L`lNTERTEXTUALITE - Université Virtuelle de Tunis

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie
Université Virtuelle de Tunis
Physique - électricité : TC1
Energie magnétostatique
Concepteur du cours:
Jilani LAMLOUMI & Mongia BEN BRAÏEK
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Physique -
électricité : TC1
Energie magnétostatique
2
Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI
Université Virtuelle de Tunis
I. DEFINITION
Soit un circuit (C) parcouru par un courant d'intensité I et soit son flux propre.
On appelle énergie magnétique, le travail minimal qu'il faut fournir au circuit pour faire
passer l'intensité et le flux propre de la valeur zéro aux valeurs finales I et .
II. ENERGIE MAGNETIQUE DANS LE CAS DE
CIRCUITS RIGIDES FILIFORMES
II.1 Circuit unique filiforme
Soit un circuit (C) de résistance R, d'inductance propre L, montés aux bornes d'un générateur
de force électromotrice E.
Le circuit peut être schématisé
comme l'indique la figure 2. A l'instant
t = 0, on ferme l'interrupteur K. Le
phénomène d'auto-induction dans la
bobine se traduit par l'apparition
d'une f.é.m induite aux bornes de la
bobine, donnée par :
dt
i(t) d
L- )t( e 
L'application de la loi d'Ohm permet d'écrire :
)t(i R
dt
)t(i d
LE 
R
K
i(t)
E
Fig.2
L

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Soit :
E)t(i R
dt
)t(i d
L
Multiplions par i(t) dt et intégrons entre les instants 0 et t :
t
0
t
0
I
0
2)t(i d )t(i L dt )t(i R dt )t(i E
t
0 dt )t(i E
représente le travail fourni par le générateur;
t
0
2dt )t(i R
représente l'énergie dissipée par effet Joule dans le circuit.
Le terme
I
0 )t(i d )t(i L
est égale à
2
I L
2
1
, il représente l'énergie magnétique emmagasinée
dans la bobine.
On définit l'énergie magnétique emmagasinée par le circuit par :
I2
L
2
1
W
(4)
Comme,
I L
, on peut aussi écrire :
I
2
1
W
(5)
Cette grandeur est positive. Elle est stockée dans la bobine. Elle peut être récupérée : en
effet si on annule la f.é.m du générateur, l'intensité du courant va décroître et s'annuler.
L'équation différentielle qui régit l'évolution est :
0)t(i R
dt
)t(i d
L
, dont la solution
correspondant aux conditions initiales ( i(0) = I ) est :
t
L
R
e I)t(i 
.
II.2. Cas de deux circuits couplés

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Reprenons l’expérience précédente
dans le cas de deux circuits (C1) et
(C2) d'inductances propres L1 et L2,
de résistances R1 et R2, de forces
électromotrices E1 et E2 et
d'inductance mutuelle M
(M12=M21). Soient i1(t) et i2(t) les
intensités du courant dans les deux
circuits à l'instant t.
Supposons, qu'à t = 0, i1(0) = i2(0) = 0. Les équations différentielles permettant de calculer
i1(t) et i2(t), en régime lentement variable, sont :
dt
)t(di
M
dt
)t(di
L)t(iRE
dt
)t(di
M
dt
)t(di
L)t(iRE
12
2222
21
1111
Multiplions la première équation par i1(t) dt, la seconde par i2(t) dt, ajoutons et intégrons
entre les instants 0 et t :
221121 Ii ,I i
0 21
I
0 222
I
0 111
t
0
2
22
t
0
2
1122
t
0 11
) )t(i (t)i ( d M )t(di )t(iL )t(di )t(iL
dt )t(iR dt )t(iR ) dt )t(iEdt )t(iE (
On définira l'énergie
magnétique emmagasinée par les circuits par :
21
2
22
2
11m I I MI L
2
1
I L
2
1
W 
Comme le flux
1
, traversant ( C1 ), peut s'écrire :
2111 I M I L 
Le flux
2
, traversant ( C2 ), peut s'écrire:
1222 I M I L 
On voit que Wm peut s'écrire :
i1(t)
Fig.3
R1
i2(t)
E1
L1
L2
R2
E2

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) I I (
2
1
W 2211m 
(6)
II.3. Cas de plusieurs courants
Dans le cas où on a n circuits filiformes, parcourus par des courants I1, I2..., In,
l'énergie magnétostatique totale, donnée par la généralisation de l'expression (6), est :
 n
1i
iim I
2
1
W
(7)
III. ENERGIE MAGNETIQUE D'UNE
DISTRIBUTION VOLUMIQUE DE COURANTS
Soit une distribution volumique de courants qui crée en tout point de l'espace un champ
magnétique. On décompose cette distribution en tubes de courants d'intensité dI traversés
par des flux . D'après la relation (7), L'énergie magnétostatique du tube de courant s'écrit :
Id
2
1
Wd m
Avec
C S S d.AdS .ArotdS .B et dS .j dI 
D'où :
md )M(A.)M(j
2
1
W
(8)
L'intégrale étant étendue au volume total parcouru par les courants, mais puisqu'à
l'extérieur de la distribution on a
0j
, cette intégrale peut être étendue à tout l'espace.
Remarque
Cette expression est analogue à celle de l'énergie électrostatique d'une distribution
volumique de charges :
ed V
2
1
W
IV. LOCALISATION DE L'ENERGIE