Table des matières - Institut d`Electronique Fondamentale

Table des matières
Modélisation des transistors bipolaires intégrés . . . . . . . . . . . . . . .
15
Eléments de physique des semiconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
Philippe DOLLFUS, Sylvie GALDIN-RETAILLEAU et Arnaud BOURNEL
15
1.1. Les matériaux semiconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Structure cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2. Les systèmes cristallins cc et cfc . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Réseau réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.1. Vecteurs du réseau réciproque . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.2. Zones de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.3. Réseau réciproque et première ZB du réseau cfc . . . . .
1.1.4. Les vibrations du réseau cristallin . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.1. Modes de vibration d’une chaîne 1D à 2 atomes par maille
1.1.4.2. Vibrations d’un cristal 3D et à 2 atomes par maille . . . .
1.1.4.3. Energie associée aux modes de vibration . . . . . . . . . .
15
15
16
16
17
20
20
21
21
22
23
25
26
1.2. Structure de bandes des semiconducteurs . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Bandes d'énergie des électrons dans un cristal parfait . . .
1.2.1.1. Description de la formation des bandes par LCAO. .
1.2.1.2. Schrödinger, potentiel cristallin et fonctions de Bloch
1.2.1.3. Cristal 1D – Modèle de l'électron presque libre . . .
1.2.2. Dynamique de l'électron . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2.1. Impulsion, vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2.2. Effet d’une force extérieure, masse effective . . . . .
1.2.2.3. Classification métal/isolant/semiconducteur . . . . .
1.2.3. Notion de trou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Cristal 3D - Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Structure de bande de Si . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.1. Bande de conduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.2. Bande de valence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Densité d'états dans les bandes permises . . . . . . . . . .
1.2.6.1. Densité d'états dans l'espace réciproque . . . . . . .
1.2.6.2. Densité d'états en énergie (cristal 3D) . . . . . . . .
28
28
28
31
31
35
35
36
37
38
41
42
43
45
46
46
47
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.2.7. Niveaux d'énergie introduits par les imperfections du cristal
1.2.7.1. Dopage pour un semiconducteur de la colonne IV . . .
1.2.7.2. Réduction de la largeur de bande interdite . . . . . . .
1.2.7.3. Niveaux profonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8. Peuplement des niveaux d'énergie à l'équilibre thermique . .
1.2.8.1. Probabilité d'occupation. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8.2. Concentration des porteurs dans les bandes permises .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
48
49
50
51
52
52
54
1.3. Effet des perturbations : transport et génération-recombinaison . . . .
1.3.1. Phénomènes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.1. Les mécanismes de relaxation des porteurs : les interactions
1.3.1.2. Fonction de distribution – Equation de Boltzmann . . . . .
1.3.1.3. Conduction électrique en champ faible (E < 1 kV.cm-1) . .
1.3.1.4. Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.5. Equation de dérive-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.6. Champ électro-moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.7. Conduction en champ fort. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Création de porteurs en excès et recombinaison . . . . . . . . .
1.3.2.1. Création de porteurs en excès . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.2. Recombinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
55
57
58
61
63
65
65
66
68
68
69
72
1.4. Transport dans les dispositifs . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Système à l'équilibre thermodynamique . . . . . . . .
1.4.2. Système hors d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Relations fondamentales de la théorie des dispositifs .
1.4.3.1. Courants de diffusion et de dérive . . . . . . . .
1.4.3.2. Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.3. Equations à résoudre pour l'étude des dispositifs .
.
.
.
.
.
.
.
73
74
75
77
77
78
79
1.5. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
B2. De la jonction PN au transistor bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . .
Sylvie GALDIN-RETAILLEAU, Philippe DOLLFUS et Arnaud BOURNEL
59
2.1. La jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Réalisation : profils de dopage . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Jonction PN à l'équilibre thermodynamique . . . . . .
2.1.2.1. Formation de la Zone de Charge d'Espace (ZCE)
2.1.2.2. Etude quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Jonction PN polarisée en direct . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.1. Description phénoménologique . . . . . . . . . .
2.1.3.2. Calcul du courant dans une diode réelle . . . . .
2.1.4. Jonction PN polarisée en inverse . . . . . . . . . . . .
2.1.4.1. Description phénoménologique . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84
84
85
86
87
90
90
91
106
106
Eléments de physique des semiconducteurs
11
2.1.4.2. Calcul du courant inverse . . . . .
2.1.4.3. Claquage de la jonction . . . . . .
2.1.5. Schémas équivalents de la jonction PN.
2.1.5.1. Capacités de transition . . . . . .
2.1.5.2. Capacités de diffusion. . . . . . .
2.1.5.3. Conductance. . . . . . . . . . . .
2.1.5.4. Schémas équivalents . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
106
108
112
112
113
113
114
2.2. Le transistor bipolaire . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Effet transistor (en mode normal direct)
2.2.2. Bilan des courants et calcul des gains .
2.2.2.1. Bilan des courants. . . . . . . . .
2.2.2.2. Calcul des gains . . . . . . . . . .
2.2.3. Différents régimes de fonctionnement .
2.2.3.1. Régime normal direct . . . . . . .
2.2.3.2. Régime normal inversé . . . . . .
2.2.3.3. Régime normal saturé . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
115
116
117
117
119
119
120
125
126
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Eléments de physique des semiconducteurs
1.1. Les cristaux semiconducteurs
1.1.1. Généralités
D’un point de vue macroscopique élémentaire, les semiconducteurs se
distinguent des autres solides cristallins (métaux et isolants) par leurs propriétés
électriques très différentes :
– métal : ρ ≈ 10-6 Ω.cm, et n ≈ 1022 à 1023 électrons libres par cm3, quel que soit
le métal, quelles que soient sa pureté et sa température ;
– isolant : ρ ≈ 108 Ω.cm (peu modulable), avec très peu de porteurs libres ;
– semiconducteur : ρ ≈ 10-3 à 103 Ω.cm, et n ≈ 1013 à 1020 cm-3, selon la pureté
et la température du matériau. Tout l’intérêt des semiconducteurs vient du fait que
l’on sait très bien en contrôler la résistivité, notamment par le dopage.
Tous les atomes de la colonne IV (C, Si, Ge) ont une couche électronique
externe incomplète à 4 électrons, c’est-à-dire ns2 np2 en notation spectroscopique (au
lieu de 8 électrons pour une couche complète ns2 np6).
Dans le cristal formé d'atomes de cette famille, l’arrangement atomique,
schématisé sur la figure 1.1, est tel que chaque atome est entouré de 4 plus proches
voisins avec lesquels il échange 4 liaisons de valence. Les 4 électrons de valence de
chaque atome sont donc engagés dans des liaisons complètes. Il s’ensuit que dans le
cristal pur à température nulle, il n’y a pas d’électron libre (le cristal est isolant).
Chapitre rédigé par Philippe DOLLFUS, Sylvie GALDIN-RETAILLEAU et Arnaud BOURNEL.
16
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Figure 1.1. Schéma de liaisons de valence dans un cristal de silicium.
Il est également possible d’assembler des atomes différents de la colonne IV
pour former des alliages semiconducteurs (Si1-xGex, Si1-yCy, Si1-x-yGexCy).
L'assemblage d'un nombre égal d'éléments de la colonne III et d'éléments de la
colonne V peut également conduire à la formation d'un semiconducteur (GaAs,
InP,…). Dans la suite de ce chapitre, nous ne traiterons essentiellement que du
silicium.
1.1.2. Structure cristalline
1.1.2.1. Définitions
L’état cristallin correspond à un arrangement compact et périodique des atomes
du solide. Un cristal parfait est donc constitué par la répétition d’un motif atomique,
r r r
appelé base, suivant trois vecteurs de translation a , b , c qui définissent un réseau.
r
r
r
A partir d'une origine O, tous les points A tels que OA = n1 a + n 2 b + n3 c voient le
même environnement atomique que O. L’ensemble des points A constitue un réseau
de points appelés nœuds du réseau. La donnée d’une base et d’un réseau caractérise
donc entièrement la structure cristalline.
(
)
Les vecteurs de translation sont dits fondamentaux ou primitifs si pour tous les
points A qui voient le même environnement que O, on peut trouver des entiers n1,
r
r
r
r r
r
n2, n3 tels que OA = n1 a + n 2 b + n3 c . Le parallélépipède défini par a , b et c
est appelé maille. Une maille permet de remplir tout l’espace en appliquant les
opérations de translation convenables. La maille définie par les vecteurs de
translation fondamentaux est dite primitive ou élémentaire. C’est en fait une maille
de volume minimal.
Eléments de physique des semiconducteurs
17
1.1.2.2. Les systèmes cristallins cubique centré et cubique faces centrées
Dans un espace tridimensionnel (3D) il y a 14 types de systèmes cristallins
possibles, et en particulier 3 systèmes cubiques : cubique simple, cubique centré (cc)
et cubique faces centrées (cfc). Les plus importants pour les cristaux
semiconducteurs usuels sont les systèmes cc et cfc.
1.1.2.2.1. Le système cfc
La maille conventionnelle cubique et la maille élémentaire rhomboédrique sont
représentées sur la figure 1.2. La maille rhomboédrique est construite sur 3 vecteurs
r r r
A, B, C de longueurs égales et formant entre eux des angles de 60°. Chacun de ces
vecteurs joint un coin du cube à un centre de face (figure 1.2). La maille
conventionnelle cubique contient 4 nœuds du réseau ; elle est bâtie sur les trois
r r r
r r r
vecteurs orthogonaux a , b , c définis à partir de A, B, C par les relations :
r r r
r
⎧a = − A + B + C
⎪⎪ r r r r
⎨b = A − B + C
⎪r r r r
⎪⎩c = A + B − C
(
)
r r
⎧ A = b + cr / 2
⎪⎪ r
r r
⎨ B = (a + c ) / 2
⎪r r r
⎪⎩C = a + b / 2
et réciproquement
(
)
[1.1]
c
A
B
b
C
a
Figure 1.2. Mailles élémentaires cubique et rhomboédrique du réseau cfc.
On vérifie facilement que la maille cubique est 4 fois plus volumineuse que la
r r r
r r r
maille rhomboédrique, c’est-à-dire que a × b . c = 4 A × B . C .
(
)
(
)
18
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.1.2.2.2. Le système cc
r r r
La maille conventionnelle cubique et les vecteurs fondamentaux A, B, C sont
représentés sur la figure 1.3. Ces vecteurs fondamentaux joignent un coin de cube à
un centre de cube et font entre eux un angle de 109°28’. La maille primitive qu’ils
r r r
construisent est encore rhomboédrique. Les vecteurs de translation a , b , c de la
r r r
maille cubique, qui contient 2 nœuds, sont définis à partir de A, B, C par :
r r r
⎧a = B + C
⎪⎪ r r r
⎨b = A + C
⎪r r r
⎪⎩c = A + B
et réciproquement
r
⎧A =
⎪⎪ r
⎨B =
⎪r
⎪⎩C =
(− ar +r br + cr )/ 2
(ar − br + cr )/ 2
(ar + b − cr )/ 2
[1.2]
On vérifie facilement que la maille cubique est 2 fois plus volumineuse que la
maille rhomboédrique.
c
A
B
a
b
C
B
A
C
Figure 1.3. Mailles élémentaires cubique et rhomboédrique du réseau cc.
1.1.2.2.3. Structure cristalline « diamant » (Si, C, Ge)
Les quatre électrons de la couche externe de chaque atome sont engagés dans des
liaisons de valence avec quatre atomes voisins (les 4 plus proches voisins). Ces
liaisons sont orientées dans l’espace en position tétraédrique et font entre elles un
angle α de 109°28’ (Figure 1.4). La répétition de ce motif avec les bonnes
orientations permet de construire le cristal. On obtient une structure dite diamant,
dans laquelle les atomes occupent les nœuds de 2 réseaux cfc décalés l’un de l’autre
d’un quart de la diagonale du cube.
Eléments de physique des semiconducteurs
19
a
a/2
a
α
a
Figure 1.4. Liaisons tétraédriques et structure cristalline des réseaux « diamant » et
« zinc-blende ». Les atomes gris constituent un réseau cfc ; les atomes noirs constituent une
partie d'un second réseau cfc décalé d'un quart de la diagonale du cube.
Remarquons que la structure cristalline de GaAs est identique au diamant mais
avec une alternance d'un réseau cfc de Ga et d'un réseau cfc d'As. C'est la structure
dite zinc-blende.
On observe que les 4 plus proches voisins d’un atome, ceux avec lesquels il a des
liaisons covalentes, appartiennent à l’autre réseau cfc. On prend généralement
comme maille élémentaire le cube correspondant à 1 réseau cfc. La longueur a de
l’arête du cube est appelée paramètre cristallin. On vérifie aisément que :
– 1 maille cubique (de volume a3) contient 8 atomes (4 de chaque réseau cfc) ;
– 1 maille primitive rhomboédrique (de volume a3/4) contient 2 atomes (1 de
chaque réseau cfc) ;
– la distance entre plus proches voisins (ppv) est 3 a 4 ;
– la densité d’atomes dans le cristal est 8/a3.
Quelques caractéristiques de Ge et Si sont données dans le tableau 1.1.
Ge
Si
Paramètre cristallin [Å]
5,658
5,43
Masse atomique
72,6
28,09
Densité d'atomes [cm-3]
4,42 ×1022 5,0 ×1022
Masse volumique [g.cm-3]
5,33
2,33
Distance entre ppv [Å]
2,45
2,35
Tableau 1.1. Quelques caractéristiques cristallines de Si et Ge.
20
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.1.3. Réseau réciproque
De même que l’espace des fréquences est très utile pour le traitement de
grandeurs (comme le courant électrique par exemple) périodiques dans le temps,
l’espace des vecteurs d’onde (ou espace réciproque) est d’un grand intérêt pour
décrire beaucoup de phénomènes physiques (en particulier les phénomènes de
propagation) se produisant dans un espace périodique tel qu’un cristal. On crée donc
un nouveau réseau à partir du réseau cristallin et qui en conserve les symétries. On le
définit de façon à ce que les nœuds du réseau soient ceux sur lesquels les grandeurs
physiques ayant la périodicité du réseau cristallin se décomposent en série de
Fourier.
1.1.3.1. Vecteurs du réseau réciproque
r r r
Les vecteurs fondamentaux A* , B * , C * du réseau réciproque sont construits à
r r r
r r r
partir des vecteurs fondamentaux A, B, C du réseau cristallin. Soit Vc = A . B × C
le volume de la maille primitive du réseau cristallin,
(
r
2π r r r* 2π r r r * 2π r r
A* =
B×C , B =
C× A, C =
A× B
Vc
Vc
Vc
)
[1.3]
Ainsi chaque vecteur primitif du réseau réciproque est orthogonal à 2 vecteurs
primitifs du réseau cristallin :
r r
r r
r r
A* . A = 2π , A* . B = 0 , A* . C = 0 , et permutations circulaires
[1.4]
r
r
r
r
Les vecteurs G = h A* + k B * + l C * (h, k, l entiers) sont appelés vecteurs du
réseau réciproque. On démontre facilement que la série de Fourier d’une fonction
r r
périodique d’un réseau cristallin ne contient que des termes FG exp i G . r où les
r
vecteurs G sont des vecteurs du réseau réciproque. Le volume de la maille
élémentaire du réseau réciproque est :
(
(
)
r r
r
Vr = A* . B* × C* = 8π 3 Vc
)
[1.5]
1.1.3.2. Zones de Brillouin
Une zone de Brillouin (ZB) est un sous-ensemble de l’espace réciproque de
volume minimal permettant de décrire entièrement les fonctions périodiques (par
exemple l'énergie des électrons) dans cet espace.
Eléments de physique des semiconducteurs
21
La première zone de Brillouin est la ZB particulière admettant l’origine des
vecteurs d’onde comme centre de symétrie. C’est en fait la maille de l’espace
réciproque construite de la façon suivante : joindre l’origine à tous les points du
réseau (les plus proches suffisent en pratique), puis construire les plans médiateurs
aux segments obtenus. La ZB est le plus petit polyèdre limité par ces plans
médiateurs et centré sur l’origine.
Dans l’exemple de la chaîne linéaire d’atomes identiques de période a (figure
1.5), la première ZB est l’intervalle [− π a , π a ] .
r
a
A* =
x
2π
a
−
2π
−
a
π
π
a
a
0
1ère ZB
2π
a
k
réseau cristallin
réseau réciproque
Figure 1.5. Construction de la 1ère zone de Brillouin d’une chaîne linéaire d’atomes identiques.
1.1.3.3. Réseau réciproque et première zone de Brillouin du réseau cfc
Appliquons la définition [1.3] des vecteurs du réseau réciproque au cas du réseau
r r r
cfc dont les vecteurs A, B, C qui définissent la maille primitive (rhomboédrique)
r r r
sont liés au repère a , b , c du cube par l'Eq. [1.1]. Le résultat obtenu dans le repère
r r r
r
r r
r
r
r
orthonormé (x , y, z ) défini par a = a x , b = a y , et c = a z est :
r
4π 1 r r r r * 4π 1 r r r r * 4π 1 r r r
A* =
(− x + y + z ) , B =
(x − y + z ) , C =
(x + y − z ) [1.6]
a 2
a 2
a 2
On reconnaît les vecteurs primitifs d’un réseau cubique centré (Eq. [1.2]) dont
l’arête du cube élémentaire a pour longueur 4 π a . Le réseau réciproque d’un
réseau cfc est donc un réseau cc (et réciproquement).
La construction de la première zone de Brillouin est illustrée sur la figure 1.6 :
22
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
r
r 2π
– les plus petits G sont les 8 vecteurs G =
(± xr ± yr ± zr ) parallèles à [111]
a
qui joignent le centre du cube à 1 coin. Leurs plans médiateurs, situés à 3 π a du
centre, forment un octaèdre ;
r
4π r
4π r
4π r
– les G de taille supérieure sont les 6 vecteurs ±
x, ±
y, ±
z qui
a
a
a
joignent 2 centres de cube. Leurs plans médiateurs, situés à 2 π a du centre,
tronquent l’octaèdre.
Cet octaèdre tronqué constitue la première zone de Brillouin d’un réseau cfc, et
donc de tous les semiconducteurs usuels.
La figure 1.6 indique de plus certains points particuliers et directions privilégiées
de la 1ère ZB du réseau cfc : les points Γ (0,0,0), X (1,0,0) et L (1,1,1), et les
directions ∆ [100], Σ [110], et Λ [111].
4π/a
L
X
Λ Γ
∆
Σ
K
X
∆
Γ
Figure 1.6. Première zone de Brillouin du réseau cfc. Points particuliers et directions
privilégiées.
1.1.4. Les vibrations du réseau cristallin
Jusque là, nous n’avons considéré le réseau cristallin que sous l’angle de la
cristallographie où l’on assigne aux atomes des positions fixes. Or les atomes
oscillent autour de leur site cristallin, et ce d’autant plus que la température est
élevée ; des oscillations cristallines persistent même à température nulle. Ces
vibrations, non incohérentes, ont une grande importance pour l’étude des propriétés
électriques des solides car elles modifient le potentiel cristallin dans lequel évoluent
Eléments de physique des semiconducteurs
23
les électrons, ce qui perturbe leur mouvement. C’est par l’intermédiaire de ces
vibrations que les porteurs et le réseau cristallin échangent de l’énergie.
()
r
Nous décrirons ici les modes de vibration ω k d’un cristal et l’énergie de ces
modes. La physique classique suffit à mettre en évidence les modes de vibration ; il
s’agit en fait d’un problème de ressorts couplés. Il faut en revanche faire appel à la
mécanique quantique pour en quantifier l’énergie. Ces quanta d’énergie de vibration
sont assimilés à des particules appelées phonons.
1.1.4.1. Modes de vibration d’une chaîne linéaire comportant 2 atomes par maille
élémentaire
Le cas d’une maille élémentaire contenant deux atomes est en fait celui de tous
les semiconducteurs usuels dont la structure cristalline est de type « diamant » ou
« zinc-blende ». Nous avons vu que dans ces structures la maille élémentaire
rhomboédrique contient un atome de chaque réseau cfc. Dans le cas « diamant » (Si)
les deux atomes sont de même nature, alors que dans le cas « zinc-blende » (GaAs)
ils sont de nature différente. Nous allons faire les calculs pour une chaîne et nous
généraliserons les résultats à un réseau tridimensionnel (3D).
Considérons donc la chaîne représentée sur la figure 1.7. Sa maille élémentaire,
de longueur a, contient 2 atomes a priori de nature différente et de masse respective
M1 et M2.
2n–1 2n
M1
M2
M1
2n+1
M2
M1
M2
a
2
a
a
a
Figure 1.7. Chaîne linéaire à deux atomes par maille élémentaire.
On suppose qu’à l’équilibre les atomes de masse M1 occupent les positions
« paires » d’abscisse (2n)a/2, et les atomes de masse M2 les positions « impaires »
d’abscisse (2n+1) a/2.
Les écarts par rapport aux positions d'équilibre étant de plus supposés faibles, on
considère que la force exercée par un atome sur l'un de ses 2 voisins est
proportionnelle à la variation de distance séparant ces atomes. On note B la
constante de proportionnalité. Il y a alors deux équations du mouvement :
24
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
⎧
d 2u2n
= B [u2n +1 − 2 u2n + u2n −1 ]
⎪ M1
⎪
dt 2
⎨
d 2u2n +1
⎪
= B [u2 n + 2 − 2 u2n +1 + u2 n ]
M
⎪ 2
dt 2
⎩
[1.7]
On cherche des solutions pour u2n et u2n+1 sous la forme d’ondes progressives
d'amplitudes A1 et A2, correspondant à des modes de pulsation ω et de vecteur
d'onde K. On aboutit à la relation de dispersion recherchée :
⎛ 1
1 ⎞
2
⎟⎟ ±
ω 2 = B ⎜⎜
+
⎝ M1 M 2 ⎠
⎛ 1
1 ⎞
4B 2
a
⎟⎟ −
sin 2 K
B 2 ⎜⎜
+
2
M1 M 2
⎝ M1 M 2 ⎠
[1.8]
– la branche inférieure comporte des modes de basse fréquence ; c’est pourquoi
on l’appelle branche acoustique. Pour ces modes de basse fréquence (ω ≈ 0, K ≈ 0)
on a A1 ≈ A2, c’est-à-dire que dans chaque maille les 2 atomes se déplacent de façon
identique dans la même direction. Ils vibrent en phase ; il y a translation de toute la
maille ;
– la branche supérieure ne comporte que des modes de fréquence élevée. Ainsi
pour K ≈ 0 :
ω≈
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
2 B ⎜⎜
+
⎝ M1 M1 ⎠
et
A1
M
≈− 2
A2
M1
Les 2 atomes de la maille se déplacent en sens contraire (en opposition de phase)
de façon inversement proportionnelle à leur masse. Le centre de gravité de la maille
reste donc immobile. Si les 2 atomes sont de charges opposées, on peut exciter une
vibration de ce type par le champ électrique d’une onde lumineuse. C’est pour cela
que cette branche est appelée branche optique.
À chaque valeur de K correspondent 2 modes de vibration et la courbe de
dispersion comporte donc 2 branches représentées sur la figure 1.8. Les pulsations
caractéristiques sont ω1, ω2, ω3 définies, si M2 > M1 par :
ω1 =
2B
M1
; ω2 =
2B
M2
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
; ω3 = 2 B ⎜⎜
+
⎝ M1 M 2 ⎠
Eléments de physique des semiconducteurs
25
ω
ω3
branche optique
ω1
ω2
branche acoustique
0
0
K
π/a
Figure 1.8. Allure des courbes de dispersion des vibrations dans un réseau linéaire de 2
atomes par maille primitive.
1.1.4.2. Vibrations d’un cristal à 3 dimensions et à 2 atomes par maille élémentaire
Ce cas est celui des cristaux à cfc, c’est-à-dire de tous les semiconducteurs
usuels.
Dans un cristal 3D l’espace réciproque devient également 3D et aux modes
longitudinaux (acoustiques et optiques) que l’on a en 1D s’ajoutent dans chaque cas
2 modes transverses polarisés à 90° l’un de l’autre (figure 1.9).
On montre d’une manière générale que si la maille élémentaire contient p
atomes, les courbes de dispersion sont constituées de 3p branches, dont 3 branches
acoustiques et 3p - 3 branches optiques. Cela donne bien, pour p = 2, 3 branches
acoustiques et 3 branches optiques.
Les courbes de dispersion dépendent maintenant de la direction de propagation.
Une allure typique est représentée sur la Figure 1.9 dans la direction [100]. En raison
de la symétrie cristalline dans cette direction (ainsi que dans la direction [111]), les
modes transversaux sont dégénérés. Aussi l'on ne voit que quatre branches :
longitudinale optique (LO), transverse optique (TO), longitudinale acoustique (LA),
et transverse acoustique (TA).
26
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
ω
TO
LO
LA
TA
0
0
∆
K
2π /a
Figure 1.9. Allure des courbes de dispersion dans un cristal pour des vibrations se
propageant dans la direction [100].
