Résolution

Exercice 16-19 (Kane) :
Au centre du carré suivant, trouver le champ électrique et le potentiel.
Q
Q
a
r
Q
Q
Formules :
Pour une charge ponctuelle :
E = kQ/r2
V = kQ/r
Résolution :
Champ :
Il faut faire la somme des vecteurs E dus à chacune des charges disposées aux coins
du carré.
La norme du champ créé par une charge vaut E = kQ/r2 = 2kQ/a2
car grâce à pythagore on a r2 = a2/4 + a2/4 = a2/2
Cependant, les charges situées sur une même diagonale créent un champ dont la
norme est égale mais qui seront opposés en sens => ils s’annulent exactement => le
champ résultant est nul !
Potentiel :
Le potentiel total sera la somme des potentiels dus à chacune des charges. Dans ce
cas on n’additionne non plus des vecteurs, mais des nombres :
V1 = kQ / r = 2 ⋅
kQ
a
VT = V1 + V2 + V3 + V4 = 4V1 = 4 2 ⋅
kQ
a
Exercice 16-47 (Kane) :
Une particule de masse m et de charge q est injectée avec une vitesse v
dans une région où règne un champ électrique uniforme E en sens opposé
de v. Quelle distance la particule parcourra-t-elle avant de s’arrêter et de
repartir en sens inverse ?
v
E
Formules :
F=q.E
F=ma
Ecin = mv2/2
Epot = q.V
V=E.d
Résolution :
Solution longue :
a = qE/m
il faut un temps t pour qu’elle s’arrête : 0 = v – a.t => t = v/a = vm/(qE)
Pendant ce temps t, la particule a parcouru :
d = vt-at2/2 = v2m/(qE) - v2m/(2qE) = v2m/(2qE)
Solution courte :
On transforme l’énergie cinétique initiale (mv2/2) en énergie potentielle
électrique(q.V)
=> mv2/2 = q.E.d => d = mv2/(2qE)
Exercice 16-21 (Kane) :
Un électron et un proton sont tous deux placés à mi chemin entre deux plaques
métalliques chargées. Dans quelle direction l’électron sera-t-il accéléré ? Et le
proton ? Quelle particule aura acquis le plus d’énergie cinétique au moment de
frapper la plaque ? Sachant que le rapport des masses du proton et de l’électron vaut
1839, que vaut le rapport des vitesses du proton et de l’électron au moment de
frapper la plaque ?
Données :
mp/me = 1839
Formule :
F=qE
Energie potentielle électrique =qV
Ecin = mv2/2
Résolution :
V=Vmax
+
+
+
+
+
+
V=0
V=Vmax/2
E
+
F
-
F
-
L’électron se dirigera vers la plaque positive et le proton se dirigera vers la plaque
négative.
La différence d’énergie potentielle électrique de l’électron entre sa position de départ
et la plaque positive vaut en valeur absolue :
∆Epot = e(Vmax/2)
La différence d’énergie potentielle électrique du proton entre sa position de départ et
la plaque négative vaut en valeur absolue :
∆Epot = e(Vmax/2)
L’énergie cinétique des deux particules lorsqu’elles frappent la plaque est égale à
cette différence d’énergie potentielle et est donc la même pour le proton et l’électron.
Ecin (proton) = mpvp2/2 = Ecin (électron) = meve2/2
Dès lors, comme mp/me = 1839, le rapport ve/vp = (1839)1/2 = 43
Exercice 17-3 (Kane) :
L’argent a 5.8 1028 électrons libres par mètre cube. Si le courant dans un fil d’argent
vaut 10A et que le fil a un rayon de 10-3m, que vaut la vitesse de dérive des
électrons ?
Données :
densité d’électrons libres de l’argent = 5.8 1028
Rayon du fil = 10-3m
Courant I = 10A
e = 1.6 10-19C
Formule :
Q=It
Résolution :
Calculons d’abord le nombre d’électrons passant par le fil en 1 seconde :
Ne = I/e = 6.25 1019 électrons/s
Ce nombre Ne est égal au nombre d’électrons traversant la section circulaire du
conducteur en une seconde :
L’ensemble des électrons se déplace vers la droite avec une vitesse de dérive
constante v. Donc en une seconde, ils auront parcouru une distance d = v x 1s = v
Dès lors, le « volume » d’électrons passé par la section du fil sera égal au volume
d’un cylindre de section πr2 et de longueur d = v
Comme on connaît le nombre d’électrons/m3, on peut donc calculer Ne :
Ne = 5.8 1028 πr2v = 6.25 1019
Donc v = 3.43 10-4 m/s = 0.34 mm/s
Il faut donc 50 minutes aux électrons pour parcourir 1 mètre.
Exercice 17-33 (Kane) :
Un appareil d’éclairage utilise 6 ampoules six ampoules de 60 W (conçues pour être
utilisées sous 120 V) branchées en //. Que vaut la résistance de chacune des ampoules
et que vaut la résistance équivalente du système.
Données :
U = 120 V
P = 60 W
Formule :
P = UI = U2/R
Résolution :
On sait que chaque ampoule dissipe 60 W quand elle est sous une différence de
potentiel U = 120 V,
=> R = U2/P = 1202/60 = 240 Ω
Quand on va brancher six ampoules de ce type en //, on aura simplement comme une
résistance équivalente telle que :
1/Req = 1/240+1/240+1/240 +1/240+1/240 +1/240=6/240
=> Req = 40 Ω
Exercice 17-57 (Kane) :
Pour mesurer l’équivalent mécanique de la chaleur, une résistance immergée dans
0.7 kg d’eau est parcourue par un courant de 4.2 A avec une différence de potentiel
de 12V. Combien d’énergie est fournie en 5 minutes ? S’il n’y a pas de perte de
chaleur, quelle est la variation de température de l’eau ?
