EXERCICES MPSI B 2. SUITES : ÉTUDE ALGÉBRIQUE R

EXERCICES MPSI B 2. SUITES : ÉTUDE ALGÉBRIQUE R. FERRÉOL 13/14
SENS DE VARIATION, SUITES BORNÉES
1. : Étudier le sens de variation de la suite (u
n
)définie par u
n
=n
2
n
n!.
2. :
(a) Étudier la relation définie dans R
N
par : (u
n
)R(v
n
)⇔(v
n
−u
n
)est bornée ; deux telles suites seront dites
"presque égales".
(b) * Une suite est dite presque (dé)croissante si elle est presque égale à une suite (dé)croissante. Quelles sont les
suites qui sont à la fois presque croissantes et presque décroissantes ?
3. : Démontrer que toute suite (u
n
)∈R
N
est somme d’une suite croissante et d’une suite décroissante.
Indication : poser v
n
= max (u
n
−u
n−1
,0) , w
n
= min (u
n
−u
n−1
,0) , u
+
n
=u
0
+
n
k=1
v
k
et u
−
n
=
n
k=1
w
k
.
CALCULS DE TERMES GÉNÉRAUX
4. : On pose f(x) =
n
k=0
x
k
;
(a) A l’aide de la fonction fdéterminer des expressions sans des sommes suivantes, pour x= 1 :
n
k=1
kx
k−1
,
n
k=1
kx
k
,
n
k=0
(n−k)x
k
,
n
k=1
k
2
x
k
(b) * Déterminer en fonction de f ,
n
k=1
k
p
x
k
.
Pour cela, on démontrera que pour tout pil existe des nombres α
1
, .., α
p
tels que k
p
=
p
i=1
α
i
k(k−1) ..(k−i+ 1)
pour tout entier k.
Ces nombres, appelés nombres de Stirling, ne sont pas à calculer.
5. : Soit (u
n
)une suite telle que pour tout n∈N
∗
,u
n
=r u
n−1
+n, où r∈R.
Calculer u
n
en fonction de u
0
, r et n. Compléter ce programme python de calcul de u
n
:
u = .....
for kin ..............:
...............
6. Soit (u
n
)une suite telle que pour tout n∈N
∗
,u
n
=n+
n−1
k=0
u
k
n;
(a) Exprimer u
n
en fonction de net u
n−1
; sens de variation de (u
n
)?
(b) En déduire u
n
en fonction de net u
0
.
7. : Visualiser les suites récurrentes u
n
=f(u
n−1
)suivantes ; étudier leur sens de variation pour u
0
>0; calculer u
n
en
fonction de u
0
:
(a) f(x) = x
x+ 1
(b) f(x) = x
x+ 2
8. : On donne u
0
>0et u
n
=λ(u
n−1
)
a
(λ > 0) ;
(a) Calculer u
n
en fonction de u
0
et n.
(b) * Pour quelles valeurs de u
0
>0,λ > 0et aréel la limite de u
n
est-elle infinie ? Nulle ? N’existe pas ?
1