1.1.4.3. Energie associée aux modes de vibration
1.1.4.3.1. Quantification de l’énergie d’un mode – Phonons
Pour calculer l’énergie associée aux modes de vibration il faut faire le traitement
quantique du réseau d’oscillateurs harmoniques couplés que constitue le réseau
cristallin. Ce traitement est fait dans tous les ouvrages de mécanique quantique (par
exemple dans [COH 73]) ; nous ne l’aborderons pas dans ce chapitre.
Les valeurs propres de l’hamiltonien du système sont quantifiées et de la forme :
1⎞
⎛
E n = ⎜ n + ⎟ hω
2⎠
⎝
[1.9]
où n = 0, 1, 2,…, et ω est la pulsation du mode considéré
L’énergie de chaque mode de vibration est donc quantifiée ; le quantum
d’énergie hω qui sépare deux niveaux consécutifs est appelé phonon par analogie
avec le photon qui désigne le quantum d’énergie lumineuse. Un phonon peut être
r
assimilé à une particule d’énergie hω et de vecteur d’onde K , c’est-à-dire le vecteur
d’onde du mode associé. Insistons sur le fait qu'un phonon n’est pas une « vraie »
particule. En effet, il n’a pas d’existence propre : il n’existe que parce que le réseau
Eléments de physique des semiconducteurs
27
existe et que les atomes vibrent. Toutefois, il se comporte à l’intérieur du cristal
comme une vraie particule et on le traite comme tel.
Les phonons sont des particules indiscernables non soumises au principe
d’exclusion de Pauli : ce sont des bosons, auxquels on applique la statistique de
Bose-Einstein. La fonction d’occupation du niveau hω est donc :
f (hω ) =
1
⎛ hω
exp⎜⎜
⎝ k BT
⎞
⎟⎟ − 1
⎠
[1.10]
où kB est la constante de Boltzmann.
1.1.4.3.2. Interaction électron-réseau (ou électron - phonon)
Comme toutes les particules, les phonons interagissent avec les autres particules
présentes dans leur voisinage, en l’occurrence avec les électrons. En fait, c’est par
l’intermédiaire des phonons que les électrons « libres » du cristal échangent de
l’énergie avec le réseau d’atomes. Une interaction électron-réseau se traduit par le
gain ou la perte d’un quantum d’énergie hω. On dit aussi qu’un électron émet ou
absorbe un phonon.
Ce processus se fait en conservant l’énergie et le vecteur d’onde du système. Si
r
l’on désigne par E et k l’énergie et le vecteur d’onde de l’électron avant interaction,
r
et par K le vecteur d’onde du phonon, on a après interaction :
⎧⎪ E ′ = E ± hω
⎨r r r r
⎪⎩k ′ = k ± K + G
[1.11]
r
où G est un vecteur du réseau réciproque. En effet, de même que l’addition d’un tel
vecteur ne fait que changer le vecteur d’onde de la zone de Brillouin sans modifier
le mode de vibration, nous verrons qu’elle ne modifie pas non plus le vecteur d’onde
d’un électron. Cette interaction a une grande influence sur le mouvement des
électrons dans le cristal.
28
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.2. Structure de bandes des semiconducteurs
1.2.1. Bandes d’énergie des électrons dans un cristal parfait
Le but de cette partie est de décrire les niveaux d’énergie accessibles à un
électron dans le cristal. Nous définirons ensuite le concept de « trou », ainsi que
celui, très important pour la dynamique des porteurs dans le cristal, de masse
effective. Pour appréhender les propriétés des niveaux d'énergie des électrons dans
un cristal, on distingue essentiellement deux approches :
– imaginer la formation du cristal à partir d’atomes individuels que l’on
rapproche, ce qui induit un couplage entre atomes. C’est la méthode de
« Combinaison Linéaire d’Orbitales Atomiques » (LCAO) utilisée en chimie. Nous
la décrirons brièvement de façon très qualitative ;
– considérer le solide comme une boîte d’électrons vide d’ions, et introduire
l’attraction des ions comme une perturbation. C’est la méthode des électrons presque
libres. Elle se prête plus facilement à des calculs simples.
Dans le premier cas on part de niveaux d’énergie discrets, et dans le second d’un
continuum. Ces deux approches conduisent à la formation de bandes d’énergie
permises séparées par des bandes interdites. Nous verrons ensuite comment la
connaissance des bandes d'énergie permises permet de définir la notion de masse
effective, d'un grand intérêt pratique. En effet, en attribuant à l'électron cette masse
virtuelle, on peut décrire son mouvement dans le cristal comme celui d'une particule
classique dans le vide, en "oubliant" l'origine physique de cette masse.
1.2.1.1. Description de la formation des bandes d’énergie par LCAO
1.2.1.1.1. Atomes isolés : rappel sur les orbitales atomiques
Une orbitale atomique est l’état propre de l’énergie d’un électron dans le
potentiel central créé par le noyau et par la distribution moyenne des Z-1 autres
électrons. Chaque orbitale est définie par la donnée de trois nombres quantiques :
– n = nombre quantique principal (n ≥ 1) ;
– l = nombre quantique orbital (0 ≤ l ≤ n-1) ;
– m = nombre quantique azimutal (-l ≤ m ≤ l).
L’énergie associée à une orbitale Ψnlm ne dépend que de n et l. Ainsi le niveau Enl
est dégénéré g = 2(2l+1) fois. Le facteur 2 vient de l’indépendance du potentiel par
rapport au spin de l’électron ; le facteur 2l+1 traduit l’invariance par rotation du
potentiel central.
Eléments de physique des semiconducteurs
29
Les états correspondant à une même valeur de n forment une couche
électronique :
n = 1, 2, 3, 4, … → couches K, L, M, N, …
Les g états correspondants à une même énergie forment une sous-couche :
l = 0, 1, 2, 3, … → sous-couches s, p, d, f, … (notations spectroscopiques)
Il y a donc 2 places sur une orbitale s, 6 places sur une orbitale p, 10 places sur
une orbitale d, … La configuration électronique de l’atome est la liste des couches et
sous-couches occupées avec le nombre d’électrons qui s’y trouvent. On se limite en
pratique à la dernière couche. Ainsi, tous les atomes de la colonne IV (C, Si, Ge, …)
présentent une couche externe incomplète ns2np2 de 4 électrons au lieu de 8 pour
une couche complète ns2np6.
Si l’on considère N atomes isolés, il y a alors N orbitales Ψqnlm(q = 1, …, N)
correspondant à la même énergie Enl dont le niveau de dégénérescence est g×N.
1.2.1.1.2. Atomes interagissant
Si l’on rapproche suffisamment 2 atomes, le potentiel global vu par un électron
n’est plus central et il y a couplage entre les orbitales. Le couplage entre 2 orbitales
donne lieu à 2 nouvelles orbitales. L’une est symétrique par échange des 2 atomes
(orbitale liante), alors que l’autre est antisymétrique (orbitale anti-liante). De plus, si
V est le potentiel de couplage, l’énergie de ces orbitales est modifiée de
∆E = <Ψ1nlm⎮V⎮Ψ2nlm> (figure 1.10). C’est un résultat général : le couplage entre N
états identiques lève la dégénérescence d’ordre N.
anti-liante
Ψ 1nlm
∆E
Ψ 2 nlm
liante
Figure 1.10. Levée de dégénérescence des orbitales couplées (orbitales liante et anti-liante).
Le décalage d’énergie ∆E (energy splitting), c’est-à-dire en fait le couplage entre
les deux orbitales, est d’autant plus grand que, d’une part, les atomes sont proches,
et que, d’autre part, le nombre quantique principal n des orbitales est élevé. Les
couches internes sont en effet peu affectées par le couplage : les électrons de ces
couches sont très fortement liés à leur atome d’origine. En revanche, les électrons
30
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
des couches externes ne sont plus liés à un atome particulier mais à la paire
d’atomes.
Sur l’exemple typique de la figure 1.11, correspondant à des éléments de la
colonne IV, les électrons issus des orbitales externes (ns2 et np2) se retrouvent sur les
deux niveaux issus des couplages liants ; ces niveaux offrant 8 places à eux deux
sont entièrement occupés, alors que les deux niveaux provenant des couplages
anti-liants sont entièrement vides.
3N
N
bande de
conduction
(4N places vides)
bande
interdite
3N
N
N=1
N=2
N=4
bande de
valence
(4N places pleines)
N grand
Figure 1.11. Couplage des orbitales ns2 et np2 dans le cas d’un grand nombre d’atomes ;
formation des bandes d'énergie.
Le concept d’orbitales liantes et anti-liantes peut être étendu au cas d’un grand
nombre d’atomes en supposant que les orbitales de chaque atome interagissent avec
celles des plus proches voisins. On arrive ainsi à la formation de séries de niveaux
discrets très rapprochés que l’on peut assimiler à des bandes (figure 1.11).
Les orbitales liantes offrent 4N places et sont donc entièrement occupées ; elles
forment la bande de valence. Les orbitales anti-liantes offrent également 4N places
qui sont donc entièrement vides ; elles forment la bande de conduction. Bande de
conduction et bande de valence sont séparées par une bande interdite.
Dans une telle disposition, les électrons de valence ne sont plus liés à un atome
particulier mais bien à l’ensemble du réseau cristallin. D’une manière générale, dans
un solide quelconque, c’est la disposition et le remplissage des bandes permises qui
déterminent les propriétés électriques du matériau, et qui permettent de le classer en
métal, isolant ou semiconducteur. Cela sera précisé plus loin dans ce chapitre.
Eléments de physique des semiconducteurs
31
1.2.1.2. Equation de Schrödinger pour un électron – Potentiel cristallin et fonctions
de Bloch
Nous allons maintenant considérer le cristal semiconducteur comme une boîte
r
d'électrons indépendants. V (r ) est le potentiel moyen vu par chaque électron. Il a la
périodicité du réseau cristallin et est appelé potentiel cristallin. L’équation de
Schrödinger décrivant l’état d’un électron est finalement :
⎡ p2
r⎤ r
r
+ V (r )⎥ ψ (r ) = E ψ (r )
⎢
2
m
⎢⎣
⎥⎦
[1.12]
r
Le théorème de Bloch énonce que les solutions de l’équation [1.12], où V (r ) est
périodique, sont de la forme de fonctions de Bloch :
r
( r r)
r
ψ kr (r ) = exp i k r ukr (r )
[1.13]
r
r
où ukr (r ) a la périodicité de V (r ) , c’est-à-dire celle du réseau cristallin, c’est-à-dire
r
r
r
r
r r
r
que pour tout vecteur T = n1 a + n2 b + n3 c , uk r + T = uk (r ) .
(
)
Nous admettrons ce théorème dont on peut trouver une démonstration dans, par
exemple, [KIT 83].
Il ne reste, pour déterminer les états propres de l’électron dans un cristal, qu’à
r
connaître la forme du potentiel cristallin V (r ) dans lequel il évolue, puis à résoudre
l’équation de Schrödinger [1.12] en utilisant des fonctions d’onde de Bloch [1.13],
seules fonctions propres possibles.
Les termes de couplage négligés dans le potentiel cristallin (couplages électronélectron, électron-phonon, …) sont considérés comme de faibles perturbations qui
ne modifient pas les solutions de l'hamiltonien principal mais induisent des
transitions entre les états propres. Nous y reviendrons dans l'étude sur le transport.
1.2.1.3. Cristal 1D – Modèle de l'électron presque libre
1.2.1.3.1. Rappel : électron libre dans un solide
Imaginons un électron libre de se mouvoir à l’intérieur d’une cuvette vide
unidimensionnelle de longueur L et de hauteur de potentiel U (Figure 1.12).
32
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
On s’intéresse aux états liés de l’électron, c’est-à-dire au cas ε < U.
L’hamiltonien de l’électron de masse m se réduit à :
H0 = −
p2
h2 ∂2
=
2 m ∂x 2 2 m
[1.14]
V
ε
0
U
L
Figure 1.12. Electron libre dans un boîte.
Les solutions de l'équation de Schrödinger [1.12] sont des ondes planes
la forme :
ψ k (x ) =
avec ε =
1
L
exp (i k x )
Ψk
de
[1.15]
h2 k 2
où k est le vecteur d’onde de l’électron.
2m
Ainsi toutes les énergies sont a priori permises et la courbe de dispersion ε(k) est
une parabole.
On définit la quantité de mouvement de l’électron p = mv par :
∂ ⎞
⎛
p = p = ψ k p ψ k = ψ k * (x ) ⎜ − ih ⎟ψ k (x ) dx
∂x ⎠
⎝
∫
= h k ψ k * (x )ψ k (x ) dx = h k
∫
La quantité h k , qui définit l’état de l’électron, est appelée moment cristallin.
Elle est donc égale à la quantité de mouvement pour un électron libre.
Eléments de physique des semiconducteurs
33
1.2.1.3.2. Electron presque libre
Au potentiel de la cuvette vide on superpose maintenant un potentiel périodique
V(x) ayant la périodicité a du réseau cristallin (Figure 1.13).
V
ε
0
U
L
Figure 1.13. Electron presque libre dans une boîte.
V(x) étant périodique, on peut le développer en série de Fourier :
V (x ) =
∑ 2 Vk cos (kx )
[1.16]
k
où k = n
2π
sont les points du réseau réciproque.
a
On commence par considérer le cas le plus simple, celui où seul le premier terme
de la série [1.16] est non nul. Ainsi :
⎛ 2π x ⎞
V = V ′ = 2 V1 cos ⎜
⎟
⎝ a ⎠
[1.17]
Supposons que V1 soit petit devant les énergies cinétiques de l’électron et on
considère V’ comme une perturbation par rapport au cas précédent de l’électron
libre. On applique donc la théorie des perturbations (voir [SAP 90]). Le potentiel
perturbateur V ′ ne couple sensiblement que les deux états de bord de zone de
Brillouin π a et − π a et a essentiellement pour effet de lever la
dégénérescence entre ces deux états. Une correction d'énergie au deuxième ordre
aux points k = ± π a conduit aux nouveaux états propres d'énergie ε +′ et ε −′
correspondant aux fonctions propres ψ +′ et ψ −′ :
34
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
⎧
πx
π ⎞
1 ⎛ π
2
⎜⎜
⎟⎟ =
+ −
cos
⎪ψ +′ =
a ⎠
L
a
⎧ε +′ = ε 0 + V1
2⎝ a
⎪
et ⎨
⎨
πx
1 ⎛ π
2
π ⎞
⎩ε −′ = ε 0 − V1
⎪ ′
⎜⎜
⎟⎟ = i
sin
− −
⎪ψ − =
a ⎠
L
a
2⎝ a
⎩
[1.18]
Remarquons une nouvelle fois que, comme dans le cas des vibrations des atomes
du cristal, on obtient des ondes stationnaires en bord de zone de Brillouin.
La Figure 1.14 montre schématiquement la déformation de la courbe de
dispersion en bord de zone de Brillouin (trait épais), par rapport au cas non perturbé
(trait fin) de l’électron libre. On remarque la formation d’une bande d’énergie
interdite entre ε −′ et ε +′ .
ε
ε +''
ε ''-
ε +'
ε -'
−
2π
a
−
π
a
0
π
a
k
2π
a
Figure 1.14. Bandes d’énergie dans un cristal 1D. La zone grisée représente la 1ère zone de
Brillouin.
Considérons maintenant le second terme de la série [1.16], c’est-à-dire :
⎛ 2π x ⎞
V = V ′′ = 2 V 2 cos ⎜ 2
⎟
a ⎠
⎝
[1.19]
Eléments de physique des semiconducteurs
35
Un calcul similaire au précédent montre que V ′ ne couple que les états
dégénérés 2π a et − 2π a . La dégénérescence entre ces deux états est levée. Le
calcul de la correction d’énergie au 2ème ordre conduit aux deux niveaux ε +′′ et ε −′′ :
⎧ε +′′ = ε 0 + V2
⎨
⎩ε −′′ = ε 0 − V2
[1.20]
Il y a ainsi création d’une nouvelle bande d’énergie interdite entre ε −′′ et ε +′′ ,
comme cela est schématiquement représenté sur la Figure 1.14. On crée donc autant
de bandes interdites qu’il y a de termes dans la série de Fourier [1.16] de V.
D’après le théorème de Bloch énoncé en 1.2.1.2, les fonctions d’onde solutions
de l’équation de Schrödinger en présence du potentiel périodique V(x) de période a
sont des fonctions de Bloch, c’est-à-dire des ondes planes modulées par une fonction
périodique qui a la même périodicité que celle de V(x), en l’occurrence celle du
cristal :
ψ k (x ) = exp (i k x ) uk (x ) avec uk (x + a ) = uk (x )
On peut en déduire que les énergies propres ε(k) sont également périodiques, de
période 2π a . Ce résultat a deux conséquences importantes :
– les portions de bandes permises représentées sur la Figure 1.14 peuvent être
prolongées de façon à former des bandes continues ;
– on peut une nouvelle fois, comme dans le cas des modes de vibration des
atomes du cristal, restreindre l’intervalle d’étude à la zone réduite [-π/a , π/a], c’està-dire à la première zone de Brillouin.
Ces courbes de dispersion restreintes à la première zone de Brillouin constituent
la représentation habituelle du diagramme de bande d’un cristal 1D. Le calcul est
bien sûr plus compliqué dans le cas d’un cristal réel 3D, mais les principales idées
physiques qui permettent de le mener sont effectivement contenues dans l’exemple
simple que nous avons considéré.
1.2.2. Dynamique de l’électron
1.2.2.1. Impulsion, vitesse
On se rappelle que pour une onde plane, c’est-à-dire pour un électron libre,
l’impulsion mv est égale au moment cristallin hk. Ce n’est plus le cas pour un
électron de Bloch. En effet,
36
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
p = p = k p k = ∫ ψ k * (x ) (− i h )
∂
ψ k (x ) dx
∂x
soit,
p = h k − i h ∫ uk * ( x )
∂
uk (x ) dx ≠ h k
∂x
[1.21]
Dans un cristal, il n’y a pas de relation simple entre l’impulsion de l’électron
dans un état de Bloch et le moment cristallin qui définit cet état.
En fait, le mouvement de l’électron doit être décrit par un paquet d’ondes de
Bloch centré autour de k. La vitesse de l’électron est alors la vitesse de groupe du
paquet d’ondes :
v=
dω 1 dε
=
dk h dk
[1.22]
L’influence du cristal sur le mouvement de l’électron est ainsi entièrement
contenue dans la relation de dispersion ε(k) qui prend donc, on le voit maintenant,
toute son importance pour l’étude du transport.
1.2.2.2. Effet d’une force extérieure, masse effective
Supposons que l’électron soit soumis à une force F. La variation de son énergie
pendant dt est égale au travail de la force : dε = F dx = F v dt . D’où, d’après
[1.22] :
dk F
=
dt h
[1.23]
Remarquons au passage que si la force F est nulle, le vecteur d’onde k est
constant.
En calculant l’accélération subie par l’électron grâce à [1.22] et [1.23], on
obtient :
−1
⎛ ∂ 2ε ⎞ 2 dv
⎟ h
⎜
=F
⎜ ∂ 2k ⎟
dt
⎠
⎝
Eléments de physique des semiconducteurs
37
On retrouve donc la relation fondamentale de la dynamique, à condition
d’associer à l’électron une masse effective m* définie par :
1 ⎛⎜ ∂ 2ε ⎞⎟
=
m* h 2 ⎜⎝ ∂ 2k ⎟⎠
1
[1.24]
Ce résultat est très important. Notons d’ailleurs que cette masse effective, qui
dépend de la courbure de la relation de dispersion ε(k) peut être aussi bien négative
que positive.
Au voisinage d’un extremum ε0 de bande d’énergie situé en k = k0 (on verra que
les extrema de bande sont les points cruciaux du comportement des électrons dans
un semiconducteur), on peut développer ε(k) en série limitée :
ε = ε0 ±
h2
(k − k0 )2
2 m*
[1.25]
Au voisinage d’un extremum de bande d’énergie, la notion de masse effective
prend donc tout son intérêt : on retrouve la relation de dispersion d’un électron libre,
mais avec une masse différente. C’est pourquoi l’on parle d’électron quasi-libre.
1.2.2.3 Classification métal/isolant/semiconducteur
Nous avons maintenant tous les éléments pour comprendre ce qui différencie un
semiconducteur d’un métal ou d’un isolant. Commençons par démontrer le résultat
important suivant : une bande pleine ne conduit pas le courant. En effet le courant
transporté par les électrons d’une bande s’écrit pour un cristal 1D de longueur L :
I =−
q
q 1
dε
v(k ) = −
∑
∑
L k
L h k dk
où la somme porte sur tous les états k "occupés". La bande étant pleine, à tout
point k où la vitesse est v(k) correspond le point -k de vitesse opposée, de telle sorte
que I = 0. Ainsi, (i) une bande pleine ne réagit pas au champ électrique et ne
participe pas au courant, et (ii) un cristal dont toutes les bandes occupées sont
pleines est un isolant.
La figure 1.15 représente schématiquement le remplissage des bandes, compte
tenu du fait que les électrons sont des fermions, dans le cas d’un métal et dans celui
d’un isolant. Dans un métal, la dernière bande occupée n’est pas complètement
remplie. Elle peut donc de façon naturelle participer au courant ; aussi est-elle
38
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
appelée bande de conduction. Au contraire, dans un isolant, la dernière bande
occupée est complètement remplie ; c’est la bande de valence. Aucune conduction
n’est donc possible.
Un semiconducteur est un cristal isolant à température nulle, mais dont la largeur
de la bande interdite est suffisamment faible – inférieure à environ 2 eV – pour que
des électrons de la bande de valence puissent être excités thermiquement vers la
bande de conduction. Toute variation de température permet ainsi de moduler le
remplissage de la bande de conduction, et donc de moduler la résistivité du
matériau. On verra plus avant dans ce chapitre que l’on peut également moduler la
résistivité d’un semiconducteur en y introduisant des impuretés (dopage), de façon à
créer des niveaux dans la bande interdite. Ces niveaux supplémentaires modifient
l’occupation des bandes et donc les propriétés électriques du matériau.
BC
BC
EG
BV
métal
BV
isolant
Figures 1.15. Occupation des bandes dans un métal et un isolant.
1.2.3. Notion de trou
Supposons que l’on soit à température non nulle et qu’un électron soit excité vers
la bande de conduction, ce qui laisse une place vide dans la bande de valence. Cet
électron a donc été détaché d’une liaison covalente (Figure 1.16) et il peut
transporter un courant, par exemple en présence d’un champ électrique, et ce
d’autant plus facilement qu’il voit beaucoup de places vides d’énergie proche autour
de lui.
L’existence d’une place vide dans la bande de valence signifie qu’il manque un
électron dans une liaison covalente. En présence d’un champ électrique cette place
vide peut être comblée par un électron provenant de la rupture d’une autre liaison
Eléments de physique des semiconducteurs
39
covalente. Ainsi, la place vide se déplace dans le sens du champ électrique, comme
une particule de charge positive que l’on appelle trou. Nous verrons que l’on peut
attribuer au trou toutes les caractéristiques d’une vraie particule que l’on traitera
effectivement comme telle.
+
–
Figure 1.16. Illustration de l'existence d'un trou.
Supposons que l’on a extrait un électron de vecteur d’onde ke de la bande de
valence (Figure 1.17). Le vecteur d’onde total de la bande de valence est alors - ke,
que l’on attribue au trou :
kh = -ke
[1.26]
BC
ke
ε
kh
k
BV
Figure 1.17. Vecteur d’onde du trou.
Si εtot est l’énergie totale de la bande de valence pleine, εtot-εe(ke) est l’énergie
totale de la bande de valence à laquelle il manque un électron d’énergie εe(ke). On
40
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
peut donc définir l’énergie du trou par εh(kh) = -εe(ke) + constante, où la constante
dépend du choix de l’origine. En pratique, on prend comme origine des énergies
d’une bande l’extremum de cette bande. Avec ce choix la constante est nulle et
l'énergie du trou est εh, comme cela est représenté sur la Figure 1.18 :
εh(kh) = -εe(ke)
[1.27]
BC
ε
ε h( kh)
ε e (ke )
k
BV
Figure 1.18. Energie du trou.
