Ondes dans les milieux diélectriques
publicité
Ondes dans les milieux diélectriques PC*/PC 1 I) Notions d’électromagnétisme dans les milieux diélectriques : Dans la matière, un champ EM agit sur les atomes, les molécules ou les ions en les déformant. Le milieu matériel va ainsi : • Se polariser sous l’action du champ électrique • S’aimanter sous l’action du champ magnétique Ces modifications vont alors provoquer l’apparition d’un champ électrique (ou magnétique) induit par le champ EM externe, qui s’ajoute à celui-ci. Le but de ce paragraphe est d’expliquer comment ces phénomènes microscopiques se traduisent à l’échelle macroscopique dans l’expression des équations de Maxwell. Dans certains milieux (métaux, plasmas), les charges se déplacent librement (on parle de charges et de courants libres). Dans les diélectriques, les charges ne se déplacent que très peu et s'organisent sous forme essentiellement de dipôles électriques (on néglige les contributions dues à l’apparition de quadripôles ou même d’octopôles électriques). Le champ électrique ne pénètre pas dans les milieux conducteurs, la densité surfacique de charges libres d’ajustant pour annuler le champ créé par les charges externes. Par contre, le champ électrique pénètre à l’intérieur d’un matériau isolant et agit sur les porteurs de charge de la matière, d’où le nom de diélectrique (du grec, signifiant « à travers »). On peut citer l’expérience de l’introduction de matière isolante entre les armatures d’un condensateur, réalisée historiquement par Faraday : on constate que la capacité augmente, d’un facteur qui dépend du matériau, appelé permittivité relative de l’isolant et notée εr. Pour maintenir le même potentiel, le générateur auquel sont reliées les armatures doit fournir une quantité d’électricité plus importante. Pour interpréter de manière qualitative cette expérience, on peut suivre la démarche suivante : • Charger un condensateur plan, puis l’isoler ; quelle conséquence cela a-t-il par la suite sur les charges libres des armatures ? • Introduire un diélectrique entre les armatures ; quelles sont les caractéristiques du vecteur polarisation dans le diélectrique ? • Qu’en déduit-on sur les charges volumiques de polarisation ? Et en surface ? (s’aider de petits dipôles) • Dans quel sens a varié le potentiel pendant l’introduction ? Et la capacité ? 2 r r r Le vecteur polarisation vaut P = ε 0 χ e E , où E est le champ total à l’intérieur du condensateur. r r Sur l’armature gauche, la charge surfacique de polarisation est σ P = P.(−ux ) = − P . Le champ r r σ r P r électrique créé par cette répartition est alors EP = − P u x = − u x = − χ e E . Par conséquent, le ε0 ε0 r champ global E , somme du champ initial et de celui créé par les charges de polarisation vaut : r r r r r E0 1 r E = E0 − χ e E soit E= = E0 1 + χe ε r 3 r Remarque : on montre bien que le vecteur D reste constant : r 1 r E = E0 εr soit r r r r D = ε 0ε r E = ε 0 E0 = D0 Quelques remarques sur la piézoélectricité : 1 – Vecteur polarisation : • Vecteur polarisation : Dans la plupart des milieux (comme l’air ou l’eau, par exemple) soumis à un champ électrique extérieur, les chargées liées se déplacent à l’échelle atomique et il apparaît alors des dipôles électriques : le milieu se polarise. 4 Un milieu susceptible de se polariser est un « diélectrique ». On peut citer différentes types de polarisation : la polarisation électronique (ou atomique), la polarisation d’orientation ou encore la polarisation ionique : * Polarisation électronique : un matériau isolant initialement neutre peut être constitué d'atomes ou de molécules présentant une symétrie telle qu'ils ne possèdent pas de moment dipolaire électrique permanent (H2, O2, …). En revanche, plongé dans un champ électrique, la molécule se déforme (le nuage électronique surtout) et le barycentre des charges négatives diffère de celui des charges positives ; il y a apparition d'un moment dipolaire induit par le champ électrique. * Polarisation d'orientation : pour des molécules polaires (ayant déjà un moment dipolaire), la présence d'un champ électrique a tendance à orienter les moments dipolaires dans le sens du champ, faisant apparaître ainsi à l'échelle mésoscopique un moment dipolaire résultant non nul. En l'absence de champ (figure (a)), l'orientation des dipôles élémentaires est aléatoire. En présence de champ (figure (b)), les dipôles ont tendance à s'orienter davantage dans la direction du champ (malgré l'effet antagoniste de l'agitation thermique). * Polarisation ionique : un cristal ionique se déforme dans un champ électrique et il apparaît alors un moment dipolaire résultant. Illustration schématique des différents mécanismes de polarisation. 