Thermodynamique statistique - Réseau Français de Chimie Théorique

thermo-stat
Thermodynamique statistique
Pascal Boulet
[email protected]
Réseau français de chimie théorique
thermo-stat
Outline
Rappels de mécanique quantique
Introduction
Indiscernabilité et symétrie des fonctions d’onde
Les statistiques
Les statistiques quantiques
Statistique de Bose-Einstein
Statistique de Fermi-Dirac
Les statistiques classiques
Distribution les plus probables
Entropie statistique
Relation entre β et la température
Les ensembles statistiques
Principe ergodique et notion d’ensembles
Ensemble microcanonique
Ensemble canonique
Ensemble grand-canonique
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Introduction
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les
différents mouvements et fonction de partition associée
thermo-stat
Rappels de mécanique quantique
Introduction
I
A l’échelle quantique on ne peut plus parler ni de position x ni
d’impulsion p.
I
Les propriétés d’une particule sont déterminées à partir de sa fonction
d’onde Ψ(x, t).
Interprétation de Copenhague
La fonction d’onde ψ(x, t) est interprétée comme une amplitude de
probabilité. Si P est la probabilité, alors :
dP = |ψ(x, t)|2 dx
|ψ(x, t)|2 est ici la densité de probabilité de présence de la
particule dans l’élément de volume dx.
(1)
thermo-stat
Rappels de mécanique quantique
Introduction
I
La fonction d’onde est solution de l’équation de Schrödinger :
b
Hψ(x,
t) = Eψ(x, t)
I
I
(2)
b quantique est construit à partir de l’hamiltonien
L’hamiltonien H
classique en utilisant le principe de correspondence :
p
→
E
→
−i~∇
∂
i~
∂t
(3)
p et x ne peuvent être déterminés simultanément. Ils répondent au
principe d’incertitude de Heisenberg :
∆x∆px &
~
2
(4)
ce qui conduit aux commutateurs :
[xi , pj ] = xi pj − pj xi =
0
i~
si
si
i=
6 j
i=j
(5)
thermo-stat
Rappels de mécanique quantique
Indiscernabilité et symétrie des fonctions d’onde
I
A l’échelle atomique les particules sont indiscernables. La
permutation de deux particules laisse inchangée la densité de
probabilité :
|ψ(x1 , x2 )|2 = |ψ(x2 , x1 )|2
(6)
Donc ψ(x1 , x2 ) et ψ(x2 , x1 ) sont égales à une phase près :
ψ(x1 , x2 ) = eiδ ψ(x2 , x1 )
iδ 2
(7)
iδ
Ceci conduit à (e ) = 1, soit e = ±1.
Finalement :
ψ(x1 , x2 ) = ±ψ(x2 , x1 )
(8)
1. Les particules pour lesquelles on a ψ(x1 , x2 ) = +ψ(x2 , x1 ) sont appelées
des bosons ;
2. Les particules pour lesquelles on a ψ(x1 , x2 ) = −ψ(x2 , x1 ) sont appelées
des fermions.
D’après le théorème de la statistique des spins les bosons ont
un spin entier et les fermions un spin demi-entier.
thermo-stat
Les statistiques
Les statistiques quantiques
Il existe deux statistiques quantiques :
1. statistique de Bose-Einstein : applicable aux bosons ;
2. statistique de Fermi-Dirac : applicable aux fermions.
Hypothèses de base :
I
Les particules sont (presques) sans interaction entre-elles ;
I
Le nombre de particules est fixé (N) ;
I
l’énergie
P totale du système est constante et égale à l’énergie interne :
U = Ni=1 ni i ;
I
Les particules ont une suite d’énergies i réparties sur des niveaux
discrets éventuellement dégénérés gi fois (poids statistiques des
niveaux i) ;
I
Etat microscopique : correspond à la répartition des particules sur
les sous-niveaux ;
I
Etat macroscopique : correspond à la répartition des particules sur
les niveaux d’énergie ;
I
Principe d’équiprobabilité : tous les états microscopiques sont
équiprobables.
thermo-stat
Les statistiques
Les statistiques quantiques
Exercice 1 :
Soient 2 niveaux d’énergie 1 et 2 dégénérés respectivement 1 fois et 2 fois.
Deux particules identiques et supposées discernables sont distribuées dans
ces niveaux.
Montrer par un schéma les complexions, les états microscopiques et les
états macroscopiques possibles.
Si les particules sont des électrons, combien reste-t-il d’états microscopiques
et macroscopiques compatibles avec la nature de ces particules ?
Réponse :
1
|
AB|
|AB
2
AB
Complexions
1
2
3
1. Cas des particules discernables :
I
I
B|
A
4
A|
B
5
|A
B
6
|B
A
7
A|B
B|A
8
9
9 états microscopiques ;
3 états macroscopiques : 1, 2 (id. 3, 8, 9), 4 (id. 5, 6, 7)..
2. Cas des particules indiscernables :
I
I
6 états microscopiques : 1, 2, 3, 4 (id. 5), 6 (id. 7), 8 (id. 9)
3 états macroscopiques (cf. ci-dessus).
3. Cas des fermions :
I
I
3 états microscopiques : 1, 2, 3 : impossibles, 4 (id. 5), 6(id. 7), 8 (id. 9) ;
2 états macroscopiques : 4 (id. 5, 6, 7), 8 (id. 9).
thermo-stat
Les statistiques
Les statistiques quantiques
Exercice 2 :
Soient trois niveaux équidistants (1 = 0, 2 = , 3 = 2), non dégénérés sur
lesquels se répartissent deux particules discernables A et B. L’énergie totale
vaut 2.
1. Représenter sur un schéma les différents états macroscopiques ainsi
que les complexions.
2. Même question si le niveau 1 est dégénéré deux fois.
Réponses :
2 = 2
1 =
0 =
0
A
B
AB
B
A
| {z }
I
II
On a :
I
trois complexions
I
deux états macrocopiques.
thermo-stat
Les statistiques
Les statistiques quantiques
2 =
1 =
0 =
2
0
A
|
B
| {z
I
B
|
A
}
A|B
B|A
|
AB|
{z
II
|AB
}
On a donc :
I
Six complexions
I
Deux états macroscopiques
Remarques :
1. La dégénérescence du niveau 1 a augmenté l’importance statististique
du niveau. La dégénérescence gi est donc aussi appelée poids
statistique.
