Di usion thermique Les points du cours à connaître

physique
année scolaire 2016/2017
Diusion thermique
Les pointsmardidu20 septembre
cours 2016
à connaître
I- Les ux thermiques
Flux thermique à travers une surface orientée : (dénition)
Flux thermique pour un système : (dénition)
II- Le rayonnement
1. Approche descriptive du rayonnement thermique
Loi de Stefan-Boltzman : (dénition)
Loi de Wien : (dénition)
2. Application à l'eet de serre
III- Convection thermique
Loi de Newton : (dénition)
IV- Conduction thermique
Loi de Fourier : (dénition)
V- Diusion thermique
1. Etablissement de l'équation de diusion thermique
Diusion thermique à une dimension sans travail (dénition)
2. La diusion thermique en régime permanent
Solution de l'équation de diusion en régime permanent (dénition)
Résistance thermique (dénition)
3. La diusion thermique en régime quelconque
spé PC
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Techniques
à maîtriser
jeudi 22 septembre 2016
I- Les capacités exigibles
1. Etablissement de l'équation de diusion thermique
ce qu'il faut savoir faire capacités
Distinguer qualitativement les trois types de transfert thermiques : conduction, convection et rayonnement.
Exprimer le ux thermique à travers une surface en utilisant le vecteur ~jQ .
Utiliser le premier principe dans le cas d'un milieu solide pour établir une équation locale dans le cas d'un
problème unidimensionnel en géométrie cartésienne, éventuellement en présence de sources internes.
Admettre et utiliser une généralisation en géométrie quelconque utilisant l'opérateur divergence et son
expression fournie.
Utiliser la loi de Fourier. Citer quelques ordres de grandeur de conductivité thermique dans les conditions
usuelles : air, eau, béton, acier.
Utiliser la conservation du ux sous forme locale ou globale en l'absence de source interne.
Établir une équation de la diusion dans le seul cas d'un problème unidimensionnel en géométrie cartésienne.
Admettre et utiliser une généralisation en géométrie quelconque en utilisant l'opérateur laplacien et son
expression fournie.
2. Solution de l'équation de diusion thermique en régime permanent
ce qu'il faut savoir faire capacités
Dénir la notion de résistance thermique par analogie avec l'électrocinétique.
Exprimer une résistance thermique dans le cas d'un modèle unidimensionnel en géométrie cartésienne.
Utiliser des associations de résistances thermiques.
Utiliser la relation de Newton δQ = h(Ts − Ta )dSdt fournie comme condition aux limites à une interface
solide-uide.
3. Solution de l'équation de diusion thermique en régime quelconque
ce qu'il faut savoir faire capacités
Analyser une équation de diusion en ordre de grandeur pour relier des échelles caractéristiques spatiale
et temporelle.
4. Le rayonnement et l'eet de serre
ce qu'il faut savoir faire capacités
Utiliser les expressions fournies des lois de Wien et de Stefan pour expliquer qualitativement l'eet de
serre.
spé PC
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II- Méthodes
1. Etablissement de l'équation de diusion thermique
A) Etablissement de l'équation de diusion thermique méthode
Il s'agit de faire un bilan d'énergie : l'énergie interne U =
ud3 τ du système déni (qui vérie les
symétries du problème) varie pendant dt de dU = +δW.+Pth dt, où δW est le travail et la puissance thermique Pth est égale au ux de ~jth à travers les parois du système orientées vers l'intérieur. On utilise la
−−→
loi de Fourier ~jth = −κ.gradT et on écrit la diérentielle de l'énergie interne en fonction de T et V : dU =
RRR
d 2S3
2
2
d S
En cartésien, il faut prendre comme système
RRR ∂T
un élément de volume compris entre x et
c ∂t dtd3 τ .
x + dx et bien penser à orienter les vecteurs
surface vers l'intérieur du système.
d S
1
2
x
x + dx
2. Solution de l'équation de diusion thermique en régime permanent
B) Utilisation des conditions aux limites méthode
En régime permanent, la solution de l'équation de diusion thermique en cartésien est une fonction
ane et le ux thermique est constant si le milieu est homogène.
• à l'interface entre deux milieux qui suivent la loi de diusion thermique il y a continuité de la
température et du ux thermique ;
• à l'interface entre le milieu qui suit la loi de diusion thermique et un uide, il faut utiliser la
continuité du ux thermique (qui est donné par la loi de Newton) ;
• à l'interface entre le milieu qui suit la loi de diusion thermique et un thermostat, il faut utiliser la
continuité de la température (qui est celle du thermostat) ;
• à l'interface entre le milieu qui suit la loi de diusion thermique et une paroi atherme, il faut utiliser
la continuité du ux thermique (qui est nul).