5 r On note P le vecteur polarisation, défini comme étant le moment dipolaire par unité de volume : r dpr P= dτ r où dp désigne le moment dipolaire du volume mésoscopique dτ . Le vecteur polarisation peut s’exprimer sous la forme : r dpr r P= = n* p dτ où n* est la densité particulaire de moments dipolaires (nombre de dipôles par unité de volume). Modèle de polarisation électronique de l’atome : (fig) et 6 • Vecteur densité volumique de courants liés : Ces charges liées se déplacent et créent un courant de charges liées dont on peut définir son vecteur densité volumique. Volume dτ Mi : barycentre des charges négatives (qi < 0) Mi (qi) Oi Oi : noyau fixe ri vi Le vecteur polarisation vaut : r dpr 1 P= = dτ dτ ∑ qOM i i i i = 1 dτ r ∑ qr i i i (la somme s'effectue sur toutes les charges qi contenues dans le volume mésoscopique dτ). En dérivant par rapport au temps : (les points Oi sont fixes) r r r r ∂P r ∂P 1 = ; = jliées ∑ qi vi = jliées ∂t dτ i ∂t r où jliées désigne, par une définition analogue à celle du vecteur densité de courants de charges libres, le vecteur densité volumique de courants de charges ici liées. 7 • Densité de charges liées correspondantes : On peut étudier l’état électrique d’un milieu matériel polarisé en définissant une densité volumique de charges liées. En l'absence de charges et de courants libres, le principe de conservation de la charge conduit ici à: r ∂ρliées + divjliées = 0 ∂t Soit : r r r ∂ρ liées ∂P ∂ρ liées ∂ ∂ + div = + (divP ) = ρliées + divP = 0 ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t r Par conséquent, ρ liées + divP est indépendante du temps. En considérant l'état de repos du système, il vient : r ρliées + divP = 0 ( ) Ainsi, tout se passe comme si apparaissait une densité de charges liées égale à : r ρliées = −divP Ainsi, dans un milieu matériel, on pourra utiliser les équations de Maxwell dans le vide à condition de tenir compte de ces différentes densités volumiques de charges et de courants. Densité surfacique de charge de polarisation : r 1ère méthode : la relation ρ liées = − divP permet d’affirmer (par analogie à l’équation de MaxwellGauss) que : r r r P2,n − P1,n = −σ liées n1→2 r Si le milieu (2) est le vide et n le vecteur normal du diélectrique vers le vide (normale sortante) : rr σ liées = P.n 2ème méthode (neutralité du milieu) : La charge électrique portée par le diélectrique doit rester nulle ; ainsi : ∫∫∫ V ρliées dτ + ∫∫ S σ liées dS = 0 Soit : ∫∫∫ V r (−divP )dτ + ∫∫ S σ liées dS = ∫∫ S rr (− P.n + σ liées )dS = 0 rr Cette égalité doit être valable pour tout volume (V), par conséquent : σ liées = P.n . 2 – Equations de Maxwell dans les milieux : La densité totale de charges dans le milieu matériel peut s’écrire, en tenant compte des charges libres et des charges liées de polarisation : 8 r ρ = ρlibres + ρliées = ρlibres − div P De même, en tenant compte des effets de polarisation, la densité de courants devient : r r r r r ∂P j = jlibres + jliées = jlibres + ∂t Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère donnent ensuite : r ρ r 1 div E = = ( ρ libres − div P ) ε0 ε0 Et : r r r r r r ∂E ∂P ∂E + ε 0 µ0 rot B = µ0 j + ε 0 µ 0 = µ0 jlibres + ∂t ∂ t ∂t On définit le champ : r r r D = ε0E + P r D est le vecteur déplacement électrique. Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère deviennent : r div D = ρ libres r r r ∂D rot B = µ0 jlibres + ∂ t et Les deux autres équations, ne faisant pas intervenir les sources, restent inchangées : r r r ∂B div B = 0 et rot E = − ∂t On obtient ainsi les équations de Maxwell dans les milieux diélectriques. Dans la suite, on considère des milieux diélectriques dépourvus de charges et de courants libres. Les équations de Maxwell deviennent : r r r r r r ∂D ∂B div D = 0 ; rot B = µ0 ; div B = 0 ; rot E = − ∂t ∂t Remarque (discontinuités des champs) : On a montré dans le cours sur les équations locales que les discontinuités ou continuités des r r champs E et B découlaient des équations de Maxwell de la manière suivante : r r r r r div B = 0 d’où ∆BN = BN2 − BN1 = 0 r uuur r ∂B rot E = − ∂t