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Bac S Métropole 09/2010 correction © http://labolycee.org
EXERCICE III. DÉTECTION DE MÉTAUX (4 points)
1. Variation de l’inductance d’une bobine à l’approche d’un métal
1.
1. Étude qualitative des courbes obtenues
1.1.1. (0,25) Avec les conventions de la figure 1, la loi d’Ohm s’écrit :
u
R
= R . i.. (convention récepteur).
La tension u
R
est proportionnelle à l’intensité du courant i. Ainsi,
l’évolution de la tension u
R
aux bornes du conducteur ohmique est
similaire à l’évolution de l’intensité du courant i dans le circuit.
K
R
-
i
E
L
+
r
u
B
u
R
1.1.2. (0,25) La courbe montre le retard à l’établissement de la tension u
R
aux bornes de la résistance donc le
retard à l’établissement du courant i dans le circuit contenant la bobine. En régime transitoire, la valeur de la
tension u
R
augmente. En régime permanent, la valeur de la tension est constante. Pour la courbe (a), le régime est
transitoire pour 0 < t < 7 ms puis permanent pour t > 7 ms.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
0,5
1,5
2,5
3,5
Courbe (b)
Courbe (a)
u
R
(V)
t (ms)
1.1.3. (0,25) Les variations de l’intensité i étant proportionnelles à celles de la tension u
R
, l’intensité i augmente
durant le régime transitoire pour 0 < t < 7 ms puis reste constante durant le régime permanent pour t > 7 ms.
1.1.4. (0,25) Tension u
B
aux bornes de la bobine (L, r) :
B
di
u L r i
dt
= +
. .
En régime permanent, l’intensité étant constante,
0
di
dt
=
alors u
B
= r.i…
1.2. Exploitation du régime transitoire
1.2.1. a. (0,25) Analyse dimensionnelle :
L
R r
τ =
  +
Pour une bobine idéale (r = 0) :
B
di
u L
dt
=
.
donc .
i
u L
t
= ⇒ .
t
L u
i
=
Pour un conducteur ohmique : u
R
= R . i donc [u] = [R].[i] ⇒
u
R
i
=
Par conséquent : . .
L t i
u t
R r i u
= =
+
Ainsi
L
t
R r
τ = =
+
= T donc τ est bien homogène à un temps.
u
Rmax
= 3,15 V
τ
a
= 1,2 ms τ
b
=2,4 ms
Régime transitoire Régime permanent

1.2.1.b. (0,25) Pour t = τ, la tension u
R
est égale à 63% de sa valeur maximale.
Or u
Rmax
= 3,15 V donc : 0,63 × 3,15 ≈ 0,63 × 3,2 = (0,63 × 3 + 0,63 × 0,2) = 1,89 + 0,126 = 2,016 V ≈ 2,0 V.
On trace la droite horizontale U = 2,0 V. Cette droite coupe les courbes (a) et (b) en des points dont les abscisses
respectives sont les constantes de temps
a
τ
et
b
τ
. On lit graphiquement : τ
ττ
τ
a
= 1,2 ms et τ
ττ
τ
b
= 2,4 ms.
1.2.2. (0,25) Comme
L
R r
τ =
+
alors L = τ . (R +r).
Ainsi : L
a
=
a
τ
. (R+r) (bobine seule)
L
b
=
b
τ
. (R+r) (bobine proche d’un morceau de fer)
Donc
a a
b b
L
L
τ
τ
= < 1 car τ
a
< τ
b
d’où L
b
> L
a
. On vérifie bien l’information donnée dans le texte « l’inductance
augmente si on approche de la bobine un objet en fer ».
2. L’oscillateur
2.1. (0,25) Avec les conventions de la figure 3,
.
L
di
u L
dt
= .
2.2. (0,25) On a
dq
i
dt
= et q = C . u
C
donc = =
( . ) .
C C
d Cu du
i C
dt dt
car C est
constante.
2.3. (0,25) La loi d’additivité des tensions donne : u
C
+ u
L
= 0
Soit u
C
+
.
di
L
dt
=0 ⇔ u
C
+ .
C
du
d
L C
dt dt
= 0
(0,25) ⇔ u
C
+
C
d u
LC
dt
2
2
. . = 0
Figure 3. L’oscillateur
2.4. (0,25) En divisant chaque terme par LC, l’équation différentielle précédente peut se mettre sous la forme :
.
.
CC
d u u
LC
dt
+ =
2
2
1
0
En comparant les deux équations différentielles :
.
CC
d u u
dt T
π
+ =
22
2 2
0
4
0
avec .
.
CC
d u u
LC
dt
+ =
2
2
1
0
on peut écrire :
.
LC
T
π
=
2
2
0
4 1
soit
. .
T LC
π =
2 2
0
4
Soit finalement, en ne gardant que la solution positive :
T LC
π =
0
2 .
20
0
2
4
- 2
- 4
40 60 80 100
u
C
(V)
t (µs)
2.
5.
(0,25) Graphiquement,
T
0
= 50 µs = 5,0 × 10
−
−−
−5
s
2.6. (0,25) Comme
T LC
π =
2 2
04
alors
T
C
L
π
=
2
0
2
4 .
(
)
C−
−
×
=× ×
2
5
3
5,0 10
4 10 20.10
C
−
−
−
×
= = ×
×
10
9
1
25 10
3,1 10
8,0 10
F
soit C = 3,1 nF.
3. Recherche de métaux
3.1. (0,25) La fréquence propre de l’oscillateur est :
0
1
2
=
π
. Si on approche de la bobine un objet en or, la
valeur de l’inductance L de la bobine diminue. Comme C est constante, alors la fréquence propre de l’oscillateur
augmente.
3.2. (0,25) En l’absence d’objet métallique à proximité de la bobine, la fréquence propre de l’oscillateur est 20 kHz.
Si Léo et Julie détectent un signal de fréquence 15 kHz, alors la fréquence propre a diminué donc l’inductance de la
bobine a augmenté. Malheureusement, ils n’ont pas trouvé de l’or mais plus surement un objet d’un autre métal.
T
0
T
0