C) Utilisation de la loi d'Ohm pour la diusion en régime permanent méthode
Un milieu homogène de conductivité κ, de longueur ` et de section S présente une résistance thermique
`
Rth = κ.S
. Si ce milieu est suivi d'un autre, les résistances thermiques s'ajoutent (résistances en série),
s'il est à côté d'un autre, les inverses des résistances s'ajoutent (résistances en parallèle).
En régime permanent, si un milieu 1 de température T1 est séparé d'un milieu 2 de température T2 par
une résistance thermique Rth , la loi d'Ohm stipule que T2 − T1 = Rth .Φth , où Φth est le ux thermique
qui passe dans la résistance orienté depuis 2 vers 1 (convention récepteur).
3. Solution de l'équation de diusion thermique en régime quelconque
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D) Ordre de grandeur et diusion méthode
L'équation de diusion fait apparaître un temps caractéristique τ pour un système de taille caractéristique L :
1
D
∼ 2
τ
L
4. Le rayonnement et l'eet de serre
III- Exercices
1. Etablissement de l'équation de diusion thermique
1.1) Diusion thermique à trois dimensions sans travail
Quelle est l'équation suivie par la température dans un milieu homogène à trois dimension, de capacité
thermique massique cV , de masse volumique µ, de conductivité thermique κ, en absence de travaux ?
∂T
∂t
avec Dth =
= Dth .∆T
κ
µ.cV
.
1.2) Diusion thermique à trois dimensions avec travail
Quelle est l'équation suivie par la température dans un milieu homogène à trois dimension, de capacité
thermique massique cV , de masse volumique µ, de conductivité thermique κ, avec travaux ?
κ.∆T + µ.pm = µ.cV . ∂T
∂t .
1.3) Diusion thermique à une dimension sans travail
Quelle est l'équation suivie par la température dans un milieu homogène à une dimension x, de capacité
thermique massique cV , de masse volumique µ, de conductivité thermique κ, en absence de travaux ?
∂T (x,t)
∂t
= Dth . ∂
2
T (x,t)
∂x2
avec Dth =
κ
µ.cV
.
1.4) Une sphère qui se refroidit
On s'intéresse à une sphère de rayon R, de masse volumique µ, de capacité massique c et de conductivité
thermique κ. La température ne dépend que de la date t et du rayon r dans les coordonnées sphériques.
1) Déduire l'équation diérentielle suivie par la température d'un bilan énergétique pour une écorce de
rayon r ∈ [r; r + dr].
2) Retrouver cette équation grâce à l'expression du laplacien en sphérique.
∆T (r) =
1
r 2 . sin θ
∂
∂r
r2 . sin θ. ∂T
∂r
=
1
r2
h
i
2 ∂2T
2.r. ∂T
+
r
.
2
∂r
∂r
1.5) Conduction thermique entre deux sphères concentriques
On considère un matériau homogène compris entre deux sphères concentriques de centre O, de rayons a et
b (a < b), de conductivité thermique κ, de capacité thermique massique c et de masse volumique µ. Les parois
sphériques de ce matériau sont maintenues aux températures T1 (pour r = a) et T2 (pour r = b) et on suppose
T1 > T2 .
1) En utilisant un formulaire, écrire l'équation aux dérivées partielles que vérie la température T en un
point M , à l'instant t.
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2) Déterminer, en régime permanent :
2.a) la température T (r) en tout point M du matériau ;
2.b) la puissance thermique Pt transférée entre les deux sphères de rayons a et b ;
2.c) la résistance thermique Rt , de ce conducteur.
1)
2)
∂
2 ∂T
κ. ∂r
r2 . ∂T
∂r = µ.c.r ∂t .
T −T
a.T −b.T
.
2.a) T (r) = a.b
r b−a −
b−a
a.b
2.b) la puissance est Pt = 4π.κ b−a
(T1 − T2 ).
1 b−a
2.c) Rt = 4π.κ a.b .
1
2
1
2
1.6) Exemple d'un l électrique cylindrique :
On s'intéresse à un l électrique cylindrique, de rayon r1 , de résistance linéique Rl , entouré par une gaine
d'isolant, de rayon extérieur r2 et de conductivité thermique κ. On se place en régime permanent, la température
ne dépendant que du rayon r.
1) Faire un bilan énergétique pour un cylindre de longueur `, de rayon r ∈ [r1 ; r2 ], faisant apparaître φth ,
le ux thermique, et I , l'intensité dans le l.