r ρ div E = ε0 r r r r ∆ET = ET2 − ET1 = 0 d’où r r r σ r ∆EN = EN 2 − EN1 = n1→ 2 d’où ε0 9 r uuur r r ∂E rot B = µ0 j + ε 0 µ0 ∂t r r r r r ∆BT = BT2 − BT1 = µ0 jS ∧ n1→2 d’où De la même manière, dans un diélectrique dépourvu de charges et de courants libres, les équations de Maxwell : r r r r r r ∂D ∂B ; div B = 0 ; rot E = − div D = 0 ; rot B = µ0 ∂t ∂t conduisent uniquement aux relations de continuités suivantes : r r r r r r r r r r r r r r r ∆DN = DN2 − DN1 = 0 ; ∆BT = BT2 − BT1 ; ∆BN = BN2 − BN1 = 0 ; ∆ET = ET2 − ET1 = 0 r 3 – Théorème de Gauss pour D : Il se réécrit simplement : ∫∫ (S ) rr D.n dS = ∑ qlibres int érieures Ainsi, en l'absence de charges libres : ∫∫ (S ) rr D.n dS = 0 r Le vecteur D devient à flux conservatif. 4 – Milieu linéaire, homogène et isotrope : La plupart des milieux ne présentent pas de polarisation permanente. Pour ces milieux, lorsque r l'intensité du champ électrique E (variable éventuellement dans le temps) n'est pas trop r r importante, le lien entre la polarisation P du milieu et E reste linéaire. r Lorsque les variations de E sont rapides, la polarisation induite ne suit pas toujours instantanément les variations du champ, mais avec un certain retard (déphasage). r r Les composantes de E et de P sont liées par des équations différentielles linéaires. r Lorsque le champ E varie sinusoïdalement dans le temps, on adopte la notation complexe et les r r composantes de E et de P sont alors liées par des relations linéaires du type : χ Px e ,xx χ e , xy χ e , xz E x P y = ε 0 χ e , yx χ e, yy χ e , yz E y χ χ e, zy χ e, zz E z Pz e , zx soit r r P = ε0 χ e E [ ] [ ] où χ e est une matrice appelée tenseur de susceptibilité électrique. Le milieu linéaire est homogène si ses propriétés ne dépendent pas du point M ; les coefficients de la matrice χ e ne sont pas fonction de la position. [ ] [ ] Il est isotrope si la matrice χ e est scalaire (pas de direction privilégiée). 10 Finalement, dans un DLHI (diélectrique linéaire homogène isotrope), la relation entre les champs r r E et P est : (en notation complexe) r r P = ε0 χ e E où χ e est la susceptibilité du milieu (sans dimension), fonction de la pulsation ω du champ électrique. Remarque : pour le vide, χ e = 0 . r Expression du vecteur déplacement électrique (ou induction électrique) D : Les équations de Maxwell dans les milieux diélectriques font apparaître un nouveau champ r inconnu D : r r r D = ε0E + P Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope : (et en notation complexe) r r r r r D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e ) E = ε E ε est appelé permittivité diélectrique complexe du milieu. C'est une constante caractéristique du matériau. r r r r Dans le cas du vide, D = ε 0 E ( P = 0) , alors ε vide = ε 0 . On définit la permittivité relative εr (constante sans dimension) par : ε = ε0 εr soit ε r =1+ χe r L’équation de Maxwell div D = ρ libres se réécrit alors, en faisant apparaître le champ électrique : r ρ div E = libres ε 0ε r (dans la zone où εr est réelle) En régime stationnaire, εr peut se mesurer par le rapport des capacités d’un condensateur avec et sans diélectrique. Elle dépend de la température et de la pression. Quelques ordres de grandeurs : * Solides : εr (paraffine) = 2,1 ; εr (verre) = 5,4 à 10 * Eau : εr (eau) = 81 * Air : εr (verre) = 1,000590 (à 20°C et 1 bar) II) Etude d'un modèle de polarisation électronique, le modèle de l'électron élastiquement lié : 1 - Le modèle de l'électron élastiquement lié : Ce modèle est dû au physicien hollandais Lorentz (1853 – 1928). 11 Chaque électron est traité comme un oscillateur harmonique amorti par frottement fluide (perte d’énergie par rayonnement dipolaire). Il est placé dans un champ électrique supposé uniforme à l'échelle de la molécule, de la forme r r E = E0 cos(ωt ) . Le PFD appliqué à l'électron donne : r r r r ma = − kr − fv + qE Remarques : * Le champ de l'onde est uniforme à l'échelle de la molécule : la longueur d'onde de l'onde est >> que les dimensions de la molécule. * Pour un milieu peu dense, on néglige les champs créés par les molécules voisines. Le champ électrique local est confondu avec celui de l’onde. * On néglige l'action du champ magnétique de l'onde. Dans la suite, on pose : ω02 = k m ; τ= m f ; ω p2 = n0e 2 mε 0 Alors : r 1r r q r r&& + r& + ω02 r = E τ m On peut définir Q = ω0τ le facteur de qualité de l'oscillateur : r 1r