L`lNTERTEXTUALITE - Université Virtuelle de Tunis

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie
Université Virtuelle de Tunis
Physique - électricité : TC1
Energie magnétostatique
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Physique électricité : TC1
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Energie magnétostatique
I. DEFINITION
Soit un circuit (C) parcouru par un courant d'intensité I et soit  son flux propre.
On appelle énergie magnétique, le travail minimal qu'il faut fournir au circuit pour faire
passer l'intensité et le flux propre de la valeur zéro aux valeurs finales I et  .
II. ENERGIE MAGNETIQUE DANS LE CAS DE
CIRCUITS RIGIDES FILIFORMES
II.1 Circuit unique filiforme
Soit un circuit (C) de résistance R, d'inductance propre L, montés aux bornes d'un générateur
de force électromotrice E.
Le
circuit
peut
être
schématisé
K
comme l'indique la figure 2. A l'instant
t = 0, on ferme l'interrupteur K. Le
phénomène d'auto-induction dans la
i(t)
R
E
bobine se traduit par l'apparition
L
d'une f.é.m induite aux bornes de la
bobine, donnée par :
e (t )  - L
Fig.2
d i(t)
dt
L'application de la loi d'Ohm permet d'écrire :
EL
2
d i( t )
 R i( t )
dt
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Energie magnétostatique
L
Soit :
d i( t )
 R i( t )  E
dt
Multiplions par i(t) dt et intégrons entre les instants 0 et t :
t
t
0 E i(t) dt  0 R i
2
I
( t ) dt   L i( t ) d i( t )
0
t
0 E i(t ) dt représente le travail fourni par le générateur;
t
0 R i
2
( t ) dt représente l'énergie dissipée par effet Joule dans le circuit.
I
Le terme  L i( t ) d i(t ) est égale à
0
1
L I 2 , il représente l'énergie magnétique emmagasinée
2
dans la bobine.
On définit l'énergie magnétique emmagasinée par le circuit par :
W 1 L I2
2
(4)
Comme,   L I , on peut aussi écrire :
W
1
I
2
(5)
Cette grandeur est positive. Elle est stockée dans la bobine. Elle peut être récupérée : en
effet si on annule la f.é.m du générateur, l'intensité du courant va décroître et s'annuler.
d i( t )
L'équation différentielle qui régit l'évolution est : L
 R i(t )  0 , dont la solution
dt
correspondant aux conditions initiales ( i(0) = I ) est :
i( t )  I e

R
t
L .
II.2. Cas de deux circuits couplés
3
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Energie magnétostatique
Reprenons l’expérience précédente
dans le cas de deux circuits (C1) et
(C2) d'inductances propres L1 et L2,
de résistances R1 et R2, de forces
électromotrices E1 et E2 et
d'inductance
mutuelle
M
(M12=M21). Soient i1(t) et i2(t) les
intensités du courant dans les deux
i1(t)
i2(t)
R1
R2
E2
E1
L2
L1
Fig.3
circuits à l'instant t.
Supposons, qu'à t = 0, i1(0) = i2(0) = 0. Les équations différentielles permettant de calculer
i1(t) et i2(t), en régime lentement variable, sont :
E1  R 1i1 ( t )  L1
di1 ( t )
di ( t )
M 2
dt
dt
E 2  R 2i 2 (t)  L 2
di 2 ( t )
di ( t )
M 1
dt
dt
Multiplions la première équation par i1(t) dt, la seconde par i2(t) dt, ajoutons et intégrons
entre les instants 0 et t :
t
t
t
0 ( E1i1 (t) dt E 2i 2 (t) dt )  0 R1i1 (t) dt  0 R 2i 2 (t) dt