Pour en déterminer la vitesse on applique au trou la relation [1.22] et on utilise
[1.26] et [1.27] :
vh =
1 dε h (k h ) 1 d (− ε e (k e )) 1 dε e (k e )
=
=
h dk h
h
h dk e
− dk e
c’est-à-dire:
vh = ve
[1.28]
On définit sa masse en appliquant la relation [1.24] au trou :
2
2
1
1 d ε h (k h )
1 d ε e (k e )
1
=
=−
=−
2
2
2
2
mh h
me
h
dk h
dk e
c’est-à-dire:
mh = -me
[1.29]
Eléments de physique des semiconducteurs
41
Soit F = qhE la force électrostatique ressentie par le trou en présence du champ
électrique E. On applique au trou la relation [1.23] pour déterminer sa charge
électrique qh :
h
d kh
= F = qh E
dt
c’est-à-dire d’après (1.26) :
−h
d ke
= q h E = −q e E = qE
dt
et par conséquent :
qh = -qe = q
[1.30]
1.2.4. Cristal 3D – Généralisation
Tous les résultats obtenus pour un cristal à 1 dimension se généralisent aisément
à un cristal à 3 dimensions. Il suffit, dans les expressions précédentes, de remplacer
r
r
r
∂
x par r (x, y, z ) , k par k k x , k y , k z ,
par ∇ , …
∂x
(
)
L’expression [1.22] de la vitesse devient :
()
r
r 1
v = ∇ kr ε k
h
[1.31]
L’expression [1.23] décrivant l’effet d’une force sur le vecteur d’onde devient :
r
r
dk F
=
dt
h
[1.32]
r
Calculons la composante suivant x de l’accélération γ subie par l’électron :
γx =
⎤
d vx 1 d ⎛ dε ⎞ 1 ⎡ d 2ε
d 2ε
d 2ε
⎜
⎟=
⎢
F
F
F
+
+
=
x
y
z⎥
dt
h dt ⎜⎝ dk x ⎟⎠ h 2 ⎢ dk x2
dk x dk y
dk x dk z ⎥⎦
⎣
42
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Pour identifier cette relation à la relation fondamentale il faut introduire le
⎡ 1 ⎤
tenseur de masse effective ⎢
⎥ :
⎣ m* ⎦
r ⎡ 1 ⎤ r
∂ 2ε
1
⎛ 1 ⎞
γ = ⎢ ⎥ F , avec ⎜
⎟ = 2
⎣ m *⎦
⎝ m * ⎠ ij h ∂ k i ∂ k j
[1.33]
1.2.5. Structure de bande du Si
Déterminer la structure de bande d’un cristal, c’est trouver la correspondance
entre énergie et vecteur d’onde en tout point de la première zone de Brillouin.
Plusieurs méthodes de calcul, essentiellement numériques, ont été développées pour
les cristaux réels : voir par exemple [YU 96].
L’approche théorique de ce problème sort du cadre de ce chapitre ; nous en
utiliserons les résultats en retenant que les principes physiques invoqués et les
résultats obtenus dans les paragraphes précédents pour un modèle simple 1D restent
valables pour les semiconducteurs réels. La description des extrema des bandes de
valence et de conduction est une donnée de base pour l’étude des propriétés de
transport, mais aussi des propriétés optiques, des semiconducteurs.
La structure de bande schématique et simplifiée du Si est représentée sur la
Figure 1.19. La bande interdite est indirecte : les électrons doivent changer de
vecteur d’onde pour passer de la bande de valence à la bande de conduction.
Eléments de physique des semiconducteurs
43
0,85 2aπ
EXL
EXL = 1 eV
∆so = 0,44 eV
EG = 1,12 eV
∆so
L
<111>
Γ
<100>
X
Figure 1.19. Allure de la structure de bande du Si.
1.2.5.1 Bande de conduction
Qualitativement, les structures de bande des semiconducteurs diffèrent
essentiellement par la bande de conduction. En effet, tous les semiconducteurs ont le
maximum de bande de valence au centre de la zone de Brillouin, ce qui n’est pas
toujours le cas du minimum de bande de conduction.
Les minima de bande de conduction se trouvent sur les axes <100>, à 85% du
bord de zone. Il y a donc 6 minima au bas de vallées appelées vallées X (ou parfois
∆). Au-dessus des minima, les surfaces équi-énergie se décomposent en 6 ellipsoïdes
2π
de révolution autour des axes <100> et centrés sur les points k m = 0,85
a
(Figure 1.20).
44
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
[001]
[010]
[100]
Figure 1.20. Surfaces équi-énergie de la bande de conduction du Si.
Au voisinage de ces points, l’énergie des électrons est donc de la forme :
ε = Ec +
(
2
h2
(k x − k m )2 + h k y 2 + k z 2
2 ml
2 mt
)
(avec permutations de x, y, z suivant la vallée), et leur énergie cinétique est alors :
ε=
(
h2
h2
kx2 +
ky2 + kz2
2 ml
2 mt
)
[1.34]
où ml et mt sont les masses effectives longitudinales et transverses données par :
−1
⎛ 2 ⎞
⎛ ∂ 2ε ⎞
⎟ , mt = h 2 ⎜ ∂ ε ⎟
ml = h
⎜∂k 2⎟
⎜∂k 2⎟
⎝ x ⎠
⎝ y ⎠
2⎜
−1
⎛ ∂ 2ε ⎞
⎟
= h2 ⎜
⎜∂k 2 ⎟
z
⎝
⎠
−1
Une meilleure description des vallées X est obtenue en introduisant, dans la
relation de dispersion [1.34], un coefficient de non-parabolicité α :
ε (1 + α ε ) =
(
h2
h2
kx2 +
ky2 + kz2
2 ml
2 mt
)
Dans les vallées X de Si : ml = 0,92 m0, mt = 0,19 m0, α = 0,5.
[1.35]
Eléments de physique des semiconducteurs
45
1.2.5.2. Bande de valence
Il y a toujours 3 bandes de valence dont les maxima sont en Γ. Ces bandes sont
issues des orbitales p-liantes triplement dégénérées. Cette dégénérescence est
partiellement levée par l’interaction spin-orbite : dans le mouvement de l’électron,
son spin, qui est un moment magnétique, voit un champ magnétique avec lequel il
interagit. La prise en compte de l’hamitonien d’interaction spin-orbite décale de ∆so
une des 3 bandes de valence. On l’appelle bande split-off. Les 3 bandes présentent
des courbures différentes, donc des masses différentes. Les 2 bandes qui restent
dégénérées en k = 0 sont appelées bande de trous lourds et bande de trous légers. Ce
sont essentiellement ces deux bandes qui déterminent les propriétés de transport des
trous dans le semiconducteur.
Quel que soit le semiconducteur, les bandes de trous lourds et de trous légers
sont assez fortement anisotropes et les surfaces équi-énergie, des « warped
sphères », sont décrites par la relation de dispersion :
ε=
h2
2 m0
(
(
))
⎡
2 2
2 2
2 2 1/ 2 ⎤
2
2 4
2
⎢− A k ± B k + C k x k y + k x k z + k z k y
⎥
⎣
⎦
[1.36]
(+ pour les trous légers, – pour les trous lourds). A, B et C sont des coefficients
caractéristiques du matériau. Pour les faibles énergies, on utilise parfois la forme
suivante de la relation de dispersion :
ε=
h2 2
k g (θ , ϕ )
2m
[1.37]
où m (notée mlh pour les trous légers et mhh pour les trous lourds) représente une
masse effective isotrope, et g(θ,ϕ) est un facteur correctif d’anisotropie.
Pour Si, mlh = 0,166 m0 et mhh = 0,53 m0.
La bande split-off, généralement peu peuplée, est souvent négligée pour l’étude
des propriétés de transport. Les surfaces équi-énergies sont des sphères et la relation
de dispersion, caractérisée par une masse isotrope mso, est donnée par :
ε=
h2
k2
2 mso
[1.38]
46
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.2.6. Densité d’états dans les bandes permises
La notion de densité d’états est très importante. Elle nous permettra notamment
de répartir la population d’électrons dans les bandes d’énergie.
1.2.6.1. Densité d’états dans l’espace réciproque
Quelle que soit la forme de la bande, les dimensions finies du cristal imposent
des conditions aux limites qui discrétisent les états accessibles et limitent leur
nombre. Nous avons déjà obtenu un résultat similaire à propos des modes de
vibrations des atomes. Si Lx, Ly, Lz sont les dimensions du cristal, les conditions aux
limites périodiques (dites de Born-Von Karman) imposent :
(
)
ψ kr (0,0,0 ) = ψ kr (L x ,0,0 ) = ψ kr 0, L y ,0 = ψ kr (0,0, L z )
c'est-à-dire :
(
)
exp (i k x L x ) = exp i k y L y = exp (i k z L z ) = 1
Les valeurs permises de kx, ky et kz sont donc les valeurs discrètes :
k x = nx
2π
2π
2π
, k y = ny
, k z = nz
Lx
Ly
Lz
où nx, ny et nz sont des entiers.
On dénombre alors le nombre d’états accessibles en tenant compte du principe
d’exclusion de Pauli auquel sont soumis les électrons, c’est-à-dire que sur chaque
état k permis, on ne peut mettre que 2 électrons de spins opposés.
A chaque volume
2π 2π 2π
de l'espace réciproque correspondent deux états
Lx L y Lz
(
)
possibles. La densité d’états dans cet espace est donc n k x , k y , k z = 2
Lx L y Lz
,
2π 2π 2π
soit, pour un volume unité du cristal :
(
)
n kx,k y , kz =
1
4π 3
[1.39]
Eléments de physique des semiconducteurs
47
r
Et le nombre d’états contenus dans un élément de volume d 3 k est
r
r
r d 3k
n k d 3k =
.
4π 3
()
1.2.6.2. Densité d’états en énergie (cristal 3D)
1.2.6.2.1. Cas d'une bande isotrope
()
r
h2 2
Dans ce cas, la relation de dispersion est de la forme ε k =
k et l’élément
2m
r
de volume correspondant à un bord de sphère d’épaisseur dk est d 3 k = 4 π k 2 dk .
Le nombre d’états contenus dans l’intervalle [ε , ε + dε] est donc :
()
r r 4 π k 2dk
1
(2m )3 / 2 ε dε
n(ε ) dε = n k d 3k =
=
3
2 3
4π
2π h
et finalement :
n(ε ) =
4π
h
3
(2m)3 / 2
ε
[1.40]
1.2.6.2.2. Bande de conduction du Si (bande ellipsoïdale)
Dans ce cas la relation de dispersion est de la forme [1.34]. On en déduit par un
calcul analogue au précédent la densité d'états suivante pour l’ensemble des 6
ellipsoïdes :
nc (ε ) = 6
4π
h
3
(
23 / 2 ml1 / 2mt
)
ε
On peut écrire cette expression sous une forme proche de [1.40] :
nc (ε ) =
4π
h3
(2mdc )3 / 2
ε
[1.41]
où mdc = (6ml1/2mt)2/3 est la masse effective de densité d’états de la bande de
conduction. Dans le Si, on a mdc = 1,06 m0.
48
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.2.6.2.3. Bande de valence
On néglige la contribution de la bande split-off, et on somme les contributions
des trous lourds et des trous légers :
nv (ε ) =
4π
h
3
(
23 / 2 mlh3 / 2 + mhh3 / 2
)
ε
En définissant la masse effective de densité d’états de la bande de valence
mdv = (mlh3/2 + mhh3/2)2/3, cette expression se met sous la même forme que
l'équation [1.40] c'est-à-dire que celle obtenue pour une bande sphérique (avec
mdv = 0,59 m0 dans le Si) :
nv (ε ) =
4π
h3
(2mdv )3 / 2
ε
[1.42]
1.2.7. Niveaux d’énergie introduits par les imperfections du cristal
Une imperfection du cristal est une rupture locale de la périodicité du réseau, et
donc du potentiel cristallin. Une telle rupture est due essentiellement à la présence,
souhaitée ou non, d’une impureté, ou à un défaut d’arrangement des atomes. La
rupture de périodicité du potentiel cristallin modifie localement les niveaux
d’énergie qui peuvent être occupés par les électrons. Ainsi, les électrons se
répartissent non seulement sur les bandes d’énergie permises du cristal parfait, les
niveaux intrinsèques, mais aussi sur des niveaux extrinsèques localisés introduits par
les imperfections.
Les niveaux extrinsèques peuvent se trouver dans les bandes permises, mais ils
ne jouent alors pratiquement aucun rôle, ne faisant qu’augmenter de façon
négligeable une densité d’états déjà élevée. Ils peuvent aussi se trouver dans la
bande interdite, ce qui modifie sensiblement la répartition des électrons à l’équilibre
et peut conférer au semiconducteur des propriétés très intéressantes. C’est
essentiellement parce que l’on sait créer de tels niveaux en contrôlant leur quantité
que les semiconducteurs ont des applications pratiques.
On distingue, dans la bande interdite, deux types de niveaux extrinsèques :
– les niveaux voisins des bandes permises (shallow levels, voisin signifiant
typiquement à moins de 0,1 eV) : ces niveaux interagissent facilement avec la bande
permise proche. Ils contrôlent la conductivité extrinsèque du matériau en fournissant
des électrons ou des trous aux bandes de conduction ou de valence ;
Eléments de physique des semiconducteurs
49
– les niveaux profonds (deep levels) : ils peuvent agir indirectement sur la
conductivité par compensation de l’effet de niveaux proches. En revanche, ils
agissent directement sur les propriétés de recombinaison, pour laquelle ils peuvent
servir d’intermédiaire, et donc sur la durée de vie des porteurs.
Il est à noter que les niveaux extrinsèques sont généralement discrets. Toutefois,
si les impuretés sont très nombreuses et denses, elles peuvent se trouver
suffisamment proches les unes des autres pour interagir entre elles, ce qui donne lieu
à la formation de bandes d’impuretés.
1.2.7.1 Niveaux associés aux impuretés de dopage pour un semiconducteur de la
colonne IV (Si, Ge, C)
Lorsque des impuretés sont introduites dans le réseau, elles peuvent occuper des
positions substitutionnelles ou interstitielles. Un atome en position interstitielle
introduit un grand désordre dans le réseau et constitue généralement une
configuration instable. Nous ne nous intéressons ici qu’aux impuretés
substitutionnelles introduisant des niveaux peu profonds, les seuls susceptibles de
« doper » un matériau.
1.2.7.1.1 Dopage de type N par un élément de la colonne V (P, As)
Un atome de la colonne V possède 5 électrons périphériques. Placé en site
substitutionnel dans un réseau Si, il engage 4 de ces électrons dans des liaisons de
valence avec 4 atomes Si voisins. Ces électrons « participent » ainsi à la bande de
valence du semiconducteur.
Le 5ème électron est faiblement lié ; il occupe un niveau ED peu profond de la
bande interdite et peut être facilement arraché à l’impureté (Figure 1.21). Il alimente
ainsi la bande de conduction du cristal. Tous les atomes de la colonne V fournissent
la bande de conduction de Si en électrons ; ce sont des donneurs, permettant de
doper en électrons le semiconducteur qui est alors dit de type N.
50
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Si
EC
ED
–
Si
P+
Si
EV
Si
(EC - ED) + P ↔ P+ + e–
Figure 1.21. Effet d’un atome de phosphore substitutionnel dans un réseau Si. Création d’un
niveau donneur ED dans la bande interdite. Il suffit de fournir l’énergie EC - ED pour libérer
l’électron en excès qui occupe ce niveau vers la bande de conduction du cristal Si.
Les états de charge d’un centre donneur sont :
– (0) si le niveau est occupé ;
– (+) si le niveau est vide.
Les niveaux donneurs usuels dans Si sont :
As → EC - ED = 54 meV, Sb → EC - ED = 39 meV.
P → EC - ED = 45 meV,
1.2.7.1.2. Dopage de type P par un élément de la colonne III (B, Ga, In)
Un atome de la colonne III a 3 électrons périphériques. En position
substitutionnelle dans un réseau Si, il ne peut engager que 3 liaisons de valence avec
3 des 4 atomes Si voisins. Mais par l’intermédiaire d’un niveau EA introduit à
proximité de la bande de valence, il peut facilement capturer un électron de valence
d’un autre atome Si pour finalement échanger une 4ème liaison de valence avec ses
voisins (Figure 1.22). Cette capture d’un électron de la bande de valence vers le
niveau EA crée donc un trou dans la bande de valence symbolisé par Si+ sur la
figure. Les atomes de la colonne III, permettant de doper en trous le semiconducteur,
qui est alors de type P, sont dits accepteurs.
Les états de charge d’un centre accepteur sont :
– (–) si le niveau est occupé ;
– (0) si le niveau est vide.
Les niveaux accepteurs usuels dans Si sont : Β → EA - EV = 45 meV,
Ga → EA - EV = 72 meV, In → EA - EV = 160 meV.
Eléments de physique des semiconducteurs
51
Si
EC
Si
Si
B–
EA
EV
Si
Si+
(EA - EV) + B + Si ↔ B – + Si+
Figure 1.22. Effet d’un atome de bore substitutionnel dans un réseau Si. Création d’un
niveau accepteur EA dans la bande interdite. Il suffit de fournir l’énergie EA - EV pour que ce
niveau capture un électron de la bande de valence du cristal Si, c’est-à-dire pour qu’il crée
un trou.
1.2.7.2. Réduction de la largeur de bande interdite (Band gap narrowing)
A fort dopage, le couplage entre les niveaux donneurs ou accepteurs avec,
respectivement, la bande de conduction ou la bande de valence conduit à l'apparition
de niveaux d'énergie permis supplémentaires dans la bande interdite et donc à la
réduction de la largeur de la bande interdite. Ce phénomène est appelé en langue
anglaise « band gap narrowing ». La figure 1.23 représente l'évolution de la
réduction de la largeur de bande interdite ∆EG en fonction du dopage, pour le
silicium.
∆ E G (meV)
100
10
10 17
10 18
10 19
1020
N (cm -3 )
Figure 1.23. Variation ∆EG, dans Si à 300 K en fonction de la concentration N de dopants.
52
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.2.7.3. Niveaux profonds
Dans le cas du silicium, les niveaux profonds sont essentiellement créés par des
impuretés qui ne sont ni de la colonne III ni de la colonne V. La plupart de ces
impuretés sont d’ailleurs multi-valentes, c’est-à-dire qu’elles introduisent plusieurs
niveaux dans la bande interdite. Par exemple l’or crée un niveau accepteur situé à
0,54 eV sous la bande de conduction de Si et un niveau donneur à 0,29 eV au-dessus
de la bande de valence. Une telle impureté ne peut donc pas être utilisée comme
dopant car elle ne peut être facilement ionisée qu’à des températures très élevées.
Ces niveaux profonds peuvent interagir avec les deux bandes permises et
donnent lieu à de la recombinaison indirecte qui sera étudiée plus loin. C'est le
mécanisme de recombinaison le plus efficace dans Si. Par exemple, un état
accepteur inoccupé (état 0) peut capturer un électron libre (il passe à l’état –) puis un
trou libre (retour à l’état 0). La capture d’un trou libre signifie que l’électron qui
occupe le niveau retombe sur une place vide de la bande de valence. L’introduction
de tels centres recombinants peut être bénéfique pour certains composants
fonctionnant en commutation, en aidant à évacuer les charges stockées de porteurs
libres, mais catastrophique pour d’autres composants, tels que les diodes
électroluminescentes qui voient leur rendement lumineux dégradé par la
recombinaison.
1.2.8. Peuplement des niveaux d’énergie à l’équilibre thermique
Dans les deux parties précédentes, nous avons déterminé un ensemble de
niveaux d’énergie accessibles aux électrons « quasi-libres » du semiconducteur. Cet
ensemble comprend des niveaux intrinsèques, groupés en bandes permises séparées
par une bande interdite, et des niveaux extrinsèques discrets introduits dans la bande
interdite par, essentiellement, des impuretés. Nous allons voir maintenant comment
les électrons se répartissent sur ces niveaux. C’est un problème de physique
statistique dont nous admettrons le résultat fondamental suivant : les électrons
obéissent à la statistique quantique de Fermi-Dirac.
1.2.8.1. Probabilité d’occupation d’un niveau d’énergie ε
1.2.8.1.1. Statistique de Fermi-Dirac pour les fermions
Les fermions obéissent au principe d’exclusion de Pauli, ce qui n’est pas le cas
des bosons. Le principe d’exclusion de Pauli stipule que (1) un état quantique ne
peut pas être occupé par deux fermions (2) les niveaux d’énergie inférieure sont
peuplés en priorité.
Eléments de physique des semiconducteurs
53
La statistique à laquelle obéissent les fermions s’obtient en calculant, compte
tenu de ce principe, la répartition des fermions qui rend maximum l’entropie du
système de particules. On aboutit à la statistique de Fermi-Dirac qui donne pour les
fermions (donc en particulier pour les électrons) la probabilité f(ε) pour qu’un
niveau d’énergie ε soit occupé. Cette probabilité est aussi appelée fonction
d’occupation du niveau ε. Elle s’écrit :
f (ε ) = f FD (ε ) =
1
1 + exp
ε − EF
[1.43]
k BT
où EF est appelé niveau de Fermi. D’un point de vue thermodynamique, le niveau de
Fermi n’est autre que le potentiel chimique du système de particules, c’est-à-dire la
dérivée partielle de l’énergie libre par rapport au nombre de particules du système.
ATTENTION.- En théorie du transport, l’énergie de Fermi est plutôt appelée potentiel
électrochimique.
1.2.8.1.2. Probabilité de présence des porteurs dans un semiconducteur à l’équilibre
thermique
Dans un semiconducteur, la probabilité de présence d'un électron au niveau ε est
donnée par :
f n (ε ) =
1
1 + exp
ε − EF
[1.44]
k BT
REMARQUE.- A 300 K, kBT vaut environ 25 meV.
La présence d’un trou sur un niveau équivaut à l’absence d’un électron. La
probabilité de présence d'un trou est alors donnée par :
f p (ε ) = 1 − f n (ε ) =
1
E −ε
1 + exp F
k BT
[1.45]
1.2.8.1.3. Semiconducteur non dégénéré
Si le semiconducteur n’est pas très dopé (typiquement moins que 1018 cm-3 dans
Si), le nombre d’électrons et de trous présents dans les bandes permises est très
inférieur au nombre de places disponibles. Par conséquent, la statistique de
54
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Maxwell-Boltzmann peut s’appliquer à tous les niveaux des bandes permises, c’està-dire que EF se trouve dans la bande interdite à plus de 3kBT des bandes permises.
Il y a dégénérescence lorsque le niveau de Fermi pénètre dans une bande
permise, situation analogue à celle d’un métal.
Dans la suite, nous nous limiterons au cas des semiconducteurs non dégénérés.
Nous aurons donc à utiliser les expressions suivantes :
– électrons dans la bande de conduction : si EC – EF >> kBT, soit en pratique si
EC > EF + 3kBT :
⎛ ε − EF
f n (ε ) ≈ exp⎜⎜ −
k BT
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
[1.46.a]
– électrons sur les niveaux extrinsèques :
f n (ε ) =
1
1 + exp
ε − EF
[1.46.b]
k BT
– trous dans la bande de valence : si EV – EF << kBT, soit en pratique si
EV < EF + 3kBT
⎛ ε − EF
f p (ε ) ≈ exp⎜⎜
⎝ k BT
⎞
⎟⎟
⎠
[1.46.c]
– trous sur les niveaux extrinsèques :
f p (ε ) =
1
E −ε
1 + exp F
k BT
[1.46.d]
Notons enfin que les fonctions d'occupation des niveaux extrinsèques données
par [1.46.b] et [1.46.d] ne tiennent pas compte de l'éventuelle dégénérescence des
niveaux liée à la dégénérescence de spin. En effet pour un niveau donneur ED, il
existe deux façons de passer de l'état ionisé à l'état neutre (capture d'un électron de
spin « up » ou « down ») mais un seul type de transition est possible pour passer de
l'état neutre à l'état ionisé (émission d'un électron de spin déterminé). Dans le cas
d'un niveau accepteur il n'existe qu'une seule façon de passer de l'état neutre à l'état
ionisé (capture d'un électron de spin déterminé) mais deux types de transition sont
possibles pour le passage de l'état ionisé à l'état neutre. On est donc conduit à
modifier les poids respectifs des états neutre et ionisé, ce qui conduit finalement à :
Eléments de physique des semiconducteurs
1
⎧
⎪ f n (ED ) =
E − EF
1
1 + exp D
⎪
k BT
2
⎪
⎨
1
⎪ fn (E A ) =
E − EF
⎪
1 + 2 exp A
⎪
k BT
⎩
55
[1.46.e]
1.2.8.2. Concentration des porteurs dans les bandes permises
La concentration d’électrons se calcule en intégrant, sur toutes les valeurs
possibles de l’énergie, la densité d’états (établie en 1.2.6) modulée par la fonction
d’occupation :
+∞
n=
∫ nc (ε ) f n (ε )dε
EC
où EC est le bas de la bande de conduction.
Le calcul complet, compte tenu de [1.46.a], conduit à :
⎛ E − EC
n = N C exp⎜⎜ F
⎝ k BT
⎞
⎟⎟
⎠
[1.47]
3/ 2
⎛ 2 π mdc k BT ⎞
où N C = 2 ⎜⎜
est la concentration équivalente de la bande de
⎟⎟
h2
⎝
⎠
conduction, c’est-à-dire la concentration d’électrons lorsque EF = EC On calcule de
même la concentration de trous :
⎛ E − EF
p = NV exp⎜⎜ V
⎝ k BT
⎛ 2 π mdv k BT
où NV = 2 ⎜⎜
h2
⎝
valence.
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
[1.48]
3/ 2
est la concentration équivalente de la bande de
Dans Si, NC = 2,5 × 1019 (T/300)3/2 et NV = 1019 (T/300)3/2 (en cm-3).
56
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Un résultat remarquable et important est que le produit np est indépendant de EF
à l’équilibre thermique. En effet, d’après [1.47] et [1.48] :
⎛ E − EC
n p = N C NV exp⎜⎜ V
⎝ k BT
⎞
⎛ E ⎞
⎟⎟ = N C NV exp⎜⎜ − G ⎟⎟ = ni 2
⎠
⎝ k BT ⎠
[1.49]
On définit ainsi la concentration intrinsèque ni. Dans Si à 300 K, ni ≈ 1010 cm-3.