2. On ne peut pas utiliser les lois statistiques (ici celle de Boltzmann) car le
nombre de particules et de niveaux est beaucoup trop petit.
thermo-stat
Les statistiques
Statistique de Bose-Einstein
I
On veut répartir N particules indiscernables sur des niveaux
d’énergie 1 , . . . , n à raison de N1 particules sur le niveau 1 , N2 sur le
niveau 2 , etc. . .
I
Sur le plan macroscopique, il n’y a qu’une seule façon de le faire. La
contribution au nombre de complexions W provient de la répartition
sur les sous-niveaux.
I
Pour un niveau i : • • | • •| • • • |•. Pour gi compartiments il y a gi − 1
|
{z
}
gi
cloisons.
I
On peut générer d’autres répartitions en permutant les Ni particules et
les gi − 1 cloisons, soit : (Ni + gi − 1)! possibilités.
I
Or, en permutant deux particules entres elles ou deux cloisons entre
elles, on ne change rien. On divise donc par Ni !(gi − 1)!, soit :
(Ni + gi − 1)!
.
Wi =
Ni !(gi − 1)!
La probabilité thermodynamique est donc :
Y (Ni + gi − 1)!
WB.E. =
(9)
Ni !(gi − 1)!
I
i
thermo-stat
Les statistiques
Statistique de Fermi-Dirac
I
Chaque sous-niveau ne peut contenir que 0 ou 1 particule (donc
Ni ≤ gi ).
I
Comme pour la stat. B.E., La contribution au nombre de
complexions W provient de la répartition sur les sous-niveaux.
I
Pour un niveau i : •| • | • | | • | • | |•. Il y a gi sous-niveaux et (gi − Ni )
|
{z
}
gi
cases vides (on ne permute pas les cloisons dans ce cas).
I
Pour générer les configurations on réalise gi ! permutations.
I
Si on permute deux particules entres elles ou deux cases vides entres
elles on ne change rien. On divise donc par Ni !(gi − Ni )!,soit :
gi !
Wi =
.
Ni !(gi − Ni )!
la statistique recherchée est donc :
Y
gi !
(10)
WF .D. =
Ni !(gi − Ni )!
I
i
thermo-stat
Les statistiques
Les statistiques classiques
Il s’agit des statistiques de Maxwell-Boltzmann et de
Maxwell-Boltzmann corrigée (avec ou sans dégénérescence).
I
On suppose les particules discernables, même si elles sont identiques ;
I
On néglige totalement les interactions entre les particules.
1. Statistique de Maxwell-Boltzmann sans dégénérescence :
I
I
I
On répartit N particules sur les niveaux d’énergie à raison de N1 particules
sur 1 , N2 sur 2 , etc. . .
Le nombre de complexions est N! auquel il faut enlever les permutations sur
un même niveau : N1 ! sur le niveau 1 , N2 ! sur 2 , etc. . .
la statistique recherchée est donc
N!
WM.B. = Q
i Ni !
(11)
2. Statistique de Maxwell-Boltzmann avec dégénérescence :
I
I
I
N
Il y a gi dégénérescences sur le niveau i , donc gi i façon de placer les
particules sur ce niveau
Q ;
Il y a toujours (N!/ i Ni !) répartitions des particules sur les différents
niveaux ;
la statistique recherchée est donc :
WM.B. = N!
Y g Ni
i
Ni !
i
(12)
thermo-stat
Les statistiques
Les statistiques classiques
Exercice 3 : Montrer que WF .D. et WB.E. tendent vers
Q giNi
lorsque Ni gi .
i
Ni !
Réponse :
On passe au log. et on utilise la formule de Stirling (ln N! = N ln N − N) :
ln WB.E.
≈
ln WF .D.
≈
Ni + g i
Ni + g i
+ gi ln
Ni
gi
P
gi − Ni
g i − Ni
−
g
ln
N
ln
i
i
i
Ni
gi
P
i
Ni ln
que l’on peut résumer en :
X
gi
Ni
ln WFB.E.
≈
N
ln
±
1
±
g
ln
1
±
i
i
.D.
Ni
gi
i
En utilisant Ni gi on obtient immédiatement :
P
P
gi
Ni
ln W ≈ i Ni ln
+ gi
= i Ni ln gi − (Ni ln Ni − Ni ),soit :
Ni
gi
WM.B.C. ≈
Y g Ni
i
Ni !
i
C’est la statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée.
(13)
thermo-stat
Les statistiques
Distribution les plus probables
On cherche les lois de répartition à l’équilibre. Elles correspondent aux
distributions les plus probables. On cherche le maximum de W
en passant par la dérivée par rapport à Ni (on utilise la formule de Stirling),
les gi étant constants.
1. Statistique B.E.
d ln(WB.E. ) =
X
d ln(Ni + gi )! −
i
X
i
d ln Ni ! −
X
d ln gi !
i
gi + Ni
dNi = 0
(14)
Ni
i
P
P
P
On
P a les contraintes suivantes : i Ni = N et i Ni i = U, soit0 i dNi = 0 et
i i dNi = 0. on utilise des multiplicateurs de Lagrange λ et λ :
X gi + Ni
+ λ + λ0 i dNi = 0
(15)
ln
Ni
d ln(WB.E. ) =
i
X
ln
thermo-stat
Les statistiques
Distribution les plus probables
2. Statistique F.D.
On procède de la même manière :
d ln(WF .D. ) = −
X
ln Ni dNi +
i
X
ln(gi − Ni )dNi
i
gi − Ni
dNi = 0
Ni
i
P
On a les mêmes contraintes que précédemment : i dNi = 0 et
P
i i dNi = 0, ce qui conduit à l’équation :
X gi − Ni
ln
+ λ + λ0 i dNi = 0
Ni
d ln(WF .D. ) =
X
ln
(16)
(17)
i
On peut résumer les résultats pour les deux statistiques comme suit :
X gi ± Ni
0
+ λ + λ i dNi = 0
ln
Ni
(18)
i
Et finalement :
gi
eα+βi ± 1
(avec λ = α, et λ0 = β. Signe − : B.E., signe + : F.D.)
