Le champ magnétique - Gymnase français de Bienne

Chapitre 7 OSPH Le champ magnétique 36
7. Le champ magnétique
De nos jours, les aimants sont utilisés dans les appareils de mesure, les moteurs, les haut-
parleurs, les appareils d'enregistrement, les mémoires d'ordinateur, en analyse chimique, pour
concentrer le faisceau d'électrons dans un tube de télévision, et dans une foule d'autres
mécanismes. En plus d'être utile à la navigation, le champ magnétique nous protège contre les
effets dangereux des particules chargées de haute énergie provenant de l'espace. Nous allons
étudier dans ce chapitre les forces exercées par des champs magnétiques sur des particules
chargées et sur des courants électriques.
7.1. Le champ magnétique
Au voisinage d'un barreau aimanté, la limaille de fer
forme une configuration caractéristique qui montre
l'influence de l'aimant sur le milieu environnant. C'est à partir de ces configurations que
Michael Faraday eut l'idée d'introduire la notion du champ magnétique et les lignes de champ
correspondantes. Le champ magnétique
B
en un point est dirigé selon la tangente à une
ligne de champ. Le sens de
B
est celui de la force agissant sur le pôle Nord d'un barreau
aimanté et correspond à la direction vers laquelle pointe l'aiguille d'une boussole. L'intensité
du champ est proportionnelle au nombre de lignes traversant une surface unitaire normale au
champ. On remarque à la figure de gauche que les pôles ne sont pas
situés en des points précis mais qu'ils correspondent plutôt à
des régions mal définies proches des extrémités de l'aimant.
Si l'on essaie d'isoler les pôles en coupant l'aimant, il se
produit une chose curieuse : on obtient deux aimants,
comme on le voit à la figure ci-contre. Si l'on coupe l'aimant
en tranches très fines, chaque fragment garde toujours deux
pôles.
Même à l'échelle atomique, nul n'est parvenu à trouver un pôle magnétique isolé, ce que l'on
appelle un monopole. C'est pourquoi les lignes de champ magnétique forment des boucles
fermées. À l'extérieur de l'aimant, les lignes émergent du pôle Nord et entrent par le pôle sud ;
à l'intérieur, elles sont dirigées du pôle sud vers le pôle Nord.
Définition du champ magnétique
La définition du champ électrique est assez simple. Si
F
est la force agissant sur une charge
électrique stationnaire q placée dans le champ, le champ électrique est
qFE  
, c'est-à-dire
la force par charge unitaire. Mais puisqu'il n'est pas possible d'isoler un pôle, la définition du

Chapitre 7 OSPH Le champ magnétique 37
champ magnétique n'est pas aussi simple. En examinant l'effet d'un champ magnétique sur une
charge électrique, on constate :
La force agissant sur une particule chargée est directement proportionnelle à la charge q et à la
vitesse v, c'est-à-dire :
qvF
 Si la vitesse v de la particule fait un angle  avec les lignes de
B
, on trouve :
sinF
F
est perpendiculaire à la fois à
v
et à
B
.
On peut tenir compte de tous ces résultats en définissant le produit vectoriel :
BvqF 
équation 7.1
Puisque
F
est toujours perpendiculaire à
v
, une force magnétique n'effectue aucun travail sur
une particule et ne peut servir à faire varier son énergie cinétique. L'unité SI de champ
magnétique est le tesla (T). Un aimant ordinaire de laboratoire peut produire un champ
d'environ 1 T, alors qu'un aimant supraconducteur peut produire plus de 30 T. Le tesla étant
une grande unité, on utilise parfois une autre unité, le gauss (G), dont la conversion est la
suivante :
TG 4 101
L'intensité du champ magnétique terrestre près de la surface est voisine de 0,5 G, alors que
l'intensité du champ au voisinage d'un barreau aimanté peut atteindre 50 G.
EXEMPLE 7.1 - Un électron a une vitesse
s
m
v6 10
selon l’axe y, dans un champ
GB 500
selon l’axe z. Quelle est la force agissant sur l’électron ?
7.2. La force sur un conducteur parcouru par un courant
Si l'on place un fil dans un champ magnétique, il n'est soumis
à aucune force. Les vitesses thermiques des électrons libres
sont orientées au hasard et la force nette est donc nulle. Par
contre, lorsque le fil est parcouru par un courant, les électrons
acquièrent une faible vitesse de dérive
d
v
et sont donc soumis
à une force magnétique qui est ensuite transmise au fil.
Considérons un segment rectiligne de fil de longueur l et de section S parcouru par un courant
I perpendiculaire à un champ magnétique uniforme. Si n est le nombre d'électrons de
conduction par unité de volume, le nombre de charges dans ce segment de fil est nSl. Chaque
électron est soumis à une force
Bevd
et la force totale exercée sur les électrons dans ce
segment est :
BevnSlFd )(

