Transfert de Chaleur et de Masse

Convection
Objectifs
Transferts de chaleur et de masse : Objectifs
I
Faire comprendre les mécanismes de transferts par convection
I
Metter en évidence et présenter des outils de calcul des transferts par convection
Adil Ridha (Université de Caen)
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2008-2009
1 / 30
Convection
Le problème
Convection thermique
ϕ
U∞ , T ∞
dS
I
Intensité locale du flux thermique ϕ = h(Ts − T∞ )
I
h : coefficient local de convection thermique
Z
Flux thermique total : Φ =
ϕdS
S
Z
Si Ts = Cte, Φ = (Ts − T∞ )
hdS
I
S, Ts
I
S
I
U∞ , T ∞
ϕ
S, Ts
x
dx
I
L
I
Adil Ridha (Université de Caen)
Coefficient moyen de convection , h :
Φ = hS(Ts − T∞ )
Z
1
Définition : h =
hdS
S S
Z
1
Cas d’une plaque plane : h =
hdx
L S
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Convection
Convection de masse
Convection de masse
Écoulement d’un fluide de l’espèce A,
à une concentration CA,∞ (dans un
mélange binaire A+B) sur une surface
maintenue à une uniforme concentration CA,s 6= CA,∞
I
NA′′
U∞ , CA,∞
dS
I
NA00 (kmol/s.m2 ) : flux molaire de l’espèce A
I
NA00 = hm (CA,s − CA,∞ ),
I
S, CA,s
hm (m/s) : coefficient de transfert de masse par
convection.
I
C mesuré par kilogrammemol/m3 (= kmol/m3 )
Z
Flux molaire total : NA =
NA00 dS
S
I
I
U∞ , CA,∞
NA′′
S, CA,s
x
dx
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I
ou NA = hm S(CA,s − CA,∞ )
Z
1
Définition : hm =
hm dS
S S
Cas d’une plaque plane : hm =
1
L
Z
hm dx
S
L
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3 / 30
Convection
Convection de masse
Transfert de masse
I
I
00
Transfert d’espèces peut s’exprimer en intensité du flux de masse nA
(kg/s.m2 ) ou en flux de
masse nA (kg/s).
En multipliant les équations précédentes par la masse molaire MA (kg/kmol) pour l’espèce
A, l’on obtient les relations correspondantes :
I
ρA = MA CA , (kg/m3 ) masse volumique de l’espèce A.
I
00
nA
= hm (ρA,s − ρA,∞ )
I
nA = hm S(ρA,s − ρA,∞ )
I
La concentration C est déterminé en notant l’équilibre thermodynamique à l’interface entre
les phases gaz et liquide ou solide.
I
À un tel état d’équilibre, la température de vapeur à l’interface est égale à la température de
surface Ts .
I
Il s’agit alors de l’état de saturation.
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Convection
Les couches limites en convection
Couches limites en convection
Le transfert de chaleur et de masse a lieu dans une région limitrophe à la surface sur lequel le
fluide s’écoule. On appel cette région la couche limite. Il existe alors trois couches limites
interdépendantes :
I
La couche limite dynamique
I
La couche limite thermique
I
La couche limite de concentration
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Convection
Couche limite dynamique
I
Particules fluides en y = 0 immobiles relativement à la plaque.
I
L’écoulement près de la paroi est ralenti,
I
Le gradient de vitesse normal à la paroi ∂u/∂y est grand.
I
Dans une zone “mince”, (dite la Couche Limite) :
−
→
−
→
→
→
v (y = 0) = 0 =⇒ −
v (y = δ) = U∞ −
x
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Convection
Couche limite dynamique
˛
∂u ˛˛
∂y ˛paroi
˛
∂u ˛˛
µ
∂y ˛
I
La contrainte de cisaillement à la paroi : τs = µ
I
Coefficient de frottement : Cf =
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τs
1
2
ρU∞
2
=
paroi
1
2
ρU∞
2
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Convection
Couche limite thermique
Couche limite thermique
T∞
y
U∞
Courant libre
T∞
δt (x)
Couche limite
thermique
δt
x
Ts
I
Une couche limite thermique se forme si Ts 6= T∞ ,
I
Épaisseur de couche limite thermique δt ,
I
T (y = 0) = Ts , T (y = δt ) = T∞ ,
I
D’après la loi de Fourier, au sein du fluide : ϕs (x, y = 0) = −λfluide
I
I
h(x) =
˛
∂T ˛˛
∂y ˛y =0
−λfluide (∂T /∂y )y =0
,
Ts − T∞
Remarque : δt augment avec x =⇒ (∂T /∂y )y =0 et h décroissent avec x.
