fonction d`une variable complexe

FONCTION D’UNE VARIABLE COMPLEXE
Chapitre # 2
MATH´ EMATIQUES DE L’ING´ ENIEUR
AERO 3 – ING 1
Karim Trabelsi (IPSA) Inst. Polytech. des Sciences Avanc´ees Ivry, le 29.9.09 1 / 10

Introduction
Soit la fonction f:D ⊂ C→C, z 7→ f(z).
Nouveaut´e
Tous les nombres impliqu´es sont `a deux variables!
Le nombre original z, ainsi que son image f(z) se d´eplacent dans un espace `a deux
dimensions `a savoir le plan complexe R2.
L’ensemble Dest appel´e domaine d´efinition de la fonction f: C’est l’ensemble des
points zpour lesquels l’on sait effectuer les op´erations permettant de calculer f(z).
Le cas le plus important est celui o`u Dest un domaine. Nous ne consid´ererons que des
domaines dont la fronti`ere est une suite finie d’arcs de courbes continˆument
diff´erentiables par morceaux.
Quelques exemples
z7→ f(z) = ¯z, z 7→ f(z) = |z|, z 7→ f(z) = z−1, z 7→ f(z) = sin z.
sin z=1
2˙ι(e˙ι(x+˙ιy )−e−˙ι(x+˙ιy )) = 1 2˙ι(e−ye˙ιx −eye−˙ιx ) = sin xcosh y+ ˙ιsinh ycos x.
C’est la g´en´eralisation aux complexes de la formule sin(a+b) = sin acos b+ sin bcos a,
en remarquant que sin ˙ιa = ˙ιsinh aet cos ˙ιb = cosh b.
Karim Trabelsi (IPSA) Inst. Polytech. des Sciences Avanc´ees Ivry, le 29.9.09 2 / 10

Introduction
Soit la fonction f:D ⊂ C→C, z 7→ f(z).
Nouveaut´e
Tous les nombres impliqu´es sont `a deux variables!
Le nombre original z, ainsi que son image f(z) se d´eplacent dans un espace `a deux
dimensions `a savoir le plan complexe R2.
L’ensemble Dest appel´e domaine d´efinition de la fonction f: C’est l’ensemble des
points zpour lesquels l’on sait effectuer les op´erations permettant de calculer f(z).
Le cas le plus important est celui o`u Dest un domaine. Nous ne consid´ererons que des
domaines dont la fronti`ere est une suite finie d’arcs de courbes continˆument
diff´erentiables par morceaux.
Quelques exemples
z7→ f(z) = ¯z, z 7→ f(z) = |z|, z 7→ f(z) = z−1, z 7→ f(z) = sin z.
sin z=1
2˙ι(e˙ι(x+˙ιy )−e−˙ι(x+˙ιy )) = 1 2˙ι(e−ye˙ιx −eye−˙ιx ) = sin xcosh y+ ˙ιsinh ycos x.
C’est la g´en´eralisation aux complexes de la formule sin(a+b) = sin acos b+ sin bcos a,
en remarquant que sin ˙ιa = ˙ιsinh aet cos ˙ιb = cosh b.
Karim Trabelsi (IPSA) Inst. Polytech. des Sciences Avanc´ees Ivry, le 29.9.09 2 / 10

Introduction
Soit la fonction f:D ⊂ C→C, z 7→ f(z).
Nouveaut´e
Tous les nombres impliqu´es sont `a deux variables!
Le nombre original z, ainsi que son image f(z) se d´eplacent dans un espace `a deux
dimensions `a savoir le plan complexe R2.
L’ensemble Dest appel´e domaine d´efinition de la fonction f: C’est l’ensemble des
points zpour lesquels l’on sait effectuer les op´erations permettant de calculer f(z).
Le cas le plus important est celui o`u Dest un domaine. Nous ne consid´ererons que des
domaines dont la fronti`ere est une suite finie d’arcs de courbes continˆument
diff´erentiables par morceaux.
Quelques exemples
z7→ f(z) = ¯z, z 7→ f(z) = |z|, z 7→ f(z) = z−1, z 7→ f(z) = sin z.
sin z=1
2˙ι(e˙ι(x+˙ιy )−e−˙ι(x+˙ιy )) = 1 2˙ι(e−ye˙ιx −eye−˙ιx ) = sin xcosh y+ ˙ιsinh ycos x.
C’est la g´en´eralisation aux complexes de la formule sin(a+b) = sin acos b+ sin bcos a,
en remarquant que sin ˙ιa = ˙ιsinh aet cos ˙ιb = cosh b.
Karim Trabelsi (IPSA) Inst. Polytech. des Sciences Avanc´ees Ivry, le 29.9.09 2 / 10

Introduction
Soit la fonction f:D ⊂ C→C, z 7→ f(z).
Nouveaut´e
Tous les nombres impliqu´es sont `a deux variables!
Le nombre original z, ainsi que son image f(z) se d´eplacent dans un espace `a deux
dimensions `a savoir le plan complexe R2.
L’ensemble Dest appel´e domaine d´efinition de la fonction f: C’est l’ensemble des
points zpour lesquels l’on sait effectuer les op´erations permettant de calculer f(z).
Le cas le plus important est celui o`u Dest un domaine. Nous ne consid´ererons que des
domaines dont la fronti`ere est une suite finie d’arcs de courbes continˆument
diff´erentiables par morceaux.
Quelques exemples
z7→ f(z) = ¯z, z 7→ f(z) = |z|, z 7→ f(z) = z−1, z 7→ f(z) = sin z.
sin z=1
2˙ι(e˙ι(x+˙ιy )−e−˙ι(x+˙ιy )) = 1 2˙ι(e−ye˙ιx −eye−˙ιx ) = sin xcosh y+ ˙ιsinh ycos x.
C’est la g´en´eralisation aux complexes de la formule sin(a+b) = sin acos b+ sin bcos a,
en remarquant que sin ˙ιa = ˙ιsinh aet cos ˙ιb = cosh b.
Karim Trabelsi (IPSA) Inst. Polytech. des Sciences Avanc´ees Ivry, le 29.9.09 2 / 10