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D'après l'équation
d
nSevI 
, et l'expression précédente devient
IlBF 
. Si le conducteur
parcouru par un courant n'est pas perpendiculaire au champ, la force exercée sur le fil est
donnée par l'expression vectorielle :
BlIF 
équation 7.2
où le vecteur
l
est par définition de même sens que
le courant. Comme le montre la figure, la force est
toujours normale au fil et aux lignes de champ.
L'intensité de la force est :
sinIlBF 
équation 7.3
où  est l'angle entre le vecteur
l
et le champ
B
.
Si le fil n'est pas rectiligne ou si le champ n'est pas
uniforme, la force agissant sur un élément de
courant infinitésimal Idl est :
BlIdFd 
La force sur un fil est égale à la somme vectorielle (intégrale) des les éléments de courant.
EXEMPLE 7.2: Un fil rectiligne de longueur 30 cm et de masse 50 g suit la direction est-
ouest. Le champ magnétique terrestre en ce point est horizontal et a une intensité de 0,8 G.
Pour quelle valeur du courant l’effet du champ compense-t-il le poids du fil ?
7.3. Le moment de force sur une boucle de courant
Les côtés horizontaux sont soumis à des forces verticales égales et opposées qui ont tendance
à les écarter (ce que vous pouvez vérifier par la règle de la main droite). Ces forces verticales
n'exercent aucun moment de force puisqu'elles sont situées dans le plan du cadre. Les forces
agissant sur les côtés verticaux sont elles aussi égales et opposées:
jIcBiBkcIF
jIcBiBkcIF 
)()(
)()(
2
1
D'après la figure b, on voit que ces forces produisent des moments de force de même sens par
rapport à l'axe central. Le bras de levier pour chacune de ces forces est
sin)2(ar 
; le
moment de force net par rapport à l'axe est donc :
sinsin
2
)(2 ISB
a
IcBM 
où
acS
est l’aire du cadre. Pour un cadre comportant N spires, le moment de force est N
fois plus grand.