Ni =
(19)
thermo-stat
Les statistiques
Distribution les plus probables
3. Statistique de Maxwell-Boltzmann
Le même raisonnement permet d’écrire :
X
X
ln(WM.B. ) = ln N! +
Ni ln gi −
ln Ni !
i
d ln(WM.B. ) =
X
i
ln gi dNi −
i
d ln(WM.B. ) =
ln Ni dNi
i
X
i
Avec les contraintes
X
ln
gi
dNi = 0
Ni
(20)
P
P
dNi = 0 et i i dNi = 0 on obtient :
X gi
+ λ + λ0 i dNi = 0
ln
Ni
i
i
(21)
thermo-stat
Les statistiques
Distribution les plus probables
La distribution de Maxwell-Boltzmann est donc :
Ni = gi eα−βi
(22)
Contrairement aux distributions B.E. et F.D., on peut calculer
immédiatement
P
le terme eα en utilisant la condition de normalisation : i Ni = N. En effet :
X
X
Ni = N = e α
gi e−βi
i
i
d’où :
eα = P
i
N
gi e−βi
En posant :
Z =
X
gi e−βi
(23)
i
On obtient :
Ni
gi e−βi
=
(24)
N
Z
Z est appelée fonction de partition du système. Elle joue un rôle très
important en thermodynamique statistique car toutes les grandeurs
thermodynamiques peuvent s’exprimer en fonction de Z .
thermo-stat
Les statistiques
Entropie statistique
I
En thermo. stat. l’état d’équilibre est l’état macroscopique le plus
probable c’est-à-dire l’état pour lequel W est maximum ;
I
En thermo. classique lorsqu’un système isolé évolue de manière
irréversible son entropie ne peut que croître et son état d’équilibre
correspond à l’entropie maximale ;
I
Boltzmann a fait le lien entre entropie maximal et maximum de W en
postulant une relation : S = f (W )
S est une fonction extensive donc pour deux systèmes isolés : S = S1 + S2
et la probabilité est W1 × W2 . Pour que la relation f (S1 + S2 ) = f (W1 × W2 )
soit vérifiée il faut :
S = k ln W
(25)
où k est la constante (universelle) de Boltzmann. Cette relation est la
relation de Boltzmann.
thermo-stat
Les statistiques
Entropie statistique
I
I
I
Si W est le nombre total de complexions pour un système donné, étant
donné que chaque état microscopique est équiprobable
alors la probabilité pour qu’un état microscopique i se réalise est :
1
pi =
;
W
P
La relation de normalisation donne i pi = 1 ;
Pour un système de N particules classiques discernables le nombre de
N!
complexions est W = Q
.
i Ni !
En remplaçant cette dernière expression dans celle de l’entropie on obtient :
S
=
=
=
=
S
=
P
N!
k ln W = k ln Q
= k ln N! − i ln Ni !
N
!
i Pi
P
k N ln N − N − i N
k N ln N − i Ni ln Ni
i ln Ni − Ni =
P Ni
Ni
ln
+ ln N
k N ln N − N i
N
N
P
ln N P
k N ln N − N
p
ln
p
−
N
i
i
i i
i
N
P
−kN i pi ln pi
Entropie statistique de Gibbs
thermo-stat
Les statistiques
Relation entre β et la température
Exercice 4 :
On propose de trouver l’expression de β en utilisant la statistique M.B.
1. Ecrire l’expression statistique de l’énergie interne.
2. On fait varier de façon infinitésimale l’énergie interne. Ecrire la variation
d’énergie interne.
3. Sachant que les niveaux d’énergie i dépendent du volume mais pas de
la température, interpréter les termes de l’expression précédente.
4. En comparant la relation thermodynamique dQ = SdT à la relation
obtenue en différenciant la relation de l’entropie statistique établir
l’expression de β.
Réponses :
P
1. U = P
i Ni i
P
2. dU = i Ni di + i i dNi
3. D’après la thermo. classique : dU
P = δQ + δW . A volume constant
δW = 0 et di = 0 donc dU = i i dNi = δQ.
En conclusion, un échange d’énergie sous forme de
chaleur redistribue la population des niveaux
énergétiques tandis qu’un échange sous forme de
travail modifie les niveaux énergétiques du système
sans changer leurs populations.
thermo-stat
Les statistiques
Relation entre β et la température
4. S = k ln W avec WM.B. = N!
S
=
dS
=
=
=
Q gi Ni
i
Ni !
Q gi Ni
i
Ni ! P
k P
N ln N − N + i Ni ln gi − Ni ln Ni +
Ni
k i ln gi dN
i − ln Ni dNi − dNi + dNi
P
gi
k
dNi
i ln
Ni
k ln N!
N
gi e−βi , d’où :
Z
P
Z
dS = k i βi + ln
dNi
N
P
= k β i i dNi
P
P
Comme dQ = TdS, alors dQ = kT β i i dNi et dQ = i i dNi donc
A l’équilibre la stat. M.B. donne : Ni =
β=
1
kT
(26)
(27)
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Principe ergodique et notion d’ensembles
I
Systèmes sont constitués d’un très grand nombre de particules ;
I
Un très grand nombre d’états sont accessibles à ces particules ;
I
A chaque état microscopique correspondent des grandeurs physiques :
pression, température, énergie qui évoluent avec le temps.
I
Les grandeurs macroscopiques mesurées (pression, température,
etc. . . ) correspondent à des valeurs moyennes temporelles.
Le principe ergodique consiste à admettre que
la valeur moyenne < A >t mesurée sur un temps
suffisamment long d’une grandeur physique A est
identique à la valeur moyenne < A > mesurée
sur un ensemble. Dans ce dernier cas on parle de
moyenne d’ensembles.
