Important (révisions de cours) : De façon plus générale, à partir du théorème de l’enveloppe on
écrit, pour un programme de maximisation le lagrangien
(a)
Comme la fonction est homogène de degré 1 on a, . En dérivant par rapport à
on obtient
.
A partir de (a), on a pour tout
et en sommant sur tous les on a
et donc
ce qui nous amène à
. L’égalité du coût
marginal et du coût moyen est une propriété générale des fonctions à rendement constant. Cette
égalité implique par ailleurs qu’ils sont indépendants de puisque
Exercice 2. Optimisation de la production
1. ; ; ;
; ;
. La production est à rendements décroissants dans les deux usines. Pour les deux usines
. (notez au passage que est la puissance des rendements
d’échelle).
2. Le plan de production (7,3) coûterait
alors que le plan de
production (6,4) coûte
. On peut donc faire mieux que (6,4)
qui n’est pas optimal. Essayez (5,5), il coûte 175.
3. En écrivant le programme de minimisation du coût (
)
sous contrainte que on aboutit à la relation suivante :
ou
.
Compte tenu des prix donnés,
minimise le coût lorsqu’il vaut
.
.
On trouve alors
en utilisant .
La fonction de coût est la solution de
. On a alors
. Ce qui donne
4. La fonction d’offre résulte du programme
ou du programme
. Les deux programmes sont équivalents (parce que et sont indiscernables).
Le premier est plus simple, la CPO est alors
.
Pour on a alors
. Pour on a et
Le profit est donc de
Enfin, .