Nombre d`or et suite de Fibonacci.

Nombre d’or et suite de Fibonacci.
I Pr´e-requis
•Rendre rationnel un d´enominateur
2
√5=2×√5 √5×√5=2√5
5
√3 + 2
√3−1=√3 + 2×√3 + 1
√3−1√3 + 1=√3×√3 + √3 + 2 √3 + 2
√32−12=3 + 3 √3 + 2
3−1=5 + 3 √3 2.
•Identit´e remarquable
√7−22
=√72 −2×√7×2 + 22= 7 −4√7 + 4 = 11 −4√7.
II Le nombre d’or
Le nombre φ=1 + √5
2est appel nombre d’or. Connu d’Euclide, il joue un rˆole important en architecture.
On consid`ere un triangle ABC rectangle en A et tel que AB = 2 AC et AC = 1.
D est le point de l’hypot´enuse [BC] tel que CD =CA et E est le point de [AB] tel que BE =BD.
1. (a) Calculer BC, BD et EA.
(b) Calculer le quotient EB
EA en rendant rationnel le
d´enominateur.
(c) Que constatez-vous ?
2. (a) Calculer φ−1.
(b) Rendre rationnel l’inverse 1
φ.
(c) Que constatez-vous ?
A
C
B
D
E
III Suite originale d’entiers naturels
1. M´ethode
On souhaite g´en´erer une suite d’entiers naturels de la mani`ere suivante :
on choisit les deux premiers entiers naturels aet bpuis on obtient le troisi`eme en faisant la somme des deux qui le
pr´ec´edent, puis le quatri`eme en faisant de mˆeme soit la somme du second et du troisi`eme et ainsi de suite.
La suite ainsi obtenue est appel´ee suite de Fibonacci
Exemple : Si on choisit pour les deux premiers 2 et 3, on obtient la suite : 2, 3, 5, 8, 13, 21, .......
On souhaite observer la suite des quotients d’un terme de la suite sur celui que le pr´ec`ede : 3
2,5 3,8 5,13 8,21 13, , ..........
1

2. On g´en`ere manuellement
On nomme a, b et c trois termes cons´ecutifs de la suite, a et b ´etant choisit de mani`ere arbitraire parmi les entiers
naturels et c ´etant la somme de a et b.
Compl´eter les tableaux ci-dessous, dans les deux derniers vous choisirez vous-mˆeme les deux premiers terme. Puis vous
calculerez le quotient du dernier terme sur celui qui le pr´ec`ede.
a b c
2 3 5
3 5 8
q=
a b c
1 4
q=
a b c
q=
a b c
q=
3. On cr´ee un algorithme que l’on teste sur algobox, logiciel libre `a t´el´echarger chez soi.
On programme ensuite sa calculatrice
A1 On g´en`ere le troisi`eme terme d’une suite commen¸cant par 2 et 3
1 DEBUT ALGORITHME
2 a PREND LA VALEUR 2
3 b PREND LA VALEUR 3
3 c PREND LA VALEUR a+b
4 AFFICHER c
5 FIN ALGORITHME
CASIO
MENU, PRGM, NEW,”FIBO”
2→A
3→B
A+B→C
EXIT, EXE
TEXAS
PRGM, NEW,”FIBO”
2→ASTO
3→B
A+B→C
DISP C
EXIT, EXE
A2 On g´en`ere le troisi`eme terme d’une suite en proposant les deux premi`eres valeurs.
1 DEBUT ALGORITHME
2 LIRE a
3 LIRE b
3 c PREND LA VALEUR a+b
4 AFFICHER c
5 FIN ALGORITHME
2