Pour un matériau pur, la neutralité électrique impose n = p = ni, ni est donc bien la
concentration intrinsèque d’un matériau pur. On a de plus en utilisant la relation
précédente :
E + EV k BT N C
EF = C
−
ln
≈ Ei
2
2
NV
Pour un matériau pur, le niveau de Fermi n’est donc pas, en toute rigueur, au
milieu de la bande interdite. Il en est proche seulement si NV est proche de NC,
c’est-à-dire si la masse de densité d’états des trous est proche de celle des électrons.
Moyennant cette approximation, les concentrations d'électrons et de trous [1.47] et
[1.48] peuvent s'écrire sous la forme :
⎧
⎛ E F − Ei ⎞
⎟⎟
⎪n = ni exp⎜⎜
⎪
⎝ k BT ⎠
⎨
⎛ Ei − E F ⎞
⎪
⎟
⎜
⎪ p = ni exp⎜ k T ⎟
B
⎠
⎝
⎩
[1.50]
1.3. Effet des perturbations : transport et génération-recombinaison
1.3.1. Phénomènes de transport
Dans la partie précédente, nous avons étudié comment, à l’équilibre thermique,
les électrons se répartissent sur les niveaux d’énergie d’un semiconducteur. En fait,
les électrons effectuent constamment des transitions entre niveaux d’énergie, et la
répartition que l’on a déterminée résulte d’un équilibre statistique entre ces
transitions.
Dans les paragraphes qui suivent nous allons discuter des différents phénomènes
de transport à partir du formalisme fondamental de Boltzmann. Le lecteur qui ne
souhaite pas approfondir le détail de ce formalisme pourra directement passer au
Eléments de physique des semiconducteurs
57
paragraphe 1.3.1.5 où sont établies les fameuses équations simplifiées de
"dérive-diffusion" qui permettent de traiter un grand nombre de problèmes de
transport.
Si l’on perturbe l’équilibre thermique (par application d’un champ électrique, par
création d’un gradient de concentration, d’un gradient de température, …), on
favorise certaines transitions par rapport à d’autres et on modifie la répartition des
porteurs sur les niveaux d’énergie. Des mécanismes de retour à l’équilibre,
c’est-à-dire de relaxation, s’opposent à cette perturbation. Nous aborderons
essentiellement dans cette partie les perturbations peu intenses, c’est-à-dire qui
modifient la répartition fn(ε) ou fp(ε) des porteurs sur les niveaux sans changer le
nombre de porteurs n ou p. Le cas des perturbations intenses, c’est-à-dire
susceptibles de créer des porteurs libres en excès par des transitions entre bandes ou
entre niveaux extrinsèques et bandes permises, sera traité dans le paragraphe 1.3.2
suivant.
L’analyse de la compétition entre perturbation et mécanismes de relaxation
conduit à deux situations typiques :
– régime transitoire : à partir d’un état de déséquilibre on supprime la
perturbation qui l’a créé ; on observe le retour à l’équilibre caractérisé par un temps
de relaxation ;
– régime permanent : la perturbation est maintenue constante ; il y a création
d’un état permanent de déséquilibre caractérisé par un flux (de porteurs ou de
r
r
chaleur) Φ . Soient vi la vitesse du porteur i et Qi la quantité qu’il transporte. le
flux résultant s’écrit :
r
r
Φ = ∑ Qi v i
[1.51]
i
Le tableau 1.2 dresse pour les trois principaux types de perturbation, les noms du
phénomène auquel elle donne lieu, de la quantité transportée, et du flux résultant.
Etudier les phénomènes de transport, c’est faire le lien quantitatif entre le flux et la
perturbation.
Perturbation
r
E
r r
∇n , ∇ n
r
∇T
Phénomène
Qi
Flux
Conduction électrique
Charges électriques
Densité de courant
Diffusion de porteurs
Particules
Flux de particules
Conduction thermique
Chaleur
Flux de chaleur
Tableau 1.2. Description des principales perturbations et phénomènes liés.
58
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.3.1.1. Les mécanismes de relaxation des porteurs : les interactions
Nous avons vu précédemment que la structure de bande d'un cristal s'établit en
résolvant l'équation de Schrödinger pour un électron dans un cristal parfait
(Eq. 1.12) décrit par le potentiel cristallin périodique. Cette équation « simple » est
en fait une approximation de l'équation globale pour le système d'atomes et
d'électrons constituant le cristal. Cette approximation consiste notamment à négliger
dans l'hamiltonien principal les couplages entre électrons, entre électrons et
vibrations du réseau (phonons) ou entre électrons et impuretés. Ces couplages jouent
cependant un rôle très important car ils constituent les mécanismes de relaxation qui
tendent à replacer un système hors d'équilibre dans son état d'équilibre. Ils sont
traités comme de faibles perturbations (au sens de la mécanique quantique) par
rapport au potentiel cristallin. Autrement dit, ils ne modifient pas la structure de
bandes du matériau, c'est-à-dire les états d'énergie permis, mais induisent des
transitions entre ces états. Chaque processus est décrit comme une interaction (ou
collision) instantanée caractérisée par une densité de probabilité par unité de temps
r
r
pour que l'électron passe d'un état initial k à un état final k ′ . Cette densité de
r r
probabilité s i k , k ′ , où i repère le processus considéré, est donnée par la règle d'or
de Fermi (voir par exemple [COH 73]) :
( )
( )
r r
2π
si k , k ′ =
Mi
h
r
r
où M i = k ′ Vi k
2
ρ k ′ δ (ε − ε ′)
[1.52]
est l'élément de matrice de transition, Vi est le potentiel de
couplage, ρ k′ est la densité d'états finals, ε et ε ′ sont les énergies initiale et finale.
En sommant sur tous les états finals possibles on peut déduire de [1.52] pour chaque
r
processus i et pour chaque électron dans un état k une fréquence d'interaction
r
r
λ i k et un temps de relaxation de la vitesse τ i k définis respectivement par (pour
un matériau non dégénéré dans lequel les états sont faiblement occupés) :
()
()
(r )
(r r )
λi k = ∫ si k , k ′ d 3 k ′
et
( )
r r ⎛ k′
⎞
r = ∫ s i k , k ′ ⎜1 − cos θ ⎟ d 3 k ′
k
⎝
⎠
τi k
1
()
[1.53]
r
r
où θ est l'angle entre k et k ′ . Pour aller plus loin dans la description de ces
processus il faut expliciter pour chacun d'eux le potentiel de perturbation Vi, ce qui
sort du cadre de ce chapitre. Nous nous contenterons d'une brève description des
interactions prépondérantes pour les électrons dans le silicium. On peut en trouver
un développement complet dans de nombreux ouvrages tels que [LUN 00].
Eléments de physique des semiconducteurs
59
D'une manière générale, l'effet d'une interaction subie par un porteur est de
modifier la direction de son vecteur d'onde et éventuellement, dans le cas d'une
interaction inélastique, son énergie. Les principales interactions subies par les
électrons dans Si sont les suivantes :
– interaction porteurs – impuretés ionisées : la fréquence (ou l'inverse du temps
de relaxation) de ce processus élastique (sans échange d'énergie) varie en 1/ε3/2 et en
NI, où NI est la concentration d'impuretés. Cette interaction a un effet important sur
la relaxation de la vitesse, notamment dans les zones dopées ainsi qu'à faible
température où elle est prédominante ;
– interactions porteurs – phonons : dans le silicium on distingue essentiellement
deux mécanismes suivant la nature du phonon échangé :
- phonon acoustique intravallée : cette interaction met en jeu des phonons
acoustiques de faible vecteur d'onde et donc de faible énergie. La fréquence de ce
mécanisme est proportionnelle à ε1/2. Le processus est quasi-élastique avec une
déviation isotrope du vecteur d'onde. Il joue un rôle important dans la relaxation des
porteurs de faible énergie,
- phonon intervallée : cette interaction met en jeu un phonon acoustique ou
optique de grand vecteur d'onde et d'énergie constante qui fait passer les électrons
d'une vallée X à une autre vallée X. La fréquence de ce mécanisme inélastique est
proportionnelle à ε1/2. L'émission de phonons intervallée est le processus de
relaxation dominant pour les électrons de forte énergie.
1.3.1.2. Fonction de distribution – Equation de Boltzmann
L'état du système que forme la population d'électrons d'un semiconducteur est
r r
entièrement décrit par la fonction de distribution f k , r , t qui représente à l'instant t
r
r
la probabilité de présence d'un électron aux points k de l'espace réciproque et r de
l'espace réel. La connaissance de cette fonction permet de déterminer toutes les
r
grandeurs locales liées aux porteurs telles que la concentration n (r , t ) ou la valeur
r
totale A (r , t ) de toute grandeur transportée (vitesse, énergie,…) via les expressions
suivantes :
(
() (
)
)
() () (
)
r
r
r
r
r
r
r r
r
r r
n (r , t ) = ∫ n k f r , k , t dk et A (r , t ) = ∫ A k n k f r , k , t dk
[1.54]
et l'expression générale [1.51] du flux transporté devient :
r
(r ) (r ) (r ) (r r )
r
Φ = ∫ Q k v k n k f r , k , t dk
[1.55]
En présence d’une perturbation, f s’écarte de la fonction à l'équilibre thermique
f0 d’une quantité f1 :
60
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
(
)
(
) (
r r
r r
r r
f r , k , t = f 0 r , k , t + f1 r , k , t
(
)
[1.56]
)
r r
La fonction f 0 k , r , t correspond à la statistique de Fermi-Dirac :
()
r
−1
r r
⎛ EC (rr ) + ε k − E F ⎞⎤
r r ⎡
⎜
⎟
f 0 k , r , t = f 0 r , k = ⎢1 + exp
⎜
⎟⎥⎥
k BT
⎢⎣
⎝
⎠⎦
(
)
( )
[1.57]
()
r
r
où EC (r ) est l'énergie potentielle (bas de bande de conduction) et ε k l'énergie
cinétique des électrons. Le but est donc de déterminer l’évolution dans le temps de f
dans un espace à 6 dimensions (l’espace des phases). Cette évolution est décrite par
l'équation de Boltzmann qui s'établit par exemple (pour un système
unidimensionnel) en écrivant la conservation durant l'intervalle de temps δt du
nombre de porteurs initialement contenu dans l'élément de volume dx dkx. Durant δt,
la fonction f s'accroît de δf. On a donc :
dx
δt dk x +
dt
dk
∂f ⎞
+ [ f (x, k x , t ) − f (x, k x + dk x , t )] x δt dx + ⎟ dx dk x δt
∂t ⎠ c
dt
δf dx dk x = [ f (x, k x , t ) − f (x + dx, k x , t )]
⎞
⎟⎟ représente la contribution des collisions. Ainsi, compte tenu de la relation
⎠c
[1.23] :
où
∂f
∂t
f (x, k x , t ) − f (x + dx, k x , t )
δf
vx
=
dx
δt
+
f (x, k x , t ) − f (x, k x + dk x , t ) Fx ∂f ⎞
+ ⎟
∂t ⎠c
dk x
h
En faisant tendre les éléments δt, dx, et dkx vers 0 et en généralisant à un cristal
3D, nous obtenons l'équation de Boltzmann :
r r
1 r r
df
∂f ⎞
= −v ⋅ ∇ rr f − F ⋅ ∇ kr f + ⎟
h
dt
∂t ⎠ c
[1.58]
La quantité df/dt se décompose donc en une somme de trois termes, qui
correspondent respectivement à la contribution des gradients de la fonction de
Eléments de physique des semiconducteurs
61
r
distribution, celle des forces appliquées F , et celle des interactions (ou collisions).
Compte tenu de [1.52], le terme de collision peut être explicité ainsi :
) ( ( )) ( )
r r r
r r
r r
− ∫ f (r , k , t ) (1 − f (r , k ′, t )) s (k , k ′) dk ′
∂f ⎞
⎟ =
∂t ⎠ c
∫ (
r r r
r r
r r
f r , k ′, t 1 − f r , k , t s k ′, k dk ′
[1.59]
où encore dans le cas d'un semiconducteur non dégénéré (faibles probabilités
d'occupation) :
∂f ⎞
⎟ =
∂t ⎠ c
∫ f (r , k ′, t ) s(k ′, k ) dk ′ − ∫ f (r , k , t ) s(k , k ′) dk ′
r r
r r
r
r r
r r
r
[1.60]
APPROXIMATION DE BOLTZMANN.- Les collisions ont tendance à ramener la fonction
f vers son état d’équilibre f0 ; pour calculer leur contribution à l’évolution temporelle
de f, nous nous plaçons dans l’hypothèse de faibles perturbations, c’est-à-dire que la
vitesse de retour à l’équilibre est proportionnelle à l’écart f – f0, avec pour facteur de
proportionnalité 1/τ, où τ est un temps de relaxation dépendant a priori de l'énergie.
C’est l’hypothèse de Boltzmann. Ainsi,
df
dt
f − f0
f
⎞
=− 1
⎟ =−
τ
τ
⎠c
[1.61]
df
= 0 . On aboutit alors, en rassemblant
dt
[1.58] et [1.61], à l’équation de Boltzmann simplifiée :
Si on se place en régime permanent,
r r
1 r r
f
v ⋅ ∇ rr f + F ⋅ ∇ kr f + 1 = 0
h
τ
[1.62]
La contribution de f0 à l’intégrale [1.55] donnant l’expression générale du flux
résultant est nulle car il n’y a pas de flux à l’équilibre thermique. Avec les notations
et les hypothèses de ce paragraphe, l’expression [1.55] devient donc :
∫ ()()() (
)
r r r
r
r
r r
Φ = Q k v k n k f 1 r , k , t dk
[1.63]
Nous allons maintenant appliquer l’équation de Boltzmann au calcul de la
conductivité électrique et du coefficient de diffusion des porteurs.
62
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.3.1.3. Conduction électrique en champ faible (E < 1 kV.cm-1)
r
r
La perturbation est une force électrostatique F = −qE , la quantité transportée est
r
la charge électrique -q, le flux résultant est la densité de courant J , c’est-à-dire,
d’après [1.63] :
∫()() (
)
r r
r
r r
r r
J (r ) = − q v k n k f1 r , k , t dk
[1.64]
r
Nous allons faire le calcul de J dans le cadre de l'approximation de Boltzmann
et des hypothèses suivantes : (i) semiconducteur non dégénéré, (ii) de dopage et de
température uniforme, et (iii) dans lequel règne un champ électrique faible, constant
et uniforme. Nous supposerons de plus que (iv) les électrons se trouvent sur une
bande d'énergie parabolique et isotrope, ce qui correspond plutôt au cas de GaAs.
Nous généraliserons ensuite le résultat au cas des bandes ellipsoïdales du Si.
Du fait de l'hypothèse (ii), l'équation de Boltzmann [1.62] se réduit à :
1 r rr
f
F ⋅ ∇k f + 1 = 0
h
τ
[1.65]
r
L'hypothèse de champ faible (iii) permet, pour le calcul de ∇ kr f , de considérer
que f = f0 + f1 ≈ f0. Nous avons alors pour un semiconducteur non dégénéré :
r
r
∂f r
h
∇ kr f = 0 ∇ kr ε = −
f0 v
∂ε
kT
ce qui, reporté dans [1.65], conduit à l'expression de f1 :
()
()
r
r r r
q
f1 k = −
τ (ε ) f 0 k E ⋅ v
k BT
[1.66]
En prenant pour axe Ox la direction du champ, la densité de courant [1.64]
devient :
Jx =
()
()
r
r r
q2
E x τ (ε ) f 0 k v x 2 n k dk
k BT
∫
[1.67]
La bande d'énergie considérée étant parabolique et isotrope (hypothèse (iv)), il
r
est commode de remplacer l'intégration sur k par une intégration sur l'énergie ε. De
Eléments de physique des semiconducteurs
63
plus, l'hypothèse de faible champ implique que l'énergie cinétique moyenne des
porteurs reste égale à sa valeur d'équilibre thermodynamique, et équitablement
répartie suivant toutes les directions. Ainsi, calculée sur toute fonction de
distribution, la valeur moyenne de vx2 peut s'écrire <vx2> = <v2>/3 = 2<ε>/(3m*).
Nous pouvons donc remplacer dans [1.67] vx2 par 2ε/(3m*). Compte tenu de la
densité d'états en énergie (relation [1.40]), la densité de courant [1.67] devient alors :
Jx =
q2
2
Ex
τ (ε ) f 0 (ε ) ε n(ε ) dε
k BT
3m *
∫
ce qui peut également s'écrire :
Jx =
τ (ε ) ε f 0 (ε ) n(ε ) dε
q2
2
Ex
n
k BT
3m *
ε f 0 (ε ) n(ε ) dε
∫
∫
∫ ε f 0 (ε ) n(ε ) dε
∫ f0 (ε ) n(ε ) dε
c'est-à-dire :
Jx = n
q2
2 τε
Ex
k BT
3m * ε
ε
[1.68]
Or, ε = 1,5 kBT. On utilise de plus l'abus d'écriture suivant qui simplifie les
notations : τ =
τε
. Cette quantité τ est homogène à un temps mais n'est pas
ε
rigoureusement le temps de relaxation moyen. La densité de courant [1.68] s'écrit
alors :
Jx = n
q2
τ Ex
m*
On retrouve ainsi la loi d'Ohm qui relie la densité de courant au champ électrique
par la conductivité σ. On définit de plus la mobilité par le rapport µ = v / E . On a
alors :
64
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
r
⎧r
q τn
(cas des électrons)
⎪ J n = σ n E où σ n = qnµ n avec µ n =
mn *
⎪
⎨
q τp
r
⎪r
⎪ J p = σ p E où σ p = qpµ p avec µ p = m * (cas des trous)
p
⎩
[1.69]
Dans le cas des vallées anisotropes (ellipsoïdales) du silicium, d’une manière
générale, l’anisotropie du diagramme de bandes du silicium et du temps de
relaxation amène à donner une forme tensorielle au coefficient de transport qui relie
le flux à la perturbation. Ce tenseur n’est pas forcément diagonal, c’est-à-dire que le
flux transporté n’est pas forcément colinéaire à la force appliquée. Toutefois, pour
certains coefficients de transport, les symétries du cristal permettent de donner une
forme scalaire à ce tenseur. C’est le cas de la conductivité, à condition d’utiliser une
nouvelle masse effective, appelée masse effective de conductivité. En effet, en
faisant le même calcul que précédemment pour chacun des six ellipsoïdes et en
sommant les différentes contributions, on obtient, si l'on fait une approximation
isotrope du temps de relaxation :
r
r
q2
Jn = n
τ E
m cc
[1.70]
où la masse effective de conductivité mcc est définie par :
1
1⎛ 1
2
= ⎜⎜
+
m cc 3 ⎝ ml mt
⎞
⎟
⎟
⎠
[1.71]
Il faut faire attention à ne pas confondre la masse effective de conduction mcc
avec la masse effective de densité d’états mdc définie dans le paragraphe 1.2.6. En
effet, avec ml = 0,916 m0 et mt = 0,19 m0, on a mdc = 1,06 m0 et mcc = 0,26 m0.
1.3.1.4. Diffusion
La perturbation est un gradient spatial de concentration de porteurs, et la quantité
transportée est un nombre de particules. D’une manière générale dans un processus
de diffusion, le flux résultant s’écrit donc, d’après [1.63] :
()() (
)
r r
r
r
r r
Φ = ∫ v k n k f1 r , k , t dk
[1.72]
Les porteurs étant chargés électriquement, ce flux se traduit bien sûr par une
r
densité de courant. Nous allons faire le calcul de Φ dans le cadre des hypothèses
Eléments de physique des semiconducteurs
65
suivantes : (i) semiconducteur non dégénéré, (ii) absence de force exercée sur les
porteurs (iii) faible perturbation de la fonction de distribution, et (iv) bande
parabolique isotrope.
L’hypothèse (ii) réduit l’équation de Boltzmann [1.62] en régime permanent à :
r r
f
v ⋅ ∇ rr f + 1 = 0
[1.73]
τ
r
Les hypothèses (i) et (iii) nous permettent de considérer, pour le calcul de ∇ r f
que :
( )
()
r
⎛ E −ε ⎞
⎛ E − EC
r r
⎟⎟ = exp⎜⎜ F
f r , k ≈ f 0 k ≈ exp⎜⎜ F
k
T
⎝ B ⎠
⎝ k BT
⎞
⎛ E −ε
⎟⎟ exp⎜⎜ C
⎠
⎝ k BT
⎞
⎟⎟
⎠
où ΕC - ε ne varie pas spatialement. On a donc, compte tenu de la relation [1.47] du
chapitre 1 :
r
∇ rr f 0 =
r
r
f0
∂ f0
∇ rr n
r
k BT
∇ r (E F − EC ) =
k BT
n
∂ (E F − EC )
Par conséquent, d’après cette même relation [1.47], f1 est donnée, pour un
gradient unidimensionnel par :
f1 = −τ f 0
1 dn
vx
n dx
[1.74]
On calcule alors le flux [1.72] de façon analogue au calcul de la densité de
courant dans l’étude de la conductivité :
Φx = −
dn 2 1
k T
dn
dn
τ (ε ) ε f 0 (ε ) n(ε ) dε = − B τ
= − Dn
dx 3 m n
m
dx
dx
∫
et le flux s’écrit finalement comme une loi de Fick où l’on a introduit le coefficient
de diffusion Dn reliant le flux à sa cause. Ainsi, le coefficient de transport lié à la
diffusion est relié à la mobilité, qui caractérise le phénomène de conduction, par la
relation d’Einstein :
k T
k T
Dn = B µ n (électrons) et D p = B µ p (trous)
q
q
[1.75]
66
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
On obtient l’expression générale du courant de diffusion pour les deux types de
porteurs :
r
r
⎧⎪ J n = q D n ∇n
r
⎨r
⎪⎩ J p = − q D p ∇p
[1.76]
Dans le cas de la bande de conduction anisotrope du silicium, on obtient le même
résultat que précédemment en remplaçant, dans l’expression du coefficient de
diffusion, la masse effective m par la masse effective de conductivité mcc définie par
la relation [1.71]. Les valeurs des coefficients de transport dans Si non dopé à 300 K
µp = 500 cm2V-1s-1,
Dn = 37,5 cm2s-1,
et
sont :
µn = 1500 cm2V-1s-1,
Dp = 12,5 cm2s-1.
1.3.1.5. Equations de dérive-diffusion
En présence à la fois d’un champ électrique et d’un gradient de concentration, on
a donc, en rassemblant [1.69] et [1.76] :
r
r
r
⎧⎪ J n = qnµ n E + qDn ∇n
r
r
⎨r
⎪⎩ J p = qpµ p E − qD p ∇p
[1.77]
Ce sont les équations de dérive-diffusion, largement employées pour l’étude du
transport dans les dispositifs semiconducteurs.
Dans l’utilisation de ces équations, il faut faire très attention au fait que le champ
électrique qui y figure n’est pas un champ électromoteur, c’est-à-dire qu’il n’est pas
lui-même responsable d’un courant mesurable. Il suffit pour s’en convaincre de
considérer le cas classique d’un semiconducteur inhomogène, par exemple une
jonction PN. A l’équilibre, c’est-à-dire en l’absence de différence de potentiel
appliquée ou de toute autre perturbation extérieure, le courant qui traverse la
structure est rigoureusement nul. Cependant, les porteurs des zones de forte
concentration ont tendance à diffuser dans les régions où ils sont minoritaires, ou
dans les zones de plus faible concentration. Des courants de diffusion existent donc
bien dans la structure, mais un champ électrique s’établit localement pour s’opposer
à la diffusion. A l’équilibre, les composantes de dérive et de diffusion peuvent être
toutes les deux très fortes localement, mais en se compensant parfaitement.
Eléments de physique des semiconducteurs
67
1.3.1.6. Champ électromoteur
Nous avons déjà mentionné que le niveau de Fermi, du point de vue de la
thermodynamique, n'est autre que le potentiel chimique du système de particules. Il
est donc uniforme pour un semiconducteur au repos, et identique pour les électrons
et les trous. En présence d'une perturbation externe, certaines zones du
semiconducteur, ou du dispositif semiconducteur, ne sont plus à l'équilibre et les
concentrations de porteurs sont modifiées dans ces zones. Pour conserver les
expressions [1.47], [1.48] et [1.50] qui donnent les concentrations de porteurs, il faut
définir des niveaux de Fermi différents pour les électrons et les trous,
respectivement EFn et EFp, appelés quasi-niveaux de Fermi. Les courants d'électrons
et de trous définis en [1.77] s'écrivent alors, compte tenu de [1.47] :
⎧r
⎪⎪ J n = qnµ n
⎨r
⎪ J p = qpµ p
⎩⎪
r
E + qD n
n
k BT
r
p
E − qD p
k BT
[∇r E Fn − ∇r EC ]
[∇r EV − ∇r E Fp ]
r
r
r
Or, ∇EC = ∇EV = qE , ce qui nous donne, compte tenu de la relation d'Einstein
[1.75] :
σn r
⎧r
⎪ J n = q ∇E Fn
⎪
⎨r
r
⎪ J = σ p ∇E
Fp
⎪⎩ p
q
[1.78]
1 r
1 r
∇E Fn et
∇E Fp sont les seuls véritables
q
q
champs électromoteurs pour les électrons et les trous.
Ces expressions montrent que
Nous reviendrons un peu plus loin dans le paragraphe 1.4 sur la notion de
quasi-niveau de Fermi, en l'introduisant par une approche thermodynamique.
