on se placera dans le cas d'une réexion au delà de l'angle limite
totale, ce qui implique que
−→
k”2
n1
θc
et
n2 .
Dans la suite,
; il s'agit d'une réexion
est non nul.
2. Donnez l'équation de propagation dans le milieu 2. À partir de cette équation, démontrer que
la relation de dispersion peut s'écrire sous la forme :
→
−0 −→
k2 .k”2 = 0
2
2
(k20 ) − (k”2 ) =
3. Écrire les composantes de
pour
de
→
−
E
→
−
k1 .
→
−
k1
en fonction de
n ω 2
2
c
n1 , θ1
et
ω.
Rappeler la condition de passage
en z=0. En déduire une condition pour les composantes de
4. À partir de cette relation, en déduire que :
n ω
→
−0
1
→y
sinθ1 −
u
k2 =
c
−→
k”2 =
q
ω
−
→z
±
n21 sin2 θ1 − n22 u
c
→
−
k2
en fonction de celles
5. Sachant que le champ électrique est une onde plane polarisée suivant
−
→
exprimer E2 en fonction de son amplitude E0 en z = 0,
→
−
→
−
r et de k2 , puis en fonction de y, z, k20 et k”2 , ω .
de sa pulsation
−
u→
x
ω,
dans le milieu 2,
du vecteur position
Cette onde est-elle homogène ? Est-elle progressive ? Si oui, dans quelle direction ? S'atténuet-elle ? Si oui, dans quelle direction ?
(Choisir le signe de la composante de
−→
k”2
selon Oz pour avoir une situation physique quand
z tend vers l'inni.)
6. Dénir à partir de l'expression de
n2 ,θ1 , ω
−
→
E2
δ
]θc ; π2 ].
une profondeur de pénétration
et c. Représenter graphiquement
δ
quand
θ1 appartient
à
en fonction de
n1 ,
Quelle est la situation analogue dans un métal ?
δ dans le cas d'une réexion verreair, pour θ1 = 45° une longueur
λ1 = 0, 6µm (on exprimera θ1 en fonction de n1 ,ω et c.) ; nverre = 1, 5.
A.N. : calculer
incidente
7. Déterminer le champ magnétique dans le milieu 2 noté
8. Calculer le vecteur de Poynting
expressions de
−
→
R2
−
→
B2
d'onde
.
−
→
R2 associé à l'onde transmise.
(On gardera
k20
et
k”2
dans les
sans les développer).
Exprimer la moyenne temporelle de chaque composante de ce vecteur.
En déduire le sens de propagation de l'énergie moyenne associée à l'onde transmise.
Que vaut la puissance moyenne incidente traversant la surface qui sépare les deux milieux par
unité de surface ? Y a-t-il dissipation d'énergie dans le diélectrique ?
Comparer avec un métal non parfait.
II. Réexion et transmission à la surface de séparation entre deux milieux diélectriques.
Deux milieux, d'indices
n1
n2 sont séparés par une surface plane (S) de normale (Ox). On
ω se propageant dans le milieu d'indice n1 , incidente avec l'angle
d'incidence (Oxy).
et
considère une OPPHS de pulsation
d'incidence
θ1
dans le plan
1. Rappeler la relation de dispersion et la relation entre les champs
se propageant dans un milieu d'indice
→
−
E
et
→
−
B
pour une OPPHS
n.
2. Rappeler les conditions de passage à l'interface (supposée non chargée, et sans courant superciel).
3. De la condition de passage sur le champ
→
−
E,
déduire les lois de Snell-Descartes.
Dans la suite, on suppose que les ondes incidentes, rééchies et transmises sont polarisées
rectilignement, perpendiculairement au plan d'incidence (donc parallèlement la direction
4.
Oz ).
→
−
De la condition de passage sur le champ B , déduire les coecients de réexion et de transEt,0
Er,0
mission en amplitude, notés r =
Ei,0 et t = Ei,0 . On les exprimera en fonction des indices
n1 , n2 et de cosθ1 et cosθ2 .
