Distances et lieux

Distances et lieux
1) Inégalité triangulaire et positions relatives de deux cercles
a. Inégalité triangulaire
Propriété
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est :
- plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés ;
- plus grande que la différence positive des deux autres côtés.
| - | + 
+ 
+ 
Méthode pour vérifier s’il est possible de construire un triangle
Pour déterminer si l’on peut construire un triangle dont les côtés ont des
longueurs données, il suffit de vérifier si la longueur du plus grand côté est
plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés.
Exemple
Les longueurs des côtés valent respectivement 3cm, 4cm et 2cm  4  3 + 2
Contre-exemples
 il est impossible de tracer un triangle dont les côtés mesurent
respectivement 5cm, 3cm et 2cm  5 = 3 + 2

 il est impossible de tracer un triangle dont les côtés mesurent
respectivement 5cm, 3cm, 1cm  5  3 + 1
b. Positions relatives de deux cercles
Notations
- C1 le cercle de centre O1 et de rayon r1
- C2 le cercle de centre O2 et de rayon r2
Classement des positions relatives
Nombre de points
d’intersection
Représentation géométrique
Position relative
2 points d’intersection
Les cercles sont sécants.
 r1+r2
La distance entre les centres
est comprise entre la
différence positive et la
somme des rayons.
1 seul point d’intersection
Les cercles sont tangents
extérieurement.
= r1+r2
La distance entre les centres
est égale à la somme des
rayons.
Les cercles sont tangents
intérieurement.
=   
La distance entre les centres
est égale à la différence
positive des rayons.

Pas de point d’intersection
Les cercles sont disjoints
extérieurement.
 r1+r2
La distance entre les
centresest supérieure à la
somme des rayons.
Les cercles sont disjoints
intérieurement.
La distance entre les centres
est inférieure à la différence
positive des rayons.
Cas particulier :
Les cercles sont concentriques
= 0
La distance entre les centres
est nulle.
2) Distance par rapport à une droite
a. Distance d’un point à une droite, entre deux parallèles
1. Distance d’un point à une droite
Définition
La distance d’un point à une droite est la distance entre ce point et le pied
de la perpendiculaire à la droite issue de ce point.
La distance entre le point X et la droite a est égale à  où H est le pied
de la perpendiculaire à a issue de X.
Notation
La distance du point X à la droite a est notée d(X, a).

Propriété
La distance d’un point à une droite est la plus courte distance entre ce
point et n’importe quel point de cette droite.
Quel que soit le point Y différent de H sur la droite a,  .
2. Distance entre deux droites parallèles
Définition
La distance entre deux droites parallèles est la distance entre les points
d’intersection de ces parallèles avec n’importe quelle perpendiculaire
commune.
La distance entre les droites a et b est égale à  .
Notation
La distance entre les droites a et b est notée d(a, b).
b. Positions relatives d’un cercle et d’une droite
Nombre de points
d’intersection
Représentation géométrique
Position relative
2 points d’intersection
La droite est sécante au
cercle.
d(O,a) = 
 r
La distance entre le centre du
cercle et la droite est plus
petite que le rayon.
1 seul point d’intersection
La droite est tangente au
cercle.
d(O,a) = 
 r
La distance entre le centre du
cercle et la droite est égale
au rayon.

Pas de point d’intersection
La droite est extérieure au
cercle.
d(O,a) = 
 r
la distance entre le centre du
cercle et la droite est plus
grande que le rayon.
Propriété
La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon en son point de contact.
Méthode de construction de la tangente en un point du cercle
Pour construire la tangente t à un cercle de centre O en un point P du cercle,
1) On trace le rayon  ;
2) On trace la perpendiculaire à  passant par P. Cette droite est la
tangente t.
3) Propriétés de la médiatrice
a. Médiatrice d’un segment
Définition (rappel)
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son
milieu.