Le champ magnétique - Gymnase français de Bienne
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Chapitre 7 OSPH 7. Le champ magnétique 36 Le champ magnétique De nos jours, les aimants sont utilisés dans les appareils de mesure, les moteurs, les hautparleurs, les appareils d'enregistrement, les mémoires d'ordinateur, en analyse chimique, pour concentrer le faisceau d'électrons dans un tube de télévision, et dans une foule d'autres mécanismes. En plus d'être utile à la navigation, le champ magnétique nous protège contre les effets dangereux des particules chargées de haute énergie provenant de l'espace. Nous allons étudier dans ce chapitre les forces exercées par des champs magnétiques sur des particules chargées et sur des courants électriques. 7.1. Le champ magnétique Au voisinage d'un barreau aimanté, la limaille de fer forme une configuration caractéristique qui montre l'influence de l'aimant sur le milieu environnant. C'est à partir de ces configurations que Michael Faraday eut l'idée d'introduire la notion du champ magnétique et les lignes de champ correspondantes. Le champ magnétique B en un point est dirigé selon la tangente à une ligne de champ. Le sens de B est celui de la force agissant sur le pôle Nord d'un barreau aimanté et correspond à la direction vers laquelle pointe l'aiguille d'une boussole. L'intensité du champ est proportionnelle au nombre de lignes traversant une surface unitaire normale au champ. On remarque à la figure de gauche que les pôles ne sont pas situés en des points précis mais qu'ils correspondent plutôt à des régions mal définies proches des extrémités de l'aimant. Si l'on essaie d'isoler les pôles en coupant l'aimant, il se produit une chose curieuse : on obtient deux aimants, comme on le voit à la figure ci-contre. Si l'on coupe l'aimant en tranches très fines, chaque fragment garde toujours deux pôles. Même à l'échelle atomique, nul n'est parvenu à trouver un pôle magnétique isolé, ce que l'on appelle un monopole. C'est pourquoi les lignes de champ magnétique forment des boucles fermées. À l'extérieur de l'aimant, les lignes émergent du pôle Nord et entrent par le pôle sud ; à l'intérieur, elles sont dirigées du pôle sud vers le pôle Nord. Définition du champ magnétique La définition du champ électrique est assez simple. Si F est la force agissant sur une charge électrique stationnaire q placée dans le champ, le champ électrique est E F q , c'est-à-dire la force par charge unitaire. Mais puisqu'il n'est pas possible d'isoler un pôle, la définition du Chapitre 7 OSPH Le champ magnétique 37 champ magnétique n'est pas aussi simple. En examinant l'effet d'un champ magnétique sur une charge électrique, on constate : La force agissant sur une particule chargée est directement proportionnelle à la charge q et à la vitesse v, c'est-à-dire : F qv Si la vitesse v de la particule fait un angle avec les lignes de B , on trouve : F sin F est perpendiculaire à la fois à v et à B . On peut tenir compte de tous ces résultats en définissant le produit vectoriel : équation 7.1 F qv B Puisque F est toujours perpendiculaire à v , une force magnétique n'effectue aucun travail sur une particule et ne peut servir à faire varier son énergie cinétique. L'unité SI de champ magnétique est le tesla (T). Un aimant ordinaire de laboratoire peut produire un champ d'environ 1 T, alors qu'un aimant supraconducteur peut produire plus de 30 T. Le tesla étant une grande unité, on utilise parfois une autre unité, le gauss (G), dont la conversion est la suivante : 1 G 10 4 T L'intensité du champ magnétique terrestre près de la surface est voisine de 0,5 G, alors que l'intensité du champ au voisinage d'un barreau aimanté peut atteindre 50 G. EXEMPLE 7.1 - Un électron a une vitesse v 10 6 m selon l’axe y, dans un champ s B 500 G selon l’axe z. Quelle est la force agissant sur l’électron ? 