Cours n°3

chapitre 10
Le moment cinétique
Quiz de bienvenue
Soit une rotation, représentée par l’opérateur dans l’espace de Hilbert, ce
qui signifie qu’une fonction d’onde tournée sous l’action de cette rotation
s’écrit
. On considère un système décrit par l’hamiltonien
supposé
invariant sous l’action de cette rotation. Quelle est la relation ci-dessous la
plus générale qui soit toujours vérifiée ?
1.
2.
3.
4.
Si vous avez changé de canal, tapez: [Ch]-[4]-[1]-[Ch] ou [Go]-[4]-[1]-[Go]
1.
Le moment cinétique orbital
L’observable moment cinétique
De même :
On ne peut pas connaître simultanément les différentes composantes
cartésiennes du moment cinétique!
L’observable
De même :
(voir QCM)
et
Il est donc possible de mesurer simultanément la norme du moment
cinétique et l’une de ses composantes cartésiennes.
2.
Moment cinétique et rotations
Représentation d’une rotation dans l’espace de Hilbert
On considère l’effet d’une rotation d’un angle
autour de l’axe sur une fonction d’onde
Représentation d’une rotation infinitésimale
On considère une rotation d’un angle
autour de l’axe
.
sont les générateurs infinitésimaux du groupe des rotations.
Invariance et commutation
Soit un système invariant par l’opération représentée par
Mais
Donc
dans l’espace de Hilbert.
Invariance par rotation et moment cinétique
Invariance par rotation :
Pour tout axe et tout angle
Ceci est vrai en particulier pour les petits angles.
On peut donc chercher une base propre commune à
composantes cartésiennes de
On choisit traditionnellement :
et l’une des
3.
Elie Cartan
1869 - 1951
Le problème général
d’une observable de moment cinétique
Recherche des états propres communs de
Les valeurs propres de
Les valeurs propres de
et
sont positives ou nulles.
On les note :
On appelle
l’espace propre commun à
propres respectives
et
et
associé aux valeurs
Les opérateurs
Alors :
et
et
(voir QCM)
Action de
et
sur un vecteur propre commun
Que dire de
?
Calcul de la norme de
avec
Valeurs autorisées pour j et m
2
3/2
1
1/2
0
-1/2
-1
-3/2
-2
1/2 1 3/2 2
Vecteurs propres et valeurs propres de
Soit
une base propre de
On définit la base standard
2
3/2
1
1/2
0
-1/2
-1
-3/2
-2
1/2 1 3/2 2
selon la relation
4.
Application au moment cinétique orbital
Expression des opérateurs en coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques, on a
C’est un peu fastidieux, mais on peut également montrer
(exercice)
Variables radiales et angulaires
La variable radiale r n’intervient pas
Les valeurs propres de
Mais :
et
entier
2
1
0
-1
-2
1
2
entier
(PC)
Les harmoniques sphériques
Legendre
1752 - 1833
Cas
est un opérateur différentiel linéaire du premier ordre
Solution unique.
On montre
On applique la relation de récurrence :
est une fonction réelle qui s’annule
fois dans l’intervalle
Reconnaissez l’harmonique sphérique (1)
Quelles sont les valeurs de et
représentée ci-dessous ?
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
pour l’harmonique sphérique
Reconnaissez l’harmonique sphérique (2)
Quelles sont les valeurs de et
représentée ci-dessous ?
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
pour l’harmonique sphérique
Représentation graphique des harmoniques sphériques
est une fonction réelle qui s’annule
fois dans l’intervalle
5.
Rotation d’une molécule diatomique
Espace de Hilbert associé à un « rotateur rigide »
On modélise l’état de rotation d’une molécule
diatomique à l’aide de l’orientation d’un
« rotateur rigide », repérée par les angles q et j.
Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert
correspondant ?
1. Dimension 1
2. Dimension 2
3. Dimension 3
4. Dimension infinie
Hamiltonien d’un rotateur rigide
Mécanique classique
Moment d’inertie :
Energie cinétique de rotation :
Mécanique quantique
Illustrations expérimentales
Niveaux rotationnels de molécules froides de Cs2
Fioretti et al., Eur. Phys. J. D 5, 389 (1999)
Laboratoire Aimé Cotton, Orsay
Spectre rotationnel du monoxyde de carbone (infrarouge lointain)
115
GHz
Fleming & Chamberlain, J. Infrared Phys. 14, 277 (1974)
Spectroscopie rotationnelle de la nébuleuse d’Orion
Conclusion
2
3/2
1
1/2
0
-1/2
1/2 1 3/2 2
-1
-3/2
-2
Cas du moment cinétique orbital
Que dire des valeurs demi-entières de
?