1 Rayon et disque de convergence

Master 1 Métiers de l’Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013
ANALYSE 2
Fiche de Mathématiques 6 - Séries entières - Fonctions analytiques.
Une série entière est une série de fonctions, de la forme
X
an z n où (an ) désigne une suite donnée de nombres
n
complexes et z est une variable complexe.
Dans tout ce qui suit, on désignera par D(z0 , r) le disque-plan ouvert de centre z0 et de rayon r, soit D(z0 , r) =
{z, z ∈ C et |z − z0 | < r} et par D(z0 , r) = {z, z ∈ C et |z − z0 | ≤ r}.
1
Rayon et disque de convergence
Définition 1.1 Une série entière de la variable complexe z est une série dont le terme général est de la forme
an z n (n ∈ N) où (an ) désigne une suite donnée de nombres complexes. Les nombres an sont appelés les coefficients
de la série. Plus précisément, le nombre an est le (n + 1)-ième coefficient, ou coefficient d’ordre n. Le premier
terme a0 est souvent appelé terme constant.
Les séries entières sont donc des séries d’applications de la forme :
C → C, z 7→ an z n .
X
Pour étudier la convergence de la série entière
an z n , on utilise le lemme suivant :
n
Théorème 1.1 Théorème d’Abel.
X
an z0n est convergente).
Soit z0 ∈ C tel que la suite (an z0n ) soit bornée (ce qui est réalisé en particulier si la série
n
X
Alors, pour tout z ∈ C tel que |z| < |z0 |, la série
an z n est absolument convergente et cette série est normalement
n
convergente dans le disque fermé D(0, k|z0 |) défini par |z| ≤ k|z0 |, quel que soit le nombre k vérifiant 0 ≤ k < 1.
X
Définition 1.2 Le rayon R de convergence de la série entière
an z n est la borne supérieure dans R de l’ensemble
n
I des nombres réels positifs r tels que la suite (an rn ) soit bornée :
R = sup{r ∈ R+ , (an rn )n∈N est bornée}.
X
Théorème 1.2 Soit R le rayon de convergence de la série entière
an z n (0 ≤ R ≤ +∞).
n
• Si R = 0, cette série ne converge que pour z = 0.
• Si R = +∞, cette série converge absolument pour tout z ∈ C, cette convergence étant normale, donc uniforme,
sur toute partie bornée de C.
X
• Si R est un nombre fini non nul, la série
an z n est absolument convergente pour |z| < R, et divergente
n
pour |z| > R ; de plus cette série converge normalement (donc uniformément) dans le disque fermé D(0, r),
quel que soit r < R.
X
Définition 1.3 Soit R le rayon de convergence de la série entière
an z n . Si R 6= 0, le disque ouvert D(0, R) est
n
appelé le disque de convergence de cette série et l’intervalle ouvert ] − R, R[ est appelé l’intervalle de convergence
de cette série.
Ainsi, une série entière est absolument convergente en tout point de son disque de convergence, divergente à
l’extérieur de ce disque, et normalement convergente sur tout disque concentrique au disque de convergence et de
rayon strictement plus petit.
Remarque 1.1 La notion d’intervalle de convergence intervient lorsqu’on se limite aux valeurs réelles de la variable : c’est le plus grand intervalle ouvert de centre O sur lequel la série soit convergente.
1/18
Remarque 1.2 Si R est fini, on ne sait pas à priori si la série
X
an z n converge sur son cercle de convergence,
n
défini par |z| = R.
Théorème 1.3 Soient
X
an z n et
n
X
bn z n de rayons de convergence respectifs R et R0 .
n
1. Si |an | ≤ |bn | pour tout n ∈ N alors R ≥ R0 .
2. Si an = (bn ) alors R ≥ R0 .
3. Si an ∼ bn alors R = R0 .
X
Corollaire 1.1 Si
an z n est une série entière telle qu’il existe deux réels strictement positifs m et M avec :
n
∀n ∈ N, m ≤ |an | ≤ M
alors le rayon de convergence de cette série vaut 1.
Théorème 1.4 En utilisant les notations qui précèdent :
X
1. dans le cas où R > 0, la série
an z n est absolument convergente pour tout z tel que |z| < R,
X
X
2. dans le cas où R est fini, les séries
an z n et
|an z n | sont divergentes pour tout z tel que |z| > R.
n
Exercice 1
n
Déterminer les domaines de convergence des séries entières
X
n!z n ,
n
X
n
nn z n ,
X
n
zn,
X zn
n
n
,
X zn
n
n!
.
Correction :
• Pour an = n! et z 6= 0 on a :
an+1 z n+1 → +∞
an z n = (n + 1)|z| n→+∞
X
ce qui entraı̂ne d’après le critère de d’Alembert pour les séries numériques la divergence de
an z n . Il en
n
P
résulte que le domaine de convergence de n n!z n est D = {0}.
• Pour an = nn et z 6= 0 on a : n
an+1 z n+1 = (n + 1) 1 + 1
|z| → +∞
an z n n→+∞
Xn
ce qui entraı̂ne lim |an z n | = +∞ et la divergence de
an z n . Il en résulte que le domaine de convergence
n→+∞
n
X
n n
de
n z est D = {0}.
n
X
• On sait que la série géométrique
z n est convergente si et seulement si |z| < 1, ce qui signifie que son
n
domaine de convergence est le disque unité ouvert D = {z ∈ C, |z| < 1}.
1
• Pour an = et z 6= 0 on a :
n
an+1 z n+1 n
→ |z|.
an z n = n + 1 |z| n→+∞
X zn
Si |z| < 1 le théorème de d’Alembert nous dit alors que la série
converge.
n
n
X zn
diverge.
Si |z| > 1, on a lim |an z n | = +∞ et la série
n→+∞
n
n
X zn
X exp(int)
Si |z| = 1, on a alors z = exp(it) avec t ∈ [0, 2π[ et la série
=
converge uniquement pour
n
n
n
n
t = 0, soit pour z = 1. On a utilisé le
Lemme d’Abel : Si les sommes partielles de la série de terme général an (réel
Xou complexe) sont bornées et
si (bn ) est une suite réelle positive décroissante vers 0, alors la série
an bn est convergente.
n
Dans
notre cas, si t 6= 0, les sommes partielles de la série de terme général exp(int) sont bornées et la suite
1
est une suite réelle décroissant vers 0.
n
2/18
Remarque 1.3 Montrons que les sommes partielles de la série de terme général exp(int) sont bornées si
t 6= 0 :
N
X
exp i(N + 1) 2t exp i(N + 1) 2t − exp −i(N + 1) 2t
exp(i(N + 1)t − 1)
=
exp(int) =
exp(it) − 1
exp i 2t
exp i 2t − exp −i 2t
n=0
N
N
X
X
t sin (N + 1) 2t
1
⇔
exp(int) = exp iN
.
Donc,
|
exp(int)| ≤ t et les sommes partielles sont
t
2
sin
sin
2
2
n=0
n=0
bornées. Bien-sûr, si t = 0, les sommes partielles ne sont pas bornées et le lemme n’est pas utilisable.
X zn
En définitive, le domaine de convergence de
est le disque unité fermé privé de 1, soit D = {z ∈ C, |z| ≤
n
n
1}\{1}.
X zn
• La série
étant absolument convergente pour tout nombre complexe z, son domaine de convergence
n!
n
est D = C.
Exercice 2
Déterminer les domaines de convergence des séries entières
X (−1)n
n
Correction :
(2n)!
z 2n et
X (−1)n
z 2n+1 .
(2n
+
1)!
n
(−1)n 2n • En posant un = z , on a pour z 6= 0 :
(2n)!
un+1
|z|2
=
→ 0
un
(2n + 2)(2n + 1) n→+∞
X (−1)n
