Graphes de Réseaux - Frederic Vernier Home Page

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Récursivité
Programmation IMPérative Avancée
Dichotomie
Frédéric Vernier
Arbre
xxx
yyy
Graphes
Examen blanc
inspiré du cours de Burkhart Wolff
Traverse et Calculs dans Arbres
Exemple: Graphes de Réseaux
Réseau de transport
Graphes omniprésent !
Stations (+type)
Exemples
Connexions
Représentations de graphes
Routes
Parcours et Calculs
etc.
Exemple: Graphes
Exemple: Recherche Labyrinthe
La recherche d’une
sortie d’un labyrinthe …
Réseau sociaux
(mais qui te like?)
Exemple: Recherche Labyrinthe
Recherche d’une
sortie = arbre
ensemble des
chemins = graphe
Exemple: Configurations en Jeux
n queens
peut avoir
des cycles
Graphe
implicite
Graphes : Définition
… consistent d’un ensemble de sommets (noeuds) V et de
liens entre eux, des arêtes (arcs) E entre eux, i.e. un ensemble
de paires entre les V.
… peuvent être
orientés (E non-symétrique)
Graphs : Definitions
… peuvent avoir:
cas: orientés
- in-degré (example: 2)
- out-degré (example: 2)
cas non-orientés
- degré
(example: 2)
des attributs sur des sommets (ex.: “graph coloré”)
ou non-orientés (E symétrique)
… peuvent avoir (en plus des arbres):
boucles ([4,5,2,3]),
des attributs sur des arêtes (ex.: “graph pondéré”)
sommets avec plusieurs “pères” (2)
Graphe : Représentation
Représentation de Graphes:
G = (V,E) ou
V = {1,2,3,4,5,6}
E = {(6,4),(4,3),(4,5),(5,2),(5,1),(2,1),
(4,6),(3,4),(5,4),(2,5),(1,5),(1,2)}
Graphe : Représentation
Et, bien sur, une représentation
par référence (position dans tableaux):
[[2,5], [5,1],
[2,4], [3,5,6],
[1,2,4], [4]]
… ou par une fonction:
vector<ref> voisins(<ref>)
Exemple de problème
Différentes formes de graphes
et de problèmes … [Wikipedia]
Route problems
!•!Hamiltonian path and cycle problems
!•!Minimum spanning tree
!•!Route inspection problem
(also called the "Chinese Postman Problem")
!•!Seven Bridges of Königsberg
!•!Shortest path problem
!•!Steiner tree
!•!Three-cottage problem
!•!Traveling salesman problem (NP-hard)
Certaines Graph-Problèmes
Problème du voyageur de commerce:
pour un graphe pondéré G = (V, A, !)
Exemple de problème
Problème du chemin Hamiltonien:
(pour des graphes orientés et non-orientés):
… trouver un chemin qui
passe par tous les sommets
exactement une fois.
… n’existe pas dans tous
les graphes.
Autre exemple
graphe pondéré:
visiter chaque sommet qu’une seule fois
(sauf le départ et fin, qui sont égaux)
Arbre couvrant
de poids minimal
(angl: Minimum
spanning tree)
minimiser le cout du chemin
sommets tous liés
problème d’optimisation
récurrent et complexe (NP)
poids minimal
typiquement non-orienté, mais …
Graphes & Arbres
Graphs vs. Arbres: Marquages
Arbres faciles à explorer par des
algorithmes récursives
Idée: explorer les graphes par
construction de sous-arbres …
… marquer les sommets déjà visitées …
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marquer(A)
de-marquer(A)
est-marqué(A)
Explicites et implicites Graphs
Comme dans le cas des arbres, les sommets
et les arrêtes peuvent être
explicitement représentés
(métro, shortest path navigation …)
implicitement représentés:
(jeux, labyrinthes … )
vector<ref> voisins(sommets S)
visiter(S, op)
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Schéma de parcours d’arbres
Parcours en profondeur (depth-first)
Variante: Parcours Postfixe.
(Variantes infixe et prefixe analog arbres)
void visiterGraph(Sommet A){
marquer(A)
foreach(Sommet S : voisins(A))
if(nonMarque(S))
visiterGraph(S);
visiter(A);
de-marquer(A);
}
✓
Schema evaluation de graphes
code C++
Parcours en profondeur (depth-first)
/* Rappel d’un algorithme de recherche: */
char
char
char
char
char
Variante : Parcours Postfixe.
