Mécanique Quantique I

Université de Gabès
Faculté des Sciences de Gabès
Département de Physique
Cours
Troisième année LFPh
Mécanique Quantique I
Partie 1
Kamel Khirouni
Noureddine Bouguila
Année universitaire 2015-2016
2
Table des matières
1
Formalisme de la mécanique quantique
5
1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Particules quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.2
Particule classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.3
Particule quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Description quantique d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.1
Dualité onde-corpuscule : principe de complémentarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.2
Paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.3
Principe 1 : Aspect probabiliste de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.4
Principe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.5
Principe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Description quantique d’une particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
1.4
1.5
2
1.4.1
Nécessité d’un paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.2
Exemple de paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4.3
Relation d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Particule dans un potentiel scalaire indépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Outils mathématiques de la mécanique quantique
17
2.1
Espace des fonctions de carré sommable E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
Base orthonormée complète de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.1
Base discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.2
Base continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2.3
Exemples de bases continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2.4
Ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2.5
Deuxième exemple de base continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Espaces des états et notations de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3.2
Notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3.3
Opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.4
Propriétés des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3.5
Elément de matrice d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3
3
4
TABLE DES MATIÈRES
2.4
2.5
2.6
3
2.3.6
Opérateur particulier : projecteur sur un état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3.7
Relations caractéristiques d’une base orthonormée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3.8
Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.3.9
Opérateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.10 Opérateur hermétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.11 Représentation matricielle de l’adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Equations aux valeurs propres et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.4.1
Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.4.2
Recherche des valeurs propres et des kets propres d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4.3
Opérateur observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Ensemble d’observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.5.1
Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.5.2
2.5.3
Deuxième théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Troisième théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
36
2.5.4
Ensemble d’observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.6.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.6.2
Opérateur unitaire et changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.6.3
Matrice unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.6.4
Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.6.5
Transformation unitaire sur les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.6.6
Transformation unitaire infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Les postulats de la mécanique quantique
41
3.1
Postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.1.1
P1 : Vecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.1.2
P2 : Opérateur représentant une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.1.3
P3 : Mesure d’une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.1.4
Etat après la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.1.5
P6- Evolution des systèmes dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.1.6 Principe de correspondance et justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conséquence physique des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
47
3.2.1
Quantification de certaines grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.2.2
Valeur moyenne d’une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.2.3
Compatibilité des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.3
Evolution dans le temps de l’état d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.4
Cas des systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.4.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.4.2
Résolution de l’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.4.3
Etats stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.4.4
Constante du mouvement
54
3.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 1
Formalisme de la mécanique quantique
1.1
Introduction
La physique élaborée jusqu’au dix-neuvième siècle est nommée physique classique. Elle se basait sur deux disciplines fondamentales :
– la mécanique newtonienne débutée par Galilée et mise au point par Newton.
– la théorie électromagnétique mise au point par Maxwell.
La mécanique newtonienne élargie par la mécanique statistique et la thermodynamique (mise au point par Boltzmann) permet avec la théorie de Maxwell de résoudre les phénomènes mécaniques, électriques, de rayonnement,
d’optique, ...
A la fin du dix-neuvième siècle certains scientifiques avaient l’impression que la physique constituait un édifice
achevée et inébranlable. On savait aussi qu’il reste quelques points obscurs qu’on espérait résoudre rapidement.
Parmi ces problèmes, on note l’émission du corps noir, l’instabilité de l’atome, l’émission atomique, ...
En effet, ces problèmes n’ont pas tardé à trouver leurs solutions mais les événements ne sont pas déroulés comme
on l’espérait. Il a fallu mettre en cause certaines théories pour résoudre certains problèmes. Autrement dit , un
monde s’écroulait et un autre allait naître.
Les pionniers de la nouvelle physique (Planck, De Broglie, Einstein, Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Pauli,
. . .) se trouvaient manier des concepts et des raisonnements différents de ceux de la physique classique. Ils étaient
devant des phénomènes microscopiques où l’expérience est devancée par la théorie. On manipule des entités qui
se comportent comme une onde le matin et comme une particule le soir.
1.2
1.2.1
Particules quantiques
Introduction
Les interprétations des phénomènes de la physique classique reposent sur un postulat fondamental indiquant que
toutes les grandeurs physiques qui caractérisent l’état d’un système sont mesurables, en principe avec une
précision aussi grande que l’on veut et que l’évolution du système obéît à un déterminisme rigoureux.
Ce postulat est bouleversé si on a affaire à un système microscopique. On ne peut plus négliger la perturbation
introduite par l’instrument de mesure sur le système. Les incertitudes de mesure sont parfois supérieures aux
valeurs des mesures. On ne peut plus alors décrire l’état dynamique de tel système par la position et la vitesse et la
notion de trajectoire perdra ainsi sa signification fondamentale.
5
6
CHAPITRE 1. FORMALISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Une autre manière de décrire l’état dynamique consiste à étudier le comportement d’un grand nombre de particules
identiques et de faire une étude statistique. L’évolution du système sera gouvernée par des lois de probabilité. Il ne
s’agit plus d’une étude déterministe.
Le formalisme de la mécanique quantique établit une description mathématique des états et des varibales dynamiques. On s’attend de ce formalisme des probabilités d’obtention de telles valeurs et non pas une prédiction
précise. On va décrire la particule par une fonction d’onde (qui permet de définir une probabilité de présence). Elle
remplace les notions de position et de vitesse.
1.2.2
Particule classique
En physique classique, on manipule deux types d’entités, la corpuscule et l’onde. Nous allons décrire le comportement de ces entités dans l’expérience de Young.
Considérons le dispositif de trous de Young de la figure 1.2.
F IGURE 1.1 – Dispositif des trous de Young avec une source de particules classiques.
Dans le cas où la source S émet des particules classiques (des billes) , la répartition sur l’écran est formée par deux
tâches I1 et I2 autour de x1 et x2 . Si on ferme l’une des trous la tâche correspondante disparaît. Si I1 et I2 sont les
fonctions de répartition des billes si T1 et T2 est seul ouvert respectivement, la fonction de répartition lorsque les
