Correction du Bac Blanc de février 2016

Terminale ES-L Corrig´e du Bac Blanc de f´evrier 2016
Correction du Bac Blanc de f´evrier 2016
Exercice 1 :
Les questions 1, 2 et 3 sont ind´ependantes.
1. La direction d’une entreprise d´ecide de diminuer de 6 % par an pendant 5 ans, le budget consacr´e aux frais de
d´eplacements de ses commerciaux.
Diminuer de 6 % revient `a multplier par 0,94. Ainsi, une dininution de 6 % par an pendant 5 ans revient `a
multiplier par 0,945≈0,734, soit une baisse de 26,6% environ ((1 −0,734) ×100).
2. Une entreprise informatique produit et vend des cl´es USB. La production mensuelle varie entre 0 et 10 000
cl´es.
Le b´en´efice mensuel, exprim´e en milliers d’euros, peut ˆetre mod´elis´e par la fonction Bd´efinie sur l’intervalle
[0 ; 10] par B(x) = −x2+ 10x−9, o`u xrepr´esente le nombre de milliers de cl´es produites et vendues.
a) Dressons le tableau de signe de B(x)sur l’intervalle [0 ; 10].
Il s’agit d’un polynˆome du second degr´e :
∆ = b2−4ac = 102−4×(−1) ×(−9) = 64
∆>0, donc il existe deux solutions r´eelles distinctes.
x1=−b−√∆
2a=−10 −√64 2×(−1) =−10 −8 −2=−18 −2= 9
x2=−b+√∆
2a=−10 + √64 2×(−1) =−10 + 8 −2=−2 −2= 1
D’o`u le tableau de signes de B(x)sur [0 ; 10] :
x
−x2+ 10x−9
a=−1<0
0 1 9 10
0 0
−+−
b) Best d´erivable sur [0 ; 10] et B′(x) = −2x+ 10,∀x∈[0 ; 10].
−2x+ 10 = 0 ⇐⇒ x= 5
D’o`u le tableau de variation de B(x)sur [0 ; 10] :
x
−2x+ 10
a=−2<0
B(x)
0 5 10
0
+−
−9−9
16
Best croissante sur [0 ; 5] et d´ecroissante sur [5 ; 10].
c) D’apr`es la question 2) a, le nombre de cl´es USB `a produire et `a vendre pour que le b´en´efice mensuel soit
positif est compris entre 1 000 et 9 000.
d) D’apr`es la tableau de variation de la fonction Bsur [0 ; 10], le b´en´efice mensuel est maximal pour une
production de 5 000 cl´es USB et ce b´en´efice maximal est alors de 16 000 e.
3. On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = (1 + x)e3x+1.
a) f(x)>0⇐⇒ 1 + x > 0car e3x+1 >0sur R⇐⇒ x > −1.
S=] −1 ; +∞[.
b) fest d´erivable sur Rcomme produit et compos´ee de fonctions d´erivables
f′(x) = 1 ×e3x+1 + (1 + x)(3e3x+1)
= (1 + 3 + 3x)e3x+1
= (4 + 3x)e3x+1
Ainsi, f′(x) = (4 + 3x)e3x+1,∀x∈R.
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´
Etudions le signe de f′(x)sur R:
∗4 + 3x= 0 ⇐⇒ x=−4
3
∗e3x+1 >0sur Rdonc le signe de f′(x)d´epend du signe de 4 + 3xsur R.
∗D’o`u le tableau de variation de fsur R
x
f′(x)
a=3>0
f(x)
−∞ −4
3+∞
0
−+
−1
3e−3
f(−4
3) = (1 −4 3)e3×(−4
3)+1 =−1
3e−3
fest d´ecroissante sur ]− ∞ ;−4
3]et croissante sur [−4 3; +∞[.
c) f(−1
3) = (1 −1 3)e3×(−1
3)+1 =2
3e0=2 3=⇒f(−1 3) = 2 3.
Exercice 2 :
Dans un magasin sp´ecialis´e en ´electrom´enager et multim´edia, le responsable du rayon informatique fait le bilan
sur les ventes d’ordinateurs portables, de tablettes, et d’ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon
informatique propose une extension de garantie.
Le responsable constate que 28 % des acheteurs ont opt´e pour une tablette, et 48 % pour un ordinateur portable.
Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur ach`ete un unique produit entre tablette, ordinateur portable,
ordinateur fixe, et qu’il peut souscrire ou non une extension de garantie.
Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, 5 % ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant
acquis un ordinateur fixe, 12,5 % ont souscrit une extension de garantie.
On choisit au hasard un de ces acheteurs.
