CHAPITRE 8 LES REGULATEURS DISCRETS STANDARD 8.1. GENERALITES Le régulateur discret élabore une grandeur de commande discrète y*(t) en fonction de l'écart de réglage discret £*(t) du système à commander. Selon la complexité du régulateur, la grandeur de commande à l'instant t = nT est formée en fonction de la valeur de l'écart à cet instant, mais aussi aux instants précédents (n-l)T, (n-2)T,... Comme dans le cas des régulateurs continus qui réalisent généralement la relation : y(t) = kpe(t) + Jr| e(t)dt + T d ^ J0 Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES on crée des régulateurs discrets standard qui traduisent en valeurs discrètes cette expression. Les régulateurs les plus courants sont du type : P.I, P.D, P.LD, voire P.D2 et P.LD2. Si l'action Proportionnelle P est des plus simples, les actions intégrale, dérivée et dérivée-double méritent une certaine attention. 8.2. LES DIFFERENTES ACTIONS 8.2.1. Action intégrale I Le régulateur I intègre l'écart de réglage en fonction du temps. Cependant, dans le domaine des régulateurs discrets, l'intégration est remplacée par une sommation de l'écart de réglage discret £*(t). En toute rigueur, on devrait donc parler de régulateursommateur... équation discrète : yi(nT)= Ki£ £ GT) j =0 Ki = i M équation récurrente : Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES 1 1 y (nT) = y [(n-l)T] + K i e(nT) pour plus de commodité, on posera, à l'instant considéré : y1 = yÏ! + K; e fonction de transfert : jz v) _ y ( ) _ KK. z _KKl . i C( C (Z) ' -e(z)- 'z-l- i-z-i diagramme structurel : A l'aide de l'équation récurrente (forme récursive) et en observant que le bloc z"1 introduit le décalage de y1 en y^, on peut représenter la relation qui lie y1 à 8 par le schéma ci-après, appelé diagramme structurel qui met bien en évidence la mise en mémoire de la valeur de la grandeur y afin de l'utiliser à la période suivante : © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. NOTES PERSONNELLES 8.2.2. Action dérivée D L'action dérivée se traduit par un terme proportionnel à la différence des écarts de réglage aux instants d'échantillonnage nT et (n-l)T. équation discrète : yd(nT) = Kd[£(nT)-e[(n-l)frD soit avec Kd = ^ yd = Kd[£-£_i] fonction de transfert : Cd(Z) = ^ = K d ^ = K d (l-z-i) 8(Zj diagramme structurel : © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. ^ NOTES PERSONNELLES 8.2.3. Action dérivée-seconde D2 Soit le cas où le régulateur comporte un terme en dérivée- seconde, du type : d2e(t) dt2 L'action dérivée-seconde discrète s'approxime par un développement limité au deuxième ordre de l'écart £*(t), d'où la relation explicite liant l'écart aux instants nT, (n-l)T et (n-2)T à la grandeur de sortie yd2(nT). équation discrète : yd2 (nT) = Kd2 [e (nT) - 2e [(n-1 )T] + e [(n-2)T]] 2 avec Kd2 = —2 Soit : yd2 = Kd2 [e -28.! + e 2] T fonction de transfert : Cd2(z) = ^f=K d 2 (l-2z-i+ Z - 2 ) t^Zj Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES 8.3. LES REGULATEURS STANDARD 8.3.1. Le régulateur Proportionnel-Intégral P.I Le régulateur P.I est une combinaison d'un régulateur P et d'un régulateur I. équation discrète : y(nT) = K p £(nT) + K i 5;£(jT) j=o Comme précédemment, l'action intégrale peut s'exprimer par : KiÊe()T) = Ki J£0T) + Ki8(nT) j=0 soit: j=0 yi(nT) = yi[(n-l)T] + K* e(nT) Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES d'où : y(nT) = yï(n-l)T] + (Kp + K;) e(nT) y = yi 1 +(K p + K i ) e fonction de transfert : z bl z + b bl r<Vï ° - -—^— + bo z-1 C ^ --KKp + +K K,— --—^— avec : bi = Kp + KÎ et b0 =-Kp Le régulateur P.I est un système discret du premier ordre, ayant un pôle égal à 1. Le régulateur P.I peut donc annuler l'écart de réglage, en régime établi, dû à une sollicitation en échelon de position (c.f. § 6.1.2). Réponse impulsionnelle : y(z) = b1+b0Z-l £(z) 1 -Z' 1 Si : e*(t) = ô(t) alors : e(z) = 1 et y(z) = b i + b o Z - i = b i + £ ( b o + bi)z.n 1 - z"! Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. n=l chapitre 8 : Régulateurs standard oo soit y(z) = (Kp + Ki) + K i £ z-" n=l OO et y*(t) = (Kp + Ki) ô(t) + K{ ]T ô(t - nT) n=l ou encore : oo y*(t) = Kp8(t) + Ki 2 ô(t-nT) n=0 y*(t) = Kp ô(t) + Ki ÔT<t) Diagramme structurel : Le diagramme structurel du régulateur P.I se déduit aisément de son équation discrète : Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard 8.3.2. Le régulateur universel P.I.D Le régulateur P.I.D se base sur le régulateur P.I, auquel on ajoute une composante dérivée. équation discrète : y(nT) = Kp e(nT) + Ki £ e(JT) + Kj [e(nT) - e [(n-l)T]] j=o soit : y(nT) = yi [(n-l)T] + (Kp + Kj + Kd) 8 (nT) - Kd e [(n-l)T] y = (Kp + Ki + Kd) e + yl, - Kd e_i Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES fonction de transfert : Qz^Kp + K^ + Kd^ soit: C(^=^^i^^ z(z-l) avec: b2 = Kp + Kj + Kd , bi=-(K p + 2Kd) , b0 = Kd Le régulateur P.I.D est un système du second ordre ; sa fonction de transfert possède un pôle nul et un pôle égal à 1. Comme le régulateur P.I, il est capable d'annuler Vécart déposition en régime établi. Ses pôles ne dépendent en aucune façon du réglage des actions Proportionnelle, Intégrale et Dérivée. Les coefficients Kp, K{ et Kd n'interviennent que dans le numérateur de la transmittance et par conséquent que sur ses zéros. Réponse impulsionnelle : On peut aussi écrire : oo C(z) = (Kp + Ki + Kd) + (Ki - Kd)z-i + Ki 2 z-° n=2 Soit, si Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. e*(t) = 8(t) chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES oo y*(t) = (Kp + Ki + Kd) 8(t) + (Ki - Kd) ô(t-T) + Kj ]T 5(t-nT) n=2 ou encore : y*(t) = Kp 8(t) + Kj dMt) + Kd [8(t) - ô{t-T)] diagramme structurel : Le diagramme structurel d'un régulateur P.LD peut prendre plusieurs formes comme indiqué dans les schémas ci-dessous : © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. La forme a convient mieux à la programmation de ce régulateur. En effet, cette représentation s'appuyant sur l'équation récurrente : y = (Kp + KI + Kd) £ + ylj - Kd £_i permet d'écrire l'algorithme de réglage à l'aide d'un pseudo-langage de programmation, du type : données : Kp K, Kd Kpid = Kp + KI + Kd Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES x = yii y = Kpid 8 + x - Kd 8_i sortir : y x = x + Kj 8 e_! = 8 Pour l'exécution de l'algorithme de réglage, on doit respecter la séquence prescrite. Tout de suite après le calcul de la grandeur de commande y, le calculateur de processus peut appliquer cette nouvelle valeur au système à régler. L'incrémentation de x par Kj 8 et ensuite l'échange de 8 à 8_t peuvent se faire, en temps masqué, dans l'intervalle jusqu'au prochain instant d'échantillonnage. Dans ce cas on doit imposer une valeur initiale adéquate à la grandeur auxiliaire x. En plus, on a aussi besoin d'une valeur initiale pour l'écart de réglage 8_j. En général, on choisira au début : x = 0 et 8_j = 0. Remarque : bien souvent dans les régulateurs standard, aussi bien continus que numériques, l'action P est commune aux autres actions I et D. La structure d'un régulateur P.I.D se présente alors selon le schéma ci-dessous : Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES 8.4. CHOIX ET DIMENSIONNEMENT DES REGULATEURS P.I.D NUMERIQUES 8.4.1. La boucle de régulation La structure classique d'une boucle de régulation numérique se présente de la manière suivante : © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. NOTES PERSONNELLES L'ensemble Bloqueur-Processus a pour fonction de transfert : ™-<'-H^-$ Selon le type d'actions choisi, le régulateur présente une transmittance que Ton peut mettre sous la forme : °»-$ où seuls les coefficients de R(z) sont dépendants des constantes de réglage des actions P, I, D, D2... présentes dans la boucle (c.f. § 8.3.2). De plus, on introduit dans la chaîne une possibilité de réglage du gain statique en boucle ouverte de telle sorte que la fonction de transfert en boucle ouverte du système corrigé soit : HUz) = k.C<z).H<(z) = k.|i|.5| Le choix du réglage des différentes actions du régulateur est conditionné par les caractéristiques présentées par le processus à contrôler. Le choix et le dimensionnement des régulateurs-standard se basent sur le principe de la compensation des pôles du système à régler par les zéros du régulateur, de telle sorte que le degré de la fonction de transfert du circuit de réglage ouvert soit plus petit que celui de l'ensemble régulateur-processus. Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES 8.4.2. Processus à réguler sans comportement intégral F(p) ne présentant pas d'intégrations (terme en —), la transmittance H'(z) ne P présentera pas de pôle égal à 1 ; c'est-à-dire que le polynôme A(z) ne possédera pas de racine égale à 1. R ( z ) B(Z) H H bhof(z Z) ) -k ~ k S(^-A(^ On préconisera ici l'emploi d'un régulateur P.I.D, dont on calculera les coefficients Kp, IQ et Kd de telle sorte que l'on ait : R(z)=A(z) alors: Hbo(z) = k soit : Hbo(z) = k ^z(z-l) f(f (cf. § 8.3.2) le pôle z = 1 de Hbo(z) assure alors un écart nul à une entrée en échelon de position (action intégrale). Ensuite, on détermine k de manière à obtenir un système stable. Il faut donc choisir ce coefficient multiplicatif de telle sorte que les racines de l'équation caractéristique : z(z-l) + kB(z) = 0 Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES soient à l'intérieur du cercle de rayon-unité. 8.4.3. Processus à régler avec comportement intégral Le système à compenser possède une intégration, donc un pôle égal à 1 ; c'est le cas classique de l'asservissement de position. L'ensemble Bloqueur-Processus présente une fonction de transfert de la forme : H'(z) = B(z) v / (z-l)A(z) /B(l)*o avec { |A'(l)*o H'(z) possédant un pôle égal à 1 (comportement intégral), il est inutile d'en ajouter un autre par une action-intégrale ; on utilisera par exemple un régulateur de type P.D.D2, dont la fonction de transfert peut se représenter par : C(z) = Cp(z) + Cd(z) + Cd2(z) Ce qui conduit à : CM - bo + b i z + b 2 z 2 _ R(z) C(z) - iï "sôô C(z) possède un pôle double nul qui provient de l'action dérivée-seconde ; les racines de R(z) sont liées aux coefficients des différentes actions : Kp, Kd, Kd2. De la même façon que précédemment, en introduisant le coefficient multiplicatif k, on obtient : Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard NOTES PERSONNELLES Hbo(Z, = kC( Z ,H'( Z ) = k||.s^ On calcule alors les coefficients b0, b, et b 2 de telle façon que l'on puisse obtenir l'égalité : R(z) = A'(z) d '°Ù: soit: Hb (z) = k ° (zffe) Hbo(z) = k-^L2 (z-l)z La présence du pôle égal à 1 assure une erreur de position nulle en régime établi. H bf (z) = kB ^ 2 (z-l)z + kB(z) le coefficient k est déterminé pour assurer la stabilité de l'ensemble ; c'est-à-dire qu'il est choisi de telle façon, que les racines de l'équation caractéristique : (z-l)z 2 +kB(z) = 0 soient toutes à l'intérieur du cercle de rayon-unité. Automatique - S.A.E. © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés. chapitre 8 : Régulateurs standard