deux trous sont ouverts est I = I1 + I2 .
F IGURE 1.2 – Dispositif des trous de Young avec une source lumineuse.
1.3. DESCRIPTION QUANTIQUE D’UNE PARTICULE
7
Si la source émet maintenant des ondes électromagnétiques, on sait que lorsque seul T1 est ouvert, on obtient
l’intensité I1 , lorsque T2 est ouvert on obtient I2 . Par contre, lorsque T1 et T2 sont ouverts, on obtient I 6= I1 + I2 et
on dit qu’il y a un phénomène d’interférences.
1.2.3
Particule quantique
Si la source émet des particules quantiques (des électrons), on constate que la répartition sur l’écran est analogue
à celle obtenue avec des ondes même si on réduit l’intensité d’émission de la source de telle façon qu’elle émette
particule par particule.
Avec cette expérience et d’autres (effet photoélectrique, . . . ) on conclut que les particules quantiques possèdent
à la fois un caractère ondulatoire et un caractère corpusculaire. La mécanique quantique unifie les notions d’onde
→
−
et de corpuscule et établit un lien entre l’energie E et l’impulsion P d’une part et la fréquennce ν et le vecteur
→
−
d’onde k d’autre part :
E = hν
→
−
→
−
P =~k
1.3
1.3.1
Description quantique d’une particule
Dualité onde-corpuscule : principe de complémentarité
De ce qui précède, on conclut que les particules quantiques (notamment la lumière), possède à la fois un caractère
ondulatoire et un caractère corpusculaire. Cette dualité onde-corpuscule est appelée principe de complémentarité
de Bohr.
1.3.2
Paquet d’ondes
La description de la particule par une onde plane laisse penser que celle-ci est étendue sur tout l’espace. Or en
réalité, comme il apparaît dans l’expérience d’effet photoélectrique, elle est localisée dans une région de l’espace.
Par ailleurs, on sait que si on superpose deux ondes possédant de fréquences et de vecteurs d’onde légèrement
différents, on obtient une localisation. En effet
ψ1 (x,t) = A cos(kx − ωt)
ψ2 (x,t) = A cos((k + dk)x − (ω + dω)t)
On obtient
ψ = ψ1 + ψ2
dk
dω
dk
dω
= 2A cos( x −
t)cos((k + )x − (ω +
)t)
2
2
2
2
dk
dω
dk
dω
Comme k +
' k et ω +
' ω, le facteur cos((k + )x − (ω +
)t) est une onde plane du type ψ1 dont la
2
2
2
2
vitesse de phase est v p qui se déduit de la relation
kx − ωt = cte =⇒ kdx − ωdt = 0 =⇒ v p =
∂x ω
=
∂t
k
8
CHAPITRE 1. FORMALISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
F IGURE 1.3 – Superposition de deux ondes faisant apparaître un phénomène de battement
dk
dω
Par contre le facteur cos( x −
t) a pour effet de moduler l’amplitude de l’onde ψ1 . L’enveloppe de modulation
2
2
se déplace à la vitesse de groupe donnée par
dω
dk
x−
t = cte
2
2
dk
dω
dx −
dt = 0
2
2
∂x
vg =
∂t
∂ω
=
∂k
Lorsqu’on superpose des ondes de plusieurs fréquences, l’enveloppe de modulation n’est non nulle que dans une
région de l’espace comme le montre la figure 1.4.
Une particule quantique peut être donc décrite par une superposition d’ondes appelée paquet d’ondes qui met en
évidence à la fois le caractère ondulatoire et le caractère corpusculaire. Cependant, comme le paquet d’onde est
une superposition d’ondes planes, l’élément de base de la description de la particule est l’onde plane appelée en
mécanique quantique fonction d’onde. Elle est de type
− →
−r ,t) = A exp j(→
ψ(→
k 0 · −r − ωt)
0
Cette fonction satisfait aux principes suivants :
1.3.3
Principe 1 : Aspect probabiliste de la fonction d’onde
−r ,t) qui a un aspect probabiliste tel que |ψ(→
−r ,t)|2 d 3 →
−r
Une particule est décrite par une fonction d’onde ψ(→
→
−
3
représente la probabilité de présence de la particule à l’instant t dans le volume d r entourant le point M de
−r .
vecteur position →
−r ,t) = |ψ(→
−r ,t)|2 d 3 →
−r
d P (→
(1.1)
1.4. DESCRIPTION QUANTIQUE D’UNE PARTICULE LIBRE
9
F IGURE 1.4 – Superposition de plusieurs ondes faisant apparaître un paquet d’ondes
−r ,t)|2 est la densité de probabilité de présence.
|ψ(→
Comme la particule existe quelque part dans l’espace à un instant donné, la somme de toutes les probabilités doit
être égale à l’unité.
ZZZ
−r ,t) =
d√(→
ZZZ
espace
−r ,t)|2 d 3 →
−r
|ψ(→
(1.2)
espace
=1
La relation (1.2) est appelée condition de normalisation.
1.3.4
Principe 2
Toute superposition de fonctions d’onde est une fonction d’onde.
1.3.5
Principe 3
Pour des particules soumises à un champ de forces dérivant d’une énergie potentielle V , la fonction d’onde obéit à
l’équation de Schrödinger
~2
∂ψ
j~
= (− ∆ +V )ψ
(1.3)
∂t
2m
La quantité −
1.4
1.4.1
~2
∆ +V est appelée hamiltonien noté H.
2m
Description quantique d’une particule libre
Nécessité d’un paquet d’onde
10
CHAPITRE 1. FORMALISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
∂ψ
~2
= − ∆ψ et on peut chercher une solution de la forme
∂t
2m
→
−
−r ,t) = A exp j( k · →
−r − ωt)
ψ(→
Si le potentiel V est nul la fonction d’onde satisfait j~
Une telle solution n’est acceptable que si
~k2
2m
E = ~ω
ω=
~2 k 2
2m
p2
=
2m
=
Ainsi on retrouve que l’énergie cinétique d’une particule libre est égale à l’énergie totale.
−r ,t)|2 = A2 . On conclut qu’on a une répartition uniforme de la probabilité. Ceci
La densité de probabilité est |ψ(→
est contradictoire au principe de localisation. Nous avons vu qu’on peut soulever cette contradiction en utilisant
la notion de paquet d’ondes. Considérons alors que A est une fonction g(k) et que la fonction d’onde est une
combinaison linéaire d’ondes planes.
ZZ
→
−
−r ,t) =
ψ(→
g(k) exp j(kx − ω(k)t)d 3 k
espace des k
La fonction g(k) caractérise la largeur spectrale, c’est-à-dire la variation du vecteur d’onde autour de k0 . Elle
désigne le poids attaché à l’onde plane de pulsation ω. On peut l’écrire sous la forme
g(k) = |g(k)| exp(− jϕk )
Ainsi
−r ,t) =
ψ(→
ZZZ
espace des k
→
−
→
− −
→
−
|g( k )| exp j( k · →
r − ω(k)t − ϕk )d 3 k
→
− −
→
−
La quantité φ = ( k · →
r − ω(k)t − φk ) est la phase stationnaire. Une phase rapidement variable devant |g( k )|
→
−
entraîne une fonction d’onde nulle. Pour qu’il ne soit pas ainsi il faut que φ varie lentement devant |g( k )|. En
d’autres termes, il faut que
∂φ
=0
∂k (k=k0 )
Or
∂ω
∂ϕk
∂φ
= r−
t−
∂k
∂k
∂k
=0
D’où
r=
∂ω
∂ϕk
t−
∂k
∂k
La vitesse de groupe est
∂r
∂t
∂ω
=
(k = k0 )
∂k
vg =
La vitesse de groupe est la vitesse de déplacement du sommet du paquet d’onde, elle correspond à la vitesse de
déplacement de la particule.
1.4. DESCRIPTION QUANTIQUE D’UNE PARTICULE LIBRE
11
F IGURE 1.5 – Illustration de la vitesse de groupe.
1.4.2
Exemple de paquet d’ondes
Considérons un système à une dimension décrit par la fonction d’onde
Z +∞
ψ(x,t) =
g(k) exp j(kx − ωt)dk
−∞
avec
(
g(k) =
∆k
A si k ∈ [k0 − ∆k
2 , k0 + 2 ]
0 ailleurs
Il en résulte que
1
ψ(x,t) = √
2π
Z k0 + ∆k
2
k0 − ∆k
2
g(k) exp j(kx − ω(k)t)dk
or
∂ω
ω(k) = ω(k0 ) +
| {z } ∂k
ω0
(k − k0 )
k0
ωt − kx = ω0t + vgt(k − k0 ) − kx
= (ω0t − k0 x) + (vgt − x)(k − k0 )
et par suite
A
ψ(x,t) = √ exp j(k0 x − ω0t)
2π
Z k0 + ∆k
2
k0 − ∆k
2
exp − j(x − vgt)(k − k0 )dk
sin (vgt − x) ∆k
A
2
= √ ∆k exp j(k0 x − ω0t)
(vgt − x) ∆k
2π
2
où exp j(k0 x − ω0t) est le terme de propagation.
et
sin(vgt − x) ∆k
2
(vgt − x) ∆k
2
A l’instant t = 0,
est le terme d’amplitude.
sin x∆k
A
2
ψ(x, 0) = √ ∆k x∆k exp( jk0 x)
2π
2
La densité de probabilité de trouver la particule au point x à t = 0 est
12
CHAPITRE 1. FORMALISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
F IGURE 1.6 – Paquet rectangulaire et fonction d’onde correspondante coincidant avec la fonction sinus cardinal.
P(x, 0) = |ψ(x, 0)|2
A2
=
(∆k)2
2π
sin
x∆k !2
2
x∆k
2
F IGURE 1.7 – Carré de la fonction sinus cardinal et approximation pour calculer son intégrale.
En s’appuyant sur la représentation graphique de la figure 1.7, on peut estimer la valeur de l’intégrale de normalisation :
!2
Z +∞
Z +∞
sin x∆k
A2
2
2
2
|ψ(x, 0)| dx =
(∆k)
dx
x∆k
2π
−∞
−∞
2
2π
∆k
z
'
A2
2π
(∆k)2
' A2 ∆k
=1
Z + 2π
∆k
2π
− ∆k
}|
sin x∆k
2
x∆k
2
!2
{
dx
1.4. DESCRIPTION QUANTIQUE D’UNE PARTICULE LIBRE
13
D’où
1
A= √
∆k
Remarque : Pour calculer l’intégrale de normalisation, nous avons d’abord limité l’intégration à la tâche centrale.
4π
Puis, nous avons assimiler la tâche centrale à un triangle de hauteur 1 et de largeur de base
(voir figure 1.7).
∆k
1.4.3
Relation d’incertitude de Heisenberg
On a
2π
∆k
∆x∆k = 2π > 1
∆px
∆x
>1
~
∆x =
∆x∆px ' ~
Plus la précision est grande sur la détermination de x moins elle l’est sur px et inversement.
En d’autres termes, plus le paquet d’onde est étalé dans l’espace des k (impulsions), plus la fonction d’onde est
localisée dans l’espace des positions et inversement (voir figure 1.8).
F IGURE 1.8 – Etalement de la fonction d’onde en fonction de la largeur du paquet d’onde.
14
CHAPITRE 1. FORMALISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Par ailleurs
p
g(k) = g( )
~
= ϕ(p)
1
ψ(x, 0) = √
2π~
Z +∞
ϕ(p)e
jxp
~
dp
−∞
La TDF de ψ(x, 0) fournit la fonction de distribution ϕ(p).
1
ϕ(p, 0) = √
2π~
Z +∞
ψ(x, 0)e
− jxp
~
dx
−∞
ψ(x, 0) est la fonction d’onde dans la représentation de la coordonnée x.
ϕ(k, 0) est la fonction d’onde dans la représentation de la quantité de mouvement p = ~k.
Comme l’étendue du paquet d’ondes est limitée, il n’a qu’une durée de vie ∆t pour un observateur fixe : pour lui,
il ne regarde passer le paquet d’ondes que pendant l’intervalle.
∆x
vg
1 2π
=
vg ∆k
∆t =