et le théorème de d’Alembert nous dit alors que la série
z 2n est absolument convergente. Son do(2n)!
n
maine de convergence est D = C.
• Le résultat est le même pour la deuxième série.
Quel est le rayon de convergence de la série exp(sin(n))z n ?
X
1
Correction : Avec ≤ exp(sin(n)) ≤ e, on déduit du corollaire 1.1 que le rayon de convergence de
exp(sin(n))z n
e
n
vaut 1.
X
Exercice 4 Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R. Montrer que, pour tout entier p ≥ 2,
n
X
√
le rayon de convergence de la série entière
an z pn est +∞ si R = +∞ ou p R si R est fini (on dit que la série
n
X
pn
an z est lacunaire).
Exercice 3
n
Correction :
X
• Si R = +∞, alors
an tn converge pour tout nombre complexe t et donc pour tous les nombres complexes
de la forme z p .
n
X
√
√
• Si R est fini, pour |z| < p R, on a |z|p < R et
an z pn converge absolument. Pour |z| > p R, on a |z|p > R
n
X
X
√
et
an z pn diverge. Il en résulte que p R est le rayon de convergence de
an z pn .
n
Exercice 5
Déterminer le rayon de convergence R de la série entière
X
n
(−1)n z 2n et étudier la série pour |z| = R.
n
Quelle est la somme de cette série ?
X
X
Correction : Le rayon de convergence de la série géométrique
(−1)n z n valant 1, celui de
(−1)n z 2n est aussi
n
n
1 et pour |z| < 1, on a :
+∞
X
(−1)n z 2n =
n=0
+∞
X
(−z 2 )n =
n=0
1
.
1 + z2
Pour |z| = 1, la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0.
Exercice 6
Montrer que si (an )n∈N est une suite de nombres complexes telle qu’il existe un nombre complexe z0
3/18
X an
z n a un rayon de convergence infini.
n!
n
Correction : En désignant par M un majorant de la suite (|an z0n |)n∈N , on a pour tout nombre complexe z :
n
n
a
1 z n n
n 1 z z = |an z0 | ≤ M n!
n! z0
n! z0
n
X 1 z
X tn
X an
< +∞ (
avec
converge pour tout t), ce qui entraı̂ne la convergence absolue de
zn.
n!
z
n!
n!
0
n
n
n
tel que la suite (an z0n )n∈N soit bornée, alors la série entière
Exercice 7
On désigne par (pn )n≥1 la suite strictement croissante des nombres premiers. Déterminer le rayon de
X 1
convergence de la série
z pn .
p
n
n
1
Correction : Pour z = 1 cette série diverge, donc R ≤ 1. Les coefficients de cette série sont définis par an = si n
n
1 pn
est premier et an = 0 sinon, donc pour r ≥ 0, la suite (an rn )n∈N? est bornée si et seulement si la suite
r
pn
n∈N?
est bornée, ce qui est réalisé pour tout r ∈ [0, 1], donc R ≥ 1 (d’après le théorème d’Abel) et R = 1.
Remarque 1.4 De nombreuses démonstrations de la divergence de la série des inverses des nombres premiers sont
disponibles sur internet, on donne à la fin du poly plusieurs d’entre-elles.
Exercice 8
Soit (an )n∈N une suite réelle bornée.
1. Que peut-on dire des rayons de convergence des séries
X
an z n et
n
g(z) les sommes de ces séries entières.
Z
+∞
X an
n
t
g(t) exp −
x
n!
z n . On note respectivement f (z) et
dt est convergente.
2. Montrer que pour tout réel x ∈]0, 1[ l’intégrale
0
Z +∞
t
3. Montrer que
g(t) exp −
dt = xf (x) pour tout réel x ∈]0, 1[.
x
0
Correction : On note M = sup |an |.
n∈N
1. Comme la suite (an )n∈N est bornée, la série
X
an z n a un rayon de convergence R ≥ 1. Par exemple, pour
n
a 1
M
n
avec
ρ
>
1
ce
rayon
de
convergence
est
R
=
ρ.
Avec
, on déduit que le rayon de
≤
ρn
n!
n!
convergence de la deuxième série est infini.
an =
2. Pour x ∈]0, 1[ et t > 0 on a :
!
X
+∞ n
X
+∞ an n
t
t
t
t
t
g(t) exp −
=
t exp −
exp −
= M exp t −
≤M
x n=0 n!
x n!
x
x
n=0
Z +∞
Z +∞
1
1
t
et avec
exp t 1 −
dt < +∞ (on a 1 − < 0), on déduit que l’intégrale
g(t) exp −
x
x
x
0
0
est absolument convergente.
3. Le changement de variable t = xu donne :
Z +∞
Z +∞
t
g(t) exp −
dt = x
g(xu) exp(−u)du
x
0
0
et en notant :
+∞
X
ak k
Rn (z) =
z
k!
k=n+1
on a :
Z
+∞
g(xu) exp(−u)du =
0
avec Γ(k + 1) =
Z
0
n
X
ak
k=0
+∞
k!
k
x
Z
+∞
k
u exp(−u)du +
0
Z
+∞
Rn (xu) exp(−u)du
0
uk exp(−u)du = k!. Donc,
Z
0
+∞
g(xu) exp(−u)du =
n
X
k=0
ak xk +
Z
+∞
Rn (xu) exp(−u)du
0
4/18
et il s’agit de montrer que lim Rn (xu) exp(−u)du = 0. Pour ce faire, on écrit que :
n→+∞
Z
+∞
0
!
Z +∞
+∞
n
X
X
xk uk
xk uk
exp(−u)du ≤ M
exp(xu) −
exp(−u)du
k!
k!
0
0
k=n+1
k=0
!
!
Z +∞
Z
n
n
X
X
xk +∞ k
1
k
exp((x − 1)u)du −
u exp(−u)du ≤ M
−
x
→ 0.
n→+∞
k! 0
1−x
0
Z
Rn (xu) exp(−u)du ≤ M
≤M
+∞
k=0
2
k=0
Calcul pratique du rayon de convergence
On se référera dans un premier temps aux remarques faites par Pierre Marry (MCF au CNAM), relatives à la
détermination d’un rayon de convergence de séries entières à la fin du poly.
Proposition 2.1 Critère de d’Alembert.
X
an+1 n
tend vers L
Soit
an z une série entière telle que an 6= 0 à partir d’un certain rang. Si la suite a
n
n
X
1
(0 ≤ L ≤ +∞) lorsque n tend vers +∞, le rayon de convergence de la série
an z n est R =
avec les
L
n
1
1
conventions = +∞ et
= 0.
0
+∞
Remarque 2.1 Attention, le résultat
n’admet pas de réciproque. Le fait que le rayon de convergence
précédent
an+1 tend vers 1 (en supposant que la suite soit définie).
soit R n’implique pas que la suite an R
X
Corollaire 2.1 Si
an z n est une série entière telle que lim an = l 6= 0, alors son rayon de convergence vaut
n→+∞
n
1.
Corollaire 2.2 Si
X
an z n est une série entière telle que an soit une fonction rationnelle non nulle de n alors
n
son rayon de convergence vaut 1.
Proposition 2.2 Critère de Cauchy.
X
p
1
Soit
an z n une série entière. Si lim n |an | = l ∈ R+ alors le rayon de convergence de cette série est R = .
n→+∞
l
n
On applique le critère de Cauchy à la série
X
an z n . Si on pose L = lim sup |an |1/n , (0 ≤ L ≤ +∞), on a :
n
lim sup |an z n |1/n = lim sup(|z|.|an |1/n ) = L|z|.
Proposition 2.3 Formule d’Hadamard
X
Le rayon de convergence de la série entière
an z n est le nombre R défini par
n
1
= lim sup |an |1/n
R
(On pose R = +∞ si L = 0, et R = 0 si L = +∞.)
Remarque
X 2.2 Le
Xrayon de convergence d’une série entière ne dépend que des modules de ses coefficients . Les
séries
an z n et
|an |z n ont donc même rayon de convergence.
n
n
Exercice 9
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
an+1 n ≥ 0. Que dire de la suite ?
an n∈N
X
n
Correction : On a an = 3n pour n pair et an = 1 pour n impair. Pour r >
(an rn )n∈N n’est pas bornée, donc R ≤
1
. On a :
3
n
1 ≥ |an r | =
(3rn )
rn
an z n où an = (2 + (−1)n )n pour tout
1
, on a |a2n r2n | = |3r|2n
3
→
n→+∞
+∞ et
si n est pair
si n est impair
5/18
et donc R ≥
1
1
. On a donc R = . On a
3
3

