Chapitre 9 DIFFRACTION

Chapitre 8 :
DIFFRACTION
8-1 Introduction à la diffraction
a)
b)
c)
d)
Diffraction d’une onde à la surface de l’eau de longueur d’onde λ
par un diaphragme de taille d ; de a) à d) le rapport λ / d augmente
Le phénomène physique de diffraction se produit lorsqu’une onde rencontre un
obstacle de taille comparable à la longueur d’onde. Il est particulièrement bien illustré par les
photos ci-dessus, qui représentent des ondes à la surface de l’eau dans une cuve à ondes.
Quand la longueur d’onde est beaucoup plus petite que l’obstacle, l’onde reste plane derrière
l’obstacle. Par contre quand la longueur d’onde se rapproche de la taille de l’obstacle, les
surfaces d’onde derrière l’obstacle sont de plus en plus courbées, et l’onde n’est ré-émise que
dans une certaine ouverture angulaire qui augmente quand la taille de l’obstacle diminue, et
qui augmente quand la longueur d’onde augmente. L'ouverture angulaire varie ainsi en λ / d,
où d est la dimension latérale du trou.
d
grandes valeurs de d
petites valeurs de d
Si on éclaire un diaphragme de diamètre d avec une onde lumineuse plane, on observe
quand d est grand une tache lumineuse qui correspond à la projection du trou. Quand on
diminue peu à peu la taille du diaphragme, la taille de sa projection diminue et la projection
devient moins lumineuse. A partir d'une certaine valeur de d, la taille de la projection se met à
augmenter au lieu de diminuer. De plus cette tache lumineuse apparaît alors comme étant
« structurée », c’est-à-dire qu’elle comporte une alternance de lignes sombres et lumineuses.
Remarque :
On peut observer le phénomène de diffraction dans deux conditions : soit l’onde
rencontre un diaphragme qui masque une partie du front d’onde, soit elle rencontre un
obstacle. Le deuxième cas correspond par exemple au cas d’une onde sonore diffractée par un
poteau : si l’on se place derrière le poteau, on entend quand même le son. De même on peut
diffracter la lumière par un trou ou une fente suffisamment petit(e) ou par un fil (cheveu par
exemple).
Ondes 8-1
Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, c’est Huyghens, physicien hollandais
(1628-1695) qui émit l’hypothèse de la nature ondulatoire de la lumière. Sa modélisation de la
propagation de la lumière est la suivante : chaque point d’une surface d’onde peut être
considéré comme une source secondaire, et la surface d’onde à un instant postérieur est
l’enveloppe des surfaces d’onde provenant de cette infinité de sources secondaires. Ceci est
illustré par le schéma suivant (a):
Cas d > λ
Cas d ≈ λ
a) propagation d'une onde plane
b) diffraction par une ouverture de taille d
On peut ainsi comprendre qualitativement le phénomène de diffraction (schéma (b) cidessus) : quand l’onde plane arrive sur une ouverture de taille d, une partie des sources
secondaires est supprimée. Il y en aura d’autant moins que la longueur d sera petite par
rapport à λ. Grâce aux dessins ci-dessus, on comprend donc grossièrement le phénomène de
diffraction. Cependant ce raisonnement ne nous donne pas l’ouverture angulaire dans laquelle
l’onde est réémise par le diaphragme.
Remarque : la distinction entre interférences et diffraction n’est pas toujours évidente. Comme
nous venons de le voir avec les ondelettes de Huyghens, les phénomènes de diffraction et
d’interférences sont profondément liés : le phénomène de diffraction lui-même résulte de
l’interférence d’une infinité d’ondes.
- quand on examine la superposition de deux ondes, il s’agit d’interférences
- quand on a un ensemble de points qui diffractent l’onde incidente, et que les ondes
diffractées interfèrent entre elles, on parle de diffraction (cas d’un réseau ou d’un cristal).
- Dans le cas des interférences produites par une lame à faces parallèles (cf problème sur le
film de savon), il n’y a pas de diffraction du tout, on parle alors bien d’interférences.
8-2 Diffraction de la lumière
a) Hypothèses
A priori, traiter rigoureusement de la propagation des ondes en présence d’obstacles
est très complexe. Dans ce cours, on va utiliser une approximation connue en optique sous le
nom de Huyghens-Fresnel.
