1 Rayon et disque de convergence

Master 1 M´etiers de l’Enseignement, Math´ematiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013
ANALYSE 2
Fiche de Math´ematiques 6 - S´eries enti`eres - Fonctions analytiques.
Une s´erie enti`ere est une s´erie de fonctions, de la forme X
n
anzno`u (an) d´esigne une suite donn´ee de nombres
complexes et zest une variable complexe.
Dans tout ce qui suit, on d´esignera par D(z0, r) le disque-plan ouvert de centre z0et de rayon r, soit D(z0, r) =
{z, z ∈Cet |z−z0|< r}et par D(z0, r) = {z, z ∈Cet |z−z0| ≤ r}.
1 Rayon et disque de convergence
D´efinition 1.1 Une s´erie enti`ere de la variable complexe zest une s´erie dont le terme g´en´eral est de la forme
anzn(n∈N) o`u (an)d´esigne une suite donn´ee de nombres complexes. Les nombres ansont appel´es les coefficients
de la s´erie. Plus pr´ecis´ement, le nombre anest le (n+ 1)-i`eme coefficient, ou coefficient d’ordre n. Le premier
terme a0est souvent appel´e terme constant.
Les s´eries enti`eres sont donc des s´eries d’applications de la forme :
C→C,z7→ anzn.
Pour ´etudier la convergence de la s´erie enti`ere X
n
anzn, on utilise le lemme suivant :
Th´eor`eme 1.1 Th´eor`eme d’Abel.
Soit z0∈Ctel que la suite (anzn
0)soit born´ee (ce qui est r´ealis´e en particulier si la s´erie X
n
anzn
0est convergente).
Alors, pour tout z∈Ctel que |z|<|z0|, la s´erie X
n
anznest absolument convergente et cette s´erie est normalement
convergente dans le disque ferm´e D(0, k|z0|)d´efini par |z| ≤ k|z0|, quel que soit le nombre kv´erifiant 0≤k < 1.
D´efinition 1.2 Le rayon Rde convergence de la s´erie enti`ere X
n
anznest la borne sup´erieure dans Rde l’ensemble
Ides nombres r´eels positifs rtels que la suite (anrn)soit born´ee :
R= sup{r∈R+,(anrn)n∈Nest born´ee}.
Th´eor`eme 1.2 Soit Rle rayon de convergence de la s´erie enti`ere X
n
anzn(0≤R≤+∞).
•Si R= 0, cette s´erie ne converge que pour z= 0.
•Si R= +∞, cette s´erie converge absolument pour tout z∈C, cette convergence ´etant normale, donc uniforme,
sur toute partie born´ee de C.
•Si Rest un nombre fini non nul, la s´erie X
n
anznest absolument convergente pour |z|< R, et divergente
pour |z|> R ; de plus cette s´erie converge normalement (donc uniform´ement) dans le disque ferm´e D(0, r),
quel que soit r < R.
D´efinition 1.3 Soit Rle rayon de convergence de la s´erie enti`ere X
n
anzn. Si R6= 0, le disque ouvert D(0, R)est
appel´e le disque de convergence de cette s´erie et l’intervalle ouvert ]−R, R[est appel´e l’intervalle de convergence
de cette s´erie.
Ainsi, une s´erie enti`ere est absolument convergente en tout point de son disque de convergence, divergente `a
l’ext´erieur de ce disque, et normalement convergente sur tout disque concentrique au disque de convergence et de
rayon strictement plus petit.
Remarque 1.1 La notion d’intervalle de convergence intervient lorsqu’on se limite aux valeurs r´eelles de la va-
riable : c’est le plus grand intervalle ouvert de centre Osur lequel la s´erie soit convergente.
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Remarque 1.2 Si Rest fini, on ne sait pas `a priori si la s´erie X
n
anznconverge sur son cercle de convergence,
d´efini par |z|=R.
Th´eor`eme 1.3 Soient X
n
anznet X
n
bnznde rayons de convergence respectifs Ret R0.
1. Si |an| ≤ |bn|pour tout n∈Nalors R≥R0.
2. Si an=(bn)alors R≥R0.
3. Si an∼bnalors R=R0.
Corollaire 1.1 Si X
n
anznest une s´erie enti`ere telle qu’il existe deux r´eels strictement positifs met Mavec :
∀n∈N,m≤ |an| ≤ M
alors le rayon de convergence de cette s´erie vaut 1.