r r ω r r q r r&& + r& + ω02 r = &r& + 0 r& + ω02 r = E τ Q m q r r mω02 En régime sinusoïdal forcé : r = E 1 ω ω2 1+ j − Q ω0 ω02 2 – Vecteur polarisation : r r r Le moment dipolaire de la molécule est p = q r = α E (où α est la polarisabilité de la molécule). Le vecteur polarisation s'en déduit : (n* désigne le nombre de charges liées par unité de volume) n*q 2 r r mω02 P= E 2 1 ω ω 1+ j − Q ω0 ω02 3 – Susceptibilité complexe du milieu : r r A partir de P = ε 0 χ e E , on déduit : 12 n*q 2 mε 0ω02 χ0 = χe = 2 1 ω ω 1 ω ω2 1+ j − 1+ j − Q ω0 ω02 Q ω0 ω02 n* q 2 Avec : χ 0 = 2 m ε ω 0 0 χ0 est la susceptibilité diélectrique statique (pour ω = 0). On pose χ e = χ1 − jχ 2 , alors : χ1 = ω2 1− 2 ω0 2 ω2 1 ω 1 − 2 + ω0 Q ω0 2 χ0 ; χ2 = 1 ω Q ω0 2 ω2 1 ω 1 − 2 + ω0 Q ω0 2 χ0 Dans la réalité, Q est de l'ordre de 10 3 à 10 4. Remarque : on reconnaît des expressions semblables aux fonctions de transfert d’un filtre rejecteur de bande pour χ1 et passe-bande pour χ 2 . On constate que les grandeurs χ1 et χ 2 varient notablement dans la bande passante ∆ω ≈ de part et d'autre de ω0 (voir figures (a) et (b)). 13 ω0 Q , (Le facteur de qualité vaut ici Q = 10) Dans cette bande passante, χ 2 prend des valeurs importantes. En dehors de cette zone, χ 2 est très faible (passe-bande très sélectif). La figure suivante donne les parties réelle et imaginaire de la susceptibilité avec deux pulsations de résonance, l’une à la limite visible – UV et l’autre à la limite UV – Rayons X : 14 On peut montrer que χ 2 est directement reliée à la puissance moyenne volumique dissipée. En effet, celle-ci vaut : r r r r 1 Pd = jliées .E = Re j liées .E * 2 ( ) or : r r r j liées = jω P = jωε 0 ( χ1 − jχ 2 ) E D'où : 1 Pd = ωε 0 χ 2 E02 2 Ainsi, l'absorption de l'onde EM sera surtout importante pour des pulsations comprises autour de ω0. Ainsi, lorsque la bande d’absorption est éloignée du domaine d’étude (généralement le visible), alors il est inutile de tenir compte du terme d’amortissement dans le PFD appliqué à l’électron. La susceptibilité et l’indice sont alors réels (c’est l’EM dans le vide où c est remplacé par c / n !). 4 – Polarisation totale et ordre de grandeurs : Un milieu contient souvent plusieurs types de charges susceptibles de se déplacer sous l'action du champ EM de l'onde : * Les autres électrons liés à l'atome ou à la molécule. 15 * Les noyaux même lourds. Toutes ces charges liées contribuent au vecteur polarisation total qui peut se mettre sous la forme : * 2 ni qi r r miω02,i P=∑ E 1 ω ω2 i − 2 1+ j Qi ω0,i ω0,i A chaque type d'oscillateur correspond une zone d'absorption. Entre ces zones, la dissipation d'énergie au sein du milieu est faible. Quelques ordres de grandeurs : * Les pulsations caractéristiques de la polarisation électronique ω0,e sont situées dans le domaine visible et l'UV (fréquences de l'ordre de 10 14 à 10 15 Hz). * Les pulsations propres associées aux mouvements des atomes d'une molécule ou des ions d'un cristal ionique, beaucoup plus massifs que les électrons, sont nettement plus faibles. Les pulsations caractéristiques de la polarisation atomique ou ionique ω0,i, suivant les cas, apparaissent dans le domaine IR (fréquences de l'ordre de 10 12 à 10 14 Hz). Les facteurs de qualité associés sont élevés, de l'ordre de 10 4 en moyenne, de sorte que l'on observe des zones d'absorption distinctes correspondant aux polarisations électroniques et ioniques. Intervention des divers types de polarisation (représentation schématique, l'axe des pulsations étant gradué en échelle logarithmique). La figure montre l'allure des graphes de χ1 et de χ2 en fonction de la pulsation en ne considérant à chaque fois qu'une seule pulsation de chaque type. L'absorption est importante à chaque fois 16 dans les régions où χ2 est non négligeable (et χ1 varie alors sensiblement). En dehors de ces régions, χ2 est pratiquement nulle et χ1 varie peu avec la fréquence. L'absorption est insignifiante : le milieu est transparent à l'onde EM. La courbe en pointillés suggère l'influence d'une polarisation d'orientation ou polarisation dipolaire. Dans l'IR lointain et dans le domaine hertzien, pour un milieu constitué de molécules polaires (comme l'eau par exemple), c'est toute la molécule qui peut osciller dans le champ de l'onde. Ainsi, l'eau présente : • Une zone de transparence dans le domaine visible. • Des zones d'absorption dans l'UV (transitions entre niveaux électroniques) et dans l'IR (modes de vibration de la molécule). • Une absorption dans le domaine des ondes centimétriques, à la base du fonctionnement des fours à micro-ondes qui échauffent l'eau contenue dans les aliments. On peut noter enfin que dans les domaines des rayons X (à très hautes fréquences, de l'ordre de 10 17 à 10 20 Hz), χe est réelle et tend toujours vers zéro par valeurs négatives. La plupart des milieux sont ainsi transparents aux rayons X. Remarque : notons encore que pour être plus réaliste, le modèle classique présenté ici devrait inclure les interactions entre les constituants du matériau. 