Comme vg '
∆ω
, il vient que
∆k
∆t∆ω = 2π
≥1
et on a
∆E∆t ≥ ~
1.5
Particule dans un potentiel scalaire indépendant du temps
La fonction d’onde vérifie l’équation de Schrödinger
j~
∂ψ
~2
= − ∆ψ +V ψ
∂t
2m
−r ). On a
dont on cherche une solution de la forme ψ = χ(t)ϕ(→
∂χ
~2
= − χ∆ϕ + χV φ
∂t
2m
.
χ
~2 ∆ϕ
j~ = −
+V ϕ
χ
2m ϕ
j~ϕ(r)
1.5. PARTICULE DANS UN POTENTIEL SCALAIRE INDÉPENDANT DU TEMPS
15
Cette équation est vraie quelque soit t et r. Elle n’est possible que si chaque membre est constant. On pose
dχ 1
=E
dt χ
dχ
j~
= Edt =⇒
χ
j~
Et
χ(t) = e− j ~
~2
∆ϕ +V ϕ = Eϕ
2m
−r ) appelée solution stationnaire de l’équation de Schrödonger.
Selon l’expression de V on obtient une solution ϕ(→
La fonction d’onde globale est
−r ,t) = ϕ(→
−r )e− j Et~
ψ(→
−
La densité de probabilité est
−r ,t)|2 = |ϕ(→
−r )|2
|ψ(→
∀t
Donc le système ne varie pas au cours du temps ; c’est un état stationnaire.
16
CHAPITRE 1. FORMALISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Chapitre 2
Outils mathématiques de la mécanique
quantique
Entre 1923 et 1927 deux formalismes équivalents de la mécanique quantique ont été élaborés simultanément :
♠ Formulation ondulatoire conduite par Schrödinger et basée sur les travaux de Louis de Broglie.
♠ Formulation matricielle due à Heisenberg, Born et Jordan.
Vers 1927 Dirac montre que ces deux formalismes sont des représentations particulières de l’algèbre des opérateurs
linéaires dans un espace vectoriel abstrait celui des vecteurs d’état. Les fondements mathématiques de cette théorie
ont été élaborés par Hilbert et Neuman.
La formulation générale des vecteurs d’état de l’espace de Hilbert permet d’étudier de façon élégante et avec des
notations simples et comporte n’importe quel système quantique.
2.1
Espace des fonctions de carré sommable E
Z
−r )k2 d 3 →
−r converge. On dit qu’elle
kψ(→
La fonction d’onde solution de l’équation de Schrödinger est tel que
espace
doit être de carré sommable.
Soit E l’espace des fonctions de carré sommable. On se place dans le cas ou l’espace est à une dimension. On a les
propriétés suivantes :
♠
Si ψ(x) ∈ E alors λψ(x) ∈ E
♠
Si ψ1 (x) ∈ E et ψ2 (x) ∈ E alors ψ1 (x) + ψ2 (x) ∈ E
Démonstration :
Z +∞
−∞
kψ1 (x) + ψ2 (x)k2 dx =
Z +∞
−∞
kψ1 (x)k2 dx +
Z +∞
+
−∞
Comme d’après l’inégalité de Schwartz,
Z +∞
Z +∞
1 Z
2
2
ψ1 (x)ψ2 (x)dx <
|ψ1 (x)|dx ×
−∞
−∞
+∞
−∞
On a ψ1 (x) + ψ2 (x) de carré sommable, donc appartient à E.
17
−∞
kψ2 (x)k2 dx
ψ?1 (x)ψ2 (x)dx +
|ψ22 (x)|dx
On conclut que E est un espace vectoriel.
Z +∞
1
2
Z +∞
−∞
ψ1 (x)ψ?2 (x)dx
18
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
On peut définir un produit scalaire sur E par
(φ, ψ) = hφ|ψi
Z +∞
=
φ? (x)ψ(x)dx
−∞
Tel qu’il est défini, ce produit scalaire vérifie :
♣ hφ|ψi = hψ|φi?
♣ hλ1 φ1 + λ2 φ2 |ψi = λ?1 hφ1 |ψi + λ?2 hφ2 |ψi
♣ hφ|λ1 ψ1 + λ2 ψ2 i = λ1 hφ|ψ1 i + λ2 hφ|ψ2 i
♣ Si hφ|ψi = 0 , φ et ψ sont deux fonctions orthogonales.
L’espace des fonctions de carré sommable muni du produit scalaire est un espace de Hilbert complet L2 .
2.2
Base orthonormée complète de E
2.2.1
Base discrète
Soit ui (i = 1, . . . n) une base orthonormée de E : (hui |u j i = δi j ).
Le système des ui (x) est complet si et seulement si toute fonction ψ ∈ L2 se décompose d’une manière unique sur
cette base.
ψ(x) = ∑ ci ui (x)
i
Il vient que :
hu j |ψi = hu j |∑ ci ui i
i
= ∑ ci hu j |ui i
i
= ∑ ci δi j
i
= cj
Donc
c j = hu j |ψi
On peut alors écrire :
ψ(x) = ∑hui |ψiui (x)
i
Z
=∑
i
Z +∞
=
−∞
+∞
−∞
u?i (y)ψ(y)dy
ui (x)
∑ u?i (y)ui (x)ψ(y)dy
i
∑ u?i (y)ui (x) est une fonction f (x, y) de x et y tel que pour toute fonction ψ(x) on ait
i
Z +∞
ψ(x) =
f (x, y)ψ(y)dy
−∞
On pose
∑ u?i (y)ui (x) = δ(x − y)
i
(2.1)
2.2. BASE ORTHONORMÉE COMPLÈTE DE E
19
Et on a
Z +∞
ψ(x) =
δ(x − y)ψ(y)dy
−∞
L’équation 2.1 est appelée relation de fermeture qui traduit que la décomposition de ψ(x) sur les ui (x) est unique.
Soient deux fonctions de E
ψ(x) = ∑ ci ui (x)
i
φ(x) = ∑ b j u j (x)
j
On a
hφ|ψi =
Z +∞
−∞
Z +∞
=
−∞
Z +∞
=
−∞
φ? (x)ψ(x)dx
∑ b?j u?j (x) ∑ ci ui (x)dx
j
i
∑ ∑ b?j ci u?j (x)ui (x)dx
j
i
= ∑ ∑ b?j ci
j
i
Z +∞
−∞
u?j (x)ui (x)dx
= ∑ ∑ b?j ci δi j
j
i
= ∑ b?j c j
j
Donc
hφ|ψi = ∑ b?j c j
j
En particulier
hψ|ψi = ∑ |c j |2
j
2.2.2
Base continue
Soit un ensemble de fonctions gα (x) où α varie d’une manière continue. Cet ensemble peut constituer une base.
Les fonctions gα (x) vérifient :
♠
Z +∞
la relation d’orthonormalisation :
−∞
♠
Z
la relation de fermeture :
espace des α
g?α (x)gβ (x)dx = δ(α − β)
g?α (x)gα (y)dα = δ(x − y)
δ(α − β) est la fonction de Dirac vérifiant :
•
•
Z +∞
δ(x)dx = 1
−∞
Z +∞
δ(x − a) f (x)dx = f (a)
−∞
Remarque D’après ces définitions, on constate que si α = β, la norme des fonctions gα (x) peut tendre vers l’infini
si l’espace s’étend de −∞ à +∞. Dans ce cas gα (x) n’appartient pas à l’ensemble des fonctions de carré sommable
mais on peut montrer qu’elles forment une base. Le plus souvent l’espace physique ne s’étend pas de −∞ à +∞.
20
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Z
Soit ψ(x) =
espace des α
cα gα (x)dα
hgβ |ψi =
Z +∞
g?β (x)ψ(x)dx
−∞
Z +∞ Z
cα gα (x)g?β (x)dαdx
Z +∞
cα
gα (x)g?β (x)dx dα
=
−∞
espace des α
Z
=
−∞
espace des α
Z
cα δ(α − β)dα
=
espace des α
= cβ
Z
De même, si φ(x) =
espace des β
hφ|ψi =
bβ gβ (x)dβ
Z +∞
φ? (x)ψ(x)dx
−∞
Z +∞ Z
Z
b?β g?β (x)cα gα (x)dxdβdα
Z
Z +∞
Z
?
?
=
cα
bβ
gβ (x)gα (x)dx dβ dα
espace des α
espace des β
−∞
Z
Z
?
=
cα
bβ [δ(α − β)] dβ dα
=
−∞
espace des β espace des α
espace des α
Z
=
espace des α
espace des β
cα (b?α ) dα
D’où
hφ|ψi =
Z
espace des α
cα b?α dα
En particulier si φ(x) = ψ(x)
hψ|ψi = |ψ(x)|2
Z
=
espace des α
Z
=
espace des α
cα c?α dα
|cα |2 dα
Base
Relation d’orthonormalisation
Base discrète ui (x)
hui |u j i = δi j
Relation de fermeture
∑ ui (x)u?i (y) = δ(x − y)
i
Développement d’une fonction d’onde ψ(x)
Produit scalaire
espace des α
ci = hui |ψi =
Z +∞
−∞
ψ(x) =
u?i (x)ψ(x)dx
ci = hgα |ψi =
hψ|φi = ∑ b?i ci
hψ|φi =
hψ|ψi = ∑ |ci |2
hψ|ψi =
i
gα (x)cα gα (x)dα
espace des α
Z +∞
Z
g?α (x)ψ(x)dx
−∞
espace des α
i
Carré de la norme
gα (x)g?α (y)dα = δ(x − y)
Z
ψ(x) = ∑ ci ui (x)
i
Expression des composantes de ψ(x)
Base continue gα (x)
hg
Z α |gβ i = δ(α − β)
b?α cα dα
Z
espace des α
|cα |2 dα
2.2. BASE ORTHONORMÉE COMPLÈTE DE E
Récapitulation
21
22
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
2.2.3
Exemples de bases continues
2.2.4
Ondes planes
On considère
jxp
1
gp = √
e~
2π~
avec p varie de −∞ à +∞.
On obtient :
hg p |g p0 i =
Z
espace
g?p (x)g p0 (x)dx
+∞ j(p0 −p)x
1
e ~ dx
2π~ −∞
= δ(p − p0 )
Z
=
De même
Z
espace
g?p (x)g p (y)d p
+∞ jp(y−x)
1
e ~ dp
=
2π~ −∞
= δ(y − x))
Z
Par conséquent, l’onde plane vérifie la relation de fermeture et la relation d’orthonormalisation. Il en résulte que
toute fonction ψ(x) de L2 peut se décomposer de façon unique sur la base des ondes planes
Z +∞
ψ(x) =
−∞
ϕ(p)g p (x)d p
1
=√
2π~
Z +∞
ϕ(p)e
jxp
~
dp
−∞
Avec ϕ(p) est la composante de ψ(x) suivant g p (x). Elle est donnée par :
ϕ(p) = hg p |ψ(x)i
Z +∞
− jpx
1
=√
e ~ ψ(x)dx
2π~ −∞
ϕ(p) est donc la transformée de Fourier de ψ(x).
2.2.5
Deuxième exemple de base continue
On considère la fonction
g p (x) = δ(x − x0 )
= δx0 (x)
x0 joue le rôle de α.
Sachant que :
Z
espace
il vient que :
♠
la relation d’orthonormalisation
f (x)δ(x − x0 )dx = f (x0 )
2.3. ESPACES DES ÉTATS ET NOTATIONS DE DIRAC
23
g(x)
Z
espace
z }| {
δ(x − x0 ) δ(x − x00 ) dx = g(x0 )
= δ(x0 − x00 )
♠
la relation de fermeture
Z
espace
δ(x − x0 )δ(x0 − x0 )dx = δ(x − x0 )
Les fonctions δ(x − x0 ) constituent une base complète et on peut décomposer n’importe quelle fonction d’onde sur
cette base.
Z
ψ(x) =
espace
cx0 δx0 dx0
avec
Cx0 = hδx0 |ψ(x)i
Z
=
espace
δ(x − x00 )ψ(x)dx
= ψ(x0 )
d’où
Z
ψ(x) =
espace
ψ(x0 )δ(x − x0 )dx0
On note plus souvent pour simplifier :
ψ(x0 ) = hx0 |ψi
2.3
2.3.1
Espaces des états et notations de Dirac
Définition
Les fonctions d’onde ψ(x) et ϕ(p) jouent des rôles symétriques dans l’espace des positions et dans l’espace des
impulsions. Les états dynamiques d’un système sont associés à des vecteurs d’état appartenant à un espace vectoriel
pour lequel on doit choisir une représentation, c’est-à-dire une base complète. Par exemple :
•
pour la base ui (x), les composantes de ψ(x) sont les ci avec i ∈ I.
•
pour la base gα (x), les composantes de ψ(x) sont les cα ,
•
pour la base δx0 , les composantes de ψ(x) sont les ψ(x0 ),
•
pour la base g p , les composantes de ψ(x) sont les c p .
Inversement si on spécifie la base utilisée, la donnée des composantes ci , cα , ψ(x0 ) ou c p suffit pour caractériser
l’état dynamique du système quantique.
Définition :
Une représentation est équivalente à choisir une base orthonormée complète sur laquelle se décompose tout élément
ψ(x) de L2 .
2.3.2
Notation de Dirac
Les vecteurs d’états de E sont appelés " kets " et sont notés |ψi, |ϕn i, · · · |ni.
24
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
En algèbre, à chaque espace vectoriel est associé un espace vectoriel dual grâce à la notion de la fonctionnelle
linéaire. Ainsi, E ? est l’espace dual de E. Ses éléments sont appelés " bra " et sont notés hψ|, hϕn |, · · · hn|.
Les coordonnées du " ket " sont représentées par une matrice colonne :
 