Th´eor`eme 1.4 En utilisant les notations qui pr´ec`edent :
1. dans le cas o`u R > 0, la s´erie Xanznest absolument convergente pour tout ztel que |z|< R,
2. dans le cas o`u Rest fini, les s´eries X
n
anznet X
n|anzn|sont divergentes pour tout ztel que |z|> R.
Exercice 1 D´eterminer les domaines de convergence des s´eries enti`eres
X
n
n!zn,X
n
nnzn,X
n
zn,X
n
zn
n,X
n
zn
n!.
Correction :
•Pour an=n! et z6= 0 on a :
an+1zn+1
anzn
= (n+ 1)|z| →
n→+∞+∞
ce qui entraˆıne d’apr`es le crit`ere de d’Alembert pour les s´eries num´eriques la divergence de X
n
anzn. Il en
r´esulte que le domaine de convergence de Pnn!znest D={0}.
•Pour an=nnet z6= 0 on a :
an+1zn+1
anzn
= (n+ 1) 1 + 1
nn
|z| →
n→+∞+∞
ce qui entraˆıne lim
n→+∞|anzn|= +∞et la divergence de X
n
anzn. Il en r´esulte que le domaine de convergence
de X
n
nnznest D={0}.
•On sait que la s´erie g´eom´etrique X
n
znest convergente si et seulement si |z|<1, ce qui signifie que son
domaine de convergence est le disque unit´e ouvert D={z∈C,|z|<1}.
•Pour an=1
net z6= 0 on a :
an+1zn+1
anzn
=n
n+ 1|z| →
n→+∞|z|.
Si |z|<1 le th´eor`eme de d’Alembert nous dit alors que la s´erie X
n
zn
nconverge.
Si |z|>1, on a lim
n→+∞|anzn|= +∞et la s´erie X
n
zn
ndiverge.
Si |z|= 1, on a alors z= exp(it) avec t∈[0,2π[ et la s´erie X
n
zn
n=X
n
exp(int)
nconverge uniquement pour
t= 0, soit pour z= 1. On a utilis´e le
Lemme d’Abel : Si les sommes partielles de la s´erie de terme g´en´eral an(r´eel ou complexe) sont born´ees et
si (bn)est une suite r´eelle positive d´ecroissante vers 0, alors la s´erie X
n
anbnest convergente.
Dans notre cas, si t6= 0, les sommes partielles de la s´erie de terme g´en´eral exp(int) sont born´ees et la suite
1
nest une suite r´eelle d´ecroissant vers 0.
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Remarque 1.3 Montrons que les sommes partielles de la s´erie de terme g´en´eral exp(int) sont born´ees si
t6= 0 :
N
X
n=0
exp(int) = exp(i(N+ 1)t−1)
exp(it)−1=exp i(N+ 1) t
2
exp it
2exp i(N+ 1) t
2−exp −i(N+ 1) t 2
exp it
2−exp −it 2
⇔
N
X
n=0
exp(int) = exp iN t
2sin (N+ 1) t
2
sin t
2. Donc, |
N
X
n=0
exp(int)| ≤ 1
sin t
2
et les sommes partielles sont
born´ees. Bien-sˆur, si t= 0, les sommes partielles ne sont pas born´ees et le lemme n’est pas utilisable.
En d´efinitive, le domaine de convergence de X
n
zn
nest le disque unit´e ferm´e priv´e de 1, soit D={z∈C,|z| ≤
1}\{1}.
•La s´erie X
n
zn
n!´etant absolument convergente pour tout nombre complexe z, son domaine de convergence
est D=C.
Exercice 2 D´eterminer les domaines de convergence des s´eries enti`eres X
n
(−1)n
(2n)! z2net X
n
(−1)n
(2n+ 1)!z2n+1.
Correction :
•En posant un=
(−1)n
(2n)! z2n
, on a pour z6= 0 :
un+1
un
=|z|2
(2n+ 2)(2n+ 1) →
n→+∞0
et le th´eor`eme de d’Alembert nous dit alors que la s´erie X
n
(−1)n
(2n)! z2nest absolument convergente. Son do-
maine de convergence est D=C.
•Le r´esultat est le mˆeme pour la deuxi`eme s´erie.