1

an+1  3n
=
an  3n+1

1
si n est pair
si n est impair
n + 1
est divergente.
et la suite n n∈N
Exercice 10
Déterminer le rayon de convergence R de la série entière
Correction : En posant an =
n!
, on a :
nn
X n!
zn.
n
n
n
an+1 1
1
= lim
n = .
lim
n→+∞ an n→+∞ 1 + 1
e
n
Exercice 11 Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par an le nombre de diviseurs de n. Déterminer
X
le rayon de convergence R de la série entière
an z n .
n
X
X
Correction : Pour n ≥ 1, on a 1 ≤ an ≤ n, les séries entières
z n et
nz n ayant un rayon de convergence égal
n
n
à 1. Il en résulte que R = 1.
Exercice 12
Déterminer le rayon de convergence R de la série entière
X
arctan(nα )z n où α est un réel et
n
étudier la série pour |z| = R.
Correction : On note an = arctan(nα ) pour tout n ≥ 1.
π
• Pour α > 0, on a lim an = 6= 0 donc R = 1. Pour |z| = 1 la série diverge car son terme général ne tend
n→+∞
2
pas vers 0.
π
• Pour α = 0, on a an = arctan(1) =
et R = 1. Pour |z| = 1 la série diverge car son terme général ne tend
4
pas vers 0.
• Pour α = −β < 0, on a an ∼ nα et :
+∞
α
an+1 n+1
lim
= lim
=1
n→+∞ an n→+∞
n
X
1
avec
a
>
0
pour
tout
n
≥
1,
il
en
résulte
que
donc R = 1. Pour z = 1, an z n = an ∼
an z n
n
+∞ nβ
n
converge si et seulement
si β > 1 (soit
α < −1).
Pour
|z| = 1 et z 6= 1, on a z = exp(it) avec t ∈]0; 2π[, donc
1
1
qui tend vers 0 en décroissant et le lemme d’Abel
an z n = arctan
exp(int) avec arctan
nβ
nβ
n≥1
X
1
exp(int) est convergente.
nous dit alors que la série
arctan
nβ
n
X 1
Exercice 13 Déterminer le rayon de convergence R de la série entière
zn.
ln(n)
n
n
1
Correction : En posant an = ln(n) , on a :
n
p
1
ln2 (n)
n
lim
|an | = lim
= lim exp −
=1
n→+∞
n→+∞ ln(n)
n→+∞
n
n n
et R = 1.
Exercice 14
Déterminer le rayon de convergence R de la série entière
X
n≥1
donné.
Correction : En posant pour n ≥ 1, an =
cos
nα
1
z n , où α est un réel
n
nα
nα−1
p
1
1
n
cos
, on a : un = |an | = cos
. Un développement
n
n
limité nous donne :
1
1
1
1
1
1
1
α−1
α−1
α−1
ln(un ) = n
ln cos
=n
ln 1 − 2 + ◦
=n
− 2 +◦
= − 3−α
+ ◦(1) .
n
2n
n2
2n
n2
n
2
6/18
• Pour α < 3, on a lim ln(un ) = 0 donc lim
p
n
|an | = 1 et R = 1.
p
√
• Pour α = 3, on a lim ln(un ) = − 21 donc lim n |an | = √1e et R = e.
n→+∞
n→+∞
p
• Pour α > 3, on a lim ln(un ) = −∞ donc lim n |an | = 0 et R = +∞.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
3
n→+∞
Fonctions définies par une série entière
3.1
Continuité
Proposition 3.1 Soit
X
an z n une série entière dont le rayon de convergence R est non nul. Alors sa somme
n
f (z) =
+∞
X
est une fonction continue de z sur son disque de convergence (défini par l’inégalité stricte |z| < R).
n=0
3.2
Dérivablité
Proposition 3.2 Si (an ) est une suite de nombres complexes, les séries entières
X
n
an z n et
X
nan z n−1 ont
n
même rayon de convergence.
X
Théorème 3.1 Soit
an z n une série entière dont le rayon de convergence R est non nul. Alors sa somme
n
f (z) =
+∞
X
an z n est une fonction holomorphe de z sur son disque de convergence et, dans ce disque, on a :
n=0
f 0 (z) =
+∞
X
nan z n−1 .
(1)
n=1
En particulier, sur l’intervalle de convergence ] − R, +R[, l’application x 7→ f (x) est dérivable au sens usuel, et sa
dérivée est donnée par (1).
3.3
Dérivées d’ordre supérieur
Par récurrence, le théorème précédent entraı̂ne
Proposition 3.3 La somme d’une série entière est une fonction indéfiniment dérivable sur son disque de conver+∞
X
gence et, si on pose f (z) =
an z n , on a pour tout entier p ∈ N et tout point z du disque de convergence :
n=0
f
(p)
(z) =
+∞
X
n(n − 1) . . . (n − p + 1)an z n−p .
(2)
n=p
3.4
Fonctions développables en série entière
Définition 3.1 Soient U un voisinage de l’origine dans C et f : U → C une fonction complexe définie sur U . On
dit que cette fonction est développable en série entière dans U s’il existe une suite (an ) de nombres complexes telle
que, pour tout z ∈ U , on ait :
f (z) =
+∞
X
an z n .
n=0
Théorème 3.2 Soit f une fonction complexe, développable en série entière dans un voisinage de l’origine. Alors
1
les coefficients de cette série sont les nombres an = f (n) (0) et sont donc entièrement déterminés par la donnée
n!
de f . Le développement en série entière de f est donc unique et s’identifie avec la série de Taylor de f soit :
+∞
X
1 (n)
f (z) =
f (0)z n .
n!
n=0
1 (n)
f (0) sont entièrement déterminés par la donnée de f sur un intervalle
n!
de centre 0, si petit soit-il : donc, si deux fonctions f, g développables en séries entières dans le disque D(0, R),
