Chapitre V

I Superposition d’´ etats
Chapitre V
Le principe de superposition lin´eaire
Dans le chapitre pr´ec´edent nous avons explicit´e des exemples de solutions stationnaires
de l’´equation de Schr¨odinger `a une dimension dans un certain nombre de cas simples. Par
solution stationnaire, on entend une solution du type
Ψ(x, t) = φ(x)e−iEt/!.(5.1)
Pour une telle solution, P(x, t) = |Ψ|2=|φ|2est ind´ependante du temps (d’o`u le nom
“stationnaire”). Plus particuli`erement nous avons trouv´e les valeurs de Epour lesquelles une
solution de la forme (5.1) existait. Ces valeurs de Ed´efinissent le “spectre de l’hamiltonien”
`a savoir les valeurs propres
ˆ
Hφ(x) = Eφ(x) (5.2)
de l’op´erateur ˆ Hainsi que les fonctions propres correspondantes. Nous avons vu (puits de
potentiel infini ou oscillateur harmonique `a une dimension) que pour des “´etats li´es” ce spectre
´etait discret (quantification de l’´energie) tandis que pour une particule libre (ou pour des
“´etats de diffusion”) le spectre de ˆ Hest continu. L’amplitude de probabilit´e correspondant `a
une valeur donn´ee de Edans le spectre continu n’est pas “normalisable” et dans ces conditions
on ne peut plus parler que de probabilit´es relatives.
Pour d´evelopper davantage notre intuition de la physique quantique nous commen¸cons
par nous restreindre `a des ´etats li´es et nous cherchons `a caract´eriser la “solution g´en´erale”
de l’´equation de Schr¨odinger dans le cas d’un hamiltonien dont le spectre est discret.
I Superposition d’´etats
Pour fixer les id´ees nous allons consid´erer le cas du puits infini (voir Chapitre III). Il est
fortement recommand´e de r´ep´eter les raisonnements et calculs qui vont suivre dans le cas de
l’oscillateur harmonique `a 1 dimension.
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Chapitre 5 — Le principe de superposition lin´ eaire
Les solutions stationnaires de notre probl`eme ont ´et´e d´etermin´ees dans le chapitre III :
En=!2n2π2
2mL2,
Ψn(x, t) = φn(x)e−iEnt/!=eiαn!2
Lsin nπx Le−iEnt/!(5.3)
et
ˆ
Hφn(x) = Enφn(x)n= 1,2···
Comme l’´equation de Schr¨odinger est lin´eaire, toute superposition (lin´eaire) de solutions
est ´egalement une solution. Consid´erons, `a titre d’exemple, la superposition suivante :
Ψ(x, t) = c1!2
Lsin πx Le−iE1t/!+c2!2 Lsin 2πx Le−iE2t/!(5.4)
nous avons absorb´e les phases α1et α2dans les param`etres complexes c1et c2.
Suivant les principes g´en´eraux de la m´ecanique quantique, Ψ(x, t) donn´e par l’´equation
(5.4) est une solution de l’´equation de Schr¨odinger et comme telle doit donc ˆetre consid´er´ee
comme l’amplitude de probabilit´e d’un “´etat quantique”. Qu’est-ce que cela veut dire ?
Tout d’abord, l’amplitude Ψ(x, t) est-elle de “carr´e sommable” ?
P(x, t) = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t) = |c1|22
Lsin2πx L+|c2|22 Lsin22πx L
+c∗
1c2
2
Lsin πx Lsin 2πx Le−i(E2−E1)t/!(5.5)
+c∗
2c1
2
Lsin πx Lsin 2πx Le−i(E1−E2)t/!
et
"L
0
P(x, t)dx =|c1|2+|c2|2(5.6)
puisque
2
L"L
0
sin πx
Lsin 2πx Ldx = 0! (5.7)
L’´equation (5.7) est d’une importance capitale et nous y reviendrons. Pour l’instant con-
sid´erons l’´eq. (5.6) : pour toutes les valeurs des nombres complexes c1et c2telles que
|c1|2+|c2|2= 1, l’amplitude (5.4) est bien sˆur de carr´e sommable et nous interpr´etons, comme
pr´ec´edemment P(x, t) comme la “densit´e de probabilit´e” de trouver la particule quantique
au point x, `a l’instant t.