I1
0
L1i1 ( t ) di1 ( t )  
I2
0
2
L 2 i 2 ( t ) di 2 ( t )  
2
i1  I1 , i 2  I 2
0
On définira l'énergie
M d ( i1 (t) i 2 ( t ) )
magnétique emmagasinée par les circuits par :
Wm 
1
1
L1 I12  L 2 I 22  M I1 I 2
2
2
Comme le flux 1 , traversant ( C1 ), peut s'écrire :
1  L1 I1  M I 2
Le flux  2 , traversant ( C2 ), peut s'écrire:
 2  L 2 I 2  M I1
On voit que Wm peut s'écrire :
4
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Energie magnétostatique
Wm 
1
( I1 1  I 2  2 )
2
(6)
II.3. Cas de plusieurs courants
Dans le cas où on a n circuits filiformes, parcourus par des courants I1, I2..., In,
l'énergie magnétostatique totale, donnée par la généralisation de l'expression (6), est :
Wm 
1
2
n

I i i
i 1
(7)
III. ENERGIE MAGNETIQUE D'UNE
DISTRIBUTION VOLUMIQUE DE COURANTS
Soit une distribution volumique de courants qui crée en tout point de l'espace un champ
magnétique. On décompose cette distribution en tubes de courants d'intensité dI traversés
par des flux . D'après la relation (7), L'énergie magnétostatique du tube de courant s'écrit :
dWm 
Avec
1
 dI
2
 

 

dI  j . dS et    B . dS   rot A . dS  A .d
S
S
C
D'où :
Wm  1
2



j (M). A (M) d

(8)
L'intégrale étant étendue au volume total parcouru par les courants, mais puisqu'à
 
l'extérieur de la distribution on a j  0 , cette intégrale peut être étendue à tout l'espace.
Remarque
Cette expression est analogue à celle de l'énergie électrostatique d'une distribution
volumique de charges : We  1  V d
2 
IV. LOCALISATION DE L'ENERGIE
5
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Energie magnétostatique
MAGNETOSTATIQUE


En tenant compte de l'expression rot B  0 j , l'expression (8) peut s'écrire :
 
1
rot
B . A d
2  o   
      
Or, div ( A  B )  B . rot A - A . rot B
Wm 
On reporte dans Wm :
 
  
B
.
rot
A

div
(
A  B ) d



Wm 
1
2 o

Wm 
1
2 o
 B2 d 
 
1
div
(
A  B )d



2 o 

0
 
(p uisquerot A  B )
La deuxième intégrale est nulle en effet :
 
 

  div( A  B ) d  S ( A  B ) . dS
Le choix de S n'est pas essentiel du moment que cette surface englobe tous les courants,
choisissons pour S une sphère de rayon R . Si on fait tendre le rayon de la sphère vers l'infini :
  
A varie en 1 , B en 12 et dS en r²; il s'ensuit que le produit (AB).dS varie en 1 et tend vers
r
r
r
zéro lorsqu r tend vers l’infini. La deuxième intégrale s’annule donc et l'expression de
l'énergie magnétostatique se réduit donc à :
Wm 
1
2 0
B² d
  espace
(9)
Cette expression de l'énergie montre que l'énergie magnétostatique d'un système de

courants est localisée en tout point de l’espace où le champ magnétique B existe. On définit
ainsi une densité d'énergie en tout point de l'espace par :
wm 
dWm
B²

d
2 0
(10)
Remarque
6
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Energie magnétostatique
On peut obtenir l'expression du coefficient d'auto-inductance L d'un circuit quelconque
parcouru par un courant I, en utilisant les deux formes d'expressions de l'énergie
magnétostatique données par les formules (4) et (9). Soient :
Wm 
1
1
L I² 
2
2 0
D'où :
L
B² d
  espace
1
0 I²
  B² d
(11)
Application
Calcul de l'énergie magnétostatique, par unité de longueur, d'un solénoïde infini, de rayon R,
parcouru par un courant I.
Les
expressions du champ magnétique
N
B(r  R)   0 I et B(r  R )  0 .