coı̈ncident sur un intervalle ] − r, r[ de l’axe réel, elles coı̈ncident dans tout le disque D(0, R).
Remarque 3.1 Les nombres an =
7/18
Théorème 3.3 Une fonction f développable en série entière sur un disque ouvert D(0, r) du plan complexe est
continue sur ce disque.
3.5
Développement limité au voisinage de l’origine
Proposition 3.4 Soit f une fonction complexe admettant, sur un voisinage U de l’origine, le développement en
+∞
X
série entière f (z) =
an z n . Alors, pour tout n ∈ N, on a avec les notations de Landau :
n=0
n
X
f (z) =
ak z k + (z n+1 ).
k=0
+∞
+∞
X
X
(−1)n xn+1
(−1)n
, calculer
.
n+1
n+1
n=0
n=0
Correction : Le rayon de convergence de cette série entière est 1 (en utilisant le théorème de d’Alembert) et cette
+∞
X
(−1)n xn+1
série converge pour x = 1 (théorème des séries alternées). Pour tout x ∈] − 1, 1[, on note f (x) =
et
n+1
n=0
la fonction f ainsi définie est dérivable sur ] − 1, 1[ avec :
Exercice 15
En utilisant la série entière
f 0 (x) =
+∞
X
(−1)n xn =
n=0
1
1+x
et donc f (x) = ln(1 + x). En utilisant le théorème d’Abel, on a :
+∞
X
(−1)n
= lim− f (x) = ln(2).
n+1
x→1
n=0
Remarque : Le théorème d’Abel donne une propriété de continuité partielle de la fonction somme lorsqu’il y a
X
convergence de la série entière en un point de son cercle de convergence. Précisément, soit
an z n une série
n≥0
entière de rayon de convergence R strictement positif fini. On suppose qu’en un point z0 de module R, la série est
convergente. On considère un triangle T ayant pour sommets z0 d’une part et deux points de module strictement
inférieur à R d’autre part. Alors la série converge uniformément sur T . Notamment, il y a convergence uniforme
sur le segment [0, z0 ]. Ce cas particulier est appelé théorème d’Abel radial.
+∞
+∞
X
X
(−1)n x2n+1
(−1)n
, calculer
.
2n + 1
2n + 1
n=0
n=0
Correction : Le rayon de convergence de cette série entière est 1 (en utilisant le théorème de d’Alembert) et cette
+∞
X
(−1)n x2n+1
série converge pour x = 1 (théorème des séries alternées). Pour tout x ∈] − 1, 1[, on note f (x) =
2n + 1
n=0
et la fonction f ainsi définie est dérivable sur ] − 1, 1[ avec :
Exercice 16
En utilisant la série entière
f 0 (x) =
+∞
X
(−1)n x2n =
n=0
1
1 + x2
et donc f (x) = arctan(x). En utilisant le théorème d’Abel, on a :
+∞
X
(−1)n
π
= lim f (x) = .
2n
+
1
4
x→1−
n=0
Exercice 17
1. Donner le développement en série entière, en précisant son rayon de convergence, de la fonction arctan.
n
+∞ X
1
1
2. En déduire la valeur de
−
.
3
2n + 1
n=0
3. Calculer la primitive qui s’annule en 0 de la fonction arctan et donner le développement en série entière de
cette fonction, en précisant son rayon de convergence.
+∞
X
(−1)n
4. En déduire la valeur de
.
(2n + 1)(2n + 2)
n=0
8/18
Correction :
1. À partir du développement
+∞
X
(−1)n
n=0
+∞
X
1
=
(−1)n x2n on déduit par intégration le développement : arctan(x) =
1 + x2
n=0
x2n+1
, chacune de ces séries étant de rayon de convergence égal à 1 :
2n + 1
1
2. La valeur x = √ donne :
3
π
= arctan
6
et :
1
√
3
=
+∞
X
(−1)n √
n=0
1
3.3n (2n + 1)
n
+∞ X
1
1
π√
3.
−
=
3
2n + 1
6
n=0
3. Une intégration par parties donne :
Z
Z
arctan(x)dx = arctan(x)(x)0 dx
= xarctan (x) −
Z
x
dx
1 + x2
1
ln(1 + x2 ) + c
2 p
= xarctan(x) − ln( 1 + x2 ) + c
= xarctan(x) −
la primitive nulle en 0 étant obtenue pour c = 0. Il en résulte que :
+∞
p
X
xarctan(x) − ln( 1 + x2 ) =
(−1)n
n=0
x2n+2
(2n + 1)(2n + 2)
le rayon de convergence valant 1.
X
(−1)n
4. Comme la série
est convergente, en utilisant le théorème d’Abel, on a :
(2n + 1)(2n + 2)
n
p
√
1
π
= lim (xarctan(x) − ln( 1 + x2 )) = − ln( 2).
(2n + 1)(2n + 2) x→1
4
n=0
+∞
X
Exercice 18
Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle :
X
1
xn+1 .
n(n
+ 1)
n
Correction : Le coefficient de cette série entière étant une fonction rationnelle, son rayon de convergence vaut 1.
+∞
X
1
Notons f (x) =
xn+1 sa somme pour tout x ∈] − 1, 1[. Cette fonction est C 1 sur ] − 1, 1[ avec :
n(n
+
1)
n=1
f 0 (x) =
+∞
+∞
X
X
1 n
1
xn−1 =
x et f 00 (x) =
,
n
1−x
n=1
n=1
ce qui donne f 0 (x) = − ln(1 − x) et en effectuant une intégration par parties :
Z
Z
f (x) = ln(1 − x)(−1)dx =
ln(1 − tx)(1 − x)0 dx
Z
−1
= (1 − x) ln(1 − x) −
(1 − x)dx
1−x
= (1 − x) ln(1 − x) + x + c
avec c = f (0) = 0.
Exercice 19
Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle :
X n2 − 1
n
n+2
xn .
Correction : Le coefficient de cette série entière étant une fonction rationnelle, son rayon de convergence vaut 1.
+∞ 2
X
n − 1 n+2
Notons g(x) =
x
, g est C ∞ sur ] − 1, 1[ avec :
n
+
2
n=0
9/18
g 0 (x) =
+∞
X
(n + 1)(n − 1)xn+1
=
n=0
x3
+∞
X