c1
c2 
 
|ψi −→  . 
 .. 
cn
Si |ni sont les vecteurs de la base, on a hn|ψi = cn . Il en résulte que :
hψ|ni = hn|ψi?
= c?i
Donc c?n est la composante du bra hψ| suivant |ni.
On représente le bra par une matrice ligne :
hψ| −→ (c?1 , c?2 , . . . , c?n )
Il existe une correspondance biunivoque entre ket et bra et cette correspondance est antilinéaire.
λ|ni −→ hn|λ?
hn|mi −→ hm|ni = hn|mi?
Les bras et les kets sont dits conjugués l’un de l’autre.
2.3.3
Opérateurs linéaires
b agissant sur E est une loi qui associe à tout ket de E un autre ket de E de manière linéaire.
Un opérateur linéaire A
b vérifie :
A
b
b + µA|φi
b
A(λ|ψi
+ µ|φi) = λA|ψi
b et Bb sont deux opérateurs linéaires :
En plus, on a les propriétés suivantes. Si A
bB)|ni
b B|ni).
b
b
♣ (A
= A(
bBb − BbA
b = [A,
b B]
b et B.
b appelé commutateur de A
b
♣ A
♣ L’élément de matrice de A entre deux kets quelconques s’écrit :
b
b
hn|A|mi
= hn|(A|mi)
b
= (hn|A)|mi
Exemples
•
•
•
Xb = ×x
~ ∂
Pbx =
j ∂x
2.3. ESPACES DES ÉTATS ET NOTATIONS DE DIRAC
b ~ ∂ψ ]
XbPbx (ψ(x)) = X[
j ∂x
~ ∂ψ
= x
j ∂x
b
b
b
Px X(ψ(x)) = Px xψ(x))
~
∂ψ(x)
(ψ(x) + x
)
j
∂x
~
b
(XbPb − PbX)ψ(x)
= − ψ(x)
j
b
b
[X, P] = j~
=
D’une manière générale, on a :
b Pbx ] = j~
[X,
b Pby ] = 0
[X,
2.3.4
•
•
Propriétés des opérateurs
b B]
b
b = −[B,
b A]
[A,
b BbC]
b = B[
b C]
b + [A,
b B]
b A,
b Cb
[A,
2.3.5
Elément de matrice d’un opérateur
b et une base {(ui )i∈I } de E. L’élément de matrice de A
b entre deux kets |ui i et |u j i est
Soit un opérateur A
Ai j = hui |A|u j i
La matrice de cet opérateur est :

A11
 ..
(Ai j ) =  .
A12
..
.

. . . A1n
..
.. 
.
. 
. . . Ann
An1 An2


hu1 |A|u1 i hu1 |A|u2 i . . . hu1 |A|un i


..
..
..
..
=

.
.
.
.
hun |A|u1 i hun |A|u2 i . . . hun |A|un i
b
Composantes de A|ψi
b
Soit |ψ(x)i = ∑ ci |ui i un état de E. Calculons les composantes de |ψ0 i = A|ψi.
i
25
26
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
b
|ψ0 i = A|ψi
= ∑ c0j |u j i
j
c0j
= hu j |ψ0 i
b
= hu j |A|ψi
b ∑ ci |ui i
= hu j |A
i
b ii
= ∑ ci hu j |A|u
i
= ∑ A ji ci
i
b=A .
Remarque : Dans la suite et lorsqu’il n’y a pas de confusion, pour simplifier les notations, on notera A
2.3.6
Opérateur particulier : projecteur sur un état
Si on écrit hϕ|ψi, ceci implique le produit scalaire de hϕ| par |ψi. Mais si on l’écrit dans l’ordre inverse on obtient
un opérateur.
En effet, |ψihϕ| appliqué à un ket |χi donne |ψihϕ|χi où hϕ|χi est un nombre complexe.
Soit |ψi = ∑ ci |ui i et hψ|ψi = 1.
i
Soit l’opérateur Pψ = |ψihψ|.
Appliquons Pψ à |ϕi
Pψ |ϕi = |ψihψ|ϕi
Pψ |ϕi est un ket proportionnel à |ψi. De plus,
=1
z }| {
Pψ2 |ϕi = |ψi hψ|ψihψ|ϕi
= Pψ |ψi
Pψ vérifie les propriétés d’un projecteur, on l’appelle projecteur sur le ket |ψi.
2.3.7
Relations caractéristiques d’une base orthonormée
Si l’on a une base orthonormée discrète ou continue on a alors les relations suivantes :
hui |u j i = δi j
hgα |g0α i = δ(α − α0 )
Si |ψ(x)i ∈ E, on a :
|ψi = ∑ ci |ui i
i
= ∑ |ui ihui |ψi
i
!
=
∑ |ui ihui |
i
|ψi
2.3. ESPACES DES ÉTATS ET NOTATIONS DE DIRAC
On déduit que :
!
∑ |ui ihui |
= I = Opérateur Identité
i
De même, si la base est continue
Z
|ψi =
cα |gα idα
Zα
|gα ihgα |ψidα
αZ
=
|gα ihgα |dα |ψi
=
α
Z
|gα ihgα |dα = I
α
Ces formules expriment les relations de fermeture dans la notation de Dirac.
Applications
•
|ψi = I|ψi
= ∑ |ui ihui ||ψi
i
= ∑ ci |ui i
i
• Si |ψ0 i = A|ψi = ∑ c0i |ψi, il vient
i
c0i = hui |ψ0 i
= hui |Aψi
= hui |AIψi
= hui |A ∑ |u j ihu j |ψi
j
= ∑hui |A|u j ihu j |ψi
j
= ∑ Ai j c j
j
• Soient |ψi = ∑ ci |ui i et |φi = ∑ b j |u j i
i
j
27
28
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
hφ|A|ψi = hφ|IAI|ψi
= hφ| ∑ |uk ihuk |A ∑ |u` ihu` ||ψi
`
k
= ∑ ∑hφ|uk ihuk |A|u` ihu` |ψi
`
k
= ∑ ∑ b?k Ak` c`
`
k
2.3.8
Changement de base
Soient deux bases orthonormées de E :
{|ui i} et {|v j i} avec
hui |u j i = δi j et hvi |v j i = δi j et hvi |u j i = Ti j
Une fonction d’onde |ψi se décompose sur ces deux bases
|ψi = ∑ ci |ui i
i
= ∑ b j |v j i
j
avec
b j = hv j |ψi
= hv j | ∑ |uk ihuk |ψi
k
= ∑hv j |uk ick
k
= ∑ T jk ck
k
Soit A un opérateur. Cherchons les éléments de matrice de A dans les deux bases.
Soient (Ai j ) la matrice de A dans {|ui i} et (A0i j ) la matrice de A dans {|v j i}
A0i j = hvi |A|v j i
= hvi |IAI|v j i
= ∑ ∑hvi |uk ihuk |A|u` ihu` |v j i
k
`
= ∑ ∑ Tik Ak` S` j
|{z}
k `
?
T j`
car
hu` |v j i = hv j |u` i?
= T j`?
2.3. ESPACES DES ÉTATS ET NOTATIONS DE DIRAC
2.3.9
29
Opérateur adjoint
La correspondance biunivoque entre kets et bras implique une relation de conjugaison analogue entre opérateurs,
appelée conjugaison hermétique, qui associe à tout opérateur A un opérateur A+ appelé adjoint de A.
|n0 i = A|ni ↔ hn0 | = hn|A+
= hAn|
Deux opérateurs A et A+ sont adjoints si et seulement si les matrices associées sont adjointes l’une de l’autre.
Propriétés
•
hn|A+ |mi = hm|A|ni?
•
(A+ )+ = A
•
(λA)+ = λ? A+
•
(A + B)+ = A+ + B+
•
(AB)+ = B+ A+
Pour chercher le conjugué d’une expression quelconque on applique la
règle suivante :
♠ Remplacer A par A+ , λ par λ? , hn| par |ni et inversement.
♠ Inverser l’ordre des facteurs.
Exemple
[λhn|A|mi|ωihψ|]+
⇓
?
+
λ . . . |ni . . . A . . . hm| . . . hω| . . . |ψi
⇓
|ψihω| hm|A+ |niλ?
| {z }
scalaire
⇓
?
?
λ hm|A |ni|ψihω|
2.3.10
Opérateur hermétique
Un opérateur est dit hermétique s’il coincide avec son adjoint :
A = A+
Dans ce cas, on a :
hn|A|mi = hm|A|ni?
Anm = A?mn
hn|A|mi = hAn|mi
30
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Exemples
♥
P = |ψihψ| et P+ = |ψihψ| ; donc P est hermétique.
♥
Soient A et B deux opérateurs hermétiques.
(AB)+ = B+ A+
= BA
Donc le le produit de deux opérateurs hermétiques n’est pas nécessairement hermétique.
♥
X est hermétique.
♥
Soit l’opérateur Px =
~ ∂
j ∂x
hψ1 |Px |ψ2 i =
Z
espace
ψ1 ? (x)
~ dψ2 (x)
x
j dd


