Calcul stochastique appliqué à la finance

Calcul stochastique appliqué à la finance
Romuald ELIE & Idris KHARROUBI

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Table des matières
1 Notion d’arbitrage 5
1.1 Hypothèsessurlemarché............................ 5
1.2 Arbitrage .................................... 5
1.3 Comparaison de portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Relation de parité Call-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Prix d’un contrat Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Modèle binomial à une période 11
2.1 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Stratégie de portefeuille simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Evaluation et couverture d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Modèle binomial à plusieurs périodes 21
3.1 "Rappels" de probabilité : processus discret et martingale . . . . . . . . . . . 21
3.2 Modélisationdumarché ............................ 22
3.3 Stratégie de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Arbitrage et probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Duplication d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Evaluation et couverture d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Options américaines dans le modèle binomial 33
4.1 Notion de temps d’arrêt en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Arrêt optimal et enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Evaluation des options américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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4TABLE DES MATIÈRES
5 Calcul stochastique 41
5.1 ProcessusetMartingale............................. 41
5.1.1 Processus................................ 41
5.1.2 Espaces Lp............................... 41
5.1.3 Filtration ................................ 42
5.1.4 Martingale ............................... 43
5.1.5 Processusgaussien ........................... 45
5.2 Mouvementbrownien.............................. 46
5.3 Variation totale et variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Intégralestochastique.............................. 55
5.5 Formuled’Ito .................................. 66
5.6 Processusd’Ito ................................. 69
5.7 Equation Différentielle Stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Modèle de Black & Scholes 77
6.1 Hypothèses sur le marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Portefeuilles autofinançants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.5 Duplication d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.6 Formule de Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.7 Sensibilités ................................... 93

Chapitre 1
Notion d’arbitrage
1.1 Hypothèses sur le marché
Dans toute la suite, nous ferons les hypothèses simplificatrices suivantes :
1. Les actifs sont divisibles à l’infini ;
2. Le marché est liquide : on peut acheter ou vendre à tout instant ;
3. On peut emprunter et vendre à découvert ;
4. Les échanges ont lieu sans coûts de transaction ;
5. On peut emprunter et prêter au même taux constant r.
Ces hypothèses, bien que n’étant pas toujours vérifiées dans la réalité, constituent une pre-
mière modélisation ayant l’avantage de pouvoir fournir une évaluation des produits dérivés,
notamment à l’aide de la notion d’arbitrage que nous présentons dans la suite.
1.2 Arbitrage
De manière générale, la notion d’opportunité d’arbitrage fait référence à une situation où
un individu rationnel a la possibilité de prendre une décision qui lui permet de tirer profit de
manière certaine de l’avenir. Afin de formaliser cette notion, il faut donc mettre en place une
modélisation de l’incertitude liée à l’évolution future du marché financier.
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