Mécanique Quantique I

Université de Gabès
Faculté des Sciences de Gabès
Département de Physique
Cours
Troisième année LFPh
Mécanique Quantique I
Partie 1
Kamel Khirouni
Noureddine Bouguila
Année universitaire 2015-2016

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Table des matières
1 Formalisme de la mécanique quantique 5
1.1 Introduction.............................................. 5
1.2 Particulesquantiques ......................................... 5
1.2.1 Introduction.......................................... 5
1.2.2 Particuleclassique ...................................... 6
1.2.3 Particulequantique...................................... 7
1.3 Description quantique d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Dualité onde-corpuscule : principe de complémentarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Paquetd’ondes ........................................ 7
1.3.3 Principe 1 : Aspect probabiliste de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Principe2........................................... 9
1.3.5 Principe3........................................... 9
1.4 Description quantique d’une particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Nécessité d’un paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Exemple de paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Relation d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Particule dans un potentiel scalaire indépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Outils mathématiques de la mécanique quantique 17
2.1 Espace des fonctions de carré sommable E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Base orthonormée complète de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Basediscrète......................................... 18
2.2.2 Basecontinue......................................... 19
2.2.3 Exemples de bases continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4 Ondesplanes ......................................... 22
2.2.5 Deuxième exemple de base continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Espaces des états et notations de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Définition........................................... 23
2.3.2 NotationdeDirac....................................... 23
2.3.3 Opérateurslinéaires ..................................... 24
2.3.4 Propriétésdesopérateurs................................... 25
2.3.5 Elément de matrice d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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4TABLE DES MATIÈRES
2.3.6 Opérateur particulier : projecteur sur un état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.7 Relations caractéristiques d’une base orthonormée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.8 Changementdebase ..................................... 28
2.3.9 Opérateuradjoint ...................................... 29
2.3.10 Opérateurhermétique..................................... 29
2.3.11 Représentation matricielle de l’adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Equations aux valeurs propres et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Recherche des valeurs propres et des kets propres d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 Opérateurobservable .................................... 33
2.5 Ensemble d’observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.1 Théorèmefondamental.................................... 34
2.5.2 Deuxièmethéorème ..................................... 35
2.5.3 Troisièmethéorème...................................... 36
2.5.4 Ensemble d’observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Opérateursunitaires.......................................... 36
2.6.1 Définition........................................... 36
2.6.2 Opérateur unitaire et changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.3 Matriceunitaire........................................ 38
2.6.4 Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.5 Transformation unitaire sur les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.6 Transformation unitaire infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Les postulats de la mécanique quantique 41
3.1 Postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 P1:Vecteurd’état ...................................... 41
3.1.2 P2 : Opérateur représentant une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.3 P3 : Mesure d’une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.4 Etataprèslamesure ..................................... 43
3.1.5 P6- Evolution des systèmes dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.6 Principe de correspondance et justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Conséquence physique des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Quantification de certaines grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Valeur moyenne d’une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.3 Compatibilité des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Evolution dans le temps de l’état d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Casdessystèmesconservatifs .................................... 52
3.4.1 Définition........................................... 52
3.4.2 Résolution de l’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.3 Etatsstationnaires ...................................... 54
3.4.4 Constantedumouvement .................................. 54

Chapitre 1
Formalisme de la mécanique quantique
1.1 Introduction
La physique élaborée jusqu’au dix-neuvième siècle est nommée physique classique. Elle se basait sur deux disci-
plines fondamentales :
– la mécanique newtonienne débutée par Galilée et mise au point par Newton.
– la théorie électromagnétique mise au point par Maxwell.
La mécanique newtonienne élargie par la mécanique statistique et la thermodynamique (mise au point par Boltz-
mann) permet avec la théorie de Maxwell de résoudre les phénomènes mécaniques, électriques, de rayonnement,
d’optique, ...
A la fin du dix-neuvième siècle certains scientifiques avaient l’impression que la physique constituait un édifice
achevée et inébranlable. On savait aussi qu’il reste quelques points obscurs qu’on espérait résoudre rapidement.
Parmi ces problèmes, on note l’émission du corps noir, l’instabilité de l’atome, l’émission atomique, ...
En effet, ces problèmes n’ont pas tardé à trouver leurs solutions mais les événements ne sont pas déroulés comme
on l’espérait. Il a fallu mettre en cause certaines théories pour résoudre certains problèmes. Autrement dit , un
monde s’écroulait et un autre allait naître.
Les pionniers de la nouvelle physique (Planck, De Broglie, Einstein, Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Pauli,
...) se trouvaient manier des concepts et des raisonnements différents de ceux de la physique classique. Ils étaient
devant des phénomènes microscopiques où l’expérience est devancée par la théorie. On manipule des entités qui
se comportent comme une onde le matin et comme une particule le soir.
1.2 Particules quantiques
1.2.1 Introduction
Les interprétations des phénomènes de la physique classique reposent sur un postulat fondamental indiquant que
toutes les grandeurs physiques qui caractérisent l’état d’un système sont mesurables, en principe avec une
précision aussi grande que l’on veut et que l’évolution du système obéît à un déterminisme rigoureux.
Ce postulat est bouleversé si on a affaire à un système microscopique. On ne peut plus négliger la perturbation
introduite par l’instrument de mesure sur le système. Les incertitudes de mesure sont parfois supérieures aux
valeurs des mesures. On ne peut plus alors décrire l’état dynamique de tel système par la position et la vitesse et la
notion de trajectoire perdra ainsi sa signification fondamentale.
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