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Convection
Couche limite de concentration
Couche limite de concentration
Mélange binaire
de A+B
CA,∞
y
U∞
CA,∞
Courant libre
δc (x)
Couche limite
de concentration
δc
x
CA,s
I
Dès que CA,∞ 6= CA,s une couche limite se forme.
I
Épaisseur de couche limite de concentration δc ,
I
CA (x, y = 0) = CA,s , CA (x, y = δc ) = CA,∞ ,
I
I
I
∂CA −
−
→
→
n
La loi de Ficks : N 00
A = −DAB
∂n
DAB : Coefficient de diffusion binaire (de mélange binaire A + B ).
˛
∂CA ˛˛
−DAB
˛
∂y ˛y =0
∂CA ˛˛
00
En y = 0, NAB
=⇒
h
=
= −DAB
m
∂y ˛y =0
CA,s − CA,∞
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Convection
Couche limite de concentration
Couche limite de concentration
Mélange binaire
de A+B
CA,∞
y
U∞
CA,∞
Courant libre
δc (x)
Couche limite
de concentration
δc
x
CA,s
I
I
Concentration totale C = CA + CB .
En multipliant par la masse moleculaire de l’espèce MA , il vient :
I
I
∂ρA →
00
−
−
n
La loi de Ficks : →
n A = −DAB
∂n
˛
˛
∂ρA ˛
−DAB
∂y ˛y =0
En y = 0, hm =
ρA,s − ρA,∞
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Convection
Remarques
Remarques
I
Dès qu’un fluide s’écoule sur une surface, une couche limite dynamique, d’épaisseur δ(x), se
forme.
I
Une couche limite thermique, d’épaisseur δt (x), n’existe que lorsqu’il y a un écarte de
température entre les valeurs respectives à la surface et au courant libre,
I
Une couche limite de concentration, d’épaisseur δc (x), n’existe que lorsqu’il y a un écarte de
concentration entre les valeurs respectives à la surface et au courant libre,
I
δ(x), δt (x) et δc (x) varient de la même manière avec x, mais n’ont pas la même valeur à la
même location x.
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Convection
Résumé pour l’ingénieur
Résumé : coefficients de transferts
Pour l’ingénieur : - paramètres pratiques associés à la couche limites :
˛
∂u ˛˛
µ
∂y ˛paroi
τs
I Coefficient de frottement : C =
=
,
f
1
1
2
2
ρU∞
ρU∞
2
2
˛
∂T ˛˛
−λfluide
∂y ˛y =0
I Cofficient de transfert thermique : h =
,
Ts − T∞
˛
∂ρA ˛˛
−DAB
∂y ˛y =0
I Coefficient de transfert de masse : hm =
ρA,s − ρA,∞
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Écoulements laminaire et turbulent
Écoulement laminaire et turbulent
I
Avant de traiter un problème de convection il faut d’abord déterminer si l’écoulement est
laminaire ou turbulent
I
L’exemple de l’écoulement sur une plaque plane.
y
région laminaire
région de
région turbulente
U∞
Rex < 5 × 10
5
transition
5
5 × 10 < Rex < 10
7
U∞
δ
x
xc
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sous–couche limite laminaire
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Écoulements laminaire et turbulent
Écoulement laminaire et turbulent
I
I
I
Si x est dans la direction de l’écoulement et y est normal à la surface,
∂(.)
∂(.)
.
∂y
∂x
ρU∞ x
ρU∞ xc
Écoulement laminaire si Rex =
< Rec =
' 5 × 105
µ
µ
y
région laminaire
région de
région turbulente
U∞
Rex < 5 × 105
transition
5 × 105 < Rex < 107
U∞
δ
x
xc
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sous–couche limite laminaire
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Écoulements laminaire et turbulent
Écoulement laminaire et turbulent sur une plaque plane
h, δ
h(x)
δ(x)
U∞ , T ∞
Ts
xc
Laminaire
I
x
Turbulent
Transition
Schématique représentation de l’évolution de l’épaisseur de couche limite δ(x) et le
coefficient local de transfert thermique par convection h(x) pour l’écoulement sur une plaque
plane isotherme.
