fonction d`une variable complexe

FONCTION D’UNE VARIABLE COMPLEXE
Chapitre # 2
MATHÉMATIQUES DE L’INGÉNIEUR
AERO 3 – ING 1
Karim Trabelsi (IPSA)
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
Ivry, le 29.9.09
1 / 10
Introduction
Soit la fonction
f : D ⊂ C → C, z 7→ f (z).
Nouveauté
Tous les nombres impliqués sont à deux variables!
Le nombre original z, ainsi que son image f (z) se déplacent dans un espace à deux
dimensions à savoir le plan complexe R2 .
L’ensemble D est appelé domaine définition de la fonction f : C’est l’ensemble des
points z pour lesquels l’on sait effectuer les opérations permettant de calculer f (z).
Le cas le plus important est celui où D est un domaine. Nous ne considérerons que des
domaines dont la frontière est une suite finie d’arcs de courbes continûment
différentiables par morceaux.
Quelques exemples
z 7→ f (z) = z̄,
z 7→ f (z) = |z| ,
z 7→ f (z) = z −1 ,
z 7→ f (z) = sin z.
1 ι̇(x+ι̇y )
1
(e
− e−ι̇(x+ι̇y ) ) = (e−y eι̇x − ey e−ι̇x ) = sin x cosh y + ι̇ sinh y cos x.
2ι̇
2ι̇
C’est la généralisation aux complexes de la formule sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,
en remarquant que sin ι̇a = ι̇ sinh a et cos ι̇b = cosh b.
sin z =
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2 / 10
Introduction
Soit la fonction
f : D ⊂ C → C, z 7→ f (z).
Nouveauté
Tous les nombres impliqués sont à deux variables!
Le nombre original z, ainsi que son image f (z) se déplacent dans un espace à deux
dimensions à savoir le plan complexe R2 .
L’ensemble D est appelé domaine définition de la fonction f : C’est l’ensemble des
points z pour lesquels l’on sait effectuer les opérations permettant de calculer f (z).
Le cas le plus important est celui où D est un domaine. Nous ne considérerons que des
domaines dont la frontière est une suite finie d’arcs de courbes continûment
différentiables par morceaux.
Quelques exemples
z 7→ f (z) = z̄,
z 7→ f (z) = |z| ,
z 7→ f (z) = z −1 ,
z 7→ f (z) = sin z.
1 ι̇(x+ι̇y )
1
(e
− e−ι̇(x+ι̇y ) ) = (e−y eι̇x − ey e−ι̇x ) = sin x cosh y + ι̇ sinh y cos x.
2ι̇
2ι̇
C’est la généralisation aux complexes de la formule sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,
en remarquant que sin ι̇a = ι̇ sinh a et cos ι̇b = cosh b.
sin z =
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Introduction
Soit la fonction
f : D ⊂ C → C, z 7→ f (z).
Nouveauté
Tous les nombres impliqués sont à deux variables!
Le nombre original z, ainsi que son image f (z) se déplacent dans un espace à deux
dimensions à savoir le plan complexe R2 .
L’ensemble D est appelé domaine définition de la fonction f : C’est l’ensemble des
points z pour lesquels l’on sait effectuer les opérations permettant de calculer f (z).
Le cas le plus important est celui où D est un domaine. Nous ne considérerons que des
domaines dont la frontière est une suite finie d’arcs de courbes continûment
différentiables par morceaux.
Quelques exemples
z 7→ f (z) = z̄,
z 7→ f (z) = |z| ,
z 7→ f (z) = z −1 ,
z 7→ f (z) = sin z.
1 ι̇(x+ι̇y )
1
(e
− e−ι̇(x+ι̇y ) ) = (e−y eι̇x − ey e−ι̇x ) = sin x cosh y + ι̇ sinh y cos x.
2ι̇
2ι̇
C’est la généralisation aux complexes de la formule sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,
en remarquant que sin ι̇a = ι̇ sinh a et cos ι̇b = cosh b.
sin z =
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Introduction
Soit la fonction
f : D ⊂ C → C, z 7→ f (z).
Nouveauté
Tous les nombres impliqués sont à deux variables!
Le nombre original z, ainsi que son image f (z) se déplacent dans un espace à deux
dimensions à savoir le plan complexe R2 .
L’ensemble D est appelé domaine définition de la fonction f : C’est l’ensemble des
points z pour lesquels l’on sait effectuer les opérations permettant de calculer f (z).
Le cas le plus important est celui où D est un domaine. Nous ne considérerons que des
domaines dont la frontière est une suite finie d’arcs de courbes continûment
différentiables par morceaux.
Quelques exemples
z 7→ f (z) = z̄,
z 7→ f (z) = |z| ,
z 7→ f (z) = z −1 ,
z 7→ f (z) = sin z.
1 ι̇(x+ι̇y )
1
(e
− e−ι̇(x+ι̇y ) ) = (e−y eι̇x − ey e−ι̇x ) = sin x cosh y + ι̇ sinh y cos x.
2ι̇
2ι̇
C’est la généralisation aux complexes de la formule sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,
en remarquant que sin ι̇a = ι̇ sinh a et cos ι̇b = cosh b.
sin z =
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Introduction
Soit la fonction
f : D ⊂ C → C, z 7→ f (z).
Nouveauté
Tous les nombres impliqués sont à deux variables!
Le nombre original z, ainsi que son image f (z) se déplacent dans un espace à deux
dimensions à savoir le plan complexe R2 .
L’ensemble D est appelé domaine définition de la fonction f : C’est l’ensemble des
points z pour lesquels l’on sait effectuer les opérations permettant de calculer f (z).
Le cas le plus important est celui où D est un domaine. Nous ne considérerons que des
domaines dont la frontière est une suite finie d’arcs de courbes continûment
différentiables par morceaux.
Quelques exemples
z 7→ f (z) = z̄,
z 7→ f (z) = |z| ,
z 7→ f (z) = z −1 ,
z 7→ f (z) = sin z.
1 ι̇(x+ι̇y )
1
(e
− e−ι̇(x+ι̇y ) ) = (e−y eι̇x − ey e−ι̇x ) = sin x cosh y + ι̇ sinh y cos x.
2ι̇
2ι̇
C’est la généralisation aux complexes de la formule sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,
en remarquant que sin ι̇a = ι̇ sinh a et cos ι̇b = cosh b.
sin z =
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Représentation de f : D ⊂ C → C, z 7→ f (z)
Algébriquement
La donnée de f est clairement équivalente à la donnée de 2 fonctions u et v à valeurs
réelles:
∀z ∈ D, f (z) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), z = x + ι̇y .
Graphiquement
On ne peut représenter le graph de f car cela requiert 4 dimensions.
En revanche, on peut tracer dans le plan des lignes relatives à certains attributs de f :
I Les lignes iso-module.
I Les lignes iso-< et iso-=:
I
u(x, y ) = C ste
et
v (x, y ) = C ste .
On peut éventuellement représenter les surfaces obtenues en portant
verticalement suivant Oz les valeurs des parties réelles et imaginaires:
z = u(x, y ) et z = v (x, y ), z ∈ R.