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9. : Relation entre taux et annuité, méthode n
◦
1.
(a) Une banque me prête un capital Cau taux tannuel, que je rembourse en Nannées, avec des annuités xconstantes.
(b) Décomposons le capital Cen nparties C=C
1
+... +C
n
, C
i
étant la partie du capital qui sera remboursée au
bout de nannées. Justifier que C
i
=
x
(1+τ)
i
et en déduire xen fonction de C, t, et N(expression sans somme).
(c) Application numérique 1: C= 10 000, t = 10%, N = 10.Calculer le remboursement total et le "taux effectif
global" T=Nx
C−1.
(d) Application numérique 2 : un organisme de crédit propose une formule 10+1 : on verse chaque année un dixième
de la somme prétée , ceci onze fois . Calculer cette fois le taux τ.
10. : Relation entre taux et annuité, méthode n
◦
2.
Une banque me prête un capital Cau taux tannuel, que je rembourse en Nannées, avec des annuités xconstantes.
(a) Posons C
0
=Cet C
n
le capital restant dû juste après avoir versé la n-ième annuité ; expliquer pourquoi C
n+1
=
(1 + t)C
n
−x.
(b) Faire les applications numériques de l’exercice précédent.
11. * : Est-il possible de ranger dans un carré de côté 1 tous les carrés de côté 1/n pour n2sans que ces carrés ne se
chevauchent ?
12. * : La suite d’Ackermann (comparer avec l’exercice 23 sur les récurrences).
On définit la suite double Apar
•A(0, n) = n+ 1 pour n∈N,
•A(m, 0) = 2 pour m∈N,
•A(m, n) = A(m−1, A (m, n −1)) pour m, n 1
(a) Calculer A(1, n), A (2, n), A (3, n), A (4, n); valeur approchée de A(4,3).
(b) Calculer A(5,1) ; exprimer A(5,2) ().
13. : Suites récurrentes linéaires doubles : autre méthode.
Considérons une suite complexe (u
n
)vérifiant u
n+2
=au
n+1
+bu
n
pour tout entier n.
(a) Montrer que si λest solution de l’équation caractéristique (E) : λ
2
=aλ +b, alors la suite (u
n+1
−λu
n
)est
géométrique de raison a−λ.
(b) Dans le cas où (E) a deux solutions distinctes λ
1
et λ
2
, déterminer λ
1
+λ
2
et calculer le terme général u
n
en
fonction de n, u
0
, u
1
, λ
1
et λ
2
en utilisant les deux suites géométriques (u
n+1
−λ
1
u
n
)et (u
n+1
−λ
2
u
n
).
(c) Dans le cas où (E) a une solution double λ= 0, montrer qu’u
n
λ
n
est arithmétique et en déduire u
n
.
14. : Montrer que les suites (u
n
)réelles vérifiant u
n
+u
n+1
+u
n+2
= 0 pour tout n∈Nsont périodiques ; donner leur
forme générale.
15. : On définit une suite (u
n
)par 
u
0
= 1
u
n
=
n−1
k=0
(n−k)u
k
(a) Calculer u
1
, u
2
, u
3
.
(b) Calculer v
n
=u
n+1
−u
n
,puis v
n+1
−v
n
; en déduire une relation de récurrence linéaire double vérifiée par (u
n
)
et calculer u
n
par la méthode du cours.
(c) On donne la suite de Fibonacci F
0
= 0, F
1
= 1
F
n+2
=F
n+1
+F
n
; exprimer u
n
à l’aide de la suite de Fibonacci.
16. : On se donne a∈Cet (v
n
)∈C
N
et on cherche toutes les suites (u
n
)∈C
N
vérifiant
(E) : u
n+1
−au
n
=v
n
2

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(a) Montrer que si (p
n
)est une solution particulière de (E),on obtient toutes les solutions de (E)en ajoutant à (p
n
)
la solution générale de (E
ssm
):u
n+1
−au
n
= 0.
(b) Applications
i. Résoudre u
n+1
= 2u
n
+n.
ii. Résoudre les suites arithmético-géométriques u
n+1
=au
n
+bpar cette méthode.
17. * : dit “problème de la mouche”
(a) un train part de Aà la vitesse v
1
,à la rencontre d’un autre train partant de Bà la vitesse v
2
.Une mouche part
de M
0
=Aen même temps que le premier train, à la vitesse v > v
1
et v > v
2
,se cogne contre le deuxième train
en M
1,
repart en sens inverse à la vitesse v, se cogne en M
2
etc... Quelle distance Laura-t’elle parcourue lorsque
les deux trains se rencontreront ? (on exprimera Len fonction de l=AB, de v, v
1
et v
2
.)
(b) On pose l
n
=M
n
M
n+1
et L
n
=l
0
+l
1
+···+l
n
.Vérifier que (l
2p
)et (l
2p+1
)sont géométriques. Calculer L
2p
et
L
2p+1
,et vérifier que lim
n→+∞
L
n
=L.
18. * : Existe-t-il une application fde Zdans Ztelle que ∀n∈Z(f◦f) (n) = n+ 1 ?
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