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Équations
Couche limite dynamique
Équation de la couche limite dynamique, ρ ' Cte., µ ' Cte.
∂u
∂v
+
=0,
∂x
∂x
Continuité :
(1)
force
volumique
„
x − mouvement :
ρ
∂u
∂u
∂u
+u
+v
∂t
∂x
∂y
«
z}|{
∂2u
X
+µ 2
∂y
∂p
=−
+
∂x
(2)
force
volumique
y − mouvement :
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0=−
∂p
+
∂y
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z}|{
Y
(3)
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Équations
Couche limite thermique
Équation de la couche limite thermique
ρ
8
stockage
>
>
d’énergie
>
>
z}|{
>
>
< De
>
Dt
>
>
>
>
>
:
Équation de la conservation de l’énergie
9
travail de forces >
>
chaleur reçue
de pression
dissipation thermique
> par
conduction
z
}|„ «–{>
>
due à la viscosité
>
»
=
z }| {
z}|{
D 1
= ∇(λ∇T ) +
− −p
Φ
Dt ρ >
>
>
>
>
>
;
I
Si ρ ' Cte. et µ ' Cte. : cv = cp = c, de = cv dT = cp dT = cdT
I
Si λ ' Cte. :
ρc
1
µ
2
„
∂vj
∂vi
+
∂xi
∂xj
DT
= λ∇2 T + Φ
Dt
«2
I
Rappel : Φ =
.
I
En notant α = λ/ρc, on obtient, finalement pour l’équation de la couche limite thermique :
∂T
∂T
∂T
∂2T
1
+u
+v
=α 2 +
Φ
∂t
∂x
∂y
∂y
cρ
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Équations
Couche limite de concentration
Équation de conservation de masse de l’espèce A, de concentration CA
S
y
CA~v
−
→
→
n
~n, J CA = (−DA ∇C) · −
~
dS
V, CA , ρA
I
V : un volume de fluide fixé dans l’espace,
I
V est délimité par la surface S.
I
~n : vecteur unité normale extérieur à S
I
Flux de diffusion de l’espèce A :
−
→
loi de Ficks J CA = −DA ∇CA
I
DA (m2 /s) : le coefficient de diffusion de l’espèce A.
→
Flux de convection de l’espèce A : C −
v
I
→
Flux total : CA −
v − DA ∇CA
I
Sources de masse de l’espèce A (kmol/m3 .s) : ṄA
I
x
A
z
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Équations
I
Bilan de masse pour l’epèce A dans V :
ZZZ
ZZ ZZZ
` →
´ →
d
CA dV = − CA −
v − DA ∇CA · −
n dS +
ṄA dV
dt
V
S
V
|
|
{z
} |
{z
}
{z
}
variation
temporelle de la
masse dans V
I
I
I
I
Couche limite de concentration
flux de masse
à travers S
Sources de masse
de l’espèce A
ZZZ
ZZZ
d
∂CA
CA dV =
dV
dt
V
V ∂t
En appliquant le théorème de Gauss-Ostrogradsky :
«
ZZZ „
` →
´
∂CA
+ ∇ · CA −
v − DA ∇CA − ṄA dV = 0
∂t
V
Comme V étant fixé :
` →
´
∂CA
+ ∇ · CA −
v − DA ∇CA − ṄA = 0
∂t
En multipliant par MA , et en réarrangeant :
D’où :
∂ρA
→
+ ∇ · (ρA −
v ) = ∇ · (DA ∇ρA ) + ṅA
∂t
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Équations
Couche limite de concentration
Équation de la couche limite de concentration, en 2D
∂
∂ρA
→
+ ∇ · (ρA −
v)=
∂t
∂y
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„
DA
∂ρA
∂y
Transfert de Chaleur et de Masse
«
+ ṅA
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Paramètres de similitude
Couche limite et paramètres de similitude
Paramètres de similitude
Grandeurs caractéristiques
I
I
Longueur caractéristique : L
I
Vitesse caractéristique : U∞
I
Différence caractéristique de température :
Re =
I
∆T = T∞ − Ts
I
Le nombre de Reynolds :
Le nombre de Prandtl :
Pr =
Différence caractéristique de concentration :
∆CA = CA,∞ − CA,s
U∞ L
Forces d’inertie
=
Forces de visqueuses
ν
I
Le nombre de Schmidt :
Sc =
Grandeurs sans dimensions
∗
(x , y ) ≡ (x/L, y /L)
I
(u ∗ , v ∗ ) ≡ (u/U∞ , v /∞)
T ∗ = (T − Ts )/∆T
I C∗
A
∗
I
Diffusion visqueuse
ν
=
Diffusion de masse
DAB
∗
I
I
Diffusion visqueuse
ν
=
Diffusion thermique
α
= (CA − CA,s )/∆CA
p =
2
p/ρU∞
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I
I
I
Forme fonctionnelle de solutions
«
„
dp ∗
u = F1 x ∗ , y ∗ , ReL , ∗
dx
Cf = F2 (x ∗ , ReL )
„
«
dp ∗
T ∗ = F3 x ∗ , y ∗ , ReL , Pr , ∗
dx
∗
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Paramètres de similitude
Paramètre de similitude liés aux transferts par convection
I
Le nombre de Nusselt.
