SOLITONS SPATIAUX DANS LES GUIDES D`ONDES

SOLITONS SPATIAUX DANS LES GUIDES D’ONDES:
AU-DEL ` A DU SOLITON DE TOWNES
G. Renversez1, F. Drouart1, A. Nicolet1and C. Geuzaine2
1Institut Fresnel, UMR CNRS 6133, Universit´
e Aix-Marseille, F-13397 Marseille Cedex 20, France
2Universit´
edeLi
`
ege, Institut Montefiore, B28, Sart-Tilman, B-4000 Li` ege, Belgique
gilles.ren[email protected]
R´ ESUM ´ E
Nous avons d´ evelopp´ e une m´ ethode num´ erique pour calculer les solitons spatiaux dans les
fibres conventionnelles ou microstructur´ ees en pr´ esence d’un effet Kerr optique. Les solu-
tions obtenues sont des solutions nonlin´ eaires auto-coh´ erentes tenant compte de la section
des guides d’ondes mod´ elis´ es. Nous montrons que les solutions obtenues pour ces deux type
de fibres sont diff´ erentes du soliton de Townes. Nous prouvons aussi que la solution non-
lin´ eaire auto-coh´ erente calcul´ ee pour un milieu homog` ene nonlin´ eaire diff` ere du soliton de
Townes du fait de la prise en compte de la constante de propagation non fix´ ee a priori comme
c’est le cas pour ce dernier. Mais dans ces trois cas, nous retrouvons le soliton de Townes
aux courtes longueurs d’onde.
MOTS-CLEFS :soliton de Townes; solitons spatiaux; effet Kerr optique; fibre optique
microstructur´ ee; solution nonlin´ eaire auto-coh´ erente
1. INTRODUCTION
Les m´ ethodes num´ eriques permettant la mod´ elisation des propri´ et´ es lin´ eaires de fibres optiques
microstructur´ ees sont disponibles depuis plusieurs ann´ ees [1]. La mod´ elisation des effets non-lin´ eaires
est plus complexe, et bien que plusieurs m´ ethodes soient disponibles, aucune n’est compl` etement satis-
faisante [2, 3]. D’un cˆ ot´ e, il y a les nombreux travaux bas´ es sur l’´ equation de Schr¨ odinger non-lin´ eaire
(ESNL), qui ne prennent pas en compte la section du guide d’onde, mais se concentrent sur l’´ evolution
temporelle d’un pulse se propageant le long de l’axe de la fibre. L’ESNL et sa version vectorielle sont
obtenues ` a partir des ´ equations de Maxwell en supposant que le terme ∇
∇
∇(∇
∇
∇.E
E
E)dans ∇
∇
∇×∇
∇
∇×E
E
Epeut ˆ etre
n´ eglig´ e et que l’approximation de l’enveloppe lentement variable est valide. D’un autre cˆ ot´ e, on trouve
des travaux (moins nombreux) bas´ es directement sur les ´ equations de Maxwell ou leur approximation
scalaire, qui tiennent compte du profil optog´ eom´ etrique transverse de la fibre. Les diff´ erences entre ces
deux approches ont ´ et´ e´ etudi´ ees en profondeur dans les r´
ef´ erences suivantes [2,4]. Notre travail s’inscrit
dans le second groupe : il est bas´ e sur la r´ esolution num´ erique de l’approximation scalaire des ´ equations
de Maxwell avec un non-lin´ earit´ e de type Kerr. Nous am´ eliorons les ´ etudes pr´ ec´ edentes de plusieurs
mani` eres. Ainsi, contrairement au travail publi´ e par Ferrando et al. [5] nous ne p´ eriodisons pas artificiel-
lement la section de la fibre, ce qui permet de mieux prendre en compte les propri´ et´ es de sym´ etrie. Second
aspect plus important, nous n’employons pas l’algorithme ` a puissance fix´ ee comme dans la r´ ef´ erence [5].
Dans cet algorithme, ` a chaque ´ etape du processus it´ eratif ´ etabli pour construire la solution non-lin´ eaire,
la puissance de la solution interm´ ediaire est renormalis´ ee ` a la puissance fix´ ee choisie en entr´ ee de l’al-
gorithme. Notre nouvel algorithme d´ etermine par lui-mˆ eme la puissance de la solution, en se basant
uniquement sur la minimisation d’un r´ esidu ce qui ´ evite les instabilit´ es num´ eriques qui limitent les puis-
sances accessibles ` a l’algorithme ` a puissance fix´ ee. Troisi` eme aspect distinguant ce travail, notamment
par rapport ` acelui de Snyder et al. [6], notre algorithme peut traiter les milieux inhomog`
enes.
