Complexité de Problèmes: la classe NP (suite), les réductions

Complexit´ e de Probl ` emes: la classe NP (suite), les
r´ eductions polynˆ omiales, les propri´ et´ es NP-dures
AAC
Sophie Tison-USTL-Master1 Informatique
() Complexit´ e de Probl` emes 1 / 62
Deuxi` eme partie du cours
Complexit ´ e de probl` emes
Que faire face ` a un probl` eme dur?
D´ ecidabilit´ e
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Complexit´ e de Probl ` emes
L’´ etude de la complexit ´ e des probl` emes -computational complexity-
s’attache ` a d´ eterminer la complexit ´ e intrins ` eque d’un probl` eme et ` a
classifier les probl` emes selon celle-ci, donc ` a r´ epondre ` a des
questions comme:
Quelle est la complexit ´ e minimale d’un algorithme r ´ esolvant tel
probl` eme?
Existe-t-il un algorithme polyn ˆ omial pour r´ esoudre un probl` eme
donn´ e?
Comment peut-on dire qu’un algorithme est optimal (en
complexit ´ e)?
Comment peut-on montrer qu’il n’existe pas d’algorithme
polynˆ omial pour un probl` eme?
Qu’est-ce qu’un probl` eme ”dur”?
Comment prouver qu’un probl` eme est au moins aussi “dur” qu’un
autre?
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Menu du jour
. NP: rappels et propri´ et´ es.
. R´ eductions Polynˆ omiales ou Comment transformer un
probl` eme en un autre.
. La notion de propri ´ et´ eNP−dure ou Qu’est-ce qu’une
propri ´ et´ e qui contient toute la difficult´ e de la classe NP?
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La d´ efinition de NP via les certificats
Rappel:
Une propri ´ et´ e peut ˆ etre associ´ ee au langage Ldes repr´ esentations de
ses instances positives.
On d´ efinit donc la notion de NP sur les langages.
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La d´ efinition de NP via les certificats
Definition
Lest dit NP si il existe un polyn ˆ ome Q, et un algorithme polyn ˆ omial ` a
deux entr´ ees et ` a valeurs bool ´ eennes tels que:
L={u/∃c,A(c,u) = Vrai,|c| ≤ Q(|u|)}
Aest appel´ ealgorithme de v ´ erification,
cest appel´ ecertificat (ou preuve, ou t ´ emoin..).
|c|repr´ esente la taille de c.
|c| ≤ Q(|u|): la taille des certificats est born ´ ee polynˆ omialement par
rapport ` a la talle de l’entr´ ee.
On dit que Av´ erifie Len temps polyn ˆ omial.
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L’intuition?
On peut par exemple voir ccomme une preuve ou un ”candidat
-solution” , Acomme un algorithme qui v ´ erifie la preuve ou que la
solution est correcte; vous pouvez ˆ etre capable de v´ erifier facilement
la preuve courte qu’un gentil g´ enie, (un prof, par exemple:-)) vous
donne mais cela n’implique pas forc ´ ement qu’elle soit facile ` a trouver...
Une propri ´ et´ eNP sera donc une propri´ et´ e pour laquelle les instances
positives ont une preuve ”courte” et ”facile” ` a v´ erifier.
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Comment montrer qu’une propri ´ et´ e est NP?
Pour montrer qu’une propri´ et´ e est NP, il faut:
d´ efinir la notion de certificat et montrer que la taille d’un certificat
est born´ ee polynˆ omialement par la taille du probl` eme
d´ efinir l’algo de V´ erification et montrer qu’il est polyn ˆ omial (et
correct...)
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Etre 3-coloriable: les certificats
Un certificat pour Gest juste un coloriage des noeuds.
On peut par exemple le repr´ esenter par un tableau de couleurs index´ e
par les sommets.
On a donc :
taille du certificat <=taille du graphe
(on suppose que la taille d’un graphe est au moins le nombre de
sommets plus le nombre d’arcs)
La taille d’un certificat est alors bien lin ´ eaire, donc polynˆ omialement
born´ ee, par rapport ` a celle de la donn´ ee.
