Energie dans un champ uniforme

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
Chapitre n° 2 : ENERGIE DANS UN CHAMP UNIFORME
I) Champ de pesanteur :
1) Force gravitationnelle et poids :
On considère un objet de masse m suspendu à un fil, en équilibre par rapport au référentiel
du laboratoire (référentiel terrestre).
→
→
→
Il semble que l'on puisse écrire :
T +F = 0
Or le référentiel terrestre n'est pas galiléen par rapport au référentiel géocentrique (qui est
très galiléen). Par rapport au référentiel géocentrique (galiléen), l'objet est en mouvement de
→
→
→
T + F = m. a
rotation uniforme, on a donc :
→
Où a est l'accélération due à la rotation de la Terre (accélération centripète).
On peut vérifier que cette accélération a une valeur très petite et que, en module, m.a est
→
→
→
→
→
→
négligeable devant F et T. On a donc T + F = ε ou T = − (F − ε )
→
F est la force de gravitation, mais, par définition le poids d'un objet est la force qu'exerce la
→
→
→
Terre sur cet objet vue dans le référentiel terrestre (non galiléen), donc : P = F − ε
→
→
Soit
P ≈F
En première approximation, le poids d'un objet au voisinage de la surface de la Terre est
égal à la force gravitationnelle qu'il subit.
Remarques : En toute rigueur le poids est légèrement différent de la force de gravitation, en
particulier la verticale du lieu ne coïncide pas avec la radiale pour un point
situé à une latitude quelconque.
2) Champ de gravitation et champ de pesanteur :
→
→
→
→
Le champ de gravitation G est défini par F = m. G où F est la force de gravitation définie
dans un référentiel galiléen. Pour les mêmes raisons que ci-dessus le champ de pesanteur
→
→
→
→
→
g défini dans le référentiel terrestre par P = m. g . g est différent de G .
→
→
Mais pour les mêmes raisons nous admettrons que g ≈ G
En première approximation, le champ de pesanteur et le champ de gravitation au voisinage
de la surface d'un astre en rotation sont égaux.
3) Champ de pesanteur uniforme :
Nous avons vu que le champ de gravitation (et le champ de pesanteur) est un champ radial.
Mais, si on se restreint à un petit volume à la surface de la Terre, on peut montrer que le
champ de pesanteur varie très peu en direction et en mesure.
a) Direction du champ de pesanteur :
En effet, à la surface de la Terre le la direction du champ de pesanteur ne varie pas de
plus de 1° d'angle lorsqu'on se déplace de 100 km !
Remarques : Le mille nautique (NM) est la longueur de l'arc de grand cercle à la surface
du globe terrestre, sous-tendu par un angle au centre de la Terre de 1
minute d'angle. Donc
1 NM = 4.107/(360x60) = 1852 m
1 ° soit 60 ' d'angle au centre de la Terre correspond à une distance de :
60x1,852 = 111,111 km.
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b) Mesure du champ de pesanteur :
L'expression de la mesure du champ de pesanteur est : g = K. M2T
r
Posons r = RT + z, où z est l'altitude au dessus du sol est RT le rayon moyen de la Terre.
On a donc : à l'altitude z, g(z) = K. MT 2 , au sol g(0) = g0 = K. MT2
(RT + z )
RT
RT
≈ g0. 1 − 2. z 
2
(RT + z )
RT 

Avec RT = 6380 km et une altitude de z = 30 km (2.z/RT = 0,009) : on voit donc que
l'intensité du champ de pesanteur décroît de moins de 1 % lorsqu'on s'élève à 30 km
d'altitude !
2
g = g0.
D'où
c) Conclusion :
Dans un volume cubique de 10 km de coté à la surface de la Terre, nous pourrons
considérer le champ de pesanteur comme uniforme (constant en direction et en intensité).
Sa direction est la verticale du lieu et son intensité est g0 ≈ 9,81 m.s−2.