2) En déduire l'équation diérentielle suivie par la température.
2
2.π.rκ ∂T
∂r + Rl .I = 0.
2. Solution de l'équation de diusion thermique en régime permanent
2.7) Isolant
Une couche d'isolant d'épaisseur d = 10cm et de conductivité thermique κ = 40mW.m−1 .K −1 a une face
(repérée par x = 0) maintenue à la température θ1 = 100◦ C . L'autre face (repérée par x = d) est refroidie
par convection par un courant d'air à θa = 25◦ C qui doit maintenir sa température à la valeur θ2 = 30◦ C (en
régime permanent).
1) Calculer quelle doit être la valeur du coecient h déni dans la loi de Newton.
2) Quel paramètre peut-on adapter simplement pour obtenir cette valeur ?
−θ
1) h = κd θθ −θ
= 5, 6W.m−2 .K −1 .
2) En augmentant la ventilation, on augmente la puissance thermique évacuée par l'air.
1
2
2
a
2.8) Refroidissement d'un composant électronique
Un composant électronique de conductivité thermique κ = 4, 0.10−2 W.m−1 .K −1 a deux faces 1 et 2 séparées
par l'épaisseur d = 2, 0cm. Un ventillateur refroidit la surface 1 grâce à un courant d'air à la température
θa = 20◦ C tandis que l'autre face (2) est maintenue (du fait de son utilisation) à la température θ2 = 50◦ C . En
régime permanent, la température de 1 doit avoir la valeur θ1 = 30◦ C .
1) Calculer quelle doit être la valeur du coecient h déni dans la loi de Newton.
2) Sur quel paramètre peut-on jouer simplement pour obtenir cette valeur ?
1) h = 4, 0W.m−2 .K −1 .
2) On peut jouer simplement sur le débit d'air pour obtenir cette valeur !
2.9) Intérêt d'un double-vitrage
On s'intéresse à une pièce à la température Tint , l'extérieur étant à Text < Tint . La paroi qui sépare la pièce
de l'extérieur est formée d'un mur de section Sm , de conductivité thermique κm et d'épaisseur em , percé d'une
fenêtre en verre de section Sv ∼ Sm , de conductivité thermique κv κm et d'épaisseur ev em .
1) Exprimer la résistance thermique Rth de la paroi. Montrer qu'elle est à peu près celle de la fenêtre.
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On installe des doubles vitrage composés de deux verres de section Sv , de conductivité thermique κv et
d'épaisseur ev , entre lesquels se trouve de l'air de conductivité thermique κa κv et d'épaisseur ea ∼ ev .
0
2) Exprimer la nouvelle résistance thermique Rth
de la paroi.
3) Pourquoi fait-on des économies d'énergie grâce au double vitrage ?
0
Rth
≈ Rth (a).
2.10) Etude d'un double-vitrage
On s'intéresse à une baie vitrée de surface S = 4, 0m2 qui délimite un intérieur où règne une température
Ti = 20◦ C d'un extérieur où règne une température Te = 5◦ C . On suppose que les fuites thermiques n'ont lieu
que par conduction, à travers cette baie vitrée.
1) La baie vitrée est constituée d'un verre (de conductivité thermique κ = 1, 2W.m−1 .K −1 ) d'épaisseur
e = 3, 0mm.
1.a) Calculer la résistance thermique Rth présentée par la baie vitrée.
1.b) En déduire la puissance thermique Pth perdue.
2) La baie vitrée est maintenant un double-vitrage, constitué d'une épaisseur e = 3, 0mm d'air de conductivité thermique κ0 = 26mW.m−1 .K −1 compris entre deux verres (de conductivité thermique κ = 1, 2W.m−1 .K −1 )
d'épaisseur e = 3, 0mm.
0
2.a) Calculer la nouvelle résistance thermique Rth
présentée par la baie vitrée.
0
2.b) En déduire la puissance thermique Pth perdue.
1) Baie vitrée constituée d'un verre unique :
1.a) Rth = 0, 63mK.W −1 .
1.b) Pth = −24kW .
2) Double-vitrage :
0
2.a) Rth
= 30mK.W −1 .
0
2.b) Pth = −0, 45kW .