n(n − 1)xn−2 + x2
n=2
=
=
=
+∞
X
nxn−1 − x
+∞
X
xn
n=1
n=0
00
0
1
1
1
+ x2
−x
x3
1−x
1−x
1−x
2
3
x
x
2x
+
−
(1 − x)3
(1 − x)2
1−x
2x3 + x2 (1 − x) − x(1 − x)2
3x2 − x
=
.
3
(1 − x)
(1 − x)3
En écrivant que :
3x2 − x = 3(1 − x)2 + 5x − 3 = 3(1 − x)2 − 5(1 − x) + 2
on a :
g 0 (x) =
2
5
3
+
−
2
1 − x (1 − x)
(1 − x)3
et :
g(x) = −3 ln(1 − x) −
5
1
+c
+
1 − x (1 − x)2
avec g(0) = 0 = −4 + c. On a donc :
x2 f (x) = −3 ln(1 − x) −
5
x(4x − 3)
ln(1 − x)
1
+4=
−3
+
1 − x (1 − x)2
(1 − x)2
x2
et
f (x) =
ln(1 − x)
4x − 3
−3
x(1 − x)2
x2
la fonction du second membre se prolongeant par continuité en 0 comme le montre un développement limité en 0
1
de ln(1 − x) et
.
(1 − x)2
4
Étude sur le cercle de convergence
Si la série
X
an z n converge en un point z0 de son cercle de convergence, on peut prolonger en ce point la fonction
n
f (z) =
+∞
X
an z n en posant f (z0 ) =
n=0
+∞
X
an z0n . Mais la proposition 3.1 ne permet pas d’affirmer la continuité de f
n=0
au point z0 .
Théorème 4.1 Théorème d’Abel
X
Si, pour un point z0 du cercle de convergence, la série
an z0n converge, alors sa somme en ce point est la limite
n
de f (z) =
+∞
X
an z n lorsque z tend vers z0 sur le rayon (O, z0 ).
n=0
Exercice 20
On se fixe un réel θ dans ]0, π[ et on s’intéresse à la série entière
X sin(nθ)
n
1. Montrer que le rayon de convergence de cette série vaut 1.
X sin(nθ)
z n pour z = 1 et z = −1.
2. Étudier la série
n
n
n
zn.
+∞
X
sin(nθ) n
x .
n
n=1
Justifier le fait que f est indéfiniment dérivable sur ] − 1, 1[ et expliciter sa dérivée.
3. On désigne par f la fonction définie sur [−1, 1] par f (x) =
4. En déduire que
f (x) = arctan
x − cos θ
sin(θ)
+ arctan
cos(θ)
sin(θ)
10/18
pour θ ∈]0, π[ et x ∈] − 1, 1[.
5. Montrer que pour tous réels x, y tels que xy < 1, on a :
arctan(x) + arctan(y) = arctan
x+y
.
1 − xy
6. En déduire que :
pour θ ∈]0, π[ et x ∈] − 1, 1[.
+∞
X
x sin(θ)
sin(nθ) n
x = arctan
n
1 − x cos(θ)
n=1
7. Montrer que :
+∞
X
π−θ
sin(nθ)
=
n
2
n=1
pour θ ∈]0, π[.
Correction :
sin(nθ) ≤ 1 ≤ 1), on déduit que si R est le rayon de
est bornée (on a n
n
n≥1
X sin(nθ)
étant semi-convergente, on a R ≤ 1 (si
convergence de cette série entière, alors R ≥ 1. La série
n
n
sin(nθ)
R > 1 la série
est absolument convergente). On a donc R = 1.
n
sin(nθ)
est semi-convergente. On a vu que si la suite réelle (un )n∈N tend vers 0
2. Pour z = 1, on sait déjà que
Xn
1
en décroissant, alors la série
un exp(int) est convergente pour tout réel t ∈ R\2πZ. Prenant un = , on
n
n
X1
exp(in(θ + π)) est convergente (on a θ + π ∈]π, 2π[) et il en est de même de la
en déduit que la série
n
n
X sin(nθ)
partie imaginaire
(−1)n .
n
n
1. Comme la suite
sin(nθ)
n
3. La somme d’une série entière de rayon de convergence R est C 1 sur ] − R, R[ et sa dérivée s’obtient en dérivant
terme à terme, ce qui donne pour f sur ] − 1, 1[ :
f 0 (x) =
+∞
X
sin(nθ)xn−1 = Im(g(x)).
n=1
où :
g(x)
+∞
X
+∞
X
exp(iθ)
1
−
x exp(iθ)
n=1
n=0
exp(iθ)
exp(iθ) − x
=
(1 − x cos(θ))2 + x2 sin2 (θ) =
1 − x exp(−iθ)
(1 − x cos(θ))2 + x2 sin2 (θ)
=
exp(inθ)xn−1 = exp(iθ)
(on a |x exp(iθ)| = |x| < 1), ce qui donne : f 0 (x) =
x2
(x exp(iθ))n =
sin(θ)
.
− 2x cos(x) + 1
4. Il s’agit de calculer une primitive de f 0 (x). On a :
Z
Z
Z
dx
dx
1
dx
F (x) =
=
=
2
2
2
2
2
x − 2x cos(θ) + 1
(x − cos(θ)) + sin (θ)
sin (θ)
1 + x−cos(θ)
sin(θ)
x − cos(θ)
on obtient
sin(θ)
Z
1
du
1
1
x − cos(θ)
F (x) =
=
arctan(u)
=
arctan
sin(θ)
1 + u2
sin(θ)
sin(θ)
sin(θ)
(on note que sin(θ) pour θ ∈]0, π[). En effectuant le changement de variable u =
et tenant compte de f (0) = 0, il vient
f (x) = arctan
x − cos(θ)
sin(θ)
+ arctan
cos(θ)
sin(θ)
pour θ ∈]0, π[ et x ∈] − 1, 1[.
11/18
x+y
1 − xy
− arctan(x) pour xy < 1. Pour y = 0 c’est la fonction nulle
1
et pour y < 0, elle est définie sur l’intervalle
définie sur R pour y > 0, elle est définie sur l’intervalle −∞,
y
1
+ ∞ . Cette fonction est dérivable avec :
y
5. Pour y fixé, on définit ϕ(x) = arctan
0
ϕ (x)
=
=
(1−xy)+(x+y)y
(1−xy)2
2
x+y
1 + 1−xy
2
1+
−
1 + y2
1
1
=
−
1 + x2
(1 − xy)2 + (x + y)2
1 + x2
1
(1 + y 2 )(1 + x2 ) − (1 + x2 y 2 + x2 + y 2 )
1+y
−
=
= 0.
2
2
2
+x +y
1+x
(1 + x2 y 2 + x2 + y 2 )(1 + x2 )
x2 y 2
Il en résulte que ϕ est constante égale à ϕ(0) = arctan(y) (0 est toujours dans l’intervalle de définition de ϕ).
6. Constatant que :
x cos(θ) cos(θ)
x cos(θ) − cos2 (θ)
=
<1
sin(θ) sin(θ)
sin2 (θ)
(c’est équivalent à x cos(θ) − cos2 (θ) < sin2 (θ), soit à x cos(θ) < cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1 qui est vrai pour
θ ∈]0, π[ et x ∈] − 1, 1[), on déduit que :