- On va traiter uniquement des ondes à amplitude scalaire. En électro-magnétisme, on
additionne simplement l'amplitude des champs électriques en supposant leur direction proche.
- On va supposer que chaque point du trou ou de la fente se comporte comme une
nouvelle source ponctuelle (suivant ainsi l’idée de Huyghens). Les ondes réémises par les
différents points du diaphragme vont interférer entre elles : au niveau du récepteur placé
derrière le trou ou la fente, on va donc additionner les contributions de chacun des points du
trou.
Ondes 8-2
- De plus, dans ce cours, on va supposer que l’obstacle est plan, qu’il est éclairé par une
onde plane, et on va placer le récepteur loin de l’obstacle. On parle alors de « diffraction à
l’infini » ou « diffraction de Fraunhofer ».
b) Diffraction par une fente
♦ Cas d’une fente infiniment longue et de largeur finie
Considérons une fente dans le plan Oxy, de largeur d dans la direction x, et infinie
suivant y. Cette fente est éclairée par une onde plane incidente se propageant dans la direction
Oz. . Dans un premier temps, on ne tient pas compte de ce qui se passe dans la direction Oy.
Tous les points de l’ouverture sont donc des points équiphases pour l’onde incidente. Chaque
point P du plan se comporte alors comme une source et émet une onde sphérique. Si on se
place en M, loin de l’obstacle, toutes les amplitudes complexes émises par chacun des points
de l’ouverture s’ajoutent. Si le point M est loin de l’obstacle alors PM et OM sont quasiment
parallèles. On va donc s'intéresser à l’amplitude de l’onde réémise dans une direction θ..
x
M
x
P
P
θ
z
θ
O
O
δ
θ
z
La différence de marche entre l’onde réémise dans la direction θ par le point P et celle
réémise dans la même direction par le point O est :
δ = − x sin(θ )
La différence de phase correspondante est donc
2π
x sin(θ )
− kδ =
λ
On note A l’amplitude de l’onde réémise par le point O. L’onde totale réémise dans la
direction θ s’écrit donc :
ˆ (M) ≈
A
Soit :
d
2
∫ dx
d
2
i 2π x sin θ
exp
λ
=
d
2
A ∫ dx
d
2
λ
2π i sin θ
i 2π x sin θ
exp
λ
.
[exp(i πd sin θ λ ) − exp( −i πd sin θ λ )]
d
i 2π x sinθ
2
λ
∫ dx exp
d
2
π d sinθ ⎤
λ 2i sin⎡
⎣
λ ⎦
=
2π i sinθ
Ondes 8-3
d
2
∫ dx exp
-
i2 π x sin θ
λ
d
2
avec u =
=d
sinu
u
π dsinθ
.
λ
⎛ sinu ⎞ 2
L’intensité reçue au point M dépend donc de ⎜
⎟ .
⎝ u ⎠
1
0.1
0.8
0.08
0.6
0.06
0.4
0.04
0.2
0.02
1
2
3
4
5
⎛ sinu ⎞ 2
Représentation de ⎜
⎟
⎝ u ⎠
pour u compris entre 0 et 6
6
-15
-10
-5
5
10
⎛ sinu ⎞ 2
Représentation de ⎜
⎟
⎝ u ⎠
pour u compris entre –15 et 15
15
On voit facilement que l’intensité présente des oscillations. La tache centrale est
λ
comprise entre u=-π et u=+π c’est-à-dire θ compris entre −θ0 et θ0 avec : sin θ0 = . C’est
d
λ
donc bien le rapport
qui pilote la diffraction. Plus d est petit, plus la tache principale de
d
λ
diffraction, c’est-à-dire la tache centrale est grande. Pour <0.1, alors la largeur angulaire de
d
2λ
, largeur angulaire entre les deux minima. Comme il est
la tache centrale est 2θ0 ≈
d
souvent difficile de bien repérer les minima à cause du bruit, on repère souvent la largeur à
λ
mi-hauteur de cette tache centrale qui est voisine de la moitié de la largeur précédente soit .
d
On reste dans l’hypothèse où
λ
<0.1: alors la largeur angulaire de la tache de diffraction est
d
faible. Si on place un écran perpendiculaire à l’axe Oz, on observe sur l’écran une série de
taches, la largeur à mi-hauteur de la tache centrale étant donnée par Dθ0 , D étant la distance
entre la fente et l’écran et en supposant des angles de diffraction faibles :
Ondes 8-4
x
M
xM
θ
2λD
λD
d
d
D
Schéma du montage de diffraction à l’infini :
D>>d et D>>λ.