Les lignes iso-< et iso-= sont les intersections de ses surfaces avec
des plans parallèles à au plan xOy .
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Représentation de f : D ⊂ C → C, z 7→ f (z)
Algébriquement
La donnée de f est clairement équivalente à la donnée de 2 fonctions u et v à valeurs
réelles:
∀z ∈ D, f (z) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), z = x + ι̇y .
Graphiquement
On ne peut représenter le graph de f car cela requiert 4 dimensions.
En revanche, on peut tracer dans le plan des lignes relatives à certains attributs de f :
I Les lignes iso-module.
I Les lignes iso-< et iso-=:
I
u(x, y ) = C ste
et
v (x, y ) = C ste .
On peut éventuellement représenter les surfaces obtenues en portant
verticalement suivant Oz les valeurs des parties réelles et imaginaires:
z = u(x, y ) et z = v (x, y ), z ∈ R.
Les lignes iso-< et iso-= sont les intersections de ses surfaces avec
des plans parallèles à au plan xOy .
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Représentation de f : D ⊂ C → C, z 7→ f (z)
Algébriquement
La donnée de f est clairement équivalente à la donnée de 2 fonctions u et v à valeurs
réelles:
∀z ∈ D, f (z) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), z = x + ι̇y .
Graphiquement
On ne peut représenter le graph de f car cela requiert 4 dimensions.
En revanche, on peut tracer dans le plan des lignes relatives à certains attributs de f :
I Les lignes iso-module.
I Les lignes iso-< et iso-=:
I
u(x, y ) = C ste
et
v (x, y ) = C ste .
On peut éventuellement représenter les surfaces obtenues en portant
verticalement suivant Oz les valeurs des parties réelles et imaginaires:
z = u(x, y ) et z = v (x, y ), z ∈ R.
Les lignes iso-< et iso-= sont les intersections de ses surfaces avec
des plans parallèles à au plan xOy .
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Représentation de f : D ⊂ C → C, z 7→ f (z)
Algébriquement
La donnée de f est clairement équivalente à la donnée de 2 fonctions u et v à valeurs
réelles:
∀z ∈ D, f (z) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), z = x + ι̇y .
Graphiquement
On ne peut représenter le graph de f car cela requiert 4 dimensions.
En revanche, on peut tracer dans le plan des lignes relatives à certains attributs de f :
I Les lignes iso-module.
I Les lignes iso-< et iso-=:
I
u(x, y ) = C ste
et
v (x, y ) = C ste .
On peut éventuellement représenter les surfaces obtenues en portant
verticalement suivant Oz les valeurs des parties réelles et imaginaires:
z = u(x, y ) et z = v (x, y ), z ∈ R.
Les lignes iso-< et iso-= sont les intersections de ses surfaces avec
des plans parallèles à au plan xOy .
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Représentation de f : D ⊂ C → C, z 7→ f (z)
Algébriquement
La donnée de f est clairement équivalente à la donnée de 2 fonctions u et v à valeurs
réelles:
∀z ∈ D, f (z) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), z = x + ι̇y .
Graphiquement
On ne peut représenter le graph de f car cela requiert 4 dimensions.
En revanche, on peut tracer dans le plan des lignes relatives à certains attributs de f :
I Les lignes iso-module.
I Les lignes iso-< et iso-=:
I
u(x, y ) = C ste
et
v (x, y ) = C ste .
On peut éventuellement représenter les surfaces obtenues en portant
verticalement suivant Oz les valeurs des parties réelles et imaginaires:
z = u(x, y ) et z = v (x, y ), z ∈ R.
Les lignes iso-< et iso-= sont les intersections de ses surfaces avec
des plans parallèles à au plan xOy .
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Limite, continuité et dérivée
Définition
1 Limite: lim f (z) = f0
z→z0
⇔
∀ε > 0, ∃δ > 0/∀ |z − z0 | < δ : |f (z) − f0 | < ε.
2 Continuité: f est continue en z0 si f0 = f (z0 ).
De façon équivalente, la limite de f en z0 existe si les limites suivantes existent:
lim
x→x0 ,y →y0
u(x, y ) = u0 ,
et
lim
x→x0 ,y →y0
v (x, y ) = v0
Dire que f est continue en z0 , c’est dire que u0 = u(x0 , y0 ) et v0 = v (x0 , y0 ).
z
Exemple f (z) = .
z̄
Définition
On définit la dérivée f 0 d’une fonction f continue au point z0 comme la limite (si elle
existe!):
f (z) − f (z0 )
f 0 (z0 ) = lim
.
z→z0
z − z0
Une fonction ayant cette propriété en z0 est dite dérivable en z0 .
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Limite, continuité et dérivée
Définition
1 Limite: lim f (z) = f0
z→z0
⇔
∀ε > 0, ∃δ > 0/∀ |z − z0 | < δ : |f (z) − f0 | < ε.
2 Continuité: f est continue en z0 si f0 = f (z0 ).
De façon équivalente, la limite de f en z0 existe si les limites suivantes existent:
lim
x→x0 ,y →y0
u(x, y ) = u0 ,
et
lim
x→x0 ,y →y0
v (x, y ) = v0
Dire que f est continue en z0 , c’est dire que u0 = u(x0 , y0 ) et v0 = v (x0 , y0 ).
z
Exemple f (z) = .
z̄
Définition
On définit la dérivée f 0 d’une fonction f continue au point z0 comme la limite (si elle
existe!):
f (z) − f (z0 )
f 0 (z0 ) = lim
.
z→z0
z − z0
Une fonction ayant cette propriété en z0 est dite dérivable en z0 .
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Limite, continuité et dérivée
Définition
1 Limite: lim f (z) = f0
z→z0
⇔
∀ε > 0, ∃δ > 0/∀ |z − z0 | < δ : |f (z) − f0 | < ε.
2 Continuité: f est continue en z0 si f0 = f (z0 ).
De façon équivalente, la limite de f en z0 existe si les limites suivantes existent:
lim
x→x0 ,y →y0
u(x, y ) = u0 ,
et
lim
x→x0 ,y →y0
v (x, y ) = v0
Dire que f est continue en z0 , c’est dire que u0 = u(x0 , y0 ) et v0 = v (x0 , y0 ).
z
Exemple f (z) = .
z̄
Définition
On définit la dérivée f 0 d’une fonction f continue au point z0 comme la limite (si elle
existe!):
f (z) − f (z0 )
f 0 (z0 ) = lim
.
z→z0
z − z0
Une fonction ayant cette propriété en z0 est dite dérivable en z0 .
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Limite, continuité et dérivée
Définition
1 Limite: lim f (z) = f0
z→z0
⇔
∀ε > 0, ∃δ > 0/∀ |z − z0 | < δ : |f (z) − f0 | < ε.