5. En déduire les rapports
R
et
T
des puissances rééchies et transmises par rapport à la puis-
sance incidente, par unité de surface de l'interface. Que deviennent ces expressions dans le
cas particulier de la réexion totale ?
L3 PAPP - 1
er
Semestre - Electromagnétisme I
2015/2016
TD 7 : Fibres optiques
I- La bre optique - approche géométrique
On considère une bre constituée d'un coeur de rayon
n1
a d'indice n0
entouré d'une gaine d'indice
plus faible.
Fibre optique à saut d'indice
1. Un rayon lumineux est envoyé dans la bre avec un angle
θ0 .
A quelle condition sur
θ0
le
rayon se propage-t-il dans la bre par réexions successives ? On appelle ouverture numérique
de la bre optique ON la valeur
sinθmax ,
qui dénit l'ouverture maximale du cône de lumière
pouvant être propagé par la bre. Que vaut ON en fonction de
n0
et
n1 ?
2. Quel est le retard de ce rayon par rapport à un rayon qui se propage suivant l'axe z pour une
même distance
d
parcourue le long de l'axe Oz ? Quelles déductions pour le débit possible
d'impulsions lumineuses (et donc d'information) qu'on peut faire passer dans cette bre ?
A.N. :
n0 = 1, 5 n1 = 1, 49 d = 1km
Fibre optique à gradient d'indice
On considère la même bre, mais l'indice dans le coeur n'est plus constant. Il suit la loi :
r2
n (r) = n0 1 − ∆ 2
a
1. Déterminer
∆
grâce au raccordement avec la gaine en
r = a.
2. Qualitativement, le retard calculé pour la bre à saut d'indice va-t-il être plus grand ou plus
petit ? Le débit sera-t-il plus élevé ?
II- La bre optique - approche électromagnétique
Pour faciliter les calculs, on considère un modèle de bre optique non cylindrique, c'est-à-dire
un couche innie de diélectrique d'indice
x = ±a.
n
coincée entre deux couches d'indice
n0 ,
d'équations
Cette géométrie planaire est aussi utilisée dans certains composants optiques. On cherche
à caractériser la forme de l'onde électromagnétique correspondant à un champ électrique
→
−
E
se
propageant dans la bre.
1. Ecrire l'équation de propagation satisfaite par
→
−
E
dans les deux milieux d'indices
n
et
n0
.
k dans cette direction, et
x, qu'on notera f (x). Ecrire
2. On suppose que le champ est progressif selon z, de vecteur d'onde
polarisé selon
y.
Par contre, on ne sait rien sur sa dépendance en
f.
l'équation diérentielle satisfaite par la fonction
3. Quels types de fonctions
pour
f
dans le milieu
intermédiaires
β et β
0
n
f
peuvent satisfaire cette équation ? Qu'attend-on comme solution
et dans le milieu
n0
respectivement ?
dénies par les relations suivantes :
4. Pour des raisons de symétrie,
f
2
β =
doit être soit une fonction paire, soit une fonction impaire.
Expliquer en quoi cela simplie l'expression de
f
dans le coeur et dans la gaine.
5. On ne s'intéresse désormais qu'aux solutions paires.
En utilisant les conditions de passage
pour le champ électrique au niveau des interfaces, exprimer
d'une amplitude
E0 ,
section de la bre.
On utilisera les variables
0 2
nω 2
nω
2
02
2
−k
et β
=
k
−
c
c
f
en fonction de
k, β, β 0 , ω, a
et
dans les deux milieux. Dessiner l'allure du champ électrique dans une
Les fabriquants de bres optiques fournissent un diamètre eectif de
mode, qui varie avec la longueur d'onde. A quoi correspond cette notion ?
6. En déduire le champ
de passage sur
→
−
B.
→
−
B.