I
Commençons par ˛h :
∂T ˛˛
−λfluide
∂y ˛y =0
=
h=
(Ts − T∞ )
˛
−λfluide (T∞ − Ts ) ∂T ∗ ˛˛
=
L(Ts − T∞ )
∂y ∗ ˛y ∗ =0
˛
λfluide ∂T ∗ ˛˛
>0
L
∂y ∗ ˛y ∗ =0
hL
I
Alors, Nu =
I
Nu = F4 (x ∗ , ReL , Pr )
I
Nu =
λfluide
=
˛
∂T ∗ ˛˛
>0
∂y ∗ ˛y ∗ =0
hL
= F5 (ReL , Pr )
λfluide
Adil Ridha (Université de Caen)
I
I
I
De la même
„ manière :
«
dp ∗
CA∗ = F6 x ∗ , y ∗ , ReL , Sc, ∗
dx
˛
DAB ∂CA∗ ˛˛
hm =
>0
L ∂y ∗ ˛y ∗ =0
Le nombre de Sherwood
:
˛
∂CA∗ ˛
hm L
˛
Sh =
=
DAB
∂y ∗ ˛y ∗ =0
I
Sh = F7 (x ∗ , ReL , Sc)
I
Sh =
hm L
= F8 (ReL , Sc)
DAB
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Paramètres de similitude
Équation sans dimensions
Équations de couches limites sous forme adimensionnelle
Forces volumique supposées négligeables
Remarques
I
Couche limite dynamique :
u∗
I
∂u ∗
∂u ∗
∂p ∗
1 ∂ 2 u∗
(1)
+v ∗ ∗ = − ∗ +
∂x ∗
∂y
∂x
ReL ∂y ∗2
Couche limite thermique :
u∗
I
∂2T ∗
∂T ∗
∂T ∗
1
+ v∗
=
∂x ∗
∂y ∗
Pr ReL ∂y ∗2
I
Équations (2) et (3) sont analogues
I
Les conditions aux limites associées, sous
forme sans dimensions sont elles aussi
analogues.
I
Par conséquent
:
„
«
dp ∗
T ∗ = F3 x ∗ , y ∗ , ReL , Pr , ∗ et
dx «
„
dp ∗
CA∗ = F5 x ∗ , y ∗ , ReL , Sc, ∗
dx
sont analogues et de la même forme.
(2)
Couche limite de concentration :
u∗
∂CA∗
∂x ∗
+ v∗
∂CA∗
∂y ∗
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=
∂ 2 CA∗
1
Sc ReL ∂y ∗2
I
(3)
Nu = F4 (x ∗ , ReL , Pr )
(respectivement Nu)
et Sh = F7 (x ∗ , ReL , Sc)
(resp. Sc)
sont aussi analogues et de la même forme.