2.11) Pertes thermiques à travers un pan de mur
On s'intéresse à un pan de muraille de surface totale St = 7, 5m2 composé d'un mur de brique d'épaisseur
eb = 40cm, de conductivité thermique κb = 0, 70W.m−1 .K −1 et d'une fenêtre de surface Sf = 0, 5m2 en verre
κv = 1, 2W.m−1 .K −1 d'épaisseur ev = 3mm qui délimite un intérieur où règne une température Ti = 20◦ C
d'un extérieur où règne une température Te = 5◦ C . On suppose que les fuites thermiques n'ont lieu que par
conduction, à travers cette muraille.
1) Calculer la résistance thermique :
1.a) Rv présentée par la fenêtre de verre ;
1.b) Rb présentée par le mur de brique ;
1.c) Rt présentée par le mur en totalité.
2) En déduire la puissance thermique Pth perdue.
1) Résistance thermique :
1.a) Rv = 5, 0mK.W −1 pour la fenêtre de verre ;
1.b) Rb = 82mK.W −1 pour le mur de brique ;
1.c) Association en parallèle de résistances : Rt = 4, 7mK.W −1 .
2) Pth = −3, 2kW .
2.12) La sensation de chaud ou de froid
Tout l'exercice est à une dimension : x et les transferts thermiques sont purement conductifs. On s'intéresse
à deux cylindres (1 en x ∈ [−L, 0] et 2 en x ∈ [0, +L]), de mêmes longueurs L, de masses volumiques respectives
µ1 et µ2 , de capacités caloriques massiques respectives c1 et c2 , de conductivités thermiques respectives κ1 et
κ2 , thermostatés à leurs extrémités (T (−L, t) = T1 et T (+L, t) = T2 ), en contact en x = 0.
1) Thermodynamique :
1.a) Rappeler l'équation de diusion thermique.
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1.b) Donner l'expression de la température en régime permanent. Exprimer en particulier T0 , la température en x = 0.
2) Application à la sensation de chaud et de froid :
On suppose que le cylindre 2 est une main, et T2 = 37◦ C . L'autre cylindre est un objet touché par la main.
On imagine que la sensation de chaud ou de froid ressentie par la main est reliée à la température au point de
contact x = 0.
2.a) Discuter cette modélisation.
2.b) Contact avec du bois : κ1 κ2 . Ce bout de bois semble-t-il chaud ou froid, si le bout de bois est
à T1 = 20◦ C ? Et si T1 = 60◦ C ?
2.c) Contact avec un métal : mêmes questions, mais cette fois, κ1 κ2 .
1) Thermodynamique
1.a) Equation de diusion thermique : µ.c. ∂T∂t(~r,t) = κ.∆T (~r, t).
1.b) En régime permanent, la température est ane dans les deux cylindres :
T (x ∈ [−L; 0[) =
κ1 (T1 −T2 )
T1 .κ1 +κ2 .T2
2 (T1 −T2 )
,
a
=
−
et
b
=
T
.
a1 .x + b1 et T (x ∈ [0; +L[) = a2 .x + b2 . avec a1 = − κL.(κ
2
0 =
L.(κ1 +κ2 )
κ1 +κ2
1 +κ2 )
2) Application
2.a) La sensation de chaud ou de froid ressentie par la main est complexe (mesure de tempéra-
ture, mesure diérentielle de température, mesure de transfert thermique...). Et pourquoi les deux cylindres
auraient la même longueur ?
2.b) Contact avec du bois : T0 ≈ T2 . Que le bois soit chaud ou froid, c'est la main qui impose sa
propre température au contact.
2.c) Contact avec un métal : T0 ≈ T1 . Que le métal soit chaud ou froid, c'est lui qui impose sa propre
température au contact. Si T1 = 20◦ C , il semble froid (plus froid que la main !). Et si T1 = 60◦ C , il semble
chaud.
2.13) Transfert par conduction et (ir)réversibilité
An de modéliser un échangeur thermique, on considère une barre de section S et de longueur L, de conductivité thermique κ (on négligera les autres modes de transfert thermique) qui a, en régime permanent, ses deux
extrémités aux températures T1 (en x1 ) et T2 (en x2 > x1 ).
1) Exprimer le ux thermique φ qui se propage suivant ~ux .
2) Faire un bilan d'entropie pendant dt : donner
2.a) la variation d'entropie dS ;
2.b) l'entropie échangée δSe ;
2.c) l'entropie créée δSc .
3) Interprétation :
3.a) Le précédent résultat est-il conforme au second principe ?
3.b) Comment faire pour rendre le processus réversible ? Qu'est-ce que cela impose pour φ ?
3.c) Montrer que, pour minimiser les irréversibilités tout en conservant un ux non nul, il faut que
T1 − T2 = δT T1 .
