cours2 - 2015 - Ecole polytechnique

Evolution selon l’équation de Schrödinger
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En intégrant l’équation de Schrödinger on obtient :
Questions centrales du cours d’aujourd’hui
Il s’agit d’un résultat probabiliste comme pour la position
La densité de probabilité pour l’impulsion est donnée par
où est la transformée de Fourier de
Notion d’opérateurs "position", "impulsion", et "énergie"
Les "relations d'incertitude" ou inégalités de Heisenberg.

b b
x
x p
Connaissant , on calcule en utilisant
Inversement, peut-on reconstruire si on connaît sa TF ?
=> se souvenir de la valeur du signe dans
On dit par convention que est la TF directe de
TF
et que est la TF inverse de
OUI !
"Formule d'inversion" de la TF

x
TF
positions
impulsions
Dérivation dans l’espace des impulsions
!" ###########
+" ##
-" ###############
7" ##
impulsions
positions,

et on cherche la solution de l’équation de Schrödinger :
Résolution de l’équation de Schrödinger (particule libre)
La TF de l’équation de Schrödinger est donc :
On se donne comme condition initiale la fonction d’onde à l’instant t=0 :
On utilise la transformation de Fourier
Cette équation s’intègre facilement :
Remarque :
Résolution de l’éq. de Schrödinger (particule libre) - suite
Une fois connue la transformée de Fourier à tout instant t
on peut en déduire à tout t par transformation de Fourier inverse :
c’est-à-dire :
Méthode générale de résolution de l’équation de Schrödinger libre !
"Condition initiale" :
Transformation de Fourier et distribution en impulsion
Proposition : si une particule est dans l’état , alors la distribution
de probabilité pour son impulsion est :
TF
Est-ce raisonnable ?
1) On a vu que est normée si est normée, donc
3) Est-ce conforme à l’intuition qu’on a d’une vitesse ou d’une impulsion ?
2) On a vu que . La quantité est donc
indépendante du temps, comme attendu pour une particule libre.

x x
t
L