créé
par
le
solénoïde
sont :
L'énergie magnétostatique est donnée par :
1
1  02 N²
2
 espaceB² d  2 0 B² R   2  0 ² I²  R ² Soit l'énergie, par unité de
W
1
2
longueur : m   0 N²  R ² I

2
1
Wm 
2 0
EXERCICES DES CHAPITRES 3,4 et 5
Exercice 1
z
Un câble coaxial est formé de
deux conducteurs cylindriques
R1
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7
I
I R2
R3
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coaxiaux C1 et C2. C1 est plein de
rayon R1 et d'axe z'z et C2 creux
de rayons R2 et R3 ( R1 < R2< R3).
Le conducteur C1 est parcouru par
un courant électrique d'intensité I


de densité uniforme j  j k et C2
est parcouru par un courant de
même intensité mais circulant en
sens inverse.
1. Calculer le champ magnétique créé en tout point M par ce câble supposé infini.
2.a. Calculer l'énergie magnétique emmagasinée par unité de longueur du câble.
b. En déduire le coefficient d'auto-induction L par unité de longueur
c. Etudier le cas où R2 = R3.
3. Reprendre toutes les questions dans le cas où les courants sont
des conducteurs.
répartis sur les surfaces
Solution


1. Le plan  ( M , u r , k ) est un plan de symétrie pour la distribution de courant, le champ


magnétique B(M ) est alors porté par u  . La distribution du courant présente une symétrie


cylindrique, B(M) ne dépend que de la distance r du point M à l'axe z'z : B(M)  B(r ) u  .

On applique alors le théorème d'Ampère en calculant la circulation de B(M ) le long d'un
cercle (C) d'axe z'z et de rayon r :
8
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 
(C) B. d  2 r B(r)
1er cas : 0  r  R1
(C)
 
 
B. d  2 r B(r)   0  j . dS   0 j  r 2   0
S
I  r2 
j étant uniforme et son
 R12
expression est donnée par :
 
I   j . dS  j  R 12  j 
I
 R 12

0 I
S

D'où : B1 (M)  B (0  r  R 1 ) 
2  R 12

r u
2ème cas : R1  r  R2


(C) B . d  2 r B(r)   0 I


D'où : B 2 (M)  B (R 1  r  R 2 ) 
0 I 
u
2r
3ème cas : R2  r  R3
(C)
 
B . d  2 r B(r )   0 ( I  I' )
 
 
Avec : I'   j' . dS  j'  (r 2 - R 22 ) et I   j'. dS  j'  ( R 32  R 22 )
S
( r 2  R 22 )
I
On a : j' 
et
I
'

 ( R 32  R 22 )
( R 32  R 22 )
S

0 I
r 2  R 22 
B
(
1

) u
3 (M)  B( R 2  r  R 3 ) 
Soit :
2r
R 32  R 22

4éme cas : r  R3
C





B . d  B 2 r   0 ( I  I )  0  B4 (M)  B( r  R 3 )  0
2.a. L'énergie magnétique emmagasinée dans un volume
B2
B2
W  
d  
r dr d dz
espace 2
espace 2
0
0
 est donnée par :
L'énergie par unité de longueur est égale à :
9
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W
B2

2rdr 
B 2 rdr
2 0
0 

R2
R3

  R1 2
B1 rdr   B 22 rdr   B 32 r dr   B 24 r dr 


R1
R2
R3
 0  0

0I2
4
1
R 34
R3
R 22  3R 32 
R2

Log

Log



R 1 ( R 32  R 22 ) 2
R 2 4( R 32  R 22 ) 
 4
b. On a par définition: W 
L
1 2
LI .Soit :
2
0 1
R 34
R3
R 22  3R 32 
R2

Log

  Log

2  4
R 1 ( R 32  R 22 ) 2
R 2 4( R 32  R 22 ) 
c. Si R2 = R3 ( le conducteur C2 est d'épaisseur négligeable )
L
0  1
R2 
  Log

2  4
R1 
3. Si les courants se répartissent à la surface ( les conducteurs C1 et C2 sont creux et

d'épaisseurs négligeables), les expressions du champ magnétique B ne sont plus les mêmes.