δSc =
(T1 −T2 )2 κ.S
T1 .T2
L dt.
3. Solution de l'équation de diusion thermique en régime quelconque
3.14) Durée d'un régime transitoire de diusion thermique le long d'une barre
1) Calculer l'ordre de grandeur ∆t de la durée d'établissement du régime permanent pour une tige d'acier
homogène, de longueur L, de section droite circulaire de rayon a, de masse m, de capacité thermique massique
c, de conductivité thermique κ lors d'une diusion thermique.
2) Applications numériques :
2.a) a = 1, 0cm, m = 1, 24kg, c = 0, 46kJ.kg−1 .K −1 , L = 0, 50m et κ = 82W.m−1 .K −1 .
2.b) même matériau de longueur double.
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= π.am.L c.L
1) ∆t ≈ µ.c.L
κ
κ .
2) Applications numériques :
2.a) ∆t ≈ 103 s, soit 3 heures ;
2.b) ∆t0 = 4.∆t, soit 12 heures.
2
2
2
3.15) Diusion d'un pic de température
Soit une tige isolée et homogène, de section S constante, et susamment longue pour que le problème des
conditions aux limites ne se pose pas. À l'instant initial, la répartition température est une fonction gaussienne
de x :
2
−
T (x, t = 0) = T0 + θ.e
1) Vérier que T (x, t) = T0 + r
θ
4.D.t
+1
l2
0
.e
−
x2
4.D.t+l2
0
x
l0
est solution de l'équation de diusion.
2) Etudier T (x, t) à t xé :
2.a) Que vaut son maximum Tmax (t) ?
2.b) Possède-t-elle des propriétés de parité ?
2.c) Donner l'allure de T (x, t).
On dénit la largeur l(t) à l'instant t du pic de température par la largeur de l'ensemble des positions x
0
.
telles que T (x, t) − T0 > Tmax (t)−T
e
3) Dénir et calculer l(t), la largeur à l'instant t du pic de température.
κ
1) D = µ.c
.
2) Etude de T (x, t) à t xé :
2.a) Tmax = T0 + r θ .
4.D.t
+1
l2
0
3)
2.b) T (x, t) est paire.
2.c) L'allure
p de T (x, t) est une courbe en cloche (gaussienne).
l(t) = 2. 4.D.t + l02 .
3.16) Etude d'une cave enterrée
On modélise la terre entre le sol et le plafond d'une cave enterrée par un milieu solide homogène de masse
volumique µ, de conduction thermique κ et de capacité calorique massique c.
Toutes les variables ne dépendent que du temps t et de z la profondeur.
∂2T
1) Ré-écrire l'équation de diusion thermique sous la forme : ∂T
∂t = D. ∂z 2 . Que vaut D ? Application
numérique dans le cas de la pierre calcaire : µ = 2320kg.m−3 , c = 810J.K −1 .kg −1 κ = 2, 2W.m−1 .K −1 .
On s'intéresse à des solutions de type : Tω .ej(ω.t−k.z) où Tω et ω sont des réels positifs.
2) Trouver la relation de dispersion,z c'est à dire une équation du type : ω = f (k).
3) Montrer que T (z, t) = Tω .e− ∆z cos [ω. (t − ∆t)]. On exprimera numériquement pour une épaisseur
2.π
z = 1, 0m et une uctuation diurne (ω = 24h
):
3.a) ∆t ;
3.b) ∆z ; z
3.c) et e− ∆z . Conclusion.
κ
1) Question de cours : D = µ.c
= 1, 2.10−6 m2 .s−1 .
2
2) ω = j.D.k .
3) La solution est :
z
Tω .e− ∆z . cos (ω. (t − ∆t (z)))
avec :
3.a)
3.b)
3.c)
∆t = 75.103 s = 21h.
∆z = 18cm.
z
e− ∆z = 0, 42%.
4. Le rayonnement et l'eet de serre
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Travaux
dirigés
vendredi 23 septembre 2016
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
Les igloos
D'après
article wikipédia igloo
S'entourer de glace pour se réchauer.
Un igloo (mot inuktitut, signiant maison ),
ou iglou selon la nouvelle orthographe, est un abri
construit en blocs de neige. Ils ont habituellement
la forme d'un dôme. En raison des excellentes propriétés isolantes de la neige, l'intérieur des igloos
et des quinzys (type d'abri de neige) est étonnamment confortable.