2 Continuité: f est continue en z0 si f0 = f (z0 ).
De façon équivalente, la limite de f en z0 existe si les limites suivantes existent:
lim
x→x0 ,y →y0
u(x, y ) = u0 ,
et
lim
x→x0 ,y →y0
v (x, y ) = v0
Dire que f est continue en z0 , c’est dire que u0 = u(x0 , y0 ) et v0 = v (x0 , y0 ).
z
Exemple f (z) = .
z̄
Définition
On définit la dérivée f 0 d’une fonction f continue au point z0 comme la limite (si elle
existe!):
f (z) − f (z0 )
f 0 (z0 ) = lim
.
z→z0
z − z0
Une fonction ayant cette propriété en z0 est dite dérivable en z0 .
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Limite, continuité et dérivée
Définition
1 Limite: lim f (z) = f0
z→z0
⇔
∀ε > 0, ∃δ > 0/∀ |z − z0 | < δ : |f (z) − f0 | < ε.
2 Continuité: f est continue en z0 si f0 = f (z0 ).
De façon équivalente, la limite de f en z0 existe si les limites suivantes existent:
lim
x→x0 ,y →y0
u(x, y ) = u0 ,
et
lim
x→x0 ,y →y0
v (x, y ) = v0
Dire que f est continue en z0 , c’est dire que u0 = u(x0 , y0 ) et v0 = v (x0 , y0 ).
z
Exemple f (z) = .
z̄
Définition
On définit la dérivée f 0 d’une fonction f continue au point z0 comme la limite (si elle
existe!):
f (z) − f (z0 )
f 0 (z0 ) = lim
.
z→z0
z − z0
Une fonction ayant cette propriété en z0 est dite dérivable en z0 .
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Fonction holomorphe
Définition
Une fonction dérivable en tout point d’un domaine est dite holomorphe dans ce
domaine.
La somme et le produit de deux fonctions holomorphes est une fonction holomorphe; il
f
en va de même pour le rapport
partout où g(z) 6= 0.
g
Conditions de Cauchy
Les conditions de dérivabilité -donc l’exigence d’indépendance vis-à-vis du chemin suivi
pour arriver en z0 - s’expriment par le théorème suivant, appelé conditions de Cauchy:
Théorème Soit une fonction définie par f (z) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ) où u et v sont
différentiables en z0 . Alors, f est dérivable en z0 si, et seulement si,
∂u
∂v
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )
∂x
∂y
et
∂u
∂v
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ).
∂y
∂x
Géométriquement, cela traduit le fait que lignes iso-< et iso-= sont orthogonales.
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Fonction holomorphe
Définition
Une fonction dérivable en tout point d’un domaine est dite holomorphe dans ce
domaine.
La somme et le produit de deux fonctions holomorphes est une fonction holomorphe; il
f
en va de même pour le rapport
partout où g(z) 6= 0.
g
Conditions de Cauchy
Les conditions de dérivabilité -donc l’exigence d’indépendance vis-à-vis du chemin suivi
pour arriver en z0 - s’expriment par le théorème suivant, appelé conditions de Cauchy:
Théorème Soit une fonction définie par f (z) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ) où u et v sont
différentiables en z0 . Alors, f est dérivable en z0 si, et seulement si,
∂u
∂v
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )
∂x
∂y
et
∂u
∂v
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ).
∂y
∂x
Géométriquement, cela traduit le fait que lignes iso-< et iso-= sont orthogonales.
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Fonction holomorphe
Définition
Une fonction dérivable en tout point d’un domaine est dite holomorphe dans ce
domaine.
La somme et le produit de deux fonctions holomorphes est une fonction holomorphe; il
f
en va de même pour le rapport
partout où g(z) 6= 0.
g
Conditions de Cauchy
Les conditions de dérivabilité -donc l’exigence d’indépendance vis-à-vis du chemin suivi
pour arriver en z0 - s’expriment par le théorème suivant, appelé conditions de Cauchy:
Théorème Soit une fonction définie par f (z) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ) où u et v sont
différentiables en z0 . Alors, f est dérivable en z0 si, et seulement si,
∂u
∂v
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )
∂x
∂y
et
∂u
∂v
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ).
∂y
∂x
Géométriquement, cela traduit le fait que lignes iso-< et iso-= sont orthogonales.
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Remarques
1 Les relations de Cauchy en coordonnées polaires: si U(r, θ) = u(x, y ) et
2
3
4
5
6
V (r, θ) = v (x, y ) alors
∂U
1 ∂V
1 ∂U
∂V
(r0 , θ0 ) =
(r0 , θ0 ) et
(r0 , θ0 ) = −
(r0 , θ0 )
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂r
Les conditions de Cauchy nous permettent d’écrire la dérivée de 4 manières
différentes.
Une fonction holomorphe est infiniment dérivable.
Si <f (z) = C ste ou =f (z) = C ste , alors f (z) = C ste .
Si f˜(x, y ) = f (z = x + ι̇y ) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), alors les conditions de Cauchy
s’écrivent:
∂ f˜
∂ f˜
(x0 , y0 ) = −ι̇ (x0 , y0 )
∂x
∂y
Les conditions de Cauchy assurent que f est une fonction de z seul, pas de z̄.
∂f
Notamment si
6= 0, alors f n’est pas holomorphe.
∂ z̄
I
Attention!!!
∂f
=0
∂z
n’implique pas
f = C ste .
7 Les régles de calcul des dérivées de fonctions de R → R restent valables.
8 Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe verifient l’équation de
Laplace. On dit qu’elles sont harmoniques.
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Remarques
1 Les relations de Cauchy en coordonnées polaires: si U(r, θ) = u(x, y ) et
2
3
4
5
6
V (r, θ) = v (x, y ) alors
∂U
1 ∂V
1 ∂U
∂V
(r0 , θ0 ) =
(r0 , θ0 ) et
(r0 , θ0 ) = −
(r0 , θ0 )
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂r
Les conditions de Cauchy nous permettent d’écrire la dérivée de 4 manières
différentes.
Une fonction holomorphe est infiniment dérivable.
Si <f (z) = C ste ou =f (z) = C ste , alors f (z) = C ste .
Si f˜(x, y ) = f (z = x + ι̇y ) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), alors les conditions de Cauchy
s’écrivent:
∂ f˜
∂ f˜
(x0 , y0 ) = −ι̇ (x0 , y0 )
∂x
∂y
Les conditions de Cauchy assurent que f est une fonction de z seul, pas de z̄.
∂f
Notamment si
6= 0, alors f n’est pas holomorphe.
∂ z̄
I
Attention!!!
∂f
=0
∂z
n’implique pas
f = C ste .
7 Les régles de calcul des dérivées de fonctions de R → R restent valables.
8 Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe verifient l’équation de
Laplace. On dit qu’elles sont harmoniques.
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Remarques
1 Les relations de Cauchy en coordonnées polaires: si U(r, θ) = u(x, y ) et
2
3
4
5
6
V (r, θ) = v (x, y ) alors
∂U
1 ∂V
1 ∂U
∂V
(r0 , θ0 ) =
(r0 , θ0 ) et
(r0 , θ0 ) = −
(r0 , θ0 )
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂r
Les conditions de Cauchy nous permettent d’écrire la dérivée de 4 manières
différentes.
Une fonction holomorphe est infiniment dérivable.