Déduire une deuxième relation entre
7. Montrer graphiquement que les solutions pour
(β, β 0 )
β
et
β0
à partir des relations
sont discrètes. On les notera
0
(βm , βm
).
Discuter le nombre de modes de progagation possibles pour une pulsation donnée. Dénir les
pulsations de coupure.
8. Exprimer le vecteur de Poynting
→
−
R
puis sa moyenne temporelle. En déduire de quelle façon
l'énergie se propage dans la bre. Donner l'expression permettant le calcul de la puissance
moyenne à travers une section de la bre.
9. Donner la signication physique des paramètres
onde plane de pulsation
β
et
β0
en considérant la réexion totale d'une
ω , en incidence oblique sur les parois de la gaine (angle d'incidence θ),
et polarisée perpendiculairement au plan d'incidence.(On utilisera les résultats établis dans le
TD précédent concernant la réexion totale sur un milieu diélectrique).
L3 PAPP - 1
er
Semestre - Electromagnétisme I
2015/2016
TD 8 : Onde électromagnétique non plane dans le vide
rayonnée par une antenne
Une antenne placée suivant un axe
fréquence
υ = 87.8
Oz
rayonne dans le vide une onde électromagnétique de
MHz, dont le champ électrique a pour composantes dans la base sphérique:
Er = 2E0 cos θ
Eθ = E0 sin θ
ik
1
− 2
3
r
r
1
ik
k2
− 2−
3
r
r
r
ei(kr−ωt)
ei(kr−ωt)
Eφ = 0
où l'exponentielle complexe a pour argument le produit
1. Précisez la dimension de la constante
E0
kr
et non pas le produit scalaire
et vérier l'équation de Maxwell-Gauss pour
2. En utilisant l'équation de Maxwell-Faraday, calculez le champ magnétique
3. Facultatif : Vériez les autres équations de Maxwell pour
4. À quoi comparer
→
−
E
et
→
−
B
→
− →
k .−
r.
→
−
E.
correspondant.
→
−
B.
r pour savoir si on se trouve à une petite ou une grande distance de l'antenne
?
Quelle est l'expression du champ électrique à petite distance ? Commenter.
Dans toute la suite, on se place à une distance
5. Que deviennent
→
−
E
et
→
−
B
Dans quelle direction de
θ
dépend-il de
r0
1/r
?
le champ est-il maximum ?
sortant d'une sphère de rayon
Pm
très grande de l'antenne.
au premier ordre non nul en
6. Calculez le vecteur de Poynting
7.
r
→
−
R .
r0
Déduisez-en la puissance électromagnétique moyenne
autour de l'antenne. On utilisera :
? Est-ce normal ?
´π
0
sin3 θdθ =
4
3.
Pm
8. On dénit la directivité
D
d'une antenne dans une direction quelconque de l'espace
→
−
u comme
étant le rapport de la puissance moyenne rayonnée par l'antenne par unité d'angle solide dans
la direction
→
−
u
et de la puissance qui serait rayonnée par unité d'angle solide par une antenne
Pm .
→
−
k < R > k,Pm
isotrope ayant la même puissance totale
a) Exprimer
D
en fonction de
r0 .
et
b) Tracer la directivité de cette antenne dans le plan horizontal. Pourquoi parle-t-on alors
d'antenne omnidirectionnelle ?
c) Tracer la directivité de cette antenne dans le plan vertical. Dans quelle direction
plus forte ? Que vaut
D
dans la direction de l'axe
z
D
est la
? Calculer l'angle d'ouverture vertical,
c'est-à-dire l'angle qui intercepte les directions où la directivité vaut
Dmax /2.
9. Les diagrammes de rayonnement d'une antenne Wi murale, de la société RadioLabs, sont
données ci-dessus. Déterminer les angles d'ouverture de cette antenne. S'agit-il d'une antenne
omnidirectionnelle ? Quelle précaution faut-il prendre au moment de l'installation ? Quelle
est l'avantage de ce type d'antenne par rapport à une antenne omnidirectionnelle ?