Données :
M = 0.7 kg
U = 12 V
I = 4.2 A
Formule :
P = UI
W = Pt
Q = 4186 M ∆Τ
Résolution :
La puissance électrique fournie vaut simplement
P = UI = 50.4 W
L’énergie dissipée en 5 minutes ( = 300 s) vaut alors
W = 15120 J
Si cette énergie est intégralement transformée en chaleur, alors
W = 15120 = Q = 4186 0.7 ∆T
=> ∆T = 5.16 °C
Exercice 17-52 (Kane) :
La résistivité des fluides corporels est d’environ 0.15 ohm.m. Estimer la résistance
d’un doigt, d’un bout à l’autre, en négligeant la résistance de la peau.
Données :
ρ(doigt) = 0.15 Ωm
dimension d'un doigt : cylindre avec L = 0.08 m et r = 0.006 m
Formule :
R = ρL/S
Résolution :
R(doigt) = 0.15 [0.08/(3.14 0.0062)] = 106 Ω
Cette résistance est certes plus grande qu’un fil de cuivre, mais elle est nettement plus
petite que celle d’un isolant,
=> pour éviter de prendre une décharge électrique, ne pas toucher un fil sous
tension !!
Exercice 19-13 (Kane) :
Trouver la valeur et l’orientation de la force sur chacun des trois segments rectilignes
de la figure suivante. Quelle est la force résultante sur le circuit ?
Données :
2
1
3
Inconnue :
F sur chacun des cotés du triangle ?
F totale ?
Formule :
G G
G
F = I ⋅l × B
Résolution :
Sur le coté n°1 :
F1 = I .l .B.sin(θ) = 10x 2 x0.2sin(45) = 2 2 x( 2 )/2 = 2 N
G
Mais quelles sont sa direction et son sens? F1 est perpendiculaire au plan défini par
G G
l et B => perpendiculaire à la feuille, mais quel est son sens ?
REGLE DE LA MAIN DROITE :
• pouce = direction de la force,
G
l
• index = direction de (ou I)
• majeur = direction de
G
B
G
Le vecteur F1 rentre donc dans la feuille
Sur le coté n° 2 :
F2 = 10x1x0.2sin(90) = 2 N
G
Direction et sens de F2 : perpendiculaire à la feuille et sortant de la feuille (sens
G
F
opposé de 1 )
Sur le coté n° 3 :
θ = 0° => sin(θ) = 0 => F3 = 0
G G G
force résultante = F1 + F2 = 0
Exercice 19-14(Kane) :
Que vaut le moment du couple de forces sur le circuit de la figure précédente ?
Formule :
τ = l⋅F
(l = distance séparant les lignes de direction des deux forces, F = grandeur des deux
forces)
Résolution :
τ = 0.5x2 = 1 N.m
-2-
Question 8, examen de juin 2004
Dans le montage ci-contre, quelle doit être la vitesse de déplacement de la tige
conductrice AC (elle est tirée par la force notée Fext) pour que le circuit, dont la
résistance totale R est égale à 4 Ω?soit traversé par un courant d'intensité i = 0,25 A ?
On donne l = 50 cm et B = 0,8 T. Le sens du courant i est-il horlogique ou antihorlogique ?
Le flux traversant la boucle vaut φ
= B ⋅ A = B ⋅l ⋅ x
La tension induite est égale à ∆V =
dφ
dx
= B ⋅l ⋅
= B ⋅l ⋅v
dt
dt
Le courant traversant la boucle est donné par la loi d’Ohm : i = ∆V / R
Comme i = 0.25A et R = 4 Ω, on trouve que ∆V = 1Volt
∆V
= 2. 5m / s
On peut donc trouver v : v =
B ⋅l
Le sens du courant i est horlogique, car il lutte contre l’augmentation de flux en
essayer de diminuer la valeur de B.
Exercice 20-7 :
Une boucle de 0.1 m2 de surface fait un angle droit avec un champ magnétique
uniforme. Le sens du champ est alternativement inversé à la fréquence de 60 Hz ; son
amplitude est de 2T. Que vaut la FEM moyenne induite pendant le demi-cycle qui
correspond au champ passant de la valeur maximum à zéro puis de nouveau à la
valeur maximum, mais avec une orientation dans le sens opposé ? Que vaut la FEM
moyenne sur un cycle entier ?
Données :
F = 60 Hz
Bmax = 2T
Formules :
FEM = -dφ/dt
φ = B. A.cos (θ )
La tension induite et le courant induit s’opposent à la variation de flux.
Résolution :
FEM pendant un demi-cycle :
Entre la situation de départ B= 2T et la situation finale B = -2T, on a eu une variation
de flux dans la spire :
∆φ = 0.1x(-2) – (0.1x2) = -0.4 Wb
∆t = période/2 (on fait un demi-cycle)
période = 1/f = 0.0167 s => ∆t = 0.00833s
FEM = - ∆φ /∆t = 48V
Lorsqu’on fait 1 cycle complet, ∆φ = 0, donc FEM = 0.