=0


z }| { Z +∞

dψ?1 
~
=
dx
[ψ1 ? ψ2 ]+∞
−
ψ
2
−∞
j
dx 
−∞


= hψ2 |Px |ψ1 i?
Donc Px = Px+ et par suite Px est hermétique.
d
♥
n’est pas hermétique.
dx
d2
♥
est hermétique.
dx2
2.3.11
Représentation matricielle de l’adjoint
♠
On passe de la matrice d’un opérateur à la matrice de son adjoint par une conjugaison complexe suivie par
une symétrie par rapport à la diagonale.
♠
Un opérateur hermétique est représenté par une matrice tel que deux éléments symétriques par rapport à la
diagonale sont conjugués l’un de l’autre.
En particulier, pour i = j, Ai j = A?i j . Donc les éléments de la diagonale sont réels. par
2.4
2.4.1
Equations aux valeurs propres et observables
Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur
Le ket |ϕn i est vecteur propre de l’opérateur A associé à la valeur propre an s’il satisfait l’équation aux valeurs
propres :
A|ϕn i = an |ϕn i
L’ensemble des valeurs propres de A est appelé spectre de A.
Soit |ψi = λ|ϕn i
2.4. EQUATIONS AUX VALEURS PROPRES ET OBSERVABLES
31
A|ψi = A(λ|ϕn i)
= λA|ϕn i
= an (λ|ϕn i)
= an |ψi
Donc si |ϕn i est vecteur propre associé à an , |ψi = λ|ϕn i est aussi vecteur propre associé à la même valeur propre.
Pour lever cette indétermination on peut normer les vecteurs propres |ϕn i : hϕn |ϕn i = 1.
♣
Une valeur propre an est non dégénérée s’il lui correspond un vecteur propre unique (à une constante
multiplicative près).
♣
Une valeur propre an est dégénérée d’ordre ou de dégénérescence gn s’il lui correspond gn vecteurs
propres linéairement indépendants.
A|ϕαn i = an |ϕαn i ou
α = 1, 2, . . . gn
L’ensemble de ces vecteurs propres constitue un espace vectoriel de dimension gn , appelé sous-espace propre de
la valeur propre an .
♣
Toute combinaison linéaire de |ϕαn i est un vecteur propre de A pour la valeur propre an :
gn
|ψi =
∑ cα |ϕαn i
α=1
gn
A|ψi =
∑ cα A|ϕαn i
α=1
gn
= an
∑ cα |ϕαn i
α=1
= an |ψi
Exemple
Projecteur Pψ = |ψihψ| avec hψ|ψi = 1
Pψ |ψi = |ψihψ|ψi
= |ψi
|ψi est vecteur propre associé à la valeur propre non dégénéré 1.
Soit |φi un ket orthogonal à |ψi.
Pψ |φi = |ψihψ|φi
=0
= 0|φi
Donc tout ket |φi orthogonal à |ψi est ket propre de Pψ associé à la valeur propre 0.
2.4.2
Recherche des valeurs propres et des kets propres d’un opérateur
Soit un espace de dimension finie et {|ui i} une représentation de cet espace (base orthonormée).
32
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Soit A un opérateur. Si |ψi est un ket propre de A, on a :
A|ψi = a|ψi
En projetant sur |ui i, il vient :
hui |A|ψi = ahui |ψi
= hui |AI|ψi
!
= hui |A
∑ |u j ihu j |
ψi
j
= ∑ hui |A|u j i hu j |ψi
j | {z } | {z }
Ai j
cj
D’où
∑ Ai j c j = aci
j
∑(Ai j − δi j a)c j = 0
j
On obtient un système d’équations linéaires et homogènes en c j , les composantes de |ψi dans {|ui i}. Il admet une
solution si et seulement si son déterminant est nul.
det(A − aI) = 0
Donc les valeurs propres de A sont les racines du polynôme caractéristique det(A − aI) = 0
Ce résultat est valable aussi pour une base continue.
Propriétés des valeurs propres
♣ Tr(A) = ∑ ai .
i
♣ det(A) = ∏ ai
i
♣ Soit D la matrice de A dans la base propre.


a1 . . . . . .
 ..

....
 .

..



.
.
.
a
.
.
.
D=
j


 .

.
.
....
 ..