cos(θ)
x−cos(θ)
+
x sin(θ)
x sin(θ)
sin(θ)
sin(θ)


= arctan
= arctan
.
f (x) = arctan
cos(θ)
1 − x cos(θ)
sin2 (θ) − (x − cos(θ)) cos(θ)
1 − x−cos(θ)
sin(θ) sin(θ)
7. Utilisant le théorème d’Abel, on déduit de la convergence de
X sin(nθ)
n
n
+∞
X
sin(θ)
x sin(θ)
sin(θ)
= lim− arctan
= arctan
n
1 − x cos(θ)
1 − cos(θ)
x→1
n=1
avec
2 sin θ2 cos θ2
cos
sin(θ)
=
=
1 − cos(θ)
2 sin2 θ2
sin
Cela donne :
+∞
X
sin(nθ)
= arctan
n
n=1
5
que
1
tan θ2
!
=
θ
2
θ
2
=
1
.
tan θ2
π
θ
π−θ
− arctan tan
.
=
2
2
2
Somme et produit de séries entières
Définition 5.1 Soient A =
X
an z n et B =
n
X
bn z n deux séries entières. Leur somme A + B est la série entière
n
n
X
X
X
n
n
(an + bn )z , leur produit AB est la série entière
cn z où on a posé, pour tout n ∈ N, cn =
ak bn−k .
n
n
Théorème 5.1 Soient A =
X
an z n et B =
n
X
k=0
bn z n deux séries entières dont les rayons de convergence R(A) et
n
R(B) sont non nuls. Alors, chacune des séries entières A + B et AB a un rayon de convergence au moins égal au
plus petit des nombres R(A), R(B). Pour |z| < inf(R(A), R(B)), on a :
! +∞
!
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
X
X
X
X
X
X
(an + bn )z n =
an z n +
bn z n ,
cn z n =
an z n
bn z n
n=0
avec cn =
n
X
n=0
n=0
n=0
n=0
n=0
ak bn−k .
k=0
Corollaire 5.1 Si deux fonctions complexes f, g sont développables en série entière dans un même disque ouvert
de centre O, il en est de même de leur somme et de leur produit.
12/18
6
Composition des séries entières
Définition 6.1 L’ordre ω(A) d’une série formelle A = (an ) non nulle est le plus petit entier n tel que an 6= 0.
En d’autres termes, c’est le degré du terme du plus bas degré figurant dans A. Si A est la série nulle, on pose
ω(A) = +∞.
Le corps de base étant ici C, quelles que soient les séries entières A, B, on a ω(AB) = ω(A) + ω(B) d’où, en
particulier, ω(An ) = nω(A) (n ∈ N).
X
X
Définition 6.2 Soient A =
an z n et B =
bn z n deux séries entières telles que A soit d’ordre non nul (donc
n
n
telles que a0 = 0). Posons c0 = b0 et, pour tous n, p ∈ N? , An =
X
cp z p , obtenue par ordination de la série formelle
p≥0
X
X
an z p et cp =
p
X
bn anp . Alors, la série entière
n=1
p≥n
bn An est appelée composée des séries entières B, A, et
n≥0
notée B ◦ A. On dit aussi que B ◦ A s’obtient pas substitution de A à z dans B(z).
X
X
Théorème 6.1 Soient A =
an z n et B =
bn z n deux séries entières dont les rayons de convergence sont non
n
n
nuls, et telles que la série A soit sans terme constant (i.e. telle que a0 = 0). Alors la série composée
X
C =B◦A=
cn z n
n
a un rayon de convergence non nul et, pour z assez petit, les fonctions
Ã(z) =
+∞
X
an z n , B̃(z) =
+∞
X
bn z n , C̃(z) =
n=1
n=1
+∞
X
cn z n
(3)
n=1
vérifient C̃(z) = B̃(Ã(z)). De plus, si R(B) = +∞, on a R(C) ≥ R(A) et la relation (3) est vraie pour |z| < R(A).
Corollaire 6.1 Soient f, g deux fonctions complexes définies sur un voisinage de l’origine dans C et développables
en série entière, telles que f (0) = 0. Alors la fonction composée h = f ◦ g est développable en série entière dans
un voisinage de l’origine, et on a h0 (0) = g 0 (0)f 0 (0).
Proposition 6.1 Soient A, B deux séries entières d’ordres respectifs
α = ω(A), β = ω(B) (α > 0)
alors la série composée B ◦ A est d’ordre αβ.
7
Inverse d’une série entière
Proposition 7.1 Soit A =
X
an z n une série entière dont le rayon de convergence est non nul et dont le terme
n
constant a0 est non nul. Il existe alors une série entière unique B, dont le rayon de convergence est non nul, et qui
vérifie AB = 1 d’où :
Ã(z)B̃(z) = 1 pour z < inf(R(A), R(B)).
Corollaire 7.1 Soit f : z 7→ f (z) une fonction complexe définie et développable en série entière sur un voisinage
de l’origine dans C, et telle que f (0) 6= 0. Alors, il existe un voisinage de l’origine sur lequel la fonction 1/f est
définie et développable en série entière.
8
Séries majorantes, séries entières réciproques
Définition 8.1 Soient A =
X
n
an z n et B =
X
bn z n deux séries entières. On dit que la série B est une majorante
n
de la série A si les coefficients bn sont tous positifs et vérifient, pour tout n ∈ N, l’inégalité |an | ≤ bn .
Proposition 8.1 Si la série entière B est une majorante de la série entière A, les rayons de convergence de ces
séries vérifient l’inégalité R(A) ≥ R(B).
13/18
Lemme 8.1
X Existence de majorantes
Soit A =
an z n une série entière d’ordre au moins égal à k (k ∈ N). Alors, pour tout r < R(A), il existe une
n
majorante de B de la forme
B=M
+∞ n
X
zk
1
z
=
M
, (M =cste).
rn
rk 1 − z/r
n=k
Définition 8.2 On dit que deux séries entières A, B sont réciproques l’une de l’autre si elles sont d’ordre non nul
et vérifient les relations formelles
A ◦ B = B ◦ A = z.
Proposition 8.2 Soit B =
X
bn z n une série entière. Pour qu’il existe une série entière A =
n
X
an z n telle que
n
B ◦ A = z, il faut et il suffit que B soit d’ordre 1, cette série A est alors unique, d’ordre 1, et vérifie formellement
A ◦ B = z : elle est donc réciproque de la série B.
Proposition 8.3 Soit B une série entière d’ordre 1, dont le rayon de convergence est non nul. Alors, la série
entière A, réciproque de B, a un rayon de convergence non nul et, pour |z| assez petit, on a : B̃(Ã(z)) = z et
Ã(B̃(z)) = z.
Corollaire 8.1 Soit f une fonction complexe, définie et développable en série entière sur un voisinage de l’origine
dans C, telle que f (0) = 0. Pour qu’il existe une fonction complexe g, développable en série entière au voisinage
de l’origine et satisfaisant à f (g(z)) = g(f (z)) = z pour |z| assez petit, il faut et il suffit que l’on ait f 0 (0) 6= 0.
Si cette condition est réalisée, il existe un voisinage U de l’origine tel que la restriction fU de f à U soit un
1
homomorphisme de U sur un voisinage de l’origine et la réciproque g de fU vérifie g 0 (0) = 0 .
f (0)
9
Fonctions analytiques d’une variable réelle ou complexe
Définition 9.1 Soit U un ouvert du plan complexe C (resp. de la droite numérique R). Une application f : U → C
est dite analytique dans U si pour tout point z0 de U , l’application u 7→ f (z0 + u) est développable en série entière
sur un voisinage de l’origine dans C (resp. R).
Proposition 9.1 Soient U un ouvert de (resp. R) et f une fonction analytique dans U . Alors f est indéfiniment
dérivable sur U , et chaque point z0 de U admet un voisinage sur lequel on a :
f (z) =
+∞
X
1 (n)
f (z0 )(z − z0 )n .
n!
n=0
Remarque 9.1 Toute fonction holomorphe d’une variable complexe est nécessairement analytique. Par contre,
une fonction dérivable et même indéfiniement dérivable d’une variable réelle n’est pas nécessairement analytique.
Proposition 9.2 Toutes les dérivées d’une fonction analytique sont analytiques.
Proposition 9.3 Soient f, g deux fonctions analytiques définies sur un même ouvert U de C (resp. de R). ALors
leur somme f + g et leur produit f g sont analytiques dans U . Enfin, si N désigne l’ensemble des zéros de g, le
quotient f /g est analytique dans l’ouvert U \N .
Proposition 9.4 Soit f une fonction analytique sur un ouvert U de C (resp. de R) et soit g une fonction analytique
sur un ouvert (de C ou de R) contenant f (U ). Alors la fonction composée h = g ◦ f est analytique dans U .
14/18
DIVERGENCE DE LA SERIE DES INVERSES DES
NOMBRES PREMIERS
L'objectif de ce petit article est de prouver que la série des inverses des nombres premiers
diverge : ceci prouve de façon imparable que l’ensemble des nombres premiers est infini.
La première démonstration de ce résultat est due à Euler au XVIIIe siècle. Nous en
proposerons ci-après deux. On note pn le ne nombre premier, si bien que p1=2, p2=3, p3=5,
etc.
Première démonstration
1 1
1
Soit N un entier naturel et considérons la somme S N  1    ...  .
2 3
N
Supposons qu’il n’y ait qu’un nombre fini de nombres premiers, de p1 jusqu’à pr . Ces
nombres premiers interviennent dans la décomposition de 2, 3, ..., N, avec des exposants
différents, éventuellement nuls. Appelons 1 ,  2 ,...,  r les plus grands exposants de p1,
p2, ..., pr rencontrés. Si bien que quel que soit l’entier q compris entre 2 et N, on peut
r
1
1
écrire   ki , avec ki entier de 0,  i .
q i 1 pi
Par conséquent :
r
N

