SOLITONS SPATIAUX DANS LES GUIDES D`ONDES

S OLITONS SPATIAUX DANS LES GUIDES D ’ ONDES :
AU - DEL À DU SOLITON DE T OWNES
G. Renversez1 , F. Drouart1 , A. Nicolet1 and C. Geuzaine2
1
Institut Fresnel, UMR CNRS 6133, Université Aix-Marseille, F-13397 Marseille Cedex 20, France
2 Université de Liège, Institut Montefiore, B28, Sart-Tilman, B-4000 Liège, Belgique
[email protected]
R ÉSUM É
Nous avons développé une méthode numérique pour calculer les solitons spatiaux dans les
fibres conventionnelles ou microstructurées en présence d’un effet Kerr optique. Les solutions obtenues sont des solutions nonlinéaires auto-cohérentes tenant compte de la section
des guides d’ondes modélisés. Nous montrons que les solutions obtenues pour ces deux type
de fibres sont différentes du soliton de Townes. Nous prouvons aussi que la solution nonlinéaire auto-cohérente calculée pour un milieu homogène nonlinéaire diffère du soliton de
Townes du fait de la prise en compte de la constante de propagation non fixée a priori comme
c’est le cas pour ce dernier. Mais dans ces trois cas, nous retrouvons le soliton de Townes
aux courtes longueurs d’onde.
M OTS - CLEFS : soliton de Townes; solitons spatiaux; effet Kerr optique; fibre optique
microstructurée; solution nonlinéaire auto-cohérente
1.
I NTRODUCTION
Les méthodes numériques permettant la modélisation des propriétés linéaires de fibres optiques
microstructurées sont disponibles depuis plusieurs années [1]. La modélisation des effets non-linéaires
est plus complexe, et bien que plusieurs méthodes soient disponibles, aucune n’est complètement satisfaisante [2, 3]. D’un côté, il y a les nombreux travaux basés sur l’équation de Schrödinger non-linéaire
(ESNL), qui ne prennent pas en compte la section du guide d’onde, mais se concentrent sur l’évolution
temporelle d’un pulse se propageant le long de l’axe de la fibre. L’ESNL et sa version vectorielle sont
∇.E
E ) dans ∇ × ∇ × E peut être
obtenues à partir des équations de Maxwell en supposant que le terme ∇ (∇
négligé et que l’approximation de l’enveloppe lentement variable est valide. D’un autre côté, on trouve
des travaux (moins nombreux) basés directement sur les équations de Maxwell ou leur approximation
scalaire, qui tiennent compte du profil optogéométrique transverse de la fibre. Les différences entre ces
deux approches ont été étudiées en profondeur dans les références suivantes [2, 4]. Notre travail s’inscrit
dans le second groupe : il est basé sur la résolution numérique de l’approximation scalaire des équations
de Maxwell avec un non-linéarité de type Kerr. Nous améliorons les études précédentes de plusieurs
manières. Ainsi, contrairement au travail publié par Ferrando et al. [5] nous ne périodisons pas artificiellement la section de la fibre, ce qui permet de mieux prendre en compte les propriétés de symétrie. Second
aspect plus important, nous n’employons pas l’algorithme à puissance fixée comme dans la référence [5].
Dans cet algorithme, à chaque étape du processus itératif établi pour construire la solution non-linéaire,
la puissance de la solution intermédiaire est renormalisée à la puissance fixée choisie en entrée de l’algorithme. Notre nouvel algorithme détermine par lui-même la puissance de la solution, en se basant
uniquement sur la minimisation d’un résidu ce qui évite les instabilités numériques qui limitent les puissances accessibles à l’algorithme à puissance fixée. Troisième aspect distinguant ce travail, notamment
par rapport à celui de Snyder et al. [6], notre algorithme peut traiter les milieux inhomogènes.
Nous avons déjà décrit les détails techniques de notre méthode dans d’autres publications [7]. Dans
ce résumé, nous ne décrivons que les principales propriétés obtenues pour le soliton spatial fondamental
même si la méthode développée peut être utilisée pour les solitons spatiaux d’ordres supérieurs.
2.