. . . . . . an
D = α−1 Aα où α est la matrice de passage dont les colonnes sont formées par les composantes des vecteurs propres
de A dans la base |ui i.
♣ Si A est hermétique, on a :
A|ψi = a|ψi
hψ|A|ψi = hψ|A+ |ψi?
= hψ|A|ψi?
a = a?
2.4. EQUATIONS AUX VALEURS PROPRES ET OBSERVABLES
33
Donc les valeurs propres d’un opérateur hermétique sont réelles.
♣ Deux vecteurs propres d’un opérateur hermétique associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
En effet, si
A|ψi = a|ψi
(2.2)
A|φi = b|φi
(2.3)
Comme A est hermétique
hφ|A+ = hφ|A
= bhφ|
(2.4)
D’où en projetant les équations 2.2 et 2.4 respectivement sur |φi et sur hψ|, il vient :
hφ|A|ψi = ahφ|ψi
hφ|A|ψi = bhφ|ψi
(a − b)hφ|ψi = 0
Comme a 6= b, on a |ψi et |φi sont orthogonaux.
2.4.3
Opérateur observable
Si la dimension de l’espace vectoriel E est finie, tout opérateur hermétique est diagonisable par une matrice unitaire.
Autrement dit, il existe une base de E constituée par les vecteurs propres de A.
Si E est de dimension infinie, il n’est pas possible de former une base de E avec les vecteurs propres mais il est
toujours possible de former un système orthonormé de vecteurs propres d’un opérateur hermétique :
{|uαn i}
, avec
n = 1, . . . + ∞,
α = 1, . . . gn
Par définition, A est une observable si ce système orthonormé forme une base complète dans E.
Les {|uαn i} vérifient :
♣ la relation de fermeture ∑ ∑ |uαn ihuαn | = I
n α
0
♣ la relation d’orthonormalisation huαn |uαn0 i = δαα0 δnn0
Autre définition : Une observable est un opérateur hermétique dont les vecteurs propres forment un système
orthonormé complet dans l’espace des états E.
Exemple
Pψ = |ψihψ| est une observable. En effet, ∀|φi ∈ E, on peut écrire :
|φi = Pψ |φi + (I − Pψ )|φi
Pψ (Pψ |φi) = Pψ2 |φi
= Pψ |φi
Donc Pψ |φi est ket propre de Pψ associé à la valeur propre 1.
34
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Pψ (I − Pψ )|φi = Pψ |φi − Pψ2 |φi
=0
Donc (I − Pψ )|φi est ket propre de Pψ associé à la valeur propre 0.
Par conséquent, tout ket de E peut se décomposer sur les kets propres de Pψ .
∂
• Considérons l’opérateur Px = − j~ . En l’appliquant à une fonction propre φ(x), on obtient :
∂x
− j~
jp0 x
∂φ(x)
= p0 φ(x) =⇒ φ p0 = Ne ~
∂x
1
Avec N = √
.
2π~
φ p0 (x) représente une onde plane.
Comme les fonctions φ p0 (x) constituent une base complète, on conclut que Px est une observable.
2.5
2.5.1
Ensemble d’observables qui commutent
Théorème fondamental
Si A et B sont deux observables qui commutent et |ψαn i est un ket propre de A associé à an , alors B|ψαn i est
aussi ket propre de A avec la même valeur propre an et réciproquement.
Démonstration Si |ψαn i est ket propre de A, alors A|ψαn i = an |ψαn i.
Appliquons B aux deux membres de cette équation
BA|ψαn i = an (B|ψαn i)
Puisque [A, B] = 0, on a aussi
AB|ψαn i = an B|ψαn i
Donc B|ψαn i est un vecteur propre de A pour la valeur propre an .
Comme
A|ψαn i = an |ψαn i
Et
A(λ|ψαn i) = an λ|ψαn i
On conclut que :
♠ si an est non dégénérée
B|ψαn iest ket propre associé à an .
Donc
B|ψαn i = b|ψαn i
Par suite |ψαn i est ket propre de B.
♠ si an est dégénérée
B|ψαn i appartient au sous espace En engendré par le kets propres, {|ψαn i},
B|ψαn i ∈ En
et
|ψαn i ∈ En
α = 1, . . . gn , associés à an .
2.5. ENSEMBLE D’OBSERVABLES QUI COMMUTENT
35
Réciproquement, s’il existe une base de vecteurs propres communs à A et B, ces deux observables commutent.
A|ψαnm i = an |ψαnm i
B|ψαnm i = bm |ψαnm i
Les indices n et m permettent de repérer les valeurs propres an et bm de A et B. L’indice α sert à distinguer les
différents vecteurs propres correspondant à la même valeur propre an et bm .
Il vient
AB|ψαnm i = bm A|ψαnm i
= bm an |ψαnm i
BA|ψαnm i = an B|ψαnm i
= an bm |ψαnm i
D’où
(AB − BA)|ψαnm i = 0
∀|ψαnm i
Donc
[A, B] = 0
2.5.2
Deuxième théorème
Si deux observables A et B commutent, les éléments de matrice de B entre deux vecteurs propres de A correspondant
à des valeurs propres différentes sont nuls.
0
Autre énoncé : Soient A et B deux observables qui commutent et |ψαn i et |ψαn0 i deux kets propres de A associés à
0
deux valeurs propres différentes alors hψαn |B|ψαn0 i = 0.
Démonstration
On a A|ψαn i = an |ψαn i. Comme [A, B] = 0, B|ψαn i ∈ En (où En est le sous-espace de dégénérescence de l’opérateur
A pour la valeur propre an ), donc
α
B|ψαn i = ∑ ci |ψin i
i=1
α
α0
n0
0
hψ |B|ψαn i = ∑ ci hψαn0 |ψαn i
i=1 | {z }
=0
=0
Autre démonstration
0
hψαn0 |[A, B]|ψαn i = 0
=
0
hψα0 |AB|ψα i
| n {z n }
0
−hψαn0 |BA|ψαn i
A est hermétique : an réelle
0
0
= an0 hψαn0 |B|ψαn i − an hψαn0 |B|ψαn i
0
= (an0 − an )hψαn0 |B|ψαn i
0
Comme an 6= an0 ; hψαn0 |B|ψαn i = 0.
36
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
2.5.3
Troisième théorème
Si deux observables A et B commutent, on peut construire une base orthonormée de l’espace des états constituée
par des vecteurs propres communs à A et B.
2.5.4
Ensemble d’observables qui commutent
Un ensemble d’observables A, B, C,. . . est appelé ensemble complet d’observables qui commutent (ECOC) s’il
existe une base orthonormée de vecteurs propres communs et si cette base est unique (aux facteurs de phase près).
•
Les observables commutent deux à deux.
• La donnée des valeurs propres de tous les opérateurs A, B, C,. . . suffit à déterminer un vecteur propre commun
unique (à un facteur multiplicatif près).
Autre définition d’un ECOC
Soit A une observable et (b) une base de vecteurs propres de A.
♠ Si aucune valeur propre de A n’est dégénérée
•
A chaque valeur propre correspond un seul vecteur propre.
•
Les vecteurs propres de A sont déterminés de manière unique et ils constituent une base.
•
A forme à elle seule un ECOC et on a
A|φn i = an |φn i
♠ Si au moins une valeur propre de A est dégénérée
•
A la valeur propre an dégénérée correspond plusieurs vecteurs propres.
• La base formée par les vecteurs propres de A n’est pas unique. On prend alors une autre observable B tel que
[A, B] = 0. On peut trouver une base de vecteurs propres communs à A et B. Si tout couple de valeurs propres
(an , bm ) correspond un seul vecteur de base, A et B forment un ECOC. Sinon, on rajoute une autre observable,. . .
A|φnm i = an |φnm i
B|φnm i = bm |φnm i
Les sous-espaces de A sont distingués par les valeurs propres an . Dans un sous-espace donné de A, les vecteurs
propres sont caractérisés par bm .
2.6
2.6.1
Opérateurs unitaires
Définition
Par définition un opérateur U est unitaire si son inverse U −1 est égal à son adjoint.
U −1U = U +U
= UU +
=I
2.6. OPÉRATEURS UNITAIRES
37
Soient |ψ1 i et |ψ2 i deux kets de E et |ψ01 i et |ψ02 i leurs transformés par U.
|ψ01 i = U|ψ1 i
|ψ02 i = U|ψ2 i
On a
hψ01 |ψ02 i = hψ1 |U +U|ψ2 i
= hψ1 |ψ2 i
La transformation unitaire conserve le produit scalaire et par suite elle conserve la norme.
2.6.2
Opérateur unitaire et changement de base
Soit {|ui i} une base orthonormée de E et {|u0i i} sa transformée par U.
|u0i i = U|ui i
On a
hu0i |u0j i = hui |u j i
= δi j
Donc les kets {|u0i i} sont orthonormés. En plus, quelque soit |ψi de E, on a U + |ψi ∈ E donc ; U + |ψi = ∑ ci |ui i.
i
Appliquons U à cette dernière égalité :
UU + |ψi = ∑ ciU|ui i
i
= ∑ ci |u0i i
i
Soit
|ψi = ∑ ci |u0i i
i
Tout ket se décompose sur
{|u0i i},
donc
{|u0i i}
constitue une base orthonormée.
Théorème
Une condition nécessaire pour qu’un opérateur U soit unitaire est que les transformées par U des vecteurs d’une
base orthonormée de E constitue une base orthonormée.
Réciproquement, si on a |u0i i = U|ui i, hu0i |u0j i = δi j et ∑ |u0i ihu0i | = I alors U est unitaire.
i
Démonstration
U +U|ui i = U + |u0i i
= ∑ |u j ihu j |U + |u0i i
j
= ∑ |u j ihu0j |u0i i
j
= ∑ |u j iδ ji
j
= |ui i
38
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Donc U +U = I et par conséquent U est unitaire. On peut démontrer de la même façon que UU + = I.
2.6.3
Matrice unitaire
Les éléments de matrice d’un opérateur unitaire s’écrivent
Ui j = hui |U|u j i
Par ailleurs,
δi j = hui |u j i
= hui |U +U|u j i
= ∑hui |U + |uk ihuk |U|u j i
k
= ∑ Uki? Uk j
k
car hui |U + |uk i = huk |U|ui i? .
Donc
δi j = ∑ Uki? Uk j
k
2.6.4
Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur unitaire
Soit |ψn i un vecteur propre normé de U.
U|ψn i = α|ψn i
On a
hψn |U +U|ψn i = α? αhψn |ψn i
= αα?
Puisque l’opérateur unitaire conserve la norme, on a :
αα? = 1
Par conséquent, les valeurs propres de U sont des nombres complexes de module 1.
α = e jθα ,
θα réel
Soient |ψn i et |ψn0 i deux vecteurs propres de U, on a :
hψn |ψn0 i = hψn |U +U|ψn0 i
= e jθn0 e− jθn hψn |ψn0 i
Si n 6= n0 , on a hψn |ψn0 i = 0. Donc deux vecteurs propres d’un opérateur unitaire relatifs à deux valeurs propres
différentes sont orthogonaux.
2.6.5
Transformation unitaire sur les opérateurs
Soit une transformation unitaire U qui transforme une base {|ui i} en une base {|u0j i} et soit A un opérateur.
2.6. OPÉRATEURS UNITAIRES
39
Le transformé de A par U est l’opérateur qui a les mêmes éléments de matrice dans la base {|u0j i} que l’opérateur
A dans la base {|ui i}.
On a quelque soient i et j :
|u0i i = U|ui i
= hui |U + A0U|u j i
hu0i |A0 |u0j i = hui |A|u j i
= hui |U + A0U|u j i
D’où
A = U + A0U
A0 = UAU +
Remarques
♣ Si A est hermétique alors
A = A+
= (U + A0U)+
= U + A0+U
UAU + = A0+
= A0
donc A0 est hermétique.
♣ Les vecteurs propres de A0 sont les transformés par U des vecteurs propres de A pour les mêmes valeurs
propres.
Démonstration
Soient |φn i les vecteurs propres de A.
Alors
A|φn i = an |φn i et |φ0n i = U|φn i
Par suite,
A0 |φ0n i = UAU + |φ0n i
= UAU + (U|φn i)
= UA|φn i
= anU|φn i
d’où |φ0n i = U|φn i
2.6.6
Transformation unitaire infinitésimale
Soit U(ε) un opérateur unitaire dépendant du réel ε.
U(ε) = I + εG
U(ε) −→ I si ε −→ 0
U + (ε) = I + εG+
U(ε)U + (ε) = U + (ε)U(ε) = I + ε(G + G+ )
40
CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Chapitre 3
Les postulats de la mécanique quantique
Pour résoudre un problème en mécanique quantique on doit définir :
•
Comment décrire à un instant donné un système physique ?
•
Comment prévoir les résultats de mesure d’une grandeur physique ?
•
Comment prévoir l’évolution d’un système à partir de son état à t0 donné ?
3.1
3.1.1
Postulats de la mécanique quantique
P1 : Vecteur d’état
Le vecteur d’état |ψi appartenant à l’espace de Hilbert E définit l’état du système quantique à l’instant t. Ce vecteur
