Chap 5 : Particule dans un puits.

Chap 5 : Particule dans un puits.
1) Etude d’une particule dans un puits infini 1D (quantum well).
C’est un système quantique très simple. Il correspond classiquement à l’étude du
déplacement du centre de masse d’une sphère dans un tube aux parois
infiniment solides.
Quelque soit l’énergie cinétique de la sphère, elle restera confinée à l’intérieur du
tube. On a donc une énergie potentielle qui sera de la forme (la référence est
choisie nulle à l’intérieur du tube).
a
V=infini V=infini
V=0
x
V
0
V=0 si a < x < 0
V=infini sinon

L’équivalent quantique est une couche
d’épaisseur ade semi conducteur,
comprise entre deux couches d’isolants
parfaits.

a
V=infini V=infini
V=0
x
V
0
La particule ne peut pas se trouver dans la région
ou V est infini, car elle aurait alors une énergie
infinie. Sa densité de probabilité de présence doit
donc y être nulle et l’on a :
Dans la région entre 0 et a, le potentiel est nul et l’énergie est uniquement cinétique.
L’hamiltonien s’écrit :
Recherche des valeurs propres et fonctions propres de l’énergie du système.
Le système est suffisamment simple pour être traité sans passer par l’algèbre linéaire.
(On peut le faire mais c’est inutile …)

Il faut donc résoudre l’équation aux valeurs propre pour l’énergie, c’est-à-dire
l’équation de Schrödinger, suivante :
Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme :
Il y a donc une solution générale (pour x compris entre 0 et a):
(Aet Bpeuvent être complexes)

Pour déterminer A et B, il faut introduire d’autres données : les conditions
aux limites
Il faut pour cela, se rappeler une des propriétés que doivent posséder les
fonctions d’onde :
- Les fonctions d’ondes sont des fonctions continues
Ceci doit être vrai en particulier aux points 0 et a.
Continuité de la fonction :
donc