AU DEL À DU SOLITON DE T OWNES
Notre méthode nous permet d’obtenir le soliton spatial de plus grande énergie ayant une dépendance
harmonique en temps et ayant une constante de propagation bien définie c’est à dire la solution autocohérente propagative du problème non-linéaire (scalaire dans cette étude) tenant compte de l’effet Kerr
optique et du profil transverse de la fibre. Au dessus de cette énergie, l’instabilité d’auto-focalisation
apparaı̂t. Ainsi en partant de deux configurations initiales différentes (voir les figures 1(a) et 1(b), nous
obtenons une unique solution, la solution auto-cohérente non-linéaire (voir la figure 1(c)).
(a) σ0 = 4.0 μm.
(b) σ0 = 10.0 μm.
(c) Zoom du cœur de la
fibre.
F IG . 1: Distribution du champ scalaire dans une fibre microstructurée à cœur plein à λ = 5.0 μm pour
deux champs initiaux gaussiens ((a) et (b)) et pour le soliton fondamental (c).
On peut donc se poser la question de savoir si les solutions obtenues pour une fibre microstructurée
à cœur plein ou une fibre conventionnelle correspondent à la solution calculée pour un milieu homogène
avec une non-linéairité de type Kerr. La réponse est négative comme le montre clairement la figure 2(a).
En effet, on y voit clairement que le soliton spatial de plus haute énergie de la fibre à saut d’indice dépend
du rayon du cœur. Ceci entraı̂ne que, même dans le cas non-linéaire, l’interface cœur/gaine jour un rôle.
Comme prévu, on remarque aussi que plus le rayon du cœur de la fibre est grand plus la différence
avec la solution obtenue pour le milieu homogène se réduit. Le même phénomène est observé pour la
fibre microstructurée où la solution non-linéaire auto-cohérente ne correspond pas à celle obtenue pour
le milieu homogène. La figure 2(a) montre que plus les inclusions sont petites, plus la différence avec le
milieu homogène décroı̂t. On constate également que plus la longueur d’onde est petite plus le rôle des
inclusions est faible, le soliton étant plus confiné.
Le soliton de Townes est la solution du problème de propagation dans un milieu homogène nonlinéaire en fixant a priori la constante de propagation. Il correspond à la solution critique avant l’instabilité d’auto-focalisation [8]. Pour comparer cette solution spécifique et les solutions que nous avons
obtenues nous avons recalculé le profil et la puissance du soliton de Townes. Il est crucial de noter que ce
profil s’obtient en résolvant un problème à une dimension avec des conditions sur 2 bords alors que pour
nos solutions nous devons résoudre un problème aux valeurs propres puisque la constante de propagation
est à déterminer.
A partir du profilnormalisé du soliton de Townes noté R(r), on peut définir un coefficient de
puissance critique Ncr = Ω |R|2 rdr ≈ 1.862 où Ω est le domaine d’intégration [8]. Pour notre formulation
du problème qui fait intervenir la constante de propagation β , on peut définir un coefficient de puissance
8π 2 n2 n
auto-cohérente associée aux solutions du même nom Ncoh = β λ03 2 Pp où Pp est la puissance physique du
soliton définie à partir du vecteur de Poynting et où n0 est l’indice de réfraction linéaire de la matrice.
La figure 2(b) décrit l’évolution, en fonction de la longueur d’onde, du coefficient Ncoh pour le
soliton spatial associé au milieu homogène non-linéaire. Comme attendu, le coefficient Ncoh de cette
solution tend vers le coefficient Ncr du soliton de Townes aux courtes longueurs d’onde. On remarque
que le coefficient Ncoh décroı̂t avec la longueurs d’onde pour les deux types de fibres étudiées. On observe
aussi la cohérence des résultats obtenus que cela soit en fonction du rayon de la fibre à saut d’indice ou
en fonction de la taille des inclusions de la fibre microstructurée.
1.90
Homogeneous medium
2.40
Townes soliton
Step-index fibers
MOFs
μm
1.80
1.70
1.80
re
=
0
3.
R co
a5
=
5
2.
2.0
1.60
μm
μm
co
10.0
1.10
0.0
Homogeneous medium
Step-index fibers
λ (μm)
1.0
2.0
μm
μm
μm
8.0
2.
0
2.