CASIO
MENU, PRGM, EDIT FIBO
”A”: ?→A” ” →ALPHA
”B”: ?→B?→PRGM F4
A+B→C
EXIT, EXE
TEXAS
PRGM, EDIT FIBO
DISP ”A” PRGM I/O
INPUT A
DISP ”B”
INPUT B
A+B→C
DISP C
EXIT, EXE
A3 On g´en`ere les 10 termes suivant les deux premiers que l’on propose.
1 DEBUT ALGORITHME
2 LIRE a
3 LIRE b
3 POUR I ALLANT DE 1 A 10
4 DEBUT POUR
5 c PREND LA VALEUR a+b
6 a PREND LA VALEUR b
7 b PREND LA VALEUR c
8 FIN POUR
9 AFFICHER C
11 FIN ALGORITHME
CASIO
MENU, PRGM, EDIT FIBO
”A”: ?→A” ” →ALPHA
”B”: ?→B?→PRGM F4
FOR 1 →I TO 10 PRGM, COM
A+B→C
C◭PRGM
B→A
C→B
NEXT PRGM
”FINI”
EXIT, EXE
TEXAS
PRGM, EDIT FIBO
DISP ”A” PRGM I/O
INPUT A PRGM
DISP ”B”
INPUT B
FOR(I,1,10) PRGM
A+B→C
DISP C PRGM
B→A
C→B
END PRGM
EXIT, EXE
A4 Compl´eter l’algorithme pr´ec´edent afin de cr´eer une suite le N termes suivant les deux premiers, N ´etant propos´e.
Puis faire afficher le quotient des deux derniers termes
3

On programme la suite de Fibonacci `a l’aide du logiciel libre `a t´el´echarger chez soi, SCRATCH
EXERCICES
On utilisera AlGOBOX pour tester l’algorithme puis au choix, la calculatrice ou SCRATCH pour le programme
Exercice 1 Cr´eer un algorithme puis un programme qui calcule la somme des N premiers entiers naturels cons´ecutifs.
Exercice 2 Cr´eer un algorithme puis un programme qui calcule le PGCD de deux nombres.
Exercice 3 Cr´eer un algorithme puis un programme qui lit les trois longueurs des cˆot´es d’un triangle et qui dit si ce
triangle est rectangle.
Exercice 4 Cr´eer un algorithme puis un programme qui lit les coordonn´ees de quatre points et qui dit si le quadrilat`ere
est un parall´elogramme .
Exercice 5 Cr´eer un algorithme puis un programme qui lit un nombre entier et dit si ce nombre est pair ou impair.
L’instruction Floor(N/2) restitue la partie enti`ere du quotient N/2
Exercice 6 Cr´eer un algorithme puis un programme qui lit un nombre de trois chiffres et restitue le chiffre des
centaines, puis celui des dizaines et enfin le chiffre des unit´es).
Exercice 7 Cr´eer un algorithme puis un programme qui lit un nombre de trois chiffres (256 ) et restitue le nombre
compos´e de ces mˆemes chiffres mais en ayant effectu´e une permutation circulaire (625 ).
4

Aide pour les exercices 1 et 2
Exercice 1
(a) Compl´eter le tableau ci-contre qui calcule la somme des 10 premiers termes cons´ecutifs :
S= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
On appelle I les termes ajout´es
(b) On cr´eera un algorithme qui lit N la valeur du dernier terme de la liste.
(c) On initialisera la somme S `a 0.
(d) On utilisera une boucle ( Pour I allant de 1 `a ..........)
S I
0 1
1 2
3 3
6 4
Exercice 2 Cr´eer un algorithme puis un programme qui calcule le PGCD de deux nombres.
(a) Rappel de la m´ethode par soustraction :
On cherche PGCD(261;203)
2 6 1
−2 0 3
5 8
2 0 3
−5 8
1 4 5
1 4 5
−5 8
8 7
8 7
−5 8
2 9
5 8
−2 9
2 9
2 9
−2 9
0
Le PGCD est 29.
(b) Avec un tableau
a b a-b ou b-a
261 203 58
203 58 145
58 145 87
145 87 58
87 58 29
58 29 29
29 29 0
a b a-b ou b-a
1035 322
a b a-b ou b-a
1947 826
(c) L’algorithme lira les deux valeurs a et b (a > b).
(d) Il y aura une boucle : Tant que a6=b
(e) Il y aura un test : Si a > b alors......Sinon.....
5