electron libres

UNIVERSITE IBN ZOHR
FACULTÉ DES SCIENCES
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
AGADIR
2015-2016
TD DE PHYSIQUE DES MATERIAUX
SMP5 - Série 5
Gaz d’électrons libres
I- Gaz d’électrons libres à trois dimensions
On considère un échantillon d’un matériau métallique de volume V, ayant une
structure cubique simple. Ce matériau est monovalent (un électron de valence
par atome).
1
a- Donner les expressions, en fonction du paramètre de maille a, des
quantités suivantes : ne (le nombre d’électrons par unité de volume),
Rep. : Le nombre d’électrons par unité de volume : 1 e par maille cubique
N
1
ne 
 3
V a
N : nombre total d’électrons dans le solide. V : volume du matériau.
b- kF (le nombre d’onde de Fermi), EF (l’énergie de Fermi), vF (la vitesse
de Fermi) et TF (la température de Fermi).
Rep. : Le nombre d’onde de Fermi kF :
V 4 3
(Le 2 pour prendre en compte les deux états de spin)
N 2
πk F
2π 3 3
N k F3
ne   2
V 3
 k F  (3 ne
2
1
)3
2
2 2 2
 EF (l’énergie de Fermi) : E F 
kF 
( 3π 2 ne ) 3
2m
2m
vF (la vitesse de Fermi) :
1


2 2 1 2
vF  k F  ( 3π 2 ne ) 3
EF 
k F  mvF
m
m
2m
2
TF (la température de Fermi) :
2
2
2
2
2
3
( 3π 2 ne ) 3
( 3π ne )  k BTF TF 
2mkB
2m
1
2- Etablir l’expression de la densité d’états D(E) en fonction de E puis de ne. En
déduire la densité d’états au niveau de Fermi, D(EF) en fonction de ne.
Rep :  La densité d’états D(E) :
(L’élément de volume
D(E)dE  2
4πk dk
2
2π 3
V

4πk 2 dk
D(k )dk 
2π 3
V
2π 3 contenant 2 électrons),
V
V
k2
mk
V 2 2
 
 dE 
 2 
 dk 
 2k 2
dE  2 k
Donc


2m
dk
m
avec E 
D(E )dE  2 D(k)dk
D(E)  V
2m 3
π 23
E
 Le nombre d’électrons N (E ) (i.e. nombre d’orbitales électroniques)
dont l’énergie est inférieur à E est :
3
k 3V
V
N (E)  2  N (E)  2
3
3
dN ( E )
Or on a : D(E) 
dE
 2mE  2
 2 
  
dN ( E ) 3 dE
et

N
2 E
 D(E) 
 La densité d’états au niveau de Fermi est donc :
D( E F ) 
3 N ( E F ) 3 Vne

2 EF
2 EF
3 N (E)
2 E
.
ne : le nombre d’électrons par unité de volume et V le volume du cristal.
3- Montrer que l’énergie totale du gaz à T=0K est : Etotal (0)  3 N E F (0)
5
Rep :  La probabilité pour qu’une orbitale d’énergie E soit occupée à une
température T est (pour un gaz d’électrons libres) :
 f ( E )  1 si E  E F
fonction de Fermi-Dirac  à T  0 K 
1
f (E) 
e
E  EF
k BT
Etotal( 0 )  
EF
0
0


1
3
E D( E )dE  NE F
5
2
si E  E
F