1er cas : 0  r  R1 : B 2  r = 0  B (M)  0

2ème cas : R1  r  R2 : B 2  r = 0 I  B(M) 

0I 
u
2 r

3ème cas : R2  r  R3 : B(M)  0


4ème cas : r  R3 : B 2  r = 0 ( I - I ) = 0  B(M)  0
1
W
2 0
R2
R
D'où :
1
0 I 2
0 I 2
R
( 2 2 ) 2  r dr 
Log 2
4
R1
4 r
L
0
R
Log 2
2
R1
Remarque
10
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On sait que la capacité par unité de longueur d'un condensateur cylindrique est
2 0
1
C
, on peut remarquer alors que LC   0  0  2 . Soit LCc2 = 1. c est la vitesse de
R
c
Log 2
R1
propagation des ondes dans le vide, elle est égale à 3 108 m/s
z
Exercice 2
R2
R1
On considère une bobine torique
de section rectangulaire, de
hauteur h et de rayon R1 et R2,
comportant N spires jointives
parcourues par un courant
d’intensité I de même sens.
I
z’

1. Déterminer l'expression du champ magnétique B , créé en tout point M.
2. En déduire le coefficient d'auto-induction L.
Solution

1. Calcul du champ magnétique B
La bobine torique est caractérisée par une symétrie de révolution autour de l'axe Oz. Un
point M est repéré par ses coordonnées cylindriques ( r, , z) : le module du champ ne
dépend que de r et z.


Le plan ( M, u r , u z ) est un plan de symétrie :


B(M)  B(r, z) u  .
Pour appliquer le théorème d'Ampère on choisit pour contour fermé un cercle de rayon r et
d'axe Oz.
11
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* Si r < R1 où si r > R1+R2, l'expression du théorème d'Ampère donne :
(C)




B . d   0 I  0  B  0

Le champ magnétique B est nul pour tout point M extérieur de la bobine, comme dans le
cas d'un solénoïde.
* Si R1 < r < R2, l'application du théorème d'Ampère à un cercle de rayon r, qui est
traversé par N fils portant chacun le courant I, donne :
(C)



B . d  2  r B   0 N I  B 
0 N I 
u
2r
Remarque

les expressions du champ magnétique B établies sont valables même pour une bobine
torique de section non rectangulaire.
2. Pour déterminer le coefficient d'auto-induction L, on doit calculer le flux propre du tore : 
= L I, si l'on désigne par I l'intensité constante du courant qui circule dans la bobine torique.

Le flux propre de B à travers une
spire de l'enroulement est :


R2
1   B . dS   B h dr
S
R1

N
I
h
0
R2
dr

2

r
R1

R2
r
h
R1
dr
0 N I h
R
Log 2
2
R1
Le flux total à travers l'ensemble des spires est :
0 N2 I h
R
  N 1 
Log 2
2
R1
D'où l'expression du coefficient d'inductance :
12
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L
0 N2 h
R
Log 2
2
R1
Exercice 3
On place à l'intérieur d'un solénoïde (S1) de longueur  1 , de rayon R1 et possédant N1 spires
parcourues par un courant d’intensité I1, un deuxième solénoïde (S2) de longueur
 2 (  2   1 ) de rayon R2 (R2 > R1) et possédant N2 spires parcourues par un courant
d’intensité I2 ( Fig ). Les longueurs des solénoïdes sont supposées très supérieures aux rayons
( 1  R 1 et  2  R 2 )
R2
R1
I1
I2
z
z’
2
1

1.a. Calculer le flux 12 du champ magnétique B1 créé par le solénoïde (S1) à travers le
solénoïde (S2).