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Un cadre parcouru par un courant, comme un barreau aimanté, est un dipôle magnétique (nous
verrons pourquoi plus tard). Le moment magnétique dipolaire d'un cadre plan de forme
quelconque est défini par :
n
uNIS 
équation 7.4
L'unité SI de moment magnétique est l'ampère x mètre2. Le sens du vecteur unitaire
n
u
, est
donné par la règle de la main droite: si vous fermez les doigts de votre main droite dans le
sens du courant, votre pouce pointe en direction de
n
u
. On peut maintenant écrire de manière
plus concise l'équation du moment de force :
BM 
équation 7.5
Le moment de force a tendance à aligner le moment magnétique sur le champ, tout comme
l'aiguille d'une boussole.
7.4. Le galvanomètre
La pile voltaïque inventée par Volta en 1800 fit
considérablement avancer les recherches en électricité, car elle
permettait de produire un courant continu. Mais avant 1820, la
présence d'un courant électrique ne pouvait être détectée que
par une élévation de température dans un fil, par les
transformations chimiques produites dans une cellule ou par la
sensation produite par le courant lorsqu'il passe sur la langue.
Ces méthodes ne se prêtaient pas à des mesures précises du
courant. Peu après la découverte d'Oersted, on s'aperçut que la
déviation de l'aiguille d'une boussole pouvait servir à mesurer un courant. J. Schweigger eut
l'idée de placer une aiguille de boussole au centre d'une bobine rectangulaire comportant un
grand nombre de spires, afin d'accentuer l'effet du champ magnétique sur le courant.
S'inspirant de ce montage, d'Arsonval le perfectionna pour confectionner ce que l'on appelle
un galvanomètre à cadre mobile, instrument encore utilisé de nos jours. Le courant circule
dans un cadre comportant un grand nombre de spires de fil fin, qui est suspendu ou qui pivote
dans un champ magnétique. Lorsque le courant circule dans le cadre, le moment de force dû
au champ magnétique uniforme est :
sinBM 
où  est l'angle entre et à. Le moment de forces mécanique exercé par un ressort de torsion
s'oppose au moment de force dû au champ. Ce moment de rappel du ressort obéit à la loi de
Hooke:
res
M
où  est l'angle de torsion du ressort. Le cadre s'immobilise lorsque ces deux moments
s'équilibrent :
sinNISB
Cette équation peut servir à déterminer le courant I. Toutefois, le facteur
sin
introduit une
complication puisqu'il rend l'échelle non linéaire. Pour qu'elle soit linéaire, les faces des pôles
de l'aimant doivent être cylindriques. Dans ce cas, les lignes de
champ sont radiales au lieu d'être uniformes (pour ce faire, on
place un cylindre de fer doux à l'intérieur du cadre). Ainsi, comme
le plan du cadre est toujours parallèle aux lignes de champ et le
moment magnétique toujours normal aux lignes,
10sin 
et :
I
NSB

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Dans ces conditions, la déviation est directement proportionnelle au courant. Un bon
galvanomètre peut enregistrer une intensité de 1 A, et les meilleurs appareils peuvent
mesurer des courants très faibles de l'ordre de 1 pA.
7.5. Le mouvement des particules chargées
La figure représente deux vues différentes d'une particule chargée positivement animée d'une
vitesse initiale
v
perpendiculaire à un champ magnétique
uniforme
B
. Comme -
v
et
B
sont perpendiculaires, la particule
est soumise à une force
qvBF 
, d'intensité constante et dirigée
perpendiculairement à
v
. Sous l'action d'une telle force, la
particule se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse
constante. D'après la deuxième loi de Newton, F = ma, nous
avons :
r
mv
qvB 2
équation 7.6
où r est le rayon de l’orbite.
qB
mv
r
Le rayon de l’orbite est proportionnel à la quantité de mouvement
et inversement proportionnelle au champ magnétique. La période
de l’orbite est :
qB
m
vr
T
22 
et la fréquence est donc :
m
qB
fc
2
équation 7.7
On constate, dans ces équations que la période ou la fréquence
ne dépendent pas de la vitesse de la particule. Les particules de
même rapport q/m ont même fréquence.
Le mouvement hélicoïdal
Considérons le mouvement d'une particule positive dont la
vitesse a une composante parallèle aux lignes d'un champ
magnétique uniforme. La composante perpendiculaire donne
lieu à une force
Bvq 
qui produit un mouvement circulaire,
mais la composante parallèle ne change pas. On obtient la
superposition d'un mouvement circulaire uniforme normal aux lignes de champ et d'un
mouvement rectiligne uniforme parallèle aux lignes. Ces deux mouvements se combinent
pour produire une trajectoire en spirale ou hélicoïdale. Le «pas» de l'hélice est le déplacement
de la particule dans la direction des lignes pendant une période.