Nous avons d´ ej` ad
´
ecrit les d´ etails techniques de notre m´ ethode dans d’autres publications [7]. Dans
ce r´ esum´ e, nous ne d´ ecrivons que les principales propri´ et´ es obtenues pour le soliton spatial fondamental
mˆ eme si la m´ ethode d´ evelopp´ ee peut ˆ etre utilis´ ee pour les solitons spatiaux d’ordres sup´ erieurs.

2. AU DEL ` A DU SOLITON DE TOWNES
Notre m´ ethode nous permet d’obtenir le soliton spatial de plus grande ´ energie ayant une d´ ependance
harmonique en temps et ayant une constante de propagation bien d´ efinie c’est ` a dire la solution auto-
coh´ erente propagative du probl` eme non-lin´ eaire (scalaire dans cette ´ etude) tenant compte de l’effet Kerr
optique et du profil transverse de la fibre. Au dessus de cette ´ energie, l’instabilit´ e d’auto-focalisation
apparaˆ ıt. Ainsi en partant de deux configurations initiales diff´ erentes (voir les figures 1(a) et 1(b), nous
obtenons une unique solution, la solution auto-coh´ erente non-lin´ eaire (voir la figure 1(c)).
(a) σ0=4.0μm. (b) σ0=10.0μm. (c) Zoom du cœur de la
fibre.
FIG. 1: Distribution du champ scalaire dans une fibre microstructur´ ee ` a cœur plein ` aλ=5.0μm pour
deux champs initiaux gaussiens ((a) et (b)) et pour le soliton fondamental (c).
On peut donc se poser la question de savoir si les solutions obtenues pour une fibre microstructur´ ee
`
a cœur plein ou une fibre conventionnelle correspondent ` a la solution calcul´ ee pour un milieu homog` ene
avec une non-lin´ eairit´ e de type Kerr. La r´ eponse est n´ egative comme le montre clairement la figure 2(a).
En effet, on y voit clairement que le soliton spatial de plus haute ´ energie de la fibre ` a saut d’indice d´ epend
du rayon du cœur. Ceci entraˆ ıne que, mˆ eme dans le cas non-lin´ eaire, l’interface cœur/gaine jour un rˆ ole.
Comme pr´ evu, on remarque aussi que plus le rayon du cœur de la fibre est grand plus la diff´ erence
avec la solution obtenue pour le milieu homog` ene se r´ eduit. Le mˆ eme ph´ enom` ene est observ´ e pour la
fibre microstructur´ ee o` u la solution non-lin´ eaire auto-coh´ erente ne correspond pas ` a celle obtenue pour
le milieu homog` ene. La figure 2(a) montre que plus les inclusions sont petites, plus la diff´ erence avec le
milieu homog` ene d´ ecroˆ ıt. On constate ´ egalement que plus la longueur d’onde est petite plus le rˆ ole des
inclusions est faible, le soliton ´ etant plus confin´ e.
Le soliton de Townes est la solution du probl` eme de propagation dans un milieu homog`
ene non-
lin´ eaire en fixant a priori la constante de propagation. Il correspond ` a la solution critique avant l’in-
stabilit´ e d’auto-focalisation [8]. Pour comparer cette solution sp´ ecifique et les solutions que nous avons
obtenues nous avons recalcul´ e le profil et la puissance du soliton de Townes. Il est crucial de noter que ce
profil s’obtient en r´ esolvant un probl` eme ` a une dimension avec des conditions sur 2 bords alors que pour
nos solutions nous devons r´ esoudre un probl` eme aux valeurs propres puisque la constante de propagation
est ` ad
´
eterminer.
A partir du profil normalis´ e du soliton de Townes not´ eR(r), on peut d´ efinir un coefficient de
puissance critique Ncr =Ω|R|2rdr ≈1.862 o`
uΩest le domaine d’int´ egration [8]. Pour notre formulation
du probl` eme qui fait intervenir la constante de propagation β, on peut d´ efinir un coefficient de puissance
auto-coh´ erente associ´ ee aux solutions du mˆ eme nom Ncoh =8π2n2
0n2
βλ3Ppo`
uPpest la puissance physique du
soliton d´ efinie ` a partir du vecteur de Poynting et o` un0est l’indice de r´
efraction lin´ eaire de la matrice.
La figure 2(b) d´ ecrit l’´ evolution, en fonction de la longueur d’onde, du coefficient Ncoh pour le
soliton spatial associ´ e au milieu homog` ene non-lin´ eaire. Comme attendu, le coefficient Ncoh de cette
solution tend vers le coefficient Ncr du soliton de Townes aux courtes longueurs d’onde. On remarque
que le coefficient Ncoh d´
ecroˆ ıt avec la longueurs d’onde pour les deux types de fibres ´ etudi´ ees. On observe
aussi la coh´ erence des r´ esultats obtenus que cela soit en fonction du rayon de la fibre ` a saut d’indice ou
en fonction de la taille des inclusions de la fibre microstructur´ ee.