Si <f (z) = C ste ou =f (z) = C ste , alors f (z) = C ste .
Si f˜(x, y ) = f (z = x + ι̇y ) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), alors les conditions de Cauchy
s’écrivent:
∂ f˜
∂ f˜
(x0 , y0 ) = −ι̇ (x0 , y0 )
∂x
∂y
Les conditions de Cauchy assurent que f est une fonction de z seul, pas de z̄.
∂f
Notamment si
6= 0, alors f n’est pas holomorphe.
∂ z̄
I
Attention!!!
∂f
=0
∂z
n’implique pas
f = C ste .
7 Les régles de calcul des dérivées de fonctions de R → R restent valables.
8 Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe verifient l’équation de
Laplace. On dit qu’elles sont harmoniques.
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Remarques
1 Les relations de Cauchy en coordonnées polaires: si U(r, θ) = u(x, y ) et
2
3
4
5
6
V (r, θ) = v (x, y ) alors
∂U
1 ∂V
1 ∂U
∂V
(r0 , θ0 ) =
(r0 , θ0 ) et
(r0 , θ0 ) = −
(r0 , θ0 )
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂r
Les conditions de Cauchy nous permettent d’écrire la dérivée de 4 manières
différentes.
Une fonction holomorphe est infiniment dérivable.
Si <f (z) = C ste ou =f (z) = C ste , alors f (z) = C ste .
Si f˜(x, y ) = f (z = x + ι̇y ) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), alors les conditions de Cauchy
s’écrivent:
∂ f˜
∂ f˜
(x0 , y0 ) = −ι̇ (x0 , y0 )
∂x
∂y
Les conditions de Cauchy assurent que f est une fonction de z seul, pas de z̄.
∂f
Notamment si
6= 0, alors f n’est pas holomorphe.
∂ z̄
I
Attention!!!
∂f
=0
∂z
n’implique pas
f = C ste .
7 Les régles de calcul des dérivées de fonctions de R → R restent valables.
8 Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe verifient l’équation de
Laplace. On dit qu’elles sont harmoniques.
Karim Trabelsi (IPSA)
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
Ivry, le 29.9.09
6 / 10
Remarques
1 Les relations de Cauchy en coordonnées polaires: si U(r, θ) = u(x, y ) et
2
3
4
5
6
V (r, θ) = v (x, y ) alors
∂U
1 ∂V
1 ∂U
∂V
(r0 , θ0 ) =
(r0 , θ0 ) et
(r0 , θ0 ) = −
(r0 , θ0 )
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂r
Les conditions de Cauchy nous permettent d’écrire la dérivée de 4 manières
différentes.
Une fonction holomorphe est infiniment dérivable.
Si <f (z) = C ste ou =f (z) = C ste , alors f (z) = C ste .
Si f˜(x, y ) = f (z = x + ι̇y ) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), alors les conditions de Cauchy
s’écrivent:
∂ f˜
∂ f˜
(x0 , y0 ) = −ι̇ (x0 , y0 )
∂x
∂y
Les conditions de Cauchy assurent que f est une fonction de z seul, pas de z̄.
∂f
Notamment si
6= 0, alors f n’est pas holomorphe.
∂ z̄
I
Attention!!!
∂f
=0
∂z
n’implique pas
f = C ste .
7 Les régles de calcul des dérivées de fonctions de R → R restent valables.
8 Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe verifient l’équation de
Laplace. On dit qu’elles sont harmoniques.
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Ivry, le 29.9.09
6 / 10
Remarques
1 Les relations de Cauchy en coordonnées polaires: si U(r, θ) = u(x, y ) et
2
3
4
5
6
V (r, θ) = v (x, y ) alors
∂U
1 ∂V
1 ∂U
∂V
(r0 , θ0 ) =
(r0 , θ0 ) et
(r0 , θ0 ) = −
(r0 , θ0 )
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂r
Les conditions de Cauchy nous permettent d’écrire la dérivée de 4 manières
différentes.
Une fonction holomorphe est infiniment dérivable.
Si <f (z) = C ste ou =f (z) = C ste , alors f (z) = C ste .
Si f˜(x, y ) = f (z = x + ι̇y ) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), alors les conditions de Cauchy
s’écrivent:
∂ f˜
∂ f˜
(x0 , y0 ) = −ι̇ (x0 , y0 )
∂x
∂y
Les conditions de Cauchy assurent que f est une fonction de z seul, pas de z̄.
∂f
Notamment si
6= 0, alors f n’est pas holomorphe.
∂ z̄
I
Attention!!!
∂f
=0
∂z
n’implique pas
f = C ste .
7 Les régles de calcul des dérivées de fonctions de R → R restent valables.
8 Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe verifient l’équation de
Laplace. On dit qu’elles sont harmoniques.
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Remarques
1 Les relations de Cauchy en coordonnées polaires: si U(r, θ) = u(x, y ) et
2
3
4
5
6
V (r, θ) = v (x, y ) alors
∂U
1 ∂V
1 ∂U
∂V
(r0 , θ0 ) =
(r0 , θ0 ) et
(r0 , θ0 ) = −
(r0 , θ0 )
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂r
Les conditions de Cauchy nous permettent d’écrire la dérivée de 4 manières
différentes.
Une fonction holomorphe est infiniment dérivable.
Si <f (z) = C ste ou =f (z) = C ste , alors f (z) = C ste .
Si f˜(x, y ) = f (z = x + ι̇y ) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), alors les conditions de Cauchy
s’écrivent:
∂ f˜
∂ f˜
(x0 , y0 ) = −ι̇ (x0 , y0 )
∂x
∂y
Les conditions de Cauchy assurent que f est une fonction de z seul, pas de z̄.
∂f
Notamment si
6= 0, alors f n’est pas holomorphe.
∂ z̄
I
Attention!!!
∂f
=0
∂z
n’implique pas
f = C ste .
7 Les régles de calcul des dérivées de fonctions de R → R restent valables.
8 Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe verifient l’équation de
Laplace. On dit qu’elles sont harmoniques.
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Remarques
1 Les relations de Cauchy en coordonnées polaires: si U(r, θ) = u(x, y ) et
2
3
4
5
6
V (r, θ) = v (x, y ) alors
∂U
1 ∂V
1 ∂U
∂V
(r0 , θ0 ) =
(r0 , θ0 ) et
(r0 , θ0 ) = −
(r0 , θ0 )
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂r
Les conditions de Cauchy nous permettent d’écrire la dérivée de 4 manières
différentes.
Une fonction holomorphe est infiniment dérivable.
Si <f (z) = C ste ou =f (z) = C ste , alors f (z) = C ste .
Si f˜(x, y ) = f (z = x + ι̇y ) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), alors les conditions de Cauchy
s’écrivent:
∂ f˜
∂ f˜
(x0 , y0 ) = −ι̇ (x0 , y0 )
∂x
∂y
Les conditions de Cauchy assurent que f est une fonction de z seul, pas de z̄.
∂f
Notamment si
6= 0, alors f n’est pas holomorphe.
∂ z̄
I
Attention!!!