1.3.1.7. Conduction en champ fort
1.3.1.7.1. Transport stationnaire
Si l'on se place en régime permanent (champ constant) et qu'un état d'équilibre
stable est atteint, le transport est dit stationnaire. La vitesse stationnaire est alors la
vitesse d'équilibre atteinte par une population de porteurs placés dans un champ
68
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
donné. Elle résulte d'un équilibre entre l'accélération par le champ et le freinage par
les collisions avec le réseau (phonons) et avec les impuretés.
Pour établir la notion de mobilité, nous avons supposé que le champ était
suffisamment faible (< 1 kV.cm-1) pour qu'il n'y ait pas d'échauffement des porteurs.
Cela signifie que l'énergie gagnée par les électrons entre deux collisions est en
moyenne totalement évacuée durant la collision. Ce n'est plus le cas si le champ est
supérieur à 1 kV.cm-1. L'énergie des électrons augmentant, la fréquence des
collisions augmente également, ce qui conduit à une chute de la mobilité, puis à une
saturation de la vitesse de l'ensemble des porteurs à vsat ≈ 107 cm.s-1 (Figure 1.24).
Vitesse v
vsat ≈ 107 cm.s-1
0
Champ électrique E
Figure 1.24. Allure de la courbe vitesse-champ dans Si dans le cas d'un transport
stationnaire.
1.3.1.7.2. Transport non stationnaire
Les porteurs sont dits en survitesse lorsqu'ils atteignent une vitesse supérieure à
la vitesse stationnaire correspondant au champ qu'ils ressentent. Le phénomène est
observé en cas de variation brutale du champ. Il faut alors un certain temps et donc
une certaine distance pour que les porteurs atteignent leur nouvelle vitesse
stationnaire. Il y a donc une zone intermédiaire (en temps et en espace) où les
électrons ne sont pas dans un état stationnaire. Ils peuvent alors se retrouver en
survitesse, c'est-à-dire avec une vitesse moyenne sensiblement supérieure à vsat. Ce
phénomène est très important dans des dispositifs dont la zone active est de
dimension très faible (transistor à effet de champ à grille courte, transistor bipolaire
à base courte) : les électrons peuvent être en survitesse sur une grande partie ou sur
la totalité de la zone active.
Le cas « ultime » du transport non stationnaire est le transport balistique,
c'est-à-dire le transport sans interaction. Il est « observable » à 300 K sur des
distances inférieures à 0,1 µm :
– certains porteurs traversent une zone en ne subissant aucune interaction ;
– leur transport se fait alors à énergie totale constante : toute l'énergie potentielle
due au champ est transformée sans perte en énergie cinétique ;
Eléments de physique des semiconducteurs
69
– les vitesses atteintes peuvent être très élevées, supérieures à 6 × 107 cm.s-1.
1.3.2. Création de porteurs en excès et recombinaison
On se place maintenant dans le cas de perturbations « dures » qui modifient le
nombre de porteurs libres dans le cristal. Le phénomène de
génération-recombinaison peut être considéré comme le résultat de la superposition
de plusieurs processus. Les principaux mécanismes sont les suivants :
génération-recombinaison optique (transitions de photons) et ionisation par impact,
recombinaison non radiative (transition de phonons), recombinaison à trois
particules (recombinaison Auger) et recombinaison en surface. La
génération-recombinaison est caractérisée par une vitesse nette G, donnée en
cm-3.s-1, représentant la concentration de porteurs créés par seconde. Elle s'exprime
alors comme la somme des différentes contributions :
G = Goptique + Gimpact + GSRH + GAuger + Gsurface
[1.79]
1.3.2.1. Création de porteurs en excès
1.3.2.1.1. Création de porteurs par éclairement
Ce processus est une transition directe des porteurs entre la bande de conduction
et la bande de valence. La génération correspond au passage d'un électron de la
bande de valence à la bande de conduction par un gain d'énergie apportée par un
photon. De même, la recombinaison radiative est le phénomène inverse de
l'excitation par éclairement, c’est-à-dire que l’énergie est libérée sous la forme
d’émission de photons. Ce mécanisme est très efficace dans les semiconducteurs à
bande interdite directe. Il est exploité dans les dispositifs électroluminescents. La
vitesse nette de génération-recombinaison est donnée par :
Goptique = Copt (ni2 - np)
[1.80]
Copt étant le taux de capture et d'émission optique, caractéristique du matériau.
1.3.2.1.2. Création de porteurs par radiation ionisante
Ce phénomène touche essentiellement, mais pas uniquement, les circuits
embarqués dans les avions et les satellites. Nous ne traiterons pas ce cas ici.
70
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.3.2.1.3. Création de porteurs par porteurs chauds (champ électrique intense)
Ce phénomène, appelé aussi ionisation par impact, se produit pour des champs
électriques supérieurs à 100 kV.cm-1, par exemple dans la zone de charge d’espace
d’une jonction en inverse. Un porteur accéléré par un tel champ voit croître son
énergie cinétique jusqu’à pouvoir se comporter comme une radiation ionisante,
c’est-à-dire qu’il peut céder une partie de son énergie pour créer une paire
électron-trou. Les porteurs ainsi créés subissent également l’accélération du champ
électrique et peuvent créer d’autres paires, ce qui donne lieu au phénomène
d’avalanche, puis au claquage de la jonction.
Deux paramètres caractérisent le phénomène d'ionisation par impact :
– Le seuil d’énergie d’ionisation qui est l’énergie cinétique minimum que doit
acquérir un porteur pour créer une paire. Cette énergie est sensiblement supérieure à
la largeur de bande interdite ;
– Le coefficient d’ionisation α (cm-1) qui donne le nombre de paires créées par
cm parcouru par un porteur chaud. Ce coefficient dépend directement de l’énergie
du porteur, grandeur cependant peu accessible expérimentalement. Aussi ce
coefficient d’ionisation est-il donné en fonction du champ électrique. Des modèles
semi-empiriques permettent de l’évaluer (voir par exemple [THO 81]).
La vitesse nette de génération est donnée par :
Gimpact =
[
1
αn Jn + α p J p
q
]
[1.81]
où αn et αp sont les coefficients d'ionisation et Jn et Jp les densités de courant
d'électrons et de trous.
1.3.2.2. Recombinaison
1.3.2.2.1. Description des mécanismes
Lorsqu’il y a excès d’électrons libres et de trous libres par rapport à l’équilibre
thermique, différents processus de recombinaison interviennent pour rétablir les
concentrations d’équilibre. On distingue la recombinaison directe, ou bande à bande,
et la recombinaison indirecte, qui se fait par l’intermédiaire de niveaux profonds
(figure 1.25).
Eléments de physique des semiconducteurs
71
EC
directe
indirecte
EV
Figure 1.25. Processus de recombinaison directe et indirecte.
La recombinaison libère de l’énergie ; les mécanismes se différencient par la
manière de dissiper cette énergie. On en distingue essentiellement trois :
– recombinaison non radiative : l’énergie libérée sert à exciter des modes de
vibration du réseau cristallin, c’est-à-dire que des phonons sont émis (figure 1.26.a).
Il y a échauffement du cristal. La recombinaison indirecte non radiative est le
mécanisme prépondérant dans le silicium. Dans du Si très pur, la durée de vie des
porteurs, τn ou τp, est de l’ordre de 1 ms. Elle peut descendre à environ 1 ns si l’on
introduit des centres de recombinaison indirecte, par exemple par diffusion d’or ou
de platine. Dans le cas de recombinaison indirecte, la vitesse nette de
génération-recombinaison est donnée par le modèle de Shockley-Read-Hall, soit :
G SRH = −
n p − ni2
τ p (n + ni ) + τ n ( p + ni )
[1.82]
– recombinaison Auger : l’énergie libérée est fournie à un porteur libre (figure
1.26.b) ; c’est le mécanisme inverse de l’ionisation par impact. Il n’est important
qu’à température élevée ou en présence d’un champ fort. La vitesse nette de
génération-recombinaison est donnée par :
GAuger = (ni2 - np) (nCn + pCp)
[1.83]
où Cn et Cp sont les coefficients Auger, respectivement de l'ordre de 3 × 10-43 m6s-1
et 10-43 m6s-1 à température ambiante.
72
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
EC
hω
EV
(a)
(b)
Figure 1.26. Les mécanismes de recombinaison ; (a) non radiative, (b) Auger.
– recombinaison en surface : en surface, ou contre une interface avec un
diélectrique, la rupture de périodicité cristalline introduit des états localisés dont les
niveaux peuvent se trouver dans la bande interdite (figure 1.27). Ces états favorisent
une recombinaison superficielle, par un processus analogue à la recombinaison
indirecte précédemment décrite.
EC
} Centres d’interface
Air ou
diélectrique
EV
Figure 1.27. Recombinaison superficielle.
La vitesse nette de génération-recombinaison superficielle est donnée par :
Gs =
(
N Rs cn c p ns ps − ni 2
)
cn (ns + ni ) + c p ( ps + ni )
[1.84]
où NRs est la densité surfacique des centres d’interface (cm-2), cn et cp sont les
coefficients de capture en cm3.s-1 dans le silicium, et ns et ps sont les concentrations
volumiques (cm-3) des porteurs à la surface.
Eléments de physique des semiconducteurs
73
1.4. Transport dans les dispositifs
L'étude du matériau semiconducteur qui a été présentée jusqu'à présent s'est
essentiellement préoccupée de la répartition des électrons et des trous sur les divers
niveaux d'énergie offerts dans le cristal. On a, jusque là, considéré les positions
relatives de ces différents niveaux, et c'est pourquoi les concentrations n et p
d'électrons et de trous ont pu être exprimées (cf. expression [1.50]) en fonction de la
différence entre EF (niveau de Fermi) et Ei (niveau intrinsèque).
⎧
⎛ E F − Ei ⎞
⎟⎟
⎪ n = ni exp⎜⎜
⎪
⎝ k BT ⎠
⎨
⎪ p = p exp⎛⎜ Ei − E F ⎞⎟
i
⎜ k T ⎟
⎪
B
⎝
⎠
⎩
[1.85]
Tout étant relatif, on n'avait pas besoin d'une référence commune pour les
énergies. Pour l'étude des dispositifs, ils sont soumis à des actions extérieures
(polarisation, éclairement...). Il devient donc nécessaire de repérer les énergies par
rapport au milieu extérieur en choisissant une origine commune.
On considère un gaz d'électrons constituant un système thermodynamique en
interaction avec le milieu extérieur. La variation d'énergie interne U lorsqu'on
accroît la quantité du nombre de particules dn et dp (n et p variables extensives) est
donnée pour une réaction isotherme et adiabatique (dT = 0 et δQ = 0) par
l'expression suivante (pour dp = 0) :
dU = µcn dn -qΨ dn = µ~ n dn
[1.86]
avec les variables intensives :
– µcn : énergie potentielle chimique des électrons ;
– Ψ : potentiel électrostatique introduit par le milieu extérieur ;
– µ~ : énergie potentielle électrochimique des électrons.
n
On définit de même pour les trous les énergies µcp et µ~ p . On a enfin les
relations :
~ = µ − qΨ
⎧µ
n
cn
⎨~
µ
=
µ
cp + qΨ
⎩ p
[1.87]
74
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.4.1. Système à l'équilibre thermodynamique
Le système est à l'équilibre thermodynamique lorsqu'il n'échange pas d'énergie
avec le milieu extérieur (bilan nul des échanges d'énergie avec l'extérieur). On
montre que la condition nécessaire est que les variables intensives T, µ~ n , µ~ p ne
varient pas avec la position :
r
⎧ T (r ) = constante
⎪~ r
⎨ µ n (r ) = constante
~ r
⎪µ
⎩ p (r ) = constante
[1.88]
De plus, on montre en thermodynamique que :
⎧
⎛ n ⎞
⎪ µ cn = k B T ln ⎜⎜ ⎟⎟
⎪
⎝ ni ⎠
⎨
⎪ µ = k T ln ⎛⎜ p ⎞⎟
B
⎜n ⎟
⎪ cp
⎝ i⎠
⎩
[1.89]
En utilisant les relations [1.85] on obtient :
⎧ µcn = E F − Ei
⎨
⎩ µcp = Ei − E F
[1.90]
où Ei est par définition associé à Ψ :
Ei = -qΨ
[1.91]
Le signe – est conventionnel car l'on définit un diagramme d'énergie pour les
électrons.
On a donc :
~ = µ − qΨ = E
⎧ µ
n
cn
F
⎨~
µ
µ
q
Ψ
E
=
+
=
−
cp
F
⎩ p
[1.92]
A l'équilibre thermodynamique les expressions [1.88] permettent alors d'affirmer
que le niveau de Fermi EF est plat pour un cristal semiconducteur au repos.
Eléments de physique des semiconducteurs
75
Lorsque le cristal n'est pas uniformément dopé, les quantités n et p varient, donc
µcn et µcp aussi. Les bandes se courbent autour du niveau de Fermi. En effet, n
variant le long du cristal, µcn varie aussi (expression [1.89]), et Ψ (expression
[1.87]) s'ajuste pour que µ~ n (ou EF) reste constant.
Les variations de Ei le long du cristal montrent qu'il existe un gradient de
potentiel le long du barreau et donc un champ électrostatique :
E=
1 dEi
q dx
[1.93]
A l'équilibre, ce champ s'oppose à la diffusion des porteurs, les deux courants de
diffusion et de conduction existent et se compensent parfaitement ; c'est pourquoi il
n'y a pas de courant global.
1.4.2. Système hors d'équilibre
D'après ce qui précède, un état de déséquilibre, c'est à dire un gradient du
potentiel électro-chimique, peut avoir diverses causes, et notamment :
– l'application d'une différence de potentiel induisant un gradient de Ψ ;
– la génération locale de porteurs en excès (radiation ionisante, par exemple)
induisant un gradient de µcn.
Dans l'hypothèse de perturbations suffisamment faibles, les flux de porteurs
résultants sont proportionnels au gradient des variables intensives du système. On
obtient ainsi, dans le cas d'un semiconducteur isotherme les densités de courant
suivantes :
r⎛ ~
⎧ r
µn ⎞
⎟⎟
⎪ J n = σ n ∇⎜⎜
⎪
⎝ q ⎠
⎨r
r ~
µ
⎪ J = −σ ∇⎛⎜ p ⎞⎟
p
p
⎜ q ⎟
⎪
⎝
⎠
⎩
[1.94]
avec σn et σp les conductivités respectivement des électrons et des trous.
~
r⎛ µ
On remarque que pour un système à concentration constante ∇⎜⎜ n
⎝ q
r
r
donc on retrouve bien la loi d'Ohm J = σE .
r
⎞
⎟⎟ = −∇Ψ ,
⎠
76
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
On définit les pseudo-potentiels de Fermi ϕ n et ϕ p pour les électrons et les
trous, respectivement :
~
µn
⎧
⎪ϕ n = − q
⎪
~
⎨
µ
⎪ϕ = p
p
⎪⎩
q
[1.95]
Alors qu'à l'équilibre ces potentiels étaient égaux, ils n'ont maintenant plus de
raison de l'être en tous points du dispositif en présence d'une perturbation. On est
donc amené à définir localement un quasi-niveau de Fermi pour chaque type de
porteur par :
~
⎧ E Fn = µ
n
⎨
~
⎩ E Fp = − µ p
[1.96]
On a alors :
r
σn r
⎧ r
⎪⎪ J n = −σ n∇ϕ n = q ∇E Fn
⎨r
r
σ r
⎪ J p = −σ p ∇ϕ p = p ∇E Fp
⎪⎩
q
[1.97]
r
r
On retrouve ici les expressions [1.78] et le fait que − ∇E Fn et − ∇E Fp sont les
seuls véritables champs électromoteurs pour les porteurs libres. La différence de
potentiel électromoteur appliquée entre deux points d'un cristal au moyen d'un
r
r
générateur extérieur sera donc égale à la circulation de − ∇E Fn ou − ∇E Fp :
[
r
1
V A − VB = − ∇ϕ n = − E Fn ( A) − E Fp ( B)
q
∫
]
[1.98]
Les concentrations de porteurs restent liées aux potentiels chimiques et sont
données par :
⎧
⎛ µcn ⎞
⎛ E − Ei ⎞
⎟⎟ = ni exp⎜⎜ Fn
⎟⎟
⎪ n = ni exp⎜⎜
⎪
⎝ k BT ⎠
⎝ k BT ⎠
⎨
⎪ p = n exp⎛⎜ µcp ⎞⎟ = n exp⎛⎜ Ei − E Fp ⎞⎟
i
i
⎜ k T ⎟
⎜k T ⎟
⎪
B
⎝
⎠
⎝ B ⎠
⎩
[1.99]
Eléments de physique des semiconducteurs
77
On a donc maintenant dans le cas général :
⎛ E Fn − E Fp
n p = ni2 exp⎜⎜
k BT
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
[1.100]
1.4.3. Equations à résoudre pour l'étude des dispositifs
1.4.3.1. Expression des courants
Les parties relatives aux électrons des expressions [1.87] et [1.89] peuvent être
reportées dans la relation [1.94] ce qui donne :
r
r
r
k BT ∇n
Jn =
σn
− σ n ∇Ψ
q
n
[1.101]
Comme σn = qnµn et Dn =
k BT
µn (cf. [1.69] et [1.75]), la relation [1.101]
q
devient donc :
r
r
r
r
J n = q Dn ∇n + qn µn E = n µn ∇(E Fn )
[1.102]
et on a de même pour le courant de trous :
( )
r
r
r
r
J p = −q D p ∇p + q p µ p E = p µ p ∇ E Fp
[1.103]
On retrouve donc bien les relations [1.77] et [1.78] données précédemment. On
peut faire également deux commentaires :
– à champ électrostatique nul, il peut y avoir un courant s'il existe un gradient de
concentration ;
r
– la densité de courant J n peut être nulle même en présence d’un champ
r
k T r
électrostatique si celui-ci est de la forme : E = − B ∇n .
q
L'existence d'un courant suppose une variation spatiale de la position des
pseudo-niveaux de Fermi, dont les gradients sont des champs électromoteurs.
78
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
1.4.3.2. Equation de continuité
L'équation dite de continuité est très importante en théorie des dispositifs. Elle
exprime la conservation locale de la densité de charges, compte tenu des densités de
courants et des phénomènes de génération-recombinaison qui existent à l'instant t.
Soit une tranche comprise entre x et x + dx d'un semiconducteur de type N dans
laquelle la concentration d'électrons est n0. Pendant le temps dt :
– il entre Jn(x + dx) dt charges dans la tranche ;
– il sort Jn(x) dt charges de la tranche ;
– si Gn(x,t) est la vitesse nette de génération-recombinaison des électrons en
cm-3s-1, on génère la charge qGn(x,t) dx dt dans la tranche.
Le bilan de la variation de charge d'électrons entre x et x + dx est donc :
q [n (x, t + dt ) − n (x, t )] dx = [J n (x + dx, t ) − J n (x, t )] dt + q G n (x, t ) dx dt
Le taux de variation de la concentration d'électrons est donc :
∂ n ( x, t )
1 ∂ J n ( x, t )
= G n ( x, t ) +
q
∂x
∂t
En procédant de même pour les trous, on obtient finalement les deux équations
de continuité :
1 r r
⎧ ∂ n ( x, t )
= G n ( x, t ) + ∇ ⋅ J n ( x , t )
⎪ ∂t
q
⎪
⎨
,
∂
(
)
p
x
t
1 r r
⎪
= G p ( x, t ) − ∇ ⋅ J p ( x, t )
⎪⎩ ∂ t
q
[1.104]
Le signe devant le gradient de courant est :
– positif pour les électrons car si le courant diminue avec x, il sort plus
d'électrons qu'il n'en rentre ;
– négatif pour les trous car si le courant diminue avec x, il entre plus de trous
qu'il n'en sort.
Pour étudier un dispositif, il faut résoudre les deux équations de continuité ainsi
que l'équation de Poisson :
Eléments de physique des semiconducteurs
r
r
∇ ⋅ (ε sc E ) = q ( N D + p − n − N A )
79
[1.105]
où εsc est la permittivité diélectrique absolue du semiconducteur considéré, NA et ND
les concentrations respectives en dopants accepteurs et donneurs. Ce système de
trois équations à trois inconnues est généralement impossible à résoudre
analytiquement. On est alors conduit à effectuer des approximations, ou bien à
mettre en œuvre une méthode de résolution numérique. On peut cependant y
parvenir si on fait l'une ou l'autre des approximations suivantes :
– on se place dans une zone de charge d'espace (ZCE) où l'on peut négliger les
densités d'électrons et de trous. On résout alors l’équation de Poisson qui permet de
déterminer l'allure du potentiel ;
– on se place dans une zone de quasi neutralité (ZQN) où la densité des porteurs
majoritaires (électrons dans une zone de type N, ou trous dans une zone de type P)
est égale à la densité des atomes d'impuretés et où le champ électrique est nul. On
résout alors les équations de continuité.
Evaluons par exemple la réaction d'un système à une petite perturbation locale,
spatiale ou temporelle dans une ZQN de type N pour laquelle Ox est la seule
direction d'intérêt. On peut alors écrire G = 0 :
⎧ ∂n ( x , t ) 1 ∂J n ( x , t )
⎪⎪ ∂t = q
∂x
⎨ ∂E q ( n − n )
0
⎪
=
ε sc
⎩⎪ ∂x
[1.106]
où n0 est la concentration en électrons à l'équilibre. De plus, on a :
J n = σ n E + qDn
∂n ( x, t )
∂x
[1.107]
En supposant que la zone considérée présente une conductivité uniforme, le
système [1.106] se réduit à :
∂n σ n ( n 0 − n )
∂ 2n
=
+ Dn
∂t
ε sc
∂x 2
[1.108]
Soit, en considérant que σn = qnµn ≈ σ0 = qn0µn, et en définissant ∆n = n − n 0 :
∂∆n σ 0
∂ 2 ∆n
+
∆n − Dn
=0
∂t ε sc
∂x 2
[1.109]
80
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Nous allons chercher les solution de cette équation différentielle dans deux cas
particuliers qui nous conduirons à définir deux grandeurs physiques importantes : le
temps de relaxation diélectrique et la longueur de Debye.
1.4.3.2.1. Perturbation temporelle : temps de relaxation diélectrique
Soit une perturbation temporelle ∆n0 à t = 0. On a
∂ 2 ∆n
∂x 2
= 0 . L'équation [1.109]
devient donc :
∂ ∆n σ 0
+
∆n = 0
∂t
ε sc
[1.110]
La solution de cette équation différentielle du premier ordre est :
⎛ σ t⎞
⎛ t
∆n = ∆n0 exp⎜⎜ − 0 ⎟⎟ = ∆n0 exp⎜⎜ −
⎝ τD
⎝ ε sc ⎠
⎞
⎟⎟
⎠
[1.111]
ε
ε
où τ D = sc = sc est le temps de relaxation diélectrique : le déséquilibre est
σ 0 qµn n0
relaxé avec la constante de temps caractéristique τD.
Sur la figure 1.28 est tracé le temps de relaxation diélectrique τD à mobilité
constante en fonction de la concentration de porteurs. On peut noter que τD, temps
de retour à la neutralité électrique, est de l'ordre de la ps, voire nettement inférieure à
la ps pour de forts dopages. On peut ainsi supposer que la neutralité diélectrique est
toujours vérifiée dans les zones les plus conductrices d'un dispositif.
Eléments de physique des semiconducteurs
81
τ D (ps)
10
µ = 300 cm 2 .V -1 .s -1
600
1200
2400
4800
9600
1
0,1
10 -2
10 -3
10 -4
10 15
10 16
10 17
10 18
10 1 9
10 2 0
n 0 (cm -3 )
Figure 1.28. Temps de relaxation diélectrique τD à mobilité constante.
1.4.3.2.2. Perturbation spatiale : longueur de Debye
Soit une perturbation spatiale ∆n0 en x = 0. On a
∂ ∆n
= 0 . L'équation [1.109]
∂t
devient donc :
σ0
∂ 2 ∆n
∆n − Dn
=0
ε sc
∂x 2
[1.112]
La solution de cette équation différentielle du second ordre est :
⎞
⎛
⎛ x ⎞
q 2 n0
⎟
x ⎟⎟ = ∆n0 exp⎜⎜ −
∆n = ∆n0 exp⎜⎜ −
ε sc k BT ⎟
LD ⎟⎠
⎜
⎝
⎠
⎝
où LD =
[1.113]
ε sc k BT
est la longueur de Debye. Le déséquilibre est relaxé sur une
q 2 n0
longueur caractéristique LD.
Sur la figure 1.29 est tracée la longueur de Debye en fonction de la concentration
de porteurs. Notons que LD peut atteindre des valeurs très faibles, inférieures au nm,
dans des zones très dopées. Ceci pose problème quand on résout numériquement
l'équation de Poisson dans un dispositif puisque la dimension des mailles utilisées
82
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
pour décrire le composant doit au plus être de l'ordre de la longueur de Debye (dans
le cas contraire le système ne peut évoluer librement vers un état d'équilibre et des
variations artificielles de potentiel électrique peuvent apparaître).
LD (nm)
100
10
1
0,1
1015
1016
1017
1018
1019
1020
n 0 (cm -3)
Figure 1.29. Longueur de Debye en fonction de la concentration de porteurs à 300 K dans Si.
