Word 2007

Chapitre 20 : Mouvements dans l’espace
1. Quantité de mouvement
1.1. Définition [Rappel]
Définition
À un solide, de masse m, animée d’une vitesse v (très inférieure à la célérité de la lumière) on associe une grandeur
appelée quantité de mouvement. Elle se note p et s’exprime en kilogramme mètre par seconde (symbole : kg.m.s–1) :
p  mv
m  masse du système (en kg)

1
v  vitesse de déplacement du système (en m.s )
p  quantité de mouvement du système (en kg.m.s 1 )

1.2. Conservation de la quantité de mouvement
Dans un référentiel galiléen, la quantité de mouvement d’un système isolé (soumis à aucune force) ou pseudo-isolé
(les forces se compensent) est une quantité qui se conserve (constante en fonction du temps) :
F  0

dp
0
dt
A RETENIR :
Dans un référentiel galiléen, le vecteur quantité de mouvement d’un système isolé ou pseudo-isolé est constant :
p  constante
2. Mouvement des planètes et des satellites
2.1. Vitesse d’une planète ou d’un satellite
Pour étudier le mouvement d’une planète (ou d’un satellite), de masse m, autour du Soleil (par exemple), de masse
MS, on se place dans le référentiel héliocentrique considéré comme galiléen. On prend un repère de Frenet ( O’, u n ,
u τ ).
uτ
un
On suppose que la trajectoire de la planète est un cercle de centre O et de
rayon d (ci-contre).
La planète n’est soumise qu’à une seule force, la force d’attraction du Soleil.
Comme le référentiel héliocentrique est considéré comme galiléen, et que la
seule force en présence est la force de gravitation, d’après la deuxième loi de
Newton, on a :
F  m a  G 
m  MS
M
N  m  a  a  G  2S N
2
d
d
Comme la force de gravitation est dirigée vers le centre du Soleil, l’accélération est normale et donc l’accélération
tangentielle est nulle :
aT 
dv
v2
 0 et a  aN 
(mouvement circulaire uniforme)
dt
d
 La vitesse est donc constante et le mouvement de la planète est un mouvement circulaire uniforme.
On en déduit que :
v2
d
 G
MS
d
2
 v  G
MS
d
2.2. Période de révolution d’une planète ou d’un satellite
Soit T la période de révolution de la planète autour du Soleil. Comme durant la période T, la planète parcourt la
circonférence du cercle de rayon d à la vitesse constante v, on a :
v
2πd
T
2πd

T
 G
MS
 T  2π
d
d3
G  MS
Remarque : on constate que le carré de la période de révolution est proportionnelle au cube du rayon du cercle
(c’est la troisième loi de Kepler, voir plus loin).
A RETENIR :
-
Une planète ou un satellite tournant autour de son astre attracteur a un vecteur accélération dirigé vers le
centre de sa trajectoire circulaire : son mouvement est circulaire et uniforme ;
-
Pour un mouvement circulaire uniforme, l’accélération et la vitesse d’une planète ou d’un satellite sont reliés par
une relation :
a
v  vitesse (en m.s 1 )

R  rayon de l'orbite circulaire (en m)
a  accélération (en m.s 1 )

2
v
R
2.3. Les satellites géostationnaires
Pour être géostationnaire, un satellite doit, dans le référentiel géocentrique, satisfaire à plusieurs conditions :
-
il doit décrire un cercle dans un plan perpendiculaire à l’axe des pôles. Ce plan est nécessairement celui qui
contient l’équateur terrestre ;
-
le sens du mouvement doit être le même que celui de la rotation de la Terre autour de l’axe des pôles ;
la période de révolution doit être égale à la période de rotation propre de la Terre :
T = 1 jour sidéral = 23 h 56 min = 86160 s
 Altitude d’un satellite géostationnaire :
(R T  h)3
T  2π
G  MT
 h
3
G  MT  T2
4π 2
 RT
A.N. : h = 3,58  104 km  36 000 km
 Vitesse d’un satellite géostationnaire :
v  G
MT
(R T  h)2
 v
6, 67 1011  5, 98 1024
6,37 106  3,58 107
= 3,08  103 m.s–1 = 11088 km.h–1
3. Les lois de Kepler ( TP n°19)
Première loi de Kepler (ou loi des orbites)
Dans un référentiel héliocentrique, la trajectoire d’une planète est une
ellipse (ci-contre) et le centre du Soleil occupe un des foyers. L’orbite de la
planète est elliptique.
Deuxième loi de Kepler (ou loi des aires)
Le segment reliant le Soleil à la planète balaye des aires égales pendant des
durées égales.
Troisième loi de Kepler (ou loi des périodes)
T2
a
3
 constante
T  période de révolution de la planète (en s)

a  demi-grand axe de son orbite elliptique(en m)
Remarques :
-
D’après la deuxième loi de Kepler, la vitesse d’une planète n’est pas constante : elle augmente lorsqu’elle se
rapproche du Soleil et diminue lorsqu’elle s’en éloigne ;
-
La constante de la troisième loi de Kepler ne dépend que de l’astre attracteur :
T2
4π 2

a3 G  Mastre
-
G  6,67 1011 m3 .kg 1.s 2

Mastre  masse de l'astre attracteur (en kg)
Dans le cas où l’on considère que les trajectoires des planètes et des satellites sont des cercles, on peut
déterminer leur périodes de révolution T en remplaçant, dans la troisième loi de Kepler, le demi-grand axe a de
l’ellipse par le rayon R de l’orbite circulaire :
R3
T2
4π 2

T

2π

G  M astre
R 3 G  M astre
 On retrouve l’expression déterminée au §2.2
4. Propulsion par réaction ( TP n°18)
Dans un référentiel galiléen, on considère un système pseudo-isolé S
constitué d’une fusée ainsi que de son contenu (y compris son combustible
et son comburant), de masse totale m0.
-
À l’instant t = 0, le système est immobile (fig. a).
Le vecteur quantité de mouvement du système s’écrit :
p( S ) (t  0)  m0  0  0
-
À un instant t, la fusée à éjecté une masse mg de gaz (provenant de la
réaction de combustion du combustible avec le comburant) à une
vitesse v g . On note alors mf la masse de la fusée à cet instant et v f sa
vitesse (fig. b).
Le vecteur quantité de mouvement du système s’écrit :
p(S) (t )  p(gaz éjectés) (t )  p(fusée) (t )  m g  v g  m f  v f
Comme dans un référentiel galiléen, le vecteur quantité de mouvement d’un système pseudo-isolé reste constant :
p(S) (t  0)  p(S) (t )
Soit :
0  mg  v g  m f  v f  v f  
mg  vg
mf
(avec mf = masse de la fusée à l’instant t)
 La vitesse de la fusée dépend donc de la vitesse d’éjection des gaz expulsés, de leur masse et de la masse de la
fusée.
Comment une fusée peut-elle décoller ?
Les moteurs de la fusée exercent une action mécanique sur les gaz qui se voient alors éjectés vers le bas avec une
vitesse est une quantité de mouvement dirigées vers le bas. En vertu de la troisième loi de Newton, ces gaz exercent
en « réaction » une action mécanique d’égale intensité sur les moteurs de la fusée mais de sens opposé, donc dirigée
vers le haut. C’est ainsi que la fusée décolle avec une vitesse et une quantité de mouvement opposées à celles des
gaz éjectés.
A RETENIR :
Les gaz expulsés par une fusée sont à l’origine de son mouvement : c’est le mode de propulsion par réaction qui
s’explique par la conservation de la quantité de mouvement (de la fusée et des gaz expulsés).