1
1
1 
1
1  
1
1 
S N  1   ki  1   ...  1 1 
 ...   2  ... 1 
 ...   r 
p1
p2
pr
p1 
p2  
pr 
q 1 i 1 pi

1
1
1


 ... 
 PR
1
1
1
1
1
1
p1
p2
pr
Ce raisonnement est valable quel que soit l’entier N. Cela prouve que la suite (SN) est
majorée : ce qui est absurde car on sait qu’elle est divergente.
Bref, il y a nécessairement un nombre infini de nombres premiers.
Deuxième démonstration
… ou un complément à celle qu’on vient de faire… Car on ne sait toujours rien de la

1
série 
: converge-t-elle ou non ? Remarquons que c’est une série de nombres
n 1 pn
positifs, l’écriture a donc bien un sens, la somme pouvant être égale à l’infini.
Réutilisons les résultats précédents. Soit n un entier naturel. Les n premiers nombres
premiers sont p1 , p2 ,..., pn . En posant N  pn , les seuls facteurs premiers qui
interviennent dans la décomposition des entiers de 2 à N sont p1 , p2 ,..., pn et appelons
comme plus haut 1 ,  2 ,...,  n les plus grands exposants de p1, p2, ..., pn rencontrés.
On peut encore écrire :
n
N

1
1
1 
1
1  
1
1 
S N  1   ki  1   ...  1 1 
 ...   2  ... 1 
 ...   n 
p1
p2
pn
p1 
p2  
pn 
q 1 i 1 pi

1
1
1


 ... 
 Pn
1
1
1
1
1
1
p1
p2
pn
Faisons tendre n vers l’infini : il est clair que pn tend vers l’infini et donc S N aussi !
On peut donc dire que le produit Pn tend vers l’infini.
 
 n 
1
Par conséquent, ln Pn  ln   
1
 k 1 
1

 
pk
 


 n  1

   ln 
  k 1  1  1


pk




 diverge aussi vers l’infini. En





 1 
 est divergente.
d’autres termes, la série de terme général ln 
1 1 

pk 

Mais par ailleurs, comme lim pk   , il est clair que le terme général de cette dernière
k 
1
série équivaut à
pour k tendant vers l’infini. Autrement dit, la série de terme général
pk
1 ... à savoir la série des inverses des nombres premiers est aussi divergente.
pk
Troisième démonstration (sur une idée de Paul Erdos)
Nous conservons les mêmes notations que précédemment.
Nous raisonnons par l'absurde et on suppose que la série des inverses des nombres
premiers converge. Le reste d’ordre n tend donc vers 0. En particulier, il existe un entier n
tel que :

1 1
 2
k  n 1 pk
Soit N un entier quelconque. On partage l’ensemble {1, ... , N} en deux sous-ensembles
disjoints, dont la réunion est {1, ... , N} tout entier :
A est l'ensemble des entiers de {1,...,N} dont la décomposition en facteurs premiers
comporte au moins un des pn+1, pn+2, ...
B est le complémentaire de A dans {1,...,N}.
Estimons le cardinal de A.
Il est facile de calculer le nombre d’entiers de l’ensemble {1, ... , N} qui sont divisibles
par un nombre premier p : il est égal au nombre de multiples de p de {1, ... , N} et
inférieur ou égal à N.
p
Le cardinal de l’ensemble A est donc majoré par :
 1
 N
N
N
1
card A 