(Variantes infixe et prefixe analogue aux arbres)
<Res> evalGraph(Sommet A){
marquer(A);
foreach(Sommet S : voisins(A))
if(nonMarque(A))
vector<Res> res=evalArete(A,S,evalGraph(S));
MUR
VIDE
EN_CONSTR
IMPASSE
CHEMIN
=
=
=
=
=
'#';
' ';
'?';
'@';
'o';
typedef vector<vector<char> > Labyrinthe;
Labyrinthe laby;
de-marquer(A);
…
return eval(A, res);
}
code C++
code C++
/* Rappel d’un algorithme de recherche: */
/* Rappel d’un algorithme de recherche: */
bool chemin1_r(int x, int y){
//cout << x << "," << y << endl;
laby[y][x] = EN_COURS;
bool trouve = false;
if (x==laby[laby.size()-2].size()-2 && y==laby.size()-2){
laby[y][x] = CHEMIN;
return true;
}
if (laby[y][x+1]==VIDE) trouve=chemin1_r(x+1, y);
if (! trouve && laby[y+1][x]==VIDE) trouve=chemin1_r(x,y+1);
if (! trouve && laby[y][x-1]==VIDE) trouve=chemin1_r(x-1,y);
if (! trouve && laby[y-1][x]==VIDE) trouve=chemin1_r(x,y-1);
bool chemin1_r(int x, int y){
}
marquer(x,y)
le résultat
laby[y][x] = EN_COURS;
bool trouve = false;
if (x==laby[laby.size()-2].size()-2 && y==laby.size()-2){
laby[y][x] = CHEMIN;
donc voisin pas marqué
return true;
}
if (laby[y][x+1]==VIDE) trouve=chemin1_r(x+1, y);
if (! trouve && laby[y+1][x]==VIDE) trouve=chemin1_r(x,y+1);
if (! trouve && laby[y][x-1]==VIDE) trouve=chemin1_r(x-1,y);
if (! trouve && laby[y-1][x]==VIDE) trouve=chemin1_r(x,y-1);
if (trouve)laby[y][x] = CHEMIN
return trouve;
}
if (trouve)laby[y][x] = CHEMIN;
return trouve;
de-marquer(x,y)
Parcours Labyrinthe
Les Sommets: une “configuration”, i.e.
un pair de:
Parcours de graphes
Intérêt particulier:
Parcours en largeur (breadth first)
l’état du labyrinthe, avec
ses murs, ses cases encore vides,
ses cases déjà visités
Rappel:
Structure de donné auxiliaire:
File <X> (angl: Queue)
la position actuelle: x et y
First-in-first-out principle (FIFO)
calculer les voisins de (x,y) :
trouver positions voisins qui sont
elements clé: operations
File<X> FileVide
ni déjà visité ni mur ! Graph implicite !!!
Parcours de graphes
Schéma d’un parcours en largeur
(breadth first)
ParcoursLargeur(Sommet A){
f = FileVide;
enfiler(A, f);
while (f != FileVide) {
nœud = defiler(f);
marquer(nœud);
Visiter(nœud); //On choisit de faire une opération
foreach(S:voisins(nœud)
if (non_marque(S))
enfiler(S, f)
de-marquer(nœud)
}
}
Calculs dans graphes
Schéma pour évaluation en largeur …
<res> evalLargeur(Sommet A){
File<Pair<Sommet, res_tmp>> f = FileVide;
<res> res = initRes()
enfiler(A, f);
while (f != FileVide) {
nœud = defiler(f);
marquer(nœud)
foreach(S:voisins(nœud)
if (non_marque(S))
<res_tmp> res_tmp = eval(nœud, S, res, f)
res = update(nœud, S, res, res_tmp)
enfiler((S, res_tmp),f)
de-marquer(nœud)
}
return res
}
Parcours de graphes
Quelle stratégie de parcours est
meilleur pour “find_shortest_path” parcours en profondeur
Résumé
Graphes sont une structure de donnée
(récurrente :-) en informatique
Algorithmes efficaces de grand intérêt
parcours en largeur
une approche de leur parcours et utilisation :
réduction en arbre (via marqueur)
???
et exploration avec des stratégies connues …