∂f
=0
∂z
n’implique pas
f = C ste .
7 Les régles de calcul des dérivées de fonctions de R → R restent valables.
8 Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe verifient l’équation de
Laplace. On dit qu’elles sont harmoniques.
Karim Trabelsi (IPSA)
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6 / 10
Remarques
1 Les relations de Cauchy en coordonnées polaires: si U(r, θ) = u(x, y ) et
2
3
4
5
6
V (r, θ) = v (x, y ) alors
∂U
1 ∂V
1 ∂U
∂V
(r0 , θ0 ) =
(r0 , θ0 ) et
(r0 , θ0 ) = −
(r0 , θ0 )
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂r
Les conditions de Cauchy nous permettent d’écrire la dérivée de 4 manières
différentes.
Une fonction holomorphe est infiniment dérivable.
Si <f (z) = C ste ou =f (z) = C ste , alors f (z) = C ste .
Si f˜(x, y ) = f (z = x + ι̇y ) = u(x, y ) + ι̇v (x, y ), alors les conditions de Cauchy
s’écrivent:
∂ f˜
∂ f˜
(x0 , y0 ) = −ι̇ (x0 , y0 )
∂x
∂y
Les conditions de Cauchy assurent que f est une fonction de z seul, pas de z̄.
∂f
Notamment si
6= 0, alors f n’est pas holomorphe.
∂ z̄
I
Attention!!!
∂f
=0
∂z
n’implique pas
f = C ste .
7 Les régles de calcul des dérivées de fonctions de R → R restent valables.
8 Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe verifient l’équation de
Laplace. On dit qu’elles sont harmoniques.
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6 / 10
Exemples
1 f : z 7→ z n ,
n ∈ N est holomorphe.
1
est holomorphe dans C∗ .
2 f : z 7→
z
3 f : z 7→ |z| n’est pas holomorphe. Elle n’est dérivable nulle part.
I
Il en va de même pour les fonctions z 7→ <z et z 7→ =z.
De façon générale une fonction f : C → R càd. une fonction à valeurs réelles n’est pas
dérivable!
√
1
1
I |z| = z z̄, <z = (z + z̄), =z =
(z − z̄), etc.
2
2ι̇
Remarque
On peut montrer que toute fonction holomorphe est analytique et réciproquement.
I Une fonction holomorphe satisfait les conditions de Cauchy.
I Une fonction analytique admet localement un développement en série de
puissances entières positives.
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7 / 10
Exemples
1 f : z 7→ z n ,
n ∈ N est holomorphe.
1
est holomorphe dans C∗ .
2 f : z 7→
z
3 f : z 7→ |z| n’est pas holomorphe. Elle n’est dérivable nulle part.
I
Il en va de même pour les fonctions z 7→ <z et z 7→ =z.
De façon générale une fonction f : C → R càd. une fonction à valeurs réelles n’est pas
dérivable!
√
1
1
I |z| = z z̄, <z = (z + z̄), =z =
(z − z̄), etc.
2
2ι̇
Remarque
On peut montrer que toute fonction holomorphe est analytique et réciproquement.
I Une fonction holomorphe satisfait les conditions de Cauchy.
I Une fonction analytique admet localement un développement en série de
puissances entières positives.
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Exemples
1 f : z 7→ z n ,
n ∈ N est holomorphe.
1
est holomorphe dans C∗ .
2 f : z 7→
z
3 f : z 7→ |z| n’est pas holomorphe. Elle n’est dérivable nulle part.
I
Il en va de même pour les fonctions z 7→ <z et z 7→ =z.
De façon générale une fonction f : C → R càd. une fonction à valeurs réelles n’est pas
dérivable!
√
1
1
I |z| = z z̄, <z = (z + z̄), =z =
(z − z̄), etc.
2
2ι̇
Remarque
On peut montrer que toute fonction holomorphe est analytique et réciproquement.
I Une fonction holomorphe satisfait les conditions de Cauchy.
I Une fonction analytique admet localement un développement en série de
puissances entières positives.
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Exemples
1 f : z 7→ z n ,
n ∈ N est holomorphe.
1
est holomorphe dans C∗ .
2 f : z 7→
z
3 f : z 7→ |z| n’est pas holomorphe. Elle n’est dérivable nulle part.
I
Il en va de même pour les fonctions z 7→ <z et z 7→ =z.
De façon générale une fonction f : C → R càd. une fonction à valeurs réelles n’est pas
dérivable!
√
1
1
I |z| = z z̄, <z = (z + z̄), =z =
(z − z̄), etc.
2
2ι̇
Remarque
On peut montrer que toute fonction holomorphe est analytique et réciproquement.
I Une fonction holomorphe satisfait les conditions de Cauchy.
I Une fonction analytique admet localement un développement en série de
puissances entières positives.
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Exemples
1 f : z 7→ z n ,
n ∈ N est holomorphe.
1
est holomorphe dans C∗ .
2 f : z 7→
z
3 f : z 7→ |z| n’est pas holomorphe. Elle n’est dérivable nulle part.
I
Il en va de même pour les fonctions z 7→ <z et z 7→ =z.
De façon générale une fonction f : C → R càd. une fonction à valeurs réelles n’est pas
dérivable!
√
1
1
I |z| = z z̄, <z = (z + z̄), =z =
(z − z̄), etc.
2
2ι̇
Remarque
On peut montrer que toute fonction holomorphe est analytique et réciproquement.
I Une fonction holomorphe satisfait les conditions de Cauchy.
I Une fonction analytique admet localement un développement en série de
puissances entières positives.
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Exemples
1 f : z 7→ z n ,
n ∈ N est holomorphe.
1
est holomorphe dans C∗ .
2 f : z 7→
z
3 f : z 7→ |z| n’est pas holomorphe. Elle n’est dérivable nulle part.
I
Il en va de même pour les fonctions z 7→ <z et z 7→ =z.
De façon générale une fonction f : C → R càd. une fonction à valeurs réelles n’est pas
dérivable!
√
1
1
I |z| = z z̄, <z = (z + z̄), =z =
(z − z̄), etc.
2
2ι̇
Remarque
On peut montrer que toute fonction holomorphe est analytique et réciproquement.
I Une fonction holomorphe satisfait les conditions de Cauchy.
I Une fonction analytique admet localement un développement en série de
puissances entières positives.
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Exemples
1 f : z 7→ z n ,
n ∈ N est holomorphe.
1
est holomorphe dans C∗ .
2 f : z 7→
z
3 f : z 7→ |z| n’est pas holomorphe. Elle n’est dérivable nulle part.
I
Il en va de même pour les fonctions z 7→ <z et z 7→ =z.
De façon générale une fonction f : C → R càd. une fonction à valeurs réelles n’est pas
dérivable!
√
1
1
I |z| = z z̄, <z = (z + z̄), =z =
(z − z̄), etc.
2
2ι̇
Remarque
On peut montrer que toute fonction holomorphe est analytique et réciproquement.
I Une fonction holomorphe satisfait les conditions de Cauchy.
I Une fonction analytique admet localement un développement en série de
puissances entières positives.