7.2. La force sur un conducteur parcouru par un courant Si l'on place un fil dans un champ magnétique, il n'est soumis à aucune force. Les vitesses thermiques des électrons libres sont orientées au hasard et la force nette est donc nulle. Par contre, lorsque le fil est parcouru par un courant, les électrons acquièrent une faible vitesse de dérive v d et sont donc soumis à une force magnétique qui est ensuite transmise au fil. Considérons un segment rectiligne de fil de longueur l et de section S parcouru par un courant I perpendiculaire à un champ magnétique uniforme. Si n est le nombre d'électrons de conduction par unité de volume, le nombre de charges dans ce segment de fil est nSl. Chaque électron est soumis à une force ev d B et la force totale exercée sur les électrons dans ce segment est : F (nSl )ev d B Chapitre 7 OSPH Le champ magnétique 38 D'après l'équation I nSev d , et l'expression précédente devient F IlB . Si le conducteur parcouru par un courant n'est pas perpendiculaire au champ, la force exercée sur le fil est donnée par l'expression vectorielle : équation 7.2 F Il B où le vecteur l est par définition de même sens que le courant. Comme le montre la figure, la force est toujours normale au fil et aux lignes de champ. L'intensité de la force est : F IlB sin équation 7.3 où est l'angle entre le vecteur l et le champ B . Si le fil n'est pas rectiligne ou si le champ n'est pas uniforme, la force agissant sur un élément de courant infinitésimal Idl est : dF Idl B La force sur un fil est égale à la somme vectorielle (intégrale) des les éléments de courant. EXEMPLE 7.2: Un fil rectiligne de longueur 30 cm et de masse 50 g suit la direction estouest. Le champ magnétique terrestre en ce point est horizontal et a une intensité de 0,8 G. Pour quelle valeur du courant l’effet du champ compense-t-il le poids du fil ? 7.3. Le moment de force sur une boucle de courant Les côtés horizontaux sont soumis à des forces verticales égales et opposées qui ont tendance à les écarter (ce que vous pouvez vérifier par la règle de la main droite). Ces forces verticales n'exercent aucun moment de force puisqu'elles sont situées dans le plan du cadre. Les forces agissant sur les côtés verticaux sont elles aussi égales et opposées: F1 I (ck ) ( Bi ) IcBj F2 I (ck ) ( Bi ) IcBj D'après la figure b, on voit que ces forces produisent des moments de force de même sens par rapport à l'axe central. Le bras de levier pour chacune de ces forces est r (a 2) sin ; le moment de force net par rapport à l'axe est donc : a M 2( IcB ) sin ISB sin 2 où S ac est l’aire du cadre. Pour un cadre comportant N spires, le moment de force est N fois plus grand. Chapitre 7 OSPH Le champ magnétique 39 Un cadre parcouru par un courant, comme un barreau aimanté, est un dipôle magnétique (nous verrons pourquoi plus tard). Le moment magnétique dipolaire d'un cadre plan de forme quelconque est défini par : équation 7.4 NISu n L'unité SI de moment magnétique est l'ampère x mètre2. Le sens du vecteur unitaire u n , est donné par la règle de la main droite: si vous fermez les doigts de votre main droite dans le sens du courant, votre pouce pointe en direction de u n . On peut maintenant écrire de manière plus concise l'équation du moment de force : équation 7.5 M B Le moment de force a tendance à aligner le moment magnétique sur le champ, tout comme l'aiguille d'une boussole. 7.4. Le galvanomètre La pile voltaïque inventée par Volta en 1800 fit considérablement avancer les recherches en électricité, car elle permettait de produire un courant continu. Mais avant 1820, la présence d'un courant électrique ne pouvait être détectée que par une élévation de température dans un fil, par les transformations chimiques produites dans une cellule ou par la sensation produite par le courant lorsqu'il passe sur la langue. Ces méthodes ne se prêtaient pas à des mesures précises du courant. Peu après la découverte d'Oersted, on s'aperçut que la déviation de l'aiguille d'une boussole pouvait servir à mesurer un courant. J. Schweigger eut l'idée de placer une aiguille de boussole au centre d'une bobine rectangulaire