d’état vérifie la propriété hψ|ψi = 1.
3.1.2
P2 : Opérateur représentant une grandeur physique
A une grandeur physique mesurable A est associée une observable A. Cet opérateur est linéaire et hermétique.
Remarque
Contrairement à la mécanique classique, la mécanique quantique décrit de façon fondamentalement différente
l’état d’un système et les grandeurs associées. Un état est représenté par un ket et la grandeur par un opérateur.
3.1.3
P3 : Mesure d’une grandeur physique
La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’une des valeurs propres de l’observable
A correspondante.
Remarque
♣
Une mesure de A donne toujours des valeurs réelles puisque A est hermétique.
♣
Si le spectre de A est discret, les résultats de mesure sont quantifiés.
♣
A étant une observable, les états propres de A vérifient les relations de fermeture et d’orthonormalisation :
A|uαn i = an |uαn i
∑ ∑ |uαn ihuαn |I
n α
0
huαn |uαn0 i = δnn0 δαα0
Principe de décomposition spectrale
41
42
CHAPITRE 3. LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Considérons un système physique décrit à l’instant t par le ket |ψi tel que hψ|ψi = 1. On veut prédire le résultat
de mesure de la grandeur A dans cet état. On distingue deux cas :
♠
Les valeurs propres an sont non dégénérées
|ψi se décompose sur les kets propres |un i
|ψi = ∑ cn |un i
n
La probabilité de trouver an est
P (an ) = |hun |ψi|2
= c2n
P41 : Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur un système physique
dans l’état |ψi normé, la probabilité P (an ) d’obtenir comme résultat la
valeur propre non dégénérée an de l’observable A correspondante est
P (an ) = |hun |ψi|2
où |un i est le vecteur propre normé de A associé à la valeur propre an .
"♠
La valeur propre an est dégénérée
Si an est gn fois dégénérée donnant lieu aux vecteurs propres |uαn i,
On a aussi :
α = 1, . . . , gn
gn
|ψi = ∑
∑ cαn |uαn i
n α=1
La probabilité P (an ) de trouver an lors d’une mesure de la grandeur physique A est égale à :
gn
P (an ) =
∑ |huαn |ψi|2
α=1
gn
=
∑ |cαn |2
α=1
P42 : Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur un système dans
l’état |ψi donné, la probabilité P (an ) d’obtenir comme résultat la valeur
propre an de l’observable A correspondante vaut :
gn
P (an ) =
∑ |huαn |ψi|2
α=1
où gn est le degré de dégénérescence de an et {|uαn i} un système
orthonormé de vecteurs formant une base dans (En ).
Ce résultat est indépendant du choix de la base dans (En ).
gn
Soit Pn =
∑ |uαn ihuαn | , avec ∑ Pn = 1, on a :
α=1
n
gn
Pn |ψi =
∑ |uαn ihuαn |ψi
α=1
gn
=
∑ cαn |uαn i
α=1
= |ψn i
3.1. POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
43
|ψn i est la projection de |ψi sur le sous espace (En ).
gn
hψn |ψn i =
∑ |cαn |2
α=1
= P (an )
Donc la probabilité P (an ) de trouver (an ) pour la mesure de A est le carré de la norme de |ψn i = Pn |ψi .
Un changement de base dans (En ) n’a aucun effet sur P (an ).
Par ailleurs,
P (an ) = hψn |ψn i
= hψn |Pn+ Pn |ψn i
Pn+ =Pn
z}|{
= hψn |Pn2 |ψn i
Pn2 =Pn
z}|{
= hψn |Pn |ψn i
En utilisant la similitude entre la base continue et la base discrète, on peut généraliser les résultats à une base
continue.
P43 : Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur un système dans
l’état |ψi normé, la probabilité d P (α) d’obtenir un résultat compris entre
α et α + dα vaut
d P (α) = |hvα |ψi|2
où |vα i est le vecteur propre correspondant à la valeur propre α de A
associée à A .
Remarques :
♠
Il est nécessaire que l’opérateur A associé à la grandeur physique A soit une observable pour pouvoir
décomposer tout état sur le système des vecteurs propres de A.
♠
Soient |ψi et |ψ0 i deux états tel que |ψ0 i = e jθ |ψi, où θ est un réel. Si |ψi est normé, |ψ0 i l’est aussi.
|huαn |ψ0 i|2 = |e jθ huαn |ψi|2
= |huαn |ψi|2
Donc deux vecteurs d’état proportionnel représentent le même état physique.
3.1.4
Etat après la mesure
♣
Si le résultat de la mesure de A donne une valeur a j non dégénérée, l’état du système est décrit par le vecteur
propre |u j i correspondant à la valeur propre a j .
Etat immédiatement avant la mesure |ψi
↓
On mesure une grandeur physique A dont l’ observable associée A a pour
valeurs propres a1 , a2 , · · · , an
44
CHAPITRE 3. LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
↓
Les amplitudes de probabilité sont hu1 |ψi, hu2 |ψi, · · · , hun |ψi
↓
Si la mesure donne comme résultat a j
↓
Le système est juste après la mesure dans l’état |u j i
Si on effectue une deuxième mesure de A après la première, on trouvera à coup sûr le même résultat a j .
♣ Si le résultat de la mesure est la valeur ai dégénérée, la modification du vecteur d’état lors de la mesure est selon
le digramme suivant :
Avant la mesure le système est dans l’état
gi
n
|ψi = ∑
∑ cαi |uαi i
i=1 α=1
↓
Si la mesure donne comme résultat ai
↓
Le système est juste après la mesure dans l’état correspondant à la
projection normée de |ψi sur le sous-espace propre associé à ai .
gi
∑ cαi |uαi i
α=1
s
gi
=p
|ψi i
hψi |ψi i
=p
Pi |ψi
hψ|Pi |ψi
∑ |cαi |2
α=1
P5 : Si la mesure de la grandeur physique A sur le système dans l’état |ψi
donne le résultat an , l’état du système immédiatement après la mesure est
Pn |ψi
de |ψi sur le sous espace propre associé
la projection normée p
hψ|Pn |ψi
à an .
3.1. POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
3.1.5
45
P6- Evolution des systèmes dans le temps
L’évolution dans le temps du vecteur d’état |ψi d’un système physique est
déterminée par l’équation de Schrödinger
j~
d
|ψ(t)i = H|ψ(t)i
dt
H est l’observable associée à l’énergie totale du système. H est l’opérateur hamiltonien que l’on obtient à partir de
la fonction de Hamilton classique
−~2
−r ,t)
∆ +V (→
H=
2m
−r ,t) est l’opérateur associé à l’énergie potentielle qui peut se calculer à partir des forces agissantes sur le
V (→
système physique étudié.
3.1.6
Principe de correspondance et justification
Ce principe indique comment on associe à une grandeur physique A une observable A.
3.1.6.1
♠
Principe
−
−r (x, y, z) d’une particule on associe l’observable →
A la position →
R (X,Y, Z)
x ←→ X
y ←→ Y
z ←→ Z
X|x0 i = x0 |x0 i
X possède un spectre continu (x0 ∈] − ∞, +∞[). Ceci est cohérent avec l’expérience qui montre que toutes les
valeurs sont possibles pour la position de la particule.
−
−p (x, y, z) d’une particule on associe l’observable →
♠
A l’impulsion →
P (P , P , P ).
x
∂
∂x
∂
py ←→ Py = − j~
∂y
∂
pz ←→ Pz = − j~
∂z
px ←→ Px = − j~
Px possède aussi un spectre continu : Px |p0 i = p0 |p0 i.
→
− →
−
Les composantes de R et P vérifient les relations de commutation :
[Ri , R j ] = [Pi , Pj ] = 0, avec i, j = x, y, z
[Ri , Pj ] = j~δi j
y
z
46
CHAPITRE 3. LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Principe :
−r , →
−p ) on associe l’observable
A toute grandeur physique A = f (→
→
− →
−
A = f ( R , P ).
→
− − →
Toutefois cette procédure pose parfois des problèmes. Par exemple, supposons que dans A (→
r , −p ) apparaisse un
→
−
→
− →
−
→
−
→
−
terme en r · p , l’observable A (R, P) fait apparaître le produit R · P qui n’est pas hermétique. On remedie à cette
→
− →
− →
− →
−
−r · →
−p l’opérateur R · P + P · R .
difficulté par une règle de symétrisation qui associe au produit →
2
→
− →
− →
− →
−
→
− →
− →
− →
−
→
−r · →
−p = r · p + p · r −→ R · P + P · R
2
2
3.1.6.2
Justification
Soit un système physique dans un état |ψi. Calculons la probabilité pour trouver le système dans l’état |x0 i.
X|x0 i = x0 |x0 i
P (x0 ) = |hx0 |ψi|2
2
|xihx|dx |ψi
−∞
2
+∞
hx0 |xihx|ψidx
Z
= hx0 |
+∞
Z
= −∞
2
Z +∞
δ(x − x0 )ψ(x)dx
= −∞
= |ψ(x0 )|2
La probabilité P est le carré de la fonction d’onde au point x0 . Ceci est en accord avec la mécanique ondulatoire.
Calculons la probabilité pour trouver la particule avec l’impulsion p0 .
Px |p0 i = p0 |p0 i
P (p0 ) = |hp0 |ψi|2
2
|pihp|d p |ψi
−∞
2
+∞
hp0 |pihp|ψid p
Z
= hp0 |
+∞
Z
= −∞
Z +∞
2
= δ(p − p0 )ψ(p)d p
−∞
= |ψ(p0 )|2
3.2. CONSÉQUENCE PHYSIQUE DES POSTULATS
47
Montrons que ψ(p0 ) est ψ(x0 ) sont des transformées de Fourier l’une de l’autre.
ψ(p0 ) = hp0 |ψi
Z +∞
=
−∞
hp0 |x0 ihx0 |ψidx0
Z +∞
=
−∞
ψ(x0 )hp0 |x0 idx0
Or
X|x0 i = x0 |x0 i
Px |p0 i = p0 |p0 i
d
− j~ |p0 i = p0 |p0 i
dx
d
hx0 |Px |p0 i = − j~ hx0 |p0 i
dx
= p0 hx0 |p0 i
L’intégration de l’équation différentielle
− j~
donne
d
hx0 |p0 i = p0 hx0 |p0 i
dx
jp0 x0
1
hx0 |p0 i = √
e ~
2π~
D’où alors
1
ψ(p0 ) = √
2π~
Z +∞
−∞
ψ(x0 )e−
jp0 x0
~
dx0
De même,
+∞
jp0 x0
1
ψ(p0 )e ~ d p0
ψ(x0 ) = √
2π~ −∞
On peut montrer à partir du principe de correspondance la relation de Heisenberg ∆x∆p ≥ ~ en utilisant la relation
de commutation [X, Px ] = j~ .
Z
3.2
Conséquence physique des postulats
Les postulats ci-dessus permettent-ils de répondre aux questions posées par les résultats d’expériences ?
3.2.1
Quantification de certaines grandeurs physiques
Le spectre d’un opérateur hermétique peut être discret. Cela explique qu’une grandeur peut être quantifiée.
Si le spectre d’un opérateur A (valeurs propres) est discret, on a une quantification.
3.2.2
Valeur moyenne d’une grandeur physique
Soit un système physique dans l’état |ψi, on veut mesurer une grandeur physique A à laquelle est associée l’observable A.
Il existe des états où l’on est sûr du résultat obtenu lors d’une mesure de A . Ce sont les états représentés par les
fonctions propres de l’observable A. Par contre, si le système est dans un état quelconque
|ψi = ∑ ci |ui i
i
48
CHAPITRE 3. LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
le résultat de mesure s’exprimera comme une superposition linéaire des fonctions propres de A et on ne peut pas
connaître avec certitude les résultats de mesure. On ne peut que faire des prévisions statistiques.
P (ai ) = |hui |ψi|2
= |ci |2
Mesurons A sur un grand nombre de systèmes physiques identiques tous dans l’état |ψi. Soit N le nombre de
mesures et supposons que le spectre de A est discret. Sur N mesures on obtient :
Résultat
a1
a2
..
.
Nombre d’apparition
n1
n2
..
.
Probabilité de mesure
|hu1 |ψi|2
|hu2 |ψi|2
..
.
an
nn
|hun |ψi|2
La valeur moyenne de A dans l’état |ψi est
hAiψ =
n1 a1 + n2 a2 + . . . + nn an
N
nn
= P (an ) est la probabilité de trouver comme mesure an . Elle est donnée par |hun |ψi|2 .
N
Donc
hAiψ = ∑ an P (an )
n
= ∑ an |hun |ψi|2
n
= ∑hψ|un ian hun |ψi
n
Comme A|un i = an |un i , on a :
hAiψ = ∑hψ|A|un ihun |ψi
n