Exercice 3 Quel est le rayon de convergence de la s´erie exp(sin(n))zn?
Correction : Avec 1
e≤exp(sin(n)) ≤e, on d´eduit du corollaire 1.1 que le rayon de convergence de X
n
exp(sin(n))zn
vaut 1.
Exercice 4 Soit X
n
anznune s´erie enti`ere de rayon de convergence R. Montrer que, pour tout entier p≥2,
le rayon de convergence de la s´erie enti`ere X
n
anzpn est +∞si R= +∞ou p
√Rsi Rest fini (on dit que la s´erie
X
n
anzpn est lacunaire).
Correction :
•Si R= +∞, alors X
n
antnconverge pour tout nombre complexe tet donc pour tous les nombres complexes
de la forme zp.
•Si Rest fini, pour |z|<p
√R, on a |z|p< R et X
n
anzpn converge absolument. Pour |z|>p
√R, on a |z|p> R
et X
n
anzpn diverge. Il en r´esulte que p
√Rest le rayon de convergence de X
n
anzpn.
Exercice 5 D´eterminer le rayon de convergence Rde la s´erie enti`ere X
n
(−1)nz2net ´etudier la s´erie pour |z|=R.
Quelle est la somme de cette s´erie ?
Correction : Le rayon de convergence de la s´erie g´eom´etrique X
n
(−1)nznvalant 1, celui de X
n
(−1)nz2nest aussi
1 et pour |z|<1, on a :
+∞
X
n=0
(−1)nz2n=
+∞
X
n=0
(−z2)n=1
1 + z2.
Pour |z|= 1, la s´erie diverge car son terme g´en´eral ne tend pas vers 0.
Exercice 6 Montrer que si (an)n∈Nest une suite de nombres complexes telle qu’il existe un nombre complexe z0
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tel que la suite (anzn
0)n∈Nsoit born´ee, alors la s´erie enti`ere X
n
an
n!zna un rayon de convergence infini.
Correction : En d´esignant par Mun majorant de la suite (|anzn
0|)n∈N, on a pour tout nombre complexe z:
an
n!zn=|anzn
0|1
n!
z
z0
n
≤M1
n!
z
z0
n
avec X
n
1
n!
z
z0
n
<+∞(X
n
tn
n!converge pour tout t), ce qui entraˆıne la convergence absolue de X
n
an
n!zn.
Exercice 7 On d´esigne par (pn)n≥1la suite strictement croissante des nombres premiers. D´eterminer le rayon de
convergence de la s´erie X
n
1
pn
zpn.
Correction : Pour z= 1 cette s´erie diverge, donc R≤1. Les coefficients de cette s´erie sont d´efinis par an=1
nsi n
est premier et an= 0 sinon, donc pour r≥0, la suite (anrn)n∈N?est born´ee si et seulement si la suite 1
pn
rpnn∈N?
est born´ee, ce qui est r´ealis´e pour tout r∈[0,1], donc R≥1 (d’apr`es le th´eor`eme d’Abel) et R= 1.
Remarque 1.4 De nombreuses d´emonstrations de la divergence de la s´erie des inverses des nombres premiers sont
disponibles sur internet, on donne `a la fin du poly plusieurs d’entre-elles.
Exercice 8 Soit (an)n∈Nune suite r´eelle born´ee.
1. Que peut-on dire des rayons de convergence des s´eries X
n
anznet X
n
an
n!zn. On note respectivement f(z) et
g(z) les sommes de ces s´eries enti`eres.
2. Montrer que pour tout r´eel x∈]0,1[ l’int´egrale Z+∞
0
g(t) exp −t
xdt est convergente.
3. Montrer que Z+∞
0
g(t) exp −t
xdt =xf(x) pour tout r´eel x∈]0,1[.
Correction : On note M= sup
n∈N|an|.
1. Comme la suite (an)n∈Nest born´ee, la s´erie X
n
anzna un rayon de convergence R≥1. Par exemple, pour
an=1
ρnavec ρ > 1 ce rayon de convergence est R=ρ. Avec 
an
n!≤M n!, on d´eduit que le rayon de
convergence de la deuxi`eme s´erie est infini.