Observation sur l’écran pour
λ
d
<0.1
Observation sur un écran plan de la figure de
diffraction d'une des deux fentes fines dont la
figure d'interférences est montrée au chap. 7.
Il est important de noter les rapports des intensités des autres taches par rapport à la tache
centrale :
Tache centrale
1
Tache 1
0.044
Tache 2
0.017
Tache 3
0.008
La tache centrale est beaucoup plus intense que les autres.
On peut noter aussi que la position des minima corresponde à des valeurs de u multiple de π
(sauf 0). Dans l’approximation des petits angles, il est ainsi facile de voir que :
la tache centrale est deux fois plus large que les autres.
Et si l’onde plane incidente est inclinée par rapport à l’axe Oz ?
x
M
θ
P
O α
θ
z
α
P
x
O
Onde plane incidente inclinée par rapport au plan de La différence de marche entre les deux
l’ouverture
rayons
est : δ = OP(sin α − sin θ ) .
,
δ
conduisant à un déphasage égal à −2π
λ
Il y a maintenant un déphasage de l’onde incidente arrivant en chaque point de l’ouverture : la
différence de marche entre le rayon passant par P et celui passant par O est : x p (sin α − sin θ ) .
Ondes 8-5
On en déduit donc qu’il faut remplacer u =
π dsinθ
π d( sin θ − sin α)
par u =
. On en déduit
λ
λ
donc qu’il y un déplacement de la figure de diffraction. Dans l’exemple ci-dessus, la figure se
décale vers le haut.
Il est aussi important de noter que translater verticalement (légèrement) l’ouverture ne
change rien à la figure de diffraction.
♦ Cas d’une fente réelle : de largeur d1 dans la direction x et d2 dans la direction y.
On revient au cas de l’onde incidente parallèle à l’axe Oz. Il faut maintenant regarder
l’ensemble de la figure sur l’écran placé à la distance D de la fente. La position du point M est
repérée par (x M ,y M ) , ou bien par deux angles (θx , θy ). Si la distance D est grande et les angles
faibles : x M = D θx et yM = Dθy . On admettra que le résultat précédent se généralise à :
ˆ (M) ≈
A
d1
2
A ∫ dx
d
- 1
2
i 2π y θ y
i 2π xθ x d2
2
exp λ
∫ dy exp λ
d2
2
π d2θ y
⎛ sinu ⎞ 2 ⎛ sin v ⎞ 2
π d1θ x
L’intensité sera donc proportionnelle à : ⎜
et v =
.
⎟ ⎜
⎟ avec u =
⎝ u ⎠ ⎝ v ⎠
λ
λ
Fente
Image de diffraction de cette fente
Dλ
Dλ
, yp = ± p
; L’intensité est maximale
d1
d2
2D λ
2D λ
au centre d’un rectangle de côté :
suivant la direction x et
suivant la direction y.
d1
d2
L’intensité est donc nulle sur les lignes: x p = ± p
♦ Exercice 8-0.:
Trouver les intensités des différentes taches en normalisant à 1 l’intensité au centre du
rectangle.
c) Cas d’une ouverture circulaire
Le calcul est plus difficile, mais on peut comprendre à partir de la diffraction par une
fente que la figure de diffraction d’une ouverture circulaire est :
Ondes 8-6
Ouverture circulaire de rayon R
Figure de diffraction de cette ouverture circulaire
(dessin schématique).
L’intensité en fonction de le distance r au centre de la figure de diffraction est
2
⎡ ⎛
Rr ⎞ ⎤
⎟⎥
⎢ 2J1 ⎜ 2 π
2
⎝ Dλ ⎠ ⎥
proportionnelle à : (π R2 ) ⎢⎢
⎥ où J1(u) est une fonction dite de Bessel :
Rr
⎢ 2π
⎥
Dλ ⎦
⎣
1
0.06
0.8
0.05
0.04
0.6
0.03
0.4
0.02
0.2
-4
-2
0.01
2
4
-10
Représentation de [2J1(u) / u] entre –5 et 5
-5
5
10
Représentation de [2J1(u) / u] entre –10 et 10
2
2
En mesurant la largeur ∆ de la tache centrale à mi-hauteur, il est possible de remonter au
rayon du trou. L’intensité est divisée par 2 pour u≈ 1.9. D’où
2 πR ∆ / 2
Dλ
= 1.9 , soit 2 R = 1.22
.