comportant un grand nombre de spires, afin d'accentuer l'effet du champ magnétique sur le courant. S'inspirant de ce montage, d'Arsonval le perfectionna pour confectionner ce que l'on appelle un galvanomètre à cadre mobile, instrument encore utilisé de nos jours. Le courant circule dans un cadre comportant un grand nombre de spires de fil fin, qui est suspendu ou qui pivote dans un champ magnétique. Lorsque le courant circule dans le cadre, le moment de force dû au champ magnétique uniforme est : M B sin où est l'angle entre et à. Le moment de forces mécanique exercé par un ressort de torsion s'oppose au moment de force dû au champ. Ce moment de rappel du ressort obéit à la loi de Hooke: M res où est l'angle de torsion du ressort. Le cadre s'immobilise lorsque ces deux moments s'équilibrent : NISB sin Cette équation peut servir à déterminer le courant I. Toutefois, le facteur sin introduit une complication puisqu'il rend l'échelle non linéaire. Pour qu'elle soit linéaire, les faces des pôles de l'aimant doivent être cylindriques. Dans ce cas, les lignes de champ sont radiales au lieu d'être uniformes (pour ce faire, on place un cylindre de fer doux à l'intérieur du cadre). Ainsi, comme le plan du cadre est toujours parallèle aux lignes de champ et le moment magnétique toujours normal aux lignes, sin 0 1 et : NSB I Chapitre 7 OSPH Le champ magnétique 40 Dans ces conditions, la déviation est directement proportionnelle au courant. Un bon galvanomètre peut enregistrer une intensité de 1 A, et les meilleurs appareils peuvent mesurer des courants très faibles de l'ordre de 1 pA. 7.5. Le mouvement des particules chargées La figure représente deux vues différentes d'une particule chargée positivement animée d'une vitesse initiale v perpendiculaire à un champ magnétique uniforme B . Comme - v et B sont perpendiculaires, la particule est soumise à une force F qvB , d'intensité constante et dirigée perpendiculairement à v . Sous l'action d'une telle force, la particule se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante. D'après la deuxième loi de Newton, F = ma, nous avons : mv 2 qvB r 2r 2m v qB et la fréquence est donc : équation 7.6 où r est le rayon de l’orbite. mv r qB Le rayon de l’orbite est proportionnel à la quantité de mouvement et inversement proportionnelle au champ magnétique. La période de l’orbite est : T fc qB 2m équation 7.7 On constate, dans ces équations que la période ou la fréquence ne dépendent pas de la vitesse de la particule. Les particules de même rapport q/m ont même fréquence. Le mouvement hélicoïdal Considérons le mouvement d'une particule positive dont la vitesse a une composante parallèle aux lignes d'un champ magnétique uniforme. La composante perpendiculaire donne lieu à une force qv B qui produit un mouvement circulaire, mais la composante parallèle ne change pas. On obtient la superposition d'un mouvement circulaire uniforme normal aux lignes de champ et d'un mouvement rectiligne uniforme parallèle aux lignes. Ces deux mouvements se combinent pour produire une trajectoire en spirale ou hélicoïdale. Le «pas» de l'hélice est le déplacement de la particule dans la direction des lignes pendant une période. Chapitre 7 OSPH Le champ magnétique 41 Dans un champ non uniforme, le rayon de la trajectoire varie. Si les autres variables ont des valeurs fixes, on peut voir d'après l'équation 4.6 que r va comme 1/B, ce qui signifie que le rayon décroît au fur et à mesure que l'intensité du champ augmente. Il se produit aussi un effet plus important, lié au fait que la particule est soumise à une force dirigée vers la région où le champ est plus faible (figure). Il en résulte que la composante de la vitesse le long des lignes de B n'est pas constante. Un exemple important du confinement magnétique est observé dans le champ magnétique terrestre. Les particules chargées provenant de l'espace décrivent des trajectoires en spirale le long des lignes de champ d'un pôle à l'autre (figure). Ces particules captives sont confinées dans des régions que l'on appelle ceintures de Van Allen. La forme de ces éruptions solaires est une preuve de l'existence du champ magnétique solaire. 