Eléments de correction

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6 octobre 2016
ECO1 ENPC/XT
Séance de TD n°3, théorie du producteur
Eléments de corrigé
Exercice 1. Fonction de production
1.a Rendements d’échelle constants, fonction de production homogène de degré 1, croissante,
rendements de chaque facteur décroissants (′ ≥ 0, ′′ ≤ 0). Trois taux marginaux de
substitution à considérer ((1,2) (1,3) (2,3)) puisque les autres s’en déduisent par inversion.
1,2
1 
′1 3 . 1 2

= ′ =
= ; , =
2 1 . 
1

3 2
3
2.a En égalisant TMS et prix relatifs, on obtient  = .
√1 .2 .3

et donc () = 3 . 3√1 . 2 . 3
 =  = 3. 3√1 . 2 . 3
3.a Le coût moyen est constant, on retrouve la propriété de rendement d’échelle constant. Les
graphes sont triviaux.
1.b Rendements d’échelle constants, fonction de production homogène de degré 1, croissante (ou
constante). Les taux marginaux ne sont pas définis (toutes les valeurs sont possibles à l’angle de la
fonction min).
2.b On obtient à l’optimum, quel que soient les prix 1 , 2  = 1 = 2 et () = (1 + 2 ). . La
fonction de coût est continue et dérivable.
 =  = 1 + 2
3.b Le coût moyen est constant, on retrouve la propriété de rendement d’échelle constant. Les
graphes sont triviaux.
1.c C’est la CES étudiée en TD2, appliquée ici à la fonction de production. Elle est homogène de degré
1, strictement croissante en les  et à rendements décroissant en les  (′′ < 0) un peu fastidieux.
1,2 =

1 −1
.( )
1 −  2
1
2.c Par 1,2 =
1
2
on obtient
1
1

1
2
=
.2
1−
((1−).
)
1
= , de cette expression, on tire que  =
1
1 . ( + (1 − ).  ) = 1 .  = 2 . (.   + (1 − )) = 2 . .  et donc que () =
1
. (1

+
2
).

Une fois de plus le coût marginal est constant, égal au coût moyen. Ce coût dépend de façon
complexe des prix relatifs, de  et de .
Important (révisions de cours) : De façon plus générale, à partir du théorème de l’enveloppe on
écrit, pour un programme de maximisation min ∑  .  . .  = ( ) le lagrangien ℒ = ∑  .  −
. (( ) − )
(a)
(, )

ℒ

=  =  = ′

Comme la fonction  est homogène de degré 1 on a, (. { }) = . ( ). En dérivant par rapport à
 on obtient ∑  . ′ (. { }) = ( ).
A partir de (a), on a pour tout  ′ .  . ′ =  .  et en sommant sur tous les  on a

∑ ′ .  . ′ = ∑  .  et donc ′ . [∑ ′ .  (= )] =  ce qui nous amène à ′ = . L’égalité du coût

marginal et du coût moyen est une propriété générale des fonctions à rendement constant. Cette
1



égalité implique par ailleurs qu’ils sont indépendants de  puisque ′′ = . (′ − ) = 0
Exercice 2. Optimisation de la production
1. 1 () = 1 .  2 ; ′1 () = 21 . ; 1 ()/ = 1 .  ; 2 () =
2
. .
2
2
. 2
2
2 ()

; ′2 () = 2 .  ;
=
La production est à rendements décroissants dans les deux usines. Pour les deux usines
 = 
→1
(.{ })
(.{ })


1

1
=  ∑  .  = 2. (notez au passage que  est la puissance des rendements

d’échelle).
2. Le plan de production (7,3) coûterait 72 ∗ 2 +
production (6,4) coûte 62 ∗ 2 +
42
2
32
2
∗ 10 = 98 + 45 = 143 alors que le plan de
∗ 10 = 72 + 80 = 152. On peut donc faire mieux que (6,4)
qui n’est pas optimal. Essayez (5,5), il coûte 175.
1
3. En écrivant le programme de minimisation du coût (= 1 . 1 + 2 . 2 = 1 . 12 + 2 . 2 . 22 )
1 2

sous contrainte que  = 1 + 2 = √1 + √22 on aboutit à la relation suivante : 1 = 2 22 ou
2
1
2
=
1 2
. .
2 1
Compte tenu des prix donnés,
On trouve alors 1 =
50
7
1
2
 2 =
minimise le coût lorsqu’il vaut
20
7
1 10 2
( )
2 2
= 12.5.
1
2
1
1 2
2 1
= .
5
2
= .
en utilisant 1 + 2 = 10.


La fonction de coût est la solution de 1 + 2 =   1 = 2.2 . On a alors 1 =
2
.
2.1 +2
 2 =
2.1
. .
2.1 +2
2
Ce qui donne () =
1
1 . 12
1
 .
+ 2 . 2 . 22 = 2.1 +2 .  2
1
2
4. La fonction d’offre résulte du programme max .  − () ou du programme max . (1 + 2 ) −