Dλ
∆
2 πR ∆ t / 2
= 3.83 ,
Si on considère maintenant la largeur totale de la tache centrale ∆t, alors
Dλ
Dλ
.
d’où R = 1.22
∆t
d) Diffraction et formation des images
L1
L2
S
F2
M
f2
Avec une source ponctuelle
Ondes 8-7
On « ramène l’infini à distance finie » en plaçant l’écran au plan focal image de L2 (une
solution moins rigoureuse consiste à ne pas mettre la lentille L2 et à placer l’écran « loin » de
l’objet diffractant).
FM
L’angle de déviation θ est relié ainsi directement à la distance F2M : θ = 2 , où f2 est la
f2
distance focale de la second lentille. Les formules précédentes restent valables en remplaçant
D par f2.
Remarquons que les distances lentille / diaphragme ne jouent aucun rôle : on peut prendre une
seule lentille accolée à l’objet diffractant. A la limite, en l’absence d’objet diffractant, c’est la
lentille elle-même qui diaphragme le faisceau.
S
S'
Par conséquent, quand on forme l’image d’un point S, il existe une tache de diffraction autour
de S’, image géométrique de S (la diffraction étant causée par la lentille qui diaphragme le
faisceau). La diffraction apparaît comme la limite ultime de la notion d’image
ponctuelle. Ceci est d’une grande importance pour les instruments d’optique, par exemple
dans le cas des observations astronomiques à l’aide d’une lunette.
Avec un laser
Dans le cas des lasers He-Ne, le faisceau est quasiment parallèle, mais on peut garder la
seconde lentille qui va ainsi servir à ramener l’observation à l’infini dans son plan focal.
Néanmoins, dans certaines études, la largeur de ce faisceau est trop petite, on utilise alors un
agrandisseur de faisceau :
Le foyer objet de la seconde lentille est confondu avec le
foyer image de la première. Le rapport d’élargissement de
F2
faisceau est donc égal au rapport des distances focales des
F1
f
lentilles, soit 2 . T est un trou microscopique qui va
f1
diffracter et D est un diaphragme qui va servir à limiter la
tache centrale de diffraction. La combinaison trou +
T
diaphragme sert à « nettoyer » les bords du faisceau.
D
e) Applications
Les conséquences de ce phénomène de diffraction sont très nombreux. Elles peuvent
être gênantes, comme par exemple en microscope optique où la diffraction va limiter la taille
des objets que l’on peut observer. En optique, par exemple en optique astronomique, la
diffraction va ainsi provoquer des limitations d’observation.
Une lunette astronomique est destinée à l’observation d’objets situés dans le ciel, donc à
l’infini. L’élément principal est une lentille convergente de diamètre d et de distance focale f
qui va recueillir l’intensité lumineuse envoyée par ces objets ; tous les rayons qui pénètrent à
travers cet objectif traversent ensuite les autres éléments optiques et notamment l’oculaire.
Ondes 8-8
C’est l’objectif qui constitue l’élément le plus cher de la lunette et qui limite ses capacités de
séparation.
F
α
La séparation des objets se mesure en angle α Plaçons nous au foyer image de l’objectif les
deux images sont séparées d’une distance αf. L’objectif va constituer à la fois les éléments
d’optique de diffraction à l’infini et l’objet diffractant lui-même. De chacun des objets situés à
l’infini, il va donner, dans son propre plan focal image, une tache de diffraction de largeur
λf
1.22 . Il faut donc que la distance de séparation entre les images des deux sources soit au
d
moins égale à cette distance. On en déduit ainsi la limite théorique de résolution angulaire de
la lunette :
λ
α min = 1.22 .
d
Pour une lunette de diamètre 10 cm : α=1” 38
Pour une lunette de diamètre équivalent de 5=, (bien qu’une lentille de diamètre 5 m n’existe
pas, on peut utiliser un miroir concave tel celui du télescope du mont Palomar aux
USA) : α=0” 028.
