Choix de Portefeuille

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Année 2007-2008
Choix de Portefeuille
________________
Christophe Boucher
Chapitre 1. Théorie de la décision en avenir incertain
→ Critère d’espérance d’utilité
→ L’attitude vis-à-vis du risque
Chapitre 2. Rendements et critères de choix entre actifs
→ La mesure des rendements et leurs distributions
→ La dominance stochastique
→ Les mesures de risque
Chapitre 3. La théorie moderne du portefeuille
→ Fondements théoriques de l’analyse espérance-variance
→ Portefeuilles efficients : caractéristiques et propriétés
→ Frontières efficientes avec 2 actifs et N actifs
Chapitre 4. La théorie post-moderne du portefeuille
→ Critiques de l’espérance d’utilité
→ Alternatives à l’espérance d’utilité
→ Finance comportementale et choix de portefeuille
→ Les moments d’ordre supérieurs à deux
Chapitre 5. Introduction aux modèles d'évaluation des actifs
→ MEDAF
→ APT

2
Chapitre 2. Rendements et critères de choix entre actifs
2.1. La mesure des rendements
Le cadre uni-période
Le taux de rentabilité simple (ou arithmétique) réalisé dans l’intervalle est donné par :
1 1
1
t t t
tt
p d p
rp
+ +
+
+ −
=
Ce taux de rentabilité peut être décomposé en deux composantes :
- la plus value du titre :
1
t t
t
p p
p
+
−
- le rendement en dividende du titre (ou dividend yield) :
1
t
t
d
p
+
.
La rentabilité d’un portefeuille composé de N titres s’écrit :
, 1 , , 1
1
N
p t pi t i t
i
R w R
+ +
=
=∑
où
,
pi t
w
représente la part du portefeuille investi dans le titre i à la date t et
,
1
1
N
pi t
i
w
=
=
∑.
Le cadre multi-période
La rentabilité composée (ou moyenne géométrique) :
(
)
(
)
(
)
0 0 0
1/
1 2
1 1 1 ... 1
T
t t t T
r r r r
+ + +
+ = + + +
Le taux de rentabilité net moyen (moyenne géométrique) sur les T périodes est donné par :
( )
0
1/
1
1 1
T
T
t
r r
τ
τ+ =
= + −
∏

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2.2. Les paramètres statistiques usuels
L’espérance de rendement
1 1,
1 1
1
( ) S T
t s t s t
s t
E r p r r
T
µ+ +
= =
= = =
∑ ∑
La variance des rendements (moment centré d’ordre deux)
2 2
2
2 2
1 1
1
( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
S T
s s t
s t
V R E R E R E R E R p r E R r E R
T
= =
= − = − = − = −
∑ ∑
( ) ( )
R V R
σ=
La covariance
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( , ) ( ( ))( ( )) ( ) ( )
Cov R R E R E R R E R E R R E R E R
= − − = × −
Le cœfficient de corrélation
1 2
1 2
1 2
Cov( , )
Corr( , )
( ) ( )
R R
R R
R R
σ σ
=.
Ses valeurs sont comprises entre –1 et +1.

4
Exercice :
Les rendements possibles des titres A et B sont :
Événements Probabilités A B
1
2
3
4
¼
¼
¼
¼
-5%
15%
20%
30%
30%
-5%
-10%
25%
1
( ) ( 0,05 0,15 0,2 0,3) 15%
4
A
E R = − + + + =
1
( ) (0,3 0,05 0,1 0,25) 10%
4
B
E R = − − + =
2 2 2 2 2
1
( ) ( 0,05) (0,15) (0,2) (0,3) 0,15 1,63%
4
A
V R   = − + + + − =
2 2 2 2 2
1
( ) (0,3) ( 0,05) ( 0,1) (0,25) 0,1 3,13%
4
B
V R   = + − + − + − =
( ) 12,75%
A
R σ =
( ) 17,68%
B
R σ =
[ ]
1
Cov( , ) ( 0,05)(0,3) (0,15)( 0,05) (0,2)( 0,1) (
0,3)(0,25) 0,1 0,15 0,69%
4
A B
R R = − + − + − + − × = −
0,0069
Corr( , ) 30,51%
0,1275 0,1768
A B
R R
−
= = −
×

5
2.3. Les comportements des rentabilités
En probabilité, une variable aléatoire suit une loi normale (ou loi normale gaussienne, loi de
Laplace-Gauss) d’espérance µ et d'écart type σ si elle admet une densité de probabilité f telle
que :
2
1
2
1
( ) e
2
x
f x
µ
σ
σ π
−
−
=
Le paramètre µ représente l’axe de symétrie et σ le degré d’aplatissement de la courbe de la
loi normale.
De manière équivalente, x suit une loi normale de paramètre d’espérance µ et d'écart type σ
si : t défini par (x - µ ) / σ suit une loi normale centrée réduite.
Sa densité est égale à :
2
t
2
1
( ) e
2
f x π
−
=