2 PREMI `
ERES PROPRI ´
ET ´
ES ANALYTIQUES 4
f(s) :=
∞
X
n=1
an
ns,avec s=σ+it ∈C. . . (4)
fest appell´ee la fonction somme de la s´erie de Dirichlet. Pour que cela prenne un sens, nous
avons besoin d’examiner les propri´et´es de convergence de la s´erie ci-dessus.
2.1 Abscisse de convergence
On peut consid´erer le domaine de convergence Dde la s´erie, c’est-`a-dire l’ensemble des valeurs
de spour lesquelles il y a convergence.
2.1.1 Th´eor`eme
Si la s´erie (1) converge en un point s0=σ0+it0, elle converge aussi dans tout le demi-plan σ > σ0,
la convergence ´etant uniforme dans chaque secteur
|arg(s−s0)|≤ π
2− < π
2
O`u σ0s’appelle abscisse de convergence.
Id´ee de la preuve.Sans restriction de la g´en´eralit´e nous consid´erons s0= 0.En posant
A(N) = PN
n=1 an, A(M, N) = PN
n=Man, A(M, M −1) = 0 et en appliquant la sommation partielle
d’Abel a PN
n=Mane−λnsnous obtenons PN−1
n=MA(M, N)[e−λns−e−λn+1s]+A(M, N )e−λNset ensuite
le r´esultat.
Voici un r´esultat sur l’abscisse de convergence :
•Supposons que {an}, n ∈Nest une suite born´ee de nombres complexes.
Alors la s´erie est absolument convergente sur le demi −plan ouvert de stel que σ > 1.
2.1.2 Th´eor`eme
La valeur de l’abscisse de convergence est donn´ee par l’expression
σ0= lim sup
N→∞
log |A(N)|
λN
O`u A(N)est la somme des coefficients d´efinie dans la partie pr´ecedente.
D´emonstration.On consid`ere le cas λN= log N.
A voir : σ0=γ:= lim supN→∞
log |A(N)|
log N= inf{α|A(N)=O(Nα)}.(o`u A(N)=O(Nα)veut dire :
∃B > 0 : |A(N)| ≤ BNα,∀N).
D’abord montrerons l’´egalit´e entre α0:= inf{α|A(N)=O(Nα)}et lim supN→∞
log |A(N)|
log N.
Premi`ere in´egalit´e.γ≤α0.∀α > α0:|A(N)| ≤ BNα,∀N.
En prenant log et lim supn→∞ : lim supn→∞
log |A(N)|
log N≤α0⇒γ≤α0.
Deuxi`eme inegalit´e.γ≥α0:γ⇔Pour N≥N0()avec > 0fix´e : log |A(N)|
log N< γ +.
|A(N)|< Nγ+⇒A(N)=O(Nγ+)⇒γ+≥α0,∀ > 0⇒γ≥α0.