5 – Complément ; polarisation d’orientation : 17 18 Il est important de remarquer que, contrairement aux polarisations électroniques et atomiques, la polarisabilité d’orientation dépend fortement de la température. Modèle de Debye de la polarisation d’orientation : r r La polarisation d’orientation P sous l’action d’un champ variable E se décrit bien dans le cas de l’eau (molécule polaire) par l’équation suivante : r r dP r τ + P = ε 0 χ0 E dt r dP Que représente τ ? Comment s’interprète le terme τ ? Ce milieu est-il linéaire ? dt Décrire la situation en basses fréquences et aux fréquences optiques, sachant que τ ≈ 10 −12 s et que la fréquence d’absorption des micro-ondes est de 2,45 GHz. 19 Une application numérique intéressante : Quelle est l’énergie d’une molécule d’eau de moment dipolaire p = 0, 6.10 −29 C.m lorsque qu’elle est orientée dans le sens d’un champ très fort E = 105 V .m −1 ? Le liquide est à une température T = 300 K ; un choc entre molécules transférant une énergie thermique de l’ordre de kT peut-il désorienter le moment dipolaire ? Conclusion. III) Propagation d'ondes EM dans un DLHI : Une erreur consiste à croire qu’un milieu isolant (comme les diélectriques) ne laisse pas passer les ondes (hertziennes par exemple). Or c’est exactement le contraire : les diélectriques sont essentiellement transparents aux ondes hertziennes, alors que les milieux conducteurs (eau de mer, métaux) les réfléchissent et les absorbent. exercice 20 1 – Equation de propagation : Les équations de Maxwell dans le milieu sont : (il n'y a ni charges ni courants libres) r r r ∂D div D = 0 et rot B = µ0 ∂t r r r ∂B div B = 0 et rot E = − ∂t Avec : r r r r r D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0 ε r E r r r r ∂D ∂E En remarquant que rot B = µ0 est identique à rot B = ε 0 ε r µ 0 , on voit qu'on se ramène ∂t ∂t à l'équation de propagation dans le vide à condition de remplacer ε 0 par ε 0 ε r . Ainsi, les champs EM vérifient l'équation de d'Alembert : r r r ε r ∂2 E r r ε r ∂2 B r ∆E − 2 2 = 0 ; ∆B − 2 2 = 0 c ∂t c ∂t 2 – Relation de dispersion, indice du milieu : On réalise une étude harmonique en recherchant des solutions complexes de la forme, pour le champ électrique par exemple : rr r r E = E 0 e j (ω t − k . r ) r où le vecteur d’onde k est a priori complexe. L'équation de d'Alembert conduit à la relation de dispersion : 2 k =εr ω2 c2 On pose ε r = ε 1 − jε 2 et k = k1 − jk 2 , alors : k12 − k22 = ω2 c2 ε1 ; 2k1k 2 = ω2 c2 ε2 On définit l'indice complexe du milieu par référence au vecteur d'onde dans le vide, k0 = n= ω c k c = k k0 ω (Remarque : l'indice d'un milieu en optique est simplement défini par : n = c cω k = = ). v ω v k0 Remarque sur la définition de l’indice complexe : On a vu dans le cas des ondes mécaniques que la vitesse de phase était donné par : 21 : vϕ = ω Re(k ) L’indice correspondant (qui est l’équivalent de l’indice de réfraction connu en optique pour les ondes lumineuses) est : n= c c = Re(k ) vϕ ω Il définit la propagation de l’onde (et sa dispersion). On posera de même, par analogie : n" = c ω Im(k ) n’’ est appelé l’indice d’extinction. Par conséquent : 2 n = ε r = 1+ χ e Si on note n = n1 − jn2 : n12 − n22 = ε 1 = 1 + χ1 ; 2n1n2 = ε 2 = χ 2 En utilisant le modèle de l'électron élastiquement lié : 2 n =1+ χe =1+ χ0 1 ω ω2 1+ j − Q ω0 ω02 Dans le cas de milieux peu denses, χ e << 1 et ainsi : n ≈1+ 1 2 χ0 1 ω ω2 1+ j − Q ω0 ω02 On en déduit les parties réelle et imaginaire de l'indice complexe : n1 ≈ 1 + χ0 2 1− 2 ω2 ω02 ω 1 ω 2 (1 − 2 ) 2 + ( ) ω0 Q ω0 ; 22 n2 ≈ χ0 2 1 ω Q ω0 ω2 2 1 ω 2 (1 − 2 ) + ( ) ω0 Q ω0 χ0 = 10-2 (milieu dilué), une seule pulsation propre ω0 correspondant à λ0 = 3 µm (IR, polarisation atomique) et Q = 10° (pour la lisibilité des courbes) Quelques ordres de grandeurs de permittivité relatives : Remarque : on constate que, pour les milieux polaires comme l'eau par exemple, n 2 ≠ ε r : la polarisation n'est pas seulement électronique mais surtout polaire et dépend de la fréquence. La permittivité relative de l’eau par exemple vaut 80 à 1 GHz et 1,77 à 5,1.10 15 Hz (lumière jaune). 