Géométrie différentielle complexe, faisceaux et cohomologie

G´eom´etrie diff´erentielle complexe, faisceaux et
cohomologie
Claire Voisin
CNRS et ´ Ecole Polytechnique

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Table des mati`eres
1 Vari´et´es et fibr´es vectoriels 5
1.1 Vari´et´es et sous-vari´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Coordonn´ees locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Partition de l’unit´e, th´eor`eme de plongement . . . . . . . 8
1.1.3 Vari´et´es complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Fibr´esvectoriels ........................... 11
1.2.1 Fibr´es vectoriels : d´efinition, op´erations . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Dual, produit tensoriel, Hom . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 M´etriques et structures complexes . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Fibr´es vectoriels holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Exemples ............................... 19
1.3.1 Sph`eres et tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Grassmanniennes et fibr´es tautologiques . . . . . . . . . 21
2 Formes diff´erentielles 25
2.1 Formes et leurs diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 D´erivations et champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Fibr´es tangent et cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Lemme de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Op´erateur ∂sur les vari´et´es complexes . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Structure holomorphe sur le fibr´e tangent . . . . . . . . . 31
2.2.2 Op´erateur ∂sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Formes de type (0, i) et lemme de Dolbeault . . . . . . . . 34
3 Faisceaux 37
3.1 Faisceaux et pr´efaisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 D´efinitions g´en´erales, exemples . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Op´erations, sections globales et suites exactes . . . . . . . 40
3.2 Cocycles de ˇ Cech et cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Cocycles de ˇ Cech et fibr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Suite exacte longue de cohomologie . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3 Suite exacte exponentielle et premi`ere classe de Chern . . 50
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4TABLE DES MATI ` ERES
4 Cohomologies de de Rham et de Dolbeault 53
4.1 Cohomologie de de Rham et comparaison . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Cohomologie des fibr´es vectoriels holomorphes . . . . . . . . . . . 57
4.2.1 Op´erateur ∂sur un fibr´e holomorphe . . . . . . . . . . . . 57
4.2.2 R´esolution de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Application aux surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Cohomologie des sph`eres et des espaces projectifs 65
5.1 Cohomologie des sph`eres et des fibr´es en cercles . . . . . . . . . . 65
5.1.1 Fonctorialit´e ......................... 65
5.1.2 Sph`eres ............................ 66
5.1.3 Fibr´es en cercles orient´es et premi`ere classe de Chern . . 68
5.2 Application : cohomologie de l’espace projectif . . . . . . . . . . 71

Chapitre 1
Vari´et´es et fibr´es vectoriels
1.1 Vari´et´es et sous-vari´et´es
1.1.1 Coordonn´ees locales
D´efinition 1.1.1. Une sous-vari´et´e de RN(de classe Ck) de dimension nest
la donn´ee d’un ferm´e X⊂RNayant la propri´et´e suivante : Pour tout x∈X,
il existe une boule Bx⊂RNcentr´ee en x, telle que
X∩Bx={y∈Bx, f1(y) = 0, . . . , fN−n(y) = 0}(1.1.1)
o`u les fisont des fonctions de classe Cksur Bxtelles que les diff´erentielles
dfi=j
∂f
∂xjdxjsont ind´ependantes en tout point de Bx.
Une telle vari´et´e est compacte lorsqu’elle est contenue dans une boule B⊂
RN.
L’espace tangent TX,x `a une telle sous-vari´et´e en x∈Xest le sous-espace
vectoriel de RNd´efini par
TX,x ={v= (v,...,vN)∈RN, dfi(v) := 
j
vj
∂fi
∂xj
= 0,∀i= 1, . . . , N −n}.
On va montrer que l’espace TX,x ainsi d´efini ne d´epend pas du choix des ´equations
locales fi.
Dans la situation pr´ec´edente, le th´eor`eme d’inversion locale fournit pour tout
x∈Xdes fonctions diff´erentiables (de classe Ck)g1, . . . , gnd´efinies dans une
boule ´eventuellement restreinte B′
x⊂Bx, telles que
(g1, . . . , gn, f1. . . , fN−n) : B′
x→RN
est un diff´eomorphisme Ψ sur son image. Les fonctions g1(x), . . . , gn(x), f1(x). . . , fN−n(x)
fournissent donc des coordonn´ees locales x′
1, . . . , x′
Nsur B′
x, telles que
X∩B′
x⊇ {(x′ 1, . . . , x′ n,0, . . . , 0,|x′ i|< } ⊂ B′ x,(1.1.2)
pour un suffisamment petit.
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