Théorie analytique des séries de Dirichlet

S´eminaire Th´ematique
SE 2007
Fonctions zˆeta et corps quadratiques
Th´eorie analytique des s´eries de Dirichlet
Hans Antonio Coricaza Rivas
Universit´e de Fribourg
15 mars 2007
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TABLE DES MATI ` ERES 2
Table des mati`eres
1 Notions de base 3
2 Premi`eres propri´et´es analytiques 3
2.1 Abscisse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Convergence et propri´et´es de la fonction somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Produit de deux s´eries de Dirichlet 6

1 NOTIONS DE BASE 3
Introduction
Ce travail r´esume les chapitres 1 et 2 du livre ” Zetafunktionen und quadratische Zahlk¨orper ”
de D. Zagier. Le but de ce s´eminaire est de pr´esenter la d´efinition, des propri´et´es ´el´ementaires et
quelques exemples de s´eries de Dirichlet et termine avec le produit d’Euler d’une s´erie de Dirichlet
avec coefficients multiplicatifs.
1 Notions de base
1.0.1 D´efinition
Une fonction f:N−→ C, f 6≡ 0est dite multiplicative si
f(mn) = f(m)f(n)si (m, n) = 1.
Voici deux exemples
a. La fonction d(n)(appel´ee fonction diviseur) donne le nombre de diviseurs positifs(1≤d≤n)
d’un nombre entier positif n. Il est clair que : d(5) = 2 et d(6) = 4.
b. La fonction
σk(n):=X
d/n
dk, k = 0,1,2,3, . . .
tel que σ0(n) = d(n) et σ1(n) = σ(n) (qui est la somme des diviseurs positifs de n)
qui donne la somme des k −i`emes puissances des diviseurs de n.
1.0.2 D´efinition
Etant donn´ee une suite de nombres positifs ind´efiniment croissants λ1, λ2, . . . , λn, . . .
(λn+1 > λn; limn→∞ λn= +∞), nous appellerons s´erie de Dirichlet chaque s´erie du type
∞
X
n=1
ane−λns. . . (1)
o`u s:= σ+it ∈Cet an∈C; les nombres λnsont appel´es exposants de la s´erie (1). La classe des
s´eries du type (1) comprends, d’une part, les s´eries du type
Exemples :
a. Les s´eries ordinaires de Dirichlet:P∞
n=1 ann−s, o`u λn= log n . . . (2).
b. Les s´eries de Taylor :P∞
n=1 anzn,pour λn=n, z =e−s. . . (3).
2 Premi`eres propri´et´es analytiques
Notre but dans cette section est de montrer les principales propri´et´es des s´eries de Dirichlet, qui
sont de grand importance dans la th´eorie analytique des nombres.
Soit une suite {an}n∈N⊂Cet posons