Il est instructif d’illustrer graphiquement le cas particulier o`u c1=c2=1
√2. Dans ce cas
Ψ(x, t) = 1
√Lsin πx
Le−iE1t/!+1
√Lsin 2πx
Le−iE2t/!(5.8)
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I Superposition d’´ etats
et
P(x, t) = 1
Lsin2πx L+1 Lsin22πx L+2 Lsin πx Lsin 2πx Lcos E2−E1 !t. (5.9)
Comme E2= 4E1, nous avons au temps t= 0
tandis qu’au temps t1=h
2E1
La variation au cours du temps de la distribution de probabilit´e est celle d’un “paquet de
probabilit´e” qui fait un mouvement de va et vient entre les murs du puits de potentiel. Ce
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Chapitre 5 — Le principe de superposition lin´ eaire
mouvement r´esulte de la superposition de “deux ´etats propres de l’´energie” et la d´ependance
temporelle est d´etermin´ee par la diff´erence des deux ´energies E2−E1.
Mais que signifie “superposer deux ´etats propres de l’´energie” ou plus pr´ecis´ement quelle
est l’´energie d’une particule quantique d´ecrite par (5.4) ?
Pour r´epondre `a la question, calculons la valeur moyenne de “l’op´erateur ´energie” c’est-
`a-dire de l’hamiltonien ˆ H=ˆp2
2m. Avec les r´esultats du chapitre III et l’´eq. (5.7), on obtient
#ˆ H$=|c1|2E1+|c2|2E2.(5.10)
Cette relation signifie qu’une mesure de l’´energie d’une particule quantique dont l’amplitude
de probabilit´e est donn´ee par (5.4) donnera toujours comme r´esultat soit E1, soit E2et ja-
mais une autre valeur. En r´ep´etant la mesure de l’´energie sur un grand nombre de particules
toutes pr´epar´ees dans l’´etat Ψ(x, t) de l’´eq. (5.4), on obtient la valeur E1une fraction |c1|2
de fois et la valeur E2une fraction |c2|2de fois. Dans le cas o`u c1=c2=1
√2, l’´eq. (5.10)
donne
#ˆ H$=E1+E2
2
qu’on peut bien appeler “l’´energie moyenne” de la particule quantique mais une “mesure” de
l’´energie ne donnera jamais cette valeur : elle donnera toujours comme valeur soit E1, soit
E2.
Pour bien comprendre ce qui pr´ec`ede, il est utile de faire l’analogie entre l’observable
“´energie” que nous discutons ici et l’observable “position” dans l’exp´erience `a 2 trous (´ecran
B) (Chap. II).
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I Superposition d’´ etats
Exp´erience `a 2 trous Observable “´energie”
•A=A1+A2•Ψ=Ψ1+Ψ2
o`u Aiest l’amplitude de probabilit´e o`u Ψiest l’amplitude de probabilit´e
de passer par le trou i, c’est-`a-dire d’avoir une ´energie Ei.
d’avoir la position xi`a un instant
donn´e (i= 1,2).
•La “position” n’est pas un attribut •L’´energie n’est pas un attribut
intrins`eque d’une particule quantique. intrins`eque d’une particule quantique.
•“Mesurer” la position donne toujours •Mesurer l’´energie donne toujours
soit la valeur x1, soit la valeur x2. soit la valeur E1, soit la valeur E2.
•La valeur moyenne de l’observable •La valeur moyenne de l’´energie
position (`a l’´ecran B) est donn´ee par est donn´ee par
x1p1+x2p2E1p1+E2p2
o`u p1ne d´epend que de A1o`u p1=|c1|2ne d´epend que de Ψ1
et p2ne d´epend que de A2.p2=|c2|2ne d´epend que de Ψ2.
Percer l’´ecran B est une mani`ere “exp´erimentale” de discr´etiser l’observable position,
tandis que dans le puits infini le spectre de ˆ Hest automatiquement discret.
Il est int´eressant de poursuivre l’analyse de la situation pour r´epondre `a la question : quel
est le r´esultat de la mesure d’une “observable” en m´ecanique quantique.
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