1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
neff = β / k0
λ
(μ
m
)
Homogeneous medium
Step-index fibers
MOFs
Rcore = 2.0 μm
Rcore = 2.5 μm
R
core
= 3.0 μm
a1 = 0.5 μm
a
2
= 1.0 μm
a3 = 1.5 μm
a4 = 2.0 μm
a
5
= 2.5 μm
(a) Indices effectifs. Les valeurs des rayons des fibres ` a
saut d’indice Rcore sont donn´
ees sur les courbes correspon-
dantes.
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
Ncoh
λ
(μ
m
)
Homogeneous medium
Step-index fibers
MOFs
Rcore = 2.0 μm
R
core
= 2.5 μm
R
core
= 3.0 μm
a1 = 0.5 μm
a
2
= 1.0 μm
a
3
= 1.5 μm
a
4
= 2.0 μm
a5 = 2.5 μm
Townes soliton
(b) Coefficient de puissance auto-coh´ erente Ncoh. La ligne
grise horizontale est le coefficient de puissance critique
Ncr =1.862 du soliton de Townes.
FIG. 2: Propri´ et´ es des solitons spatiaux en fonction de la longueur d’onde λpour diff´ erentes fibres non-
lin´ eaires et pour un milieu non-lin´ eaire homog` ene. Les fibres microstructur´ ees sont constitu´ ees de 4
couches de trous de rayons aet Λ=6.0μm. ngaine =1.435, ncœur =nmat =1.45, ntrous =1.
CONCLUSION
Nous avons d´ ecrit certaines des propri´ et´ es des solutions non-lin´ eaires auto-coh´ erentes obtenues
dans des fibres ` a saut d’indice ou microstructur´ ees et dans un milieu homog` ene en pr´ esence d’un ef-
fet Kerr optique. Ces solutions, qui tiennent compte des profils optog´ eom´ etriques des fibres, corres-
pondent aux solitons spatiaux de plus haute ´ energie possible avant l’instabilit´ e d’auto-focalisation. Elles
convergent vers le soliton de Townes aux courtes longueurs d’onde. L’´ etude de ces solitons spatiaux dans
le cas vectoriel est en cours.
R´ EF ´ ERENCES
[1] B. Kuhlmey, T. P. White, G. Renversez, D. Maystre, et al., “Multipole method for microstructured optical
fibers II : implementation and results,” J. Opt. Soc. Am. B, vol. 10, no. 19, p. 2331, 2002.F. Zolla, G. Ren-
versez, A. Nicolet, B. Kuhlmey, et al.,Foundations of Photonic Crystal Fibres. London : Imperial College
Press, 2005.
[2] Y. Chen and J. Atai, “Maxwell’s equations and the vector nonlinear Schr¨ odinger equation,” Phys. Rev. E,
vol. 55, p. 3652, 1997.
[3] Y. S. Kivshar and G. P. Agrawal, Optical Solitons. Amsterdam : Academic Press, 2003.
[4] N. Akhmediev, A. Ankiewicz, and J. M. Soto-Crespo, “Does the nonlinear schr¨ odinger equation correctly
describe beam propagation ?” Opt. Lett., vol. 18, no. 6, p. 411, 1993.A. Ciattoni, B. Crossignani, P. D.
Porto, and A. Yariv, “Perfect optical solitons : spatial Kerr solitons as exact solutions of Maxwell’s
equations,” J. Opt. Soc. Am. B, vol. 22, no. 7, p. 1384, 2005.
[5] A. Ferrando, M. Zacar´ es, P. F. de Cordoba, D. Binosi, and J. A. Monsoriu, “Spatial soliton formation in
photonic crystal fibers,” Optics Exp., vol. 11, no. 5, p. 452, 2003.
[6] A. W. Snyder, D. J. Mitchell, and Y. Chen, “Spatial solitons of Maxwell’s equations,” Optics Lett., vol. 19,
no. 8, p. 524, 1994.
[7] A. Nicolet, F. Drouart, G. .Renversez, and C. Geuzaine, “A finite element analysis of spatial solitons
in optical fibres,” COMPEL, vol. 26, no. 4, p. 1105, 2007.F. Drouart, G. Renversez, A. Nicolet, and
C. Geuzaine, “Spatial Kerr solitons in optical fibers of finite size cross section : beyond the townes soliton,”
submitted to Optics Exp., 2008.
[8] R. Y. Chiao, E. Garmire, and C. H. T.ownes, “Self-trapping of optical beams,” Phys. Rev. Lett., vol. 13,
no. 15, p. 479, 1964.G. Fibich and A. L. Gaeta, “Critical power for self-focusing in bulk media and in
hollow waveguides,” Optics Lett., vol. 25, p. 335, 2000.