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Analogies
Critère d’analogies des couches limites
Équations de couches limites
Couche
Équation de conservation
limite
Dynamique
Thermique
Concentration
Conditions aux limites
paroi
∂u∗
∂p∗
1 ∂ 2 u∗
∂u∗
+ v∗ ∗ = − ∗ +
∂x∗
∂y
∂x
ReL ∂y ∗ 2
∂T ∗
∂T ∗
1
∂2T ∗
u∗ ∗ + v ∗ ∗ =
∂x
∂y
P r ReL ∂y ∗2
∗
∂C ∗
∂C ∗
1
∂ 2 CA
u∗ A
+ v∗ A
=
∂x∗
∂y ∗
Sc ReL ∂y ∗2
u∗
u∗ (x∗ , 0) = 0,
v ∗ (x∗ , 0) = 0
paramètres
courant libre
u∗ (x∗ , ∞) =
u
=1
U∞
T ∗ (x∗ , 0) = 0
T ∗ (x∗ , ∞) = 1
∗
CA
(x∗ , 0) = 0
∗
CA
(x∗ , ∞) = 1
de similitude
LU∞
ν
ν
ReL , P r =
α
ν
ReL , Sc =
DAB
ReL =
I
Les équations de couches limites sous forme sans dimensions ainsi que les conditions aux
limites associées sont très semblables l’une à l’autre.
I
Ces formes semblables conduisent aux analogies différéntes entre elles.
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Analogies
Analogie entre les transferts de chaleur et de masse
Analogie entre les transferts de chaleur et de masse - I
Couche
Équation de conservation
limite
Conditions aux limites
paroi
Dynamique
u∗
Thermique
Concentration
∂u∗
∂u∗
∂p∗
1 ∂ 2 u∗
+ v∗ ∗ = − ∗ +
∂x∗
∂y
∂x
ReL ∂y ∗ 2
u∗
u∗
∂T ∗
1
∂2T ∗
∂T ∗
+ v∗ ∗ =
2
∂x∗
∂y
P r ReL ∂y ∗
∗
∂C ∗
∂CA
+ v∗ A
=
∂x∗
∂y ∗
∗
∂ 2 CA
1
Sc ReL ∂y ∗2
u∗ (x∗ , 0) = 0,
v ∗ (x∗ , 0) = 0
paramètres
courant libre
u∗ (x∗ , ∞) =
u
=1
U∞
T ∗ (x∗ , 0) = 0
T ∗ (x∗ , ∞) = 1
∗
CA
(x∗ , 0) = 0
∗
CA
(x∗ , ∞) = 1
de similitude
ReL =
LU∞
ν
ReL , P r =
ReL , Sc =
ν
α
ν
DAB
I
Pr et Sc sont analogue mais ils ne sont pas égales.
I
À rappeler : Nu et Sh sont des paramètres sans dimensions des gradients de T ∗ et CA∗ .
I
En connaissant l’équation pour Nu (respectivement Sh) ,on peut en déduire l’équation pour
Sh (resp. Nu)
I
I
On remplace Nu (resp.. Sh) par Sh (resp. Nu) et Pr (resp. Sc) par Sc (resp. Pr )
Pour la même forme géométrique, la même position sans dimensions x ∗ et ReL , on peut
utiliser la solution du problème de transfert thermique pour le problème du transfert de
masse.
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Analogies
Analogie entre les transferts de chaleur et de masse
Analogie entre les transferts de chaleur et de masse - II
Écoulement fluide
Transfert thermique
dp∗
T ∗ = F3 x∗ , y ∗ , ReL , P r, ∗
dx
hL
∂T ∗ Nu =
>0
=
∗
λ
∂y y∗ =0
dp∗
u∗ = F1 x∗ , y ∗ , ReL , ∗
dx
2 ∂u∗ Cf =
∗
ReL ∂y y∗ =0
Cf = F2 (x∗ , ReL )
N u = F4 (x∗ , ReL , P r)
hL
Nu =
= F5 (ReL , P r)
λfluide
Transfert de masse
dp∗
∗
CA
= F5 x∗ , y ∗ , ReL, Sc, ∗
dx
∗ hm L
∂CA
Sh =
>0
=
∗
DAB
∂y y∗ =0
Sh = F7 (x∗ , ReL , Sc)
hm L
Sh =
= F8 (ReL , Sc)
DAB
I
À rappeler : les forme fonctionnelles de Nu et Sh.
I
Nu et Sh sont en général proportionnelles aux puissances de Pr et Sc, respectivement.