b. Calculer le flux  21 du champ magnétique B 2 créé par le solénoïde (S2) à travers le
solénoïde (S1).
13
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c. En déduire l'inductance mutuelle M des deux solénoïdes.
2. Déterminer l'expression de l'énergie magnétique Wm du système.
3.a. Le courant d'intensité I1 est variable dans le temps. Donner l'expression de la force
électromotrice induite e dans le solénoïde (S2).

b. En utilisant l'expression du potentiel vecteur A créé par un solénoïde, retrouver
l'expression de e.
Solution


1.a. 12  N 2  B1 . dS  N 2 B1 S2  N 2  0 n1 I1  R 12
(

B1
S2



  0 n1I1 k , dS  dS k ,
n1 
N1
)
1


2
B
.
dS
 N 2  0 n1 I 2  R 12
2

S
1 1


( Seules 2 N1 spires sont traversées par le flux créé par B 2 )
1
b.  21  N1
c. L'inductance mutuelle M des deux solénoïdes est définie par :
M
12  21

  0 n1 N 2  R 12
I1
I2
Remarque
Si les courants I1 et I2 n'étaient pas de même sens, l'inductance mutuelle M serait négative.
2. L'énergie Wm du système des deux solénoïdes est donnée par :
1
1
L1I12  L 2 I 22  M I1I 2
2
2
1
2
  0  (n1 R 12  1 I12  n 22 R 22  2 I 22 )   0 n1 N 2  R 12 I1 I 2
2
Wm 
3.a. Si l'intensité du courant I1 dans le solénoïde (S1) varie, il y aura variation du flux dans le
d
N N
dI
solénoïde (S2), donc apparition d'une f.é.m d'induction : e   12    0 1 2  R 12 1
dt
1
dt
14
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
b. Le potentiel vecteur A 1 ( M ) créé par le solénoïde (S1) parcouru par le courant I1 en un
point M distant de r de l'axe est donné par :

A1 (M)   0 n1
I1R12 
u
2r

Si l'intensité I1 du courant varie dans le temps, il en est de même pour A 1 ( M ) . Il apparaît en

 A1 (r  R 2 )
tout point de l'espace un champ électrique d'induction : E i  
t

La force électromotrice d'induction est :


e   E i . d  
C2
2 R 2
0
Soit : e    0 n1 N 2  R 12
0
d I1
dt
n1 R 12 d I1
d.
2 R 2 dt
Exercice 4
Un fil conducteur rectiligne de longueur infinie, parcouru par un courant I 1, et une spire
rectangulaire ABCD indéformable, de côtés a et b parcourue par un courant I 2, placés dans le
même plan à une distance  l’un de l’autre.
z
A
I2
B

I1
O
b
C
D
y
a
Déterminer les expressions :
15
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1. du coefficient de mutuelle induction fil-spire.
2. de l’énergie potentielle d’interaction de la spire avec le champ magnétique créé par le
fil.
3. de la force résultante qui s’exerce sur la spire rectangulaire.
Solution

1. Le champ magnétique B(M ) créé en un point M, distant de y du fil, est donné par :

B(M ) 
μ0 I1 
i.
2π y

Le flux d du champ B(M ) à travers un élément de surface rectangulaire dS de la spire,
de largeur dy et de hauteur b, est donné par :


d  B(M). dS 
 0 I1
b dy
2y

Le flux total de B(M ) à travers toute la spire est :

 0 I1 b a dy
 I b
a
 0 1 Log


2
y
2

Compte tenu de la définition de M,   M I1 .
D’où :
M
0 b
2
Log
a

2. L’énergie potentielle d’interaction Wp est définie par :
Wp   I2    M I1 I2  
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0 I1 I2 b
2
Log
a