I
Pour effectuer des moyennes d’ensembles on utilise la méthode des
ensembles de Gibbs.
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Principe ergodique et notion d’ensembles
Définition d’un ensemble :
Un ensemble est une collection d’un très
grand nombre N de systèmes dont chacun est
la réplique de l’état macroscopique du système étudié
et de son environnement, mais qui diffèrent par leurs
propriétés microscopiques.
Les N systèmes de l’ensemble représentent tous
les états microscopiques auxquels le système peut
accéder sous certaines conditions macroscopiques.
La valeur de la moyenne < A >t de la
grandeur physique observée A est
identique à la valeur moyenne
d’ensemble < A >.
I
Ensemble de Gibbs généralement envisagés : ensembles
microcanonique, canonique et grand-canonique.
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble microcanonique
I
I
I
I
L’ensemble microcanonique permet de décrire les propriétés
des systèmes isolés ;
Système isolé : système pour lequel on néglige les interactions avec
l’extérieur ;
A l’équilibre, les grandeurs thermodynamiques macroscopiques
internes (V , N, E) sont constantes dans le temps ;
Au niveau microscopique, ces grandeurs fluctuent autour d’une
valeur moyenne.
La physique statistique repose sur un postulat fondamental :
Tous les états microscopiques accessibles d’un système isolé à l’équilibre ont la même probabilité p.
Si W est le nombre d’états microscopiques (ou complexions) accessibles au système alors :
p=
1
W
(28)
Remarque : ce postulat a déjà été explicitement utilisé précédemment (par exemple pour établir l’expression de l’entropie statistique).
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble microcanonique
Expressions des grandeurs thermodynamiques
A partir de la thermodynamique classique
générales
P on a les expressions P
suivantes (d’après dE = δQ + δW + i µi dNi = TdS − pdV + i µi dNi ) :
1
∂S
1. température microcanonique :
=
T
∂E N,V
P
∂S
2. pression microcanonique :
=
T
∂V E,N
µ
∂S
3. potentiel chimique microcanonique :
=−
T
∂N E,V
avec S = k ln W .
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble microcanonique
Espace des phases et densité d’états
1. L’espace des phases est l’espace défini par le nombre de degré de
liberté du système.
I
Ex : Pour N particules libres l’espace des phases est constitué de 6N
variables, 3N variables de positions et 3N variables d’impulsions. C’est donc
un espace à 6N dimensions.
2. Une densité d’états est le nombre d’états compris dans
l’intervalle d’énergie [E, E + dE].
I
I
I
Soit φ(E) le nombre d’états d’énergie inférieure à E.
Soit dn(E) = φ(E + dE) − φ(E) le nombre d’états d’énergies comprises
entre E et E + dE.
dφ(E)
.
Alors la densité d’état s’écrit : ρ(E) =
dE
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble microcanonique
Exercice 5 :
On se propose d’étudier un gaz parfait classique. Ce gaz est composé de N
molécules contenues dans un volume V . Le gaz est isolé avec une énergie
E.
1. Montrer que le nombre d’états d’énergie inférieure ou égale à E est
donnée par AV N E 3N/2 où A est une constante qu’on ne déterminera
pas. En déduire le nombre d’états d’énergie E sachant que N 1.
2. Calculer l’entropie microcanonique du gaz parfait classique. En déduite
3
sa température microcanonique. Montrer que E = NkT .
2
3. Calculer la pression microcanonique. En déduire l’équation du gaz
parfait classique PV = NkT .
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble microcanonique
Réponses :
1. Nombre d’états
I
I
I
I
I
I
Le nombre de degré de liberté est 6N : chaque particule est caractérisée
par sa position et son impulsion.
La densité d’état correspond à l’intégrale :
Z
Z
Z
Z
Z
Z
φ(E) = C dp1 dp2 . . . dpn dr1 dr2 . . . drn
(29)
où C est une constante à déterminer. Elle correspond au volume total
occupé par tous les microétats.
Chaque état microscopique occupe un volume minimal. De
plus, à chaque degré de liberté on associe un volume minimal donné √
par la
relation d’Heisenberg : drdp ∼ ~. On choisit comme volume minimal h.
1
Donc le volume d’un microétat est h3N et C = 3N .
h
Le domaine d’intégration sur les ri est V donc les intégrales sur les positions
donnent naturellement V 3N .
1
(p2 + p22 + . . . + pn2 )
Le domaine d’intégration sur les impulsions est
2m 1
2
2
telles que cette expression est ≤ E. Donc p1 + p2 + . . . + pn2 est une
√
√
sphère de rayon 2mE et chaque intégrale donne 2mE. Le produit
√
3N
des intégrales sur les impulsions est donc 2mE .
Finalement :
VN
φ(E) = A 3N (2mE)3N/2
(30)
h
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble microcanonique
I
Le nombre d’états W d’énergie égale à E est le nombre d’état à la surface
de la sphère, c’est donc la dérivée de φ(E) par rapport à E :
W (E) = A
N1 3NV N
3NV N
(2m)3N/2 E 3N/2−1 ≈ A
(2m)3N/2 E 3N/2
2h3N
2h3N
(31)
2. entropie microcanonique : S = k ln W (E) = k ln V N E 3N/2 + B où B est
une constante indépendante de E et de V ; La température vaut
3N
3
∂S
T −1 =
=k
d’où l’on tire E = NkT .
∂E
2E
2
∂S
N
3. pression : P = T
= kT d’où l’on tire : PV = NkT .
∂V
V
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble canonique
I
L’ensemble canonique permet de décrire les systèmes en contact
avec un thermostat ;
I
Le thermostat maintient la température du système constante ;
I
Les grandeurs thermodynamiques internes de l’ensemble canonique
sont N, V , T ;
I
Il peut y avoir échange de chaleur entre le système et le thermostat
sans toutefois modifier significativement l’énergie du
système ;
I
On considère l’ensemble {système+thermostat} comme isolé.
