3. Entropie d’un système de molécules
Dans le cadre d’une description moléculaire d’un gaz, Boltzman a défini la notion d’entro-
pie statistique du gaz. On considère le gaz dans un certain état macroscopique. On note Ω
le nombre d’états microscopiques possibles correspondant à ce même état macroscopique.
L’entropie du système est alors kBln(Ω) où kB>0est la constante de Boltzman.
Dans notre problème, un état macroscopique est simplement la répartition du gaz entre
les deux boîtes. Il est donc parfaitement défini par l’état du système que nous avons
défini. Comme les molécules du gaz sont indiscernables, un même état peut être obtenu
par de nombreuses répartitions différentes des particules. Par exemple, si le nombre total
de molécules est 4, il y a Ω1= 4 façons de répartir les molécules pour être dans l’état 1 :
on choisit quelle molécule est dans le compartiment 1. Et il y a Ω2= 6 façons de répartir
les molécules pour être dans l’état 2 : on choisit les 2 molécules parmi les 4 qui sont dans
le compartiment 1. L’entropie, dans le premier cas est kBln(4) et kBln(6) dans le second.
(a) Pour 06k62n, déterminer l’entropie de l’état k.
(b) L’entropie est-elle croissante au cours de l’évolution du système ?
(c) Pour quelle valeur de kl’entropie est-elle maximale ?
4. Mélange de deux gaz
On considère maintenant deux gaz répartis dans les boîtes. Il y a 2nmolécules du pre-
mier gaz et 2mmolécules du second. Les règles d’évolution du système sont les mêmes
qu’avant : à chaque étape, une molécule va changer de boîte et cette molécule est choisie
au hasard parmi les 2n+ 2m. Un état du système est décrit par un couple (k, j)où ket
jsont les nombres de molécules des gaz 1 et 2 dans le compartiment 1.
Fixer les valeurs de net m, numéroter les états du système et écrire la matrice associée
à la chaîne de Markov. À l’aide de Maple (ou d’un autre logiciel), déterminer numérique-
ment la distribution stationnaire associée aux états de la chaîne. Observer les états pour
lesquels elle est élevée. Recommencer l’opération avec différentes valeurs de net mde
plus en plus grandes.
À titre d’exemple, considérons le cas n= 1 et
m= 1. Il y a 9 états possibles que nous numéro-
tons dans l’ordre : (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),
(1,2),(2,0),(2,1),(2,2). La matrice associée à la
chaîne de Markov est alors la matrice ci-contre.
1
4
020200000
101020000
020002000
100020100
010101010
001020001
000200020
000020101
000002020
.
III. Comparaison des modèles
Rédiger une conclusion de l’étude. On essaiera d’y répondre entre autres aux questions
suivantes :
– En quoi les résultats des deux modèles sont-ils similaires ?
– En quoi sont-ils différents?
– Quel modèle propose la description du système la plus précise ?
– En quoi l’évolution du système est-elle réversible ? En quoi est-elle néanmoins irréver-
sible ? Comment le modèle d’Ehrenfest permet-il de concilier ces deux états apparemment
contradictoires ?
– L’entropie d’un système libre en évolution est-elle véritablement croissante ?
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