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Exemples
1 f : z 7→ z n ,
n ∈ N est holomorphe.
1
est holomorphe dans C∗ .
2 f : z 7→
z
3 f : z 7→ |z| n’est pas holomorphe. Elle n’est dérivable nulle part.
I
Il en va de même pour les fonctions z 7→ <z et z 7→ =z.
De façon générale une fonction f : C → R càd. une fonction à valeurs réelles n’est pas
dérivable!
√
1
1
I |z| = z z̄, <z = (z + z̄), =z =
(z − z̄), etc.
2
2ι̇
Remarque
On peut montrer que toute fonction holomorphe est analytique et réciproquement.
I Une fonction holomorphe satisfait les conditions de Cauchy.
I Une fonction analytique admet localement un développement en série de
puissances entières positives.
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7 / 10
Fonctions élémentaires
Il s’agit de généraliser les fonctions élémentaires de l’analyse réelle au cas où
l’argument est un nombre complexe. Nous allons, le cas échéant utiliser ces notations:
z = x + ι̇y = r eι̇θ
La fonction puissance entière
et
Z = X + ι̇Y = ρeι̇ϕ .
z 7→ Z = z n ,
n ∈ N∗
I Géométriquement, cela revient à une rotation d’angle (n − 1)θ et une dilatation
de rapport r n−1 .
I Elle est holomorphe:
(z n )0 = nz n−1 .
I On remarque que les images de deux complexes de même module et d’argument
différant de
2π
sont confondues puisque
n
2π
(eι̇k n )n = eι̇k2π = 1,
∀k ∈ Z.
Ainsi, la fonction inverse n’est pas clairement définie:
˘
¯
ϕ
1
1
1
2π
ϕ
2π
z = Zn
⇔ r = ρ n , θ = +k
⇔ z ∈ zk = ρ n eι̇ n eι̇k n , k = 1, . . . , n .
n
n
1
La notation Z n ne désigne pas un seul et unique nombre mais n nombres
1
distincts. Pour cette raison la fonction Z n est dite multiforme.
Karim Trabelsi (IPSA)
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
Ivry, le 29.9.09
8 / 10
Fonctions élémentaires
Il s’agit de généraliser les fonctions élémentaires de l’analyse réelle au cas où
l’argument est un nombre complexe. Nous allons, le cas échéant utiliser ces notations:
z = x + ι̇y = r eι̇θ
La fonction puissance entière
et
Z = X + ι̇Y = ρeι̇ϕ .
z 7→ Z = z n ,
n ∈ N∗
I Géométriquement, cela revient à une rotation d’angle (n − 1)θ et une dilatation
de rapport r n−1 .
I Elle est holomorphe:
(z n )0 = nz n−1 .
I On remarque que les images de deux complexes de même module et d’argument
différant de
2π
sont confondues puisque
n
2π
(eι̇k n )n = eι̇k2π = 1,
∀k ∈ Z.
Ainsi, la fonction inverse n’est pas clairement définie:
˘
¯
ϕ
1
1
1
2π
ϕ
2π
z = Zn
⇔ r = ρ n , θ = +k
⇔ z ∈ zk = ρ n eι̇ n eι̇k n , k = 1, . . . , n .
n
n
1
La notation Z n ne désigne pas un seul et unique nombre mais n nombres
1
distincts. Pour cette raison la fonction Z n est dite multiforme.
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8 / 10
Fonctions élémentaires
Il s’agit de généraliser les fonctions élémentaires de l’analyse réelle au cas où
l’argument est un nombre complexe. Nous allons, le cas échéant utiliser ces notations:
z = x + ι̇y = r eι̇θ
La fonction puissance entière
et
Z = X + ι̇Y = ρeι̇ϕ .
z 7→ Z = z n ,
n ∈ N∗
I Géométriquement, cela revient à une rotation d’angle (n − 1)θ et une dilatation
de rapport r n−1 .
I Elle est holomorphe:
(z n )0 = nz n−1 .
I On remarque que les images de deux complexes de même module et d’argument
différant de
2π
sont confondues puisque
n
2π
(eι̇k n )n = eι̇k2π = 1,
∀k ∈ Z.
Ainsi, la fonction inverse n’est pas clairement définie:
˘
¯
ϕ
1
1
1
2π
ϕ
2π
z = Zn
⇔ r = ρ n , θ = +k
⇔ z ∈ zk = ρ n eι̇ n eι̇k n , k = 1, . . . , n .
n
n
1
La notation Z n ne désigne pas un seul et unique nombre mais n nombres
1
distincts. Pour cette raison la fonction Z n est dite multiforme.
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Fonctions élémentaires
Il s’agit de généraliser les fonctions élémentaires de l’analyse réelle au cas où
l’argument est un nombre complexe. Nous allons, le cas échéant utiliser ces notations:
z = x + ι̇y = r eι̇θ
La fonction puissance entière
et
Z = X + ι̇Y = ρeι̇ϕ .
z 7→ Z = z n ,
n ∈ N∗
I Géométriquement, cela revient à une rotation d’angle (n − 1)θ et une dilatation
de rapport r n−1 .
I Elle est holomorphe:
(z n )0 = nz n−1 .
I On remarque que les images de deux complexes de même module et d’argument
différant de
2π
sont confondues puisque
n
2π
(eι̇k n )n = eι̇k2π = 1,
∀k ∈ Z.
Ainsi, la fonction inverse n’est pas clairement définie:
˘
¯
ϕ
1
1
1
2π
ϕ
2π
z = Zn
⇔ r = ρ n , θ = +k
⇔ z ∈ zk = ρ n eι̇ n eι̇k n , k = 1, . . . , n .
n
n
1
La notation Z n ne désigne pas un seul et unique nombre mais n nombres
1
distincts. Pour cette raison la fonction Z n est dite multiforme.
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Fonctions élémentaires
Il s’agit de généraliser les fonctions élémentaires de l’analyse réelle au cas où
l’argument est un nombre complexe. Nous allons, le cas échéant utiliser ces notations:
z = x + ι̇y = r eι̇θ
La fonction puissance entière
et
Z = X + ι̇Y = ρeι̇ϕ .
z 7→ Z = z n ,
n ∈ N∗
I Géométriquement, cela revient à une rotation d’angle (n − 1)θ et une dilatation
de rapport r n−1 .
I Elle est holomorphe:
(z n )0 = nz n−1 .
I On remarque que les images de deux complexes de même module et d’argument
différant de
2π
sont confondues puisque
n
2π
(eι̇k n )n = eι̇k2π = 1,
∀k ∈ Z.
Ainsi, la fonction inverse n’est pas clairement définie:
˘
¯
ϕ
1
1
1
2π
ϕ
2π
z = Zn
⇔ r = ρ n , θ = +k
⇔ z ∈ zk = ρ n eι̇ n eι̇k n , k = 1, . . . , n .
n
n
1
La notation Z n ne désigne pas un seul et unique nombre mais n nombres
1
distincts. Pour cette raison la fonction Z n est dite multiforme.