1.5. Bibliographie
[COH 73] COHEN-TANNOUDJI C., DIU B., LALOË F., Mécanique quantique, Ed. Hermann,
1973.
[KIT 83] KITTEL C., Physique de l’état solide, Ed. Dunod, 1983.
[LUN 00] LUNDSTROM M., Fundamentals of carrier transport, Ed. Cambridge University
Press, 2000.
[THO 81] THORNBER K.K., « Applications of scaling to problems in high-field electronic
transport », J. Appl. Phys., Vol. 52, n°1, p. 279-290, Janvier 1981.
[YU 96] YU P. et CARDONA M., Fundamentals of semiconductors, Ed. Springer, 1996.
De la jonction PN au transistor bipolaire
2.1. Exemple de la jonction PN
2.1.1. Réalisation : profils de dopage
Pour réaliser une diode à jonction PN, on part d'un substrat semiconducteur (par
exemple de type P), et l'on effectue des opérations qui vont localement inverser le
type du semiconducteur. La diode occupera une mince couche à la surface du
semiconducteur (comme d'ailleurs tous les composants). On peut alors classer les
méthodes de fabrication en deux groupes :
– on introduit dans un matériau préalablement dopé des impuretés de type
opposé au dopage initial. Ce sont les méthodes de diffusion ou d'implantation :
- diffusion : en déposant en surface du semiconducteur une forte
concentration d'une espèce chimique, on crée un fort gradient de concentration de
cette espèce qui tend à diffuser à l'intérieur du matériau. Pour que la diffusion puisse
se produire, il faut créer des lacunes dans le semiconducteur par agitation thermique.
Dans le cas du silicium, on le porte à des températures allant de 900 °C à 1100 °C.
Les profils de dopage obtenus par diffusion sont soit gaussien, soit en fonction
erreur complémentaire (erfc(x) si on maintient une densité constante en surface)
(Figure 2.1). Un diffusion peu profonde permet d'obtenir une jonction abrupte
(passage brusque d'une région de type P à une région de type N). Dans le cas d'une
diffusion profonde, la transition entre la région de type P et celle de type N est plus
douce, ce qui donne lieu à une jonction graduelle.
- implantation : on place le semiconducteur dans un accélérateur de particules
et on le bombarde avec des ions. Le dopage dépend du flux et de l'énergie des ions
mais le réseau est complètement disloqué. Il faut le reconstruire par des recuits
(aujourd'hui recuits « flash »). Les profils de dopage obtenus par implantation
ionique sont des gaussiennes avec un maximum éloigné de la surface
(cf. Figure 2.1),
– le deuxième groupe de méthodes consiste à faire croître, sur un matériau
servant de substrat, une couche de semiconducteur contenant la quantité requise de
dopants et assurant la continuité des réseaux cristallins à la traversée de l'interface.
On parle alors d'épitaxie, et on obtient dans ce cas une jonction plutôt abrupte.
Dans les deux cas, un recuit thermique permet d'activer les dopants, c'est à dire à
les placer de façon optimale en sites substitutionnels du Si.
Chapitre rédigé par Sylvie GALDIN-RETAILLEAU, Philippe DOLLFUS et Arnaud BOURNEL.
84
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
ND, NA (cm-3)
1018
1014
1010
0
0,1
0,2
0,3
Profondeur (µm)
Figure 2.1. Profils de dopage obtenus par diffusion (trait plein) ou par implantation (tirets).
On voit donc qu'il est possible d'obtenir deux types principaux de profil de
dopage : les profils abrupts et les profils graduels.
2.1.2. Jonction PN à l'équilibre thermodynamique
Nous allons, dans un premier temps, présenter la théorie de Shockley qui
considère la jonction PN comme l'empilement de trois zones :
– une zone quasi neutre de type P (ZQN) ;
– une zone de charge d'espace (ZCE) ;
– une zone quasi neutre de type N (ZQN).
De plus, elle repose sur un certain nombre d'hypothèses que nous soulignerons
au passage. Les hypothèses de départ sont les suivantes (illustrées par la
Figure 2.2) :
– jonction abrupte ;
– structure unidimensionnelle ;
– dopages uniformes.
De la jonction PN au transistor bipolaire
85
Concentrations en dopants
ND+
NA+
p = NA
ZQN P
-Xp
n = ND
ZCE
-xp
0
ZQN N
+xn
+Xn
x
Figure 2.2. Profil de dopage abrupt considéré pour l'étude de la jonction PN.
Une jonction PN est à l'équilibre thermodynamique lorsque la polarisation
appliquée entre les régions P et N est nulle et que la jonction est dans l'obscurité.
2.1.2.1. Formation de la Zone de Charge d'Espace (ZCE)
L'équilibre thermodynamique de la jonction résulte des différentes étapes du
processus décrit ci-dessous :
– diffusion des porteurs majoritaires vers les zones où ils sont minoritaires ;
– recombinaison des porteurs minoritaires en excès ;
– création de part et d'autre de la jonction d'une zone de charge d'espace ZCE
désertée en porteurs et globalement neutre ;
– établissement d'un champ électrostatique de N vers P qui s'oppose à la
diffusion des porteurs majoritaires.
L'état de repos de la diode résulte donc de l'équilibre entre deux tendances
antagonistes :
– la diffusion sous l'effet d'un gradient de concentration ;
– la dérive sous l'effet du champ électrostatique.
Les frontières de la ZCE sont définies sur la Figure 2.2 par -xp et xn. La
circulation de -xp à xn du champ définit une différence de potentiel (ddp)
électrostatique ΨD (barrière ou potentiel de diffusion). Sa nature électrostatique (et
non électrochimique) fait qu'elle ne peut être mesurée à l'aide d'un voltmètre.
86
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
2.1.2.2. Etude quantitative
2.1.2.2.1. Allure du diagramme des bandes
Nous avons vu dans le chapitre précédant (section 1.4.1) que :
– pour un système à l'équilibre, le potentiel électrochimique ne varie pas, donc le
niveau de Fermi est plat ;
– le niveau d'énergie Ei est, par définition, associé au potentiel électrostatique ψ :
Ei = -qψ. On trace (par convention) un diagramme pour les électrons.
⎡ E − EF ⎤
On a p = ni exp ⎢ i
⎥ , soit côté P :
⎣ k BT ⎦
⎡N ⎤
EiP − E F = k BT ln ⎢ A ⎥
⎣ ni ⎦
[2.1]
⎡ E − Ei ⎤
On a n = ni exp ⎢ F
⎥ , soit côté N :
⎣ k BT ⎦
⎡N ⎤
E F − EiN = k BT ln ⎢ D ⎥
⎣ ni ⎦
[2.2]
Le diagramme des bandes d'une jonction PN au repos est représenté sur la
Figure 2.3.
On peut déduire le potentiel de diffusion du diagramme des bandes :
-qΨD = EiN - EiP
[2.3]
La combinaison des équations [2.1], [2.2] et [2.3] donne l'expression du potentiel
de diffusion :
ΨD =
k BT ⎡ N A N D ⎤
ln ⎢
⎥
2
q
⎢⎣ ni ⎥⎦
[2.4]
Avec NA = 1018 cm-3 et ND = 1015 cm-3, on trouve pour Si à 300 K :
ΨD = 0,77 V.
De la jonction PN au transistor bipolaire
87
Energie
EcP
-qΨD
EcN
EiP
EF
EiN
EvP
EvN
-xp
0
+xn
x
Figure 2.3. Diagramme de bandes de la jonction PN à l'équilibre.
2.1.2.2.2. Calcul du champ électrostatique et de la largeur de la ZCE
Dans ce calcul nous faisons l'hypothèse de complète désertion dans la ZCE:
p = n = 0.
On détermine les variations du champ électrostatique E et du potentiel
électrostatique ψ le long du dispositif (Figure 2.4) à partir de l'équation de Poisson :
ρ
dE
=
dx ε sc
[2.5]
dψ
dx
[2.6]
où :
E=−
La continuité du champ en x = 0, nous permet d'écrire :
Emax =
qN D
ε sc
xn =
qN A
ε sc
xp
[2.7]
On retrouve ainsi la relation de neutralité électrique globale de la ZCE :
ND xn = NA xp
[2.8]
88
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
La ZCE s'étend donc du côté le moins dopé. Sa largeur WZCE est donnée par
l'équation :
WZCE =
2ε sc
q
⎡ 1
1 ⎤
+
⎢
⎥ΨD
N
N
A⎦
⎣ D
[2.9]
ρ
+qND
0
-xp
+xn
x
-qNA
E
-xp
0
+xn
x
Ψ
ΨD
-xp
0
+xn
x
Figure 2.4. Profils de densité de charge ρ, de champ électrique E et de potentiel Ψ le long de
la jonction.
ΨD = 0,77 V, et
εSi = 1,04.10-12 F.cm-1, on a : Emax = 15 kV.cm-1, WZCE = 1 µm, xn = 1 µm, et
Dans
le
Si,
pour
NA = 1018 cm-3,
ND = 1015 cm-3,
xp = 1 nm.
REMARQUE.– On a supposé que le passage entre la ZCE et les ZQN est abrupt. Or on
a vu dans le chapitre précédant (paragraphe 1.4.3.2) qu'un semiconducteur amortit
une perturbation sur une distance de l'ordre de la longueur de Debye LD, soit : 4 nm
De la jonction PN au transistor bipolaire
89
pour un dopage N = 1018 cm-3, 13 nm pour N = 1017 cm-3, 130 nm pour
N = 1015 cm-3.
Dans ces trois cas, LD < xn correspondant à la largeur de la ZCE du côté le moins
dopé, l'approximation est donc ici justifiée. Dans la zone la plus dopée, tout ceci est
beaucoup plus discutable !
2.1.3. Jonction PN polarisée en direct
2.1.3.1. Description phénoménologique
Une jonction est polarisée en direct si la région P est polarisée positivement par
rapport à la région N sous une tension VF (Forward). Ceci correspond à l'application
d'un champ électromoteur qui s'oppose au champ électrostatique initial et donc
favorise la diffusion des majoritaires. En conséquence :
– la ddp entre les deux zones diminue et devient égale à ΨD - VF. La largeur de
la ZCE est donc réduite ;
– il y a injection de porteurs dans les ZQN ;
– le courant dans le dispositif est dû à la diffusion des porteurs majoritaires.
Il faut remarquer que le type des porteurs responsables du courant évolue le long
de la structure. Par exemple, les électrons qui diffusent de la région de type N vers la
région de type P sont, dans un premier temps, responsables d'un courant d'électrons.
Lorsqu'ils arrivent dans la zone de type P, ils se recombinent, ce qui suppose
l'arrivée de trous majoritaires depuis le contact de la région de type P et le courant
devient alors un courant de trous. On a le même phénomène pour les trous qui
diffusent de la région de type P vers la région de type N. Ce courant est conservatif
en régime permanent puisqu'il n'y a nulle part accumulation de charges. Mais au
cours de sa traversée du dispositif le courant change de nature. Le phénomène
physique responsable de cette mutation du courant est la recombinaison des paires
électrons-trous.
On a donc cinq régions décrites sur la Figure 2.5 :
– 1 : ZCE où circule les courants de diffusion d'électrons et de trous ;
– 2 et 3 : zones où les minoritaires ayant diffusé se recombinent, ce qui donne
lieu à un courant de recombinaison ;
– 4 et 5 : ZQN où l'on peut définir un niveau de Fermi côté P EFP et côté N EFN.
La polarisation directe VF est liée à la différence des niveaux de Fermi par :
EFP - EFN = -q VF
[2.10]
90
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
P
4
ZQN
N
2
Recombinaison
1
ZCE
3
Recombinaison
5
ZQN
Figure 2.5. Les différentes régions caractéristiques d'une jonction PN polarisée en direct.
En supposant toujours vraie l'hypothèse de complète désertion dans la ZCE, on
peut utiliser la même expression [2.9] pour WZCE que précédemment, en remplaçant
ΨD par ΨD - VF :
WZCE =
2ε sc
q
⎡ 1
1 ⎤
+
⎢
⎥ (Ψ D − VF )
⎣ ND N A ⎦
[2.11]
L'hypothèse de totale désertion sous entend que la densité volumique des
porteurs traversant la ZCE reste faible devant celle des ions fixes. Le fait d'employer
ΨD - VF pour nouvelle hauteur de la barrière de diffusion sous-entend qu'aucune
chute de tension n'intervient dans les ZQN du fait du passage du courant. Cet
ensemble d'hypothèses suppose donc que le courant direct n'est pas trop important,
c'est-à-dire que l'on est en faible injection.
2.1.3.2. Calcul du courant dans une diode réelle
On constate expérimentalement que la caractéristique courant-tension d'une
diode PN a l'allure de la courbe schématisée sur la Figure 2.6. On remarque sur ce
graphe log(I) = f(VF) que le courant varie en fonction de la tension appliquée VF en
⎡ ⎛ qVF ⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥ , avec m = 1 (région 2 de la courbe) ou m = 2 (régions 1 et 3)
⎢exp⎜⎜
⎣⎢ ⎝ mk BT ⎠ ⎦⎥
suivant le niveau de polarisation. Nous allons expliquer ce comportement.
De la jonction PN au transistor bipolaire
91
Log I
1
2
3
0
4
VF
Résistance
série
Forte injection
(m = 2)
Faible injection
(m = 1)
Recombinaison
dans la ZCE
(m = 2)
Figure 2.6. Allure de la caractéristique courant-tension d'une jonction PN en direct ; cette
courbe logarithmique du courant présente plusieurs régimes linéaires de pente q/mkBT.
2.1.3.2.1. Régime de faible injection
Pour effectuer le calcul des différentes composantes du courant direct, dans les
domaines 1 et 2 de polarisation définis sur la Figure 2.6, nous allons utilisé la notion
de quasi niveaux de Fermi des électrons et des trous (introduite en 1.4.2 au chapitre
précédant), puis faire deux hypothèses :
– hypothèse de quasi équilibre ;
– hypothèse de faible injection.
En toute rigueur, dans la région de transition de la jonction, on ne peut plus
définir un niveau de Fermi puisqu'on n'est plus dans une situation d'équilibre
thermique. Les concentrations de porteurs (supérieures à leurs valeurs d'équilibre)
peuvent néanmoins être décrites en faisant intervenir deux quasi niveaux de Fermi,
EFn pour les électrons, EFp pour les trous [1.96] du chapitre précédant. D'après la
relation [1.99] de ce chapitre, ces niveaux sont liés aux concentrations par les
relations suivantes :
⎡ E ( x) − Ei ( x) ⎤
n( x ) = ni exp ⎢ Fn
⎥
k BT
⎣
⎦
[2.12]
92
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
⎡ Ei ( x) − E Fp ( x ) ⎤
p( x) = ni exp ⎢
⎥
k BT
⎣
⎦
[2.13]
On a alors :
⎡ E Fn ( x) − E Fp ( x) ⎤
n( x ) p ( x) = ni2 exp ⎢
⎥
k BT
⎣
⎦
[2.14]
La Figure 2.7 représente les variations des différents niveaux d'énergie, et en
particulier des quasi niveaux de Fermi (ou pseudo niveaux de Fermi) le long d'une
diode polarisée en direct.
Energie
EcP
-q(ΨD - VF)
EFP
EcN
EFN
-qVF
EvP
4
2
1
3
5
EvN
Figure 2.7. Diagramme de bandes de la jonction polarisée en direct.
HYPOTHESE DE QUASI EQUILIBRE.– Dans la ZCE, on suppose que le déséquilibre
introduit par la polarisation directe entre la tendance à la diffusion et la tendance à la
dérive reste faible devant chacune d'elle. On peut donc supposer que les courants Jn
et Jp sont négligeables devant chacune des composantes (dérive et surtout diffusion),
et donc que EFn et EFp restent constants à la traversée de la ZCE (rappelons que :
dE Fp
dE Fn
) (Figure 2.7). Il en résulte que le produit
et J p = pµ p
J n = nµn
dx
dx
n(x) p(x) est constant dans toute la ZCE et est donné par l'expression [2.14], soit :
⎡ qV ⎤
n( x ) p ( x) = ni2 exp ⎢ F ⎥
⎣ k BT ⎦
[2.15]
De la jonction PN au transistor bipolaire
93
HYPOTHESE DE FAIBLE INJECTION.– Dans les zones de recombinaison (2 et 3), la
densité de porteurs minoritaires est faible par rapport à celle des majoritaires. Le
niveau de Fermi des majoritaires reste donc fixé par le dopage, et celui des
minoritaires passe progressivement de sa position dans la ZCE à la position du
niveau de Fermi des majoritaires dans la ZQN (4 et 5) (Figure 2.7). On peut écrire
du côté P en x = -xp :
⎧ p p (− x p ) − p p 0 n p (− x p ) − n p 0
=
<< 1
⎪
⇒ p p (− x p ) = p p 0 = N A
p p0
p p0
⎨
⎪ p ( − x ) − p − ( n (− x ) − n ) = 0
p
p0
p
p
p0
⎩ p
[2.16]
On obtient des équations analogues du côté N en x = xn, avec finalement :
n n ( x n ) = n n0 = N D
où pp0 = NA, concentration de trous et n p 0 =
[2.17]
ni2
concentration d'électrons dans la
NA
ZQN P, nn0 = ND concentration d'électrons et p n0 =
ni2
concentration de trous
ND
dans la ZQN N.
Trois possibilités de recombinaison s'offrent aux électrons et aux trous injectés
depuis les zones N et P en polarisation directe :
– recombinaison dans les ZQN. Ce phénomène donne lieu au courant de
diffusion ID ;
– recombinaison sur des centres répartis dans le volume de la ZCE. On observe
un courant IR dit courant de recombinaison ;
– recombinaison sur des centres situés en surface de la ZCE. On observe un
courant IRS dit courant de recombinaison superficielle.
Lorsque, partant des très faibles niveaux, on fait croître le courant de diffusion,
la densité de porteurs atteint progressivement un niveau tel que tous les centres de
recombinaison dans la ZCE se saturent. Les courants IR et IRS n'augmentent donc
plus et le courant de diffusion devient prépondérant (avec m = 1, comme nous le
verrons ci-dessous). Ces phénomènes de recombinaison sont donc importants à
faible niveau de polarisation. Nous allons établir ce résultat par le calcul de ces
différentes contributions au courant.
94
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Pour calculer le courant de diffusion ID, on utilise les hypothèses de Shockley
suivantes :
– unidimensionnalité ;
– pas de chute de tension dans les ZQN ;
– complète désertion dans la ZCE ;
– quasi équilibre ;
– faible injection.
Soit une diode PN avec la jonction métallurgique en x = 0. Rappelons que la
ZCE est délimitée par -xp et xn respectivement côté P et N. De plus, les épaisseurs
des zones P et N sont respectivement définies par -Xp et Xn.
Cherchons dans un premier temps à déterminer le profil de concentrations des
trous dans la région N. Pour cela, on utilise l'équation de continuité en volume :
∂p n
1 ∂J p n
= Gp −
∂t
q ∂x
[2.18]
Cette équation est résolue avec les hypothèses suivantes :
– régime permanent :
∂p n
=0 ;
∂t
– pas de génération-recombinaison autre que le phénomène thermique SRH ;
– ZQN donc E = 0.
Rappelons les expressions du courant de diffusion J pn et de la vitesse de
recombinaison GSRH données précédemment dans ce chapitre :
J pn = − q D pn
∂ pn
nn pn − ni 2
; GSRH p = −
τ p n (nn + ni ) + τ nn ( pn + ni )
∂x
Or, du côté N, nn = ND >> pn, d'où : GSRG p ≈ −
pn − pn 0
τ pn
L'équation [2.18] se simplifie alors ainsi :
D pn
∂ 2 ( p n ( x) − p n 0 )
∂x
2
−
p n ( x) − p n 0
=0
τ pn
[2.19]
De la jonction PN au transistor bipolaire
95
où Dpn est le coefficient de diffusion des trous côté N, τpn est la durée de vie des
trous côté N. On introduit la longueur de diffusion des trous dans la région N :
L pn =
D pnτ pn . Cette grandeur joue un rôle important dans la physique des
dispositifs à injection de porteurs minoritaires. C'est la longueur sur laquelle les
minoritaires se recombinent. L'équation [2.19] se réécrit :
∂ 2 ( p n ( x) − p n 0 )
∂x
2
−
p n ( x) − p n 0
L2p
=0
[2.20]
n
La solution de l'équation [2.20] est :
⎡x −∆⎤
p n ( x) − p n0 = A sh ⎢
⎥
⎢⎣ L pn ⎥⎦
[2.21]
Pour déterminer A et ∆, on applique les conditions aux limites. Du côté N, les
expressions [2.15] et [2.17] permettent d'écrire la condition limite en x = xn :
⎡ qV
n2
pn (xn ) = i exp ⎢ F
ND
⎣ k BT
⎤
⎡ q VF ⎤
⎥
⎥ = pn0 exp ⎢
⎦
⎣ k BT ⎦
[2.22]
Pour la condition en x = Xn, on suppose que le contact est parfaitement
recombinant, c'est-à-dire que le coefficient de recombinaison sp qui relie la vitesse
de recombinaison de surface Gsp à l'excès de trous ∆p est infinie. Le courant de
recombinaison correspondant à ce contact est : J pn ( X n ) = q s p p n ( X n ) − p n0 .
(
)
Dans cette équation J pn a une valeur finie alors que sp est infinie. Donc :
p n ( X n ) = p n0
[2.23]
L'équation [2.21] est alors entièrement établie :
⎡
⎛ qV
pn (x ) − pn0 = pn0 ⎢exp ⎜⎜ F
⎢⎣
⎝ k BT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎥⎦
⎛x−X ⎞
n⎟
sh ⎜
⎜ Lp ⎟
n
⎠
⎝
⎛x −X ⎞
n⎟
sh ⎜ n
⎟
⎜ Lp
n
⎠
⎝
[2.24]
96
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Le même calcul peut être fait dans la région P. Les expressions [2.15] et [2.16]
permettent d'écrire la condition limite en x = -xp :
n p (− x p ) =
⎡ qV
ni2
exp ⎢ F
NA
⎣ k BT
⎤
⎡ qVF ⎤
⎥ = n p 0 exp ⎢
⎥
⎦
⎣ k BT ⎦
[2.25]
L'hypothèse d'un contact parfaitement recombinant en x = -Xp revient à écrire :
(
)
n p − X p = n p0
[2.26]
On trouve alors :
⎡
⎛ qV
n p (x ) − n p0 = n p0 ⎢exp ⎜⎜ F
⎢⎣
⎝ k BT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎥⎦
⎛x+ Xp ⎞
⎟
sh ⎜
⎜ Lp ⎟
n
⎝
⎠
⎛ − xp + X p
sh ⎜
⎜
Ln p
⎝
[2.27]
⎞
⎟
⎟
⎠
Calculons, à présent, le courant de diffusion. On a côté N :
J p n (x ) = −q D p n
⎛x− X ⎞
n⎟
ch ⎜
⎜ Lp ⎟
n
⎝
⎠
⎛x −X ⎞
n⎟
sh ⎜ n
⎜ Lp
⎟
n
⎝
⎠
⎡
⎛ q VF
⎢exp ⎜⎜
⎢⎣
⎝ k BT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎥⎦
⎛x+ Xp ⎞
⎟
ch ⎜
⎜ Ln ⎟
p
⎝
⎠
⎛ − xp + X p ⎞
⎟
sh ⎜
⎜
⎟
Ln p
⎝
⎠
⎡
⎛ q VF
⎢exp ⎜⎜
⎝ k BT
⎣⎢
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥ [2.29]
⎠ ⎦⎥
D pn
∂pn
= −q
pn0
∂x
L pn
[2.28]
et côté P :
J n p (x ) = q Dn p
∂n p
∂x
= −q
Dn p
Ln p
n p0
On doit avoir conservation du courant total : JD = Jp(x) + Jn(x).
Si l'on néglige les phénomènes de génération-recombinaison dans la ZCE, on
peut écrire :
De la jonction PN au transistor bipolaire
(
)
(
)
J p p − x p = J p n (xn ) et J n p − x p = J n n (xn ) .