I
}| {


= hψ|A ∑ |un ihun | |ψi
z
n
= hψ|A|ψi
Donc si |ψi est normé alors on a :
hAiψ = hψ|A|ψi
3.2.3
Compatibilité des grandeurs physiques
Considérons deux observables A et B associées à deux grandeurs A et B .
3.2.3.1
Commutabilité et compatibilité
3.2. CONSÉQUENCE PHYSIQUE DES POSTULATS
49
Si A et B commutent, on peut trouver un système de vecteurs propres communs à A et B et qui forme une base.
A|unm i = an |unm i
B|unm i = bm |unm i
Soit un système physique dans un état |ψi.
|ψi = ∑ cα |uα i
α
Effectuons une mesure de A puis une mesure de B .
Le système est dans l’état |ψi.
⇓
Mesure de A : on trouve par exemple an (c’est un résultat probable).
⇓
Le système se trouve après la mesure dans l’état |unm i.
⇓
Mesure de B : on trouve exactement bm (c’est un résultat certain).
⇓
Le système reste après la mesure dans l’état |unm i.
⇓
Mesure de A pour la deuxième fois : on trouve exactement an (c’est un
résultat certain).
⇓
Le système reste après la mesure dans l’état |unm i.
Donc si [A, B] = 0, on peut mesurer simultanénent A et B. Le résultat de la mesure est indépendant de l’ordre dans
lequel la mesure est effectuée. On dit que A et B sont compatibles.
3.2.3.2
Cas où A et B ne commutent pas
Si [A, B] 6= 0, un état propre de l’un n’est pas généralement état propre de l’autre. Si on mesure A on perd les
informations sur la mesure de B et réciproquement.
Le système est dans l’état |ψi.
50
CHAPITRE 3. LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
⇓
Mesure de A : on trouve par exemple ai (c’est un résultat probable).
P (ai ) = |hui |ψi|2
⇓
Le système se trouve après la mesure dans l’état |ui i .
⇓
Mesure de B : on trouve exactement b j (c’est un résultat probable) .
P (b j ) = |hv j |ui i|2
⇓
Le système se trouve après la mesure dans l’état |v j i .
⇓
Mesure de A pour la deuxième fois : on trouve exactement aq (c’est un
résultat probable).
P (aq ) = |huq |v j i|2
⇓
Le système reste après la mesure dans l’état |uq i .
On dit que les grandeurs A et B sont incompatibles.
Exemple
[x, px ] = j~ , x et px sont des grandeurs incompatibles : on ne peut pas mesurer simultanément x et px .
Il y a un grand intérêt à trouver le plus possible des grandeurs compatibles pour un système physique car les
fonctions propres communes aux opérateurs associés décrivent des états où on peut mesurer plusieurs grandeurs
simultanément.
3.3
Evolution dans le temps de l’état d’un système
L’évolution temporelle du vecteur |ψ(t)i est déterminée par l’équation d’évolution :
j~
d
|ψi = H|ψi
dt
3.3. EVOLUTION DANS LE TEMPS DE L’ÉTAT D’UN SYSTÈME
51
−r ,t) à partir de ψ(→
−r ,t ) (la solution d’une
♠ Cette équation est du premier ordre en t : elle permet de déduire ψ(→
0
équation du premier degré est déterminée à une constante près et par suite une seule condition initiale suffit pour
déterminer cette constante).
♠ Elle est linéaire et toute superposition de solutions est une solution.
−r ,t) est
♠ La norme de ψ(→
N = hψ|ψi
Z
=
−r
ψ? ψd 3 →
espace
Elle se conserve au cours du temps.
d
dψ
dψ
hψ|ψi = h |ψi + hψ| i
dt
dt
dt
= − j~hψ|H|ψi + j~hψ|H|ψi
=0
♠ On peut écrire que |ψ(t)i = U(t,t0 )|ψ(t0 )i
On a :
hψ(t)|ψ(t)i = hψ(t0 )|ψ(t0 )i
= hψ(t0 )|U +U|ψ(t0 )i
Donc U +U = I
L’opérateur évolution au cours du temps est un opérateur unitaire.
♠ Rattachement avec la mécanique classique : Théorème d’Ehrenfest
Soit A une observable, la valeur moyenne de A dans l’état |ψ(t)i du système est donnée par :
hAiψ = hψ|A|ψi, avec hψ|ψi = 1
dψ
dA
dψ
d
hAiψ = h |A|ψi + hψ| |ψi + hψ|A| i
dt
dt
dt
dt
−1
1
dA
=
hψ|HA|ψi + hψ|AH|ψi + hψ| )|ψi
j~
j~
dt
d
1
dA
hAiψ = h[A, H]iψ + h iψ
dt
j~
dt
C’est le théorème d’Ehrenfest.
Exemple d’application :
Soit un système décrit par H =
•
dhPx i
1
= h[Px , H]i
dt
j~
Px2
+V (x)
2m
52
CHAPITRE 3. LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Px2
] + [Px ,V (x)]
2m
= [Px ,V (x)]
[Px , H] = [Px ,
Comme Px = − j~
∂
∂V
, [Px ,V (x)] = − j~
∂x
∂x
dhPx i
∂V
= −h i
dt
∂x
= hFx i
C’est le principe fondamental de la mécanique classique.
dhxi
1
•
= h[x, H]i
dt
j~
=0
z }| {
P2
] + [x,V (x)]
[x, H] = [x,
2m
Px
= j~
m
dhxi
Px
=h i
dt
m
= hvx i
C’est la définition de la vitesse.
Remarque : D’une manière générale, on a [x, Pxn ] = j~nPxn−1
3.4
3.4.1
Cas des systèmes conservatifs
Définition
On appelle système conservatif un système pour lequel l’énergie totale se conserve au cours du temps.
La valeur moyenne de l’énergie hHi pour un système conservatif est constante quel que soit l’état dynamique dans
lequel se trouve le système.
Or
1
dH
dhHi
= h[H, H]i + h
i
dt
j~
dt
dH
=h
i
dt
dH
Pour qu’un système soit conservatif il faut et il suffit que h
i = 0, c’est-à-dire il faut que H ne dépend pas
dt
explicitement du temps.
Pour un système conservatif, l’énergie est une constante du mouvement comme en mécanique classique.
3.4.2
Résolution de l’équation de Schrödinger
3.4. CAS DES SYSTÈMES CONSERVATIFS
53
L’opérateur d’évolution de l’état |ψ(t)i d’un système physique tel que |ψ(t)i = u(t,t0 )|ψ(t0 )i vérifie l’équation de
Schrödinger
j~
∂
U(t,t0 )|ψ(t0 )i = H(t)U(t,t0 )|ψ(t0 )i
∂t
∂U(t,t0 )
= H(t)U(t,t0 )
j~
∂t
avec U(t0 ,t0 ) = I
•
La solution de cette équation en tenant compte de la condition initiale est
U(t,t0 ) = I −
•
j
~
Z t
t0
H(τ)U(τ,t0 )dτ
Pour un système conservatif, H est indépendant du temps, on a :
dU(t,t0 )
1
= Hdt
U(t,t0 )
j~
j
U(t,t0 ) = e− ~ H(t−t0 )
Connaissant l’opérateur d’évolution pour un système conservatif, il est possible maintenant de déterminer l’évolution d’un état quelconque |ψ(t)i du système. Pour cela, considérons l’équation aux valeurs propres de l’observable
H:
H|n, λi = En |n, λi
où λ regroupe l’ensemble des indices autres que n, nécessaires pour spécifier l’état. λ est en général une suite de
valeurs propres d’opérateurs qui forment un ECOC avec H.
|ψ(t)i se développe sur la base |n, λi
|ψ(t)i = ∑ Cn,λ (t)|n, λi
n,λ
De même,
|ψ(t0 )i = ∑ Cn,λ (t0 )|n, λi
n,λ
En prenant t0 = 0 comme origine du temps,
|ψ(0)i = ∑ Cn,λ (0)|n, λi
n,λ
Or
|ψ(t)i = u(t, 0)|ψ(0)i
= u(t, 0) ∑ Cn,λ (0)|n, λi
n,λ
= ∑ Cn,λ (0)u(t, 0)|n, λi
n,λ
= ∑ Cn,λ (0)e(−
jHt
~ )
|n, λi
n,λ
= ∑ Cn,λ (0)e(−
jEn t
~ )
|n, λi
n,λ
Donc
Cn,λ (t) = Cn,λ (0)e(−
jEn t
~ )
54
CHAPITRE 3. LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Donc connaissant |ψ(0)i, c’est-à-dire les Cn,λ (t0 ), on connaît |ψ(t)i
jEn t
~ )
|ψ(t)i = ∑ Cn,λ (0)e(−
|n, λi
n,λ
3.4.3
Etats stationnaires
Un cas particulier important est celui où l’état initial |ψ(0)i est un état propre de H.
|ψ(0)i = ∑ Cn,λ(0) |n, λi
n,λ
0
= |n , λ0 i
Donc
Cn,λ (0) = δnn0 δλλ0
Dans ce cas,
|ψ(t)i = ∑ Cn,λ (0)e−
jEn t
~
|n, λi
n,λ
= ∑ δnn0 δλ,λ0 e−
jEn t
~
|n, λi
n,λ
= e−
jEn0 t
~
|n0 , λ0 i
|ψ(t)i et |ψ(0)i sont physiquement indiscernables. Donc toutes les propriétés physiques à un système qui se trouve
dans un état propre de H ne varient pas au cours du temps.
Les états propres de H sont appelés pour cette raison états stationnaires. Ils constituent les seuls états stationnaires
pour le système.
3.4.4
Constante du mouvement
Une constante du mouvement est une grandeur dont la valeur moyenne reste constante dans le temps quelque soit
l’état dans lequel se trouve le système. Autrement dit
dhAi
=0
dt
Or
dhAi
1
dA
= h[A, H]i + h i
dt
j~
dt
Dire que A est une constante du mouvement est équivalent à dire que
dA
= 0 et que [A, H] = 0.
dt
Cas particulier : Pour un système conservatif, H est une constante du mouvement.
Si A et H commutent, on peut trouver une base propre commune
H|n, a, λi = En |n, a, λi
A|n, a, λi = a|n, a, λi
λ désigne les valeurs propres des observables qui forment avec H et A un ECOC.
3.4. CAS DES SYSTÈMES CONSERVATIFS
55
Les états |n, a, λi étant stationnaires demeurent toujours états propres de H et A à tout instant. Les valeurs propres
de A sont appelées pour cette raison bons nombres quantiques et peuvent servir à indexer les différentes valeurs de
l’énergie.
Remarque
→
−
dL
→
−
→
− − →
→
−
= 0.
• En mécanique classique L = →
r ∧ −p , L se conserve si
dt
→
−
L est une constante du mouvement. On a la même condition en mécanique quantique. Mais comme les opérateurs
ne commutent pas on a alors une condition supplémentaire.
• Soit |ψ(t)i un état quelconque. La probabilité de trouver la valeur a0 lors d’une mesure de A, constante du
mouvement, ne dépend pas du temps.
|ψ(0)i =
∑ Cn,a,λ (0)|n, a, λi
n,a,λ
|ψ(t)i =
∑ Cn,a,λ (t)|n, a, λi
n,a,λ
Avec
Cn,a,λ (t) = Cn,a,λ (0)e−
P (a = a0 ,t0 ) =
jEn t
~
∑ |Cn,a0 ,λ (0)|2
n,a,λ
= P (a = a0 ,t)