La neige utilisée pour faire un igloo doit avoir
une résistance structurelle susante pour pouvoir
être coupée et empilée de manière appropriée. La
meilleure neige à employer à cette n est une neige
qui a été pressée par le vent, ce qui rend compacts
les cristaux de glace. On utilise généralement le
trou dont on extrait les blocs de neige compacts
pour faire la partie inférieure de l'abri. Les blocs
de neige, découpés à l'aide d'un couteau, doivent
être d'environ 1 mètre de long, 40 cm de haut et
30 cm de large. Il est conseillé de les poser en spirale pour faciliter la construction d'un dôme. L'entrée doit être
positionnée le plus bas possible pour éviter que le vent ne s'y engoure.
On donne :
- la conductivité thermique de la neige κ = 0, 25 W · K−1 · m−1 ;
- la loi de Newton : Pth = hS (Tsolide − Tf luide ) ;
- la loi de Stefan-Boltzman : Pth = σST 4 , où σ = 5, 67 × 10−8 W · m−2 · K−4 .
Enoncé
1) Estimer la température dans un igloo qui contient un homme.
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Devoir
non surveillé
vendredi 23 septembre 2016
Le document est à lire, l'exercice est à rendre.
Chaleur en perdition
Jean-Michel COURTY et Roland LEHOUCQ
c Pour la Science N◦ 281 - mars 2001.
Idées de physique La chaleur quitte la maison par 1 000 chemins, mais 5 sont plus fréquents.
Avant tout, les murs d'une habitation sont faits pour être solides.
Toutefois, quiconque paie des factures de chauage sait qu'ils doivent
être aussi isolants, et déplore que cela ne suse pas à garder la chaleur
dans la maison. Un peu de bon sens physique explique pourquoi, et
identie les cinq déperditions thermiques fréquentes dans une maison.
Ferme la porte : Il fait froid dehors ! Mille fois entendue, cette
exclamation démontre que tout le monde connaît la plus banale des
pertes thermiques de la maison : le remplacement de l'air chaud intérieur par de l'air extérieur froid. Un calfeutrage soigneux règle-t-il
le problème ? Oui, mais il en crée un autre. Pour que l'habitation soit
saine, l'air intérieur chargé en dioxyde de carbone doit souvent être
remplacé par de l'air extérieur, riche en oxygène. Selon les normes actuelles pour les habitations, le volume d'air des pièces principales doit
être renouvelé une fois par heure. Ainsi 10 kilowattheures par jour
sont nécessaires pour réchauer de 15◦ C l'air d'un appartement de 50
mètres carrés si l'on renouvelle l'air une fois par heure.
C'est pour restreindre cette perte, que les bureaux et autres grands
ensembles sont souvent équipés d'une ventilation mécanique assortie d'un échangeur de chaleur. Avant d'être
introduit dans les pièces, l'air entrant est réchaué par l'air chaud qui circule dans des tuyaux. Dans certains
échangeurs, l'air chaud est évacué par un tuyau qui chemine à l'intérieur du circuit par lequel est introduit l'air
froid. De telles géométries à contre-courant sont si ecaces que l'air entrant y atteint presque la température
de l'air intérieur.
Une fois les portes closes, et les enfants assez disciplinés pour les
fermer dès qu'elles sont ouvertes, c'est par les parois que fuit la chaleur. La conduction thermique à travers les murs, le toit, les portes,
les fenêtres ou encore le sol, est la deuxième des principales formes de
déperdition de chaleur. Expression macroscopique de l'agitation microscopique désordonnée des atomes et des molécules qui constituent
la matière, la chaleur se propage de proche en proche par l'intermédiaire des particules qui s'entrechoquent.
Ainsi, quand un milieu plus ou moins conducteur relie deux corps,
il transmet la chaleur du corps le plus chaud vers le corps le plus
froid. Les températures des deux corps ainsi reliés s'uniformisent en
un temps inversement proportionnel à la conductivité thermique du
milieu de transmission. Notons toutefois que la géométrie du milieu
de transmission inue aussi sur la durée d'uniformisation thermique :
quand son épaisseur double ou que sa surface de contact avec l'un des
deux corps est réduite de moitié, cette durée double.
La conductivité thermique d'un matériau dépend de sa densité, car
plus les particules par unité de volume sont nombreuses, plus les chocs
sont fréquents. De fait, les métaux sont de bien meilleurs conducteurs
thermiques que le béton, qui lui-même conduit mieux que le bois.