Dans ce volume, nous considérerons qu'un objet de masse m est soumis à une force
→
constante, son poids :
→
P = m. g0
II) Energie potentielle et potentiel de pesanteur dans un champ uniforme :
1) Travail fourni par un opérateur :
Pour déplacer un objet de masse m, de centre de gravité G, de façon quasi-statique,
l'opérateur doit exercer, à chaque instant une force égale et opposée au poids de l'objet :
→
→
→
Fopérateur = − P = − m. g0
On peut écrire symboliquement le travail que doit fournir l'opérateur
pour faire passer l'objet de façon quasi-statique, d'une configuration
dans laquelle le centre de gravité G de l'objet est en un point A,
d’altitude zA, à une configuration dans laquelle G serait en un point
B, d’altitude zB :
→
→
→
→
W (opérateur ) = Σ δW = Σ Fopérateur . δl = Σ − P . δl
A →B
A →B
A →B
A →B
→
→
On montre, dans un premier temps (et nous admettrons), que, P = m. g0 étant un vecteur
→
→
constant, ce travail peut s'écrire : W (opérateur ) = − P . AB
A →B
→
→
→
→
On peut alors montrer que le produit scalaire P . AB = P.AB.cos(P , AB ) = − P.(zB − zA).
L’expression du travail de l’opérateur est donc :
→
→
W (opérateur ) = − P . AB = m.g0.(zB − zA)
A →B
2) Energie potentielle de pesanteur :
On veut déterminer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet de masse m
dont le centre de gravité G se trouve à une altitude h au dessus du sol.
Dans le cas du champ de pesanteur uniforme, pour définir l'origine des énergies potentielles,
on a coutume de choisir la configuration dans laquelle l'objet de masse m est posé au sol :
zA = 0 et zB = h
L'expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un objet de masse m situé à l'altitude h
est :
EPg0(h) = m.g0.h
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3) Potentiel de pesanteur :
On peut définir un potentiel de pesanteur à une altitude h au dessus du sol, le sol étant pris
E (h)
comme référence : VPg(h) = Pg
= g0.h
m
Dans le champ de pesanteur uniforme, les équipotentielles sont des plans horizontaux.
Remarques : Ici encore, on vérifie que les surfaces équipotentielles de pesanteur sont bien
orthogonales en tous points aux lignes de champ qui sont verticales.
III) Energie d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme :
1) Champ électrique uniforme :
Un condensateur électrique est un dispositif constitué de deux plaques conductrices
séparées par un milieu isolant.
On montre que le champ électrique est uniforme entre les
plaques (même direction, même sens et même mesure en
tous les points de l'isolant).
Soit d la distance entre les plaques et S la surface "en
regard" des plaques.
Pour faire apparaître des charges sur les plaques P et N, il
faut appliquer une tension UPN entre ces plaques.
Le champ électrique qui règne entre les plaques a pour :
- direction : la perpendiculaire aux plaques.
- sens : du potentiel le plus élevé vers le potentiel le plus
bas (le champ "descend les potentiels"), le champ est
orienté de la charge positive vers la charge négative.
UPN
- valeur : E =
, UPN tension entre les plaques (en V), d
d
distance entre les plaques (en m).
2) Potentiel et différence de potentiel électrique dans un champ électrique uniforme :
a) Travail fourni par un opérateur :
On considère une particule ponctuelle de charge q, de masse m, placée dans un champ
→
électrique uniforme E .
→
→
→
→
La particule est soumise à une force électrique F = q. E et à son poids P = m. g0 .
Nous admettrons que pour une particule, on a toujours F >> P : nous négligerons les
effets du poids devant ceux de la force électrique.
Pour déplacer la charge q, de façon quasi-statique, l'opérateur doit exercer, à chaque
→
→
→
instant une force égale et opposée à la force électrique : Fopérateur = − F = − q. E
On peut écrire symboliquement le travail que doit fournir l'opérateur pour faire passer la
charge q de façon quasi-statique, d'une configuration dans laquelle elle se trouve en un
point A, à une configuration dans laquelle la charge serait en un point B :
→
→
→
→
W (opérateur ) = Σ δW = Σ Fopérateur . δl = Σ − F . δl
A →B
A →B
A →B
A →B
→
→
On montre, dans un premier temps (et nous l’admettrons), que, F = q. E étant un vecteur
→
→
→
→
constant, ce travail peut s'écrire : W (opérateur ) = − F . AB = − F.AB.cos( F , AB )
→
→
→
A →B
→
→
→
→
→
− F . AB = − q. E . AB = -- q.E .AB .cos( E , AB )
Ce travail est indépendant du chemin suivi et ne dépend que de la position de A et B.