23 2 – Dispersion et absorption : Le champ électrique d'une onde plane monochromatique se propageant dans le sens des x > 0 s'écrit : r r ω ω E = E 0e − k 2 x e j (ωt − k1 x ) ( Avec : k1 = n1 et k2 = n2 , positifs ) c c r Soit, en notation réel et en supposant E 0 réel : r r E = E0e − k2 x cos(ωt − k1 x) * L'indice n1 est l'indice de réfraction que l'on utilise en optique. Il permet d'exprimer la vitesse de phase de l'onde plane : vϕ = ω k1 = c n1 Si n1 dépend de ω, il y a dispersion. Si la pulsation est éloignée d'une pulsation propre, l'indice du milieu est réel et égal à n1. De plus, n1 varie peu avec la fréquence, la dispersion est faible (voir l'application suivante, sur la loi de Cauchy). * Le coefficient n2 caractérise l'absorption de l'onde par le milieu. Il est encore appelé indice d'extinction. La longueur δ = 1 / k 2 donne l’ordre de grandeur de la longueur de pénétration de l'onde dans le milieu. exp(- x / δ) x Courbe à t fixé Pour qu'il y ait absorption, il faut se placer dans une zone de fréquences située au voisinage d'une pulsation propre du milieu. 24 Par exemple, le verre absorbe le rayonnement UV dont la longueur d'onde est inférieure à 320 nm. L'ozone et le dioxygène possèdent également une zone d'absorption dans l'UV, ce qui explique le rôle protecteur de l'ozone et de l'atmosphère. Courbes expérimentales n1(λ λ) et n2(λ λ) pour l'eau, de l'UV proche (λ λ = 0,6 µm) à l'IR proche (λ λ = 8 µm). On retrouve les absorptions dans l'IR et l'UV déjà signalées. L'eau et le dioxyde de carbone absorbent l'IR (ce qui explique l'effet de serre). 1ère application ; Loi de Cauchy pour l'indice d'un prisme de verre : On se propose d’étudier le modèle simplifié suivant de la propagation d’une onde dans un milieu neutre dilué (du verre, par exemple) et de démontrer l’expression de la loi de Cauchy donnée en 1ère année ( n(λ ) = A + B / λ2 ). On suppose que f = 0 et que ω0 >> ω. L’indice du milieu pour la pulsation ω est défini par la relation : vϕ = c / n , où vϕ est la vitesse de phase. Montrer que l’on peut écrire une formule approchée (loi de Cauchy) : n = A + B λ2 , où λ est la longueur d’onde dans le vide d’une onde de pulsation ω et où A et B sont des constantes caractéristiques du milieu que l’on exprimera en fonction de ω0, χe et c. Si l'on reprend les notations du cours, l’indice du milieu est réel et vaut, avec Q infini (on suppose ω << ω0 , on est loin de l’absorption) : ω2 n ≈ 1+ ≈ 1 + 1 + 2 ω2 2 2 ω0 1− 2 ω0 χ0 χ0 1 La longueur d’onde dans le vide est donnée par : λ = 25 2πc ω , d’où : χ0 4π 2 c 2 1 B n = 1 + 1 + = A+ 2 2 2 2 ω0 λ λ En posant : A = 1+ χ0 2 et B= 2π 2 c 2 ω02 χ0 C’est la loi de Cauchy. 2nde application ; loi de Gladstone : Afin de ne pas confondre avec l’indice, exprimer la densité particulaire n* en fonction de la masse volumique ρ et de la masse molaire M. Pour un gaz (milieu dilué), montrer qu’il est facile d’obtenir une relation simple entre la polarisabilité α (grandeur microscopique) et l’indice n du milieu transparent (grandeur macroscopique). Dans le cas de l’air, quelle est alors la valeur numérique de α ? En appliquant la relation α = 4π a 3 , où a est le rayon des molécules supposées sphériques, déduire la « taille » des molécules d’air. 3ème application ; loi de Beer-Lambert : On peut proposer une interprétation de la loi de Beer-Lambert utilisée en spectrométrie en chimie. 26 Sachant que, pour λ = 500 nm, l’intensité à la profondeur de 12 m est le dixième de l’intensité près de la surface de l’eau, calculer l’indice d’extinction de l’eau. Le cours conduit à la valeur 3 – Relation entre vitesse de phase et vitesse de groupe : La vitesse de phase et la vitesse de groupe sont données par : vϕ = ω k1 = c n1 vg = ; dω dk1 ( k1 = n1ω ) c En dérivant k1 : dk1 1 1 dn = = n1 + ω 1 dω v g c dω Soit λ la longueur d’onde dans le vide ( λ = 2πc / ω ) : ω dn1 dn 1 2πc 1 =ω = = −λ 1 dω dω dλ λ d 2πc dn1 dn1 λ Finalement : vg = c n1 − λ dn1 dλ 27 vϕ = 1− λ dn1 n1 dλ La vitesse de phase est représentée en traits pleins et la vitesse de groupe en pointillés (limitée à c). Dans le domaine d’absorption, la vitesse de phase varie rapidement et la vitesse de groupe dépasse la valeur c. Elle ne représente plus la vitesse de propagation de l’énergie et perd sa signification. 