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble canonique
Probabilité canonique et fonction de partition canonique
1. L’énergie totale de l’ensemble {système+thermostat} est Etot = Ei + Eth ;
2. L’ensemble étant isolé on utilise le postulat d’équiprobabilité
des microétats. La probabilité d’un état i du système est telle que
Wth (Eth = Etot − Ei )
Wtot
(32)
ln pi = ln Wth (Eth ) − ln Wtot
(33)
pi =
que l’on peut réécrire :
3. L’entropie microcanonique du thermostat s’écrit :
Sth (Eth ) = k ln Wth (Eth )
I
I
⇒
ln pi =
Sth (Eth )
− ln Wtot
k
(34)
dans la situation canonique on a : Ei Etot donc on fait un d.l. de
Sth (Eth ) autour
de Etot (Eth = Etot − Ei ) :
∂ ln Wth
Sth (Eth ) ∼ k ln Wth (Etot ) +
(Eth − Etot )
∂Eth
En utilisant l’expression de la température microcanonique
et de
l’énergie
Ei
totale précédente on obtient : Sth (Eth ) = k ln Wth (Etot ) −
kT
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble canonique
4. On trouve donc que ln pi s’écrit :
ln pi = ln Wth (Etot ) − ln Wtot −
Ei
.
kT
(35)
Ei
On obtient finalement que la probabilité est proportionnelle à e− kT de sorte
que :
Ei
pi = Ae− kT = Ae−βEi
(36)
On peut déterminer la constante en utilisant la condition de normalisation des
P
P
P −βEi −1
probabilité : i pi = A i e−βEi = 1 d’où : A =
i e
P −βEi
On appelle Z
=
la fonction de partition de
i e
l’ensemble canonique.
Physiquement, la fonction de partition représente le nombre d’états
microscopiques accessibles à la température T.
e−βEi
.
La probabilité canonique s’écrit : pi =
Z
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble canonique
Grandeurs thermodynamiques dans l’ensemble canonique
1. Entropie canonique (en utilisant l’entropie statistique) :
<E >
+ k ln Z
T
S(N, V , T ) =
(37)
2. Energie canonique :
< E >=
X
pi Ei = −
i
∂ ln Z
∂β
(38)
N,V
3. Capacité calorifique :
Cv =
∂<E >
∂T
=
N,V
1 ∂ 2 ln Z
kT 2 ∂β 2
(39)
4. Energie libre :
F =< E > −TS = −kT ln Z
(40)
5. Pression canonique :
P=−
∂F
∂V
= kT
N,T
∂ ln Z
∂V
(41)
N,T
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble canonique
6. Potentiel chimique canonique :
∂F
∂ ln Z
µ=
= −kT
∂N V ,T
∂N
V ,T
(42)
Exercice 6 : système à deux niveaux
Soit un système de N particules indépendantes et identiques. Chaque
particule a deux niveaux d’énergies possibles 1 = − et 2 = avec > 0.
On met le système en contact avec un thermostat de température T.
1. calculer la fonction de partition du système en fonction de la fonction de
partition particulaire ;
2. Calculer la fonction de partition particulaire en fonction des niveaux
d’énergie ;
3. calculer l’énergie moyenne du système de N particules. En déduire
l’énergie à basse et haute température.
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble canonique
Réponses :
1. Toutes les particules sont identiques donc on peut admettre que les
fonctions de partition particulaires sont toutes les mêmes. On la note z.
La fonction de partition du système peut alors se factoriser : Z = zN . Or
les particules sont indiscernables donc il faut éliminer les N!
zN
permutations. Finalement : Z =
.
N!
2. On utilise
la définition de la fonction de partition canonique :
P
z = i e−βEi . On a deux niveaux, donc :
z = eβ + e−β = 2 cosh (β)
(43)
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble canonique
∂ ln Z
∂β
3. On utilise la définition de l’énergie canonique : < E >= −
<E >
=
=
<E >
=
∂(N ln z − ln N!)
∂ ln z
= −N
∂β
∂β
N,V
∂ ln[2 cosh (β)]
2 sinh (β)
−N
= −N
∂β
2 cosh (β)
−N tanh (β)
N,V
−
N,V
(44)
Propriétés de tanh(x) : tanh(0) = 0, limx→±∞ tanh(x) = ±1 et
1
2 5
x + O(x 7 )
tanh(x) ∼ x − x 3 +
3
15
Donc à basse température : < E >∼ −N : toutes les particules
sont dans le niveaux de basse énergie ;
A haute température : < E >∼ 0 : les particules sont
équitablement réparties entres les deux niveaux.
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble canonique
Théorème d’équipartition
En thermodynamique, la température est définie comme une
quantité proportionnelle à l’énergie cinétique
moyenne d’une particule : E = AT .
1
I Pour chaque degré de liberté la constante A est égale à
kT . Donc à
2
3
trois dimensions : E = kT , et s’il y a N particules dans le système :
2
3
E = NkT .
2
Enoncé du théorème :
I
Si l’énergie d’une particule est une somme de termes
quadratiques des dégrés de liberté, la contribution de chaque
1
terme à son énergie moyenne est kT quelque soit la nature du
2
terme.
exemples :
I Oscillateur harmonique à 1D : < E >=
I Oscillateur harmonique à 3D : < E >=
px2
Kx 2
+
2m
p2
2
Kr 2
+
2m
2
, donc < E >= 2 ×
, donc < E >= 6 ×
1
kT = kT ;
2
1
kT = 3kT .
2
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
I
Un système en situation grand-canonique est équivalent à un système
ouvert ;
I
Le nombre de particules et l’énergie du système peuvent
varier ;
I
On admet en général que le système est en contact avec un
réservoir de particules avec qui il échange les particules ; de
plus, ce réservoir impose sa température T au système ;
I
Les grandeurs thermodynamiques internes de l’ensemble
grand-canonique sont µ, V , T ;
I
On considère l’ensemble {système+réservoir} comme isolé.