10. On considère deux antennes dont le diagramme de rayonnement est celui de la question 8. Les
deux antennes sont situées au même point
l'axe
Oz .
O.
La première est orientée verticalement selon
La deuxième est orientée suivant l'axe
Ox
et est déphasée de
π/2
par rapport à la
première antenne.
Dessinez le champ créé par chaque antenne pour les cas suivants et indiquez pour chaque cas,
la polarisation de l'onde résultante :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
θ=0
ϕ=0
ϕ=0
ϕ = π/2
θ = π/4
θ = π/2
θ = π/2
Physique des ondes – premier semestre
Formulaire
Calcul vectoriel
#» # »
rot grad V
# » #»
div rot A
# »
div grad V
# » # » #»
rot rot A
=
=
=
=
~0
0
∆V
# »
#»
#»
grad div A − ∆ A
# »
grad(V1 V2 )
# » #»
rot(V A)
#»
div(V A)
#»
#»
div( A 1 ∧ A 2 )
=
=
=
=
# »
# »
V1 grad V2 + V2 grad V1
# »
# » #»
#»
V rot A + grad V ∧ A
# »
#»
#»
V div A + grad V · A
#» # » #»
#» # » #»
A 2 · rot A 1 − A 1 · rot A 2
Coordonnées cartésiennes
z
M
y
m
x
∂V #»
∂V #»
∂V #»
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
∂Ax ∂Ay
∂Az
#»
div A =
+
+
∂x
∂y
∂z
∂Ay #»
∂Ay
∂Ax ∂Az #»
∂Ax #»
∂Az
# » #»
ux +
uy +
uz
−
−
−
rot A =
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂2V
∂2V
∂2V
+
+
∆V =
∂x2
∂y 2
∂z 2
# »
grad V
=
Coordonnées cylindriques
z
uz
M
ur
y
r
x
uθ
m
θ
1 ∂V #»
∂V #»
∂V #»
ur +
uθ +
uz
∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂rAr
1 ∂Aθ
∂Az
#»
div A =
+
+
r ∂r
r ∂θ ∂z ∂Aθ #»
∂Az #»
∂Ar #»
∂Ar
1 ∂rAθ
1 ∂Az
# » #»
−
−
−
ur +
uθ +
uz
rot A =
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
∂V
1 ∂2V
∂2V
1 ∂
r
+ 2
+
∆V =
r ∂r
∂r
r ∂θ 2
∂z 2
# »
grad V
uθ
ur
=
Coordonnées sphériques
z
θ
M
r
x
φ
m
# »
grad V
ur
uφ
=
#»
div A =
uθ
y
# » #»
rot A =
uφ
∆V
=
∂V #»
1 ∂V #»
1 ∂V #»
ur +
uθ +
uφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
1 ∂ sin θAθ
1 ∂Aφ
1 ∂r 2 Ar
+
+
r 2 ∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂φ
∂ sin θAφ ∂Aθ #»
1
−
ur + ...
r sin θ
∂θ
∂φ
∂rAφ #»
1
1 ∂Ar
1 ∂rAθ
∂Ar #»
... +
−
uθ +
−
uφ
r sin θ ∂φ
∂r
r
∂r
∂θ
∂V
1
∂
1
1 ∂ 2 rV
∂2V
sin
θ
+
+
r ∂r 2
r 2 sin θ ∂θ
∂θ
r 2 sin2 θ ∂φ2
Théorèmes
Théorème d’Ostrogradsky–Green :
S étant une surface fermée, τ le volume intérieur à S,
Théorème de Stokes–Ampère :
C étant une courbe fermée bordant une surface S,
ˆ
˛
#» ~
A · dS
=
#»
(div A)dτ
(τ )
(S)
#» ~
A · dl
=
(C)
ˆ
ˆ
(S)
# » #» ~
(rot A) · dS