TD-O3 : Ondes électromagnétiques dans le vide - PCSI

Chapitre O3: Ondes électromagnétiques dans le vide
TD
TD-O3 : Ondes électromagnétiques dans le vide
Révisions de cours :
Donner l’expression de la densité volumique d’énergie électromagnétique
Donner l’expression du vecteur de Poynting et l’interpréter comme le vecteur densité volumique
de puissance électromagnétique
Identifier les différents termes de l’équation locale de Poynting fournie et l’interpréter comme un
bilan d’énergie
Citer les domaines du spectre électromagnétique et leur associer des applications
Etablir les équations de propagation dans le vide des champs électrique et magnétiques
Représenter mathématiquement une onde électromagnétique plane progressive harmonique
Etablir la relation de dispersion
Montrer le caractère transverse
du champ électromagnétique
−
→ −
→
→
−
Montrer que le trièdre u , E , B est un trièdre orthogonal direct et le représenter
Etablir la relation entre les amplitudes des champs électrique et magnétique
Associer la direction du vecteur de Poynting à la direction de propagation de l’onde
Etablir la relation entre flux de photon et flux d’énergie à l’aide de la relation d’Einstein-Planck
Citer des ordres de grandeurs de flux énergétiques surfaciques moyens et les champs électriques
associés (Soleil, laser, téléphonie...)
Définir une polarisation rectiligne et identifier l’expression d’une one plane progressive polarisée
rectilignement
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016
Chapitre O3: Ondes électromagnétiques dans le vide
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TD
Étude d’une onde électromagnétique
→
→
→
On considère une onde électromagnétique se propageant dans le vide. Dans une base cartésienne (−
u x, −
u y, −
u z ),
le champ électrique prend la forme
"
!#
E0
x +y
Ex = √ cos ω t −
2v
2
"
!#
→ −
E =
x +y
Ey = Eyo cos ω t −
2v
Ez =
0
1. Déterminer Eyo .
2. A quelle condition sur v cette onde vérifie t-elle l’équation de d’Alembert ?
3. Déterminer le vecteur d’onde ainsi que la direction de propagation de l’onde.
4. Cette onde est-elle polarisée rectilignement ? Déterminer la direction de polarisation.
5. Déterminer l’équation cartésienne des surfaces d’onde (lieux de même phase).
6. Déterminer l’expression du champ magnétique associé.
7. Représenter sur un schéma les champs électriques et magnétiques ainsi que la direction de propagation
de l’onde et les surfaces d’onde.
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Réception d’une onde plane
→
−
→
Une onde électromagnétique plane de la forme E = E0 cos(ωt − kz) −
u x se propage dans le vide dans la
→
−
direction (O, u z ). Une antenne réceptrice de forme carrée, de côté a = 30 cm, constituée de N = 10 tours de
fil enroulé capte cette onde.
On rappelle : sin(a + b) − sin(a − b) = 2 cos a sin b
1. Comment faut-il orienter le cadre de manière à obtenir une f.e.m. induite maximale ? Justifier qualitativement.
2. Calculer la f.e.m. induite.
3. Comment dimensionner le cadre pour que la détection soit la plus efficace possible ?
4. Calculer l’efficacité de la détection par rapport au cas idéal pour des ondes de fréquence de l’ordre de
100 MHz (radio FM), pour des ondes de fréquence inférieure à 200 kHz (Grandes Ondes) et pour des
ondes de fréquence comprises entre 500 et 1500 kHz (Ondes Courtes) ?
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Résolution de problème : portée d’un talkie-walkie
Un talkie-walkie permet de transmettre une information par modulation d’amplitude d’un signal électrique
sur le canal de fréquence f = 446MHz. Par l’intermédiaire d’une antenne ce signal est transformée en onde
électromagnétique qui se propage alors dans l’air. La puissance d’émission du talkie walkie est de 0,5 W et peut
détecter un champ électrique E = 1, 5mV .m−1 .
Calculer la portée maximale de ce talkie-walkie.
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016
Chapitre O3: Ondes électromagnétiques dans le vide
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TD
Onde cylindrique
On étudie une onde électromagnétique cylindrique, émise par des sources situées le long d’un axe Oz. En
→
−
→
coordonnées cylindriques d’axe Oz, le champ électrique s’écrit : E (M, t) = E(r)ej(ωt−kr) −
e z où E(r) est réel.
L’onde se propage dans le vide.
Formulaire :
Laplacien d’un champ scalaire de la forme U(r,t) en coordonnées cylindriques : ∆U =
Opérateur rotationnel en coordonnées cylindriques :
 1 ∂Az
−
−→→
rot A =
1 ∂
r ∂r
r∂U
∂r
.

∂Aθ
r ∂θ − ∂z
∂A
∂A


r
z
 ∂z − ∂r 
∂Ar
1 ∂(rAθ )
r
∂r − ∂θ
1. Déterminer le champ magnétique associé à ce champ électrique.
D−
→E
2. Calculer la valeur moyenne Π du vecteur de Poynting et en déduire la puissance moyenne P
rayonnée à travers un cylindre d’axe Oz de hauteur h=1m et de rayon r.
3. Montrer que l’expression de E(r) en fonction de r, P, k, ω et µo s’écrit :
r
2µo P
a
E(r) = √ où a =
πkrh
r
→
→ −
−
4. Dans la zone de champ lointain (r>>λ), donner les champs E et B et montrer que l’onde a la structure
d’une onde plane. Représenter-la sur un schéma.
5. En déduire la relation de dispersion reliant k et ω, établie en considérant l’onde dans la zone de champ
lointain.
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016