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
Probabilité et fonction de partition grand-canonique
1. On utilise le même raisonnement que dans le cas de l’ensemble
canonique. On a les contraintes suivantes :
I
I
Etot = Eres + Ei =constante
Ntot = Eres + Ni =constante
2. La probabilité pour que le système se trouve dans le microétat i est
pi = AWres (Eres , Nres ), où A est une constante. On peut réécrire pi
comme suit :
ln pi = ln A + ln Wres (Eres , Nres ) = ln A +
soit :
pi = Ae
Sres (Eres , Nres )
k
Sres (Eres , Nres )
k
(45)
(46)
3. On fait un d.l. de Sres autour de Etot et Ntot :
Sres (Eres , Nres ) ∼ Sres (Etot , Ntot ) +
∂Sres
∂Sres
(Eres − Etot ) +
(Nres − Ntot )
∂Eres
∂Nres
(47)
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
4. On utilise les relations de l’entropie et du potentiel chimique
microcanoniques ainsi que celles de Etot et Ntot :
Sres (Eres , Nres ) ∼ Sres (Etot , Ntot ) −
Ei
µNi
+
T
T
(48)
5. On introduit cette expression dans celle de pi :
pi = Ce−β(Ei −µNi )
(49)
où C est une constante à déterminer. On utilise la condition de
normalisation des probabilités :
!−1
X
X −β(E −µN )
X −β(E −µN )
i
i
i
i
pi = C
e
=1⇒C=
e
i
i
(50)
i
P −β(Ei −µNi )
On appelle Ξ =
la fonction de partition de
i e
l’ensemble grand-canonique.
e−β(Ei −µNi )
.
La probabilité grand-canonique s’écrit : pi =
Ξ
On définit une nouvelle fonction appelée grand potentiel J par :
J = −kT ln Ξ.
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
Grandeurs thermodynamiques dans l’ensemble grand-canonique
1. Nombre moyen de particules :
X
∂J
< N >=
pi Ni = −
∂µ V ,T
(51)
i
2. Energie moyenne :
X
< E > −µ < N >=
pi (Ei − µNi ) = −
i
Après quelques calculs on obtient :
∂
∂
< E >= J + β
−µ
J
∂β
∂µ
∂ ln Ξ
∂β
(52)
µ,V
(53)
3. Pression grand-canonique :
P=−
∂J
∂V
(54)
µ,T
4. Entropie grand-canonique :
S = −k
X
i
pi ln pi = −
∂J
∂T
(55)
µ,V
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
Exercice 7 : gaz parfait dans l’ensemble grand-canonique
On considère un G.P. classique de volume V en contact avec un réservoir de
chaleur et de particules à la température T et de potentiel chimique µ.
1. Montrer que l’on peut mettre la fonction de partition grand-canonique
sous la forme Ξ = K Z(N, V , T ) où Z(N, V , T ) est la fonction de
partition canonique et K un terme dont on donnera l’expression ;
2. Donner l’expression de la fonction de partition Z(N, V , T ). En déduire
que Ξ peut se mettre sous la forme exp(λz) où z est la fonction de
partition particulaire canonique que l’on calculera et λ un terme à
déterminer ; λ est appelé fugacité ;
3. Calculer le nombre moyen de particules < N > en fonction de z et λ
ainsi que l’énergie moyenne < E > du gaz ; Le résultat pour < E >
était-il prévisible ?
4. Montrer que l’on retrouve l’expression de l’équation d’état des gaz
parfaits.
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
Réponses :
1. On reprend l’expression de Ξ :
X −β(E −µN ) X βµN −βE
i
i
i
i
Ξ=
e
=
e
e
i
(56)
i
La somme sur les états microscopiques i peut être réalisées de la façon
suivante : on fait d’abord une somme sur tous les états i d’énergie Ei
ayant Ni = N fixé, puis on effectue la somme sur N. L’expression devient
alors :
∞
∞
X
X −βE X
i
Ξ=
e
eβµN = Z(N, V , T )
eβµN
(57)
i
N
N
2. Pour un gaz parfait de particules indiscernables on a : Z =
Ξ=
∞
X
∞
e
βµN
N
avec λ = exp(βµ).
X zeβµ
zN
=
N!
N!
N
N
=
zN
, donc :
N!
∞
X
(λz)N
= exp (λz)
N!
N
(58)
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
Reste à calculer l’expression de z. Pour un gaz parfait classique (donc sans
interaction) contenu dans un volume V à la température T la fonction de
partition particulaire canonique s’écrit :
R
1 R
p2
z =
dr dp exp −β 2m
V
3
h
R
R +∞
py2
V R +∞
px2
p2
+∞
dp
exp
−β
=
dp
exp
−β
dpz exp −β 2mz
x
y
2m
2m
−∞
−∞
−∞
3
h
ce qui donne en utilisant les intégrales de Gauss :
z=
V
h3
2πm
β
3
2
=
3
V
(2πmkT ) 2
3
h
3. Le nombre moyen de particule est donné par :
1 ∂Ξ
1 ∂λz
< N >=
=
β ∂µ
β ∂µ
On obtient finalement : < N >= λz.
(59)
(60)
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
L’énergie moyenne se calcule avec la formule : < E > −µ < N >= −
soit : < E > −µ < N >= −
<E >
=
=
=
=
∂λz
. Et on trouve :
∂β
∂z
∂λ
−z
∂β
β
3
5
3
V
µλz − λ 3 (2πm) 2 − β − 2 − zµeβµ
h
2
3
3 V 2πm 2 1
3λz
λ
=
2 h3
β
β
2β
3
< N > kT
2
µ < N > −λ
Le résultat était prévisible d’après le théorème d’équipartition.
∂ ln Ξ
,
∂β
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
4. Pour retrouver l’équation des gaz parfaits on calcule la pression
grand-canonique :
P
∂ ln Ξ
∂z
= kT λ
∂V
∂V
=
kT
=
kT λ
z
kT
=< N >
V
V
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
Statistiques dans l’ensemble grand-canonique
On doit prendre en compte dans les statistiques le fait que le nombre de
particules est variable mais que le potentiel chimique du système est fixé. On
procède somme suit.
I
On considère un système de particules identiques,
indépendantes et indiscernables.