L'acier transmet 52 watts par mètre et par degré, le béton 1,75 et le bois, un bon isolant, seulement 0,06. Les
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gaz arrêtent aussi très bien la chaleur. L'air, par exemple, a une conductivité de 0,025 watt par mètre et par
degré. Toutefois le meilleur de tous les isolants est tout simplement le vide. La raison en est simple : dans une
région sans matière, il ne peut pas y avoir de chocs entre particules. C'est pourquoi les bouteilles Thermos, où
l'on fait le vide entre les doubles parois, retiennent si bien la chaleur. En fait, le vide serait un isolant parfait,
s'il ne laissait pas passer une autre forme d'énergie thermique : le rayonnement infrarouge qu'émet tout corps
chaud.
Limiter les pertes par conduction
Que faire pour limiter les pertes par conduction ? Isoler ! Le mieux n'est-il pas de construire sa maison
en matériaux isolants ? C'est dicile, car les matériaux isolants sont rarement assez solides pour cela, sauf
à prévoir une épaisseur de mur digne d'un château fort. Seul le bois est un isolant à la fois léger et solide,
raison pour laquelle il est très utilisé dans les pays nordiques, où abondent les forêts. Très employé, le béton
conduit malheureusement bien la chaleur. S'il est massivement utilisé dans une maison, les couches d'isolants
sont indispensables. Les isolants courants sont tous à base d'air, le meilleur isolant après le vide.
Ainsi, bien que le verre soit un bon conducteur thermique, la laine de verre est un meilleur isolant, car elle
contient 99 pour cent d'air ! Autre exemple, le polystyrène expansé, lui aussi une excellente barrière thermique,
renferme une multitude de micro-bulles d'air. C'est aussi le cas de la neige gelée dont les Esquimaux construisent
leurs igloos.
Malgré sa très faible conductivité thermique, l'air est la troisième cause importante de déperdition thermique
dans une maison. Comment est-ce possible, alors que ce gaz est un si bon isolant ? Les apparences sont trompeuses : l'air n'isole que s'il est strictement immobile. Nous savons tous que la sensation de froid est moins forte
par un matin calme à −10◦ C que par un matin venteux où il fait 0◦ C . En eet, l'air en mouvement transporte
la chaleur avec une redoutable ecacité, un phénomène désigné par le terme de convection. À l'intérieur d'une
maison, la convection est soit précieuse, soit gênante. Elle est précieuse quand elle aide à homogénéiser la température des pièces habitées. Ainsi, elle peut être forcée à l'aide d'un ventilateur placé devant une source d'air
chaud. D'emploi fréquent dans les hôtels, les ventilo-convecteurs sont bâtis sur ce principe ; la convection qu'ils
créent uniformise vite la température, ce qui augmente la sensation de confort. En revanche, dans les convecteurs
sans ventilateurs, la convection est naturelle : l'air chaud produit au contact de résistances électriques quitte le
radiateur par le haut (ce qui crée un mouvement d'aspiration de l'air froid situé en dessous), s'élève et crée une
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circulation d'air dans la pièce. À mesure qu'il s'élève, il échange de la chaleur avec l'air ambiant plus froid et
se refroidit. Sa densité augmente et il nit par redescendre. En revanche, la convection est gênante quand elle
se crée dans les combles. Le phénomène a souvent une ampleur insoupçonnée. Pour le minimiser, il faut limiter
les mouvements de l'air, par exemple en déposant un couche épaisse de laine de verre sous le toit.
Une fois les murs et le toit isolés, restent les ouvertures. Elles représentent la quatrième grande cause de
déperdition thermique. Ainsi, la perte d'énergie à travers une seule fenêtre de 2 mètres carrés est la même qu'à
travers une façade normale de 100 mètres carrés. Les fenêtres créent de grandes fuites thermiques à cause de
leurs carreaux en verre. À épaisseur égale, le verre conduit à peu près aussi bien la chaleur que le béton. Or, les
carreaux de verre sont au moins 50 fois moins épais que les murs de béton. Une fois de plus, l'une des meilleures
protections est à base d'air : les doubles vitrages. L'intervalle entre les carreaux y est si étroit que l'air se trouve
immobilisé ; sa conductivité thermique 100 fois plus faible que celle du verre joue alors à plein son rôle d'isolant.
Pour augmenter encore les économies d'énergie, on peut aussi utiliser des vitrages particuliers, dont l'une des
parois a été revêtue d'une couche d'oxyde métallique qui bloque le rayonnement thermique.