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Définissons un axe Ox parallèle aux lignes de champ et orienté dans
un sens arbitraire. Soit xA l’abscisse du point A et xB celle du point B.
→
→
En fait, le produit scalaire E . AB qui apparaît dans l'expression du
→
travail de l’opérateur représente la "circulation" du vecteur E entre
→
→
les points A et B (comme le produit scalaire F . AB représente le
→
"déplacement" de la force F entre les points A et B).
Géométriquement et algébriquement, on voit que :
→
→
→
→
→
→
E . AB = E .AB .cos( E , AB ) = Ex.(xB − xA)
→
Où Ex est la projection du vecteur E sur l'axe orienté Ox
D’où
W (opérateur ) = − q.Ex.(xB − xA) = q.(Ex.xA -- Ex.xA)
A →B
Pour définir l'origine des énergies potentielles électriques posons : EPé(x = 0) = 0
Pour xA = 0 et xB = x, on obtient : EPé(x) = W (opérateur ) = − q.Ex.x
A →B
b) Potentiel et différence de potentiel :
Le potentiel électrique en un point M d'abscisse x est : VM = -- Ex.x
On appelle différence de potentiel (ou tension) entre deux points A et B, le scalaire :
UAB = VA − VB = Ex.(xB − xA)
D'où
→
→
W (opérateur ) = − q. E . AB = − q.E.(xB − xA) = q.(VB − VA) = − q.(VA − VB)
A →B
→
→
E . AB = VA − VB
En résumé :
Remarques : Dans un champ uniforme les équipotentielles sont des plans orthogonaux au
→
→
→
→
champ électrique. En effet, E . AB = 0 si E et AB sont orthogonaux et
→
dans ce cas A et B sont dans le même plan orthogonal au vecteur E . On a
alors VA − VB = 0 ou VA = VB : les deux points sont au même potentiel.
Finalement, le travail que doit fournir l'opérateur pour faire passer la charge q de façon
quasi-statique, d'une configuration dans laquelle elle se trouve en un point A, à une
configuration dans laquelle la charge est en un point B est donné par :
→
W (opérateur ) = − q.(VA − VB) = − q.UAB = − W (F)
A →B
→
A →B
Où W (F) est le travail de la force électrique sur le même déplacement.
A →B
3) Accélération d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme :
On considère une particule ponctuelle de charge q, de masse m, placée dans un champ
→
→
→
électrique uniforme E . La particule est soumise à une force électrique F = q. E .
Si la force est seule à agir, l'énergie cinétique de la particule varie sous l'action de cette
force : la variation de l'énergie cinétique entre deux instants est égale au travail de la force
électrique entre ces deux instants.
Lorsque la particule se déplace d'un point A à un point B, on a :
→
2
2
W (F) = q.UAB = q.(VA − VB) = ∆EC = 1 .m.vB − 1 .m.vA
2
2
A →B
Remarques : Ne pas confondre différence dans l'espace (de potentiel UAB = VA − VB) et
variation dans le temps (d'énergie cinétique ∆EC = ECB − ECA).
1 électron-volt (1 eV) est l'énergie cinétique acquise par une charge électrique élémentaire e
dans une différence de potentiel de 1 V : 1 eV = 1,6.10−19 J.
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A RETENIR
I) Force et champ de pesanteur :
En première approximation, le poids d'un objet au voisinage de la surface de la Terre est
→
→
égal à la force gravitationnelle qu'il subit : P ≈ F
En première approximation, le champ de pesanteur et le champ de gravitation au voisinage
→
→
de la surface d'un astre en rotation sont égaux : g ≈ G
Dans un volume cubique de 10 km de coté environ, à la surface de la Terre, nous pourrons
considérer le champ de pesanteur comme uniforme (constant en direction et en intensité).
Sa direction est la verticale du lieu est son intensité est g0 ≈ 9,81 m.s−2.