I
Les contraintes sont les suivantes :
X
Ei =
nk k
(61)
k
Ni =
X
nk
(62)
k
En effet, un état microscopique i peut être caractérisé par les nombres
de particules qui se trouvent dans chacun de ces états individuels. Si k
est un état individuel, il a l’énergie k et est occupé par nk particules.
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
I
On réécrit la fonction de partition grand-canonique Ξ =
comme :
X −β P n ( −µ)
k k k
Ξ=
e
eβ(Ei −µNi )
P
i
(63)
nk
I
On factorise la fonction de partition : Ξ =
I
On distingue alors deux cas :
Q
k
zk , où zk =
P
nk
e−βnk (k −µ)
(a) Cas des bosons : nk = 0, 1, 2, . . . , ∞ :
zB.E.
=
k
+∞
X
1
1 − e−β(k −µ)
(64)
e−βnk (k −µ) = 1 + e−β(k −µ)
(65)
e−βnk (k −µ) =
nk =0
(b) Cas des fermions : nk = 0, 1 :
zFk .D. =
1
X
nk =0
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
Le nombre moyen de particules < nk > de l’état d’énergie k se calcule de la
manière suivante :
P
∂J
<N> =
<
n
>=
−
k
k
∂µ V ,T
(66)
P ∂ ln zk
∂ P
= kT
k ln zk = kT
k
∂µ
∂µ
On en déduit que :
< nk >= kT
∂ ln zk
∂µ
(67)
En utilisant les expressions de zk ci-dessus on obtient :
(a) pour la statistique B.E. :
< nkB.E. >=
1
eβ(k −µ) − 1
(68)
< nkF .D. >=
1
eβ(k −µ) + 1
(69)
(b) pour la statistique F.D. :
thermo-stat
Les ensembles statistiques
Ensemble grand-canonique
Remarques finales :
I
Les statistiques B.E. et F.D. dans l’ensemble grand-canonique sont très
utilisées pour l’étude des systèmes quantiques :
I
I
I
I
gaz parfait quantique (de fermions ou de bosons) ;
électrons dans les solides et semi-conducteurs (niveau de Fermi dans le
solide, etc. . . ) ;
Condensat de Bose, vibrations dans les solides (phonons, modèles
d’Einstein et de Debye), rayonnement du corps noir.
Les statistiques F.D. et B.E. convergent toutes les deux vers la
statistique M.B. dans l’ensemble grand canonique à haute température
ou lorsque le nombre de particules est petit (systèmes dilués) :
< nkB.E. >∼< nkF .D. >∼ < nkM.B. >= e−β(k −µ)
(70)
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Introduction
I
Dans l’expression des fonctions thermodynamiques on rencontre
systématiquement la fonction de partition (par exemple Z dans
l’ensemble canonique) ;
I
On peut définir une fonction de partition pour chaque type de
mouvement ;
I
Si on admet l’indépendance des mouvements,
c’est-à-dire l’absence de couplage entre mouvements, alors
on a :
= tr + rot + vib + elec + nuc + . . .
(71)
et pour la dégénérescence :
g = gtr grot gvib gelec gnuc . . .
I
(72)
La fonction de partition peut alors se factoriser (on fait ici une somme sur les états gi fois
):
P
P
−βi
Z =
= i gi,tr gi,rot gi,vib gi,elec gi,nuc e−β(i,tr +i,rot +i,vib +i,elec +i,nuc )
i gi e
= Ztr Zrot Zvib Zelec Znuc
= Ztr Zint
(73)
dégénérés
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les différents mouvements et fonction de partition associée
Contribution translationnelle
I
Le calcul de ztr s’effectue en résolvant l’équation de Schrödinger pour
une particule dans une boîte quantique 3D. Le potentiel est nul à
l’intérieur et infini à l’extérieur de la boîte.
I
On obtient alors pour les niveaux de translation :
tr = (nx2 + ny2 + nz2 )
I
h2
(74)
2
8mV 3
Pour la fonction de partition on a :
Ztr =
+∞
X
2 θrot
T
e−nx
nx =0
où on a posé : θtr =
translation.
+∞
X
ny =0
h2
2
8mkV 3
2 θrot
T
e−ny
+∞
X
2 θrot
T
e−nz
(75)
nz =0
la température caractéristique de
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les différents mouvements et fonction de partition associée
I
Les niveaux de translation sont très proches les uns des autres, on
passe à une intégale continue. Finalement :
3
T π
V
V
Ztr =
(76)
= 3 (2πmkT ) 2 = 3
4 θtr
h
Λ
1
2
avec Λ = 2πm
la longueur d’onde thermique de de
βh
Broglie.
Remarques :
1. Généralement la température caractéristique de translation θtr est très
petite devant la température à laquelle le gaz est étudié. Par exemple,
pour H2 occupant un volume de 100 Å3 la température caractéristique
de translation vaut 10−16 K.
2. La longueur d’onde thermique de de Broglie correspond à l’extension
spatiale du paquet d’ondes représentant la particule.
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les différents mouvements et fonction de partition associée
Exercice 8 : La fonction de partition est calculée à partir des différentes
fonctions de partition particulaires en utilisant la factorisation présentée plus
haut. Montrer que dans le cas du gaz parfait constitué de particules
1
identiques indiscernables un terme supplémentaire ( eN ) doit être pris en
compte dans dans l’expression de ln Z de la fonction de partition (ce terme
est généralement ajouté dans la fonction de partition translationnelle).
Réponses : La fonction de partition du gaz parfait s’écrit :
Z=
zN
N!
(77)
Etant donné que Z est factorisable (cas des particules indépendantes), on
peut également factoriser la fonction de partition particulaire :
z = ztr zrot zvib zelec znuc . On a alors :
Z=
(ztr zrot zvib zelec znuc )N
zN
= tr (zrot zvib zelec znuc )N
N!