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Etre 3-coloriable: l’algo de v´ erification
Un certificat est valide Ssi aucun arc ne relie deux noeuds de mˆ eme
couleur: le v´ erifier est bien polyn ˆ omial:
boolean A(col, G){
Pour chaque arc (s,d) de G
si col(s)=col(d) retourner Faux;
retourner Vrai;
}
La complexit ´ e de l’algorithme est de l’ordre de card(A)donc bien
polynˆ omiale.
’Etre 3-coloriable’ est donc bien une propri ´ et´ eNP.
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Exemple 4: SAT: satisfiabilit ´ e d’une expression
Bool´ eenne
Donn´ ee: Φune expression bool ´ eenne avec nvariables bool´ eennes,
x1, ..., xn
Sortie: oui, si Φest satisfiable, i.e. il existe une valuation vtelle que
v(Φ) = Vrai
Certificat: v, par exemple un tableau de nbool ´ eens
Algo de v´ erification: ´ evaluer v(Φ)
Sat est bien une propri ´ et´ eNP.
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La d´ efinition via le non-d´ eterminisme
NP=Non-D ´ eterministe Polynˆ omial
D´ efinition Alternative
une propri ´ et´ ePr est NP si il existe un algorithme non d´ eterministe
polynˆ omial qui d´ ecide Pr.
Remarque: NP=Non-D´ eterministe Polynˆ omial et non pas Non
Polynˆ omial!
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Algos non d´ eterministes polynˆ omiaux
Un algorithme non-d ´ eterministe peut ˆ etre vu comme un algorithme
avec des instructions de type ”choix(i,1..n)”: on choisit al ´ eatoirement
un entier dans l’intervalle [1..n].
Remarque 1: On peut se restreindre ` an=2.
Remarque 2: On peut prendre comme mod` ele de calcul
non-d´ eterministe, les Machines de Turing non d ´ eterministes: on
´
etudiera ce mod` ele dans les derniers cours.
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Complexit´ e d’un algorithme non d ´ eterministe
polynˆ omial
Un algorithme non-d ´ eterministe Aest dit polynˆ omial si il existe un
polynˆ ome Qtel que pour toute entr´ ee u,tous les calculs de Asur u
ont une longueur d’ex ´ ecution born´ ee par Q(|u|).
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Algos non d´ eterministes ` a valeurs bool´ eennes
Soit Aun algorithme non d ´ eterministe ` a valeurs bool ´ eennes et dont
tous les calculs s’arrˆ etent; il d´ ecide la propri ´ et´ ePr suivante: ”uv´ erifie
Pr Ssi il existe un calcul de Asur uqui retourne Vrai.” (penser ` a un
automate non d´ eterministe: un mot est accept´ e si et seulement si il
existe au moins un chemin acceptant.)
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Algos non d´ eterministes ` a valeurs bool´ eennes : un
exemple
Cherchercible(x_1,....x_n, c){
s=0;
Pour i in 1..n
Choisir(onleprend?,1..2);
Si (onleprend?==1) s=s+x_i;
finPour;
retourner (s==c);}
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La d´ efinition via le non-d´ eterminisme versus La
d´ efinition via les certificats
Les deux d´ efinitions sont ´ equivalentes!
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Des certificats au non-d´ eterminisme
Un certificat correspond ` a une suite de choix dans l’ex ´ ecution de
l’algorithme non d ´ eterministe.
A partir d’un algorithme non-d´ eterministe polynˆ omial pour v´ erifier P,
on construira donc la notion de certificat qui correspond ` a une suite de
choix.
L’algorithme de v ´ erification consiste ` a v´ erifier que l’ex´ ecution de
l’algorithme non d ´ eterministe correspondant ` a la suite de choix
donn´ ee par le certificat retourne Vrai.
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Du non-d´ eterminisme aux certificats
A partir d’une notion de certificat et d’algorithme de v ´ erification, on
construit un algorithme non-d´ eterministe qui consiste ` a d’abord
g´ en´ erer al´ eatoirement un certificat -la partie non d´ eterministe- et
ensuite ` a le v´ erifier en utilisant l’algorithme -d´ eterministe- de
v´ erification.
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NP et les autres
NP par rapport ` aP?
Bien sˆ ur, Pest inclus dans NP: toute propri ´ et´ ePest une propri ´ et´ e
NP; l’algorithme de v´ erification est l’algorithme de d´ ecision et il n’a pas
besoin de certificat: on peut prendre pour certificat le mot vide.
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