En fait le pouvoir de résolution angulaire n’est pas aussi bon que celui prévu théoriquement
car, dès que l’objectif dépasse 10 cm de diamètre, les turbulences atmosphériques déforment
la surface d’onde. Un objectif de diamètre 5 m n’est donc pas meilleur de ce point de vue
qu’un télescope de diamètre 10 cm ; mais il est beaucoup plus lumineux car il collecte plus de
lumière. Pour résoudre ce problème de turbulence, une solution radicale a été de placer le
télescope dans l’espace, c’est le rôle dédié au satellite Hubble.
8-3 Diffraction par un ensemble de deux fentes.
Considérons maintenant un ensemble de deux fentes de largeurs d séparées de a. Si il y
a interférences, c'est que les fentes diffractent et les figures d'interférences apparaissent là où
les faisceaux diffractés se superposent. Les deux phénomènes ne sont donc pas indépendants.
Plaçons nous pour l'instant dans le plan schématisé ci-dessous:
Vue en perspective
Vue de dessus
Ondes 8-9
L'amplitude diffractée par la fente 1 est : Aˆ1 (M) ≈ A
a d
+
2 2
L'amplitude diffractée par la fente 2 est : Aˆ 2 (M) ≈ A
∫
i 2 π x sinθ
λ
dx exp
a d
2 2
a d
− +
2 2
∫
.
i 2 π x sin θ
dx exp
λ
.
a d
− 2 2
L'amplitude résultante est la somme des amplitudes diffractées par chacune des fentes. Pour
chacune des intégrales , effectuons un changement de variables: x=a/2+v pour la première et
x=-a/2-v pour la seconde. On obtient ainsi:
Aˆ1 (M) ≈ A
a d
+
2 2
Aˆ 2 (M) ≈ A
∫
i 2 π x sinθ
dx exp
a d
2 2
a d
− +
2 2
∫
iπa sin θ
≈ Aexp
λ
λ
+
∫
-
i 2π x sin θ
dx exp
λ
≈ Aexp
−
d
2
d
2
iπasin θ
λ
a d
− 2 2
iπa sin θ
i 2 π v sinθ
dv exp
+
d
2
∫
-
≈ Aexp
λ
λ
i2 π v sin θ
dv exp
λ
≈ Aexp
d
2
−
F(
iπasin θ
λ
πd sin θ
)
λ
πd sinθ
).
λ
F(
La fonction F est appelée le facteur de forme de la fente, il est dû à la diffraction et a été
calculé au paragraphe sur la diffraction par une fente :F(u)=sin u/u.
L'amplitude résultante au point M s'écrit donc:
iπasin θ
iπasin θ
−
πdsin θ
πasinθ πdsin θ
) ≈ 2Acos
Aˆ (M) ≈ A(exp λ + exp λ )F(
F(
)
λ
λ
λ
πa sinθ 2 πd sin θ
).
F (
L'intensité résultante est donc proportionnelle à : I(M) ≈ I0 cos
λ
λ
2 π asinθ
Le terme qui traduit la présence d'interférences est cos
. Il est maximum quand
λ
x
λ
sin θ = p . Si θ est petit, θ ≈ où L est la distance entre le plan des fentes et l'écran et x
2
a
L
l'abscisse du point M sur l'écran et donc les franges brillantes sont données par: x p = p
λL
a
.
L'intensité totale observée sur l'écran est donc le produit de la figure de
diffraction d'une fente par la figure d'interférences des deux fentes.
Ondes 8-10
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Figure d' interférences entre deux fentes:
l'intensité des franges d'interférence est modulée par la figure de diffraction d'une fente.
Figure d'interférences de deux fentes Figure de diffraction d'une seule de ces fentes
verticales parallèles éclairées par une faisceau observée sur le même écran plan.
laser circulaire et observée sur un écran plan.
Nous n'avons considéré jusqu'à présent l'intensité diffractée dans un seul plan de diffraction.
Quand on considère l'ensemble de l'espace, l'intensité diffractée reste le produit de la figure de
diffraction d'une fente par la figure d'interférences de deux sources ponctuelles situées au
centre des fentes. La figure d'interférence observée dans un plan perpendiculaire à l'axe
optique est donc un ensemble de franges parallèles et équidistantes parallèles aux fentes. La
figure de diffraction quant à elle sera allongée dans la direction perpendiculaire aux fentes et
étroite dans la direction parallèle aux fentes. Si les fentes sont éclairées par une lumière
cohérente, on observera ainsi un ensemble un ensemble de points équidistants d'une
interfrange (Lλ/a) dont l'intensité va être modulée par la figure de diffraction des fentes.