N!
ln Ztr = N ln ztr − N ln N + N = N ln ztr − N ln N + N ln e1 = N ln
(78)
ztr e1
N
(79)
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les différents mouvements et fonction de partition associée
Contribution rotationnelle
I
La résolution de l’équation de Schrödinger pour le rotateur rigide donne
l’expression suivante pour l’énergie de rotation :
rot = J(J + 1)
I
h2
8π 2 I
(80)
où I = µr 2 est le moment d’inertie de la particule. Les niveaux sont
dégénérés 2J + 1 fois ;
Pour le calcul de la fonction de partition particulaire de rotation on
distingue deux cas :
1. Cas d’une molécule diatomique
2
> On pose au préalable : θrot = h2 la température caractéristique de
8π kI
rotation
> L’énergie de rotation devient : rot = J(J + 1)k θrot
> Le calcul de la fonction de partition particulaire de rotation donne :
zrot =
X
i
grot,i e
θrot
T
=
+∞
θ
X
−J(J+1) rot
T
(2J + 1)e
J=0
Remarque : à basse température le calcul de zrot s’effectue directement avec cette série. Elle converge
cependant très vite (3 à 4 termes sont suffisants). A température élevée on a : zrot ∼ T et pour les
θrot
T .
molécules diatomiques homonucléaires zrot ∼
2θrot
(81)
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les différents mouvements et fonction de partition associée
2. Cas d’une molécule polyatomique
> Il faut définir jusqu’à trois moments d’inertie IX , IY et IZ et trois
températures caractéristiques de rotation :
θrot,Γ =
h2
8π 2 kIΓ
avec Γ = X , Y , Z
(82)
> Pour ce type de molécule on ne connait l’expression exacte de Zrot que dans le
cas où θrot,Γ T . Alors :
p 1
T
pi
T
T
2
(83)
zrot =
σ
θrot,X θrot,Y θrot,Z
σ est le nombre de symétrie qui dépend de la forme de la molécule. Il vaut
2 pour un axe binaire (ex. H2 O), 3 pour un axe ternaire (ex. NH3 ),
12 pour 4 axes ternaires (ex. CH4 ), 12 également pour 6 axes binaires (ex.
C6 H6 ), etc. . .
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les différents mouvements et fonction de partition associée
Contribution vibrationnelle
I
La résolution de l’équation de Schrödinger pour l’oscillateur harmonique
quantique conduit, entre autre, à la détermination de l’énergie,
quantifiée, des niveaux vibrationnels :
vib = (v +
h
k 2π
q
I
=
On pose : θvib = hν
k
de vibration ;
I
D’où la fonction de partition de vibration :
zvib =
X
k
µ
1
)hν
2
la température caractéristique
1 θvib
T
e−(v + 2 )
(84)
= e−
θvib
2T
1 − e−
θvib
T
−1
(85)
i
Remarques :
1. Il y a autant de fonctions de partition de vibration qu’il y a de modes normaux de vibration. Pour une molécule quelconque à N

θvib,k −1
θ
Q3N−6 − vib
−

2T 1 − e
T
atomes on a : zvib =
e
k =1
θ
− vib
2T
2. Lorsque T θvib , zvib ∼ T ; Lorsque T θvib , zvib ∼ e
θvib
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les différents mouvements et fonction de partition associée
Contribution électronique dans le cas des molécules
I
L’énergie électronique s’écrit simplement : elec = hν ;
I
Il faut faire attention à l’origine de l’énergie que
l’on prend : soit le fond du puit de potentiel noté De , soit
le premier niveau vibrationnel noté D0 ;
1
1
De =D0 + hνvib = D0 + k θvib
2
2
En général, les électrons sont tous dans l’état fondamental. C’est le cas
aux températures habituelles ;
I
I
La fonction de partition particulaire électronique s’écrit donc :
zelec = g0 e−βDe
(86)
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les différents mouvements et fonction de partition associée
Contribution nucléaire dans le cas des molécules
I
Aux températures habituelles seul le niveau fondamental du noyau est
occupé. Les états excités sont peuplés uniquement lors de la fusion
nucléaire ;
I
Dès lors, on considérera systématiquement que :
znuc = 1
(87)
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les différents mouvements et fonction de partition associée
Exercice 9 : Calculer à 298 K l’énergie interne de la molécule N2 . On fera les
approximations nécessaires en fonction de T . On donne : θrot = 2, 9 K ,
θvib = 2240 K et D0 = 9, 76 eV .
Réponses :
I
L’énergie
s’écrit :
interne
∂ ln Z
U=−
= Utr + Urot + Uvib + Uelec + Unuc ;
∂β
N,V
I
La contribution nucléaire est nulle ;
I
Pour la translation, compte-tenu du principe d’équipartition on
a immédiatement : Utr = 23 NkT ;
I
Pour la rotation, on a T θrot , donc : zrot =
T
θrot
=
θvib
− 2T
1
k βθrot
et Utr = NkT ;
= e−
k βθvib
2
I
pour la vibration, on a T θvib , donc : zvib = e
Uvib = 12 Nk θvib ;
I
Pour l’électronique, on a : zelec = e−βDe , soit : Uelec = −NDe
et
U = 52 RT + 12 Rθvib −NA (D0 + 21 k θvib ) = 6, 2+13, 9−955, 6 =-935,5 kJ mol−1 .
thermo-stat
Calcul des contributions à la fonction de partition dans le cas du gaz parfait
Rappel de quelques résultats de la mécanique quantique pour les différents mouvements et fonction de partition associée
C ONCLUSION
Quelle est l’utilité de la thermodynamique statistique ?
1. Elle permet de retrouver toutes les lois de la thermodynamique
classique ;
2. Elle permet d’affiner certains modèles :
I
I
capacité thermique des solides (modèles d’Einstein/de Debye
versus Dulong-Petit) ;
rayonnement du corps noir (modèle de Planck versus
Rayleigh-Jeans) ;
3. Elle donne un fondement théorique à certaines notions :
I
I
travail et chaleur
entropie
4. Elle permet d’appréhender d’autres propriétés :
I
I
I
Electrons dans les métaux et semi-conducteurs, niveau de
Fermi ;
gaz de photon ;
transport électronique dans les matériaux ;
5. Elle pose les fondements de la simulation numérique :
I
I
Simulations de dynamique moléculaire
Simulations Monte Carlo