Dans ce volume, nous considérerons qu'un objet de masse m est soumis à une force
→
constante, son poids :
→
P = m. g0
II) Energie potentielle et potentiel de pesanteur dans un champ uniforme :
1) Travail fourni par un opérateur :
→
→
W (opérateur ) = − P . AB = m.g0.(zB − zA)
A →B
2) Energie potentielle et potentiel de pesanteur :
On choisit la configuration dans laquelle l'objet de masse m est posé au sol :
zA = 0 et zB = h
L'expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un objet de masse m situé à l'altitude h
est :
EPg0(h) = m.g0.h
E (h)
VPg(h) = Pg
= g0.h
m
Dans le champ de pesanteur uniforme, les équipotentielles sont des plans horizontaux.
III) Energie d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme :
1) Champ électrique uniforme :
Le champ électrique entre les plaques d'un condensateur est uniforme.
Il est dirigé du potentiel le plus élevé vers le potentiel le plus bas et E =
UPN
d
2) Potentiel et différence de potentiel électrique dans un champ électrique uniforme :
Travail fourni par un opérateur : W (opérateur ) = − q.Ex.(xB − xA)
A →B
On appelle différence de potentiel (ou tension) entre deux points A et B, le scalaire :
→
→
UAB = VA − VB = Ex.(xB − xA) = E . AB
→
W (opérateur ) = − q.(VA − VB) = − q.UAB = − W (F)
A →B
A →B
3) Accélération d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme :
→
2
2
W (F) = q.UAB = q.(VA − VB) = ∆EC = 1 .m.vB − 1 .m.vA
2
2
A →B
1 électron-volt (1 eV) est l'énergie cinétique acquise par une charge électrique élémentaire e
dans une différence de potentiel de 1 V : 1 eV = 1,6.10−19 J.
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POUR S'ENTRAÎNER
I) Energie potentielle de pesanteur.
Une personne de masse m = 60 kg monte 6 étages à pied. La hauteur de chaque étage est de
3,0 m. Approuvez ou réfutez les propositions suivantes en justifiant votre réponse.
a) L'énergie potentielle de pesanteur de la personne placée dans le champ de pesanteur n'a
pas varié, car la personne a fourni un effort pour monter.
b) L'énergie potentielle du système Terre-personne a augmenté.
c) L'état de référence est nécessairement pris au rez-de-chaussée.
d) L'état de référence peut être pris au 6° étage, dans ce cas l'énergie potentielle du "système
personne dans le champ de pesanteur" a forcément diminué puisqu'elle est devenue nulle.
e) D'un étage à l'autre, la variation d'énergie potentielle de pesanteur de la personne est la
même, quels que soient les étages considérés.
II) Saut à l'élastique.
Un adepte du saut à l'élastique, de masse m = 75 kg, se laisse tomber dans le vide d'un point
O où est fixée une extrémité de l'élastique. L'autre extrémité est accrochée à un baudrier revêtu
par le sauteur sportif. La longueur de l'élastique non tendu est l0 = 10 m.
Tant qu’il n’est pas tendu, l’élastique n’exerce aucune force. Lorsqu'il est tendu il s'allonge
proportionnellement à la tension qu'il subit. La mesure de la tension est donc donnée par :
T = k.(l − l0) avec l > l0 et k = 100 N.m−1.
On admettra que la chute est verticale et que dès que l'élastique commence à se tendre, elle
reste verticale. On néglige les frottements de l'air ainsi que la masse de l'élastique.
On prendra g = 10 m.s−2.
a) Faire le bilan des forces appliquées au sauteur avant que l'élastique ne se tende. En utilisant
le théorème de l'énergie cinétique, déterminer la mesure de la vitesse acquise par le sauteur
lorsque l'élastique commence juste à se tendre.
b) Faire le bilan des forces appliquées au sauteur après que l'élastique a commencé à se
→
tendre. Exprimer la tension T (vecteur) appliquée au sauteur par l'élastique quand l > l0.
→
→
c) i. Exprimer algébriquement le travail élémentaire δW( T ) de cette force de tension T pour
→
un petit allongement δl de l'élastique. Exprimer δW( T ) en fonction de T et de δl puis en
fonction de l et δl.
→
ii. En déduire le travail algébrique W( T ) de la force de tension appliquée par l'élastique au
sauteur lorsque sa longueur passe de l0 à l1.
d) En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, déterminer la longueur maximale lM
atteinte par l'élastique ainsi que la hauteur de chute hM correspondante du sauteur.
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