On note :
Tl’´ev`enement «l’acheteur a choisi une tablette »;
Ml’´ev`enement «l’acheteur a choisi un ordinateur portable »;
Fl’´ev`enement «l’acheteur a choisi un ordinateur fixe »;
Gl’´ev`enement «l’acheteur a souscrit une extension de garantie ».
On note aussi F , M , T , G les ´ev`enements contraires.
1.
T
0,28
G
0,05
G
0,95
M
0,48
G
?
G
?
F
0,24 G
0,125
G
0,875
La probabilit´e d’un chemin est ´egale au produit des poids situ´es sur les branches de ce chemin.
2. P(F) = 1 −P(T)−P(M) = 1 −0,28 −0,48 = 0,24 =⇒P(F) = 0,24
P(F∩G) = PF(G)×P(F) = 0,125 ×0,24 = 0,03.
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3. On sait de plus que 12 % des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie
c’est-`a-dire P(M∩G) = 0,12
PM(G) = P(M∩G)
P(M)=0,12 0,48 = 0,25.
La probabilit´e qu’un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie est 0,25.
4. T,Met Fforment une partition de l’univers. D’apr`es la formule des probabilit´es totates,
P(G) = P(G∩T) + P(G∩M) + P(G∩F)
=PT(G)×P(T) + PM(G)×P(M) + PF(G)×P(T)
= 0,05 ×0,28 + 0,25 ×0,48 + 0,125 ×0,24
= 0,164
Ainsi, P(G) = 0,164.
Exercice 3 :
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
12345−1−2−3−4O
×
×
C
T
A
B
∆x= 2
∆y=−2
Partie A
Dans le plan muni d’un rep`ere orthogonal, la courbe
Crepr´esente une fonction fd´efinie sur l’ensemble R
des nombres r´eels.
La tangente T`a la courbe Cau point A(0 ; −4)
passe par le point B(2 ; −6).
On d´esigne par f′la fonction d´eriv´ee de f.
1. a) f(0) = −4car A(0 ; −4) ∈C.
b) f′(0) = ∆y
∆x=−2
2=−1.
2. a) On admet qu’il existe deux r´eels aet btels que,
pour tout r´eel x, f (x) = (x+a)ebx.
fest d´erivable sur Rcomme produit et com-
pos´ee de fonctions d´erivables
f′(x) = 1 ×ebx + (x+a)(bebx)
= (1 + bx +ba)ebx
= (bx +ab + 1)ebx
donc pour tout r´eel x, f ′(x) = (bx+ab+1)ebx.
b) On sait que f(0) = −4. On a f(0) = (0 + a)eb×0=ad’o`u a=−4
De plus, f′(0) = −1. On a f′(0) = (b×0+ab+1)eb×0=ab+1 = −4b+1 d’o`u −4b+1 = −1⇐⇒ b=1
2.
Ainsi f(x) = (x−4)e
1
2x.
Partie B
On consid`ere maintenant la fonction fd´efinie pour tout r´eel xpar f(x) = (x−4)e0,5x.
1. fest d´erivable sur Rcomme produit et compos´ee de fonctions d´erivables
f′(x) = 1 ×e0,5x+ (x−4)(0,5e0,5x)
= (1 + 0,5x−2)e0,5x
= (0,5x−1)e0,5x
Ainsi, f′(x) = (0,5x−1)e0,5x, pour tout r´eel x.
´
Etudions le signe de f′(x)sur R:
∗0,5x−1 = 0 ⇐⇒ x= 2
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∗e0,5x>0sur Rdonc le signe de f′(x)d´epend du signe de 0,5x−1sur R.
∗D’o`u le tableau de variation de fsur R
x
f′(x)
a=0,5>0
f(x)
−∞ 2+∞
0
−+
−2e
f(2) = (2 −4)e0,5×2=−2e
fest d´ecroissante sur ]− ∞ ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[.
2. a) f′est d´erivable sur Rcomme produit et compos´ee de fonctions d´erivables
f′(x) = 0,5×e0,5x+ (0,5x−1)(0,5e0,5x)
= (0,5 + 0,25x−0,5)e0,5x
= 0,25xe0,5x
Ainsi, pour tout r´eel x, f ′′ (x) = 0,25xe0,5x.
b) f′′(x) = 0 ⇐⇒ 0,25x= 0 car e0,5x>0sur R⇐⇒ x= 0.
x
f′′ (x)
a=0,25>0
−∞ 0+∞
0
−+
Ainsi, f′′ s’annule et change de signe uniquement en 0. Donc le point d’abscisse 0de la courbe C, c’est-
`a-dire le point A, est le seul point d’inflexion de la courbe C.
c) f(0) = −4et f′(0) = −1.