97
[2.30]
On a donc :
⎡
⎛ qV
J D = J n p (− x p ) + J p n ( xn ) = J S ⎢exp ⎜⎜ F
⎢⎣
⎝ k BT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎥⎦
[2.31]
avec :
JS = q
D pn
L pn
⎡− x + X ⎤
D
⎡x − X ⎤
p
p
n + q n p n coth ⎢
⎥
pn0 coth ⎢ n
⎥
p0
Ln p
⎥
⎢ Ln p
⎢⎣ L pn ⎥⎦
⎦
⎣
[2.32]
Considérons le cas où les régions N et P sont longues, c'est-à-dire X n >> L pn
et X p >> Ln p . On remarque qu'on a alors :
⎡ x − Xn ⎤
⎡x − Xn ⎤
⎡x − Xn ⎤
2 sh ⎢ n
⎥
⎥ − exp ⎢− n
⎥ = exp ⎢ n
L pn ⎦⎥
⎣⎢
⎣⎢ L pn ⎦⎥
⎣⎢ L pn ⎦⎥
[2.33]
⎡ x − Xn ⎤
≈ − exp ⎢− n
⎥
L pn ⎥⎦
⎢⎣
L'expression [2.24] devient donc :
pn ( x ) − pn0 = pn0
⎡x− X ⎤
⎡
⎤
n − exp − x − X n
exp ⎢
⎥
⎢
⎥
⎡
⎢ L p n ⎦⎥
⎢ L p n ⎦⎥
⎛ q VF ⎞ ⎤
⎣
⎣
⎟⎟ − 1⎥
⎢exp ⎜⎜
⎡ x −X ⎤
⎝ k BT ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
n
− exp ⎢− n
⎥
L p n ⎥⎦
⎢⎣
(ne pas simplifier trop rapidement au numérateur (cas x = Xn)). On a alors :
⎡
⎛ qV
pn (x ) − pn0 = pn0 ⎢exp ⎜⎜ F
⎝ k BT
⎣⎢
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦⎥
⎡
⎛x+x −2X
n
n
⎢− exp ⎜
⎜
L
⎢⎣
p
n
⎝
⎞
⎛
⎟ + exp ⎜ − x + X n + xn − X n
⎟
⎜
L pn
⎠
⎝
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
98
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
⎡
⎛ qV
pn (x ) − pn0 = pn0 ⎢exp ⎜⎜ F
⎝ k BT
⎣⎢
⎛ x−x
⎞ ⎤
n
⎟⎟ − 1⎥ exp ⎜ −
⎜
L
pn
⎠ ⎦⎥
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
[2.34]
De même, on peut écrire :
⎡− xp + X p ⎤
⎡− x + X p ⎤
⎡ − xp + X p ⎤
⎥ = exp ⎢ p
⎥ − exp ⎢−
⎥
2 sh ⎢
Ln p
⎢ Ln p
⎥
⎢ Ln p
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡− xp + X p ⎤
⎥
= exp ⎢
⎢ Ln p
⎥
⎣
⎦
[2.35]
Ce qui permet de simplifier l'expression [2.27] de la façon suivante :
⎡
⎛ qV
n p (x ) − n p0 = n p0 ⎢exp ⎜⎜ F
⎝ k BT
⎣⎢
⎛ x + xp
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥ exp ⎜
⎜ Ln
⎠ ⎦⎥
p
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
[2.36]
Les expressions [2.28], [2.29] et [2.32] deviennent alors :
J p n (x ) = − q
D pn
J n p (x ) = − q
Dn p
JS = q
D pn
L pn
L pn
Ln p
⎛ x−x ⎞
n⎟
pn0 exp ⎜ −
⎜ Lp ⎟
n ⎠
⎝
⎛ x + xp
n p0 exp ⎜
⎜ Ln
p
⎝
pn 0 + q
Dn p
Ln p
n p0
⎞
⎟
⎟
⎠
⎡
⎛ q VF
⎢exp ⎜⎜
⎝ k BT
⎣⎢
⎡
⎛ q VF
⎢exp ⎜⎜
⎢⎣
⎝ k BT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦⎥
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎥⎦
[2.37]
[2.38]
[2.39]
La Figure 2.8 représente les variations des courants J n p et J pn le long du
dispositif.
De la jonction PN au transistor bipolaire
J
99
JD
J pp
J nn
J pn
J np
-xp
0
x
xn
Figure2.8. Variations des densités de courant d'électrons et de trous le long de la jonction.
Pour
NA = 1018 cm-3,
Dn p = 12 cm2/s,
L n p = 110 µm,
ND = 1015 cm-3,
D pn = 10 cm2.s-1 et L n p = 550 µm, on a JS = 3 × 10-12 A.cm-2
Considérons le cas où les régions N et P sont courtes, c'est-à-dire X n << L pn
et X p << Ln p . On peut alors écrire :
⎧
⎛ x − Xn ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎟ = exp ⎜ x n − X n ⎟ − exp ⎜ − x n − X n ⎟ ≈ 2 ⎜ x n − X n
⎪2 sh ⎜ n
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ Lp
L pn ⎠
⎪⎪
n
⎝ L pn ⎠
⎝ L pn ⎠
⎝
⎝
⎨
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
x − Xn ⎟
x − Xn ⎟
x − Xn ⎟
⎪
= exp ⎜ n
+ exp ⎜ − n
≈2
2 ch ⎜ n
⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
L
L
L pn ⎟⎠
pn
pn
⎪⎩
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠ [2.40]
On obtient des expressions similaires du côté P. Les expressions [2.28], [2.29] et
[2.32] deviennent alors :
J p n (x ) = − q
D pn
⎡
⎛ qV
pn0 ⎢exp ⎜⎜ F
Xn
⎝ k BT
⎣⎢
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦⎥
[2.41]
J n p (x ) = − q
Dn p
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦⎥
[2.42]
⎡
⎛ qV
n p0 ⎢exp ⎜⎜ F
Xp
⎝ k BT
⎣⎢
100
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
JS = q
D pn
Xn
pn0 + q
Dn
p
Xp
n p0
[2.43]
Dans tous les cas on a un courant de diffusion de la forme suivante :
⎡
⎛ q VF
J D = J S ⎢exp ⎜⎜
⎝ m k BT
⎣⎢
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥ , avec m = 1
⎠ ⎦⎥
[2.44]
A partir de l'expression de JS [2.43], on peut remarquer qu'en cas d'une jonction
fortement dissymétrique, le dopage le plus élevé n'intervient pas dans l'intensité du
courant.
Pour calculer le courant de recombinaison en volume dans la ZCE IR, on fait
appel au modèle de Shockley-Read-Hall (SRH), valable pour des semiconducteurs
tels que le silicium, dans lesquels la recombinaison se fait indirectement par
l'intermédiaire de centres profonds dans la bande interdite. Elle n'est pas applicable
au cas du GaAs dans lequel la recombinaison directe bande à bande est
prédominante. Si l'on admet que la recombinaison se fait principalement sur un seul
type de centre, la vitesse nette de recombinaison (nombre de paires recombinées par
seconde et par unité de volume), dans la ZCE, est donnée par :
GSRH (x ) = −
n (x ) p (x ) − ni2
τ p (n1 + n (x )) + τ n ( p1 + p (x ))
[2.45]
Avec τp = τn = τ les durées de vie caractéristiques du centre principal, n1 et p1 les
concentrations équivalentes du niveau de défaut ET qu'il introduit dans la bande
interdite. Les densités n1 et p1 sont définies pour le cas où ET est proche de EF,
c’est-à-dire :
⎧
⎡ ET − EC ⎤
⎪n1 = N C exp ⎢
⎥
⎪
⎣ k BT ⎦
⎨
⎪ p = N exp ⎡ EV − ET ⎤
⎢
⎥
V
⎪ 1
⎣ k BT ⎦
⎩
[2.46]
Ne connaissant pas, a priori, les lois de variations de n(x) et p(x), nous ne
pouvons utiliser l'expression [2.45] qu'en introduisant des approximations :
– le niveau de défaut ET est très voisin du milieu de la bande interdite (ET = Ei) :
De la jonction PN au transistor bipolaire
n1 = p1 = ni
101
[2.47]
– E Fn et EFp sont plats à la traversée de la barrière (hypothèse de quasi
équilibre) :
⎛ E Fn − E F p
n (x ) p (x ) = ni2 exp ⎜
⎜
k BT
⎝
⎞
⎟ = n 2 exp ⎛⎜ q VF ⎞⎟
i
⎟
⎝ kT ⎠
⎠
[2.48]
L'expression [2.45] devient alors :
GSRH (x ) = −
⎡
⎛ qV
ni2 ⎢exp ⎜⎜ F
⎢⎣
⎝ k BT
⎡
⎛ E F − Ei
τ ni ⎢2 + exp ⎜⎜ n
⎢⎣
⎝ k BT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦⎥
⎛ Ei − E F p
⎞
⎟ + exp ⎜
⎟
⎜ k BT
⎠
⎝
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
[2.49]
La vitesse GSRH est maximale lorsque p(x) = n(x), c'est-à-dire au point où le
milieu de la bande interdite Ei se situe à équidistance de E Fn et E Fp , soit
pour E Fn − E i = E i − E Fp =
q VF
. Sa valeur est alors :
2
⎡
⎛ qV ⎞ ⎤
ni ⎢exp ⎜⎜ F ⎟⎟ − 1⎥
⎛ q VF
⎢⎣
n
⎝ k BT ⎠ ⎦⎥
GSRH max = −
= i exp ⎜⎜
⎡
⎛ q VF ⎞ ⎤ 2 τ
⎝ 2 k BT
⎟⎟⎥
2 τ ⎢1 + exp ⎜⎜
⎝ 2 k BT ⎠⎦⎥
⎣⎢
⎞
⎟⎟
⎠
[2.50]
Le courant de recombinaison s'obtient en intégrant GSRH(x) sur l'étendue de la
ZCE :
xn
IR = q A
∫ GSRH (x ) dx
[2.51]
−xp
A est l'aire de la section droite de la diode. Soit ∆ l'épaisseur à l'intérieur de
laquelle la recombinaison est significative, c'est-à-dire sur laquelle GSRH(x) varie
très peu et peut être considéré comme égal à GSRH max. On peut alors écrire :
102
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
IR ≈ q A
⎛ q VF
ni
∆ exp ⎜⎜
2τ
⎝ 2 k BT
⎞
⎟⎟
⎠
[2.52]
Ce courant est donc de la même forme que le courant de diffusion [2.44], mais
avec m = 2. Il est alors intéressant de comparer IR au courant direct de diffusion ID :
D pn
L pn
ID
=
IR
p n0 +
Dn p
Ln p
n p0
ni
∆
2τ
⎛ qV F
exp ⎜⎜
⎝ 2 k BT
⎞
⎟⎟
⎠
[2.53]
Pour NA = 1018 cm-3, ND = 1015cm-3 et τ = 10-8 s, on a JS = 3 × 10-12 A.cm-2.
Un ordre de grandeur de ∆ peut être obtenu en évaluant l'épaisseur sur laquelle
GSRH(x) varie de GSRH max/10 à GSRH max. On a sur ∆/2 une ddp δψ telle que :
⎛ q δψ
exp ⎜⎜
⎝ k BT
⎞
k T
⎟⎟ = 10 ⇒ δψ = 2,3 B . De plus, dans la ZCE, on a :
q
⎠
E max
k T 1
∆
= δψ ⇒ ∆ = 4,6 B
2
q E max
[2.54]
Pour notre application numérique, Emax = 15 kV.cm-1, l'expression [2.54]
donne : ∆ = 79 nm.
⎛ qV F
ID
3× 10 −12
=
2. × 10 −8 exp⎜⎜
7
10
19
−
−
I R 79 ×10 × 10 × 1,6. × 10
⎝ 2k B T
⎛ qV F
= 4,74 × 10 −6 exp⎜⎜
⎝ 2k B T
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
[2.55]
Donc ID = IR pour VF = 0,63 V.
Il est clair qu'à faible VF, on a
rapidement ID devient supérieur à IR.
ID << IR, et lorsque VF augmente, très
Enfin, notons que les régions de rencontre entre la ZCE et la surface du dispositif
donnent lieu à un important courant de recombinaison en surface en régime de
polarisation directe. La couche de silice (SiO2) contient une certaine quantité d'ions.
De la jonction PN au transistor bipolaire
103
Si la densité de ces charges est suffisante, elles induisent une zone déserte qui
prolonge la ZCE en augmentant d'autant son aire de contact.
2.1.3.2.2. Régimes de forte injection
Lorsque la densité de courant de la diode dépasse un certain seuil, les
concentrations des porteurs injectés dans les zones N et P deviennent comparables,
voire supérieures, à la concentration des majoritaires. Les ZQN des régions N et P
n'existent plus car il y apparaît une chute de potentiel. Ces chutes de tension sont
associées à deux composantes du champ électrique :
– composante ohmique ER due à la chute de tension dans les ZQN ;
– composante ambipolaire Ed due à la charge d'espace des porteurs majoritaires
excédentaires.
Le champ ohmique ER n'est important que dans la région où le courant des
majoritaires a remplacé celui des minoritaires (par recombinaison), dans la zone la
moins dopée, soit par exemple dès que n(x) = ND pour une diode P+N. Sa valeur est
alors :
ER =
Jn
J
≈
qµ n N D qµ n N D
[2.56]
J étant la densité de courant total. La chute de tension correspondante ∆VC a alors
pour expression, pour une diode dont la zone N a pour épaisseur Xn :
Xn
∆VC <
∫
0
J Xn
J
dx =
qµn N D
qµn N D
[2.57]
Sa valeur ne peut être négligeable que si la zone la plus faiblement dopée (ici N)
est peu épaisse ou si le dopage est important (ND > 1016 cm-3). S'il ne peut en être
ainsi (pour des raisons de tenue en tension inverse comme nous le verrons dans le
collecteur d'un bipolaire), on est conduit à réaliser une zone N+ dont le rôle est
d'injecter des majoritaires lorsque la diode est sous polarisation directe. On a alors à
faire à une diode P+νN+. Toutes les diodes de puissance sont d'ailleurs de ce type.
Le champ ambipolaire Ed existe dans la zone où une forte injection de
minoritaires entraîne un déséquilibre de la concentration de majoritaires. Par
exemple, pour une diode P+N, dans la zone N, si p(x) > ND, des électrons affluent
pour assurer la neutralité électrique, c'est-à-dire n(x) = p(x) > ND. Un champ
104
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
électrique Ed, dit ambipolaire, se crée pour maintenir en place l'excès de porteurs
majoritaires (les électrons) (Figure 2.9) et donc annuler localement le courant de
porteurs majoritaires. On en déduit ainsi la valeur de ce champ ambipolaire :
J n = qnµn Ed + qDn
dn
k T 1 dn
k T 1 dp
= 0 ⇒ Ed = − B
=− B
dx
q n dx
q p dx
[2.58]
Le courant de minoritaires est alors donné par l'expression suivante :
J p = qpµ p Ed − qD p
dp
dn
= −2 qD p
dx
dx
(a)
[2.59]
(b)
pP
pP
Ed
nN
nP
nN
pN
pN
nP
ZCE
Figure 2.9. Profils des concentrations de trous et d'électrons dans l'hypothèse de zones N et P
courtes, a) en régime de faible injection, b) en régime de forte injection.
Le calcul de l'expression de Jp exige de connaître l'expression de n(x). Pour cela,
on écrit l'équation de continuité dont la résolution nécessite la connaissance des
conditions aux limites, sous condition de forte injection en x = xn.
⎛ q VF
Pour x = xn, on a n(xn ) = p(xn ) = ni exp⎜⎜
⎝ 2 k BT
⎞
⎟⎟ .
⎠
⎛ q VF
Pour x = Xn, on a n( X n ) = N D << n(x n ) = ni exp⎜⎜
⎝ 2 k BT
⎞
⎟⎟ (forte injection).
⎠
De la jonction PN au transistor bipolaire
105
De la même façon que pour les expressions [2.41], dans le cas X n < L pn , on
obtient finalement un courant de la forme :
Jp = 2q
Dp
Xn
⎛ q VF
ni exp⎜⎜
⎝ 2 k BT
⎞
⎟⎟
⎠
[2.60]
⎛ q VF ⎞
⎟⎟ , et de plus la résistivité de la région
Le courant varie donc bien en exp⎜⎜
⎝ 2 k BT ⎠
la moins dopée (ici N) ne joue plus aucun rôle en forte injection.
2.1.4. Jonction PN polarisée en inverse
2.1.4.1. Description phénoménologique
Une jonction est polarisée en inverse si la région P est polarisée négativement
par rapport à la région N sous une tension VR < 0 (Reverse). Ceci correspond à
l'application d'un champ électromoteur qui s'ajoute au champ électrostatique initial ;
il empêche toute diffusion supplémentaire des majoritaires et augmente au contraire
la tendance à la dérive.
En conséquence :
– la ddp ΨD - VR entre les deux zones P et N augmente, ainsi donc que la largeur
de la ZCE ;
– le courant dans le dispositif est dû à la « dérive » des porteurs minoritaires.
En maintenant l'hypothèse de complète désertion dans la ZCE, on peut utiliser la
même expression pour WZCE que précédemment, en remplaçant ΨD par ΨD - VR :
WZCE =
2 ε sc
q
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟ (Ψ D − VR )
⎜⎜
+
⎝ ND N A ⎠
[2.61]
2.1.4.2. Calcul du courant inverse
Nous allons, dans un premier temps, considérer la jonction PN polarisée sous
faible tension inverse, en dehors du régime d'avalanche, et montrer qu'elle est
traversée par un courant :
IR = IS + IG
[2.62]
106
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
où IS est le courant de « saturation » dû à la génération thermique dans les ZQN et
IG est le courant dû à la génération de porteurs dans la ZCE.
2.1.4.2.1. Génération et diffusion des porteurs dans les ZQN
Les conditions aux limites sont les mêmes que dans les diodes en direct. Les
hypothèses (totale désertion dans la ZCE, quasi équilibre, faible injection)
demeurent. Si l'on néglige la génération de porteurs libres dans la ZCE, les
expressions [2.43] et [2.44] donnant le courant restent valables. En inverse, on a
donc une densité de courant JI donnée par :
⎡
⎛ qV
J I = J S ⎢exp ⎜⎜ R
⎢⎣
⎝ k BT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥ ≈ − J S pour VR < 0 V
⎠ ⎥⎦
[2.63]
JS étant donné par l'expression [2.43]. On a donc le courant de « saturation » :
IS = -A JS, avec A l'aire de la section droite de la jonction.
2.1.4.2.2. Génération dans la ZCE
Cette composante fournit l'essentiel du courant inverse dans les matériaux à large
bande interdite. Dans ces matériaux, la génération thermique s'effectue de façon
indirecte par l'intermédiaire d'impuretés ou défauts introduisant des niveaux
profonds dans la bande interdite du semiconducteur. Le processus est le suivant :
– un électron de la bande de valence est excité thermiquement sur le niveau ET
introduit par l'impureté. Il laisse un trou libre dans la bande de valence. Ce trou est
immédiatement « balayé » par le champ électrique intense qui règne dans la ZCE
vers la région P ;
– l'électron piégé sur l'impureté est alors excité thermiquement dans la bande de
conduction où le champ électrique le catapulte dans la région N.
Tout se passe comme si un porteur avait traversé la ZCE. La vitesse de
génération des paires est donnée par l'expression SRH appliquée dans la ZCE,
c'est-à-dire pour n = p = 0 :
G=
ni
τ n +τ p
avec τn = τp = τ.
=
ni
2τ
[2.64]
De la jonction PN au transistor bipolaire
107
En supposant que les porteurs générés n'ont pas le temps de se recombiner dans
la ZCE, le courant de génération est calculé à partir de l'équation de continuité
1 d JG
G+
= 0 , qui, intégrée sur l'étendue de la ZCE donne :
q dx
JG = −
q ni
WZCE
2τ
[2.65]
Le sens positif du courant est pris de la région P vers la région N.
Pour
NA = 1018 cm-3,
ND = 1015 cm-3,
WZCE = 31 µm et on trouve finalement : JG = 2
τ = 1 µs
et
VR = -10 V,
on
a
µA.cm-2.
2.1.4.3. Claquage de la jonction
Le claquage de la jonction correspond à la brutale augmentation de son courant
inverse lorsqu'on augmente la polarisation inverse au delà d'une tension dite de
claquage. Le claquage n'est destructif que s'il conduit à un échauffement excessif du
dispositif, c'est-à-dire lorsque le courant inverse n'est pas limité par le circuit
extérieur. Dans les autres cas, le claquage est un phénomène réversible qui disparaît
quand on ramène la tension inverse au dessous de la tension de claquage.
Deux phénomènes sont à l'origine du claquage d'une jonction : l'effet Zener et
.l'ionisation par choc.
2.1.4.3.1. Effet Zener
Cet effet ne se produit que si le champ électrique dans la ZCE devient supérieur
à 106 V.cm-1 (pour Si). Un tel champ électrique est capable de « briser » des liaisons
de valence entre atomes de Si, libérant ainsi un électron et un trou qui participent à
l'augmentation du courant inverse. Cette ionisation correspond au transfert d'un
électron d'un état de la bande de valence dans un état de la bande de conduction de
même énergie à travers la bande interdite par effet tunnel. Pour que ce transfert soit
possible, il faut que les bandes soient très courbées. Une telle situation ne se
rencontre que pour des jonctions dopées à plus de 1018 cm-3 de part et d'autre.
2.1.4.3.2. Ionisation par choc
La zone de charge d'espace d'une jonction en inverse est parcourue par quelques
porteurs responsables du courant de « saturation ». Ces porteurs sont très fortement
accélérés par le champ électrique qui règne dans la ZCE. Si ce champ est
suffisamment élevé (> 105 V.cm-1) les porteurs acquièrent à la traversée de la ZCE
108
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
suffisamment d'énergie cinétique pour transférer à un électron engagé dans une
liaison de valence une énergie d'ionisation capable de le faire « monter » dans la
bande de conduction, créant ainsi une paire électron-trou. Les porteurs ainsi créés
peuvent à leur tour être accélérés et ioniser d'autres atomes. Il y a donc
multiplication des porteurs.
Deux paramètres caractérisent le phénomène d'ionisation par choc :
– les coefficients d'ionisation αn(E) et αp(E) en cm-1 qui représentent le nombre
de paires créées par centimètre de parcours d'un électron ou d'un trou, et qui sont des
fonctions croissantes du champ électrique (dans Si αn(E) = 103 cm-1 pour
E = 2 × 105 V.cm-1) ;
– le coefficient de multiplication M qui représente le rapport du courant inverse
de la jonction IR en présence de multiplication au courant inverse IR0 sans
multiplication :
M =
IR
I R0
[2.66]
2.1.4.3.3. Calcul du coefficient de multiplication et de la tension d'avalanche
La détermination de la tension d'avalanche s'effectue en deux étapes :
– détermination du coefficient d'ionisation α(E) ;
– calcul du champ critique d'ionisation.
Dans le silicium, théorie et expérience concordent pour donner à αn(E) et αp(E)
des expressions du type :
⎧
⎛ Bn ⎞
⎟
⎪ α n (E ) = α n (∞ ) exp ⎜ −
⎪
⎝ E ⎠
⎨
⎛ B ⎞
⎪α p (E ) = α p (∞ ) exp ⎜ − p ⎟
⎜ E ⎟
⎪
⎝
⎠
⎩
[2.67]
Une théorie simplifiée ne considère qu'un coefficient, où pour E exprimé en
V.cm-1 :
α = αn = αp = α0 E5 avec α0 = 1,65×10-24
[2.68]
De la jonction PN au transistor bipolaire
109
Lorsqu'une paire est créée dans la ZCE à la distance x d'un bord, l'électron
parcourt WZCE - x et le trou x. Du point de vue du courant résultant, ce processus est
équivalent à la traversée de WZCE par un électron.
Le courant IR (respectivement IR0) est équivalent au passage de n électrons
(respectivement n0) dans la ZCE. Il y a donc n - n0 créations de paires
électrons-trous dans la ZCE. Ces n - n0 ionisations peuvent à leur tour être
considérées comme créées par le passage de n porteurs (par exemple électrons)
parcourant WZCE.
Soit α dx le nombre de paires créées par un porteur qui parcourt dx. On a :
WZCE
WZCE
0
0
n − n0 = n
∫
n
α d x ⇒ 1− 0 =
n
∫α d x
Le facteur de multiplication M est tel que n = M n0, c'est-à-dire M =
[2.69]
1
∫
1− α d x
L'avalanche se produit lorsque n → ∞, soit :
Ecrit
∫
α
0
dx
d E =1
dE
[2.70]
Ecrit est alors calculé à partir de cette équation. Il représente le champ critique
minimum pour qu'il y ait avalanche.
Considérons par exemple une jonction P+N abrupte. La ZCE s'étend donc surtout
⎛ x
⎞
− 1⎟⎟
E (x ) = E max ⎜⎜
du côté N, on peut alors écrire
avec
⎝ W ZCE
⎠
Emax = q N D
WZCE
ε sc
, d'où encore :
d E Emax q N D
=
=
d x WZCE
ε sc
L'avalanche se produit pour :
[2.71]
110
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Ecrit
1=
∫
0
ε
dx
α
d E = sc
dE
q ND
Ecrit
∫α d E
[2.72]
0
α étant donné par l'expression [2.68], l'expression [2.72] devient :
1=
La
VB =
ε sc
qN D
E6
α 0 crit
6
tension
du
1
⇒
début
2
Ecrit
⎡ 6 qN D ⎤ 3
=⎢
⎥
⎣ ε sc α 0 ⎦
d'avalanche
VB
[2.73]
(Breakdown)
est
donnée
par
1
ε
E crit Wcrit avec Wcrit = sc Ecrit et donc :
qN D
2
VB =
ε sc
2 qN D
2
Ecrit
[2.74]
L'expression [2.73] permet alors de calculer la tension d'avalanche :
2
VB
⎛ ε ⎞3
= ⎜⎜ sc ⎟⎟
⎝2q⎠
1
2
2
−
⎛ 3 ⎞3 − 3
⎜⎜
⎟⎟ N D = 2,6 × 1012 N D 3
⎝ α0 ⎠
[2.75]
Le seul paramètre que l'on puisse faire varier pour modifier VB est le dopage. La
tension d'avalanche s'effondre si l'on augmente ND, comme illustré par les valeurs
numériques données dans le tableau 2.1. suivant, puisque Ecrit n'augmente que
lentement.