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8 / 10
La fonction exponentielle
Ici,
z 7→ Z = ez
Z = ex+ι̇y = ex eι̇y = ex (cos y + ι̇ sin y ).
I L’exponentielle est holomorphe: (ez )0 = ez .
I La fonction exponentielle est périodique:
ez+ι̇2nπ = ez , ∀n ∈ N.
I Elle permet de généraliser les fonctions trigonométriques:
sin z =
1 ι̇z
(e − e−ι̇z )
2ι̇
et
1 ι̇z
(e + e−ι̇z ).
2
cos z =
Les relations trigo ordinaires se généralisent (ex. la fonction tan, la périodicité,
etc.), mais pas toutes (ex. |sin x| ≤ 1, x ∈ R)!
I On définit les fonctions hyperboliques:
sinh z =
1 z
(e − e−z )
2
et
cosh z =
1 z
(e + e−z ).
2
I en passant de z à ι̇z, on transite des fonctions circulaires aux hyperboliques:
sin ι̇z = ι̇ sinh z ,
Karim Trabelsi (IPSA)
cosh ι̇z = cosh z,
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
tan ι̇z = ι̇ tan z.
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La fonction exponentielle
Ici,
z 7→ Z = ez
Z = ex+ι̇y = ex eι̇y = ex (cos y + ι̇ sin y ).
I L’exponentielle est holomorphe: (ez )0 = ez .
I La fonction exponentielle est périodique:
ez+ι̇2nπ = ez , ∀n ∈ N.
I Elle permet de généraliser les fonctions trigonométriques:
sin z =
1 ι̇z
(e − e−ι̇z )
2ι̇
et
1 ι̇z
(e + e−ι̇z ).
2
cos z =
Les relations trigo ordinaires se généralisent (ex. la fonction tan, la périodicité,
etc.), mais pas toutes (ex. |sin x| ≤ 1, x ∈ R)!
I On définit les fonctions hyperboliques:
sinh z =
1 z
(e − e−z )
2
et
cosh z =
1 z
(e + e−z ).
2
I en passant de z à ι̇z, on transite des fonctions circulaires aux hyperboliques:
sin ι̇z = ι̇ sinh z ,
Karim Trabelsi (IPSA)
cosh ι̇z = cosh z,
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
tan ι̇z = ι̇ tan z.
Ivry, le 29.9.09
9 / 10
La fonction exponentielle
Ici,
z 7→ Z = ez
Z = ex+ι̇y = ex eι̇y = ex (cos y + ι̇ sin y ).
I L’exponentielle est holomorphe: (ez )0 = ez .
I La fonction exponentielle est périodique:
ez+ι̇2nπ = ez , ∀n ∈ N.
I Elle permet de généraliser les fonctions trigonométriques:
sin z =
1 ι̇z
(e − e−ι̇z )
2ι̇
et
1 ι̇z
(e + e−ι̇z ).
2
cos z =
Les relations trigo ordinaires se généralisent (ex. la fonction tan, la périodicité,
etc.), mais pas toutes (ex. |sin x| ≤ 1, x ∈ R)!
I On définit les fonctions hyperboliques:
sinh z =
1 z
(e − e−z )
2
et
cosh z =
1 z
(e + e−z ).
2
I en passant de z à ι̇z, on transite des fonctions circulaires aux hyperboliques:
sin ι̇z = ι̇ sinh z ,
Karim Trabelsi (IPSA)
cosh ι̇z = cosh z,
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
tan ι̇z = ι̇ tan z.
Ivry, le 29.9.09
9 / 10
La fonction exponentielle
Ici,
z 7→ Z = ez
Z = ex+ι̇y = ex eι̇y = ex (cos y + ι̇ sin y ).
I L’exponentielle est holomorphe: (ez )0 = ez .
I La fonction exponentielle est périodique:
ez+ι̇2nπ = ez , ∀n ∈ N.
I Elle permet de généraliser les fonctions trigonométriques:
sin z =
1 ι̇z
(e − e−ι̇z )
2ι̇
et
1 ι̇z
(e + e−ι̇z ).
2
cos z =
Les relations trigo ordinaires se généralisent (ex. la fonction tan, la périodicité,
etc.), mais pas toutes (ex. |sin x| ≤ 1, x ∈ R)!
I On définit les fonctions hyperboliques:
sinh z =
1 z
(e − e−z )
2
et
cosh z =
1 z
(e + e−z ).
2
I en passant de z à ι̇z, on transite des fonctions circulaires aux hyperboliques:
sin ι̇z = ι̇ sinh z ,
Karim Trabelsi (IPSA)
cosh ι̇z = cosh z,
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
tan ι̇z = ι̇ tan z.
Ivry, le 29.9.09
9 / 10
La fonction exponentielle
Ici,
z 7→ Z = ez
Z = ex+ι̇y = ex eι̇y = ex (cos y + ι̇ sin y ).
I L’exponentielle est holomorphe: (ez )0 = ez .
I La fonction exponentielle est périodique:
ez+ι̇2nπ = ez , ∀n ∈ N.
I Elle permet de généraliser les fonctions trigonométriques:
sin z =
1 ι̇z
(e − e−ι̇z )
2ι̇
et
1 ι̇z
(e + e−ι̇z ).
2
cos z =
Les relations trigo ordinaires se généralisent (ex. la fonction tan, la périodicité,
etc.), mais pas toutes (ex. |sin x| ≤ 1, x ∈ R)!
I On définit les fonctions hyperboliques:
sinh z =
1 z
(e − e−z )
2
et
cosh z =
1 z
(e + e−z ).
2
I en passant de z à ι̇z, on transite des fonctions circulaires aux hyperboliques:
sin ι̇z = ι̇ sinh z ,
Karim Trabelsi (IPSA)
cosh ι̇z = cosh z,
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
tan ι̇z = ι̇ tan z.
Ivry, le 29.9.09
9 / 10
z 7→ Z = ln z ,
La fonction logarithme
Par définition
∀Z ∈ C, z = eZ ∈ C
⇔
z 6= 0
∀z ∈ C, Z = ln z ∈ C.
I La fonction logarithme est multiforme.
ln z = ln(r eι̇θ ) = ln r + ln eι̇θ = ln r + ι̇θ,
r 6= 0,
tout comme pour la fonction racine carée (par ex.):
I
I
O est un point de branchement, et il faut choisir une coupure.
Détermination principale:
Ln z = Ln |z| + ι̇ Arg z, −π < Arg z ≤ π.
I Le logarithme est holomorphe sur C\R− (par ex.) et (ln z)0 =
La fonction puissance généralisée
Par définition
α
Z=z =e
α ln z
z 7→ Z = z α ,
1
.
z
α∈C
.
I Cette fonction est multiforme: z α = r α eι̇αθ eι̇2αkπ ,
k ∈ Z.
I Une fois la détermination fixée (cf. la coupure), cette fonction est holomorphe
dans C privé de cette coupure, et
Karim Trabelsi (IPSA)
(z α )0 = αz α−1 .