7.6. La combinaison des champs électrique et magnétique La force de Lorentz : équation 7.8 F q EvB Le sélecteur de vitesse On construit une région dans laquelle des champs magnétique et électrique sont perpendiculaires. Seule les particules dont la vitesse est : E v B vont traverser la zone sans être déviées. Le spectromètre de masse Un spectromètre de masse est un dispositif qui sépare les particules chargées, en général des ions, selon leur rapport masse/charge. Si les charges sont identiques, l'instrument peut servir à mesurer la masse des ions. La figure représente un instrument datant de 1933. Un faisceau de particules chargées passe dans un collimateur (qui en fait un pinceau de particules) constitué par les fentes S1 et S2. Les particules pénètrent alors dans un sélecteur de vitesse dans lequel le champ magnétique est B1 et le champ électrique perpendiculaire est E . Il s'ensuit que seules les particules de vitesse v = E/B1 pénètrent dans la section suivante, où il ne règne qu'un champ magnétique B 2 . Les particules décrivent des trajectoires demi-circulaires et frappent une plaque photographique. D'après l'équation 6.6, on sait que le rayon de la mv trajectoire est r . En remplaçant v = E/B1, on obtient : qB2 m B1 B2 r q E équation 7.9 Pour une valeur donnée de q, le rayon de la trajectoire est proportionnel à la masse. On utilise cette technique pour séparer les isotopes. Chapitre 7 OSPH Le champ magnétique 42 7.7. Le cyclotron On obtient une multitude d'informations concernant les propriétés des noyaux et des particules élémentaires en bombardant des cibles atomiques avec des particules de haute énergie. En 1929, le physicien américain Ernest Lawrence avait envisagé la possibilité d'accélérer des particules par étapes successives à l'aide de différences de potentiel relativement faibles. Il mit au point un dispositif, appelé cyclotron, en collaboration avec M. S. Livingston. Le premier cyclotron a été construit en 1930. Le fonctionnement du cyclotron s'appuie sur le fait que la période orbitale d'une particule dans un champ magnétique est indépendante de sa vitesse. Le cyclotron, représenté à la figure, est composé de deux demi-cylindres en forme de dé, appelés Dl et D2, séparés par un petit espace et placés dans un champ magnétique uniforme. Au centre de l'espace se trouve une source d'ions qui produit des particules chargées, telles que des protons ou des particules alpha, lesquelles sont injectées dans l'un des demi-cylindres avec une faible vitesse. On a créé le vide dans l'appareil afin de réduire au minimum les pertes dues aux collisions avec les molécules de l'air. Le champ magnétique pénètre dans les demi-cylindres et donne aux particules une trajectoire circulaire. On applique aux demi-cylindres une tension élevée dont la polarité s'inverse selon une période correspondant au temps que mettent les particules pour parcourir une demi-révolution. Le champ électrique associé à cette différence de potentiel est principalement confiné dans l'espace entre les demi-cylindres. Au moment même où les particules terminent leur première demi-révolution, D2 devient positif et Dl négatif. Puisque cette polarité accélère les particules (positives) lorsqu'elles traversent l'espace entre les demi-cylindres, elles acquièrent l'énergie cinétique, E c qU et passent à une orbite plus grande. Au bout d'un temps T/2, elles arrivent à nouveau dans cet espace, mais la polarité de la différence de potentiel s'est inversée de sorte qu'elles accélèrent à nouveau en le traversant. Ce processus se répétant à chaque traversée de l'espace, les particules subissent une nouvelle accélération en traversant l'espace et décrivent des cercles de plus en plus grands, mais toujours avec la même période. Lorsqu'elles atteignent le rayon maximal, les particules sont