ND (cm-3)
1012
Ecrit (V.cm-1)
105
VB (V)
2,6 × 104
1015
3×
1018
105
260
106
2,6
Tableau 2.1. Champ critique et tension d'avalanche dans une jonction P+N abrupte pour
quelques valeurs de dopage de type N.
On verra que c'est pour cela que l'on sous-dope le collecteur des transistors
bipolaires.
Le facteur de multiplication répond de façon empirique à :
De la jonction PN au transistor bipolaire
M =
1
⎛V
1 − ⎜⎜
⎝ VB
⎞
⎟⎟
⎠
111
[2.76]
n
avec n = 2 pour Si dopé N et n = 4 pour Si dopé P.
2.1.5. Schémas équivalents de la jonction PN
Soit une diode PN polarisée sous V0 à laquelle on superpose une variation δV.
2.1.5.1. Capacités de transition
En direct comme en inverse, une variation de tension δV entraîne une variation
δW de la largeur de la ZCE. Il en résulte une modification de la charge stockée. Cet
effet capacitif est caractérisé par la capacité dite de jonction. La charge stockée Qj
dans la ZCE est donnée par :
xn
Q J = q N D (x ) d x = −q
∫
0
∫ N A (x ) d x
[2.77]
−xp
0
Pour une variation δxn, la charge d'espace est modifiée de δQj = qND(xn)δxn. Il
q ND
δxn , et
faut relier δxn à δV en appliquant le théorème de Gauss, soit δE =
ε sc
donc :
δV =
xn +δxn
∫ δE dx ≈ δE WZCE
[2.78]
− ( x p +δx p )
La capacité de jonction est alors déduite des expressions [2.77] et [2.78] :
Cj =
∂Q j
∂V
=
V0
ε
q N D δ xn
= sc
q ND
δxn WZCE WZCE
ε sc
Pour εSi = 1,04 × 10-12 F.cm-1 et WZCE = 10 µm, on a : CJ = 1 nF.cm-2.
[2.79]
112
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Cette capacité dépend, par l'intermédiaire de WZCE, de la polarisation de la
diode. On réalise ainsi une capacité contrôlée par une tension (Varactor ou Varicap).
La réponse en fréquence de cette capacité est excellente puisqu'elle met en jeu un
déplacement de porteurs majoritaires qui s'éloignent ou se rapprochent du plan de
jonction. On montre que la « fréquence de coupure » est de l'ordre de l'inverse du
temps de relaxation diélectrique τD : τ D =
ε sc
= 10 −12 s avec σ la conductivité en
σ
Ω-1.cm-1.
2.1.5.2. Capacités de diffusion
Lorsque la diode est en direct, les concentrations pn et np des minoritaires
injectés au niveau des frontières de la ZCE sont modifiées. Globalement, la charge
électrique est nulle mais il y a eu apport dans une même zone de δp trous et δn
électrons, ce qui est équivalent à la circulation d'un courant capacitif véhiculant la
charge q δp, appelé charge stockée.
Dans la zone N, on a Q p = q
Xn
∫ (p n − p n ) dx ,
0
avec pour X n >> L pn ,
xn
⎡
⎛ qV
pn − pn0 = pn0 ⎢exp ⎜⎜ F
⎝ k BT
⎣⎢
Q p = q p n0
⎡
⎛ qV
L p n ⎢exp ⎜⎜ F
⎢⎣
⎝ k BT
⎛ x−x
⎞ ⎤
n
⎟⎟ − 1⎥ exp⎜ −
⎜
L
pn
⎠ ⎦⎥
⎝
⎞
⎟.
⎟
⎠
On
obtient
donc
2
⎞ ⎤ L pn
⎟⎟ − 1⎥ =
J p (xn ) , c'est-à-dire finalement :
⎠ ⎥⎦ D p n
Q p = τ p J p (x n )
[2.80]
De même, on a du côté P :
Qn = τ n J n (− x p )
[2.81]
La charge totale stockée est donc, si τn = τp = τ :
⎡
⎛ qV
QS = τ J D = τ J S ⎢exp ⎜⎜ F
⎢⎣
⎝ k BT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎥⎦
La capacité de diffusion est donc donnée par l'expression suivante :
[2.82]
De la jonction PN au transistor bipolaire
CD =
d QS
q
q
=τ
JD =
QS
dV
k BT
k BT
113
[2.83]
2.1.5.3. Conductance
En direct, on définit une conductance différentielle GD due aussi à la diffusion
des porteurs majoritaires :
GD =
dJ D
q
=
JD
dV
k BT
[2.84]
2.1.5.4. Schémas équivalents
En direct, le schéma équivalent d'une diode est constitué d'une capacité
C = CJ + CD en parallèle avec une conductance GD.
En inverse le schéma équivalent d'une diode se réduit à la seule capacité CJ.
2.2. Le transistor bipolaire
Le transistor bipolaire est un dispositif à trois couches, de types différents,
séparées par deux jonctions. Les trois couches sont appelées émetteur, base,
collecteur. Suivant les types choisis pour ces couches, on peut construire deux
sortes de transistor : NPN ou PNP.
La Figure 2.10 représente une coupe d'un transistor bipolaire intégré NPN, ainsi
que les profils simplifiés de dopage (uniformes et abrupts). La zone N+ qui sert de
semelle au collecteur permet de rendre négligeable la résistance d'accès au
collecteur. Dans toute cette partie, nous considérerons un transistor de type NPN et
nous ferons, si nécessaire, les remarques particulières sur les transistors de type
PNP.
Toutes les hypothèses seront repérées par les symboles **, elles correspondent à
une description au « premier ordre » du fonctionnement du dispositif en régime
statique.
114
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
(a)
(b)
C
B
E
N+
N+
Dopage
P+
NDE
+
P+
P
N
NAB
N+
x
NDSC
E B
NDC
C Subcollecteur
x
Substrat P
Figure 2.10. a) Coupe d'un transistor bipolaire intégré et b) profils simplifiés de dopage le
long de la zone active suivant une coupe sous l'émetteur.
2.2.1. Effet transistor (en mode normal direct)
Le but est d'injecter des électrons de l'émetteur (qui émet !) vers le collecteur
(qui collecte !) en commandant ce flux par l'électrode de base.
– injection : la première jonction à franchir pour les électrons, majoritaires dans
la zone N, est la jonction émetteur-base (N-P). Il faut donc favoriser la diffusion des
majoritaires et donc polariser la jonction émetteur-base en direct. La tension VBE
module la hauteur de la barrière de potentiel de la jonction émetteur-base et donc le
flux de courant ;
– transport dans la base : une fois dans la base, les électrons sont minoritaires, ils
risquent donc de se recombiner. Afin de minimiser ce risque, on réalise une base de
longueur WB petite devant la longueur de diffusion des électrons dans la base : LnB.
– collection : pour que les électrons, présents en fin de base, puissent être
récoltés au collecteur, il faut favoriser le passage des minoritaires c'est-à-dire
polariser la jonction base-collecteur en inverse. Les électrons sont alors happés par
le fort champ électrique qui règne dans la ZCE base-collecteur et catapultés dans le
collecteur, où ils se retrouvent majoritaires.
Ainsi une grande partie du courant d'électrons injectés au niveau de l'émetteur se
retrouve dans le collecteur : c'est l'effet transistor.
De la jonction PN au transistor bipolaire
115
2.2.2. Bilan des courants et calcul des gains
2.2.2.1. Bilan des courants
Reprenons plus en détails ces trois étapes, en faisant le bilan de la distribution
des courants circulant dans un transistor bipolaire NPN, représentée sur la
Figure 2.11 :
E (N+)
B (P+)
Inc = B0InE
ZCE
C (N)
MInC
InE
ICB0
IpE
IpE IBR
(M - 1) InC
IE
VBE
IB
IC
VBC
Figure 2.11. Bilan des courants dans un transistor bipolaire
– injection : la diffusion des majoritaires à la jonction émetteur-base donne lieu,
au niveau de l'émetteur, aux courants suivants :
- I nE : courant dû à la diffusion des électrons de l'émetteur vers la base,
- I pE : courant dû à la diffusion des trous de la base vers l'émetteur.
On a donc:
I E = I nE + I p E
[2.85]
Les trous injectés de la base (B) vers l'émetteur (E) ne participent pas à l'effet
transistor et il convient donc de minimiser cette injection en favorisant celle des
électrons de l'émetteur vers la base. Pour cela, l'émetteur sera plus dopé que la base.
Cette première étape d'injection est caractérisée par l'efficacité d'injection γ définie
par l'expression suivante :
γ =
J nE
J nE + J p E
[2.86]
116
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
– transport dans la base : la recombinaison dans la base est représentée par le
facteur de transport B0, défini comme le rapport de la densité de courant d'électrons
récupérés en fin de base J nC sur la densité de courant d'électrons injectés dans la
base J n E , c'est-à-dire par :
B0 =
J nC
J nE
[2.87]
– collection : si la jonction base-collecteur est suffisamment polarisée en inverse,
le courant d'électrons va subir une multiplication à la traversée de la ZCE de cette
jonction où règne un fort champ électrique. Ce coefficient de multiplication M est
défini par :
M =
JC
J nC
[2.88]
Le courant collecteur est donc constitué par :
- un courant d'électrons collectés dans la base et multipliés dans la ZCE B-C :
M B0 I n E ,
- un courant d'électrons représentant la fuite de la jonction B-C : I CB0 .
I C = M B0 I nE + I CB0
[2.89]
Le courant base est plus complexe, il est constitué de quatre courants de trous :
- un courant de trous injectés de B vers E : I pE (sens entrant),
- un courant de recombinaison I BR dû à l'apport nécessaire de trous dans la
base (injectés par l'électrode de base) pour compenser la consommation de trous par
la recombinaison (neutralité électrique) : I BR = (1− B0 ) I nE (sens entrant),
- un courant de trous dû aux trous créés par multiplication dans la ZCE B-C
et catapultés dans la base par le fort champ électrique. Ces trous sont collectés par
l'électrode de base et donnent le courant : (M − 1) B0 I n (sens sortant),
E
- un courant de trous dû à la fuite de la jonction B-C : I CB0 (sens sortant).
On a finalement un courant base de la forme :
I B = I pE + (1 − B0 ) I nE − (M − 1) B0 I nE − I CB0
[2.90]
On a donc, en mode de fonctionnement normal direct, la relation entre les
courants :
IE = IB + IC
[2.91]
De la jonction PN au transistor bipolaire
117
Ce bilan permet de mettre en évidence l'intérêt de l'effet transistor : lorsque
l'effet transistor se manifeste, une partie du courant d'émetteur se retrouve dans le
collecteur. Or, l'injection du courant d'émetteur ne nécessite qu'une très faible
tension de polarisation VBE (variation exponentielle). Le contrôle de cette injection
assure le contrôle du courant collecteur qui, lui, circule sous la tension VCB,
beaucoup plus élevée. Le gain de l'opération se traduit au niveau de la puissance
par :
AP =
VCB I C
V BE I E
[2.92]
Ces composants sont donc intéressants pour les circuits amplificateurs, dans le
cas où le courant IC reste voisin de IE.
2.2.2.2. Calcul des gains
Toutes les définitions données dans ce chapitre supposent que les jonctions EB et
BC sont de même surface : c'est ** l'hypothèse du transistor filamentaire.
Le gain en courant dans le montage base commune s'exprime par :
a=
IC
J
J J nC J nE
= C = C
IE
JE
J nC J nE J E
[2.93]
C'est-à-dire :
a = γ B0 M
[2.94]
Le gain en courant dans le montage émetteur commun s'exprime par :
b=
IC
IC
a
=
=
I B I E − IC 1 − a
[2.95]
2.2.3. Différents régimes de fonctionnement
Nous avons jusqu'à présent envisagé le régime de fonctionnement normal direct
pour lequel la jonction EB est en direct et celle BC en inverse. Dans le tableau 2.2
sont définis les trois autres régimes de fonctionnement : normal inversé, saturé, et
bloqué.
118
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
Régime
Jonction EB
Jonction BC
Normal direct
Direct
Inverse
Normal inversé
Inverse
Direct
Saturé
Direct
Direct
Bloqué
Inverse
Inverse
Tableau 2.2. Récapitulatif des différents régimes de fonctionnement d'un transistor bipolaire,
avec le type de polarisation des deux jonctions PN.
2.2.3.1. Régime normal direct: VBE > 0 et VBC < 0 (pour un transistor NPN)
Dans un premier temps, l'étude du transistor bipolaire sera faite avec les
** hypothèses suivantes :
– géométrie unidimensionnelle ;
– base uniformément dopée ;
– jonctions abruptes ;
– hypothèse de totale désertion dans les ZCE ;
– hypothèses de quasi équilibre et de faible injection.
Les épaisseurs de l'émetteur, de la base et du collecteur sont notées
respectivement WE, WB et WC.
2.2.3.1.1. Distribution des charges et des courants en régime permanent
Les densités de courant d'électrons et de trous constituant le courant d'émetteur
sont essentiellement des courants de diffusion :
∂ n B (x )
⎧
⎪ J nE = q D nE ∂ x
⎪
⎨
∂ p E (x )
⎪J
= − q D pE
p
E
⎪⎩
∂x
[2.96]
Pour les calculer, il faut tout d'abord déterminer les profils de concentrations des
minoritaires dans la base nB(x) et dans l'émetteur pE(x). Nous allons détailler le
calcul de nB(x) et J n E ; on obtiendra alors pE(x) et J pE par identification.
Dans la base, les variations de la densité d'électrons nB(x) sont données par
l'équation de continuité :
De la jonction PN au transistor bipolaire
∂ n B (x )
1 ∂ J nE
= G −U +
∂t
q ∂x
119
[2.97]
⎛ ∂ n (x )
⎞
= 0 ⎟⎟ et en supposant une base courte devant la
En régime permanent ⎜⎜ B
⎝ ∂t
⎠
longueur de diffusion des électrons dans la base (WB << LnB), soit en négligeant la
recombinaison (G – U = 0), l'équation de continuité s'écrit en considérant l'équation
[2.96] :
∂ 2 n B (x )
∂ 2x
=0
[2.98]
Les conditions aux limites dans la base sont :
– en début de base, en considérant l'hypothèse de quasi équilibre :
⎛ qV
n B (0 ) = n B0 exp ⎜⎜ BE
⎝ kT
⎞
⎟⎟
⎠
avec n B0 =
ni2
N AB
[2.99]
– en fin de base, si l'on suppose que l'on est à VBC = 0 V :
n B (WB ) = n B0
[2.100]
La concentration d'électrons dans la base est donc donnée par :
⎛
x
n B (x ) − n B0 = n B0 ⎜⎜1 −
⎝ WB
⎞⎡
⎛ qV
⎟⎟ ⎢exp ⎜⎜ BE
⎝ kT
⎠ ⎢⎣
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎥⎦
[2.101]
La densité de courant d'électrons à l'émetteur est déduite de l'équation (2.12), et
donne l'expression :
J n E = − q Dn B
n B0 ⎡
⎛ q VBE
⎢exp ⎜⎜
WB ⎣⎢
⎝ kT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦⎥
[2.102]
Par identification, la densité de courant de trous à l'émetteur est donnée par
l'expression :
J p = − q D pE
E
p E0 ⎡
⎛ q V BE
⎢exp ⎜⎜
W E ⎣⎢
⎝ kT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦⎥
avec p E0 =
ni2
N DE
[2.103]
120
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
La densité de courant total d'émetteur est donc :
⎡
⎛ qV
J E = J ES ⎢exp ⎜⎜ BE
⎝ kT
⎣⎢
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦⎥
[2.104]
avec :
n B0
p E0 ⎞
⎛
⎟
+ D pE
J ES = −q ⎜ DnB
⎜
⎟
W
W
B
E
⎝
⎠
[2.105]
2.2.3.1.2. Efficacité d'injection
Les expressions [2.102) et [2.103] permettent de calculer l'efficacité d'injection :
γF =
1
1+ δ
avec δ =
D pE W B N AB
DnB W E N DE
[2.106]
Pour que γ soit aussi voisin que possible de 1, il faut que :
N D E >> N AB
[2.107]
Mais avec une base peu dopée, la circulation des trous est pénalisée par une forte
résistance d'accès qui pénalise notamment les performances en fréquence du
transistor. Donc, dans le cas d'un transistor bipolaire homojonction, il y a un
compromis à faire entre un bon gain en courant b et une faible résistance d'accès
rbb'.
Si le matériau constituant l'émetteur a une largeur de bande interdite supérieure à
celle du matériau de la base (cas des hétérojonctions), l'expression [2.107] devient :
ni2 D p W N A
E
B
B
δ = 2E
ni DnB W E N DE
[2.108]
B
⎛ E ⎞
Or, puisque ni2 = N C NV exp ⎜ − G ⎟ , nous avons maintenant ni E << ni B . Par
⎝ kT ⎠
conséquent, δ tend vers 0 sans aucune condition sur les dopages. On peut alors
surdoper la base pour minimiser la résistance d'accès.
De la jonction PN au transistor bipolaire
Pour
N D E = 1020 cm-3,
D pE = 2 cm2.s-1, WE = 0,1 µm,
121
N AB = 1018 cm-3,
Dn B = 6 cm2.s-1 et WB = 1 µm, on a γF = 0,968.
2.2.3.1.3. Transport dans la base
Pour déterminer l'exacte valeur de B0, il faut évaluer le nombre d'électrons qui se
recombinent dans la base par seconde. Ce nombre est égal :
– d'une part, au nombre d'électrons en excès dans la base ( Qn B : la charge
d'électrons
Qn B en excès stockée dans la base, divisée par q) divisée par leur durée de vie
;
τnB :
q τ nB
J nE– −d'autre
J nC part, à la différence des flux d'électrons entrant et sortant de la base :
.
q
De plus, la densité de courant J n E est reliée au temps de transit tB des électrons
dans la base par la relation :
J nE =
Qn B
[2.109]
tB
On a donc :
B0 =
J nC
J nE
t
= 1− B
[2.110]
τ nB
Enfin, la détermination de Qn B permettrait de calculer tB. Or la charge en excès
WB
stockée dans la base est définie comme Qn B = −q
∫ (nB (x ) − nB ) dx , soit l'aire du
0
0
triangle hachuré de la Figure 2.12, donc en utilisant la relation [2.108], B0 peut aussi
s'exprimer par :
B0 = 1 −
Qn B
τ nB J nE
= 1−
WB2
2 L2n
B
[2.111]
122
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
nB
⎡ qV ⎤
n B 0 exp ⎢ BE ⎥
⎣ kT ⎦
ZCE
BC
nB0
0
WB
x
Figure 2.12. Profil de concentration des électrons dans la base d'un transistor bipolaire
On en déduit une expression du temps de transit tB :
tB =
WB2
2 Dn B
Avec tB = 10 ps,
[2.112]
Dn B = 25 cm2.s-1 et l'expression [2.112], on obtient
WB = 223 nm. Avec le même exemple que pour l'efficacité d'injection, on a enfin
τ n B = 1 µs d'où B0 = 0,9992.
2.2.3.1.4. Gains en courants
I
En base commune, on a : a F = γ B0 M = C . Ceci permet d'écrire une relation
IE
entre les courants qui sera utile pour la modélisation du transistor :
I C = a F I E + I C0
En émetteur commun, on a : bF =
[2.113]
aF
.
1 − aF
Avec les mêmes données que pour le calcul du coefficient d'injection, on a :
aF = 0,967 et bF = 29.
De la jonction PN au transistor bipolaire
123
2.2.3.1.5. Facteur de multiplication
Nous exprimons le coefficient de multiplication par une relation empirique
simple faisant intervenir la tension VBC et sa tension d'avalanche VBK :
M =
1
⎛V
1 − ⎜⎜ BC
⎝ V BK
⎞
⎟⎟
⎠
[2.114]
3
On a vu dans la partie précédente sur la jonction PN (section 2.1.4.3.3) qu'une
bonne tenue en tension, c'est-à-dire une tension de claquage VBK élevée, exigeait un
faible dopage collecteur.
2.2.3.2. Régime normal inversé VBE < 0 et VBC > 0 (pour un NPN)
Dans ce cas, tout est inversé, c'est-à-dire que le collecteur émet et l'émetteur
collecte !
Au niveau des courants on a les relations suivantes :
⎧⎪ J C = J nC + J pC
⎨
⎪⎩ J B = J pC + J BR + (M − 1) J nC
[2.115]
Le coefficient d'injection est donné par :
γR =
1
D p C W B N AB
1+
Dn B WC N DC
On définit le gain en base commune : aR =
[2.116]
IE
= γR B0 M.
IC
IC
1
=
, ce qui permet
I B 1 − aR
d'écrire une relation entre les courants qui sera utile pour la modélisation du
transistor :
On définit le gain en émetteur commun : bR =
IE = aRIC - IE0
[2.117]
124
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
On rajoute à l'exemple de calcul numérique précédent les données du collecteur :
N DC = 1016 cm-3, D pC = 10 cm2.s-1, WC = 10 µm, τ p E = 1 ns, τ n B = 1 µs et
τ p C = 50µs. On a alors : γR = 0,057, aR = 0,057 et bR = 1,06.
2.2.3.3. Régime saturé VBE > 0 et VBC > 0 (pour un NPN)
Au niveau des courants, si l'on considère M = 1, on a les relations suivantes :
⎧⎪ J E = J nE + J pE − B0 J nC
⎨
⎪⎩ J C = B0 J nE − J nC − J pC
[2.118]
Soit :
⎧
⎡
⎛ qV ⎞ ⎤
⎪ J E = J S E ⎢exp ⎜⎜ BE ⎟⎟ − 1⎥ − a R J SC
⎢⎣
⎪
⎝ k T ⎠ ⎦⎥
⎨
⎡
⎛ q V BE ⎞ ⎤
⎪
⎪ J C = a F J S E ⎢exp ⎜⎜ k T ⎟⎟ − 1⎥ − J SC
⎢⎣
⎝
⎠ ⎥⎦
⎩
⎡
⎛ q V BC
⎢exp ⎜⎜
⎝ kT
⎣⎢
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦⎥
⎡
⎛ q V BC
⎢exp ⎜⎜
⎢⎣
⎝ kT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎥⎦
[2.119]
On a alors pour le courant base :
J B = J E − JC
⎡
⎛ qV
= (1 − a F ) J SE ⎢exp ⎜⎜ BE
⎢⎣
⎝ kT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥ + (1 − a R ) J SC
⎠ ⎥⎦
⎡
⎛ q V BC
⎢exp ⎜⎜
⎢⎣
⎝ kT
⎞ ⎤ [2.120]
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎥⎦
Sur la Figure 2.13(a), on a tracé le réseau de caractéristiques IC(VCE) à IB
constant du transistor bipolaire. A une valeur VCE sat correspond un courant IB1. Si
on augmente IB, VCE sat ne variant pas, IC ne change pas, donc les profils de
concentration d'électrons dans la base correspondant aux courants de base IB1, IB2,
IB3 (Figure 2.13(b)) correspondent à un même courant IC pour un montage émetteur
commun, bien que l'on ait différents degrés de saturation du transistor. Il est
intéressant de connaître la valeur théorique VCE sat de la tension de saturation du
transistor correspondant au couple (JC,JB). A partir des expressions de (JC,JB) on
écrit les relations suivantes entre les concentrations d'électrons dans la base :
De la jonction PN au transistor bipolaire
J C WB
⎧
⎪n B (W B ) − n B (0 ) = q D
nB
⎪
⎨
2 τ nB J B
⎪
⎪n B (W B ) + n B (0 ) = − q W
B
⎩
125
[2.121]
(b)
(a)
IC
nB
IB1
S2
IB2
S3
IB3
S1
P
VCE
VCEsat
x
0
WB
Figure 2.13. a) Réseaux de caractéristiques IC (VCE) d'un transistor bipolaire et b) profils de
concentration des électrons dans la base pour trois courants de base IB1, IB2 et IB3.
D'où :
⎧
JC
⎪n B (W B ) =
2
q
⎪⎪
⎨
⎡ JC
⎪
⎪n B (0 ) = − ⎢ 2 q
⎪⎩
⎣⎢
W B τ nB J B
−
D nB
q WB
W B τ nB J B ⎤
+
⎥
D nB
q W B ⎦⎥
[2.122]
On peut alors calculer VCE sat sous la forme :
VCEsat
⎡
W B2
1
⎢1 +
D
2
τ
kT ⎢
nB n B
=
ln ⎢
2
q
1
⎢1 − W B
⎢ 2 Dn τ n
B
B
⎣
JC ⎤
⎥
JB ⎥
⎥
JC ⎥
J B ⎥⎦
[2.123]
126
Modélisation des transistors bipolaires intégrés
D'après l'expression [2.112] donnant le temps de transit tB, VCE sat peut s'écrire :
VCEsat
tB
⎡
⎢1 + τ
kT ⎢
nB
ln
=
⎢
tB
q
⎢1 −
⎢⎣ τ nB
JC ⎤
JB ⎥
⎥
JC ⎥
⎥
J B ⎥⎦
[2.124]
D'après cette formule, il suffirait d'augmenter JB pour diminuer VCEsat et donc
atteindre le régime de saturation plus tard. Pour un transistor réel et non idéal ceci
est à voir de plus près !