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
Ivry, le 29.9.09
10 / 10
z 7→ Z = ln z ,
La fonction logarithme
Par définition
∀Z ∈ C, z = eZ ∈ C
⇔
z 6= 0
∀z ∈ C, Z = ln z ∈ C.
I La fonction logarithme est multiforme.
ln z = ln(r eι̇θ ) = ln r + ln eι̇θ = ln r + ι̇θ,
r 6= 0,
tout comme pour la fonction racine carée (par ex.):
I
I
O est un point de branchement, et il faut choisir une coupure.
Détermination principale:
Ln z = Ln |z| + ι̇ Arg z, −π < Arg z ≤ π.
I Le logarithme est holomorphe sur C\R− (par ex.) et (ln z)0 =
La fonction puissance généralisée
Par définition
α
Z=z =e
α ln z
z 7→ Z = z α ,
1
.
z
α∈C
.
I Cette fonction est multiforme: z α = r α eι̇αθ eι̇2αkπ ,
k ∈ Z.
I Une fois la détermination fixée (cf. la coupure), cette fonction est holomorphe
dans C privé de cette coupure, et
Karim Trabelsi (IPSA)
(z α )0 = αz α−1 .
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
Ivry, le 29.9.09
10 / 10
z 7→ Z = ln z ,
La fonction logarithme
Par définition
∀Z ∈ C, z = eZ ∈ C
⇔
z 6= 0
∀z ∈ C, Z = ln z ∈ C.
I La fonction logarithme est multiforme.
ln z = ln(r eι̇θ ) = ln r + ln eι̇θ = ln r + ι̇θ,
r 6= 0,
tout comme pour la fonction racine carée (par ex.):
I
I
O est un point de branchement, et il faut choisir une coupure.
Détermination principale:
Ln z = Ln |z| + ι̇ Arg z, −π < Arg z ≤ π.
I Le logarithme est holomorphe sur C\R− (par ex.) et (ln z)0 =
La fonction puissance généralisée
Par définition
α
Z=z =e
α ln z
z 7→ Z = z α ,
1
.
z
α∈C
.
I Cette fonction est multiforme: z α = r α eι̇αθ eι̇2αkπ ,
k ∈ Z.
I Une fois la détermination fixée (cf. la coupure), cette fonction est holomorphe
dans C privé de cette coupure, et
Karim Trabelsi (IPSA)
(z α )0 = αz α−1 .
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
Ivry, le 29.9.09
10 / 10
z 7→ Z = ln z ,
La fonction logarithme
Par définition
∀Z ∈ C, z = eZ ∈ C
⇔
z 6= 0
∀z ∈ C, Z = ln z ∈ C.
I La fonction logarithme est multiforme.
ln z = ln(r eι̇θ ) = ln r + ln eι̇θ = ln r + ι̇θ,
r 6= 0,
tout comme pour la fonction racine carée (par ex.):
I
I
O est un point de branchement, et il faut choisir une coupure.
Détermination principale:
Ln z = Ln |z| + ι̇ Arg z, −π < Arg z ≤ π.
I Le logarithme est holomorphe sur C\R− (par ex.) et (ln z)0 =
La fonction puissance généralisée
Par définition
α
Z=z =e
α ln z
z 7→ Z = z α ,
1
.
z
α∈C
.
I Cette fonction est multiforme: z α = r α eι̇αθ eι̇2αkπ ,
k ∈ Z.
I Une fois la détermination fixée (cf. la coupure), cette fonction est holomorphe
dans C privé de cette coupure, et
Karim Trabelsi (IPSA)
(z α )0 = αz α−1 .
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
Ivry, le 29.9.09
10 / 10
z 7→ Z = ln z ,
La fonction logarithme
Par définition
∀Z ∈ C, z = eZ ∈ C
⇔
z 6= 0
∀z ∈ C, Z = ln z ∈ C.
I La fonction logarithme est multiforme.
ln z = ln(r eι̇θ ) = ln r + ln eι̇θ = ln r + ι̇θ,
r 6= 0,
tout comme pour la fonction racine carée (par ex.):
I
I
O est un point de branchement, et il faut choisir une coupure.
Détermination principale:
Ln z = Ln |z| + ι̇ Arg z, −π < Arg z ≤ π.
I Le logarithme est holomorphe sur C\R− (par ex.) et (ln z)0 =
La fonction puissance généralisée
Par définition
α
Z=z =e
α ln z
z 7→ Z = z α ,
1
.
z
α∈C
.
I Cette fonction est multiforme: z α = r α eι̇αθ eι̇2αkπ ,
k ∈ Z.
I Une fois la détermination fixée (cf. la coupure), cette fonction est holomorphe
dans C privé de cette coupure, et
Karim Trabelsi (IPSA)
(z α )0 = αz α−1 .
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
Ivry, le 29.9.09
10 / 10
z 7→ Z = ln z ,
La fonction logarithme
Par définition
∀Z ∈ C, z = eZ ∈ C
⇔
z 6= 0
∀z ∈ C, Z = ln z ∈ C.
I La fonction logarithme est multiforme.
ln z = ln(r eι̇θ ) = ln r + ln eι̇θ = ln r + ι̇θ,
r 6= 0,
tout comme pour la fonction racine carée (par ex.):
I
I
O est un point de branchement, et il faut choisir une coupure.
Détermination principale:
Ln z = Ln |z| + ι̇ Arg z, −π < Arg z ≤ π.
I Le logarithme est holomorphe sur C\R− (par ex.) et (ln z)0 =
La fonction puissance généralisée
Par définition
α
Z=z =e
α ln z
z 7→ Z = z α ,
1
.
z
α∈C
.
I Cette fonction est multiforme: z α = r α eι̇αθ eι̇2αkπ ,
k ∈ Z.
I Une fois la détermination fixée (cf. la coupure), cette fonction est holomorphe
dans C privé de cette coupure, et
Karim Trabelsi (IPSA)
(z α )0 = αz α−1 .
Inst. Polytech. des Sciences Avancées
Ivry, le 29.9.09
10 / 10
z 7→ Z = ln z ,
La fonction logarithme
Par définition
∀Z ∈ C, z = eZ ∈ C
⇔
z 6= 0
∀z ∈ C, Z = ln z ∈ C.
I La fonction logarithme est multiforme.
ln z = ln(r eι̇θ ) = ln r + ln eι̇θ = ln r + ι̇θ,
r 6= 0,
tout comme pour la fonction racine carée (par ex.):
I
I
O est un point de branchement, et il faut choisir une coupure.
Détermination principale:
Ln z = Ln |z| + ι̇ Arg z, −π < Arg z ≤ π.
I Le logarithme est holomorphe sur C\R− (par ex.) et (ln z)0 =
La fonction puissance généralisée
Par définition
α
Z=z =e
α ln z
z 7→ Z = z α ,
1
.
z
α∈C
.
I Cette fonction est multiforme: z α = r α eι̇αθ eι̇2αkπ ,
k ∈ Z.
I Une fois la détermination fixée (cf. la coupure), cette fonction est holomorphe
dans C privé de cette coupure, et
Karim Trabelsi (IPSA)
(z α )0 = αz α−1 .
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