I
En générale :
Nu = f (x ∗ , Rex )Pr n ,
Sh = f (x ∗ , Rex )Sc n
on trouve souvent
n = 1/3
Nu
Sh
=
Pr n
Sc n
I
D’où :
I
On en déduit alors :
Adil Ridha (Université de Caen)
h
λL
=
= ρcp Le 1−n où : Le = α/DAB , est le nombre de Lewis.
hm
DAB Le n
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Analogies
Analogie entre les transferts de chaleur et de masse
Cas particulier
I
Si Pr = Sc :
I Nu = Sh
∗
I T
= CA∗
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Analogies
Analogie de Reynolds
Analogie de Reynolds- I
Couche
Équation de conservation
limite
Dynamique
u∗
∂u∗
∂p∗
1 ∂ 2 u∗
∂u∗
+ v∗ ∗ = − ∗ +
∂x∗
∂y
∂x
ReL ∂y ∗ 2
u∗ (x∗ , ∞) =
u
=1
U∞
T ∗ (x∗ , 0) = 0
T ∗ (x∗ , ∞) = 1
∗
∗
1
∂ 2 CA
∂C ∗
∂CA
+ v∗ A
=
∂x∗
∂y ∗
Sc ReL ∂y ∗2
∗
CA
(x∗ , 0) = 0
∗
CA
(x∗ , ∞) = 1
u∗
Concentration
u∗
Si
u∗ (x∗ , 0) = 0,
v ∗ (x∗ , 0) = 0
paramètres
courant libre
1
∂ 2T ∗
∂T ∗
∂T ∗
+ v∗ ∗ =
∂x∗
∂y
P r ReL ∂y ∗2
Thermique
I
Conditions aux limites
paroi
de similitude
ReL =
LU∞
ν
ReL , P r =
ReL , Sc =
ν
α
ν
DAB
∂p ∗
= 0, Pr = Sc = 1 :
∂x ∗
I
I
les trois équations, ainsi que les conditions aux limites associées, auront exactement la même forme,
∗
∗
∗
la même solution est obtenue pour les trois variables : u = T = CA
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Analogies
Analogie de Reynolds
Analogie de Reynolds- II
Écoulement fluide
dp∗
u∗ = F1 x∗ , y ∗ , ReL , ∗
dx
2 ∂u∗ Cf =
ReL ∂y ∗ ∗
y =0
Cf = F2 (x∗ , ReL )
Transfert thermique
dp∗
T ∗ = F3 x∗ , y ∗ , ReL , P r, ∗
dx
hL
∂T ∗ Nu =
=
>
0
λ
∂y ∗ y∗ =0
N u = F4 (x∗ , ReL , P r)
hL
Nu =
= F5 (ReL , P r)
λfluide
dp∗
∗
CA
= F5 x∗ , y ∗ , ReL , Sc, ∗
dx
∗ hm L
∂CA
Sh =
=
>0
DAB
∂y ∗ y∗ =0
Sh = F7 (x∗ , ReL , Sc)
hm L
Sh =
= F8 (ReL , Sc)
DAB
˛
˛
˛
∂CA∗ ˛
∂u ∗ ˛˛
∂T ∗ ˛˛
˛
=
=
.
∂y ∗ ˛y ∗ =0
∂y ∗ ˛y ∗ =0
∂y ∗ ˛y ∗ =0
I
De plus :
I
D’où l’analogie de Reynolds :
I
Transfert de masse
Re
Cf = Nu = Sh
2
Remarque : les trois conditions
∂p ∗
= 0,
∂x ∗
Pr = Sc = 1
sont très restrictives.
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Analogies
Analogie de Reynolds
Les analogies de Chilton-Colburn
I
I
I
Re
Cf = Nu = Sh
2
L’analogie de Reynolds réécrite en fonction de nombres de Stanton (St) et de Stanton de
transfert de masse (Stm ) :
8
Nu
h
>
>
=
< St =
Re
Pr Re
ρU∞ cp =⇒ Cf = St Pr = St Sc
Cf = St Re Pr = Stm Re Sc
m
Sh
hm
>
2
2
>
=
: Stm =
Re Sc
U∞
L’analogie de Reynolds :
L’analogie de Chilton-Colburn modifie légèrement l’analogie de Reynols en y ajoutant les
puissances en Pr et Sc :
Cf
= St Pr 2/3 ≡ jH ,
2
I
Cf
= Stm Sc 2/3 ≡ jm
2
⇐=
à utiliser dans le calcul,
(au lieu de l’analgie de Reynolds)
Analogie conditonée par :
0, 6 < Pr < 60 pour jH
peut être utiliser pour les valeurs locales et moyennes
0, 6 < Sc < 3000 pour jm
∂p ∗
∂p ∗
écoulement laminaire :
∼ 0, (écoulements turbulents : pas de restriction sur
)
∗
∂x
∂x ∗
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