Eets d'ailettes
Non moins sournoise, la cinquième grande forme de déperdition thermique est la conduction à travers les
structures du bâti. Outre son enveloppe, une maison comprend aussi des dalles et des murs porteurs, éventuellement prolongés dans le sol par des fondations ou vers l'extérieur par des balcons. Tous ces éléments structurels
sont à la fois en contact avec l'air chaud intérieur et avec l'extérieur. Quand une bonne partie de leur surface est
exposée à l'extérieur, ils se comportent comme de véritables ailettes de radiateur. Ces structures sont des lames
métalliques ajoutées sur un radiateur pour augmenter la surface de contact entre le corps chaud et l'air froid.
Les ailettes contournées des radiateurs de microprocesseurs illustrent bien le phénomène ; leur surface de contact
avec l'air-est si grande que leur taille excède celle de la puce qu'elles refroidissent ! Or, un mur de soutènement
perpendiculaire à la façade ou à la dalle qui soutient un balcon a le même eet qu'une ailette. Pour le constater,
placez-vous à l'intérieur d'une pièce et passez votre main sur un tel mur en la rapprochant de la façade ; vous
constaterez qu'à environ 70 centimètres de la façade, la température du mur diminue. C'est là que commence
la portion du mur qui diuse au maximum. Le mur se comporte comme une ailette de la maison.
Dans une maison, les pertes dues à la conduction à travers les structures reliant l'intérieur à l'extérieur
représentent souvent jusqu'à cinq pour cent des pertes totales. Comment les réduire ? Le mieux est de recourir
à une isolation extérieure de la façade. Ainsi, les habitants des pays du Nord habillent de bois, d'ardoises,
de plaques goudronnées les murs de pierre ou de béton de leurs maisons, et introduisent de la paille dans les
interstices.
Suivant la conguration de la maison, certains mécanismes de déperdition de chaleur prédomineront. Les
mesures prises pour les réduire devront être adaptées à ces mécanismes particuliers. Une fois les fuites d'air et
les pertes de chaleur par conduction maîtrisées, il importe de contrecarrer les eets sournois de la convection.
Faire poser des doubles vitrages sera peu utile si des échanges d'air excessifs avec l'extérieur subsistent. La
recherche d'un bon équilibre thermique est aaire de compromis.
Enoncé
1) Renouvellement de l'air.
1.a) Vérier que "10 kilowattheures par jour sont nécessaires pour réchauer de 15◦ C l'air d'un appar-
tement de 50 mètres carrés si l'on renouvelle l'air une fois par heure". On donne la masse volumique de l'air
µ = 1, 3 kg · m−3 et sa capacité thermique massique à pression constante cp = 103 J · kg−1 · K−1 .
1.b) Représenter schématiquement un échangeur thermique à contre courant .
2) Conductivité thermique
2.a) Rappeler la loi de Fourier et lister les valeurs de conductivités thermiques qu'on peut trouver dans
le texte.
2.b) Dénir la résistance thermique Rth d'un "milieu plus ou moins conducteur [qui] relie deux corps"
et vérier que Rth est "inversement proportionnel à la conductivité thermique du milieu de transmission" et
que "quand son épaisseur double ou que sa surface de contact avec l'un des deux corps est réduite de moitié"
Rth double.
2.c) Vérier aussi que "la perte d'énergie à travers une seule fenêtre de 2 mètres carrés est la même
qu'à travers une façade normale de 100 mètres carrés". On fera un schéma qui représente l'équivalent électrique
dans le cas de la fenêtre et de la façade.
2.d) Faire un schéma qui représente l'équivalent électrique dans le cas du double vitrage. Comment
varie alors Rth quand on passe d'un simple à un double vitrage ?
3) Conducto-convection et eet d'ailette
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3.a) Faire un schéma et expliciter les grandeurs présentes dans la loi de Newton : δQ = Sh (Ts − Ta ) dt.
On donne h = 15 W · m−2 · K−1 pour l'interface béton-air.
On considère la dalle en béton d'un balcon de section rectangulaire de cotés a = 10 cm, suivant l'axe y ,
b = 2 m suivant l'axe x et L = 1, 2 m suivant l'axe z . Elle est xée à une paroi à température T0 = 20◦ C et
z = 0 et est en contact avec l'air de température Ta = 5◦ C .
3.b) Montrer que l'équation diérentielle à laquelle obéit en régime permanent la température T (z) de
l'ailette peut s'écrire
T (z)
Ta
∂2T
− 2 =− 2
2
∂z
δ
δ
On donnera la longueur caractéristique δ .
3.c) Résoudre cette équation, en supposant l'ailette de longueur innie. A quelle condition concrète,
l'hypothèse ailette innie est elle légitime ? Est ce le cas ici ?
3.d) Quelle est alors la puissance thermique évacuée par l'ailette ? Commenter.
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