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3. Les forces agissant sur AB et DC sont égales et opposées et leur résultante est nulle :
Les forces agissant sur BC et DA sont perpendiculaires au fil et portées par Oy. La force
résultante des actions magnétiques sur la spire est donc parallèle à Oy. Soit F y l’intensité
de cette force.
Si on désigne par d  la variation du flux due à un déplacement élémentaire d positif,
on a d’après le théorème de Maxwell : dW  I 2 d  Fy d , la résultante Fy a pour
expression :
Fy  I2
0 I1 I2
d
d  0 I1 b
a
 I2
Log


d
d  2
 
2
b a 


 (  a ) 
Remarque
La force Fy est négative, elle est dirigée selon les y négatifs ; il s’agit donc d’une force
d’attraction.
Exercice 5
On considère deux solénoïdes (S1) et (S2) indéformables, coaxiaux, de rayons R1 et R2 ( R1
< R2 ) et comportant respectivement n1 et n2 spires par unité de longueur. Ils sont
parcourus par des courants de même sens, d'intensités constantes I1 et I2. Le solénoïde
(S1), de longueur  1 , plonge d'une longueur z à l'intérieur du solénoïde (S2) fixe.
On admettra l'approximation des solénoïdes infinis.
I2
z’
I1
z
z
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1.a. Déterminer l'expression du flux total du champ magnétique créé par le solénoïde
(S2) à travers (S1).

b. En déduire l'expression de la force magnétique F agissant sur le solénoïde (S1).
2. Déterminer :
a. L'expression de l'énergie potentielle d'interaction du solénoïde (S1).
b. Le coefficient d'inductance mutuelle des deux circuits.
3. On lâche le solénoïde (S1), (S2) étant fixe.
a. Déterminer la position finale de (S1) ainsi que son énergie potentielle d'interaction
dans cet état final.
b. En déduire le travail des forces magnétiques au cours de ce déplacement.
Solution

1.a. Le champ magnétique B 2 créé par le solénoïde (S2) à l'intérieur est uniforme et a


pour expression : B 2   0 n 2 I 2 k

Le flux total  du champ magnétique B 2 à travers le solénoïde (S1) est égal à :
  n 1z B 2S1   0 n 1 n 2  I 2 R 12 z ( Le nombre de spires du solénoïde (S1) placées dans le

champ magnétique B 2 étant égal à n1z ).
b. L'expression du flux est fonction de z. La force agissant sur le solénoïde (S 1) est
donc portée par l'axe z'z. L'expression de cette force est donnée par :
Fz  I1
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d
  0 n1 n 2  R 12 I1 I 2
dz
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Cette force étant positive, elle est dirigée dans le sens des z croissants. Elle tend à faire
pénétrer le solénoïde (S1) dans le solénoïde (S2). Ceci est conforme à la règle de flux
maximal.
2.a. L'énergie potentielle d'interaction du solénoïde (S1) est définie
par :
Wi   I1     0 n1 n 2  I1 I 2 R 12 z
b. Le coefficient d'inductance mutuelle est défini par :
M

  0 n1 n 2  R 12 z
I2
3. Lorsqu'on lâche le solénoïde (S1), il a tendance à pénétrer à l'intérieur du solénoïde (S2).
a. D'après la règle du flux maximal, la position finale solénoïde (S1) correspond au maximum
de flux à travers ses spires. Le solénoïde (S1) atteint donc l'équilibre lorsqu'il est entièrement
contenu dans le solénoïde (S2), c'est à dire lorsque z   2 ( 2 étant la longueur du solénoïde
(S2)).
Dans ces conditions, le flux a pour expression :
   0 n 1 n 2  I 2 R 12  2
L'énergie potentielle d'interaction du solénoïde (S1) dans cet état final a donc pour
expression :
( Wi ) f   I1     0 n 1 n 2  I1 I 2 R 12  2
b. Le travail W des forces magnétiques peut être calculé à l'aide du théorème de Maxwell :
W  I1 (  final   initial )
W   0 n 1 n 2  I1 I 2 R 12 (  2  z )
Soit :
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