6.0
0
=
4.0
3.
e
2.0
=
5
1.30
MOFs
0.0
=
re
co
1.40
1.20
1.40
re
R
or
m
.5 μ
=1
a 3 .0 μm
1
a 2 = .5 μm
0
a1 =
a4
R
1.50
a1 =
0.5
μm
a2 =
1.0
μm
a
3 =1
.5 μ
m
a
4 =
2.0
μm
a
5 =
2.5
μm
Rc
1.60
μm
=
Ncoh
μm
R
co
r
e
=
2.
5
2.00
R
neff = β / k0
co
re
=2
.0
2.20
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
λ (μm)
(a) Indices effectifs. Les valeurs des rayons des fibres à (b) Coefficient de puissance auto-cohérente Ncoh . La ligne
saut d’indice Rcore sont données sur les courbes correspon- grise horizontale est le coefficient de puissance critique
Ncr = 1.862 du soliton de Townes.
dantes.
F IG . 2: Propriétés des solitons spatiaux en fonction de la longueur d’onde λ pour différentes fibres nonlinéaires et pour un milieu non-linéaire homogène. Les fibres microstructurées sont constituées de 4
couches de trous de rayons a et Λ = 6.0 μm. ngaine = 1.435, ncœur = nmat = 1.45, ntrous = 1.
C ONCLUSION
Nous avons décrit certaines des propriétés des solutions non-linéaires auto-cohérentes obtenues
dans des fibres à saut d’indice ou microstructurées et dans un milieu homogène en présence d’un effet Kerr optique. Ces solutions, qui tiennent compte des profils optogéométriques des fibres, correspondent aux solitons spatiaux de plus haute énergie possible avant l’instabilité d’auto-focalisation. Elles
convergent vers le soliton de Townes aux courtes longueurs d’onde. L’étude de ces solitons spatiaux dans
le cas vectoriel est en cours.
R ÉF ÉRENCES
[1] B. Kuhlmey, T. P. White, G. Renversez, D. Maystre, et al., “Multipole method for microstructured optical
fibers II : implementation and results,” J. Opt. Soc. Am. B, vol. 10, no. 19, p. 2331, 2002.F. Zolla, G. Renversez, A. Nicolet, B. Kuhlmey, et al., Foundations of Photonic Crystal Fibres. London : Imperial College
Press, 2005.
[2] Y. Chen and J. Atai, “Maxwell’s equations and the vector nonlinear Schrödinger equation,” Phys. Rev. E,
vol. 55, p. 3652, 1997.
[3] Y. S. Kivshar and G. P. Agrawal, Optical Solitons. Amsterdam : Academic Press, 2003.
[4] N. Akhmediev, A. Ankiewicz, and J. M. Soto-Crespo, “Does the nonlinear schrödinger equation correctly
describe beam propagation ?” Opt. Lett., vol. 18, no. 6, p. 411, 1993.A. Ciattoni, B. Crossignani, P. D.
Porto, and A. Yariv, “Perfect optical solitons : spatial Kerr solitons as exact solutions of Maxwell’s
equations,” J. Opt. Soc. Am. B, vol. 22, no. 7, p. 1384, 2005.
[5] A. Ferrando, M. Zacarés, P. F. de Cordoba, D. Binosi, and J. A. Monsoriu, “Spatial soliton formation in
photonic crystal fibers,” Optics Exp., vol. 11, no. 5, p. 452, 2003.
[6] A. W. Snyder, D. J. Mitchell, and Y. Chen, “Spatial solitons of Maxwell’s equations,” Optics Lett., vol. 19,
no. 8, p. 524, 1994.
[7] A. Nicolet, F. Drouart, G. .Renversez, and C. Geuzaine, “A finite element analysis of spatial solitons
in optical fibres,” COMPEL, vol. 26, no. 4, p. 1105, 2007.F. Drouart, G. Renversez, A. Nicolet, and
C. Geuzaine, “Spatial Kerr solitons in optical fibers of finite size cross section : beyond the townes soliton,”
submitted to Optics Exp., 2008.
[8] R. Y. Chiao, E. Garmire, and C. H. T.ownes, “Self-trapping of optical beams,” Phys. Rev. Lett., vol. 13,
no. 15, p. 479, 1964.G. Fibich and A. L. Gaeta, “Critical power for self-focusing in bulk media and in
hollow waveguides,” Optics Lett., vol. 25, p. 335, 2000.