1 ,2
1 (1 ) − 2 (2 ). Les deux programmes sont équivalents (parce que 1 et 2 sont indiscernables).
2. .
Le premier est plus simple, la CPO est alors  =  ′ = 2. 1+2 . .
Pour 1 = 2, 2 = 10 on a alors  =
20
. .
7
1
2
Pour  = 40 on a  = 14 et (14) =
14 = 280
Le profit est donc de 40 ∗ 14 − 20 ∗ 14 = 280
Enfin, 1 = 10  2 = 4.
10
. 142
7
= 20 ∗
Problème : équilibre à la Cournot-Nash
1. La fonction de demande inverse exprime le prix unitaire maximal que les consommateurs sont
disposés à payer pour acquérir une quantité donné du bien considéré. Elle est obtenue à partir de la
fonction de demande en exprimant le prix en fonction de la quantité :
Q = 24 – p  p = 24 – Q
La demande sur le marché des céréales est satisfaite par les deux firmes A et B qui fournissent un bien
homogène. La quantité totale demandée est alors Q = Qa + Qb . La fonction de demande inverse peut
alors s’écrire en fonction de Qa et Qb :
p = 24 – (Qa + Qb)
2. La fonction de profit est une fonction décomposée de la somme des recettes moins la somme des
coûts des facteurs de production.
Le profit de la firme A s’écrit : Πa = p . (Qa) - Ca
Or la fonction de demande inverse est p = 24 – (Qa + Qb) et la fonction de coût est Ca = ½ Qa2 .
On remplace p et Ca par leurs valeurs respectives et la fonction de profit de A s’écrit alors :
Πa = (24 – (Qa + Qb)) . (Qa) - ½ Qa2

Πa = (24 – Qa + Qb) . (Qa) - ½ Qa2
De même, le profit de la firme B s’écrit : Πb = p . (Qb) – Cb
La fonction de demande inverse est p = 24 – (Qa + Qb) et la fonction de coût est Cb = ½ Qb2
On remplace p et Cb par leurs valeurs respectives pour obtenir la fonction de profit de B :
Πb = (24 – (Qa + Qb)) . (Qb) - ½ Qb2

Πb = (24 – Qa - Qb) . (Qb) - ½ Qb2
3. La fonction de réaction correspond à la production maximisant le profit de la firme en prenant en
considération la quantité produite par la firme adverse.
Pour la firme A, la maximisation du profit sous contrainte (de la production de B) est obtenue par la
condition de premier ordre :
Max Πa (Qa , Qb) = (24 – Qa - Qb) . (Qa) - ½ Qa2
La condition du premier ordre par rapport à Qa s’écrit :
Πa
Qa
= 24 − 2Qa − Qb − Qa = 0
Nous obtenons ainsi la fonction de réaction de la firme A :
Qa =
24 − Qb
3
Cette fonction de réaction représente la meilleure stratégie de la firme A. Elle exprime la quantité qui
optimise son profit, pour toute stratégie de production de la firme B (Qb).
Pour la firme B la maximisation du profit sous contrainte (de la production de A) est obtenue par la
condition de premier ordre :
Max Πb (Qa , Qb) = (24 – Qa - Qb) . (Qb) - ½ Qb2
La condition du premier ordre par rapport à Qb s’écrit :
Πb
Qb
= 24 − 2Qb − Qa − Qb = 0
Nous obtenons ainsi la fonction de réaction de la firme B :
Qb =
24 − Qa
3
4. Représentation graphique
Qb
24
FRa
8
6
Qbc
C
FRb
Qac 6
8
24
Qa
La droite Fra représente la fonction de réaction de la firme A. Si la firme B produit plus de quantités, le
prix de marché va diminuer (pour rappel, p = 24 – Q). Dans cette situation, la firme A est obligée de
baisser sa production pour limiter la baisse du prix sur le marché.
Il en est de même pour la firme B : si la firme A augmente sa production, la firme B doit réduire sa
production pour maintenir le niveau de prix. Ainsi les deux firmes présentent des fonctions de réaction
décroissantes sur ce marché.
5. L’équilibre de Cournot-Nash est représenté sur le graphique au niveau du point C (Qac, Qbc). Ce point
représente la production optimale de chaque firme en fonction de la production de la firme adverse.
En ce point d’intersection entre les deux fonctions de réaction, aucune des deux firmes n’a intérêt à
dévier unilatéralement de cet équilibre (au risque de modifier les quantités offertes, le prix
correspondant et les recettes tirées).
Les coordonnées de ce point peuvent être obtenues par la résolution des deux équations :
{
Qb =
Qa =
24− Qa
3
24− Qb
3
En substituant la première équation dans la deuxième on obtient
 =
24−
24−
3
3
, on obtient alors Qac = Qbc = 6 correspondant aux coordonnées du point C sur le
graphique.
En ce point chaque firme produit 6 unités. La quantité totale offerte sur le marché est alors :
Qc = Qac + Qbc = 6 + 6 = 12 unités.
Le prix à l’équilibre est obtenu par la fonction de demande inverse : P = 24 – (Qa + Qb)= 24 - 12 = 12.
6.Le profit de chaque firme à l’équilibre correspond à :
Firme A : Πa = P . (Qa) - Ca
or P = 12 et Ca = ½ Qa2

Πa = 12. (6) – 1/2 . (62 ) = 54
Firme B : ΠB = P . (QB) – CB
or P = 12 et CB = ½ QB2

ΠB = 12. (6) – 1/2 . (62 ) = 54
Ce résultat est conforme aux structures de coûts et aux spécificités de la demande et de prix : puisque
les deux firmes ont les mêmes fonctions de coûts, produisent les mêmes quantités de biens
homogènes, à l’équilibre de Cournot-Nash elles se partagent le marché et tirent des profits égaux.
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