electron libres

1
UNIVERSITE IBN ZOHR 2015-2016
FACULTÉ DES SCIENCES
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
AGADIR
TD DE PHYSIQUE DES MATERIAUX
SMP5 - Série 5
Gaz d’électrons libres
I- Gaz d’électrons libres à trois dimensions
On considère un échantillon d’un matériau métallique de volume V, ayant une
structure cubique simple. Ce matériau est monovalent (un électron de valence
par atome).
1 a- Donner les expressions, en fonction du paramètre de maille a, des
quantités suivantes : ne (le nombre d’électrons par unité de volume),
Rep. : Le nombre d’électrons par unité de volume : 1 e par maille cubique
3
1
a
V
N
ne
N : nombre total d’électrons dans le solide. V : volume du matériau.
b- kF (le nombre d’onde de Fermi), EF (l’énergie de Fermi), vF (la vitesse
de Fermi) et TF (la température de Fermi).
Rep. : Le nombre d’onde de Fermi kF :
3
33
4
2
2F πk
π
V
N
(Le 2 pour prendre en compte les deux états de spin)
3
1
2
2
3)3(
3eF
F
enk
k
V
N
n
 EF (l’énergie de Fermi) :
3
2
2
2
2
23
22 )nπ( m
k
m
EeFF
vF (la vitesse de Fermi) :
22
2
2
1
2FFF mvk m
E 
3
1
2
3)nπ(
m
k
m
veFF
TF (la température de Fermi) :
FBe Tk)nπ(
m
3
2
2
23
2
3
2
2
23
2)nπ( mk
Te
B
F

2
2- Etablir l’expression de la densité d’états D(E) en fonction de E puis de ne. En
déduire la densité d’états au niveau de Fermi, D(EF) en fonction de ne.
Rep :  La densité d’états D(E) :
V
π
dkπk
)dkkD( 3
2
2
4
D(k)dkdED(E 2) 
(L’élément de volume
V
π3 2
contenant 2 électrons),
22
2
2
3
2
2
4
2
mk
V
dk
dE
k
V
V
π
dkπk
D(E)dE 
avec
mk dk
dE
m
k
E222
2
Donc
E
π
m
VD(E) 32
3
2
 Le nombre d’électrons
)(EN
(i.e. nombre d’orbitales électroniques)
dont l’énergie est inférieur à E est :
2
3
222
32
3
)(
3
)( 
mEV
EN
Vk
EN
Or on a :
dE
EdN
D(E) )(
et
E
dE
NEdN 2
3)( 
EEN
D(E) )(
2
3
 La densité d’états au niveau de Fermi est donc :
F
Ee
Vn
F
EF
EN
F
ED 2
3
)(
2
3
)( 
.
ne : le nombre d’électrons par unité de volume et V le volume du cristal.
3- Montrer que l’énergie totale du gaz à T=0K est :
)0(
5
3
)0( F EN
total
E
Rep :  La probabilité pour qu’une orbitale d’énergie E soit occupée à une
température T est (pour un gaz d’électrons libres) :
1
1
)(
Tk
EE
B
F
e
Ef
fonction de Fermi-Dirac
F
EEsi F
EEsiEf
KTà 0
1)(
0
F
E
total NEdEEDE)(E F
5
3
)(0 0