2. Pour x∈]0,1[ et t > 0 on a :
g(t) exp −t
x
=
+∞
X
n=0
an
n!tnexp −t x≤M +∞
X
n=0
tn
n!!exp −t x=Mexp t−t x
et avec Z+∞
0
exp t1−1
xdt < +∞(on a 1 −1 x<0), on d´eduit que l’int´egrale Z+∞
0
g(t) exp −t
x
est absolument convergente.
3. Le changement de variable t=xu donne :
Z+∞
0
g(t) exp −t
xdt =xZ+∞
0
g(xu) exp(−u)du
et en notant :
Rn(z) =
+∞
X
k=n+1
ak
k!zk
on a :
Z+∞
0
g(xu) exp(−u)du =
n
X
k=0
ak
k!xkZ+∞
0
ukexp(−u)du +Z+∞
0
Rn(xu) exp(−u)du
avec Γ(k+ 1) = Z+∞
0
ukexp(−u)du =k!. Donc,
Z+∞
0
g(xu) exp(−u)du =
n
X
k=0
akxk+Z+∞
0
Rn(xu) exp(−u)du
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et il s’agit de montrer que lim
n→+∞Rn(xu) exp(−u)du = 0. Pour ce faire, on ´ecrit que :
Z+∞
0
Rn(xu) exp(−u)du≤MZ+∞
0
+∞
X
k=n+1
xkuk
k!exp(−u)du ≤MZ+∞
0 exp(xu)−
n
X
k=0
xkuk
k!!exp(−u)du
≤M Z+∞
0
exp((x−1)u)du −
n
X
k=0
xk
k!Z+∞
0
ukexp(−u)du!≤M 1
1−x−
n
X
k=0
xk!→
n→+∞0.
2 Calcul pratique du rayon de convergence
On se r´ef´erera dans un premier temps aux remarques faites par Pierre Marry (MCF au CNAM), relatives `a la
d´etermination d’un rayon de convergence de s´eries enti`eres `a la fin du poly.
Proposition 2.1 Crit`ere de d’Alembert.
Soit X
n
anznune s´erie enti`ere telle que an6= 0 `a partir d’un certain rang. Si la suite 
an+1
antend vers L
(0≤L≤+∞) lorsque ntend vers +∞, le rayon de convergence de la s´erie X
n
anznest R=1
Lavec les
conventions 1
0= +∞et 1 +∞= 0.
Remarque 2.1 Attention, le r´esultat pr´ec´edent n’admet pas de r´eciproque. Le fait que le rayon de convergence
soit Rn’implique pas que la suite 
an+1
antend vers 1 R(en supposant que la suite soit d´efinie).
Corollaire 2.1 Si X
n
anznest une s´erie enti`ere telle que lim
n→+∞an=l6= 0, alors son rayon de convergence vaut
1.
Corollaire 2.2 Si X
n
anznest une s´erie enti`ere telle que ansoit une fonction rationnelle non nulle de nalors
son rayon de convergence vaut 1.
Proposition 2.2 Crit`ere de Cauchy.
Soit X
n
anznune s´erie enti`ere. Si lim
n→+∞
n
p|an|=l∈R+alors le rayon de convergence de cette s´erie est R=1
l.
On applique le crit`ere de Cauchy `a la s´erie X
n
anzn. Si on pose L= lim sup |an|1/n, (0 ≤L≤+∞), on a :
lim sup |anzn|1/n = lim sup(|z|.|an|1/n) = L|z|.
Proposition 2.3 Formule d’Hadamard
Le rayon de convergence de la s´erie enti`ere X
n
anznest le nombre Rd´efini par
1
R= lim sup |an|1/n
(On pose R= +∞si L= 0, et R= 0 si L= +∞.)
Remarque 2.2 Le rayon de convergence d’une s´erie enti`ere ne d´epend que des modules de ses coefficients . Les
s´eries X
n
anznet X
n|an|znont donc mˆeme rayon de convergence.
Exercice 9 D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere X
n
anzno`u an= (2 + (−1)n)npour tout
n≥0. Que dire de la suite 
an+1
ann∈N
?
Correction : On a an= 3npour npair et an= 1 pour nimpair. Pour r > 1
3, on a |a2nr2n|=|3r|2n→
n→+∞+∞et
(anrn)n∈Nn’est pas born´ee, donc R≤1
3. On a :
1≥ |anrn|=(3rn) si nest pair
rnsi nest impair
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