2 PREMI ` ERES PROPRI ´ ET ´ ES ANALYTIQUES 4
f(s) :=
∞
X
n=1
an
ns,avec s=σ+it ∈C. . . (4)
fest appell´ee la fonction somme de la s´erie de Dirichlet. Pour que cela prenne un sens, nous
avons besoin d’examiner les propri´et´es de convergence de la s´erie ci-dessus.
2.1 Abscisse de convergence
On peut consid´erer le domaine de convergence Dde la s´erie, c’est-`a-dire l’ensemble des valeurs
de spour lesquelles il y a convergence.
2.1.1 Th´eor`eme
Si la s´erie (1) converge en un point s0=σ0+it0, elle converge aussi dans tout le demi-plan σ > σ0,
la convergence ´etant uniforme dans chaque secteur
|arg(s−s0)|≤ π
2− < π 2
O`u σ0s’appelle abscisse de convergence.
Id´ee de la preuve.Sans restriction de la g´en´eralit´e nous consid´erons s0= 0.En posant
A(N) = PN
n=1 an, A(M, N) = PN n=Man, A(M, M −1) = 0 et en appliquant la sommation partielle
d’Abel a PN
n=Mane−λnsnous obtenons PN−1 n=MA(M, N)[e−λns−e−λn+1s]+A(M, N )e−λNset ensuite
le r´esultat.
Voici un r´esultat sur l’abscisse de convergence :
•Supposons que {an}, n ∈Nest une suite born´ee de nombres complexes.
Alors la s´erie est absolument convergente sur le demi −plan ouvert de stel que σ > 1.
2.1.2 Th´eor`eme
La valeur de l’abscisse de convergence est donn´ee par l’expression
σ0= lim sup
N→∞
log |A(N)|
λN
O`u A(N)est la somme des coefficients d´efinie dans la partie pr´ecedente.
D´emonstration.On consid`ere le cas λN= log N.
A voir : σ0=γ:= lim supN→∞
log |A(N)|
log N= inf{α|A(N)=O(Nα)}.(o`u A(N)=O(Nα)veut dire :
∃B > 0 : |A(N)| ≤ BNα,∀N).
D’abord montrerons l’´egalit´e entre α0:= inf{α|A(N)=O(Nα)}et lim supN→∞
log |A(N)|
log N.
Premi`ere in´egalit´e.γ≤α0.∀α > α0:|A(N)| ≤ BNα,∀N.
En prenant log et lim supn→∞ : lim supn→∞
log |A(N)|
log N≤α0⇒γ≤α0.
Deuxi`eme inegalit´e.γ≥α0:γ⇔Pour N≥N0()avec  > 0fix´e : log |A(N)|
log N< γ +.
|A(N)|< Nγ+⇒A(N)=O(Nγ+)⇒γ+≥α0,∀ > 0⇒γ≥α0.

2 PREMI ` ERES PROPRI ´ ET ´ ES ANALYTIQUES 5
Continuons `a present la d´emonstration du th´eor`eme :
Premi`ere partie. γ≤σ0:
•Soit σ > σ0:P∞
n=1 ann−σconverge et |PN n=1 ann−σ|< C, ∀N . . . (5)
• |A(N)|=|PN
n=1(ann−σ)nσ| ≤
|{z}
Sommation Abel et in´egalit´e triangle PN−1
n=1 |PN n=1 amm−σ|((n+1)σ−nσ)+
|PN
m=1 amm−σ|Nσ<
|{z}
avec (5)
<2CN σ,
Alors γ≤σ, et comme ∀σ:σ > σ0⇒γ≤σ0.
deuxi`eme partie. γ≥σ0:
•Soit σ > γ :PN
n=1 ann−σ=
|{z}
Sommation Abel PN−1
n=1 A(n)(n−σ−(n+ 1)−σ) + A(N)N−σ.
•On choisit α:γ < α < σ et Cavec :|A(N)| ≤ CN α,∀N . . . (6)
Alors |A(N)N−σ| ≤
|{z}
in´egalit´e triangle et (6)
CN α−σ−→
|{z}
N→∞
0.
Alors σ > σ0,et comme ∀σ:σ > γ ⇒γ≥σ0.
Exemple fondamental
La fonction zˆeta de Riemann est d´efinie pour tout nombre complexe savec σ > 1par la s´erie
convergente
ζ(s) :=
∞
X
n=1
1
ns.
ζ(s)peut-ˆetre prolong´ee analytiquement(de forme unique) `a tous les nombres complexes diff´erents
de 1et poss`ede un prolongement m´eromorphe sur Cavec un unique pˆole de r´esidu 1en s= 1.
2.1.3 Proposition
Soit P∞
n=1 ann−sune s´erie de Dirichlet avec abscisse de convergence σ0et soit σ1(≥σ0)l’abscisse
de convergence de P∞
n=1 |an|n−s.Alors σ1≤σ0+ 1.
2.2 Convergence et propri´et´es de la fonction somme
2.2.1 Proposition
La fonction f(cf.(4)) est une fonction analytique sur le demi-plan ouvert de convergence.
Nous allons voir maintenant quelques propri´et´es importantes des s´eries de Dirichlet
2.2.1 Th´eor`eme de Landau
Soit P∞
n=1 ann−sune s´erie de Dirichlet avec abscisse de convergence σ0et de coefficients r´eels
non-n´egatifs. Alors
f(s) =
∞
X
n=1
ann−s(σ > σ0)
est une fonction qui poss`ede une singularit´e dans s=σ0