déviées par une plaque qui les dirige vers la zone expérimentale. Dans la pratique, le fonctionnement du cyclotron présente quelques complications. Tout d'abord, il est difficile de produire un champ magnétique uniforme dans une région étendue comme celle des cyclotrons modernes (de rayon voisin de 2 m). Ensuite, à chaque accélération, la masse relativiste de la particule devient nettement supérieure à sa masse habituelle mesurée à faible vitesse. Cela crée un déphasage entre l'alternance de la différence de potentiel et le passage des particules dans l'espace. C'est pourquoi on utilise des protons, qui sont des particules plus lourdes que les électrons : pour une énergie donnée, la vitesse d'un proton est bien inférieure à celle d'un électron. Dans un cyclotron, les protons atteignent une énergie maximale voisine de 25 MeV. Dans le synchrocyclotron, la fréquence de la tension Chapitre 7 OSPH 1. 2. 3. 4. 5. Le champ magnétique 43 d'alimentation diminue progressivement pour compenser l'accroissement de masse. Cette machine permet d'accélérer des protons jusqu'à des énergies de 200 MeV. Dans un synchrotron, le champ magnétique et la fréquence varient tous deux, de sorte que les particules décrivent une orbite de rayon fixe. Exercices : Un électron d’énergie cinétique de 50 keV magnétique de 0,75 T. Trouvez: (a) la est projeté perpendiculairement aux lignes fréquence du cyclotron ; (b) l'énergie d’un champ d’intensité 0,5 T. (a) Calculer cinétique ; (c) la quantité de mouvement. le rayon de sa trajectoire (b) son 7. Une particule alpha de masse 27 accélération (c) sa période. 6,7 10 kg et de charge 2e est accélérée Une ligne de transmission transporte un à partir du repos par une différence de courant de 103 A d’Ouest en Est. Le potentiel de 14 kV et pénètre dans un champ terrestre est horizontal, orienté champ magnétique uniforme de 0,6 T, vers le Nord et a une intensité de 0,5 G. normalement aux lignes de champ. Quelle est la force exercée sur 1 m de Trouvez le rayon de sa trajectoire. ligne ? 8. Les deux isotopes du néon ont des masses Une tige de longueur l = 15 cm et de de 20 u et 22 u. Des ions portant une seule masse m = 30 g est située dans un plan charge sont accélérés à partir du repos par incliné faisant un angle de 37° par rapport une différence de potentiel de 1 kV, puis à l'horizontale (figure). Le courant entre et pénètrent dans un champ magnétique sort de la tige par des fils souples et légers uniforme de 0,4 T, normalement aux dont on ne tient pas compte. Pour quel lignes du champ. Quelle distance les courant (intensité et direction) la tige estsépare-t-elle après une demi-révolution elle en équilibre dans un champ dans un spectromètre ? magnétique B 0,25 j T ? 9. Un proton effectue cent révolutions dans un cyclotron avant de sortir avec un rayon de 50 cm et une énergie de 10 MeV. Trouvez: (a) le champ magnétique dans le cyclotron ; (b) la différence de potentiel entre les demi-cylindres; (c) la fréquence de la source de tension. 10. Un courant constant circule dans une Un proton décrit une orbite circulaire de tige métallique de longueur l et de masse rayon 20 cm perpendiculaire à un champ m qui glisse sur des rails sans frottement de 0,8 T. Trouvez: (a) le module de sa (figure). Un champ magnétique uniforme vitesse ; (b) sa période ; (c) son énergie est dirigé vers la page. Si la vitesse cinétique. initiale de la tige est VO, trouvez: (a) le Un proton du rayonnement cosmique module de la vitesse en fonction du temps s'approche de la Terre à 0,1 c le long ; (b) la distance parcourue par la tige d'une ligne radiale dans le plan équatorial, avant de s'arrêter. c'est-à-dire normalement aux lignes de champ. On suppose que le champ terrestre a une intensité de 0,2 G dans la région. (a) Quel est le rayon de la trajectoire du proton ? (b) La déviation se produit-elle vers l'Est ou vers l'Ouest ? 6. Un proton décrit un cercle de rayon 3,2 cm perpendiculaire à un champ Électricité et magnétisme Gymnase Français