4) Exemple d’un milieu anisotrope, lames demi-onde ou quart d’onde : Pour les lames demi-onde ou quart d’onde (voir TP), on distingue l’axe (Ox) (direction de propagation) des axes (Oy) et (Oz) du plan d’onde (directions de polarisation du champ électrique). Ce milieu anisotrope est bien représenté par la relation : * D ε 0 0 Ex εx 0 0 r x x r D = Dy = 0 ε y 0 E y = 0 ε y 0 E D 0 0 ε E 0 0 ε z z z z ( Avec ε y ≠ ε z ) Cela signifie qu’une onde EM se propage suivant (Ox) avec un indice n y = ε r , y pour la composante Ey et un indice nz = ε r , z pour la composante Ez. En déduire qu’une lame d’épaisseur e (par exemple de x = 0 à x = e) entraîne un changement d’état de polarisation de l’onde. Une lame demi-onde, également notée lame λ/2, crée un déphasage valant 180°, c'est-à-dire un retard d'une moitié de longueur d'onde. L'onde sortante d'une telle lame présente une polarisation symétrique de l'onde entrante par rapport à l'axe optique. Une lame quart d'onde, également notée lame λ/4, crée un déphasage de 90°, c'est-à-dire un retard d'un quart de longueur d'onde. Elle permet de passer d'une polarisation rectiligne à une polarisation elliptique ou circulaire, et vice-versa. 28 IV) Réflexion et réfraction des ondes EM : On considère deux milieux diélectriques LHI (1) et (2). On se place dans les zones de transparence pour lesquelles les indices n1 et n2 sont réels. Une onde incidente arrive à l'interface entre les deux milieux (sur le dioptre, surface qui sépare les deux diélectriques). On souhaite déterminer l'onde réfléchie et l'onde transmise. On rappelle que, dans un diélectrique dépourvu de charges et de courants libres, les équations de Maxwell : r r r r r r ∂D ∂B ; div B = 0 ; rot E = − div D = 0 ; rot B = µ0 ∂t ∂t conduisent aux relations de continuités suivantes : r r r r r r r r r r r r r r r ∆DN = DN2 − DN1 = 0 ; ∆BT = BT2 − BT1 ; ∆BN = BN2 − BN1 = 0 ; ∆ET = ET2 − ET1 = 0 La composante tangentielle du champ électrique est continue ainsi que la composante normale du champ magnétique à la traversée du dioptre. r r La relation de Maxwell valable pour le champ D , divD = 0 , montre que la composante normale r r du champ D est continue (alors que celle du champ E est discontinue). La composante tangentielle du champ magnétique est continue : finalement, le champ r magnétique B est continu à la traversée du dioptre. 1 – Lois de Descartes : r Le champ électromagnétique de l’onde incidente, se propageant dans la direction du vecteur u i dans le milieu (1) s’écrit : r r r r r i (ωt −kr .rr ) r ωr ki ∧ E 0i i (ωt −kri .rr ) i E i = E 0i e et Bi = e (avec ki = n1 ui ) ω c 29 Pour l’onde réfléchie dont la pulsation est la même que celle de l’onde incidente (se propageant r dans la direction du vecteur u r dans le milieu 1) : r r r r r r r i (ωt −kr .rr ) r k ∧ E ωr 0 r i (ωt − k r .r ) r E r = E 0r e et Br = r e (avec k r = n1 ur ) c ω Pour l’onde transmise dont la pulsation est la même que celle de l’onde incidente (se propageant r dans la direction du vecteur ut dans le milieu 2) : r r r r r i (ωt −kr .rr ) r kt ∧ E 0t i (ωt − kr .rr ) ωr t t E t = E 0t e et Bt = e (avec kt = n2 ut ) ω c r ki (1) r rP r N r kr P (2) O r kt On peut écrire la continuité de la composante tangentielle du champ électrique : r r r r r r r r r E 0i ,// ei (ωt −ki .rP ) + E 0 r ,// ei (ωt −kr .rP ) = E 0t ,// ei (ωt −kt .rP ) r où rP = OP désigne le rayon vecteur d’un point P quelconque du dioptre (avec l’origine O choisie sur le dioptre). Soit encore : r r r r r r r r r E 0i ,// + E 0 r ,// ei ( ki −kr ).rP = E 0t ,// ei ( ki −kt ).rP Cette équation devant être valable pour tout point P, il vient : r r r r r r (ki − k r ).rP = (ki − kt ).rP = 0 r r r r r Les vecteurs ki − k r et ki − kt sont donc colinéaires à N . On en déduit que le vecteur d’onde de l’onde réfléchie et de l'onde transmise sont donc dans le r r plan d’incidence (défini par ki et N ). 