8-4 Diffraction par un réseau de fentes
Une autre application importante de la diffraction concerne les réseaux. Ils sont
largement utilisés en spectroscopie pour séparer les différentes longueurs d’onde qui
composent un rayonnement. Un réseau de base est constitué d’une série de N fentes de
largeurs d régulièrement espacées de a. Trois longueurs interviennent ainsi dans le problème :
la largeur de chaque fente d, la distance entre fentes a et la largeur du réseau Na éclairée par
la lumière incidente. Considérons ainsi un réseau de fentes parallèles à Oy et régulièrement
espacées dans la direction Ox. Chaque fente est repérée par la position xn = na de son centre.
Si on assimile cette fente à un ensemble de sources cohérentes, ces sources sont situées entre
xn − d / 2 et xn + d / 2 . La fente d’indice n contribue ainsi à l’amplitude d’un facteur égal à :
Aˆ n (θ ) ≈
d
+x
2 n
∫
d
- +xn
2
i2 π x sin θ
dx exp
λ
d
2
≈ ∫ du exp
d
2
Ondes 8-11
i2 π x n sinθ
λ
i 2π usin θ
exp
λ
.
soit Aˆ n (θ ) ≈ exp
d
i2 π xn sin θ 2
∫ du exp
λ
i 2 π u sinθ
≈ exp
λ
i 2 π x n sin θ
λ
F(θ ).
d
2
F(θ) n’est autre que l’amplitude diffractée par une fente de largeur d (cf 8-2). Ce terme est
identique pour toutes les fentes.
L’amplitude totale diffractée est ainsi égale à :
N −1
Aˆ (θ ) ≈ ∑ exp
n= 0
i 2 π x n sin θ
λ
N−1
F(θ ) = F(θ )∑ exp
i2 π na sinθ
λ
.
0
1 − exp iNu exp iNu / 2 sin(Nu/ 2)
.
iu =
iu / 2
1 − exp
exp
sin(u / 2)
0
iπ Nasin θ
π N asin θ
exp
sin(
)
λ
λ
Aˆ (θ ) ≈ F (θ )
iπ a sin θ
π asin θ .
exp
sin(
)
N −1
Utilisons la formule mathématique suivante :
∑ exp
λ
inu
=
λ
L’intensité reçue sur un écran placée loin du réseau ou dans le plan focal d’une
lentille placée derrière le réseau est donc :
⎛ ⎛ πNa sin θ ⎞ ⎞ 2
⎟⎟
⎜ sin⎜
⎠⎟
⎝
2⎜
λ
I(θ ) ≈ F (θ ) ⎜
⎛ πa sin θ ⎞ ⎟
⎟ ⎟
⎜ sin⎜
⎝ λ ⎠ ⎠
⎝
L’intensité est ainsi modulée par le facteur de forme de la fente qui dépend de λ/d.
L’autre terme dépend à la fois de la distance a entre les fentes et de la largeur éclairée du
réseau Na.
Autour de chaque maximum
⎛ ⎛ π Na sin θ ⎞ ⎞ 2
⎟⎟
⎜ sin⎜
1 ⎜ ⎝
⎠⎟
λ
Représentation de 2 ⎜
en fonction de θ pour a/λ=1.
⎛ π a sin θ ⎞ ⎟
N
⎟ ⎟
⎜ sin⎜
⎝ λ ⎠ ⎠
⎝
⎛ sin Nu ⎞ 2
La fonction ⎜
⎟ présente des maxima de valeurs N2 quand u est un multiple de π, sin u
⎝ sin u ⎠
étant alors nul. La largeur de ces maxima est inversement proportionnel à Na. Plus N est
grand plus les maxima sont étroits. La largeur du maximum peut être déterminé en
déterminant la positions des points les plus proches du maximum pour lequel l’intensité
Ondes 8-12
s ‘annule : ∆u = ± π
est donc
N
. Si θ est petit, sin θ est voisin de θ et la largeur angulaire des maxima
2λ
λ
. La largeur à mi-hauteur est
.
Na
Na
L’intensité totale a ainsi la forme suivante :
On observe des taches lumineuses régulièrement espacées dans la limite des petits
angles, l’espacement angulaire entre les taches étant donné par λ/a, où a est la distance entre
les fentes du réseau. La largeur de ces taches dépend de la largeur de réseau éclairée Na et
vaut λ/Na. L’intensité des taches dépend de la largeur des fentes, plus exactement du rapport
λ/d.