 ...  N 

 ...   .
pn 1 pn  2
 pn 1 pn  2
 2
Symétriquement, le cardinal de B est supérieur ou égal à N.
2
Considérons maintenant un entier r dans B, c’est-à-dire un entier dont la décomposition
en facteur premier ne comporte que les nombres pi pour i allant de 1 à n.
Écrivons r sous la forme r = m2  q, où q est sans facteurs carrés (m = 1 si r n’a aucun
facteur carré ).
On a m  r  N , car m2  r  N et donc il y a au plus N choix pour m.
Maintenant, la décomposition en facteurs premiers de q ne comporte que les nombres p1,
... , pn, avec des exposants égaux à 0 ou 1. Il y a donc au plus 2 n tels facteurs q.
On a donc prouvé que :
N
 card B  2n  N
2
n est fixé au départ, mais N peut être choisi aussi grand que l’on veut. On aboutit à une
contradiction car on sait que pour N suffisamment grand, N > 2n N .
2
C’est bien que la série des inverses des nombres premiers est divergente.
Constante de Brun (WIKIPEDIA)
En 1919, le mathématicien Viggo Brun démontra que la série des inverses des nombres
premiers jumeaux est convergente : sans doute voulait-il prouver que les nombres
premiers jumeaux sont en nombre infini. Mais contrairement à ce qui se passe pour les
nombres premiers, la série des inverses des nombres premiers jumeaux est bel et bien
convergente... Ce qui n’empêche pas, notons-le, que ces derniers soient en nombre
infini...
La somme de cette série est maintenant appelée constante de Brun des nombres
premiers jumeaux, ou plus simplement constante de Brun, et est habituellement
désignée par B2 :
En calculant les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10 14 (et découvrant au passage
l'infâme bogue de la division du Pentium), Thomas Nicely a estimé par une méthode
heuristique la constante de Brun à approximativement 1,902160578. Plus récemment, il a
amélioré cette approximation à
B2 = 1,90216 05823 ± 0,00000 00008,
en utilisant les jumeaux jusqu'à 1,6×1015.
Le 21 mars 2006 la constante fut portée à la valeur
B2 = 1.90216 05825 09 ± 0.00000 00014 35
Il existe aussi une constante de Brun pour les quadruplets de nombres premiers. Un
quadruplet de premiers est un couple constitué de jumeaux premiers, séparés d'une
distance de 4 (la plus courte distance possible) soit (p,p + 2,p + 6,p + 8). Les premiers
quadruplets de premiers sont (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La
constante de Brun pour les quadruplets de premiers, notée B4, est la somme des inverses
de tous les nombres premiers des quadruplets:
avec la valeur:
B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.
ÉPREUVE ÉCRITE DE MATHÉMATIQUES II
par Pierre MARRY
Maı̂tre de conférences au CNAM
Le sujet de l’épreuve d’Analyse de cette année tournait autour de la série entière
+∞
X
n−s z n . Dans
n=1
une première partie, on étudiait en détail le domaine de convergence de cette série entière, ainsi que
certaines propriétés de sa somme. La seconde partie était consacrée à la fonction ζ de Riemann (cas
où z = 1). Enfin, dans la troisième partie, on déduisait de la première partie, à l’aide de séries de
Fourier, des expressions de certaines intégrales comme sommes de séries numériques. Compte tenu
du résultat désastreux de l’année précédente, toutes les questions difficiles avaient été monnayées en
sous-questions indiquant pas à pas la marche à suivre, et un candidat connaissant précisément les
grands théorèmes d’analyse du programme aurait dû pouvoir réaliser un sans-faute.
De fait, la moyenne de l’épreuve (6,21/20) est de près d’un point supérieure à celle de l’an dernier
(5,29/20), et à peu près toutes les questions posées ont été abordées par des candidats. Le pourcentage de bons, voire très bons, candidats reste stable, bien que faible. Le pourcentage de très
mauvais candidats, présentant un déficit catastrophique sur le plan des connaissances, de la rigueur,
voire de la logique la plus élémentaire, reste lui aussi stable, hélas ! Ignorance de la différence entre
condition nécessaire et condition suffisante, confusion entre les propriétés du logarithme et celles de
l’exponentielle, ignorance des formules élémentaires de trigonométrie sont monnaie courante.
Parmi les parties du cours pour lesquelles on constate une nette amélioration des connaissances
des candidats, il faut signaler les séries de Fourier : les expressions des coefficients, les théorèmes
de convergence sont assez généralement bien connus, même si un certain flou demeure sur leur
dénomination. En particulier le théorème de convergence normale est assez souvent appelé théorème
de Dirichlet . Dans sa quête du Graal, un candidat wagnérien utilise l’égalité de Parsifal (probablement monté sur un étalon de Riemann, selon l’expression d’un autre candidat). Mais tout cela reste
anecdotique.
En revanche, sont très mal maı̂trisées les hypothèses des divers théorèmes permettant des interversions deR limites
P : théorèmes de convergence dominée, de convergence monotone, dérivation sous
les signes et , etc. . . , qui sont tout de même les outils principaux de l’analyse dont disposent
les candidats. Si ce manque de maı̂trise n’a pas empéché ces derniers d’avancer dans le problème,
il leur a néanmoins coûté de nombreux points, car le barême était très exigeant sur la rigueur des
démonstrations. Mais il est finalement logique que les candidats aient quelques problèmes avec la
notion de limite, qu’ils n’ont que deux ans pour apprendre à maı̂triser, au vu de la nullité des programmes du deuxième cycle sur cette question. Pourtant, la manipulation des ε et des α reste la
base du calcul scientifique qu’ils auront à effectuer en tant qu’ingénieurs.
Qu’il me soit permis ici de rappeler à mes collègues de classes
préparatoires que le critère de
an+1 1
, n’est plus au programme depuis
= lim d’Alembert spécifique aux séries entières :
n→+∞
R
an 1996 pour des raisons évidentes (cas de séries à trous, oubli des valeurs absolues, etc. . . ) et que
seul subsiste le critère de d’Alembert pour les séries numériques à termes positifs. Les candidats,
s’ils
souhaitent
utiliser ce critère pour des séries entières, doivent donc étudier la limite du rapport
un+1 (z) un (z) et en tirer les conséquences qui s’imposent, à l’exclusion de toute autre méthode. Toute
an+1 , quand ce n’est pas lim an+1 , se
détermination du rayon de convergence à l’aide de lim n→+∞
n→+∞ an
an voit automatiquement attribuer la note 0, que le résultat soit exact ou non, et ce depuis déjà huit
ans ! Il est dommage que l’information n’arrive pas à passer, après tant d’années.
Références
[1] Jacqueline LELONG-FERRAND, Jean-Marie ARNAUDIÈS. Cours de mathématiques. Tome 2, Analyse, 4ème édition .
[2] Jean-Etienne ROMBALDI. Séries entières.
http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/∼rombaldi/Capes/AnalyseChap14.pdf
[3] Site internet CAPES INTERNET. Série des nombres premiers.
http ://capesinterne.free.fr/PLC1/arithmetique/exercices/serie− nombres− premiers2.pdf
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