T:y=f′(0)(x−0) + f(0)
T:y=−1(x−0) + (−4)
T:y=−x−4
Une ´equation de la tangente T`a la courbe repr´esentative de fau point d’abscisse 0est y=−x−4.
3. On consid`ere la fonction gd´efinie pour tout r´eel xpar g(x) = f(x) + x+ 4. On admet que la fonction gest
croissante sur R.
a) g(0) = f(0) + 0 + 4 = −4 + 0 + 4 = 0 =⇒g(0) = 0
Puisque gest strictement croissante sur Ret s’annule en 0,gest n´egative sur ]−∞ ; 0] puis positive sur
[0 ; +∞[.
x
g(x)
−∞ 0+∞
0
−+
b) Pour ´etudier la position de la courbe Cpar rapport `a sa tangente T, on ´etudie la signe de la diff´erence
f(x)−(−x−4) = f(x) + x+ 4 = g(x).
g(x)<0sur ]−∞ ; 0] donc f(x)<−x−4sur ]−∞ ; 0]. La courbe Cest en-dessous de la tangente
Tsur ]− ∞ ; 0].
g(x)>0sur [0 ; +∞[donc f(x)>−x−4sur [0 ; +∞[. La courbe Cest au-dessus de la tangente
Tsur [0 ; +∞[.
Exercice 4 :
La biblioth`eque municipale ´etant devenue trop petite, une commune a d´ecid´e d’ouvrir une m´ediath`eque qui pourra
contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l’ouverture pr´evue le 1er janvier 2016, la m´ediath´eque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l’ancienne
biblioth`eque augment´e de 7 000 ouvrages suppl´ementaires neufs offerts par la commune.
Partie A
Chaque ann´ee, la biblioth´ecaire est charg´ee de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abˆım´es, et d’acheter
6 000 ouvrages neufs.
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On appelle unle nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’ann´ee (2016 + n).
On donne u0= 42.
1. Diminuer le stock de 5 % revient `a le multiplier par 0,95. De plus, 6 000 ouvrages neufs sont achet´es. Donc,
pour tout entier naturel n, on a un+1 =un×0,95 + 6.
2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.
Variables :Nest un entier naturel
Uest un r´eel
Initialisation : Affecter `a Nla valeur 0
Affecter `a Ula valeur 42
Traitement : Tant que U < 100, faire :
Affecter `a Ula valeur U×0,95 + 6
Affecter `a Nla valeur N+ 1
Fin Tant que
Sortie : Afficher N
Cet algorithme calcule et affiche le plus petit entier naturel ntel que un>100. Cette valeur de ncorrespond
au nombre d’ann´ees n´ecessaires pour que le stock d´epasse 100 000 ouvrages.
3. ` A l’aide de la calculatrice, u26 ≈99,45 et u27 ≈100,47. La valeur affich´ee est donc 27.
Partie B
La commune doit finalement revoir ses d´epenses `a la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages
par an au lieu des 6 000 pr´evus.
On appelle vnle nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’ann´ee (2016 + n).
1. Il faut modifier l’instruction «Affecter `a Ula valeur U×0,95+6 »par «Affecter `a Ula valeur U×0,95+4 ».
2. On admet que vn+1 =vn×0,95 + 4 avec v0= 42.
On consid`ere la suite (wn)d´efinie, pour tout entier n, par wn=vn−80.
wn+1 =vn+1 −80
= 0,95vn+ 4 −80
= 0,95vn−76
= 0,95 vn−76
0,95
= 0,95 (vn−80)
= 0,95 ×wn
Ainsi, wn+1 = 0,95 ×wnpour tout entier n. On en d´eduit que la suite (wn)est une suite g´eom´etrique de
raison q= 0,95 et de premier terme w0=v0−80 = −38.
3. a) La suite (wn)est une suite g´eom´etrique de raison q= 0,95 et de premier terme w0=−38
donc wn=w0qnd’o`u wn=−38 ×0,95n, pour tout entier n.
wn=vn−80 ⇐⇒ −38 ×0,95n=vn−80 ⇐⇒ vn= 80 −38 ×0,95n
Ainsi, vn= 80 −38 ×(0,95)n, pour tout entier n.
b) 0<0,95 <1donc lim
n→+∞0,95n= 0. Par op´erations sur les limites, on a lim n→+∞vn= 80.
c) Au bout d’un tr`es grand nombre d’ann´ees, le stock approchera les 80 000 ouvrages.
Cela signifie ((wn)´etant croissante (`a d´emontrer)) que le stock n’atteindra jamais la capacit´e maximale (100 000
ouvrages) de la biblioth`eque.
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