Quelles différences y a-t-il dans la figure d'interférences suivant le nombre N de fentes
pour des fentes de largeur d équidistantes de a?
On observe toujours des maxima séparés d'un interfrange, mais l'intensité de ces
maxima varie comme N2 et leur largeur comme 1/N. Donc plus le nombre de fentes
augmente, plus les maxima sont intenses et fins.
Application à la spectroscopie :
Si on éclaire un réseau par une lumière polychromatique, chaque longueur d’onde
donnera une figure de diffraction différentes puisque la distance entre les taches de diffraction
est proportionnelle à la longueur d’onde : il est ainsi possible de disperser les différentes
longueurs d’onde et d’en déduire les longueurs d’onde présentes dans le spectre. Seule la
tache du milieu se superpose pour toutes les longueurs d’onde.
Observation à l'infini sur un écran plan de la
diffraction par un réseau éclairé en lumière
blanche. On observe les ordres -1, +1 et +2.
Dans le cas de lampes spectrales , par exemple une lampe au sodium bien connue pour
son doublet, il est possible de déparer les deux raies composant le doublet si Na est
suffisamment grand. En effet la variation de distance angulaire des taches de diffraction entre
les deux raies est : δλ / a . Pour pouvoir les séparer il faut que les deux maxima soit bien
séparés , c’est-à-dire que la largeur de chaque maximum soit inférieure à l’écartement entre
λ
λ δλ
≤
ces maxima :
, donc N ≥
. Le nombre de traits éclairés du réseau doit donc être
δλ
Na a
suffisamment grand.
8-4 Pour en savoir plus: Historique
Ondes 8-13
♦ Fresnel (1788-1827) a développé mathématiquement les idées de Huyghens, ce qui a
donné le « principe de Huyghens-Fresnel » que nous ne verrons pas. Une petite anecdote à
propos de Fresnel et de la diffraction : en 1819, l’Académie des Sciences de Paris avait
lancé un concours sur les phénomènes de diffraction. Fresnel avait développé les idées
ondulatoires de Huyghens et les avait appliquées à la diffraction et aux interférences
(l’expérience d’Young avait eu lieu en 1801). Poisson, mathématicien membre du jury a
poussé plus loin les calculs de Fresnel et montré que dans l’ombre d’un écran il devait y
avoir un point lumineux au centre, chose qui lui parut aberrante.. Arago, également
membre du jury, réalisa l’expérience et observa le fameux point lumineux. Ainsi le jury
fut définitivement conquis par la théorie ondulatoire de la lumière de Fresnel !
♦ Par la suite les réseaux optiques (ensemble d’un grand nombre de fentes parallèles et
équidistantes) furent développés par Fraunhofer. Chaque fente diffracte, et les ondes
diffractées par les différentes fentes interfèrent entre elles. On peut montrer que
différentes longueurs d’onde incidentes sont séparées par un réseau : les réseaux
permettent donc de faire de la spectroscopie (ce qui signifie identifier les éléments
chimiques d’après leur spectre d’émission ou d’absorption) et comme ils sont plus
pratiques que les prismes, ils ont définitivement supplanté ces derniers. Les réseaux sont
encore extrêmement utiles de nos jours en chimie et en astrophysique (c’est en analysant
la lumière qui nous provient des objets célestes que l’on peut connaître leur composition
chimique).
♦ Au début du XXème siècle on réalisa pour la première fois la diffraction des rayons X par
un cristal ; finalement un cristal est comme un réseau à trois dimensions, puisque c’est un
empilement régulier d’atomes. La longueur d’onde des rayons X, environ 1 Å, correspond
bien à la maille du cristal. En découverte expérimentale, vous avez réalisé la diffraction de
la lumière par un cristal colloïdal, là aussi les ordres de grandeur sont cohérents.
♦ En 1927 Davisson et Germer réalisèrent la diffraction d’électrons par un cristal, vérifiant
ainsi l’hypothèse de de Broglie.
• Actuellement la structure des protéines est déterminée grâce à la diffraction des Rayons X
sur des cristaux formés par les protéines.
Ondes 8-14
Exercices :
♦ Exercice 8-1.:
Un réseau de diffraction de 3 cm de large produit une déviation de 30° au second
ordre avec une lumière λ=600nm. Quel est le nombre de traits sur le réseau ?