30 r ki (1) r N r rP r ki r kr P r N i1 (1) (2) O P r kt Enfin, comme ki = kr = n1 ω r kr (2) i2 r kt r r r et que ki − k r est colinéaire à N , les angles d’incidence et de c réflexion sont identiques (loi de Descartes pour la réflexion). r r Si on projette sur la surface du dioptre ki − kt , il vient : ki sin i1 = kt sin i2 soit n1 sin i1 = n2 sin i2 On démontre ainsi la loi de Descartes sur la réfraction. Réfraction limite, réflexion totale, onde évanescente : Le milieu le plus réfringent possède l’indice de réfraction le plus grand. Incidence rasante et angle de réfraction limite. 31 r r On peut encore écrire ki − kt que est parallèle à la normale au dioptre, soit en projection : kt , y = ki sin i1 kt , x = ki cos i1 + α et Soit encore, avec kt = n2 k0 et ki = n1k0 : n22 k02 = n12 k02 sin 2 i1 + (n1k0 cos i1 + α ) 2 n22 k02 = n12 k02 + (2n1k0 cos i1 )α + α 2 D’où l’équation du second degré en α : α 2 + (2n1k0 cos i1 )α + (n12 − n22 )k02 = 0 Le discriminant est : ∆ = (2n1k0 cos i1 ) 2 − 4(n12 − n22 )k02 = 4k02 (− n12 sin 2 i1 + n22 ) Comme i > il , sin i1 > n2 / n1 et ainsi : ∆ = 2 jk0 n12 sin 2 i1 − n22 On en déduit ensuite la valeur de α : α = −n1k0 cos i1 ± jk0 n12 sin 2 i1 − n22 Et enfin la composante (selon la direction de propagation (Ox)) du vecteur d’onde de l’onde transmise : kt , x = α = ± jk0 n12 sin 2 i1 − n22 Par conséquent, l’onde transmise peut s’écrire (attention, x est ici > 0) : r r 2 2 2 E = E0 e − k0 n1 sin i1 − n2 x e j (ωt − n1k0 sin i1 ) y 2 – Coefficients (en amplitude) de réflexion et de transmission en incidence normale : Dans ce cas particulier, on peut écrire : * Continuité du champ électrique : r r r E 0i + E 0 r = E 0 t * Continuité du champ magnétique : r r r r r r n1u x ∧ E 0i + n1 (−u x ) ∧ E 0 r = n2u x ∧ E 0t r En multipliant vectoriellement chaque membre par u x : 32 r r r n1 E 0i − n1 E 0 r = n2 E 0t kr (1) Er Ei Bi x Br ki Bt (2) Et kt (On a supposé sur le dessin les ondes polarisées rectilignement) On obtient ainsi le système : r r r E 0i + E 0 r = E 0 t r r r n1 E 0i − n1 E 0 r = n2 E 0t et On en déduit : r r E 0 r = r E 0i avec r= n1 − n2 n1 + n2 r r E 0t = t E 0 i avec t= 2n1 n1 + n2 Quelques remarques : * t est toujours positif : il n'y a pas de changement de phase lors de la transmission. * r peut être positif ou négatif : - n1 > n2 : la réflexion n'introduit pas de déphasage - si n1 < n2 : la réflexion introduit un déphasage de π. 3 – Coefficients (en énergie) de réflexion et de transmission en incidence normale : Le vecteur de Poynting incident est (en valeur moyenne) : r r n Π i = 1 E02,i u x 2µ 0c Pour les ondes réfléchie et transmise : r r n Π r = 1 E02,r (−u x ) 2µ0c et r r n Π t = 2 E02,t u x 2µ 0c Les coefficients en énergie de réflexion et de transmission sont alors : r r 2 Πr Πt n1 − n2 n 4n1n2 2 R = r = r = et T = r = 2 t2 = n1 (n1 + n2 ) 2 Πi Πi n1 + n2 33 la caméra interférent destructivement ; la couche antireflet est efficace pour une longueur d’onde et une incidence données. Rayons réfléchis et transmis par la couche mince diélectrique. Exercice d’application ; lame antireflet : Une OPPM polarisée rectilignement de longueur d’onde λ0, provenant d’un Solution : 34 35 36 4 – Coefficients (en amplitude) de réflexion et de transmission en incidence quelconque : Le calcul des coefficients de réflexion et de transmission s'effectue de manière analogue en distinguant le cas d'une onde polarisée dans le plan d'incidence et le cas d'une onde polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. 37 Les formules de Fresnel : a) Calculer les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude et énergie sous incidence oblique sur un dioptre plan pour : Solution : 38 39 Remarques : Lorsque n2 < n1, les coefficients de réflexion sont égaux à 1 pour tout angle d'incidence supérieur à l'angle limite il = arcsin(n2 / n1 ) : on retrouve le phénomène de réflexion totale vue en optique géométrique. D'autre part, une onde polarisée dans le plan d'incidence ne donne naissance à aucune onde réfléchie lorsque l'angle d'incidence est égal (voir exercice) à l'angle de Brewster ib = arctan(n2 / n1 ) ; dans ce cas, le dioptre éclairé par une lumière non polarisée (superposition aléatoire d'ondes polarisées dans le plan d'incidence et perpendiculaire à ce plan) donne naissance à une onde réfléchie polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. On a ainsi obtenu une lumière polarisée rectilignement à partir de lumière non polarisée : ce procédé est appelé polarisation par réflexion vitreuse. Cette propriété est utilisée en photographie où l'utilisation de filtres polarisants permet de réduire la lumière réfléchie (donc parasite). 40 41