♦ Exercice 8-2.: Un faisceau étroit de lumière monochromatique l frappe un réseau
perpendiculairement au réseau et produit des maxima clairs et prononcés aux angles
suivants :
6°40’
13°30’
20°30’
35°40’
La distance qui sépare les centres des fentes adjacentes dans le réseau est 5,04 10-4 cm.
Quelle est la longueur d’onde utilisée ? Donner une estimation de la largeur b des fentes.
♦ Exercice 8-3.: Un réseau de diffraction possède n traits/cm (n=4000 traits/cm). Il est
éclairé sous incidence normale par la lumière jaune d’une lampe à vapeur de sodium. Celleci contient deux raies proches : λ1=589,00 nm et λ2=589,559 nm.
A quel angle le maximum du premier ordre se produit-il pour λ1?
Quelle est la séparation angulaire entre les maxima du premier ordre de ces raies ?
Pour que l’on puisse séparer deux raies, il faut que la séparation ∆θ soit telle que le
maximum d’une raie soit situé au-delà du premier minimum de l’autre. Quel paramètre influe
sur le pouvoir séparateur ? A quelle condition peut-on séparer le doublet du sodium ?
♦ Exercice 8-4.: Résolution de l’œil :
Les phares d’une automobile en train de s’approcher sont écartés de 1,5m. estimer la
distance à laquelle les deux phares peuvent être séparés à l’ œil nu si la résolution de l’œil est
déterminée par la seule diffraction. On prendra comme longueur d’onde moyenne 550nm et
pour diamètre de la pupille 2.5 mm.
Remarque : l’œil peut être assimilé à une lentille convergente de distance focale
17mm, diaphragmée par la pupille et la distance entre cellules réceptrices est de 4µm.
♦ Exercice 8-5.: Réseau à trois fentes :
Exprimer l’intensité I(θ) diffractée par un ensemble de trois fentes de largeur b
séparées de a éclairé en incidence normale.
♦ Exercice 8-6.:Diffraction par un carré :
Une onde plane éclaire en incidence normale un diaphragme carré de côté 2a. On
observe la figure de diffraction dans le plan focal d’une lentille de focale f. Représenter
l’aspect du plan d’observation. Quels sont les points où l’intensité diffractée est nulle ?
L’ouverture est maintenant un espace entre deux carrés concentriques de côtés a et
2a. Exprimer l’amplitude diffractée par cet anneau et représenter l’intensité sur un axe
parallèle à l’un des côtés du carré (par exemple en fonction de x pour y=0).
Ondes 8-15
♦ Exercice 8-7.:
x
xM
xM
x
b
b
a
b
D
D
une fente
deux fentes
1) Dans ce paragraphe, on se place en lumière monochromatique (laser He-Ne : λ = 633
nm). On envoie un laser en incidence normale sur l’objet (ou les objets) diffractant(s).
* Retrouver rapidement l’expression de la lumière diffractée par une seule fente de
largeur b et de longueur infinie, dans le cadre de l’approximation de Fraunhofer. Décrire ce
que l’on observe sur l’écran situé à D = 1m de la fente. Pour b = 120 µm, quelle est la
largeur de la tache centrale de diffraction sur l’écran ?
* On envoie maintenant le faisceau laser en incidence normale sur deux fentes d’Young
séparées de a = 480 µm. Les deux fentes ont la largeur b = 120 µm. En tenant compte de la
diffraction par chacune des deux fentes, trouver l’expression de l’intensité lumineuse
observée sur l’écran. Tracer la courbe correspondante et décrire ce que l’on voit sur l’écran.
Combien de franges d’interférences observe-t-on à l’intérieur de la figure de diffraction ?
2) On réalise ici les mêmes expériences que précédemment, en remplaçant le laser par de la
lumière blanche. On prendra λbleu = 0.45 µm, λvert = 0.55 µm et λrouge = 0.65 µm.
* Dans le cas où l’on réalise la diffraction par une seule fente de largeur b, qu’observe-t-on
sur l’écran en lumière blanche ? (tracer les trois courbes de l’intensité en fonction de la
position sur l’écran pour les trois couleurs rouge, bleu et vert)
* Dans le cas de la diffraction par deux fentes, que voit-on en lumière blanche ? (idem).
Ondes 8-16